1.
РЕ.Лампер
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ФЛАТТЕРА
•МАШИНОСТРОЕНИЕ•

2.
РЕ.Лампер
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ФЛАТТЕРА
Москва
. Машиностроение“
1990

3.
ББК 39.52-01
Л21
УДК 533.6.013.422:629.7.018.22
Рецензент д-р техн, наук проф. Б.И. Рабинович
Лампер Р.Е.
Введение в теорию флаттера. - М.: Машиностроение, 1990. -
144 с.: ил.
ISBN 5-217-01057-6
Изложена проблема флаттера летательного аппарата. Рассмотрены теоре­
тические и экспериментальные пути решения этой проблемы. Обсуждены
основные гипотезы и допущения и связанные с ними общие свойства решений
задач флаттера. Рассмотрены критерии подобия и вопросы моделирования
флаттера в аэродинамических трубах. Описаны отдельные виды флаттера и
указаны основные пути их устранения.
Для инженеров авиа- и ракетостроения.
Л
2705140400-090
038 (01)-90
90-90 ББ<( 39.52-01
ISBN 5-217-01057-6 ©Р.Е. Лампер, 1990

4.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Общие причины флаттера давно и хорошо известны, но новые, иног­
да неожиданные его формы подкарауливают почти каждое кардинальное
решение авиационного конструктора. Поэтому вопросы флаттера постоян­
но требуют новых исследований, сочетающих тщательность, детальность
и общность анализа. Более того, ослабление внимания к вопросам флаттера
на ранней стадии проектирования привело бы к значительному увеличению
массы конструкции и времени на ее доработку, что способно обесценить
проект. Последствия флаттера, часто катастрофические, выдвигают его в
ряд наиболее опасных явлений аэроупругости. Эти явления порождаются
весьма разнообразными причинами.
Самолеты и другие летательные аппараты (ЛА) нагружены в полете
аэродинамическими силами, деформирующими упругую конструкцию.
В свою очередь деформации конструкции влияют на величину и распре­
деление аэродинамических сил. Изучение различных вариантов взаим­
ного влияния упругости конструкции и ее аэродинамики с привлечением
или без привлечения динамических свойств (инерции, демпфирования)
ЛА и составляет обширный круг задач аэроупругости.
Аэроупругость в различных ее проявлениях сопровождает всю исто­
рию авиации. На судьбу многих ЛА, от самых первых до самых совре­
менных, повлияло неудачное решение проблем аэроупругости.
Проблемы аэроупругости появляются не только в авиации. На под­
водных крыльях быстроходных судов, на лопатках турбин и на других
агрегатах и элементах конструкций, движущихся с большими скоростя­
ми в газовой или жидкой среде, возникают аналогичные явления, тре­
бующие решения однотипных задач. Среди них задачи флаттера, пожа­
луй, наиболее глубоко разработаны. Если учесть, что теоретические и эк­
спериментальные исследования этой проблемы, концентрируя в себе сов­
ременные достижения механики, мощные вычислительные приемы, вы­
сокий уровень технологии и экспериментальной техники, весьма поучи­
тельны и общей научной методикой, становится ясной потребность в зна­
комстве с основными понятиями флаттера для инженеров и научных ра­
ботников многих специальностей.
Именно такой цели служит настоящая небольшая книга. В ней доста­
точно внимательно оговариваются особенности постановки задач, но су­
щественно сокращены или вовсе опущены детали исследований, не имею­
3

5.
щие развития в дальнейшем изложении. Подробно рассматривается только
один простейший вид флаттера, к туму же в рамках весьма сильных упро­
щающих предположений. Однако эти предположения обсуждаются так,
чтобы были ясны и их альтернативы. Анализ частного случая составляет
базу для обобщений, на основе которых можно составить представления
о факторах, влияющих на многие виды флаттера Что касается самих
этих видов, то рассмотрены лишь некоторые из них, да и то сугубо описа­
тельно. Несколько более углубленно изложен довольно специфический
вопрос о флаттере обшивки.
Экспериментальное изучение флаттера на натурном ЛА сопря­
жено с постоянной угрозой разрушения. Если даже ЛА беспилотный
и его разрушение при испытаниях допускается, для его конструкции
все равно приходится предварительно решать вопрос безопасности по
флаттеру, чтобы доработки не оказались значительными. Выход из этого
замкнутого круга найден в исследованиях на моделях. Сопоставление
расчетных условий флаттера с результатами модельных испытаний дает
ту уверенность в принятии ответственных решений, которая появляется
у инженера, если необходимые данные получены двумя независимыми
методами. Условия и возможности моделирования флаттера также крат­
ко обсуждаются в этой книге.
Чтение книги не требует специальной подготовки в области аэроуп­
ругости. Математический аппарат сведен к минимуму, и все необходи­
мые пояснения даны в тексте. От читателя потребуются лишь самые об­
щие знания по теории колебаний, аэродинамике и прикладной теории
упругости.
При подготовке книги автор с благодарностью вспоминал лекции
Л. С. Попова в Московском физико-техническом институте, в большой
степени сформировавшие научные взгляды по этой проблеме многих
специалистов.
Автор глубоко признателен профессору Б. И. Рабиновичу за ряд цен­
ных замечаний при рецензировании рукописи.

