đề Thi tuyển sinh ptnk tphcm 1993 2008

1. CAÙC ÑEÀ THI VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN-TIN
TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU
ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP.HCM
Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net
www.vnmath.com

2. MỤC LỤC
Năm học 1993 – 1994 ............................................................................................ 3
Năm học 1994 – 1995 ............................................................................................ 6
Năm học 1995 – 1996 ............................................................................................ 8
Năm học 1996 – 1997 ............................................................................................ 11
Năm học 1997 – 1998 ............................................................................................ 13
Năm học 1998 – 1999 ............................................................................................ 16
Năm học 1999 – 2000 ............................................................................................ 19
Năm học 2000 – 2001 ............................................................................................ 22
Năm học 2001 – 2002 ............................................................................................ 25
Năm học 2002 – 2003 ............................................................................................ 28
Năm học 2003 – 2004 ............................................................................................ 31
Năm học 2004 – 2005 ............................................................................................ 34
Năm học 2005 – 2006 ............................................................................................. 37
Năm học 2006 – 2007 ............................................................................................ 40
www.vnmath.com

3. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 1993 – 1994
Ngày thứ nhất
Bài 1
Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai
số tự nhiên nào đó.
a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2nP cũng là các số
“Pitago”.
b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không
phải là các số “Pitago”.
Bài 2
a) Giải phương trình căn thức :
3 − x = 4 49 − 4 3 x 3 − 12 3 x
b) Chứng minh đẳng thức
4
49 + 20 6 + 4 49 − 20 6
= 3
2
Bài 3
Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số
hòa.
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C
thắng D.
Bài 4
Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách.
2. Mận không viết thư và không sửa áo.
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo.
4. Mai không đọc sách và không sửa áo.
5. Mơ không đọc sách và không viết thư.
Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì.
www.vnmath.com
3

4. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
Giả sử O là một điểm nằm bên trong tam giác đều ABC . Các đường
thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A1,B1,C1
tương ứng. Biết rằng :
S AB1O +S CA1O +S BC1O =S CB1O +S BA1O +S AC1O
Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC.
Ngày thứ hai
Bài 1
Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau
A và B, mỗi tập có n phần tử.
Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng :
A = {a1 < a2 < ... < an −1 < an } và B = {bn < bn −1 < ... < b2 < b1}
Hãy chứng minh đẳng thức :
|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|=n2
Bài 2
Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì
của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho
các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này.
Bài 3
Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn,
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD
ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM.
Bài 4
Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ,
13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên
bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi
cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn.
www.vnmath.com
4

5. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các
xâu A,B,C ,… như sau :
A=(a1,a2,…,a32)
B=(b1,b2,…,b32)
C=(c1,c2,…,c32)
với ai,bi,ci,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32.
Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy.
Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :
_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui
tắc :
(a1,a2,…,a32) ⇒ (ak,ak+1,…,a31,a32,a1,a2,…,ak-1).
_ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc
A&B ⇒ C, với
1 nếu (ai = 1,bi = 0) hay (a1 = b1 = 1)
c1 =
0 nếu (ai = 1,b i= 0) hay (a1 = 0,b1 = 1)
Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng,
bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ
được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16.
www.vnmath.com
5

6. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 1994 – 1995
Ngày thứ nhất
Bài 1
Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm
khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết :
a) A và C b) B và E c) B và F
d) A và F e) A và D
Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn
toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết.
Bài 2
a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ
trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó
(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?
Bài 3
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia
hết cho y.
Bài 4
a) Cho a < b < c < d là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :
f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d|
b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực.
Bài 5
Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I.
Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc
∠BAC = 600 .
www.vnmath.com
6

7. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Ngày thứ hai
Bài 1
⎧ 2 x 2 − xy + 3 y 2 = 13
⎪
Giải hệ phương trình ⎨
⎪ x 2 + 4 xy − 2 y 2 = −6
⎩
Bài 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c.
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.
Bài 3
Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số
nguyên ≥ 0 : a1 , a2 , a3 ,... sao cho với mọi số tự nhiên n,m ta có :
amn = an + am .
Bài 4
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn
các tính chất sau :
i) x và y đều có hai chữ số
ii) x = 2y
iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia
thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x.
Bài 5
Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con.
Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 1200.
www.vnmath.com
7

8. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 1995 – 1996
Ngày thứ nhất
Bài 1
Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời
“có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông
tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi :
a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau.
b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau.
c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”.
d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”
thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi.
Bài 2
Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao
cho AE = CF . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của
BE DF
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD.
Bài 3
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số A = abcd thỏa điều kiện :
i) abd = (b + d − 2a)2
ii) A + 72 là một số chính phương
Bài 4
a) Chứng minh với mọi giá trị thực của x ta luôn có :
3 x 2 + 6 x + 12 + 5 x 4 − 10 x 2 + 9 ≥ 5
b) Giải phương trình :
3 x 2 + 6 x + 12 + 5 x 4 − 10 x 2 + 9 = 3 − 4 x − 2 x 2
Bài 5
Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa
đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam
www.vnmath.com
8

9. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh
AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố
định.
Ngày thứ hai
Bài 1
Cho số tự nhiên n > 1 . Chứng minh rằng :
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n}
thành một dãy sao cho với mọi k ≤ n , tổng của k số đầu tiên trong
dãy không chia hết cho n.
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành
một dãy sao cho với mọi k ≤ n , tổng của k số đầu tiên trong dãy
không chia hết cho n.
Bài 2
Giải và biện luận hệ phương trình sau :
⎧ xyz
⎪x + y = m
⎪
⎪ xyz
⎨ =1
⎪ y+z
⎪ xyz
⎪ =2
⎩z + x
trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực.
Bài 3
Cho a1 , a2 ,..., a1995 là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong
các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức :
1
A(a1 + 2a2 + ... + 1995a1995 ) > (a1 + ... + a1995 )2
2
www.vnmath.com
9

10. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 4
Cho tứ giác lồi ABCD.
a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài nhau thì ta luôn có
AB + CD ≤ AD + BC
b) Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng
tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi.
Bài 5
a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn
có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho :
135o ≤ ∠AOB ≤ 180o
b) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh ( n ≥ 5) .
Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao
⎛ 1⎞
cho: ⎜1 − ⎟180o ≤ ∠AOB ≤ 180o .
⎝ n⎠
www.vnmath.com
10

11. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 1996 – 1997
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho số nguyên k.
a) Chứng minh k 2 + 5k + 5 chia hết cho 11 khi và chỉ khi k = 11t + 4 với t
là số nguyên
b) Chứng minh k 2 + 3k + 5 không chia hết cho 121.
Bài 2
Giải phương trình ( x − 2) 4 + ( x − 3) 4 = 1 .
Bài 3
Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi C là đường tròn
ngoại tiếp tam giác IBC.
a) Chứng minh rằng tâm của C nằm trên đường thẳng AI.
b) Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A ⇔ C tiếp xúc với các
đường thẳng AB, AC.
Bài 4
Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N
số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau.
Bài 5
Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, ở một bảng có kết quả như sau : A
nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là
thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm
thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm
thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau,
đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả
bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau.
www.vnmath.com
11

12. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Ngày thứ hai
Bài 1
Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình x 2 + px + 1 = 0 ; c,d là hai nghiệm
của phương trình y 2 + qy + 1 = 0 . Chứng minh hệ thức :
(a − c)(a − d )(b − c)(b − d ) = ( p − q ) 2
Bài 2
Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện :
⎧x + y + z = 5
⎨ 2
⎩x + y + z = 9
2 2
7
Chứng minh : 1 ≤ x, y, z ≤
3
Bài 3
a) Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện
tích tứ giác ABCD.
b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối
với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi.
Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM
tại N. Tìm quĩ tích điểm N.
Bài 4
Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho n − 1 + n + 1 là số hữu
tỉ
Bài 5
a) Chứng minh với N ≥ 3 , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nm ≥ 3 bao giờ cũng xây dựng
được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của
mỗi cột là một số chính phương.
www.vnmath.com
12

13. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 1997 – 1998
Ngày thứ nhất
Bài 1
Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì
1 1 1
+ + =1
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx
Bài 2
Cho phương trình (m + 2) x 2 − (2m − 1) x − 3 + m = 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm
phân biệt x1,x2. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp
hai lần nghiệm kia.
Bài 3
Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km. Thị
trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d
(km/h) không đổi. Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x (km/h)
không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y (km/h) không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu
Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về
hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A
1
một khoảng cách là D . Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B;
3
tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp
5
nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là D . Hãy tìm vận
27
tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng
vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa.
Bài 4
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kỳ
nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường
www.vnmath.com
13

14. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
tròn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường
thẳng BD và CD.
Bài 5
Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên
dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : A = 12345...585960 .
a) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A1 tạo bởi các
chữ số còn lại là nhỏ nhất;
b) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A2 tạo bởi các
chữ số còn lại là lớn nhất.
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Tìm tất cả các số dương x, y thỏa :
⎧1 4
⎪ + ≤3
⎨x y
⎪x + y = 3
⎩
b) Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa :
⎧1 4 9
⎪ + + =3
⎨x y z
⎪ x + y + z ≤ 12
⎩
Bài 2
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 5.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 25.
Bài 3
Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đó
mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước. Biết
rằng :
i) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã
đi được cả hai nước Pháp và Ý. Còn số người đã đi được cả hai
nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước
Anh và Pháp.
www.vnmath.com
14

15. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi
Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người
đã đi Pháp.
a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước.
b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp.
Bài 4
a) Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD ,
ta có :
AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD
b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta có:
AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB.CD
Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.
Bài 5
Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0
hoặc 1) thỏa :
(*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng
nhau.
a) Chứng minh n ≤ 36
b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì
tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2,
a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau.
www.vnmath.com
15

16. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 1998 – 1999
Ngày thứ nhất
Bài 1
a) Giải phương trình 5 − x = 2x − 7 .
⎧2 x + 3 y − 1 = 5
b) Giải hệ phương trình ⎨
⎩3 x + 2 y = 7
Bài 2
a) Chứng minh hằng đẳng thức :
(m 2 + m − 1) 2 + 4m 2 + 4m = (m 2 + m + 1) 2 .
b) Cho phương trình mx 2 − (m 2 + m − 1) x + m + 1 = 0 (1). Tìm điều kiện
của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1.
Bài 3
a) Giải và biện luận theo m bất phương trình
( x + 2)( x − 3m) > ( x − 3)( x + m − 1)
⎛ a 3 − b3 ⎞ a −2 − b −2
b) Cho A = ⎜ − ab ⎟ : −1 −1 .
⎜ a− b ⎟ a −b
⎝ ⎠
Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A.
Bài 4
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường
thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại
Q. BP cắt CQ tại I.
a) Cho CM = 1, hãy tính BI, CI.
b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I.
Bài 5
Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.
Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0
điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.
www.vnmath.com
16

17. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội
xếp thứ 3 được 5 điểm. Các đội còn lại có số điểm khác nhau. Hãy cho biết số
đội đã tham dự giải và số điểm của các đội còn lại (có giải thích rõ).
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2n-1 chia hết cho 7.
b) Cho số nguyên tố p ≥ 5. Đặt A = 3p – 2p – 1. Chứng minh A chia hết
cho 42p.
Bài 2
Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S
dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai :
P = “a = 2b + 5”
Q = “(a + 1) chia hết cho b”
R = “(a + b) chia hết cho 3”
S = “(a + 7b) là số nguyên tố”
a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích).
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn
lại.
Bài 3
a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng,
trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách
2
giữa chúng không lớn hơn .
2
b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng
trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có
1
diện tích không lớn hơn .
32
Bài 4
Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
1
x + y + z = p + q + r = 1 và pqr ≤ .
2
www.vnmath.com
17

18. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
a) Chứng minh rằng nếu :
x+ y
x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥
2
b) Chứng minh rằng : px + qy + rz ≥ 8xyz
Bài 5
a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, 8 thành 1 dãy
a1, a2,…, a8 sao cho với 2 số ai, aj bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy
a + aj
nằm giữa ai và aj đều khác i .
2
b) Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên 1,2,..., N luôn
tìm được cách sắp thành dãy a1, a2,…, aN sao cho dãy thỏa mãn điều
kiện như câu a).
www.vnmath.com
18

19. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 1999 – 2000
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho f ( x) = x 2 − 2(m + 2) x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để
phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 2
a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện
x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1 (1)
Chứng minh rằng x 2 + y 2 = 1 (2)
b) Từ đẳng thức (2) có suy ra đẳng thức (1) được hay không ? Giải thích
rõ câu trả lời.
Bài 3
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
x + y + z = 3, + + = .
x y z 3
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3.
b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình :
⎧x + y + z = 3
⎪
⎪1 1 1 1
⎨ + + =
⎪x y z 3
⎪ y + 2z2 = 1
⎩
Bài 4
Cho hai đường tròn (C1 ),(C2 ) có bán kính lần lượt là 1 và 4 tiếp xúc ngoài
với nhau. Một tiếp tuyến chung ngoài của (C1 ),(C2 ) tiếp xúc với (C1 ),(C2 ) lần
lượt tại A, B. Tìm bán kính của đường tròn (C) tiếp xúc đồng thời (C1 ),(C2 ) và
AB.
www.vnmath.com
19

20. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3). Chứng minh rằng dù
lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng
tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau.
b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt. Điều khẳng
định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời.
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
ax2 + bx + c = 0.
Viết phương trình bậc hai nhận x13 , x2 làm hai nghiệm.
3
b) Giải bất phương trình :
( x 2 + 4 x + 10) 2 − 7( x 2 + 4 x + 11) + 7 < 0
Bài 2
a) Khai triển biểu thức n 4 + (n + 1) 4 thành dạng 2k + 1 và phân tích k
thành các thừa số.
b) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên
tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai
số nguyên dương liên tiếp.
Bài 3
Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác.
a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB.
Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của S12 + S2 + S32 .
2
b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và
AB. Đường thẳng đi qua P1 và song song BC cắt AB và AC tại B1 B
và C1. Đường thẳng đi qua P2 và song song CA cắt BC và BA tại
C2 và A2. Đường thẳng đi qua P3 và song song AB cắt CA và BC
tại A3 và B3. Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình
B
thang BCC1B1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá
B
trị đó.
www.vnmath.com
20

21. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 4
Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước n x n ô bằng các viên gạch
dạng như hình vẽ bên dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát.
a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích
thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại một góc
nhà.
b) Hãy chứng minh rằng,. luôn luôn tồn tại cách lát
nền nhà có kích thước 2k x 2k (k nguyên dương) với
ô trống còn lại nằm ở vị trí (i, j) bất kỳ.
Bài 5
a) Chứng minh đẳng thức
x + y + | x − y |= 2max{x, y}∀x, y ∈
b) Chứng minh đẳng thức
a +b a−b 2 a+b a−b 2 ⎧1 1 1⎫
+ − + + + = 4max ⎨ , , ⎬ ∀a, b, c ≠ 0
ab ab c ab ab c ⎩a b c ⎭
trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm.
www.vnmath.com
21

22. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 2000 – 2001
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0
a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1.
b) Hãy tính giá trị của biểu thức : A =| 2 x1 − x2 | + | 2 x2 − x1 | .
Bài 2
⎧x − 2 y = 6
a) Giải hệ phương trình : ⎨
⎩ xy = 8
⎧x + y = z2
⎪
b) Giải hệ phương trình : ⎨ x = 2( y + z )
⎪ xy = 2( z + 1)
⎩
Bài 3
1
a) Giải phương trình x + x +1 = .
x
b) Gọi α , β là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt
α 5
là m và n. Tìm m và n nếu = .
β 7
Bài 4
Cho tam giác ABC có đường cao BD. Giả sử (C) là một đường tròn có tâm
O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N.
a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng ∠ADM = ∠CDN .
Bài 5
Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Trong
mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có
điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.
www.vnmath.com
22

23. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được
những điểm số nào.
b) Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số
điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được.
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Cho số nguyên không âm A. Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề
P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai :
P : “A + 51 là số chíng phương”
Q : “Chữ số tận cùng của A là 1”
R : “A – 38 là số chính phương”
b) Có thể xếp hay không các số 0, 1, 2,…, 9 lên các đỉnh của một đa giác
đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá
trị −3, −4, −5,3,4 hoặc 5.
Bài 2
Giải các hệ phương trình :
⎧( x + y + z )3 = 12t
⎧ xy = x + 3 y ⎪
⎪( y + z + t ) = 12 x
3
⎪
a) ⎨ yz = 2( y + z ) b) ⎨
⎪ ( z + t + x ) = 12 y
3
⎪ zx = 3(3 z + 2 x)
⎩ ⎪(t + x + y )3 = 12 z
⎩
Bài 3
a) Cho bốn số nguyên dương a1, a2, a3, a4 sao cho 1 ≤ ak ≤ k với mọi
k = 1,2,3,4 và tổng S = a1 + a2 + a3 + a4 là một số chẵn. Chứng minh
rằng có ít nhất một trong các số dạng ± a1, ± a2, ± a3, ± a4 có giá trị
bằng 0.
b) Cho 1000 số nguyên dương a1, a2,…, a1000 sao cho 1 ≤ ak ≤ k với mọi
k = 1,2,...,1000 và tổng S = a1 + a2 +…+ a1000 là một số chẵn. Hỏi
trong các số dạng ± a1, ± a2, …, ± a1000 có số nào bằng 0 hay không ?
Giải thích vì sao.
www.vnmath.com
23

24. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 4
a) Cho góc vuông xAy và đường tròn C tâm O tiếp xúc với Ax và Ay lần
lượt tại P và Q. d là một tiếp tuyến thay đổi của C. Gọi a, p, q lần lượt
là các khoảng cách từ A, P, Q đến đường thẳng d. Chứng minh rằng
a2
khi d thay đổi thì tỷ số không đổi.
pq
b) Khẳng định trên còn đúng không nếu xAy không phải là góc vuông ? Vì
sao ?
Bài 5
a) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện :
a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2(ab + bc + ca ) (1)
Chứng minh bất đẳng thức
a + b + c ≤ 2( ab + bc + ca ) (2)
Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ?
b) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực
thỏa điều kiện p + q + r = 0. Chứng minh apq + bqr + crp ≤ 0.
www.vnmath.com
24

25. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 2001 – 2002
Ngày thứ nhất
Bài 1
a) Giải bất phương trình x + 1 > 2 x − 1.
b) Giải hệ phương trình
⎧ 1 7
⎪ x+ =
⎪ y 2
⎨
⎪y + 1 = 7
⎪
⎩ x 3
Bài 2
Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình
x + ax + 1 = 0 và x 2 + bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương trình
2
x 2 + x + a = 0 và x 2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b +
c.
Bài 3
a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm
AB
M, N sao cho AM = CN = . Gọi K là giao điểm của AN và DM.
3
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC.
b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên
d. Chứng minh rằng ( AC ) ⊥ ( SBD) và ( SAC ) ⊥ ( SBD) .
Bài 4
Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và
AB = 2, BC = 13, CD = 8, DA = 5 .
a) Đường (BA) cắt đường (DC) tại E. Hãy tính AE.
b) Tính diện tích của tứ giác ABCD.
www.vnmath.com
25

26. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
Trong một giải cờ vua có 8 kỳ thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt,
1
thắng được 1 điểm, hòa được điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất
2
cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kỳ thủ nhận được các số điểm khác nhau và kỳ
thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng. Hỏi ván
đấu giữa kỳ thủ xếp thứ tư và kỳ thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết quả như
thế nào ?
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a là
số chính phương.
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1) không là bội của 9, b
là bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương.
Bài 2
1 1
Cho x, y là các số thực sao cho x + và y + đều là các số nguyên.
y x
1
a) Chứng minh x 2 y 2 + là số nguyên.
x y2
2
1
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho x n y n + là số
xn yn
nguyên.
Bài 3
a) Cho a, b là các số dương thỏa ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
4
A = (a + b + 1)(a 2 + b 2 ) +
a+b
1 1 1
b) Cho m, n là các số nguyên thỏa + = . Tìm giá trị lớn nhất của B
2m n 3
= mn.
www.vnmath.com
26

27. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 4
Cho hai đường tròn C1 (O1 , R1 ) và C2 (O2 , R2 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại
điểm A. Hai điểm B, C lần lượt di động trên C1, C2 sao cho ∠BAC = 90 .
a) Chứng minh trung điểm M của BC luôn thuộc một đường tròn cố
định.
b) Hạ AH vuông góc với BC, tìm tập hợp điểm H. Chứng minh rằng
2R1R2
độ dài đoạn AH không lớn hơn .
R1 + R2
c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu
b) trong trường hợp C1, C2 tiếp xúc trong với nhau tại điểm A.
Bài 5
Giải hệ phương trình
⎧
⎪ x +1 + x + 3 + x + 5 = y −1 + y − 3 + y − 5
⎨
⎪ x + y + x + y = 80
2 2
⎩
www.vnmath.com
27

28. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 2002 – 2003
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho phương trình x + 2 x − 1 − m2 + 6m − 11 = 0 .
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
Bài 2
Cho hệ phương trình :
⎧ x + | y | + m( x 3 + 2 x 2 | y | +2 xy 2 + | y |3 ) = 1 − m
⎨
⎩ x | y |= −6
a) Giải hệ phương trình khi m = 0.
b) Giải hệ phương trình khi m = 1.
Bài 3
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật
ABCD. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính
bằng 8 + 2 3 và tồn tại điểm I thuộc đoạn MN sao cho ∠DAI = 45 và
∠IDA = 30 .
a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC. Tính
diện tích tam giác NKH.
Bài 4
Tam giác ABC có ∠ABC = 30 và ∠ACB = 15 . Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB,
OC.
a) Tính ∠PON . Chứng minh A, M, I thẳng hàng.
b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
Bài 5
www.vnmath.com
28

29. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho |2x + a| = |bx + 5| với mọi số
thực x.
b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện :
|ax + b| + |cx + d| = |ex + f|
với mọi số thực x. Biết a, c và e khác 0, chứng minh rằng ad = bc.
Ngày thứ hai
Bài 1
Cho phương trình x − x + 1 = m (1) trong đó m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt.
Bài 2
Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình x 2 + y 2 = z 2 .
a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12.
Bài 3
Cho đường tròn (C) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (C) (A
không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC của
đường tròn (C) tại điểm K (K ≠ A). Hạ AH vuông góc với BC.
a) Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x
sao cho S đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH 2 + HK 2 luôn luôn là
một đại lượng không đổi.
AH 3
Tính góc B của tam giác ABC biết rằng = .
HK 5
Bài 4
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện
1 1 1
a+ =b+ =c+
b c a
a) Cho a = 1, tìm b, c.
www.vnmath.com
29

30. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì a 2b 2b 2 = 1 .
c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c.
Bài 5
Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn
một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, đội
thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả
hòa thì mỗi đội cùng được 1 điểm. Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong
trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng
theo chỉ sồ phụ. Két thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào
kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12,
12 và tất cả các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đôi một khác nhau.
a) Chứng minh rằng N ≥ 7 .
b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.
www.vnmath.com
30

31. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 2003 – 2004
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho phương trình
mx 2 + 2mx + m 2 + 3m − 3 = 0 (1)
a) Định m để phương trình (1) vô nghiệm.
b) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa
| x1 − x2 |= 1 .
Bài 2
a) Giải phương trình
x( x − 2) + x( x − 5) = x( x + 3)
b) Giải hệ phương trình
⎧( x 2 + y 2 )( x 2 − y 2 ) = 144
⎪
⎨ 2
⎪ x +y − x −y =y
2 2 2
⎩
Bài 3
Cho tam giác ABC có ∠A = 45 . Gọi M và N lần lượt là chân đường cao
kẻ từ B và C của tam giác ABC.
MN
a) Tính tỉ số .
BC
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh
rằng OA ⊥ MN .
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB
là tam giác đều; mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm của AB và CD.
a) Tính diện tích tam giác SIJ theo a.
b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của ∆SIJ. Chứng minh rằng
SH ⊥ AC .
www.vnmath.com
31

32. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
Lớp 9A có 28 học sinh đăng ký dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hóa
của trường Phổ thông Năng khiếu. Trong đó: Không có học sinh nào chỉ chọn
thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hóa; có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào
cả ba lớp Toán, Lý và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số
học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán; có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và
Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hóa gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào
cả ba lớp Toán, Lý và Hóa. Hỏi số học sinh chọn thi vào từng lớp là bao nhiêu?
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Chứng minh rằng phương trình
(a 2 − b 2 ) x 2 + 2(a 3 − b3 ) x + a 4 − b 4 = 0
luôn có nghiệm với mọi a, b.
b) Giải hệ phương trình
⎧ x + y + xy = 5
⎨
⎩( x + 1) + ( y + 1) = 35
3 3
Bài 2
a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an = 22 n+1 − 2n+1 + 1 ,
bn = 22 n+1 + 2n+1 + 1 . Chứng minh rằng với mọi n, anbn chia hết cho 5
và an + bn không chia hết cho 5.
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích
của chúng bằng tổng của chúng.
Bài 3
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc AB,
A1K vuông góc AC. Đặt A1B = x, A1C = y.
a) Gọi r và r’ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tam
r'
giác AHK tương ứng. Hãy tính tỷ số theo x, y, suy ra giá trị lớn
r
nhất của tỷ số đó.
www.vnmath.com
32

33. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
b) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong đường tròn. Tính
bán kính của đường tròn đó theo x, y.
Bài 4
a) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường
tròn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C)
tại M, N. Chứng mih rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi
qua một điểm cố định khác O.
b) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường
tròn. I là một điểm di động trên (D). Đường tròn đường kính IO cắt (C)
tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 5
a) Cho một bảng vuông 4 x 4. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu
người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi
phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng
hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số
0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta
không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0.
b) Ở vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp
sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau
gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp
sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể
xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở “Sắc
màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không ?
www.vnmath.com
33

34. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 2004 – 2005
Ngày thứ nhất
Bài 1
a) Giải phương trình x − 4 x − 3 = 2 .
b) Định m để phương trình x 2 − (m + 1) x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 sao cho x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có cạnh huyền bằng 5.
Bài 2
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
a 2 + b 2 + c 2 = (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2
a) Tính a + b+ c biết rằng ab + bc + ca = 9.
b) Chứng minh rằng nếu c ≥ a, c ≥ b thì c ≥ a + b.
Bài 3
Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô XA xuất phát từ thành phố A về hướng
thành phố B và một chiếc xe khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành
phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại
một điểm cách A 20km. Cả hai chiếc xe, sau khi đến B và A tương ứng, lập tức
quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB
đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ, hãy tính
vận tốc của từng chiếc ô-tô.
Bài 4
Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp (C)
của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường tròn (C) tại K (K ≠ A) và J là điểm
đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của I và O qua
BC.
a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông tại B.
b) Tính góc BAC nếu Q thuộc (C).
c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C).
www.vnmath.com
34

35. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn
chọn được 3 số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Ngày thứ hai
Bài 1
⎧x + y + 5 = 1
⎪
a) Giải hệ phương trình ⎨
⎪y + x + 5 =1
⎩
b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện | x |< 1,| y |< 1. Chứng minh
x+ y
rằng | x | + | y |≥ .
1 + xy
c) Tìm tất cả các số nguyên m ≥ 0 sao cho phương trình
x 2 − (m − 1) 2 x + m = 0
có các nghiệm đều nguyên.
Bài 2
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức x 3n+1 + x 2 n + 1 chia
hết cho đa thức x 2 + x + 1.
b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91.
Bài 3
Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1,
PC1 vuông góc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho
tam giác A1B1C1 là tam giác cân.
B
Bài 4
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (C) và M là một điểm
thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB.
a) Chứng minh rằng trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường
tròn cố định.
www.vnmath.com
35

36. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực
tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của
HK.
Bài 5
a) Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt (2
đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội
hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải,
người ta nhận thấy rằng số trận thắng – thua gấp đôi số trận hòa và
tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương A có hai chữ số sao cho số A chỉ thỏa
mãn đúng hai trong 4 tính chất dưới đây :
i) A là bội số của 5 ii) A là bội số của 21
iii) A + 7 là số chính phương iv) A – 20 là số chính phương.
www.vnmath.com
36

37. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 2005 – 2006
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho phương trình x ( x + 1)[mx 2 + 2(m + 2) x + m + 3] = 0 .
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình trên không thể có ba nghiệm phân
biệt.
Bài 2
⎧x − y = 5
⎪
a) Giải hệ phương trình ⎨
⎪ 2x + 1 − y + 2 = 2
⎩
⎧ xy = z
⎪
b) Giải hệ phương trình ⎨ yz = 4 x
⎪ zx = 9 y
⎩
Bài 3
a) Giải phương trình x + 6 + x − 3 − x + 1 − x − 2 = 0 .
b) Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng :
ab + 2bc + 3ca ≤ 0 .
Bài 4
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là chân đuờng cao
kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại I (I ≠ A).
Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC.
a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Gọi N là giao điểm của BH và AC; P là điểm thuộc cạnh AB sao
cho ∠PMB = ∠NMC . Chứng minh rằng các điểm C, H, P thẳng
hàng.
c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh tam giác ABC đều.
www.vnmath.com
37

38. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
Trong một kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của trường, nếu sắp xếp mỗi
phòng thi 22 học sinh thì còn thừa một em, còn nếu giảm một phòng thi thì số
học sinh được chia đều cho mỗi phòng. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kỳ
thi, biết rằng mỗi phòng thi không thể chứa quá 40 học sinh.
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Cho a, b > 0, c ≠ 0. Chứng minh rằng
1 1 1
+ + = 0 ⇔ a + b = a + c + b + c.
a b c
b) Giải hệ phương trình
⎧1 1
⎪ x2 + y 2 = 1
⎨
⎪ 2
⎩ x − 1 + y − 1 = xy + 2
2
Bài 2
a) Cho p ≥ 5 là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng
minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 2 p 2 + 1 không phải là số nguyên tố.
b) Tính tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập
phân của chúng không chứa chữ số 4 và chữ số 5.
c) Cho tam thức bậc hai P( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) thỏa mãn điều kiện
P( x 2 − 2) = P( x 2 ) − 2 . Chứng minh rằng P(− x) = P ( x) với mọi x.
Bài 3
Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1, O2 lần
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD tương ứng.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luôn đi
qua một điểm cố định khác A.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm
đường ngoại tiếp tam giác AO1O2. Hãy xác định vị trí điểm D trên
BC sao cho IO nhỏ nhất.
www.vnmath.com
38

39. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 4
a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kỳ nằm
trong hình vuông. Chứng minh rằng MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 ≥ 2 .
b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kỳ thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh rằng
ta luôn có bất đẳng thức : x(1 − y ) + y (1 − z ) + z (1 − t ) + t (1 − x) ≤ 2 .
Bài 5
Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1; 9 chữ số 2;…; 9 chữ số 9. Hỏi có
thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành 1 dãy, sao cho với mọi
k = 1,2,...9 , trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp ở trên dãy có đúng k
chữ số ?
www.vnmath.com
39

40. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Năm học 2006 – 2007
Ngày thứ nhất
Bài 1
Cho phương trình 3x 2 − 10 | x | +4m − 7 = 0 (1).
a) Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3 và tìm các
nghiệm còn lại của phương trình (1).
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 2
a) Giải phương trình x + 4 − 2x − 6 = 1.
⎧ x2 + 2 y2 = 6
⎪
b) Giải hệ phương trình ⎨
⎪2 xy − y = 3
2
⎩
Bài 3
a) Cho a, b, c thỏa abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0.
(a + b)(b + c)(c + a )
Tính P = .
abc
c) Cho a, b, c thỏa (a + b)(b + c)(c + a ) ≠ 0 và
a2 b2 c2 a2 b2 c2
+ + = + +
a+b b+c c+a b+c c+a a+b
Chứng minh rằng a = b = c.
Bài 4
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có AC ⊥ BD và AC cắt BD
tại I.
a) Chứng minh tam giác ABC cân.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài
đoạn MN.
c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn PN.
www.vnmath.com
40

41. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
Bài 5
Để tặng thưởng cho các bạn học sinh đạt thành tích cao trong kỳ thi
Olympic Toán dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho
các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng, bao gồm: mỗi học sinh đạt
giải nhất được thưởng 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được thưởng
130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100.000 đồng; mỗi học
sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 50.000 đồng. Biết rằng có 10 giải ba và
ít nhất một giải nhì được trao, hỏi ban tổ chức đã trao bao nhiêu giải nhất, nhì
và khuyến khích ?
Ngày thứ hai
Bài 1
⎧ 2
⎪2 x + xy = 1
a) Giải hệ phương trình ⎨ 2 .
⎪2 y + xy = 1
⎩
b) Giải bất phương trình 3 x − 5 x 2 ≤ 5 x − 2 .
c) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y = 2 . Chứng minh rằng
xy ( x 2 + y 2 ) ≤ 2 .
Bài 2
Cho phương trình (m + 3) x 2 − 2(m 2 + 3m) x + m3 + 12 = 0 (1), trong đó m là
tham số.
a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt.
b) Ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất
sao cho x12 + x2 là một số nguyên.
2
Bài 3
Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần
lượt là khỏang cách từ P đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng.
a) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC.
www.vnmath.com
41

42. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
b) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z . Từ
đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập
thành 3 cạnh của một tam giác.
Bài 4
Cho đường tròn (C) tâm O, AB là một dây cung của (C) không đi qua O và
I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1)
tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và
đường tròn ngọai tiếp tam giác BPQ đi qua một điểm cố định khác B.
Bài 5
a) Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt (trong một
trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm và đội hòa được 1
điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm
lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải
có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao ?
b) Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng
nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho
đều dương.
Copyright © www.diendantoanhoc.net
Ngày 5 tháng 6 năm 2006
www.vnmath.com
42