Unidad 4 funciones reales de varias variables

1
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA
Educación Superior en Modalidad a Distancia para
Ingeniería Industrial (Tec Tepeaca)
CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 4: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
TERCER SEMESTRE
JULIO 2015

2
Contenido
4.1 Definición de una función de varias variables............................................................................3
4.2 Gráfica de una función de varias variables. ...............................................................................7
4.3 Curvas y superficies de nivel. .................................................................................................. 11
4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica........... 21
4.5 Derivada direccional................................................................................................................ 41
4.6 Derivadas parciales de orden superior.................................................................................... 45
4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena..................................................................... 47
4.8 Derivación parcial implícita..................................................................................................... 52
4.9 Gradiente................................................................................................................................. 53
4.10 Campos vectoriales. .............................................................................................................. 56
4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. ................................................ 58
Rotacional de un vector................................................................................................................. 58
4.12 Valores extremos de funciones de varias variables. ............................................................. 60

3
4.1 Definición de una función de varias variables.
Funciones de varias variables
Introducción
Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más
variables independientes. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza
, el volumen de un cilindro circular recto , el qrea de
un triángulo , son todas funciones de dos variables. El volumen de una caja
rectangular es una función de tres variables.
Denotaremos una función de dos o más variables de la forma usual
En esta sección se introduce otro importante concepto: las funciones de varias
variables. Se introduce también el concepto de derivación parcial. Conceptos muy
útiles en las aplicaciones.
Se ha visto la gran utilidad de las funciones en la descripción de los diferentes
fenómenos de la naturaleza. Hasta el momento se ha considerado solamente
funciones de una variable funciones de una variable:
f: R R
x y = f(x)
La explicación y uso del mundo natural y social han planteado, sin embargo, la
necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo, considere
el volumen de un cilindro circular recto:

4
V r2
h.
El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir
V(r, h r2
h.
Es decir, como una función de dos variables r y h.
V: (r, h 2
h
Por ejemplo:
V (1,2 2
Los ejemplos son muchísimos:
V(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
es una función de tres variables: x, y, z.
En general, se puede hablar de funciones de varias variables.
Funciones de dos variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación
gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la
representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar
de dos ejes de coordenadas x, y:

5
se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:
Por ejemplo, si
z = f(x) =
Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centro en el
punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).

6
o Nota: La ecuación
z2
= 9 - x2
- y2
, o bien: z2
+ x2
+ y2
= 32
brinda la superficie de la esfera completa.
Otro ejemplo: sea f(x,y) = 1.
Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos
(x,y,1)).
Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar
también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.

7
4.2 Gráfica de una función de varias variables.
Definición (funciones de dos variables)
Sea si a cada par ordenado hacemos corresponder un número
real , entonces decimos que es una función de e , y escribimos
. Al conjunto lo llamaremos dominio de y al correspondiente
conjunto de valores lo llamamos recorrido de . Llamaremos a las
variables e variables independientes y a la variable dependiente.
Observación: de manera análoga podemos definir funciones de tres o más
variables, . En todo caso el dominio será un subconjunto de y el
recorrido un subconjunto de . Para efectos del curso nos limitaremos ha estudiar
los casos .
Ejemplo 1
Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones
1.
2.
Solución
Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadrada debe
ser positivo o cero :
Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura
1.

8
Figura 1: dominio de f(x,y)
Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador no puede
ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :
Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábola misma,
esto se muestra en la figura 2.

9
Figura 1: dominio de g(x,y)
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo
hacemos con las funciones de una variable
Suma y resta:
Producto:
Cociente:
La función compuesta dada por se define solamente si es una función de
dos variables y una función de una única variable. En este caso
Para todo par en el dominio de . Por ejemplo, la función

10
Puede verse como la composición de la función de dos variables
y la función de una variable
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma
(donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli
nómica de dos variables. Por ejemplo, la función
Es una función poli nómica. Y una función racional es el cociente de dos funciones
poli nómicas.
Ejemplo 2
Determine el dominio de la función
Solución
Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemos que
Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la figura 3.

