More Related Content
Similar to Sáng kiến kinh ngiệm 2009
Similar to Sáng kiến kinh ngiệm 2009 (20)
More from Thế Giới Tinh Hoa
More from Thế Giới Tinh Hoa (20)
Sáng kiến kinh ngiệm 2009
- 1. PhÇn 2 Néi dung
I. Sai lÇm phæ biÕn cña häc sinh khi gi¶i to¸n t×m giíi h¹n.
1. C¸c vÝ dô ®iÓn h×nh
Trªn c¬ së kh¶o s¸t thùc tÕ ®èi víi häc sinh hai líp 12A2, 12A4 tr-
êng THPT Minh Khai – Quèc Oai – TP Hµ Néi vµo ®Çu n¨m häc 2008 –
2009. T«i ®· tæng hîp ®îc nh÷ng sai lÇm cã tÝnh phæ biÕn cña häc
sinh khi gi¶i to¸n t×m giíi h¹n th«ng qua c¸c vÝ dô sau:
1 + 2 + 3 + ...... + n
VÝ dô 1: T×m L = lim
n2
1 2 3 1
? Ta cã: L = lim 2
+ lim 2 + lim 2 + .... + lim = 0 + 0 + 0 + ... + 0 = 0.
n n n n
! Nhí r»ng ®Þnh lÝ vÒ c¸c phÐp to¸n giíi h¹n chØ ph¸t biÓu cho h÷u h¹n
sè h¹ng. Lêi gi¶i trªn ®· ¸p dông cho tæng v« h¹n c¸c sè h¹ng nªn dÉn
®Õn sai lÇm.
n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ...... + n n(n + 1)
Lêi gi¶i ®óng lµ: Ta cã: 1 + 2 + 3 + ....n = ⇒ =
2 n2 2n 2
n(n + 1) 1 1 1
VËy L = lim 2
= lim + ÷ = .
2n 2 2n 2
Chó ý GV cã thÓ ®a ra nghÞch lÝ ®Ó chØ ra r»ng c¸c phÐp to¸n
vµ quy t¾c ®¹i sè kh«ng ®ñ cho viÖc nghiªn cøu c¸c quy tr×nh v« h¹n:
NghÞch lÝ “1 = 0”.
XÐt S = 1 – 1 + 1 – 1 + ……..+ 1 – 1 + ….. .
Ta cã: S = (1 - 1) + (1 - 1) + ……..+(1 - 1)+ …. = 0 + 0 + ....+ 0 + …= 0
(1)
MÆt kh¸c
1
- 2. S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …+(-1 + 1) + … = 1 + 0 + 0+ …+ 0 +… = 1
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1 = 0 (!)
Ghi chó: KÝ hiÖu ? : Lêi gi¶i cã sai lÇm. ! : Ph©n tÝch vµ chØ
ra sai lÇm.
sin n
VÝ dô 2: T×m lim
n
sin n
? Ta cã d·y sè (un) víi un = lµ d·y kh«ng t¨ng kh«ng gi¶m do d·y sè un =
n
sin n
sinn kh«ng t¨ng kh«ng gi¶m. Nªn giíi h¹n lim kh«ng tån t¹i
n
! HS thêng m¾c sai lÇm lµ d·y sè kh«ng ®¬n ®iÖu th× kh«ng cã giíi h¹n.
Tuy nhiªn trong VÝ dô 1 cñng cè ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0 ®· cã
d·y sè ®an dÊu cã giíi h¹n. ë VÝ dô nµy GV cÇn híng dÉn HS nh sau:
sin n 1 1
Ta cã: un = ≤ v× - 1 ≤ sinn ≤ 1 vµ lim = 0
n n n
sin n
Suy ra lim un = 0 ⇒ lim n = 0
Ta ®· sö dông nguyªn lÝ “kÑp”, tuy nhiªn kh«ng cÇn ph¸t biÓu häc sinh
1
vÉn hiÓu ®îc. Khi gÆp giíi h¹n lim x sin HS sÏ kh«ng m¾c sai lÇm.
