Ronildo Oliveira da Silva
Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve
Introdução ao Estudo de Integrais
Quixadá
2015, Jun...
Ronildo Oliveira da Silva
Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introdução
ao Estudo de Integrais
Resumo à respeito...
Agradecimentos
Agradeço aos meus professores de Cálculo da Universidade Federal do Ceará (UFC),
em especial ao Prof. Antôn...
Resumo
Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e
indefinidas.
Palavras-chaves: i...
Lista de ilustrações
Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 2 – Mét...
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I ESTUDO SOBRE INTEGRAIS 13
1 PARA Q...
11
Introdução
Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e
indefinidas.
Parte I
Estudo Sobre Integrais
15
1 Para que Integrais?
No cotidiano computacional, podemos nos deparar com a seguinte questão: Qual o melhor
algoritmo p...
16 Capítulo 1. Para que Integrais?
1.2 Integrais Indefinidas
Assim como os pães, bolos, biscoitos, arroz e demais produtos,...
1.3. Métodos de Integração 17
1.2.3 Aritméticas de Integrais
Sejam f(x) e g(x) duas funções quaisquer, a integral da soma ...
18 Capítulo 1. Para que Integrais?
2x
1 + x2
dx =
du
u
=
ln(u) + c = ln(x2
+ 1) + c
1.4 Integrais Definidas
Definiremos uma ...
1.5. A Integral de Riemann 19
1.5 A Integral de Riemann
Voltaremos alguns anos para conhecer um pouco de um grande nome da...
20 Capítulo 1. Para que Integrais?
Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo
Fonte: wikipedia.com
pontos médios d...
1.7. Área Como Limite de um Somatório 21
Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x
2 4 6 8 10
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Apr...
22 Capítulo 1. Para que Integrais?
onde:
∆x =
b − a
n
e xi = a + i · ∆x (1.9)
Continua . . .
Parte II
Tabela de Integrais
25
2 Tabela de Integrais
2.1 Integrais Básicas
xn
dx =
1
n + 1
xn+1
, n = −1 (2.1)
1
x
dx = ln |x| (2.2)
udv = uv − vdu (2...
26 Capítulo 2. Tabela de Integrais
1
(x + a)(x + b)
dx =
1
b − a
ln
a + x
b + x
, a = b (2.14)
x
(x + a)2
dx =
a
a + x
+ l...
2.4. Integrals with Logarithms 27
2.4 Integrals with Logarithms
ln ax dx = x ln ax − x (2.28)
x ln x dx =
1
2
x2
ln x −
x2...
28 Capítulo 2. Tabela de Integrais
2.6 Integrais de Funções Trigonométricas
sin ax dx = −
1
a
cos ax (2.42)
cos ax dx =
1
...
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3 Conclusão
Finalizo esse trabalho tendo em mente que os pontos básicos e de maiores importâncias
dentro do estudo de I...
31
4 Referências bibliográficas
Bernhard Riemann, Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_
Riemann...
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
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  1. 1. Ronildo Oliveira da Silva Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais Quixadá 2015, Junho
  2. 2. Ronildo Oliveira da Silva Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais Resumo à respeito do contexto, aplicabili- dade, e definições sobre integrais aprendidos no curso de Cálculo Diferencial e Integral I. Universidade Federal do Ceará Campus Quixadá Bacharel em Ciência da Computação Quixadá 2015, Junho
  3. 3. Agradecimentos Agradeço aos meus professores de Cálculo da Universidade Federal do Ceará (UFC), em especial ao Prof. Antônio Joel Ramiro de Castro que propôs esse trabalho, que nos acompanhou e orientou durante o primeiro semestre de 2015.
  4. 4. Resumo Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e indefinidas. Palavras-chaves: integral. cálculo.
  5. 5. Lista de ilustrações Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  6. 6. Sumário Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I ESTUDO SOBRE INTEGRAIS 13 1 PARA QUE INTEGRAIS? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Aritméticas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Teorema da Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Área Como Limite de um Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II TABELA DE INTEGRAIS 23 2 TABELA DE INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Integrais Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Integral com Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Integrals with Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Integrais com Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Integrais de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
  7. 7. 11 Introdução Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e indefinidas.