6.
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФЛАТТЕРА.
СХЕМАТИЗАЦИЯ И ВОЗМОЖНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
В ПРОСТОМ СЛУЧАЕ ФЛАТТЕРА
Основные понятия и представления теории флаттера возникли и раз­
вивались вместе с решением практических задач борьбы с этим опасным
явлением.
Еще во время первой мировой войны были проведены работы по
устранению флаттера, связанного с кручением фюзеляжа и антисимметрич­
ным отклонением рулей высоты. В 1920-х гг. были выполнены исследо­
вания флаттера, связанного с изгибом крыла и отклонением элерона, и бы­
ли выработаны практические меры его предотвращения. Одновременно
широко велись общетеоретические исследования, прежде всего по опре­
делению аэродинамических сил на колеблющемся крыле.
Итак, явление само по себе было уже известно и теоретически, и прак­
тически, когда случаи флаттера крыльев скоростных для того времени
самолетов-монопланов создали в 1930-х гг. представление о флаттерном
барьере. Если ранее флаттер был вопросом для авиационного инженера,
то в 1930-х гг. он превратился в проблему авиастроения. Начиная с этого
времени в исследовательских центрах и на авиационных фирмах всех
промышленно развитых стран над проблемой флаттера работают круп­
ные научные коллективы.
При внезапном разрушении самолета, похожем с земли на взрыв,
сначала никто не знает, можно ли считать происшедшее флаттером. При­
чины могут быть различными. Только анализ сведений об обстоятельст­
вах катастрофы, теоретические и экспериментальные исследования поз-
В' ляют установить, что разрушению действительно предшествовали быст­
ро нарастающие вибрации крыла или оперения и эти вибрации не имеют
периодических источников возбуждения.
Конечно, среди экспериментальных исследований опасные испытания
на самолетах чрезвычайно редки и проводятся не для того, чтобы устано­
вить, как выглядит флаттер, но они подтверждают картину бурных коле­
баний, наступающих внезапно и без видимых причин (об одном из таких
экспериментов рассказано в книге М.Л. Галлая ’’Через невидимые барь­
еры”) .
Таким образом, флаттер это самовозбуждающиеся колебания. Их
5

7.
о
Рис. 1. Ограничение скорости самолета по флаттеру:
И - скорость; II высота полета; 1 критическая
скорость; 2 ограничение по флаттеру; 3 - область
скоростей полета
амплитуда может увеличиваться столь быст­
ро, что за несколько циклов колебаний в конст­
рукции возникают деформации, опасные для ее
прочности. Колебания начинаются с определенной
скорости полета, которую принято называть крити­
ческой скоростью или скоростью флаттера. Эта
скорость различна для разных высот полета и возрастает с высотой (рис. 1).
Такая зависимость подтверждается тем, что в литературе описаны
разрушения самолетов от флаттера при полете у земли на скоростях, уже
достигнутых ими на больших высотах.
Если не интересоваться развитием колебаний и ограничиться только
условиями их возникновения, то проблему флаттера следует рассмат­
ривать как проблему устойчивости основного движения упругого само­
лета или, вообще, любого ЛА с несущими поверхностями и поверхно­
стями управления: планера, оперенной ракеты и т.д. Итак, флаттер - это
динамическая неустойчивость упругого летательного аппарата (или его
частей) в воздушном потоке.
В этом определении названы те свойства ЛА, которые формируют
явление и которые, следовательно, надо учитывать при решении задач
флаттера. А именно, речь идет о упругом ЛА, деформации которого
(вместе с отклонениями органов управления) входят в кинематическую
схему. Далее рассматривается динамическая неустойчивость, т.е. разви­
тие во времени отклонений от основного движения. Для составления
уравнений динамики этого возмущенного движения несомненно важны
инерционные параметры (массы, моменты инерции) ЛА или его частей
и распределение этих параметров по элементам конструкции. Наконец,
указана причина неустойчивости — взаимодействие конструкции с воз­
душным потоком, поступление энергии в конструкцию за счет работы
аэродинамических сил.
Для анализа безразлично, рассматривается ли /движение ЛА в непод­
вижном воздухе или неподвижный (в своем основном движении) ЛА,
обтекаемый воздушным потоком. Меняется лишь трактовка источни­
ка энергии: при движущемся ЛА его кинетическая энергия преобразу­
ется в энергию колебаний; цри неподвижном ЛА энергия колебаний чер­
пается из воздушного потока. В обоих случаях, различающихся лишь
системами отсчета, источник энергии колебательными свойствами не об­
ладает; поступление энергии в конструкцию определенными дозами обес­
печивается колебаниями самой конструкции и в свою очередь поддержи­
вает эти колебания. Обычно ЛА принимается неподвижным.
Для правильного понимания и классификации вида колебаний, име­
6

