El documento describe los estados de energía y las transiciones entre estados en el átomo de hidrógeno. Explica que los electrones pueden existir en diferentes niveles de energía cuantificados y que las transiciones entre niveles emiten fotones de energía específica. También describe las series espectrales de Lyman, Balmer, Paschen, Brackett y Pfund que surgen de las transiciones entre diferentes niveles de energía en el átomo de hidrógeno.

1. Bases de
Estructura de la Materia
y Química
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2. 1. El átomo de hidrógeno
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3. 1.5. Estados energéticos y
transiciones entre estados
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4. Como se ha dicho anteriormente, el átomo hidrogenoide puede tener infinitos valores de energía, pero no
valores cualesquiera, sino los que se obtienen de la ecuación [1.13]. Definiendo una constante 𝑎 así:
𝑎 =
ℎ2 𝜀0
𝜋𝜇𝑒2 = 5.295 · 10−11 m [1.20]
la ecuación [1.13] se convierte en esta otra que es algo más simple:
𝐸 𝑛 = −
𝑍𝑒2
8𝜋𝜀0 𝑎𝑛2 [1.21]
Considérese el átomo de hidrógeno. La expresión anterior se puede simplificar más sustituyendo en ella
términos numéricos (𝑍 = 1; 𝑎 = 5.295·10–11 m; 𝜀0 = 8.854·10–12 J–1C2m–1; 𝑒 = 1.602·10–19 C) y teniendo en
cuenta que un electronvoltio (eV) es igual a 1.602·10–19 culombios (C):
𝐸 𝑛/eV = −
13.6
𝑛2 [1.22]
Los valores que se obtienen de [1.22] se llaman niveles de energía. A un orbital 1s le corresponde un nivel de
energía de –13.6/12 = –13.6 eV. Un orbital 2s tiene un nivel de energía de –13.6/22 = –3.40 eV, que es el mismo
que el de los tres orbitales 2p. Un nivel de energía se dice que está degenerado si corresponde a más de un
orbital. Concretamente el nivel de energía para 𝑛 = 2 es común para los orbitales 2s, 2px, 2py y 2pz; por eso se
dice que está cuádruplemente degenerado. También está degenerado el nivel 𝑛 = 3, que corresponde a todos
los orbitales 3s, 3p y 3d, y el nivel 𝑛 = 4, correspondiente a todos los orbitales 4s, 4p, 4d y 4f.
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5. En la figura 1.23 se muestra un
gráfico con los primeros niveles
de energía del átomo de
hidrógeno, obtenidos dando
valores a 𝑛 en [1.22]. Para 𝑛 → ∞
se alcanza el nivel de energía 0. A
partir de ahí, el electrón deja de
estar ligado al átomo y puede
tener cualquier valor de energía
(cinética); por eso esa región se
denomina continuo.
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𝒏 𝑬 𝒏 /eV
1 – 13.6
2 – 3.40
3 – 1.51
4 – 0.85
5 – 0.54
6 – 0.38
7 – 0.28
8 – 0.21
9 – 0.17
10 – 0.14
11 – 0.11
12 – 0.09
… …
 0
Fig. 1.25. Niveles de energía del átomo de
hidrogeno obtenidos de la ecuación [1.21].
Se han etiquetado solo los 5 primeros
niveles; los siguientes empiezan a estar tan
poco espaciados que es difícil representarlos.
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6. 1.5.1. Espectro de emisión atómica del hidrógeno
Si se considera un solo átomo de hidrógeno, lo más probable es que este se encuentre en su estado
fundamental, es decir, en su nivel de energía más bajo (–13.6 eV), que es el correspondiente al orbital 1s. El
comportamiento del electrón vendría caracterizado por la función de onda 1s o, dicho de manera menos
rigurosa aunque más intuitiva, el electrón se encontraría en un orbital 1s. Si al átomo se le proporciona una
energía igual a la diferencia de energía entre los estado 1s y 2s (–3.40 – (–13.6) = ) 10.2 eV, el electrón pasará al
orbital 2s (o bien al 2p, ya que ambos tienen la misma energía). Se dice que el átomo ha pasado a un estado
excitado. Pero enseguida volverá al estado fundamental devolviendo la energía que se le dio; el átomo se relaja.
Esto puede hacerlo emitiendo un fotón de 10.2 eV.
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7. En general, un átomo podrá pasar desde el estado en el que se
encuentre a un estado excitado absorbiendo la energía necesaria,
y podrá volver al estado original emitiendo fotones cuya energía
estará cuantizada, con lo que quiere decirse que esta energía no
podrá tener cualquier valor, sino alguno de los posibles valores
que se obtienen restando las energías de los estados implicados
(inicial y excitado), calculadas mediante [1.22]. Estas diferencias
son cuantos de energía. Por otro lado, como energía y frecuencia
están relacionadas (𝐸 = ℎ), y a su vez lo están la frecuencia y la
longitud de onda ( = 𝑐/), los fotones que se produzcan en la
relajación solo podrán tener determinados valores de longitud de
onda, no cualquier longitud de onda. Esto se ilustra en la figura
1.26, donde se muestran cuatro posibles transiciones de un
átomo de hidrógeno que se encuentra en diferentes estados y
pasa a estados de menor energía liberando la diferencia.
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Fig. 1.26. Cuatro posibles transiciones entre estados electrónicos de un átomo
de hidrógeno. La energía liberada no puede tener cualquier valor, sino la
diferencia exacta entre las energías de los niveles implicados.