  8. 8. Parte I Estudo Sobre Integrais
  9. 9. 15 1 Para que Integrais? No cotidiano computacional, podemos nos deparar com a seguinte questão: Qual o melhor algoritmo para se usar? Qual o mais rápido? Tendo dois algoritmos de complexidades diferentes, como saber qual deles é o menos nocivo à máquina? Podemos ver nitidamente qual o mais eficiente? Para analisarmos essas informações, apresentaremos de uma forma objetiva as definições e propriedades de Integrais. Veremos também as diferenças entre integrais definidas e indefinidas, cálculo de áreas sob curvas, as ideias iniciais de integral e os primeiros passos dos grandes nomes da matemática que contribuíram para o estudo do Cálculo. 1.1 Primitivas Como o título já diz tudo, veremos como são definidas funções primitivas o que nos faz lembrar de derivadas, mas como os opostos se atraem, estudaremos com as duas definições de mãos dadas. Considere duas funções f(x) e F(x) ∈ R e contínua num intervalo real i. Utilizando dos conceitos aprendidos em derivadas, se derivarmos F(x), essa será equivalente a f(x), ou seja, F (x) = f(x). Chamemos F(x) de função primitiva. Exemplificando a situação, se tivermos uma função G(x) = x2 + 4x + 16 e se também tivermos uma função g(x) = 2x + 4. G(x) é uma primitiva de g(x). No exemplo acima, percebemos que G(x) = ax2 + bx + c, onde c é uma constante. Para qualquer valor de c, a derivada de G(x) será a mesma, pois a derivação de uma constante sempre é 0. Se seus problemas são constantes, derive-os (??, 5.3). Agora vamos às integrais. No caso geral, para qualquer função y = F(x) + c, com c ∈ R, são todas primitivas de f(x), isso é o que denominamos de família de primitivas representada pelo símbolo operador , e expressa da seguinte forma: F(x) = F(x) + c = f(x) dx
  10. 10. 16 Capítulo 1. Para que Integrais? 1.2 Integrais Indefinidas Assim como os pães, bolos, biscoitos, arroz e demais produtos, vamos abordar o conceito de Integrais de uma maneira bem light. Na definição acima, f(x) é o integrando e f(x) dx é a integral indefinida de f(x). 1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio Seja f(x) = 3x4 + 4x2 + 5, sua primitiva é: F(x) = 3x4+1 4+1 + 4x2+1 2+1 + 51+1 1+1 = F(x) = 3x5 5 + 4x3 3 + 52 2 Para termos certeza do conceito, calculamos F (x): F (x) = 5·3x4 5 + 3·4x2 3 + 2·51 2 = F (x) = 3x4 + 4x2 + 5 Isso nos leva a acreditar que F(x) nada mais é do que um candidato vindo da família de primitivas da função f(x). O que nos leva a considerar que: xn dx = 1 n + 1 xn+1 + c, n = −1 , c, n ∈ (1.1) 1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante Já que estamos falando de constantes, seja a, uma constante real aplicada a uma integral indefinida: a · f(x)dx = a · f(x)dx (1.2) Exemplo: Seja f(x) = x3 + 4x2 : 6 · (x3 + 4x2 )dx = 6 · x3 + 4x2 dx = (6x3 + 24x2 )dx = 6 · x3 + 4x2 dx = 6x4 4 + 24x3 3 = 6 · x4 4 + 4x3 3 = 6x4 4 + 24x3 3 = 6x4 4 + 24x3 3
  11. 11. 1.3. Métodos de Integração 17 1.2.3 Aritméticas de Integrais Sejam f(x) e g(x) duas funções quaisquer, a integral da soma de ambas é equivalente a soma das suas respectivas integrais. (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx (1.3) 1.2.4 Teorema da Linearidade O que vimos nas subseções nos leva a considerar as seguinte informação: Sejam F, G primitivas de f e g, respectivamente, num intervalo e α, β ∈ . Então α · F + β · G é uma primitiva de α · f + β · g. (α · f(x) + β · g(x)) dx = α f(x)dx + β · g(x)dx (1.4) Exemplo: Calcule sin2 (x)dx sin2 (x) = 1 2 (1 − cos(2x)) sin2 (x)dx = 1 2 (1 − cos(2x))dx = x 2 − sin(2x) 4 + c 1.3 Métodos de Integração 1.3.1 Método de Substituição Sejam Fuma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F(g) esteja definida. Usando a regra da cadeia, temos, (F(g(x))) = F (g(x)) · g (x) = f(g(x)) · g (x). Então F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g (x), então: f(g(x)) · g (x)dx = F(g(x)) + c Seja g(x) = u, du = g (x)dx. Feita a substituição: f(g(x)) · g (x)dx = f(u)du = F(u) + c (1.5) Exemplo: Calcule 2x 1+x2 dx Seja u = 1 + x2 , entãodu = 2xdx :