11
Figura 3: dominio de f(x,y)
Bibliografía propuesta
Libro: Cálculo Tomo II
Autor: Roland E. Hostetler Robert P.
Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano
Libro: Cálculo con Geometría Analítica
Autor: Swokowski Earl W.
Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano
4.3 Curvas y superficies de nivel.
Gráfica de funciones de dos variables
Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en
esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio
tridimensional.
Definición (gráfica de funciones de dos variables)

12
La gráfica de una función es el conjunto de puntos
tales que y . Es decir,
Observación : La gráfica de una función de dos variables
puede interpretarse geométricamente como una superficie en el
espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el
dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde
un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en
la superficie le corresponde un punto en (figura 1).
Figura 1.
[ver en ambiente 3D]
Ejemplo 1
Trace la gráfica de la función n
Solución
La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como
paraboloides (figura 2).

13
Figura 2.
[Ver en ambiente 3D]
Observación : el paraboloide anterior tiene su eje de
simetría paralelo al eje , es de esperar que un paraboloide como
tenga su eje de simetría paralelo al eje .
Ejemplo 2
Trace la gráfica de la función .
Solución
Esta es otra de las gráficas que usaremos con mucha frecuencia, se
trata de un plano y + z = 2, su gráfica se muestra en la figura 3.
Figura 3.
Superficies
Debido a que muchas de las superficies con las que trabajaremos no
provienen de una función , es necesario extender nuestra
definición de gráfica.

14
Definición (superficie)
La gráfica de la ecuación es el conjunto de puntos
tales que satisfacen ésta ecuación. Usualmente nos
referimos a la gráfica de una ecuación como una superficie .
Definición (traza de una superficie)
La traza de una superficie en el plano , es la curva que resulta de
la intersección entre ambos.
Ejemplo 3
Compruebe que la traza de la esfera
sobre el plano es una elipse.
Solución
Para hallar la ecuación de la traza debemos resolver el siguiente
sistema
que resulta ser una elipse:
No se acostumbra escribir una curva en la forma anterior pues es difícil
de manejar, resulta mucho más cómodo y provechoso trabajar con
curvas planas o en el espacio, dadas en forma paramétrica. En este
caso la curva se puede escribir paramétricamente como:
con . La curva y las superficies se muestran en la figura 4.

15
Figura 4.
[Ver en ambiente 3D]
Ejemplo 4
Dibuje las trazas del paraboloide sobre los planos ,
para cada .
Solución
En este caso las trazas corresponden a parábolas:
es decir:
en su forma paramétrica. En la figura 5 se muestran las trazas y la
superficie.

16
Figura 5.
Otra manera de visualizar una superficie es por medio de sus curvas
de nivel o mapas de contorno.
Definición (curvas de nivel)
La proyección perpendicular sobre el plano , de la traza de la
superficie sobre el plano se conoce como curva de nivel o línea
de contorno. Al conjunto de estas curvas de nivel se le llama mapa de
contorno.
Observación: también podemos definir curvas de nivel proyectando
sobre el plano coordenado . Las trazas de la superficie sobre el
plano o proyectando sobre el plano coordenado las trazas de la
superficie sobre el plano . Aunque no se acostumbra hacerlo,
pueden ser de utilidad al trazar la gráfica de una superficie.
Ejemplo 5
Dibujar un mapa de contorno para el hiperboloide parabólico dado por
La gráfica de esta función se muestra en la figura 6.

17
Figura 6.
Solución
Para cada valor de , hacemos y dibujamos la curva
resultante en el plano . Para esto analicemos tres casos :
Si , digamos que , entonces
Por tanto las curvas de nivel son hipérbolas con eje transversal
horizontal y asíntotas .
Si
Si , digamos que , entonces
Por tanto las curvas de nivel son hipérbolas con eje transversal vertical
y asíntotas .
El mapa de contorno se muestra en la figura 7.

18
Figura 7.
Ejemplo 6
Trazar el mapa de contorno para el paraboloide
Solución
Vamos a analizar tres casos:
Si , digamos que con , entonces
Entonces las curvas de nivel son círculos con centro en y radio .
Si ,entonces
lo cual corresponde al punto .
Si , digamos que con , entonces
Lo cual es imposible y no hay curvas de nivel si se corta con planos por
debajo de . El mapa de contorno se muestra en la figura 8.