8.
н^емого флаттером, следует еще раз обратить внимание на отсутствие
навязанных, ’’внешних” источников возбуждения. Точнее, такое возбуж­
дение, всегда присутствующее на реальных ЛА, не существенно для объ­
яснения механизма флаттера.
Анализ динамической устойчивости состоит тогда в рассмотрении
свободных колебаний упругой конструкции в воздушном потоке око­
ло ее основного движения, заданного режимом полета. ЛА и воздушный
поток совместно образуют механическую систему, отличную от ЛА в
пустоте или в неподвижном воздухе. Для этой новой системы обычное
свойство свободных колебаний — затухать со временем (или в идеаль­
ном случае - оставаться на одном уровне) — как обязательное уже не имеет
места. Свободные колебания могут оказаться нарастающими, и именно для
этого частного вида свободных колебаний применяется термин ”само-
возбуждающиеся колебания”. Используемый иногда термин ’’автоко­
лебания”, заимствованный из теории нелинейных колебаний, неудачен, так
как создает впечатление, что для изучения флаттера необходим анализ
нелинейной системы. Для подавляющего большинства видов флаттера
достаточно ограничиться линейной или линеаризованной задачей дина­
мической устойчивости ”в малом” (при малых начальных возмущениях и
последующих отклонениях от основного движения). В такой постановке
рассматриваются малые свободные колебания, а при более конкретном
анализе собственные колебания как простейшие составляющие сво­
бодных колебаний.
Конечно, при определенных обстоятельствах, за счет вмешательства
нелинейных факторов, нарастающие колебания могут перейти в автоко­
лебания с постоянной или медленно меняющейся амплитудой. Но анализ
таких факторов для большинства задач флаттера практически не интере­
сен.
Приведенное выше определение флаттера страдает одним недостат­
ком, который по самой сути дела представляется трудно устранимым.
Движение ЛА как абсолютно твердого (жесткого) тела должно быть
устойчиво. Эта общая устойчивость исследуется с применением терми­
нов и обозначений, несколько отличных от таковых при флаттере. Для
многих современных, в основном, тяжелых ЛА при исследовании общей
устойчивости приходится считаться с упругими деформациями кон-
с'.рукции. Тогда определение общей устойчивости (точнее, неустойчивости)
не отличается от определения флаттера. Тем более, что и для исследования
некоторых видов флаттера тяжелых ЛА приходится привлекать степени
свободы ЛА как жесткого тела (так называемые ’’нулевые” тона движе­
ния свободного ЛА в пустоте).
Таким образом, две указанные задачи чисто теоретически могут быть
перекрыты общей постановкой. Но практически они направлены на вы­
бор различных параметров конструкции и систем ЛА, требуют уточнен­
ного описания свойств ЛА в разных частотных диапазонах (более низ­
ком для общей устойчивости, более высоком для флаттера) и поэтому
решаются раздельно.
7

