Cálculo Diferencial 
e Integral 
Capítulo – 1 
Introdução 
Bibliografia: Geraldo Ávila 
James Stewart
1.1 Desigualdades 
 A representação geométrica dos números reais 
sugere que estes podem ser ordenados. 
 Usando os símb...
1.2 Intervalos 
 Muitos subconjuntos de R são definidos 
através de desigualdades. Os mais 
importantes são os intervalos...
1.2 Intervalos 
 Intervalo aberto de extremidades a e b, 
denotado por (a, b) é definido por:
1.2 Intervalos 
 Intervalo fechado de extremidades a e b, 
denotado por [a, b] é definido por:
1.2 Intervalos 
 Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, 
são denotados e definidos, 
respectivamente, por:
1.2 Intervalos 
 Os quatro intervalos assim definidos são ditos 
limitados. Introduzindo os símbolos −∞ e +∞, os 
quais n...
Desigualdades Lineares 
 Determinemos o conjunto-solução de: 
 a x + b ≥ 0 é equivalente a a x ≥ −b; logo: 
 Se a > 0, ...
Desigualdades Quadráticas 
 Seja a x2 + b x + c = 0 a equação de 
segundo grau. 
 Denotemos por  = b2 − 4 a c o 
discri...
Desigualdades Quadráticas 
 Para  > 0. 
 Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 
tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞)...
Desigualdades Quadráticas 
 Para  = 0. 
 Se a > 0, a desigualdade 
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e 
a x2+b x+c ...
Desigualdades Quadráticas 
 Para  < 0. 
 Se a > 0, a desigualdade 
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e 
a x2+b x+c ...
Exemplo 1.1 
 [1] Ache a solução de: x3 < x. Fatorando 
x3 − x = x (x + 1) (x − 1); então, x3 − x < 0 é 
equivalente a x ...
Exemplo 1.1 
 [2] Ache a solução de: 
 (3 x − 2 / x + 2) ≥ 5. 
 Note que a desigualdade não é equivalente a 
3 x−2 ≥ 5 ...
Exemplo 1.1 
 [3] Ache a solução de: 
 Resolvemos 
 (x + 2 / x − 1) − (x / x + 4) ≤ 0, que é 
equivalente a 
 (7 x + 8...
1.3 Valor Absoluto 
 O valor absoluto ou módulo de um número real a, 
denotado por |a| é definido como o maior número 
do...
1.3 Valor Absoluto 
 1. √a2 = |a|, para todo a  R 
 2. |b| < a se, e somente se b  (−a, a), a > 0 
 3. |a · b| = |a| ...
Exemplo 1.2 
 [1] Achar a solução de: |x2 − x + 1| > 1. 
 Pelas propriedades anteriores, |x2−x+1| > 1 é 
equivalente a: ...
Exemplo 1.2 
 [2] Achar a solução de: |9 − 2 x| ≥ |4 x|. 
 Pela propriedades anteriores, |9−2 x| ≥ |4 x| é 
equivalente ...
1.3.1 Distância 
 Usando o valor absoluto podemos definir a 
distância entre dois números reais. A 
distância entre os nú...
Exemplo 1.3 
 [1] A distância entre os números  e −  é 
|  - (−) | = 2 . 
 [2] A distância entre os números −5 e −2...
1.4 Plano de Coordenado 
 Um par ordenado de números reais é uma dupla 
de números reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x)...
1.4 Plano de Coordenado 
 A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo 
dos x e a reta vertical é chamada eixo ...
1.4 Plano de Coordenado 
 Por exemplo, os seguintes pontos: 
 A = (1, 2), B = (−2, 1), C = (−2,−1), e 
D = (1,−2), tem a...
1.4 Plano de Coordenado 
 Usando o teorema de Pitágoras podemos 
definir a distância entre dois pontos do plano 
coordena...
1.4 Plano de Coordenado 
 A distância possui as seguintes 
propriedades imediatas. 
 Proposição 1.1. Sejam A, B e C pont...
Exemplo 1.4 
 [1] Calcule a distância entre os pontos 
 A = (2,−3) e B = (−2, 1). 
 Aplicando a fórmula: 
 d(A,B) = [(...
Exemplo 1.4 
 [2] Determine o ponto Q, que divide na 
razão 3/4 o segmento de reta que liga os 
pontos (−4,−1) e (12, 11)...
Exemplo 1.4 
 Os triângulos PQS e PRT são semelhantes; 
logo: 
 Por outro lado
Exemplo 1.4 
 Aplicando a fórmula da distância, temos 
que: 
 d(P, S) = x + 4, d(Q, S) = y + 1 e 
 d(R, T) = 12. 
 Obt...