19
Figura 8.
]
Observación: un mapa de contorno muestra la variación de con
respecto a e por el espaciado entre las curvas de nivel. Mucho
espacio entre las curvas de nivel indica que varía lentamente,
mientras que un espaciado pequeño indica un cambio rápido en .Otra
cosa importante de notar en la figura 9, es que el radio de la curva de
nivel (círculo) es proporcional al valor de , esto indica que va
creciendo; lo cual concuerda con la forma de la superficie
(paraboloide). Un comportamiento contrario indicaría que decrece.
Por otro lado, para proyectar una buena ilusión tridimensional en un
mapa de contorno es importante elegir los valores de de forma que
estén espaciados uniformemente.
Ejemplo
En la figura 9 y la figura 10, se muestran algunas curvas de nivel y,
en el ambiente 3D, las trazas.
Algunas curvas de nivel para

20
Figura 9.
Algunas curvas de nivel para
Figura 10.

21
4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica.
Límites y continuidad
Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el
matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente
los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis
moderno.
El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo
que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos
caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que
en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un
punto , como lo muestra la figura 1.
Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso
para funciones de variables es análogo. Primero definimos el análogo a un
intervalo abierto de .
Definición (Disco de radio y centro P)
Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio y centro
en es el conjunto de todos los puntos ) tales que su distancia a
es menor que , es decir
Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco
cerrado
Definición (Límite de una función)

22
Sea una función de dos variables definida en el
disco abierto , excepto posiblemente en .Entonces
si y sólo si para cada existe un correspondiente tal que
Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera
, el valor de está entre y , como se ilustra en la
figura
Figura 2.
Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el
punto se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de

23
no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a ,
entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta situación.
Ejemplo 1
Compruebe que el siguiente límite no existe
Solución
El dominio de esta función es . Para comprobar que le límite no
existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto .
Sobre el eje ( ) cada punto es de la forma y el límite en esta dirección
es:
Sobre la trayectoria cada punto es de la forma y el límite en esta dirección
es
Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en existen puntos
en los cuales vale y . Luego no puede tener límite cuando
.

24
Observación: en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque
encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes. Sin embargo, aunque
los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite
existe. Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo
para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la
definición misma, como muestra en siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Compruebe que
Solución
La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues
aunque el límite de cero a través de muchas trayectorias esto no demuestre que este
sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.
Sea , queremos encontrar un tal que
es decir
como

25
Por consiguiente, si elegimos , entonces
Por consiguiente, por la definición
Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades con
respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las funciones de una
sola variable, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
Calcule los siguientes límites
1.
2.
3.
Solución
1. Evaluamos directamente

26
2. Para este límite, factorizamos el denominador
3. Para este límite racionalizamos el denominador
Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites. El
siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de un límite.
Ejemplo 4
Use coordenadas polares para comprobar que
Solución
Sean las coordenadas polares del punto . Entonces, como

27
tenemos
pues, para cualquier valor de .
El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a pensar que el
límite existe.
Ejemplo 5
Estudie la existencia del siguiente límite
Solución
Si usamos trayectorias rectas que pasan por el origen , donde ,
tenemos
Ahora usemos como trayectorias las parábolas de la forma , con .

28
Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y parábolas
que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero, observe que al usar
la trayectoria , obtenemos
Por tanto, el límite no existe.
Definición (Continuidad en un punto)
Sea una función de dos variables, sea y sea
un disco abierto centrado en y de radio , decimos que es
continua en si
Decimos que es continua en la región si es continua en cada punto de la
región.
Límites y continuidad
Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el
matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar
rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación
de padre del análisis moderno.
El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más
complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se
tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las
izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de
caminos para acercarnos a un punto , como lo muestra la figura 1.

29
Figura 1.
Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el
caso para funciones de variables es análogo. Primero definimos el análogo
a un intervalo abierto de .
Definición (Disco de radio y centro P)
Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio y
centro en es el conjunto de todos los puntos ) tales que
su distancia a es menor que , es decir
Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un
disco cerrado
Definición (Límite de una función)
Sea una función de dos variables definida
en el disco abierto , excepto posiblemente en
.Entonces

30
si y sólo si para cada existe un correspondiente tal que
Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto
cualquiera , el valor de está entre y ,
como se ilustra en la figura
Figura 2.
Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos
que el punto se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el
valor de

31
no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos
a , entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta
situación.
Ejemplo 1
Compruebe que el siguiente límite no existe
Solución
El dominio de esta función es . Para comprobar que le límite
no existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto
.
Sobre el eje ( ) cada punto es de la forma y el límite en esta
dirección es:
Sobre la trayectoria cada punto es de la forma y el límite en esta
dirección es
Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en
existen puntos en los cuales vale y . Luego no puede tener límite