9.
Рис. 2. Флаттер крыла с элероном:
рэл - собственная частота элерона; Ифл - критичес­
кая скорость; 1 - граница изгибно-элеронного флат­
тера; 2 - граница крутильно-элеронного флаттера;
3 - граница изгибно-крутильного флаттера; 4 - грани­
ца флаттера крыла с элероном; ризг - частота первого
тона изгиба крыла, ркр - частота первого тона кру­
чения крыла
Конечно, колебания не обязательно распространяются на весь ЛА.
Так, для самолета обычной схемы с относительно легким прямым кры-
лом фюзеляж при вибрациях крыла может оставаться практически не­
подвижным; вибрации хвостового оперения могут быть мало связаны
с вибрациями крыла и фюзеляжа (это не исключает тряски, воздейству­
ющей на людей и аппаратуру в фюзеляже, так что уже по этой причине
полет становится невозможным).
Не все деформации и перемещения агрегатов играют равную роль
в формировании колебаний, что учитывается при составлении кинемати­
ческой схемы. Например, обычно пренебрежимо малы деформации кры­
ла в плоскости его наибольшей жесткости.
Более конкретные соображения позволяют и среди перемещений
и деформаций, существенных для колебаний вообще, выделить главные
для определенных режимов полета и диапазонов параметров конструк­
ции. Так, для крыла с элероном возможны самовозбуждающиеся коле­
бания, в которых по преимуществу происходят изгиб крыла и отклоне­
ние элерона — изгибно-элеронный флаттер; кручение крыла и отклонение
элерона - крутильно-элеронный флаттер; изгиб и кручение крыла при
несущественных отклонениях элерона — изгибно-крутильный флаттер.
Очевидно, такое выделение отдельных видов флаттера достаточно
приблизительно, но удобно для классификации и качественных иссле­
дований. Более точные количественные данные можно получить, лишь
рассматривая полное движение агрегата или ЛА в целом, что предста­
вляет собой более сложную задачу. На этом пути можно наблюдать не­
прерывную смену видов флаттера при изменении параметров и констру­
ктивных доработках: выгорании топлива, изменении жесткости и т.д.
Как пример на рис. 2 даны штрихами типичные зависимости критичес­
кой скорости упомянутых выше видов флаттера крыла с элероном от
собственной частоты угловых колебаний элерона, которая определяется
жесткостью проводки управления и моментом инерции элерона относи­
тельно шарниров подвески. Сплошная кривая показывает изменение ско­
рости флаттера с изменением собственной частоты элерона, найденное при
одновременном учете изгиба и кручения крыла и отклонения элерона.
Кривые 1 и 2 можно получить как расчетом, так и экспериментом на
8

10.
модели. В последнем случае на модели крыла следует установить огра­
ничители (например, растяжки), исключающие определенный тип пере­
мещений крыла.
Виды флаттера весьма разнообразны и связаны с деформациями и
отклонениями практически всех несущих и управляющих аэродинами­
ческих поверхностей ЛА. Позднее будут перечислены (далеко не пол­
ностью) степени свободы упругого ЛА, формирующие те или иные ви­
ды флаттера. Пока отметим только, что, несмотря на крайнюю опасность,
не все виды флаттера ведут к немедленному разрушению. Возможны,
так сказать, ’’добрый” и ’’злой” флаттер. Условия для ’’доброго” флат­
тера складываются при сравнительно медленном, вялом нарастании ко­
лебаний и установлении колебательного режима с амплитудами, если
и опасными для прочности конструкции, то не приводящими к немедлен­
ному разрушению.
Однако во всех случаях полет в области флаттера, т.е. при интенсив­
ных вибрациях, практически невозможен, если не по соображениям проч­
ности, то из-за потери управляемости, выхода из строя систем ЛА и т.п.
Более того, после установления границы флаттера допустимые для ЛА
скорости полета определяются с запасом (см. рис. 1). Величина запаса
зависит от достоверности сведений о конструкции и условиях полета,
о г точности расчетного и экспериментального определения границы флат­
тера и от стабильности параметров, на нее влияющих.Так, например, за
время эксплуатации и ремонтов могут меняться демпфирование и, в мень­
шей степени, жесткость конструкции, и эти изменения должны учитывать­
ся запасом по флаттеру. Следует иметь в виду, что область флаттера и
(апас по скорости, показанные на рис. 1, устанавливаются для ЛА в це­
лом после анализа всех видов флаттера и исчерпания всех мер борьбы
за повышение критической скорости ЛА.
В то же время для отдельных видов флаттера часто оказывается эф­
фективным не обеспечение запаса по скорости путем воздействия на фор­
му области неустойчивости, а такое изменение параметров конструк­
ции, которое выводит ее из этой области и полностью исключает неустой­
чивость. Например, как видно из рис. 2, увеличение собственной частоты
колебаний элерона (или жесткости проводки управления) может пол­
ностью устранить элеронные формы флаттера. Эту меру можно приме­
нить, если предотвратить значительное падение частоты колебаний эле­
рона в эксплуатации, хотя нельзя полностью исключить определенное
уменьшение частоты, например за счет люфтов. Поэтому назначение по­
добных конструктивных параметров также осуществляется с запасом.
Запасы по скорости и параметрам в некоторых случаях нормируются.
Недопустимо также, чтобы опасные и аварийные ситуации (местное
нарушение жесткости, разрушение тяги органа управления, течь в гид­
росистеме и т.п.) приводили к катастрофе из-за флаттера. Эти обстоятель-
сгва также должны учитываться либо величиной запаса, либо анализом
аварийных вариантов, не говоря уже о возможности дублирования систем,
которое проводится и по иным соображениям.
9