1.5 Equação da Reta 
 1.5.1 Equação Geral da Reta 
 Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos 
distintos no plano:...
1.5 Equação da Reta
Exemplo 1.5 
 [1] Ache a equação da reta que passa 
pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2,−4). 
 Neste caso: a = 3 + 4 = 7...
Exemplo 1.5
Exemplo 1.5 
 [2] Determine k tal que o ponto P = (3, k) 
pertença à reta 3 x + 5 y − 12 = 0. 
 O ponto P = (3, k) perte...
Exemplo 1.5
1.5.2 Equação Reduzida da Reta 
 Se uma reta não é paralela ao eixo dos y, 
então b  0. Fazendo: 
 m = (y2 − y1) / (x2 ...
1.5.2 Equação Reduzida da Reta 
 m é chamado coeficiente angular da reta e 
n coeficiente linear da reta. 
 É fácil ver ...
Exemplo 1.6 
 [1] Obtenha a equação reduzida da reta 
que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = 
(6, 5). 
 Neste caso: m...
Exemplo 1.6
Exemplo 1.6 
 [2] Escreva na forma reduzida a equação: 
4 x + 2 y + 5 = 0. 
 A forma reduzida é do tipo y = mx + n; 
ent...
1.5.3 Paralelismo e 
Perpendicularismo de Retas 
 Sejam y = m1 x + n1 e y = m2 x + n2 as equações 
de duas retas. As reta...
Exemplo 1.7 
 [1] Ache o valor de k tal que as retas: 
 (a) y − [(2 + k) x / (2 − k)] = 1 e y − 3 x + [(k − 2) / 
(k + 2...
Exemplo 1.7
Exemplo 1.7 
 [2] Determine a reta que passa pelo ponto 
de interseção das retas 2 x−3 y+7 = 0 e 5 
x+y+9 = 0 e é perpend...
Exemplo 1.7 
 Obtemos o ponto (−2, 1). A reta que 
procuramos tem equação y = m2 x+b tal 
que m1·m2 = −1, onde m1 = 2 é o...
Exemplo 1.7
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Calculo diferencialintegralcapitulo1

  1. 1. Cálculo Diferencial e Integral Capítulo – 1 Introdução Bibliografia: Geraldo Ávila James Stewart
  2. 2. 1.1 Desigualdades  A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados.  Usando os símbolos usuais para maior (>),maior ou igual (≥),menor (<),menor ou igual (≤), podemos ver, por exemplo, que se a, b  R e a < b, então b − a > 0;  no eixo coordenado temos que a está à esquerda de b.  Para todo a, b  R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.
  3. 3. 1.2 Intervalos  Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os intervalos.  Sejam a, b  R tais que a < b.
  4. 4. 1.2 Intervalos  Intervalo aberto de extremidades a e b, denotado por (a, b) é definido por:
  5. 5. 1.2 Intervalos  Intervalo fechado de extremidades a e b, denotado por [a, b] é definido por:
  6. 6. 1.2 Intervalos  Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente, por:
  7. 7. 1.2 Intervalos  Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos −∞ e +∞, os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:  Note que R = (−∞,+∞). Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequações, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
  8. 8. Desigualdades Lineares  Determinemos o conjunto-solução de:  a x + b ≥ 0 é equivalente a a x ≥ −b; logo:  Se a > 0, x ≥ −b/a; o conjunto-solução é  Se a < 0, x ≤ −b/a; o conjunto-solução é
  9. 9. Desigualdades Quadráticas  Seja a x2 + b x + c = 0 a equação de segundo grau.  Denotemos por  = b2 − 4 a c o discriminante da equação e ,  as raízes reais da equação ( ≤ ). O conjunto-solu ção S de uma desigualdade quadrática depende do sinal de a e de  .
  10. 10. Desigualdades Quadráticas  Para  > 0.  Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞) e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução [, ]  Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução [, ] e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞) .
  11. 11. Desigualdades Quadráticas  Para  = 0.  Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução {}.  Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução {} e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.
  12. 12. Desigualdades Quadráticas  Para  < 0.  Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução 0.  Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução 0 e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.
  13. 13. Exemplo 1.1  [1] Ache a solução de: x3 < x. Fatorando x3 − x = x (x + 1) (x − 1); então, x3 − x < 0 é equivalente a x (x + 1) (x − 1) < 0, da qual obtemos x < −1 ou 0 < x < 1.  O conjunto-solução é:  S = (−∞,−1) U (0, 1).
  14. 14. Exemplo 1.1  [2] Ache a solução de:  (3 x − 2 / x + 2) ≥ 5.  Note que a desigualdade não é equivalente a 3 x−2 ≥ 5 (x+2).  Se x+2 > 0, isto é x > −2; então, 3 x−2 ≥ 5 (x+2), donde obtemos x ≤ −6.  Se x+2 < 0, isto é x < −2; então, 3 x−2 ≤ 5 (x+2), donde obtemos x ≥ −6.  Logo, o conjunto-solução é: S = [−6,−2).