32
cuando .
Observación: en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe
porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes. Sin
embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no
podemos concluir que el límite existe. Para llegar a tal conclusión, debemos
demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea
no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra en
siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Compruebe que
Solución
La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este
caso, pues aunque el límite de cero a través de muchas trayectorias esto no
demuestre que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite
existe.
Sea , queremos encontrar un tal que
es decir
como

33
Por consiguiente, si elegimos , entonces
Por consiguiente, por la definición
Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades
con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las
funciones de una sola variable, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
Calcule los siguientes límites
1.
2.
3.
Solución
1. Evaluamos directamente

34
2. Para este límite, factorizamos el denominador
3. Para este límite racionalizamos el denominador
Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites.
El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de
un límite.
Ejemplo 4
Use coordenadas polares para comprobar que

35
Solución
Sean las coordenadas polares del punto . Entonces, como
tenemos
pues, para cualquier valor de .
El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a pensar
que el límite existe.
Ejemplo 5
Estudie la existencia del siguiente límite
Solución
Si usamos trayectorias rectas que pasan por el origen , donde ,
tenemos

36
Ahora usemos como trayectorias las parábolas de la forma , con
.
Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y
parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero,
observe que al usar la trayectoria , obtenemos
Por tanto, el límite no existe.
Definición (Continuidad en un punto)
Sea una función de dos variables, sea y
sea un disco abierto centrado en y de radio ,
decimos que es continua en si
Decimos que es continua en la región si es continua en cada punto de
la región.
Observación : la segunda función del ejemplo 3 no es continua, pues
no existe, pero podemos hacerla continua redefiniendo
como .

37
Usando las propiedades de los límites podemos obtener el siguiente teorema
sobre la continuidad de la suma producto y cociente.
Ejemplo 6
Compruebe que la siguiente función es continua en .
Solución
Del ejemplo 2 tenemos que
por lo cual, la función es continua en . La gráfica de la función se
muestra en la figura

38
Figura 3.
Observación: los ejes en la figura 3 se han variado un poco con respecto a
la forma usual en la que los hemos estado usando con el propósito de que la
superficie se pueda apreciar mejor.
Ejemplo 7
Considere la función
¿Dónde es continua la función ?
Solución
Observe que la función no esta definida para los puntos en donde
, por lo tanto es discontinua en dichos puntos. Es decir, es continua en
:

39
En la figura se muestra la región en la cual es continua.
Figura 4.
.
Teorema (Operaciones con funciones continuas)
Si es una función de dos variables continua en
y sea una función de una sola variable, entonces la
composición de funciones , definida por es
continua en
Ejemplo 8
Considere la función

40
¿Dónde es continua ?
Solución
Si y , entonces
de modo que . Por otro lado, es un polinomio y es continua en todo
, y es continua para . Por lo tanto, será continua en
que corresponde al exterior del círculo , en la figura 5 se muestra
esta región.
Figura 5.

41
4.5 Derivada direccional.
Las derivadas parciales
Considérese la función
F(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
.
Si x, y, z varían entonces f(x, y, z) varía, y tiene sentido preguntarse, por ejemplo, por las
razones de cambio y por las derivadas. Esto se hace de la siguiente forma: se considera que
2 de las variables son fijas, como constantes, y se calcula la derivada para la otra variable.
Por ejemplo: la derivada de
F(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
si asumimos y y z
Constantes y x variable, es solamente 2x (pues la derivada de (y2
) y (z2
) es cero).
Cuando esto sucede se dice que se obtiene la derivada parcial de f(x, y, z) con respecto a
x, y se denota
(Símbolos un poco diferentes a los , Dx f, o D1 f)
Entonces
= Dx f (x, y, z) = 2x.
Si se hace variar y (x y z se asumen constantes), entonces

42
Esta se denota
También = 2z, Se denota. , Dz f, o D3 f.

43

44

45
4.6 Derivadas parciales de orden superior.
Derivadas parciales de orden superior
La segunda derivada parcial (y en general todas las de orden superior) también se
pueden calcular.
Si = 2x, se repite el procedimiento para esta expresión
= 2

46
y se denota por (el 2 indica que se trata de la segunda derivada parcial) o por D
f..
Ahora bien, si se empieza con (manteniendo y y z constantes), luego se puede
seguir calculando la derivada parcial de con relación a y. Esto se escribe
o D f o D f
Ejemplo 8.Cálculo de derivadas parciales
Dada f(x,y) = ex
sen y calcular
, , , ,
, ,
Solución:
® = = ex
sen y (y constante y = ex
).
® = = ex
cos y (x constante y = cos y).
® = = = ex
sen y.
® = = = -ex
sen y.

