1. Portfel inwestycyjny / Rynek kapitałowy
Wycena obligacji o stałym oprocentowaniu:
n
n
t
t
t
r
C
r
C
P
)1()1(
*
1 +
+
+
= ∑=
gdzie: P - wartość obligacji
n - liczba okresów (lat) posiadania obligacji,
tC - dochód z tytułu posiadania obligacji, otrzymywany w t – tym okresie (roku),
*
C - wartość nominalna obligacji,
r - stopa procentowa, będąca wymaganą stopą zwrotu (dochodu) inwestora.
Jeżeli płatności odsetkowe występują częściej (kilka razy w roku), cena obligacji wynosi:
nm
nm
t
t
t
m
r
C
m
r
m
C
P






+
+






+
= ∑=
11
*
1
gdzie: m - liczba płatności odsetek w ciągu roku.
Obligacje zerokuponowe: n
r
FV
P
)1( +
= gdzie: FV – wartość nominalna obligacji
Duration (czasem trwania, średni termin wykupu obligacji):
E
YTM
YTM
YTM
P
P
YTM
YTM
C
YTM
tC
D n
t
t
t
n
t
t
t
+
−=
∂
∂+
−=
+
+
=
∑
∑
=
= 11
)1(
)1(
1
1
WYCENA AKCJI:
Model zdyskontowanych dywidend: ∑
∞
= +
=
1 )1(t
t
t
r
D
P
gdzie: P - wartość akcji, tD - dywidenda w t-tym okresie, r – wymagana stopa zwrotu
Model Gordona Model Gordona:
)(
)1(0
gr
gD
P
−
+
=
Ryzyko:
pi – prawdopodobieństwo zrealizowania i-tej stopy zwrotu; RA - średnia arytmetyczna stóp zwrotu; RG- średnia
geometryczna stóp zwrotu
∑=
=
N
t
tA R
N
R
1
1
( )( ) ( )[ ] 11...11
1
21 −+++= N
NG RRRR
i
m
i
iA RpR ∑=
=
1
( ) ( ) ( ) 11...11 21
21 −+++= mp
m
pp
G RRRR
( )2
1
RRpV i
m
i
i −= ∑=
( )( )2
1
−
=
−= ∑ RRpSV i
m
i
i SVSs =
R
s
CV = ( )−
−RRt
- ujemne odchylenia od średniej
R - oczekiwana stopa zwrotu
V – wariancja stóp zwrotu; s – odchylenie standardowe stóp zwrotu; SV – semiwariancja stóp zwrotu; Ss – semiodchylenie
standardowe stóp zwrotu; CV – współczynnik zmienności stóp zwrotu, d – odchylenie przeciętne stóp zwrotu

2. ∑∑
∑
==
=
−−
−−
=
N
t
t
N
t
t
tt
N
t
RRRR
RRRR
1
2
22
1
2
11
2211
1
12
)()(
))((
ρ
2
22
1
2
11
1
2211
1
12
)()(
))((
RRpRRp
RRRRp
i
m
i
ii
m
i
i
ii
m
i
i
−−
−−
=
∑∑
∑
==
=
ρ
( ) i
m
i
iUpUE ∑=
=
1
E(U) – oczekiwana użyteczność; p i - prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej wartości stopy
zwrotu; U i - użyteczność odpowiadająca i-tej wartości stopy zwrotu; R – wartość stopy dochodu
Portfel dwóch spółek
2211 RwRwRp +=
122121
2
2
2
2
2
1
2
1 2 ρsswwswswVp ++=
112 =ρ (bez krótkiej sprzedaży) 112 =ρ (z krótką sprzedażą) 112 −=ρ
2
2211 )( swswVp +=
2211 swswsp +=
2
2211 )( swswVp +=
2211 swswsp +=
2
2211 )( swswVp −=
2211 swswsp −=
Rp – oczekiwana stopa zwrotu portfela; w1,w2 – udziały pierwszej i drugiej spółki w portfelu;
R1 i R2 – oczekiwane stopy zwrotu akcji pierwszej i drugiej spółki; Vp – wariancja stopy zwrotu portfela; sp – odchylenie
standardowe stopy zwrotu portfela; s1 i s2 – odchylenia standardowe stóp zwrotu akcji pierwszej i drugiej spółki
Portfel o minimalnym ryzyku (przypadek ogólny)
1221
2
2
2
1
1221
2
2
1
2 ρ
ρ
ssss
sss
w
−+
−
=
1221
2
2
2
1
1221
2
1
2
2 ρ
ρ
ssss
sss
w
−+
−
=
1221
2
2
2
1
2
12
2
2
2
1
2
)1(
ρ
ρ
ssss
ss
Vp
−+
−
=
Portfel wielu spółek
i
n
i
ip RwR ∑=
=
1
ijjij
n
i
n
ij
ii
n
i
ip sswwswV ρ∑∑∑
−
= +==
+=
1
1 1
2
1
2
2 ijijji ss cov=ρ
pp Vs =
n- liczba składników portfela
Portfel o równych udziałach
cov
11
n
n
V
n
Vp
−
+=
Portfel z uwzględnieniem instrumentów wolnych od ryzyka:
efffp RwRwR )1( −+= efp sws )1( −=
Rp – oczekiwana stopa zwrotu portfela złożonego z akcji i instrumentów wolnych od ryzyka; sp – odchylenie standardowe
stopy zwrotu portfela złożonego z akcji i instrumentów wolnych od ryzyka; Rf – stopa zwrotu z instrumentów wolnych od
ryzyka; Re – stopa zwrotu portfela akcji;
se – odchylenie standardowe portfela akcji; wf – udział w portfelu instrumentów wolnych od ryzyka
Linia rynku kapitałowego CML
s
s
RR
RR
M
fM
f
−
+=
εβα ++= Miii RR
2
cov
M
iM
i
s
=β
M
iiM
i
s
sρ
β =
V - średnia arytmetyczna wariancji składników portfela;
cov - średnia arytmetyczna kowariancji par składników portfela
R – oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego; s – odchylenie standardowe portfela efektywnego;
RM – oczekiwana st. zwrotu portfela rynkowego; sM – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela rynkowego
Model Sharpe’a dla akcji
α – wyraz wolny równania; β- współczynnik beta; ε – składnik losowy; coviM – kowariancja stóp zwrotu
akcji i portfela rynkowego; ρiM – współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji i portfela rynkowego

3. Miii RR βα −=
21
2
21
12
ss
sMββ
ρ ≈ i
n
i
ip w ββ ∑=
=
1
2222
eMii sss += β
Model CAPM
)( fMifi RRRR −+= β )]([ fMifii RRRR −+−= βα
i
n
t
ip w αα ∑=
=
1
Model APT
nnbbbR λλλλ ++++= ...22110
fR=0λ ; fjj RR −= ˆλ
∑=
=
n
i
ijipj bwb
1
Mierniki jakości zarządzania portfelem
s
RR
Sh
f−
= miernik Sharpe’a
β
fRR
T
−
= miernik Treynora
)]([ fMifii RRRR −+−= βα miernik Jensena
bj – współczynnik wrażliwości stopy zwrotu portfela względem stopy zwrotu z j-tego czynnika ryzyka
jRˆ - oczekiwana stopa zwrotu z portfela, który jest niewrażliwy na wszystkie czynniki ryzyka poza
j-tym, a wrażliwość na j-ty czynnik ryzyka jest jednostkowa
bij – współczynnik wrażliwości akcji i-tej spółki względem j-tego czynnika