x→0 x
VÝ dô 3: T×m lim( 1 − x + x − 1)
x →1
? Ta cã: lim( 1 − x + x − 1) = lim 1 − x + lim x − 1 = 0 + 0 = 0
x →1 x →1 x →1
! HS m¾c sai lÇm lµ do cha hiÓu râ ®Þnh nghÜa giíi h¹n cña hµm sè t¹i
mét ®iÓm. Sai lÇm ë chç hµm sè f(x) cã tËp x¸c ®Þnh lµ D = {1} suy ra
kh«ng cã d·y (xn ) nµo thuéc D {1}. Nªn giíi h¹n trªn kh«ng tån t¹i. Nguyªn
2
- 3. nh©n sai lÇm nµy cã thÓ lµ do c¶ hai phÝa GV vµ HS ®Òu kh«ng chó
träng ®Õn lÝ thuyÕt: GV cha chó ý träng t©m – HS thêng kh«ng häc kÜ
®Þnh nghÜa tríc khi lµm bµi tËp:
2 x 2 + 3x − 2
VÝ dô 4: T×m lim
x →−2 − x 2 − x + 2
3 2
2− − 2
2 x 2 + 3x − 2 x x = −2
? Ta cã: xlim2 2 = lim
→− − x − x + 2 x →−2 1 2
−1 + + 2
x x
! Lêi gi¶i trªn m¾c sai lÇm ë chè nhÇm lÉn x → + ∞ vµ x → -2. PhÇn
nhiÒu HS ®Æc biÖt lµ HS cã häc lùc yÕu vµ trung b×nh m¾c thãi quen
kh«ng xem xÐt kÜ bµi tríc khi lµm, khi thÊy d¹ng “h¬i gièng” lµ ®· véi ¸p
dông
Lêi gi¶i ®óng lµ:
2 x 2 + 3x − 2 ( x + 2)(2 x − 1) 2 x − 1
Ta cã: = = víi x ≠ -2
− x 2 − x + 2 −( x + 2)( x − 1) − x + 1
2 x 2 − 3x − 2 2x −1 5
Nªn lim = = xlim2
→− − x + 1
=− .
x →−2 − x + x + 2
2
3
VÝ dô 5: T×m xlim ( − x + 3 x − 2)
3 2
→+∞
Ta cã: lim ( − x 3 + 3 x 2 − 2) =
? x →+∞
3 2 3 2
lim x 3 (−1 + 2
− 3 ) = lim x 3 . lim (−1 + 2 − 3 ) = −∞
x →+∞ x x x →+∞ x →+∞ x x
Tuy ¸p dông ®óng quy t¾c vµ cho ra kÕt qu¶ ®óng nhng xlim x = +∞
3
!
→+∞
3 2
nªn kh«ng cã phÐp to¸n xlim x . xlim ( −1 + − ) . HS ®· ¸p dông sai ®Þnh
3
→+∞ →+∞ x 2 x3
lÝ !
Lêi gi¶i ®óng lµ:
3
- 4. 3 2
Do xlim x = +∞ vµ xlim (−1 + 2 − 3 ) = −1 . Nªn xlim (− x + 3x − 2) =- ∞ .
3 3 2
→+∞ →+∞
→+∞ x x
2 x − x2 + 1
VÝ dô 6: T×m L= lim
x →−∞ x +1
1
2 − 1+
2x − x + 1 2
x2 = 1
? Ta cã: lim = lim
x →−∞ x +1 x →−∞ 1
1+
x
2x − x2 + 1
! Lêi gi¶i trªn ®· chia c¶ tö vµ mÉu cña ph©n thøc cho x ®Ó
x +1
∞ x2 + 1 1
khö d¹ng v« ®Þnh , nhng sai lÇm khi viÕt = 1 + 2 , chØ viÕt
∞ x x
®îc khi x > 0 hay khi xÐt giíi h¹n x → + ∞
Lêi gi¶i ®óng lµ: Do x < 0 th× x = − x . Nªn:
1
1 1 2 + 1+ 2
2 x − x 2 1 + 2 ÷ 2 x − x 1 + 2 ÷ x =3
2 x − x2 + 1 x x = xlim 1
.
lim = lim = lim →−∞
1+
x →−∞ x +1 x →−∞ x +1 x →−∞ x +1 x
VÝ dô 7: T×m xlim x − x + 1
→−∞
2
( )
?
→−∞
(
Ta cã: xlim x − x 2 + 1 = xlim
→−∞
) ( x − x 2 + 1)( x + x 2 + 1)
x + x2 + 1
= lim
x →−∞
−1
x + x2 + 1
=0.