8. Si en vez de un solo átomo de H se dispone de muchos átomos en el estado fundamental y se les proporciona
energía, cada átomo, dependiendo de la energía que absorba, se colocará en diversos estados (2s, 2p, 3s…).
Después podrá devolver la energía absorbida en forma de un fotón. Por ejemplo, cuando se excita mediante
descarga eléctrica un gas de átomos de hidrógeno, la emisión subsiguiente produce fotones de diversa energía
(diversa longitud de onda). El ojo humano observa una luz rosado-magenta, pero si se hace que esta atraviese un
elemento dispersor de radiación (como un prisma), se podrá comprobar mediante una película fotográfica que el
gas está emitiendo fotones de seis colores diferentes. Este patrón concreto se llama espectro de emisión del
hidrógeno. Cada elemento químico tiene su propio espectro de emisión. La figura 1.27 ilustra el experimento.
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Fig. 1.27. Obtención del espectro de
emisión del hidrogeno. A la
izquierda, un gas de átomos de
hidrógeno se somete a una
excitación energética por descarga
eléctrica. El gas emite una luz
rosado-magenta que,
descompuesta por un prisma,
revela en una película fotográfica
estar formada por seis tipos de
fotones visibles (si bien las líneas
que aparecen por debajo de 400
nm son muy débiles).

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1.5.1.1. Energía de las transiciones. Constante de Rydberg
La expresión general para las posibles energías de los fotones emitidos por un gas de átomos de hidrógeno que
ha sido sometido a una excitación energética puede obtenerse aplicando la ecuación [1.21]. Si un átomo
excitado se encuentra en un nivel de energía correspondiente al número cuántico principal 𝑛 = 𝑛2 y se relaja
hasta un nivel con número cuántico 𝑛 = 𝑛1 la energía emitida vendrá dada por la diferencia entre ambos
niveles energéticos, que se obtiene aplicando [1.21] a 𝑛2 y 𝑛1 y restando:
𝐸 =
𝑍𝑒2
8𝜋𝜀0 𝑎
1
𝑛1
2 −
1
𝑛2
2 [1.23]
Teniendo en cuenta las relaciones [1.6] y [1.7], la energía del fotón se puede expresar en función de su número
de onda así: 𝐸 = ℎ𝑐. Sustituyéndola en [1.23], la relajación de un átomo de hidrógeno (𝑍 = 1) supone la
emisión de un fotón cuyo número de ondas viene dado por:
 =
𝑒2
8𝜋𝜀0 𝑎ℎ3 𝑐
1
𝑛1
2 −
1
𝑛2
2 [1.24]
Al factor que multiplica al paréntesis se le llama constante de Rydberg para el hidrógeno, 𝑅H, cuyo valor es
109 677 58.34 m-1, lo que permite escribir [1.24] así:
 = 𝑅H
1
𝑛1
2 −
1
𝑛2
2 [1.25]
El nombre de la constante 𝑅H se debe a que, mucho antes de Schrödinger propusiera su ecuación de ondas que
explica, entre otras muchas cosas, los espectros de emisión del hidrógeno, Johannes Rydberg fue capaz de
deducir la expresión [1.25] a partir de los datos experimentales de dichos espectros de emisión.