11.
Рис. 3. Изгибные колебания крыла, вид спереди:
а свободный самолет, колебания крыльев вместе с фюзеляжем; б - заделка крыла
по борту фюзеляжа, фюзеляж неподвижен
Рис. 4. Система координат для прямого крыла большого удлинения
Приступим теперь к рассмотрению простейшего из многочисленных
лидов флаттера - изгибно-крутильного флаттера прямого крыла боль­
шого удлинения в несжимаемом невязком воздушном потоке. Поясним
это достаточно длинное название. Попутно оговорим несколько упроще­
ний расчетной схемы, без которых анализ этого вида флаттера далеко
не прост.
Массу крыла будем считать малой по сравнению с массой фюзеля­
жа в такой степени, чтобы можно было пренебречь подвижностью фю­
зеляжа при колебаниях крыла. Фюзеляж примем жестким. Таким обра­
зом, будем рассматривать крыло (точнее, по принятой в аэродинамике
терминологии, полукрыло), жестко заделанное по неподвижному борту
фюзеляжа (рис. 3). На крыле отсутствуют большие сосредоточенные мас­
сы. Крыло считается тонким; все его точки близки к некоторой горизон­
тальной плоскости, которую поэтому будем называть плоскостью крыла.
Введем ортогональную систему координат Oxyz (рис. 4). Начало
координат поместим в заделке крыла. Ось х направим по скорости V
невозмущенного воздушного потока (против направления полета), ось
z — по размаху, в плоскости крыла, ось у — вертикально вверх. Рассмот­
рим сечение крыла плоскостью z = const. Для крыла большого удлинения
хорды b всех таких сечений много меньше длины крыла / - его размера по
оси z.
Теперь опишем крыло как упругую систему, оговаривая ограниче­
ния для его деформаций. Независимо от конструктивного оформления
примем крыло абсолютно жестким в горизонтальной плоскости (или
в близкой к ней плоскости хорд) по отношению к деформациям растя­
жения, сжатия и сдвига. Считаем, что упомянутые выше сечения z = .const
в своей плоскости не деформируются и лишь перемещаются как жест­
10

12.
кие целые. Иными словами, изгибания хорд отсутствуют и возможны толь­
ко изгибания плоскости крыла по размаху.
Предположим, что существует прямая (ось жесткости), обладающая
следующим свойством. Если в любой точке этой оси приложить силу пер­
пендикулярно плоскости крыла, то все упомянутые сечения переместят­
ся только поступательно, без поворотов. Тогда при действии в любом се­
чении крутящего момента (момента в плоскости сечения) все сечения
только поворачиваются вокруг оси, точки же самой оси не перемещают­
ся. Это следует из теоремы Бетти, согласно которой работа сил первого
состояния упругого деформирования на перемещениях второго состоя­
ния равна работе сил второго состояния на перемещениях первого.
Наличие оси жесткости в сочетании с гипотезой о недеформируемых
сечениях позволяет рассмотреть крыло большого удлинения как балку
с изгибной и крутильной жесткостями.. Нейтральная ось балки совпадает
с осью жесткости крыла. Для прямого крыла, т.е. крыла с нулевым углом
стреловидности, примем, что ось жесткости совпадает с осью г (см. рис. 4),
перпендикулярной скорости потока V, хотя более строго угол стреловид-
юсти определяется положением не оси жесткости, а линией четвертей
хорд (линией аэродинамических фокусов).
Крыло, деформирующееся по описанной схеме, обтекается воздуш­
ным потоком. Существенной частью анализа флаттера является определение
а >родинамических сил на колеблющемся крыле, зависящих от его переме-
щ. ний и скоростей. Вообще говоря, в подобных случаях речь идет о пре-
о'раювании решений, обычно известных, к виду, пригодному для приме­
нения в задачах флаттера. Это не всегда просто по следующей причине.
1сли целью чисто аэродинамического исследования могут быть числен­
ные значения нагрузок, то в задачах флаттера требуются аэродинамичес­
кие силы, аналитически выраженные через кинематические параметры дви­
жения, остающиеся неизвестными.
Рассматривая эти силы, примем воздух невязким и несжимаемым.
Вязкость приводит, прежде всего, к образованию у поверхности крыла
пограничного слоя - сравнительно тонкого слоя, в котором скорость воз­
духа меняется от значений, .характерных для невязкого пото/са, до нуля
на самой обтекаемой поверхности (рис. 5). Далее, у задней кромки кры-
ла весьма часто реализуется малая область срывного Течения, размеры
ной области зависят от развития профиля скоростей вдоль пограничного
слоя. Как пограничный слой, таи? и срыв потока не будут учитываться в
расчете аэродинамических сил.
Вообще говоря, срывное обтекание на определенных режимах полета
(например, больших углах атаки) может охватывать значительную часть
крыла или иной несущей поверхности и быть причиной ряда опасных ди­
намических явлений, в частности срывного флаттера. Интенсивные коле­
бания упругой конструкции, получившие название срывного флаттера,
возможны потому, что даже при простейших видах периодического дви­
жения несущей поверхности аэродинамические силы в неустановившем-
11