! Lêi gi¶i trªn còng m¾c sai lÇm nh VÝ dô 6 ë trªn
Lêi gi¶i ®óng lµ:
(
x →−∞
)
x →−∞
1
x ÷ x →−∞
1
lim x − x 2 + 1 = lim x − x 1 + 2 ÷ = lim x 1 + 1 + 2 ÷ = −∞
x ÷
1
( Do xlim x = −∞; xlim 1 + 1 + 2 ÷ = 2 )
→−∞
→−∞
x ÷
−2 x + 1
VÝ dô 8: T×m lim −
x →1 x −1
4
- 5. −2 x + 1 3 3
? lim
Ta cã: x→1 = =−
−
x −1 −2 2
!
HS nhÇm lÉn gi÷a 1- vµ - 1
Lêi gi¶i ®óng lµ:
Ta cã: lim(−2 x + 1) = −2.1 + 1 = −1 ; lim( x − 1) = 0 vµ x- 1 > 0 ⇔ x > 1
x →1 −
x →1 −
−2 x + 1
Nªn lim =- ∞ (tö lu«n ©m, mÉu d¬ng).
x →1− x −1
x+2
VÝ dô 9: T×m lim +
x →−3 x + 4x + 3
2
Ta cã: xlim ( x + 2) = −1 ; xlim ( x + 4 x + 3) = 0 vµ
2
? + +
→−3 →−3
x+2
víi x > -3 ta chän x = 0 th× x2 +4x +3 > 0. Suy ra lim =- ∞
x →−3+ x2 + 4x + 3
!
Sai lÇm ë ®©y lµ xÐt sai dÊu cña mÉu x 2 + 4x + 3. Nguyªn nh©n HS
quen nhÈm dÊu (theo ph¬ng ph¸p kho¶ng) chØ ®Ó ý ®Õn nghiÖm x = -
3 mµ kh«ng chó ý ®Õn nghiÖm x = - 1. §Ó kh¾c phôc sai lÇm nµy GV
cÇn yªu cÇu HS nªn xÐt dÊu cÈn thËn.
Lêi gi¶i ®óng lµ:
Ta cã : xlim ( x + 2) = −1 < 0; xlim ( x + 4 x + 3) = 0 vµ
2
+ +
→−3 →−3
x2 + 4x +3 < 0 ⇔ -3 < x < - 1 suy ra x ∈ K =(-3 ;- 1) th× x2 +4x +3 < 0.
x+2
VËy lim+ = + ∞.
x →−3 x + 4x + 3
2
2. Tæng hîp nh÷ng sai lÇm vµ biÖn ph¸p kh¾c phôc
Nh ®· ph©n tÝch nh÷ng sai lÇm vµ nguyªn nh©n cña nh÷ng sai
lÇm cña häc sinh, tæng hîp l¹i ta nhËn ®îc nh÷ng sai lÇm cã tÝnh phæ
biÕn cña häc sinh lµ:
5
- 6. - VËn dông sai ®Þnh nghÜa, ¸p dông sai ®Þnh lÝ vµ quy t¾c
vÒ giíi h¹n
- KÜ n¨ng biÕn ®æi ®¹i sè cßn m¾c sai lÇm c¬ b¶n
Nh÷ng sai lÇm trªn cã nguyªn nh©n c¬ b¶n lµ HS cha hiÓu râ
®Þnh nghÜa, cha n¾m v÷ng c¸c ®Þnh lÝ, c¸c quy t¾c, mµ chØ ¸p dông
nã mét c¸ch m¸y mãc vµ thiÕu tÝnh cÈn thËn. Mét sè em tr×nh bµy lêi
gi¶i cha khoa häc vµ cßn m¾c lçi kÝ hiÖu.
Trªn c¬ së ph©n tÝch trªn, cã thÓ ®a ra mét sè biÖn ph¸p kh¾c
phôc nh:
- ChuÈn bÞ kÜ bµi gi¶ng, kiÓm tra kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng
cña häc sinh th«ng qua nh÷ng bµi tËp c¬ b¶n mµ dÔ m¾c sai lÇm.
- KÞp thêi uèn n¾n nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh gÆp ph¶i.
- Nghiªn cøu kÜ ph¬ng ph¸p d¹y häc c¸c t×nh huèng ®iÓn
h×nh: d¹y ®Þnh nghÜa, kh¸i niÖm, ®Þnh lÝ, quy t¾c vµ ¸p dông phï hîp
cho tõng néi dung, tõng ®èi tîng häc sinh.