  12. 12. 18 Capítulo 1. Para que Integrais? 2x 1 + x2 dx = du u = ln(u) + c = ln(x2 + 1) + c 1.4 Integrais Definidas Definiremos uma integral definida como um modelo de integral que estabelece limites de integração na forma, b a f(x)dx (1.6) (lê-se integral de f(x) de a até b) onde {a, b} ∈ , a ≤ b e denotam os limites de integração (a representa o limite de integração inferior e b o limite de integração superior). Seja uma função f(X) = F(x)dx, então, pela definição acima, temos: Note que, se tivermos uma variação de intervalo nula, teremos uma área nula. b a F(x) = f(b) − f(a) (1.7) Exemplo: Calcule 1 −1 x 4 3 + 4x 1 3 dx 1 −1 x 4 3 + 4x 1 3 dx = 3 7 x 7 3 + 4 · 3 4 x 4 3 lim inf −1 lim sup 1 = 3 7 + 3 − (− 3 7 + 3) = 6 7
  13. 13. 1.5. A Integral de Riemann 19 1.5 A Integral de Riemann Voltaremos alguns anos para conhecer um pouco de um grande nome da matemática: Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 — Selasca, Verbania, 20 de Julho de 1866) foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial.No ramo da análise real, a integral de Riemann foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo dado e se tornou uma das definições mais simples que temos atualmente. Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann Fonte: wikipedia.com A noção de integral definida, cuja origem foi a formalização matemática da ideia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções. 1.6 Gráficos Se na antiguidade existia um problema matemático era o de calcular a área de figuras com regiões curvas.Arquimedes (matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego que viveu entre 287a.C. à 212a.C), criou por exaustão, um método que calculasse áreas desse tipo, em especial, um círculo. Essa metodologia consistia em inscrever na figura sucessivos polígonos com um número de lados cada vez maior. A ideia é que devido ao aumento de lados do polígono em questão (com melhor visualização se utilizar-mos polígonos regulares), nos aproximaríamos cada vez mais da área desejada. Observe: De modo análogo, podemos calcular a área entre o gráfico de uma função em um intervalo [a, b] e o eixo das abscissas. Para se ter uma ideia inicial da área compreendida entre o gráfico de uma função e o eixo dos x, dividimos o intervalo em subintervalos de larguras iguais. A seguir, marcamos o ponto da função correspondente a cada um dos
  14. 14. 20 Capítulo 1. Para que Integrais? Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo Fonte: wikipedia.com pontos médios dos intervalos que criamos no passo anterior e desenhamos retângulos. A área da região será, aproximadamente a soma da área de todos os retângulos construídos. Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x 2 4 6 8 10 20 40 60 80 1 Aproximação com 3 retângulos Percebe-se que, com um número pequeno de retângulos é muito provável que a área não terá uma aproximação significante, pois alguns retângulos poderão ultrapassar os limites do gráfico da função ou deixar espaços não pertencentes ao "limite"do gráfico.Assim, dobrando a quantidade de retângulos, tenderemos a eliminar essas imperfeições. Logo, se preenchermos tal espaço com um número infinito de retângulos, a soma da área de todos eles será igual à área entre a curva e o eixo das abscissas. Alguns exemplos serão dados para demonstrar de maneira gráfica como o aumento da quantidade de retângulos influencia na aproximação da área da curva sob o eixo x.
  15. 15. 1.7. Área Como Limite de um Somatório 21 Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x 2 4 6 8 10 20 40 60 80 1 Aproximação com 6 retângulos Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x 2 4 6 8 10 20 40 60 80 1 Aproximação com 60 retângulos 1.7 Área Como Limite de um Somatório é dada por, Assim seja, função f(x) contínua no intervalo [a, b] cada área restringida pela curva de f, pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x de cada retângulo xi, com i = {0, 1, 2, 3, .., n} e n tendendo a ∞ é equivalente à quantidade de retângulos inscritos sob à curva, podemos considerar que a área sob à curva seja: A = lim n=∞ ∆x n i=1 |f(xi)| (1.8)
  16. 16. 22 Capítulo 1. Para que Integrais? onde: ∆x = b − a n e xi = a + i · ∆x (1.9) Continua . . .