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1.5.1.2. Series espectrales
Se han estudiado muchas transiciones
entre niveles del átomo de hidrógeno y
todas satisfacen la expresión [1.22].
Estas transiciones se agrupan en series
según el nivel de energía al que llega el
átomo de hidrógeno desde el estado
excitado en que se encuentre. Si el nivel
de energía final es el fundamental (𝑛1 =
1) la serie se llama de Lyman. No es
observable con el ojo porque los fotones
emitidos tienen longitudes de onda
correspondientes al ultravioleta. Si el
nivel es 𝑛1 = 2 se obtiene la serie de
Balmer, que es visible. El espectro de la
figura 1.15 corresponde precisamente a
esa serie. Otras series tampoco se ven a
simple vista por quedar en el infrarrojo,
como son las de Paschen ( 𝑛1 = 3 ),
Brackett (𝑛1 = 4) y Pfund (𝑛1 = 5). Se
ilustran en la figura 1.28.
Fig. 1.28. Se señalan con
flechas algunas de las
posibles transiciones entre
estados excitados y
estados correspondientes
a distintos valores fijos de
𝑛1 (estado final). Se
muestran las series de
Lyman (Ly), Balmer (Ba),
Paschen (Pa), Brackett (Br)
y Pfund (Pf).

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1.5.1.3. El modelo erróneo de Bohr-Sommerfeld
Las transiciones espectroscópicas del hidrógeno pudieron ser explicadas por Niels Bohr antes de que
Schrödinger produjera su ecuación de ondas. Para ello, Bohr propuso un modelo basado en las observaciones
espectroscópicas, la teoría cuántica en ciernes y unos experimentos de Ernest Rutherford que demostraron que
los átomos estaban constituidos por un pequeño y pesado núcleo central de cargas positivas (en aquella época
no se conocían los neutrones) rodeado de electrones. Bohr pensó –incorrectamente– que, en los átomos
hidrogenoides, el electrón era una partícula que se movía alrededor del núcleo describiendo órbitas circulares
estacionarias, es decir, con energía constante, y que podía “saltar” entra órbitas ganando o perdiendo energía.
Sorprendentemente, a pesar de partir de supuestos erróneos, llegó a una expresión para la energía que es igual
a la del modelo de Schrödinger [1.21]:
𝐸 𝑛 = −
𝑍𝑒2
8𝜋𝜀0 𝑎0 𝑛2 [1.26]
(La única diferencia es que en [1.21] aparece la constante 𝑎 y en [1.26] aparece 𝑎0, pero ambas constantes son
prácticamente iguales porque, como se ve en la igualdad [1.20], la primera se basa en la masa reducida del
sistema, , y la segunda en la masa del electrón, 𝑚 𝑒. Si llamamos 𝑚 𝑛a la masa del núcleo, la relación entre  y
𝑚 𝑒 es:  = 𝑚 𝑒 𝑚 𝑛/(𝑚 𝑒+𝑚 𝑛), pero como 𝑚 𝑛 ≫ 𝑚 𝑒, esto implica que  ≈ 𝑚 𝑒 y 𝑎 ≈ 𝑎0. A 𝑎0 se le denomina
radio de Bohr y se le considera la unidad atómica de longitud. Es el valor del radio correspondiente a la órbita
de Bohr de menor energía (es decir, aquella para la cual 𝑛 = 1).

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Por lo dicho, el modelo de Bohr predice correctamente los espectros de los átomos hidrogenoides, pero no los
de los demás elementos ni ciertos rasgos que se observan en el del hidrógeno cuando se trabaja con
espectrómetros muy sensibles. Estos rasgos se denominan estructura fina y consisten en desdoblamientos de
líneas y pequeños desplazamientos en frecuencia de las mismas. Para dar cuenta de esta estructura fina, Arnold
Sommerfeld modificó el modelo de Bohr introduciendo consideraciones relativistas y suponiendo que las
órbitas podrían ser también elípticas. Pero su propuesta también estaba equivocada; es otro de cómo una
propuesta mal fundada puede explicar correctamente ciertas observaciones experimentales.

