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Clase 7 capacitancia y dielectricos TE

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Clase 7 capacitancia y dielectricos TE

  1. 1. Clase 7 14/Octubre/2014
  2. 2.  Se analizan dispositivos que almacenan carga eléctrica. Los capacitores se analizan por lo común en una variedad muy amplia de circuitos eléctricos. Por ejemplo se usan para sintonizar la frecuencia de receptores y radios, como filtros en suministro de energía eléctrica, para eliminar chispas en los sistemas de incendio de automóviles y como dispositivos de almacenamiento de energía.  Un capacitor se componen de dos conductores separados por un aislante. Se vera que la capacitancia de un capacitor dado depende de su geometría y del material llamado dieléctrico que separa a los conductores.
  3. 3.  Considere dos conductores que tienen cargas de igual magnitud pero de signo opuesto, como se muestra en la figura.  Un capacitor consiste de dos conductores que conducen cargas de igual magnitud pero de signos opuestos.
  4. 4.  Tal combinación de dos conductores se denomina capacitor. Los conductores se conocen como placas. Debido a la presencia de las cargas existe una diferencia de potencial Δ푉 entre los conductores. Puesto que la unidad de diferencia de potencial es el volt, una diferencia de potencial suele ser llamada voltaje. Se usara ese termino para describir la diferencia de potencial a través de un elemento de circuito o entre dos puntos en el espacio.  ¿Qué determina cuanta carga está sobre las placas del capacitor para un voltaje determinado? En otras palabras, ¿Cuál es la capacidad del dispositivo para almacenar carga aun valor particular de Δ푉?
  5. 5.  Los experimentos muestran que la cantidad de carga 푄 sobre un capacitor es linealmente proporcional a la diferencia de potencial entre los conductores; es decir, 푄 훼 Δ푉. La constante de proporcionalidad de pende de la forma de separación de los conductores. Esta relación se puede escribir como Q = CΔV si se define a la capacitancia como sigue:  La capacitancia 퐶 de un capacitor es la razón entre la magnitud de la carga en cualquiera de los dos conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos: 퐶 = 푄 Δ푉 퐷푒푓푖푛푖푐푖ó푛 푑푒 퐶푎푝푎푐푖푡푎푛푐푖푎
  6. 6.  Nota. La capacitancia siempre es una cantidad positiva, porque la diferencia de potencial aumenta linealmente con la carga almacenada, la proporción 푄/Δ푉 es constante para un capacitor dado.  La capacitancia se expresa en el SI con las unidades coulomb por volt. La unidad de la capacitancia del SI es el farad (F) 1퐹 = 1퐶 푉
  7. 7.  El farad es una unidad de capacitancia muy grande. En la práctica los dispositivos comunes tienen capacitancias que varían de microfarads (10−6 퐹) a picofarads, para propósitos prácticos los capacitores casi siempre se marcan con "푚퐹" para microfarads o, de manera equivalente, "푝퐹“ para picofarads.
  8. 8.  Considere un capacitor formado a partir de un par de placas como se muestra en la figura Un capacitor de placas paralelas consta de dos placas conductoras paralelas, cada una de área A, separadas por una distancia d. Cuando el capacitor se carga, las placas transportan iguales cantidades de carga. Una placa conduce carga positiva y la otra conduce carga negativa.
  9. 9.  Cada placa esta conectada a la terminal de una batería que actúa como una fuente de diferencia de potencial. Si el capacitor esta inicialmente descargado, la batería establece un campo eléctrico en los alambres conectores cuando se realizan las conexiones.  Centremos la atención sobre la placa conectada a la terminal negativa de la batería. El campo eléctrico aplica una fuerza sobre los electrones en el alambre afuera de esta placa, esta fuerza provoca que los electrones se muevan hacia la placa.  Este movimiento continua hasta que la placa, el alambre y la terminal están todos en el mismo potencial eléctrico.