6
- 7. II. gîi ý ph¬ng ph¸p d¹y häc mét sè t×nh huèng vÒ giíi h¹n
D¹y bµi 1 Giíi h¹n cña d·y sè
T×nh huèng 1: D¹y häc ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0
§a ra t×nh huèng thùc tÕ. Mét mòi tªn xuÊt ph¸t tõ B b¾n tíi ®Ých
A theo mét ®êng th¼ng. §Æt ®o¹n AB t¬ng øng víi 1 ®¬n vÞ, ta chia
®o¹n AB theo n phÇn th× khi mòi tªn tiÕn tíi A kho¶ng c¸ch tõ mòi tªn
A B
1 1 1
0 1
n 3 2
1 1 1 1
®Õn A cã thÓ cho t¬ng øng lµ: 1, ; ; ;..... ;..... .
2 3 4 n
1
Mòi tªn cµng gÇn A th× cµng nhá tøc lµ n cµng lín vµ ngîc l¹i
n
1
V× ≠ 0, víi mäi n ∈ N * . Nªn khi mòi tªn tíi A th× kho¶ng c¸ch tõ mòi tªn
n
1
®Õn A b»ng 0 tøc lµ ph¶i tiÕn tíi 0 khi ®ã n tiÕn tíi v« cùc (+ ∞ )
n
Xem H§ 1 (SGK - tr112). Yªu cÇu HS lµm theo H§ 1.
1
Ta cã d·y sè (un) = dÇn tíi 0 khi n dÇn tíi d¬ng v« cùc. Ta viÕt
n
1 1 1
lim = 0 . T¬ng tù víi d·y vn = - ta còng cã lim (− ) = 0
n →+∞ n n n →+∞ n
Ta cã ®Þnh nghÜa sau:
§Þnh nghÜa 1 (SGK): Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n lµ 0 khi n dÇn tíi d¬ng
v« cùc, nÕu un cã thÓ nhá h¬n mét sè d¬ng bÐ tuú ý, kÓ tõ sè h¹ng
nµo ®ã trë ®i.
7
- 8. KÝ hiÖu : nlim un = 0 hay un → 0 khi n → + ∞ . Ta viÕt lim un = 0.
→+∞
Nh vËy, (un) cã giíi h¹n lµ 0 khi n → +∞ nÕu un cã thÓ gÇn 0 bao nhiªu
còng ®îc, miÔn lµ n ®ñ lín.
Qua H§ 1 vµ VÝ dô 1, gi¸o viªn cÇn lu ý cho HS r»ng d·y (un) cã
thÓ lµ d·y kh«ng ®¬n ®iÖu vµ cã thÓ dÇn tíi 0 tõ bªn tr¸i, hay tõ bªn
ph¶i, hoÆc tõ c¶ hai phÝa.
T×nh huèng 2: D¹y häc c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n h÷u h¹n cña d·y sè:
C¸c giíi h¹n ®Æc biÖt vµ c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n ®îc thõa nhËn,
kh«ng chøng minh. Do ®ã, GV kh«ng nªn mÊt thêi gian cho HS chÐp l¹i
®Þnh lÝ mµ nªn dµnh thêi gian thÝch ®¸ng cho viÖc nhÊn m¹nh c¸c giíi
h¹n ®Æc biÖt, tr×nh bµy c¸c vÝ dô vµ c¸c bµi tËp ¸p dông.
GV nªn cho thªm vÝ dô sau tríc khi cho HS nghiªn cøu VÝ dô 3, VÝ
dô 4
VÝ dô: T×m c¸c giíi h¹n
n 2 − 2n + 3 2 3 2 3
a) lim 2 ÷ = lim 1 − + 2 ÷ = lim 1 – lim + lim 2 = 1 – 0 – 0 =
n n n n n
1
1 1 1 1
b) lim 2 + = 2 do 2 + 2 ÷ ≥ 0, ∀ n vµ lim 2 + 2 ÷ = lim 2 + lim 2 = 2.
n2 n n n
T×nh huèng 3: D¹y §Þnh lÝ 2 (quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc)
GV cÇn gióp HS vËn dông ®óng quy t¾c, v× cã häc sinh sÏ tr×nh
bµy v¾n t¾t nh sau:
3 2 1 2 1
lim ( −n + 2n − 1) =lim n −1 + 2 − ÷=lim n .lim − 1 + 2 − ÷ = +∞.(− 1) = −∞
3 3
n n n n
MÆc dï kÕt qu¶ ®óng song l¹i kh«ng ®óng ®Þnh lÝ 1 v× ®Þnh lÝ
1 chØ ¸p dông cho c¸c giíi h¹n h÷u h¹n. §Æc biÖt kh«ng cã phÐp to¸n víi
8
- 9. v« cùc. §©y lµ mét trong nh÷ng sai lÇm phæ biÕn cña häc sinh. GV cÇn
lu ý, theo SGK tríc cã viÕt nlim (−1) n = ∞ . Nhng víi SGK míi giíi h¹n nµy
n
→+∞
kh«ng tån t¹i.