47
® = = = ex
cos y.
® = = = ex
cos y.
® = = = ex
cos y.
Las diferentes propiedades que hemos estudiado en las funciones de una variable se
pueden generalizar y adaptar a funciones de varias variables.
Cuando se habla de ecuaciones diferenciales parciales se refiere a ecuaciones
diferenciales en las que aparecen derivadas parciales de una función de varias variables.
Estas son probablemente las ecuaciones de mayor interés para la física-matemática y sus
aplicaciones. Una de las más conocidas y útiles es la famosa ecuación de Laplace:
+ + = 0
que apareció por primera vez en la teoría newtoniana de la atracción gravitacional.
También aparece en las teorías de elasticidad, sonido, luz, calor, electromagnetismo y del
movimiento de fluidos.
4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.
Derivación de la función compuesta. Regla de la cadena
Si se tienen dos funciones  ufy  y  xgu 
Entonces   xgfy  es una función compuesta o función de función, y
su derivada con respecto a x está dada por
dx
du
du
dy
dx
dy


48
A esta expresión se le conoce como “Regla de la Cadena”
La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas
funciones.
Ejemplos:
1) Sean wwy 42
 y 12 2
 xw
Obtener
dx
dy
Solución:
42  w
dw
dy
,
122
4
2


x
x
dx
dw
 
12
2
42
2


x
x
w
dx
du
du
dy
dx
dy
  12
2
4122
2
2


x
x
x
12
8
4
12
8124
22
2





x
x
x
x
xxx
2) Utilizar la regla de la cadena para derivar:
1
1
1 2


x
y
Si uy  1 ,
v
u
1
 , 12
 xv
La derivada será

49
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy

udu
dy



12
1
, 2
1
vdv
du 
 , x
dx
dv
2
 
     22
2
2
22
2
2
2
1
1
11
1
1
1
1
1
12
2
2
1
12
1















x
x
x
x
x
x
x
v
v
x
x
vudx
dy
      2
3
222
2
2
22
2
2
11
1
1
1








xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Derivación de funciones expresadas en forma paramétrica
Dada y = f(x) , se puede representar en forma paramétrica como:
   
   




btgy
atfx
Para calcular
dx
dy
se aplica el siguiente razonamiento:
Por la regla de la cadena:
)c(
dx
dt
dt
dy
dx
dy

En donde
dx
dy
se puede obtener despejando t de la ecuación (a) . Lo cual no
siempre es fácil, y a veces hasta imposible.

50
Otra forma de obtener
dx
dt
es empleando la derivada de la función inversa.
 d
dt
dxdx
dt 1

Sustituyendo (d) en (c)













dt
dxdt
dy
dx
dy 1
dt
dx
dt
dy
dx
dy
 (e)
Para calcular la segunda derivada usamos (e)
dx
dt
dx
dy
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd












2
2
dt
dx
dt
dy
dt
d
dx
dy
dt
d

 (f)
Esto es:


















dt
dx
dt
dy
dt
d
dx
dy
dt
d

51
2
2
2
2
2



















dt
dx
dt
yd
dt
dy
dt
yd
dt
dx
(g)
Finalmente, sustituimos (g) en (f)
3
2
2
2
2
2
2



















dt
dx
dt
yd
dt
dy
dt
yd
dt
dx
dx
yd
Ejemplo: Sea la función






1
2 2
ty
ttx
Obtener
dx
dy



cartesianaecuaciónlaporb
aparamétricderivaciónpora
)
)
a) 14  t
dt
dx
tdt
dy
2
1

 142
1
14
2
1




ttt
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
b) De la segunda ecuación: t = (y+1)2
Sustituyendo. En la primera: x = 2 (y+1)4
– (y+1)2
Derivando implícitamente:
   
