Ley de coulomb TE

1. Clase 2
23/Enero/2015

2.  Se revisarán los conceptos fundamentales de la teoría
electromagnética en condiciones estáticas, esto es, sin considerar
variaciones temporales en las fuentes ni en los campos producidos
por ellas. A pesar de la evidente limitación de este análisis, lo
cierto es que resulta muy instructivo, porque revela la naturaleza
y las características esenciales de los campos y de las demás
magnitudes físicas relacionadas.

3.  En la realidad muchos fenómenos electromagnéticos no se
desarrollan en condiciones estáticas, pero sus variaciones
temporales son lentas en comparación con los tiempos
propios de los fenómenos básicos y de los medios materiales
que intervienen, por lo que en esas ocasiones bastaría con
asignar a los campos las mismas variaciones temporales de
las fuentes, una vez calculados aquéllos mediante los
métodos propios del análisis estático.

4.  La ley de Coulomb cuantifica la fuerza que ejercen entre sí dos
cuerpos cargados eléctricamente, la cual aparece como un dato
de experiencia.

5.  Consideremos dos cuerpos cargados, con cargas 𝑞1 y 𝑞2
respectivamente, de dimensiones reducidas respecto a la
distancia que los separa, d. Se comprueba que la fuerza que
cada uno de ellos ejerce sobre el otro es
𝐹12 = 𝐹21 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1 𝑞2
𝑟2

6. LEY DE COULOMB
 La fuerza ejercida por una carga puntual sobre
otra esta dirigida a lo largo de la línea que las
une. La fuerza varía inversamente con el
cuadrado de la distancia que separa las cargas y
es proporcional al producto de las mismas. Es
repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y
atractiva si las cargas tienen signos opuestos.

7. Donde el subíndice 21 quiere decir “sobre 1
debido a 2”. La dirección en que se ejercen
tales fuerzas es de la línea que une a ambas
cargas.
 𝜀0 es la permitividad dieléctrica del vacío, de
valor 8,85418 Faradios /metro 𝐹/𝑚

8.  La fuerza ejercida sobre un cuerpo no parece tener una
existencia real si la separamos del objeto sobre el que actúa.
 Sin embargo en teoría electromagnética se trabaja con el
concepto de campo, como fuerza ejercida por unidad de carga,
independientemente de si esta causando o no algún efecto
sobre otros cuerpos próximos

9.  Por lo tanto se define el campo eléctrico E r en un punto r del
espacio, creado por un cuerpo cargado, como la fuerza que
ejercería sobre la unidad de carga positiva si estuviera situada
en dicho punto.

10.  Habitualmente se expresa en forma de límite, queriendo
indicar que dicha carga de prueba no altera la distribución
original de las cargas cuyo campo medimos.
𝐸 𝑟 = lim
𝑞 𝑝→0
𝐹
𝑞 𝑝

11. LEY DE COULOMB
 La ley de coulomb se puede también expresar como ll modulo
de la fuerza eléctrica ejercida por una carga q1 sobre otra q2 a
la distancia 𝑟 viene dada por:
1 2
2
q q
F k
r


12. LEY DE COULOMB
 En donde 𝑘 es una constante determinada experimentalmente
llamada constante de Coulomb que tiene valor:
9 2 2
8.99 10 /k N m C  

13. LEY DE COULOMB
1r
2r
1q
2q
1,2 2 1r r r 
Cargas 𝑞1 en la posición 𝑟1 y
carga 𝑞2 en 𝑟2 ambas
respecto al origen O. La
fuerza ejercida por 𝑞1 sobre
𝑞2 esta en la dirección y
sentido del vector 𝑟1,2 =
𝑟2 − 𝑟1 si ambas cargas
tienen el mismo signo, y en
sentido opuesto si sus
signos son contrarios.
Nota. De acuerdo a la tercera Ley de Newton la Fuerza 𝐹2,1,
ejercida por 𝑞2 sobre 𝑞1 es de sentido contrario a la Fuerza
𝐹1,2

14. LEY DE COULOMB
 Si 𝑞1 se encuentra en la posición 𝑟1 y 𝑞2 en 𝑟2, la fuerza 𝐹1,2
ejercida por 𝑞1 sobre 𝑞2 es
 
1 2
1,21,2 2
1,2
1 2Ley de Coulomb para la fuerza ejercida por y
kq q
F r
r
q q


15. PROBLEMAS
 Problema 1
 Una carga 𝑞1 = 4𝜇𝐶 está en el origen y otra carga 𝑞2 = 6𝜇𝐶
esta sobre el eje 𝑥 en el punto 𝑥 = 3𝑚. (a) Hallar la fuerza
ejercida sobre la carga 𝑞2. (b) Hallar la fuerza ejercida sobre la
carga 𝑞1. (c) ¿En que diferirán estas respuestas (a) y (b), si
𝑞2vale −6𝜇𝐶.?