9
- 10. D¹y bµi 2 Giíi h¹n cña hµm sè
GV nªn ®Æt vÊn ®Ò vµo bµi häc theo SGV lµ:
GV cã thÓ khai th¸c h×nh vÏ ngay díi bµi häc ®Ó ®Æt vÊn ®Ò vµo
bµi, b»ng c¸ch lµm râ môc tiªu tæng qu¸t mµ bµi häc nh»m tíi, ®ã lµ
nghiªn cøu mèi qua hÖ gi÷a sù biÕn thiªn cña ®èi sè vµ biÕn thiªn cña
c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña hµm sè. Cô thÓ, nghiªn cøu xem nÕu biÕn sè x
lÊy nh÷ng gi¸ trÞ lËp thµnh mét d·y sè dÇn tíi a (hay + ∞ , - ∞ ) th× d·y sè
t¬ng øng cña hµm sè y = f(x) thay ®æi ra sao.
T×nh huèng 4: §Þnh nghÜa Giíi h¹n h÷u h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
GV cÇn dµnh thêi gian cho HS lµm H§ 1 tríc khi ®Þnh nghÜa
GV cÇn cho HS ®äc kÜ, ph¸t biÓu chÝnh x¸c ®Þnh nghÜa, cÇn lu
ý häc sinh r»ng K cã thÓ cã c¸c d¹ng nh SGK ®· nªu vµ gi¶ thiÕt “ hµm
sè x¸c ®Þnh trªn kho¶ng K” kh«ng cã nghÜa K lµ tËp x¸c ®Þnh cña nã
mµ K cã thÓ chØ lµ mét tËp con cña tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. T¬ng tù,
nÕu nãi “ hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn K {x0}” th× ph¶i hiÓu r»ng nã cã
thÓ x¸c ®Þnh t¹i x0 hoÆc kh«ng x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm nµy. §Æc biÖt chó ý
K{x0} ≠ ∅ , ®Ó sau nµy HS khái m¾c sai lÇm cho giíi h¹n sau tån t¹i:
lim( x − 1 + 1 − x ) = 0 ? Giíi h¹n nµy kh«ng tån t¹i v× tËp x¸c ®Þnh cña hµm
x →1
sè lµ D = {1} nªn kh«ng cã d·y sè (xn) nµo v× khi ®ã K{1} = ∅ .
T×nh huèng 5: D¹y ®Þnh nghÜa giíi h¹n mét bªn
§Ó HS hiÓu râ h¬n vµ dÔ nhí §Þnh nghÜa 2. Khi ph©n tÝch
®Þnh nghÜa GV nªn biÓu diÔn kh¸i niÖm “bªn tr¸i, bªn ph¶i” khi x → x0
trªn trôc sè
x xo- x xo+
xo
Bªn tr¸i x o Bªn ph¶i x o
10
- 11. x2 − 2x − 2 x < 3
Thay VÝ dô 4 b»ng VÝ dô nµy: Cho hµm sè f ( x) =
−2 x + 10 x ≥ 3
T×m x→3 f ( x),
lim −
lim f ( x) vµ lim f ( x) (nÕu cã)
x → 3+ x→3
GV nªn chuÈn bÞ b¶ng phô sau:
XÐt hµm sè
x2 − 2 x − 2 x < 3
f ( x) =
−2 x + 10 x ≥ 3
Ta cã: x→3 f ( x) = x →3 ( x − 2 x − 2) = 1
lim −
lim 2 −
lim f ( x) = lim (−2 x + 10) = 4
x → 3+ +
x→3
V× x→3 f ( x) ≠ xlim f ( x)
lim −
→3 +
Nªn x→3 f ( x) kh«ng tån t¹i.
lim
T×nh huèng 6: D¹y giíi h¹n v« cùc + ∞ vµ - ∞ .
GV cÇn lu ý cho HS r»ng: §èi víi giíi h¹n lim f ( x) , ta xÐt nã khi
x →+∞
f(x) cã tËp x¸c ®Þnh chøa kho¶ng (a; + ∞ ). Khi ®ã viÖc t×m giíi h¹n nh
t×m giíi h¹n cña d·y sè. §èi víi giíi h¹n xlim f ( x) , ta xÐt nã khi f(x) cã tËp
→−∞
x¸c ®Þnh chøa kho¶ng (- ∞ ; a). ViÖc t×m giíi h¹n nµy kh¸c víi viÖc t×m
giíi h¹n cña d·y sè.