  17. 17. Parte II Tabela de Integrais
  18. 18. 25 2 Tabela de Integrais 2.1 Integrais Básicas xn dx = 1 n + 1 xn+1 , n = −1 (2.1) 1 x dx = ln |x| (2.2) udv = uv − vdu (2.3) 1 ax + b dx = 1 a ln |ax + b| (2.4) 2.2 Integrais de Funções Racionais 1 (x + a)2 dx = − 1 x + a (2.5) (x + a)n dx = (x + a)n+1 n + 1 , n = −1 (2.6) x(x + a)n dx = (x + a)n+1 ((n + 1)x − a) (n + 1)(n + 2) (2.7) 1 1 + x2 dx = tan−1 x (2.8) 1 a2 + x2 dx = 1 a tan−1 x a (2.9) x a2 + x2 dx = 1 2 ln |a2 + x2 | (2.10) x2 a2 + x2 dx = x − a tan−1 x a (2.11) x3 a2 + x2 dx = 1 2 x2 − 1 2 a2 ln |a2 + x2 | (2.12) 1 ax2 + bx + c dx = 2 √ 4ac − b2 tan−1 2ax + b √ 4ac − b2 (2.13)
  19. 19. 26 Capítulo 2. Tabela de Integrais 1 (x + a)(x + b) dx = 1 b − a ln a + x b + x , a = b (2.14) x (x + a)2 dx = a a + x + ln |a + x| (2.15) x ax2 + bx + c dx = 1 2a ln |ax2 + bx + c| − b a √ 4ac − b2 tan−1 2ax + b √ 4ac − b2 (2.16) 2.3 Integral com Raízes √ x − a dx = 2 3 (x − a)3/2 (2.17) 1 √ x ± a dx = 2 √ x ± a (2.18) 1 √ a − x dx = −2 √ a − x (2.19) √ ax + b dx = 2b 3a + 2x 3 √ ax + b (2.20) (ax + b)3/2 dx = 2 5a (ax + b)5/2 (2.21) x √ ax + b dx = 2 15a2 (−2b2 + abx + 3a2 x2 ) √ ax + b (2.22) x √ x2 ± a2 dx = 1 3 x2 ± a2 3/2 (2.23) 1 √ a2 − x2 dx = sin−1 x a (2.24) x √ x2 ± a2 dx = √ x2 ± a2 (2.25) x √ a2 − x2 dx = − √ a2 − x2 (2.26) dx (a2 + x2)3/2 = x a2 √ a2 + x2 (2.27)
  20. 20. 2.4. Integrals with Logarithms 27 2.4 Integrals with Logarithms ln ax dx = x ln ax − x (2.28) x ln x dx = 1 2 x2 ln x − x2 4 (2.29) x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − x3 9 (2.30) ln ax x dx = 1 2 (ln ax)2 (2.31) ln x x2 dx = − 1 x − ln x x (2.32) (ln x)2 dx = 2x − 2x ln x + x(ln x)2 (2.33) (ln x)3 dx = −6x + x(ln x)3 − 3x(ln x)2 + 6x ln x (2.34) x2 (ln x)2 dx = 2x3 27 + 1 3 x3 (ln x)2 − 2 9 x3 ln x (2.35) 2.5 Integrais com Funções Exponenciais eax dx = 1 a eax (2.36) xex dx = (x − 1)ex (2.37) x2 ex dx = x2 − 2x + 2 ex (2.38) x3 ex dx = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex (2.39) xn eax dx = xn eax a − n a xn−1 eax dx (2.40) xe−ax2 dx = − 1 2a e−ax2 (2.41)
  21. 21. 28 Capítulo 2. Tabela de Integrais 2.6 Integrais de Funções Trigonométricas sin ax dx = − 1 a cos ax (2.42) cos ax dx = 1 a sin ax (2.43) cos2 ax dx = x 2 + sin 2ax 4a (2.44) sin2 x cos x dx = 1 3 sin3 x (2.45) cos2 ax sin ax dx = − 1 3a cos3 ax (2.46) tan2 ax dx = −x + 1 a tan ax (2.47) sec x tan x dx = sec x (2.48) sec2 x tan x dx = 1 2 sec2 x (2.49) csc2 ax dx = − 1 a cot ax (2.50)
  22. 22. 29 3 Conclusão Finalizo esse trabalho tendo em mente que os pontos básicos e de maiores importâncias dentro do estudo de Integrais foram claramente abordados. Espero que esse documento seja de grande utilidade para os interessados em aprender um pouco dessa ciência tão abrangente.
  23. 23. 31 4 Referências bibliográficas Bernhard Riemann, Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_ Riemann> Acesso em 20 de junho de 2015. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro. LTC, 2001. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1. Harbra, 1994. PEREIRA, Ricardo Reis. Cálculo Essencial.

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