dx
dy
y
dx
dy
y 12181
3

   1218
1
3


yydx
dy

52
4.8 Derivación parcial implícita.
Derivación de funciones expresadas en forma implícita
Frecuentemente se presentan funciones en las cuales no es posible despejar a y
o resulta difícil hacerlo. En esta situación, debe derivarse la función tal como está
dada, (recordando que y es función de x y aplicando la regla de la cadena para
derivar los términos donde aparece y) y resolverse para
dx
dy
Ejemplo: Obtener
dx
dy
para las expresiones indicadas:
1.- 076325
 yyxx
         076325
dx
d
dx
d
y
dx
d
yx
dx
d
x
dx
d
 ,   dx
dy
y
dy
d
6
    0065 523324

dx
dy
yx
dx
d
yy
dx
d
xx
  06235 53224

dx
dy
yxy
dx
dy
yxx
  34522
2563 xyxyyx
dx
dy
  522
34
63
25
yyx
xyx
dx
dy




53
4.9 Gradiente.
El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Tiene
múltiples aplicaciones (como la divergencia y el rotacional), las cuales describiremos más adelante.
NOTA: No se asigna valor alguno al símbolo en sí
mismo . Es un operador, en el mismo sentido que lo es d/
dx: Cuando opera sobre f (x, y) produce el vector f
(x, y)
Calcular el gradiente de: )2,1(ln),( 2
puntoelenxyxyyxf 

54

55

56
4.10 Campos vectoriales.
Calcular el rot F para el campo vectorial siguiente:

57
Hemos visto que el rotacional de un campo vectorial es a su vez un campo vectorial. Otra importante
función definida sobre un campo vectorial es la divergencia, que es una función escalar

58
Hallar la divergencia en el punto (2, 1, -1) del siguiente campo vectorial:
4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física.
Rotacional de un vector
La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C1
F en R 3
.
El campo vectorial Rot F definido como sigue: Sea
y hagamos
Esta fórmula es fácil de recordar si la escribimos con la operación de "operador".
Introduzcamos formalmente el símbolo "del" o "nabla":
es un operador; esto es, actúa u opera sobre funciones con valores reales.
Específicamente, f, operando sobre f, esta dado por:
es el gradiente de f. Esta notación formal es bastante útil; si vemos como vector con
componentes , entonces podemos tomar también el producto cruz

59
Así, Rot F = x F.
El teorema siguiente enuncia la relación básica entre el gradiente y el rotacional.
Teorema: Para cualquier función f de clase C2
, tenemos
esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero.
PROPIEDADES DE LA DERIVADA.
GRADIENTES Y DERIVADAS
DIRECCIONALES
CONCEPTOS BÁSICOS
En funciones de varias variables, la operación de la derivación disfruta de
propiedades parecidas a las que tiene en funciones de una variable, lo que resulta
de muy fácil aplicación en casos de derivadas de sumas, productos y cocientes de
funciones. La operación que quizá acarrea ciertas dificultades operacionales es la
derivación de composición de funciones. Para dos funciones f y g que se pueden
componer entre sí, se verifica la siguiente forma matricial de la regla de la cadena:
)()())(( 000 xDyDxD gfgf 
En la práctica, sin embargo, raras veces practicamos el producto matricial, sino que
aplicamos el primero y segundo caso especial de la regla de la cadena:

60
x
w
w
h
x
v
v
f
x
u
u
f
x
h
zyxwzyxvzyxufgfzyxh
zyxwzyxvzyxuzyxg
gf
dt
dz
z
h
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
tcf
dt
dh
tztytxftcfth
c
f











































));;();;;();;;(());;(
));;();;;();;;(();;(
:;:
)(·
))();();(())(()(
:
:
333
3
3

RRRR
RR
RR
En el segundo caso, podemos escribir expresiones análogas para las derivadas de h
respecto a y y respecto a z.
El gradiente de una función de Rn
en R es el vector de sus derivadas parciales:













z
f
y
f
x
f
zyxf ;;);;(
Las derivadas direccionales, notadas Duf, son límites de cocientes incrementales
según una dirección de acercamiento u a un punto del dominio. Si tomamos la forma
normalizada (vector unitario) de la dirección u, se puede mostrar que Duf(x0) =
f(x0)·u; y el máximo valor de la derivada direccional se obtiene en la dirección del
vector gradiente.
Si se tiene una superficie definida por F(x; y; z) = 0, el gradiente F es un vector
normal a la superficie en cualquier punto.
4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.

Unidad 4 funciones reales de varias variables

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (13)

Semelhante a Unidad 4 funciones reales de varias variables

Semelhante a Unidad 4 funciones reales de varias variables (20)

Último

Último (9)

Unidad 4 funciones reales de varias variables