Khi d¹y néi dung nµy GV cÇn lu ý mét sè sai lÇm thêng gÆp sau
x+3
a) lim = 0 (kh«ng chó ý ®Õn tËp x¸c ®Þnh)
x →−∞ 2x + 1
2x − 3
b) xlim = 2 (kh«ng chó ý lµ khi x → - ∞ th× x < 0)
→−∞
x2 + x − 1
T×nh huèng 7: D¹y quy t¾c vÒ giíi h¹n v« cùc
GV cÇn lu ý, cã nhiÒu ®Þnh lÝ thÓ hiÖn mèi liªn hÖ gi÷a giíi h¹n
h÷u h¹n L vµ giíi h¹n ±∞ , hoÆc gi÷a c¸c giíi h¹n ±∞ . Tuy nhiªn SGK
11
- 12. kh«ng tr×nh bµy hÕt tÊt c¶ c¸c ®Þnh lÝ nµy, mµ chØ giíi thiÖu mét sè
quy t¾c cÇn thiÕt nhÊt cho viÖc d¹y häc gi¶i tÝch líp 12. Thùc chÊt ®ã
lµ c¸c ®Þnh lÝ, nhng ®Ó tr¸nh ph¸t biÓu rêm rµ, chóng ®îc tr×nh bµy díi
d¹ng c¸c quy t¾c. C¸c quy t¾c nµy còng chØ ®îc tr×nh bµy víi mét tr-
êng hîp ®¹i diÖn x → x0. Kh«ng nªn yªu cÇu HS chÐp l¹i c¸c b¶ng quy
t¾c nµy, mµ tËp trung vµo viÖc sö dông c¸c kÕt qu¶ trong b¶ng ®Ó
gi¶i quyÕt c¸c vÝ dô vµ gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan. §Æc biÖt chó ý
vÒ quy t¾c t×m giíi h¹n cña th¬ng hai hµm sè khi x → x0, gi¶ thiÕt chÝnh
x¸c ph¶i lµ g(x) > 0 (hay g(x)<0) víi mäi x thuéc l©n cËn nµo ®ã cña
®iÓm x0 . Cßn nãi “dÊu cña g(x) xÐt trªn mét kho¶ng K nµo ®ã ®ang
tÝnh giíi h¹n, víi x ≠ x0 ” lµ kh«ng chÝnh x¸c. Nhng v× lÝ do s ph¹m, SGK
kh«ng tr×nh bµy chÆt chÏ gi¶ thiÕt nµy. GV kh«ng nªn ®i s©u vµo
nh÷ng khÝa c¹nh phøc t¹p cña nã mµ chØ cÇn gi¶i thÝch th«ng qua vÝ
dô cô thÓ.
0 ∞
T×nh huèng 8: D¹y quy t¾c khö d¹ng v« ®Þnh ; ; ∞ − ∞;0.∞
0 ∞
GV cÇn cho HS luyÖn gi¶i nh÷ng bµi tËp ®¬n gi¶n ®Ó HS n¾m
®îc quy t¾c khö th«ng qua ®ã. Lu ý d¹ng 0. ∞ cã thÓ ®a vÒ mét trong
0 ∞
hai d¹ng ;
0 ∞
T×nh huèng 9: D¹y quy t¾c thªm bít khi t×m giíi h¹n
Th«ng qua hai vÝ dô sau häc sinh kh¸, giái cã thÓ cã ®îc quy t¾c
0
thªm bít ®èi víi giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh . Chó ý nÕu t¸ch ®îc ph¶i ®¶m
0
0
b¶o hai giíi h¹n ®ã còng cã d¹ng v« ®Þnh .