  15. 15. Exemplo 1.1  [3] Ache a solução de:  Resolvemos  (x + 2 / x − 1) − (x / x + 4) ≤ 0, que é equivalente a  (7 x + 8) / (x − 1) (x + 4) ≤ 0, da qual obtemos −(8 / 7) ≤ x < 1 ou x < −4.  Logo, o conjunto-solução é:  S = (−∞,−4) U ( −8/7 , 1).
  16. 16. 1.3 Valor Absoluto  O valor absoluto ou módulo de um número real a, denotado por |a| é definido como o maior número do conjunto {a, −a}, ou equivalentemente:  |a| = {a se a ≥ 0} ou {−a se a < 0}.  Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintes  propriedades imediatas. Sejam a, b  R; então:
  17. 17. 1.3 Valor Absoluto  1. √a2 = |a|, para todo a  R  2. |b| < a se, e somente se b  (−a, a), a > 0  3. |a · b| = |a| · |b|  4. |b| ≥ a se, e somente se b ≥ a ou b ≤ −a, a > 0  5. |a/b| = |a| / |b|, se b  0  6. |a + b| ≤ |a| + |b|.  7. |y| < r, logo –r < y < r  8. |y| ≥ 1 , y ≤ -1 ou y ≥ 1
  18. 18. Exemplo 1.2  [1] Achar a solução de: |x2 − x + 1| > 1.  Pelas propriedades anteriores, |x2−x+1| > 1 é equivalente a: x2−x+1 > 1 ou x2−x+1 < −1.  Se x2−x+1 > 1, então x (x−1) > 0 e x < 0 ou x > 1;  se x2−x+1 < −1, então (x−1/2)2 + 7/4 < 0,  o que é impossível. O conjunto-solução é:  (−∞, 0) U (1,+∞).
  19. 19. Exemplo 1.2  [2] Achar a solução de: |9 − 2 x| ≥ |4 x|.  Pela propriedades anteriores, |9−2 x| ≥ |4 x| é equivalente a: 9−2 x ≥ |4 x| ou 9−2 x ≤ −|4 x|;  Se 9 − 2 x ≥ |4 x|, então 2 x − 9 ≤ 4 x ≤ 9 − 2 x; logo, −9/2 ≤ x ≤ 3/2.  Se 9−2 x ≤ −|4 x|, então 9−2 x ≤ 4 x ≤ 2 x−9, que não possui solução. O conjunto-solução é:  [−9/2,3/2].
  20. 20. 1.3.1 Distância  Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais. A distância entre os números reais a e b é |a − b|. Então |a| é a distância de a à origem.
  21. 21. Exemplo 1.3  [1] A distância entre os números  e −  é |  - (−) | = 2 .  [2] A distância entre os números −5 e −2 é | − 5 − (−2) | = | − 3| = 3 e a distância entre os números 6 e −1 é |6 − (−1)| = 7.  [3] A distância entre os números −1/5 e 2/3 é: | −1/5 −2/3 | = | −13 / 15 | = 13/15.
  22. 22. 1.4 Plano de Coordenado  Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x) se, e somente se x = y. O elemento x do par ordenado é chamado primeira coordenada do par e y é chamado a segunda coordenada do par.  De forma análoga à representação geométrica dos números reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados.  Para isto consideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmente.
  23. 23. 1.4 Plano de Coordenado  A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos x e a reta vertical é chamada eixo das ordenadas ou eixo dos y.  A interseção das retas é chamada origem, à qual associamos o par (0, 0) e atribuímos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadas quadrantes.  A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciprocamente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado.
  24. 24. 1.4 Plano de Coordenado  Por exemplo, os seguintes pontos:  A = (1, 2), B = (−2, 1), C = (−2,−1), e D = (1,−2), tem a seguinte representação no plano coordenado:
  25. 25. 1.4 Plano de Coordenado  Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coordenado. Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano. A distância d entre A e B é:
  26. 26. 1.4 Plano de Coordenado  A distância possui as seguintes propriedades imediatas.  Proposição 1.1. Sejam A, B e C pontos do plano, então:  1. d(A,B) ≥ 0 e d(A,B) = 0 se, e somente se A = B.  2. d(A,B) = d(B,A).  3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).