  10. 10.  Una vez alcanzado el punto de equilibrio, ya no existe mas una diferencia de potencial entre la terminal y la placa, y como resultado no existe un campo eléctrico en el alambre, por tanto el movimiento de los electrones se detiene. La placa ahora porta una carga negativa.  Un proceso similar ocurre en la otra placa del capacitor, con los electrones moviéndose desde la placa hacia el alambre, dejando la placa cargada positivamente.  En esta configuración final la diferencia de potencial a través de las placas es la misma que existe entre las terminales de la batería.
  11. 11.  Suponga que se tiene un capacitor especificado de 4푝퐹 de carga por cada volt de diferencia de potencia entre los dos conductores. Si una batería de 9 Volts se conecta a través de este capacitor, uno de los conductores terminará con una carga neta de −36 푝퐶 y el otro finalizara con una carga neta de +36 푝퐶.
  12. 12.  Problema 1  A) ¿Cuánta carga existe en cada placa de un capacitor de 4휇퐹 cuando se conecta a una batería de 12푉? B) Si este mismo capacitor se conecta a una batería de 1.50V, ¿que carga se almacena?
  13. 13.  Solución  Datos:  퐶 = 4휇퐹; Δ푉 = 12푉  Inciso a  Sabemos que: 퐶 = 푄 Δ푉 ⟹ 푄 = 퐶 ∙ Δ푉 = 4 × 10−6 × 12  ∴ 푄 = 48휇퐶
  14. 14.  Solución  Datos:  퐶 = 4휇퐹; Δ푉 = 1.50푉  Inciso b  Sabemos que: 퐶 = 푄 Δ푉 ⟹ 푄 = 퐶 ∙ Δ푉 = 4 × 10−6 × 1.5  ∴ 푄 = 6휇퐶
  15. 15.  Problema 2  Dos conductores con cargas netas de +10휇퐶 푦 − 10휇퐶 tienen una diferencia de potencial de 10V. Determine a) la capacitancia del sistema y b) la diferencia del potencial entre los dos conductores si las cargas en cada uno se incrementan hasta + 100휇퐶 푦 − 100푢퐶.
  16. 16.  Solución  Datos:  푄1 = +10휇퐹 푄2 = −10휇퐹 Δ푉 = 10푉  Inciso a  Sabemos que: 퐶 = 푄 Δ푉 = 10×10−6 10  ∴ 퐶 = 1휇퐹
  17. 17.  Solución  Datos:  푄1 = +100휇퐹 푄2 = −100휇퐹 Δ푉 = 10푉  Inciso b  Sabemos que: Δ푉 = 푄 퐶 = 100×10−6 1×10−6  ∴ Δ푉 = 100V
  18. 18.  La capacitancia de un par de conductores con cargas opuestas se pueden calcular de la siguiente manera: se supone una carga de magnitud 푄, y la diferencia de potencial se calcula mediante las técnica antes vistas. Por lo tanto se usa la expresión 퐶 = 푄/Δ푉 para evaluar la capacitancia. Como se podría esperar, el calculo se efectúa con relativa facilidad si la geometría del capacitor es simple.
  19. 19.  Se puede calcular la capacitancia de un conductor esférico aislado de radio 푅 y carga 푄 si se supone que el segundo conductor que forma el capacitor es una esfera hueca concéntrica de radio infinito. El potencial eléctrico de la esfera de radio 푅 es simplemente 푘푒푄 푅 , 푦 푉 = 0, se establece por lo tanto lo siguiente: 퐶 = 푄 Δ푉 = 푄 퐾푒푄/푅 = 푅 푘푒 = 4휋휖0푅  Esta expresión muestra que la capacitancia de una esfera cargada aislada es proporcional a su radio y es independiente tanto de la carga sobre la esfera como de la diferencia de potencial.
  20. 20.  La capacitancia de un par de conductores depende de la geometría de los mismos. Se ilustra esto con tres geometrías familiares, es decir, placas paralelas, cilindros concéntricos y esferas concéntricas.