0
x +1− 3 x + 7
VÝ dô 1: T×m lim
x →1 x −1
x +1− 3 x + 7 x −1+ 2 − 3 x + 7 2− 3 x+7
lim = lim = lim 1 + ÷
x →1 x −1 x →1 x −1 x →1 x −1 ÷
12
- 13. 2− 3 x+7 8 − ( x + 7)
Do lim = lim
x →1 x −1 x →1 ( x − 1)(4 + 2 3 x + 7 + ( 3 x + 7) 2 )
1− x −1 −1
= lim = lim =
x →1 ( x − 1)(4 + 2 x + 7 + ( x + 7) )
3 3 2 x →1 (4 + 2 x + 7 + ( x + 7) )
3 3 2
12
x +1− 3 x + 7 1 11
Nªn lim =1 – = .
x →1 x−2 12 12
2 x + 1 − 3 1 + 3x
VÝ dô 2: T×m lim
x→0 x2
2 x + 1 − 3 1 + 3x
Ta cã lim
x→0 x2
2 x + 1 − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 1 + 3 x 2 x + 1 − ( x + 1) ( x + 1) − 3 1 + 3 x
= lim = lim + ÷
x→0 x2 x →0 x2 x2 ÷
B»ng c¸ch nh©n liªn hîp ta ®îc:
2 x + 1 − ( x + 1) −1 1
lim 2
= lim =−
x→0 x x→0 2 x + 1 + ( x + 1) 2
x + 1 − 3 1 + 3x x+3
lim = lim =1
( )
2 2
x→0 x x→0
( x + 1) 2 + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3
1 + 3x
2 x + 1 − 3 1 + 3x − 1 + 1 = 1
VËy lim = .
x→0 x2 2 2
Chó ý: Ngoµi viÖc thªm bít h»ng sè ta cã thÓ thªm bít ®èi sè x.
Tuy nhiªn khi thªm bít vµ biÕn ®æi ta ph¶i ®¶m b¶o ®óng quy t¾c vµ
®Þnh lÝ.
Th«ng qua ho¹t ®éng t×nh huèng nµy häc sinh ®îc rÌn luyÖn kÜ
n¨ng gi¶i to¸n, rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy: ph©n tÝch, tæng hîp, quy l¹
vÒ quen, gãp phÇn ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.
III. KÕt qu¶ ®èi chøng
1. Sè liÖu kh¶o s¸t
§èi tîng kh¶o s¸t lµ: 45 häc sinh líp 12A2, 40 häc sinh líp 12A4 ban
tù nhiªn trêng THPT Minh Khai vµo ®Çu k× 1 n¨m häc 2008 – 2009.
§Ò kiÓm tra 1 (thêi gian 45 phót):
Bµi 1 (3 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè sau:
13
- 14. 2n 2 + 3n − 2 1 + 2 + 3 + ...... + n
a) lim b) lim
−n2 − n + 2 n2
Bµi 2 (3 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
2 x2 + 3x − 2 2 x − x2 + 1
a) xlim2 2
→− − x − x + 2
b) lim
x →−∞ x +1
Bµi 3 (4 ®iÓm). T×m c¸c tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ mçi hµm sè sau:
−2 x + 1 x+2
a) y = b) y =
x −1 x + 4x + 3
2
KÕt qu¶ ®îc thèng kª b»ng b¶ng sau (B¶ng 1)
§iÓm
Líp SÜ sè
Díi 5 ®iÓm Tõ 5 ®Õn díi 7 Trªn 7 ®iÓm
Líp 12A2 45 16 21 8
Líp 12A4 40 15 20 5
Trung b×nh 42,5 15,5 ≈ 20,5 ≈ (48,2%) 6,5 ≈ (15,3%)
(36,5%)
14
- 15. 2. KÕt qu¶ thùc nghiÖm
§èi tîng líp 11A1 Ban c¬ b¶n. Thêi gian kiÓm tra sau khi thùc hiÖn
®Ò tµi
§Ò kiÓm tra 2 (Thêi gian 45 phót)
Bµi 1 (2 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè sau:
2n 2 + 3n − 2 1 + 3 + 5 + ...... + 2n − 1
a) lim b) lim
3n + 2
2
n2
Bµi 2 (6 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
2 x2 + 3x − 2
a) xlim2 2
→− − x − x + 2 →−∞
(
b) xlim x + x + 1
2
)
−2 x + 1 x+2
c) lim d) lim
x →1− x −1 x →−3+ x + 4x + 3
2
Bµi 3 (2 ®iÓm). XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau t¹i ®iÓm x0 = 1
4( x − 1)
x >1
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
x x ≤1
KÕt qu¶ ®îc thèng kª b»ng b¶ng sau (B¶ng 2)
§iÓm
Líp SÜ sè
Díi 5 ®iÓm Tõ 5 ®Õn díi 7 Trªn 7 ®iÓm
Líp 11A1 49 5 24 20
Tæng 49 5 ≈ (10,2%) 24 ≈ (49%) 20 ≈ (40,8%)
3. §èi chiÕu kÕt qu¶ thùc nghiÖm víi sè liÖu kh¶o s¸t
KÕt qu¶ ®¹t ®îc lµ:
VÒ ®iÓm sè kiÓm tra: Viíi hai ®Ò cã néi dung kiÕn thøc vµ yªu cÇu
vÒ kÜ n¨ng t¬ng ®¬ng, ®Ò 2 cßn cã phÇn khã h¬n. Ta thÊy râ lµ tØ lÖ
phÇn tr¨m ®¹t ®iÓm trªn trung b×nh cña líp thùc nghiÖm tréi h¬n h¼n,
®Æc biÖt lµ ®iÓm kh¸, giái.