  27. 27. Exemplo 1.4  [1] Calcule a distância entre os pontos  A = (2,−3) e B = (−2, 1).  Aplicando a fórmula:  d(A,B) = [(−2 − 2)2 + (1 − (−3))2 ]1/2  d(A,B) = (32)1/2
  28. 28. Exemplo 1.4  [2] Determine o ponto Q, que divide na razão 3/4 o segmento de reta que liga os pontos (−4,−1) e (12, 11).  Sejam P = (−4,−1), R = (12, 11) os pontos dados, Q = (x, y) o ponto procurado e S = (x,−1), T = (12,−1) pontos auxiliares como no desenho:
  29. 29. Exemplo 1.4  Os triângulos PQS e PRT são semelhantes; logo:  Por outro lado
  30. 30. Exemplo 1.4  Aplicando a fórmula da distância, temos que:  d(P, S) = x + 4, d(Q, S) = y + 1 e  d(R, T) = 12.  Obtemos o sistema:  que tem como solução: x = y = 8;  logo Q = (8, 8).
  31. 31. 1.5 Equação da Reta  1.5.1 Equação Geral da Reta  Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos distintos no plano:  A equação da reta que passa pelos pontos P1 e P2 é: a x + b y + c = 0 ;  onde a = y1 − y2, b = x2 − x1 e c = x1y2 − x2y1.  Se a = 0 a reta é horizontal; se b = 0 a reta é vertical. O ponto P0 = (x0, y0) pertence à reta  a x + b y + c = 0 se a x0 + b y0 + c = 0.
  32. 32. 1.5 Equação da Reta
  33. 33. Exemplo 1.5  [1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2,−4).  Neste caso: a = 3 + 4 = 7, b = 2 + 1 = 3 e  c = −2; logo, a equação é: 7 x + 3 y − 2 = 0.
  34. 34. Exemplo 1.5
  35. 35. Exemplo 1.5  [2] Determine k tal que o ponto P = (3, k) pertença à reta 3 x + 5 y − 12 = 0.  O ponto P = (3, k) pertence à reta  3 x + 5 y − 12 = 0 se, e somente se 3 · 3+ 5 · k − 12 = 0; logo, k = 3 / 5.
  36. 36. Exemplo 1.5
  37. 37. 1.5.2 Equação Reduzida da Reta  Se uma reta não é paralela ao eixo dos y, então b  0. Fazendo:  m = (y2 − y1) / (x2 − x1) e  n = (x2y 1 − x1 y2) / (x2 − x1) ,  obtemos a equação reduzida da reta:  y = m x + n.
  38. 38. 1.5.2 Equação Reduzida da Reta  m é chamado coeficiente angular da reta e n coeficiente linear da reta.  É fácil ver que a equação da reta que passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:  y − y0 = m (x − x0)
  39. 39. Exemplo 1.6  [1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = (6, 5).  Neste caso: m = 1 e fazemos P0 = P1 ou P0 = P2; então, se x0 = 2 e y0 = 1, temos, y−x+1 = 0 ou y = x − 1.
  40. 40. Exemplo 1.6
  41. 41. Exemplo 1.6  [2] Escreva na forma reduzida a equação: 4 x + 2 y + 5 = 0.  A forma reduzida é do tipo y = mx + n; então,  y = −2 x − 5/2
  42. 42. 1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas  Sejam y = m1 x + n1 e y = m2 x + n2 as equações de duas retas. As retas são paralelas se, e somente se:  m1 = m2.  As retas são perpendiculares se, e somente se:  m1 · m2 = −1.  Logo, as retas de equações a1 x + b1 y + c1 = 0 e a2 x + b2 y + c2 = 0 são perpendiculares, se, e  somente se: a1 a2 + b1 b2 = 0
  43. 43. Exemplo 1.7  [1] Ache o valor de k tal que as retas:  (a) y − [(2 + k) x / (2 − k)] = 1 e y − 3 x + [(k − 2) / (k + 2)] = 0 sejam paralelas.  (b) k y = x + k3 e y − 1 = 2 k2x sejam perpendiculares.  (a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo, (2 + k) / (2 − k)= 3; donde k = 1.  (b) As retas são perpendiculares se: (1/ k) · (2 k2) = −1; donde k = −1/2.
  44. 44. Exemplo 1.7
  45. 45. Exemplo 1.7  [2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas 2 x−3 y+7 = 0 e 5 x+y+9 = 0 e é perpendicular a 2 x − y + 1 = 0.  Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:  2 x − 3 y = −7  5 x + y = −9
  46. 46. Exemplo 1.7  Obtemos o ponto (−2, 1). A reta que procuramos tem equação y = m2 x+b tal que m1·m2 = −1, onde m1 = 2 é o coeficiente angular da reta 2 x−y+1 = 0; logo, m2 = −1/2 e y = −x/2 + b.  Como a reta passa por (−2, 1), a reta procurada é x + 2 y = 0.
  47. 47. Exemplo 1.7

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