  21. 21. Geometría Capacitancia observaciones Esfera cargada aislada de radio 푅 (segundo conductor cargado supuesto al infinito: que se encuentra alejado una distancia muy grande con respecto a un punto de referencia) 퐶 = 4휋휖0푅 Esta expresión muestra que la capacitancia de una esfera cargada aislada es proporcional a su radio y es independiente tanto de la carga sobre la esfera como de la diferencia de potencial. Capacitor de placas paralelas con área de placa A y separación de placa d 퐶 = 휖0 퐴 푑 La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de estas. Capacitor cilíndrico de longitud 퐿 y radios interior y exterior a y b respectivamente. 퐶 = 퐿 2푘푒푙푛 푎 푏 Un ejemplo de este tipo de arreglo geométrico es un cable coaxial, el cual consta de dos conductores cilíndricos concéntricos separados de un aislante. El cable conduce señales eléctricas en los conductores interior e exterior. Tal geometría es especialmente útil para proteger las señales de cualquier influencia externa Capacitor esférico con radios interior y exterior a y b respectivamente 퐶 = 푎푏 푘푒 푏 − 푎
  22. 22. Un capacitor cilíndrico consta de un conductor cilíndrico solido de radio a y longitud L rodeado por un cascaron cilíndrico coaxial de radio b. La segunda figura es la vista transversal. Las líneas punteadas representan la forma de la superficie gaussiana cilíndrica de radio y longitud L.
  23. 23. Key = Tecla Movable plate = Placa móvil Soft insulator = Aislante suave Fixed plate =Placa fija La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de estas.
  24. 24. Un capacitor esférico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un cascarón esférico concéntrico de radio b. El campo eléctrico entre las esferas esta dirigido radialmente hacia afuera cuando la esfera interior tiene carga positiva.
  25. 25.  Problema 3  Una esfera conductora cargada y aislada de 12cm de radio crea un campo eléctrico de 4.90 × 104푁/퐶 a una distancia de 21 cm de su centro. A) ¿Cuál es su densidad de carga superficial? B) ¿Cuál es su capacitancia?
  26. 26.  Solución Esfera Conductora  Datos 푟 푅  푅 = 0.12푚, 푟 = 0.21푚, 퐸 = 4.9 × 104푁/퐶
  27. 27.  Solución  Datos  푅 = 0.12푚, 푟 = 0.21푚, 퐸 = 4.9 × 104푁/퐶  Inciso a  Por Gauss tenemos que: Φ = 퐸 ∙ 푑퐴 = 푄 휖표  ⇒ 퐸 × 4휋푟2 = 휎 4휋푅2 휖표  ⇒ 휎 = 퐸휖표푟2 푅2 = 4.9×104 8.85×10−12 0.21 2 0.12 2 = 1.33휇퐶/푚2
  28. 28.  Solución  Datos  푅 = 0.12푚, 푟 = 0.21푚, 퐸 = 4.9 × 104푁/퐶  Inciso b  Sabemos que la capacitancia para una esfera conductora es:  퐶 = 4휋휖표푅  퐶 = 4휋 × 8.85 × 10−12 0.12  퐶 = 13.3푝퐹
  29. 29.  Problema 4  A) Si una gota de liquido tiene una capacitancia de 1푝퐹, ¿Cuál es su radio? B) Si otra gota tiene un radio de 2 mm. ¿Cuál es su capacitancia? C) ¿Cuál es la carga en la gota mas pequeña si su potencial es de 100V?
  30. 30.  Solución  Inciso a  Datos  퐶 = 1푝퐹 푅 =?  Considerando a la gota del liquido como una esfera, entonces:  퐶 = 4휋휖0푅  ⟹ 1 × 10−12 = 4휋 8.85 × 10−12 푅  ∴ 푅 = 8.96 × 10−3푚
  31. 31.  Solución  Inciso b  Datos  푆푖 푅 = 2 × 10−3푚 퐶 =?  Sabemos que para una esfera  퐶 = 4휋휖0푅  ⇒ 퐶 = 4휋 × 8.85 × 10−12 2 × 10−3  ∴ 퐶 = 0.224푝퐹
  32. 32.  Solución  Inciso c  Datos  푁표푠 푝푖푑푒푛 푞 =? 푑푒 푙푎 푔표푡푎 푑푒 푟푎푑푖표 2 × 10−3푚 Δ푉 = 100푉  Entonces como: 퐶 = 푄 Δ푉 ⟹ 0.224 × 10−12 = 푄 100  ∴ 푄 = 22.4푝퐶

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