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Unidad 5 integración

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  1. 1. 1 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial CÁLCULO VECTORIAL UNIDAD 5: INTEGRACIÓN TERCER SEMESTRE JULIO 2015
  2. 2. 2 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Contenido 5.1 Introducción. ............................................................................................................................3 5.2 Integral de línea........................................................................................................................4 5.3 Integrales iteradas dobles y triples...........................................................................................4 5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema. ..........................................................................7 5.5 Integral doble en coordenadas polares. ...................................................................................7 5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas. .........................................................................................9 5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ..............10
  3. 3. 3 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 5.1 Introducción. Introducción En este capítulo se introduce un método multipaso variable adaptado para la resolución de sistemas lineales perturbados Para la integración de este sistema, mediante un método multipaso variable, que integre exactamente el problema homogéneo, partimos de un método que ya posee esta propiedad, el método de G-funciones, desarrollado en el capítulo anterior. La solución, en términos de las G-funciones, venía dada por donde los ck son las derivadas de la función de perturbación Las G-funciones, como método de integración numérica, nos permite escribir:
  4. 4. 4 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial El cálculo de las es difícil para expresiones complicadas de la función de perturbación, lo que di…culta su implementación en un computador. El método multipaso que se presenta en este capítulo integra exactamente el problema homogéneo, y presenta la ventaja, frente al método de las G-funciones, de la existencia de un procedimiento algebraico sencillo para la computación de los coeficientes del método, independientemente de cual sea el orden, lo que nos permite lograr fácilmente cualquier método tanto de orden alto como de orden bajo [15],[44],[48],[50],[53]. Esto se conseguirá aproximando las derivadas que aparecen en el método de las G-funciones mediante diferencias divididas [60],[87],[89]. Trabajaremos tanto métodos explícitos como métodos implicítos, que nos permitirán la implementación de un método predictor corrector. 5.2 Integral de línea. 5.3 Integrales iteradas dobles y triples. Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x, y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es, F(x, y)= 1, o F(x, y)= y, Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x. La notación "A" F(x, y)dA Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x, y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares, A=xy=yx algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya
  5. 5. 5 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden A1, A2…….An sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación "A" F(x, y) dA La integral doble "A" F(x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en z= F(x, y) El término F(xk, yk) Ak Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación A=xy=yx nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite A1, A2…….An proporciona un volumen exacto. La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, A1, A2…….An para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo u otra de las siguientes integrales iteradas: "A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble "A" F(x, y)dA, con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos. Vamos a explicar ahora el significado de la notación "A" F(x,y) dy dx
  6. 6. 6 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x); para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b. Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue: Considerando x como constante se hace la integración respecto a y. Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen. dV = A(x)dx, Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación coincide con ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como
  7. 7. 7 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos dA= dxdy situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales. INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES. Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn = "Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como 5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema. 5.5 Integral doble en coordenadas polares. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES Consideremos la región A como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector R: " r " a "0 " Sean m y n dos enteros positivos y hagamos
  8. 8. 8 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma Según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk-½r; por consiguiente Que después de efectuar operaciones se reduce a 27. Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es continúa y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de F extendida a A: Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada: Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La respuesta es afirmativa en términos generales.
  9. 9. 9 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial X=f(u, v), y=g(u, v) Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante otra región G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y g, la siguiente ecuación constituye la formula para el pase de las coordenadas xy a las coordenadas uv en una integral doble: Donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguiente determinante En el caso de coordenadas polares se tiene: y Por consiguiente, la ecuación se adopta la forma: que corresponde a la 29 El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles A=" " dx dy= " " r dr d con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región dada se puede dividir en porciones de área dAxy= dx dy Mediante rectas paralelas a los ejes x e y o que también puede dividirse en porciones de áreas Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero observese que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante un calculo elemental que se ve que 5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas.
  10. 10. 10 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial 5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. CÁLCULO DE LA MASA EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Hallar la masa de la porción del sólido elipsoidal Q dado por 4x2 + 4x2 + z2 = 16, que esta por encima del plano xy, supuesto que la densidad en un punto del sólido es proporcional a su distancia al plano xy. SOLUCION: La función densidad es p (r, 0, z) = k z. Los límites para z son 0 < = < 16 – 4x2 – 4y2 = 16 – 4 r2 = 2 4 – r2 EJERCICIOS Ejemplo Calcular el volumen del sólido W limitado por el paraboloide z a x y  2 2 2 y el plano XY. El sólido W se muestra en la Figura. El paraboloide corta al plano XY en la circunferencia x y a z 2 2 2 0       Según se ha visto es: x y z w (0,0,a 2 ) R a
  11. 11. 11 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial V W a x y dx dy R ( ) ( )   2 2 2 . Es evidente la conveniencia del cambio a coordenadas polares: V W a r r dr d d a r r dr a r r a R a a ( ) ( ) ( )*                2 2 0 2 2 2 0 2 2 4 0 4 2 2 4 2     Nota Podría haberse obtenido V (W) por medio de una integral simple, al tratarse de un sólido de revolución en torno al eje OZ. Ejemplo Calcular el área de la región limitada por la elipse de ecuación: x a y b 2 2 2 2 1  , utilizando integración doble y un adecuado cambio de coordenadas. Es evidente que el cambio  : x a u y b v         , es decir,  : x au y bv      hace corresponder tal elipse a la circunferencia u v2 2 1  . Es decir : Luego:
  12. 12. 12 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial   ( ) ( , ) ( )* * * R dx dy J u v du dv ab du dv ab R ab R R R        Si no se da como supuesto el conocimiento del área del círculo, se efectuaría en la última integral sobre R*, un cambio a coordenadas polares:      R ab du dv ab d r dr ab R     * 0 2 0 1 En conjunto, el cambio x ar y arsen      cos  transformará R** en R , siendo R**:

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