16. SOLUCIÓN
 Inciso a
 Podemos encontrar las fuerzas de las dos cargas que ejercen
sobre cada una mediante la aplicación de la ley de Coulomb y
la 3 ª ley de Newton.
 Debemos tener en cuenta que debido a que el vector que
apunta desde 𝑟1,2 = 𝑖 debido a que el vector apunta desde
𝑞1 𝑎 𝑞2 en la dirección 𝑥 positiva.

17. SOLUCIÓN
 Usamos la ley de coulomb para encontrar la fuerza ejercida de
𝑞1 sobre 𝑞2y tenemos que:
   
 
 
1 2
1,21,2 2
1,2
9 2 2
1,2 2
8.99 10 / 4 6
24
3
kq q
F r
r
N m C C C
F i mN i
m
 
 
 
 

18. SOLUCIÓN
 Inciso b
 Debido a que se trata de fuerzas de acción y reacción, podemos
aplicar la 3ª ley de Newton para obtener
 2,1 1,2 24F F mN i   

19. SOLUCIÓN
 Inciso c
 Debido a que se trata de fuerzas de acción y reacción, podemos
aplicar la 3ª ley de Newton para obtener
   
 
 
 
9 2 2
1,2 2
2,1 1,2
8.99 10 / 4 6
24
3
24
N m C C C
F i mN i
m
F F mN i
   
  
  

20. Problema 2
Tres cargas puntuales están en el eje 𝑥;
𝑞1 = −6𝜇𝐶 esta en 𝑥 = −3𝑚, 𝑞2 = 4𝜇𝐶 esta
en el origen y 𝑞3 = −6𝜇𝐶 está en 𝑥 = 3𝑚.
Hallar la fuerza ejercida sobre 𝑞1.

21.  𝑞2 ejerce una fuerza de atracción 𝐹2,1,
sobre 𝑞1 𝑦 𝑞3 una fuerza repulsiva
𝐹3,1.
Podemos encontrar la fuerza neta
sobre 𝑞1 mediante la adición de estas
fuerzas

22.  Por lo tanto tenemos el siguiente diagrama:

23.  Expresar la fuerza neta que actúa sobre 𝑞1
1 2,1 3,1..............( )F F F A 

24.  Expresamos la fuerza que ejerce 𝑞2 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑞1:
 1 2
2,1 2
2,1
k q q
F i
r


25.  Expresamos la fuerza que ejerce 𝑞3 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑞1:
 1 3
3,1 2
3,1
k q q
F i
r
 

26.  Sustituyendo las ecuaciones anteriores en (A) tenemos que:
1 31 2
1 2 2
2,1 3,1
32
1 2 2
2,1 3,1
k q qk q q
F i i
r r
qq
k q i
r r
 
 
   
 

27.  Evaluando numéricamente tenemos
  
   
 
9 2 2
1 2 2
2
1
4 6
8.99 10 / 6
3 6
1.50 10
C C
F N m C C i
m m
F N i
 


 
    
 
 
 

28.  Problema 3
 Una carga de 5𝜇𝐶 se encuentra sobre el eje 𝑦
en 𝑦 = 3𝑐𝑚 y una segunda carga de −5𝜇𝐶 esta
sobre el eje 𝑦 en 𝑦 = −3𝑐𝑚. Determinar la
fuerza ejercida sobre una carga de 2𝜇𝐶 situada
sobre el eje 𝑥 en 𝑥 = 8𝑐𝑚.

29. SOLUCIÓN
 La configuración de la carga y la fuerza sobre 𝑞3 se
muestran en la figura como un sistema de
coordenadas. De la geometría de la distribución de
carga, es evidente que la fuerza neta sobre la carga
de 2𝜇𝐶 es en la dirección 𝑦 negativa. Podemos
aplicar la ley de Coulomb para expresar 𝐹1,3 y 𝐹2,3
luego sumar ambas para encontrar la fuerza neta
sobre 𝑞3.

30. SOLUCIÓN

31. SOLUCIÓN
 Por lo tanto la fuerza neta que actúa sobre 𝑞3 es:
 Expresamos la fuerza que 𝑞1 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑞3
3 1,3 2,3..........( )F F F A 
1,3
1 2
2
cosF F i Fsen j
kq q
F
r
   
 

32. SOLUCIÓN
   
   
1,3
1 2
2
9 2 2
2 2
cos
8.99 10 / 5 2
0.03 0.08
12.3
F F i Fsen j
kq q
F
r
N m C C C
F
m m
F N
 
 
  
 
 




33. SOLUCIÓN
Expresamos la fuerza que 𝑞2 ejerce sobre 𝑞3
1 3
tan 20.6
8
cm
cm
   
   
 