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Los modelos de Bohr y Sommerfeld
fallan porque conciben al átomo como
un sistema planetario. En la actualidad,
esta visión se sigue reproduciendo en
los manuales sobre la estructura del
átomo, lo que dificulta la compresión de
su verdadera naturaleza. Por ejemplo,
una transición electrónica en el átomo
de hidrógeno desde el nivel 2p al 1s se
ilustra como se muestra en la figura
1.29 (recuérdese que los niveles con
igual número cuántico principal están
degenerados en el hidrógeno, por lo
que en este caso la transición es desde
𝑛 = 2 a 𝑛 = 1).
Sin embargo, según el modelo de
Schrödinger, la transición energética
supone una transformación mucho más
profunda en el átomo, como se ilustra
en la figura 1.30.
Fig. 1.29. Transición de un electrón que se encuentra en la órbita 𝑛 = 2 a la
orbita 𝑛 = 1 según el modelo “planetario” de Bohr en el que el electrón gira
alrededor del núcleo siguiendo órbitas circulares en un plano. La flecha verde
ondulada es el fotón producido en la transición. Su energía, simbolizada por ℎ𝜈,
es igual a la diferencia de energía entre las órbitas 𝑛 = 2 y 𝑛 = 1.
Fig. 1.30. Cambio del aspecto de un átomo de H cuando se produce una
transición electrónica desde el orbital 2pz al 1s según el modelo de Schrödinger.

14. 1.5.2. El espín del electrón
Como se ha dicho, un espectro de alta resolución del hidrógeno revela desdoblamientos, es decir, la aparición de
parejas de líneas muy juntas donde solo debería haber una. Este efecto no lo predice el modelo de Schrödinger
tal como ha sido expuesto. Pero sí se explica si se incluyen en dicho modelo correcciones relativistas y una nueva
propiedad física del electrón: el espín. El término “espín” procede de la palabra inglesa para giro, queriendo
darse a entender que el electrón gira sobre sí mismo. Se trata de una denominación desafortunada porque un
electrón no es una pequeña bolita. Sin embargo, como las partículas que giran tienen momento angular y el
electrón tiene un momento angular intrínseco, esta analogía es la que dio lugar al nombre. El espín es una
propiedad exclusivamente cuántica y no es única de los electrones; también la tienen los protones y las demás
partículas subatómicas.
Como, según los postulados de la mecánica cuántica, la función de onda debe describir el estado de un sistema
del modo más completo posible, la función (𝑥, 𝑦, 𝑧) utilizada por Schrödinger se hace insuficiente, ya que no
contempla el estado de espín del electrón. El momento angular de espín de un electrón está cuantizado de tal
modo que un electrón puede encontrarse en uno de dos posibles estados de espín, descritos por nuevas
funciones de onda denotadas 𝛼(𝜎) y 𝛽(𝜎), siendo  (sigma) una “variable de espín” que no tiene paralelo
clásico. Surge por ello un cuarto número cuántico, el de espín, 𝑚 𝑠, que solo puede tomar dos valores: +½ para
𝛼 𝜎 y –½ para 𝛽(𝜎). En química suelen utilizarse los símbolos  y  para referirse a dichos estados. La función
de onda completa de un electrón se denomina orbital-espín y es el producto de la función espacial (𝑥, 𝑦, 𝑧) y
la de espín, pudiendo venir caracterizado cada electrón por uno de estos dos orbitales-espín:
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15.  𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜎 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝛼(𝜎) [1.27’]
 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜎 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝜎) [1.27”]
Para un electrón del hidrógeno en su estado fundamental las expresiones anteriores se pueden simplificar en
notación espectroscópica así: 1s, 1s.
La propiedad del espín no tiene prácticamente ningún efecto sobre los niveles de energía de un sistema de un
solo electrón, pero sí supone que cada nivel predicho por la función de onda espacial (𝑥, 𝑦, 𝑧) en realidad son
dos niveles degenerados. Esto se puede comprobar aplicando un campo magnético externo, que rompe la
degeneración y hace que surjan dos niveles de energía diferente, uno correspondiente al número cuántico de
espín 𝑚 𝑠 = +½ y otro correspondiente a 𝑚 𝑠 = −½. Así se produce la estructura fina del espectro.
(Incidentalmente, conviene mencionar que el campo magnético también deshace la degeneración de los niveles
correspondientes a un determinado valor de 𝓁 y distinto valor del número cuántico magnético, 𝑚 𝓁, como
sucede en los tres orbitales 2p; esto se llama efecto Zeeman).
Finalmente, debe indicarse que el espín del electrón surge de forma natural en un tratamiento relativista que se
dio a la ecuación de onda y que se debe a Paul Dirac.
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Fuentes
• MacQuarrie, Donald A.; Simon, John D.: Physical Chemistry: a molecular approach, University Science Books,
1997.
• Figura 1.27: Basada en figuras de Bruce A. Averill y Patricia Eldredge: Principles of General Chemistry (v. 1.0),
https://2012books.lardbucket.org/books/principles-of-general-chemistry-v1.0/index.html y Jan Homann,
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Visible_spectrum_of_hydrogen.jpg

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