NhËn xÐt chung: VÒ kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng gi¶i to¸n cña líp 11A1
tréi h¬n h¼n, nh÷ng sai lÇm phæ biÕn ®· ®îc kh¾c phôc, c¸ch tr×nh
bµy khoa häc, tÝnh to¸n chÝnh x¸c h¬n. §iÒu ®ã chøng tá, c¸c t×nh
15
- 16. huèng d¹y häc trong ®Ò tµi ®îc ¸p dông cã hiÖu qu¶ râ rÖt. H¬n n÷a
trong giê häc, häc sinh tá ra tù gi¸c, tÝch cùc h¬n chñ ®éng n¾m b¾t
néi dung kiÕn thøc, ¸p dông c¸c ®Þnh lÝ, c¸c quy t¾c linh ho¹t vµ s¸ng
t¹o h¬n.
16
- 17. PhÇn 3 kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ
I. KÕt luËn
1. Ph¸t hiÖn ®îc nh÷ng sai lÇm cã tÝnh phæ biÕn cña häc sinh khi
gi¶i to¸n t×m giíi h¹n th«ng qua nh÷ng bµi to¸n cô thÓ, qua ®ã ph©n tÝch kÜ
nguyªn nh©n sai lÇm vÒ mÆt lÝ luËn vµ kÜ n¨ng tÝnh to¸n ®Ó häc sinh
kh¾c phôc. Gi¸o viªn cã thÓ t×m trong ®ã nh÷ng ®iÒu cã Ých, nh»m gióp
HS cña m×nh c¶i tiÕn ph¬ng ph¸p häc to¸n.
2. §Ò xuÊt ph¬ng ph¸p d¹y häc mét sè t×nh huèng vÒ giíi h¹n theo
tinh thÇn ®æi míi néi dung ch¬ng tr×nh SGK vµ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y
häc. Nh÷ng t×nh huèng ®ã ®îc ¸p dông cã hiÖu qu¶ cao trong c¸c giê d¹y
®· t¹o ®îc niÒm tù tin vµ kh¬i dËy tÝnh chñ ®éng, tÝch cùc, s¸ng t¹o cña
HS.
3. §Ò tµi cã thÓ ¸p dông cho mäi ®èi tîng häc sinh líp 11.
4. §Ò tµi ®· rót ra ®îc kinh nghiÖm cho nhiÒu gi¸o viªn d¹y to¸n,
®Æc biÖt lµ nh÷ng gi¸o viªn míi d¹y theo ch¬ng tr×nh líp 11 míi.
II. KiÕn nghÞ
1. Ban gi¸m hiÖu nhµ trêng cÇn quan t©m h¬n n÷a ®Õn ho¹t ®éng
viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm cña gi¸o viªn nh©n viªn. V× mçi s¸ng kiÕn kinh
nghiÖm lµ kÕt qu¶ t©m ®¾c cña ngêi viÕt qua mét n¨m vµ cã thÓ nhiÒu
n¨m gi¶ng d¹y hay c«ng t¸c. Mçi s¸ng kiÕm kinh nghiÖm cã hiÖu qu¶, cã
tÝnh s¸ng t¹o nã gióp cho kh«ng chØ ngêi viÕt mµ c¶ ®ång nghiÖp ®îc
n©ng cao vÒ mÆt thùc tiÔn vµ lÝ luËn.
2. C¸c tæ chuyªn m«n cÇn cã kÕ ho¹ch cô thÓ vµ thêng xuyªn tæ
chøc ho¹t ®éng chuyªn ®Ò, thao gi¶ng ®Ó trao ®æi kinh nghiÖm
chuyªn m«n vµ nghiÖp vô s ph¹m. CÇn cã buæi tæng kÕt kinh nghiÖm
sau mçi häc k×, mçi n¨m häc.
17
- 18. Hµ Néi, Ngµy 20/ 5/ 2009
Ngêi viÕt: NguyÔn Trung Kiªn
18