2,3 cosF F i Fsen j   

34. SOLUCIÓN
 Sustituimos 𝐹1,3 𝑦 𝐹2,3 en la ecuación (A) y
simplificamos
 𝐹3= 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 − 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗
 𝐹3= −2𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗
 Evaluamos y tenemos
 𝐹3 = −2 12.3𝑁 𝑠𝑒𝑛 20.6° 𝑗 = −(8.66𝑁) 𝑗

35.  Problema 4
 Una carga 𝑞 = 2 × 10−5
𝐶 es dividida en dos cargas
puntiformes de valores 𝑞 𝑦 𝑞 − 𝑞1 colocados una
distancia de 𝑑 = 1𝑚 una de la otra en el vacío. Se
pide hallar las dos fracciones de la carga 𝑞 que, en la
situación arriba especificada; dan una fuerza de
repulsión máxima y el valor de esta fuerza.

36. SOLUCIÓN
1q 1q q
1d m
Dado el gráfico
hallemos la fuerza
entre las cargas.

37. SOLUCIÓN
 Considerando que 𝐹 = 𝑘
𝑞1 𝑞−𝑞1
𝑑2 , para hallar el
máximo derivamos:

𝜕𝐹
𝜕𝑞1
= 𝑞 − 2𝑞1 = 0, 𝑞1 = 𝑞/2
 Y por lo tanto tenemos que
 𝑞 − 𝑞1 = 𝑞/2

38. SOLUCIÓN
Se entiende que es un máximo porque

𝜕2 𝐹
𝜕𝑞1
2 < 0
Reemplazando valores tenemos
 𝑞1 =
𝑞
2
=
2×10−5 𝐶
2
= 10−5
𝐶

39. SOLUCIÓN
Por lo tanto el valor de la Fuerza neta será
 𝐹 = 𝑘
𝑞1 𝑞−𝑞1
𝑑2 ⟹
=
8.99×109 𝑁∙𝑚2/𝐶2 2×10−5 𝐶 2×10−5 𝐶−10−5 𝐶
1𝑚 2
 𝐹 = 0.9𝑁

40.  Problema 5
 Cuatro cargas positivas de 10𝑛𝐶 se ubican en le
plano 𝑧 = 0 en las esquinas de un cuadrado de
8cm de lado. Una quinta carga positiva se sitúa
en un punto ubicado a 8 cm de distancia de las
demás. Calcular la magnitud de la fuerza total
sobre esta quinta carga para 𝜖 = 𝜖 𝑜

41. Solución
Organizamos las cargas en el plano en las
locaciones 4,4 , 4, −4 , −4,4 𝑦 (−4, −4) .
Entonces la quinta carga estará
localizada en el eje 𝑧 en la posición 𝑧 =
4 2, lo que la coloca a una distancia de 8
cm de las otros cuatro. Por simetría, la
fuerza de la quinta carga será en
dirección de 𝑧, y será de cuatro veces la
componente 𝑧, la fuerza producida por
cada uno de las otras cuatro cargas.

42.  Solución
8𝑐𝑚
8𝑐𝑚
𝑧 = 0

43.  Solución
8𝑐𝑚
8𝑐𝑚
4,4
4, −4
−4,4
−4, −4

44. Solución
Por lo tanto tenemos que
 𝐹 =
4
2
×
𝑞2
4𝜋𝜖 𝑜 𝑑2 =
4
2
×
10−8 2
4𝜋 8.85×10−12 0.08 2
 𝐹 = 4.0 × 10−4
𝑁

45. Problema 6
Cuatro cargas puntuales de 50𝑛𝐶 cada
una se ubican en el espacio libre en los
puntos
𝐴 1,0,0 , 𝐵 −1,0,0 , 𝐶 0,1,0 𝑦 𝐷(0, −1,0) .
Encontrar la fuerza total sobre la carga
que está en 𝐴

46.  Solución
 La fuerza será:
 𝐹 =
50×10−9 2
4𝜋𝜖 𝑜
𝑉 𝐶𝐴
𝑉 𝐶𝐴
+
𝑉 𝐷𝐴
𝑉 𝐷𝐴
+
𝑉 𝐵𝐴
𝑉 𝐵𝐴
 Donde el vector
 𝑉𝐶𝐴 = 𝑖 − 𝑗, 𝑉𝐷𝐴 = 𝑖 + 𝑗 𝑦 𝑉𝐵𝐴 = 2𝑖
 Las magnitudes serán
 𝑅 𝐶𝐴 = 𝑅 𝐷𝐴 = 2 y 𝑅 𝐵𝐴 = 2

47. Solución
Sustituyendo estos valores tenemos
 𝐹 =
50×10−9 2
4𝜋𝜖 𝑜
1
2 2
+
1
2 2
+
2
8
𝑖 = 21.5𝑖 𝜇𝑁
Las distancias son en metros.