13.
Рис. 5. Пограничный слой на верхней поверхности крыла:
область срыва у задней кромки заштрихована; толщина пограничного слоя увеличена
Рис. 6. Характер течения у конца крыла:
а - вид спереди, штрихами показаны эпюры давления на верхней и нижней поверх­
ностях; б вид сверху, отклонение течения воздуха от плоского
ся срывном обтекании способны совершать положительную работу на
каждом цикле колебаний и таким образом поддерживать колебания кон­
струкции. Однако такие режимы полета здесь не рассматриваются, а
анализ этого и ряда подобных явлений, связанных с существенной нели­
нейностью аэродинамических сил, выходит за рамки этой книги.
Как известно из аэродинамики, влияние сжимаемости воздуха при
умеренных дозвуковых скоростях (до волнового кризиса) можно приб-
1
лиженно учесть в аэродинамических силах коэффициентом (1 М2) 2 .
где М - отношение скорости потока к скорости звука. Поэтому пред­
положение о несжимаемости приемлемо до чисел М & 0,5.
Рассмотрим теперь две гипотезы, иногда применяемые в анализе флат­
тера. Привлечение этих гипотез, конечно, не обязательно, но, во-первых, в
нашем простом случае они не ведут к большим погрешностям, а во-вторых
(и это - главное), исследование становится весьма наглядным и позво­
ляет сделать ряд общих выводов.
Обтекание крыла имеет пространственный характер. Это достаточно
оневидно для конца крыла, где избыточное давление на одной поверх-
нссти и разрежение на другой создают условия для перетекания возду­
ха у концевого сечения (рис. 6). Однако на крыле большого удлинения
для сечений, удаленных от конца, течение близко к плоскому, т.е. сущест­
венны только компоненты скорости в плоскости z = const, и пренебрежи
мо мало изменение давления по оси z.
Гипотеза плоских сечений предполагает, что все сечения крыла на­
ходятся в условиях плоского обтекания. Привлечение этой гипотезы не
означает полного пренебрежения взаимным влиянием различных сечений.
Аэродинамическая подъемная сила в данном сечении зависит от цирку­
ляции потока. Последнюю наглядно представляет присоединенный вихрь,
связанный" с крылом (рис. 7). Меняясь по размаху, такой вихрь порож­
дает свободные вихри, образующие за крылом вихревую пелену. Эти вих­
ри необходимо ввести для выполнения теоремы Гельмгольца о сохране­
нии интенсивности вихревых шнуров. Свободные вихри индуцируют
12

14.
Рис. 7. Система вихрей неколеблющегося
крыла:
1 - присоединенный вихрь; 2 - свободные
вихри вихревой пелены; 3 - вертикальная
скорость на профиле, индуцированная вихре­
вой пеленой
Ри< К. Система вихрей колеблющегося профиля:
ч след с за переменным присоединенным вихрем Г; б след с, порождаемый пере­
менными присоединенными вихрями интенсивности 7
по крылу дополнительные вертикальные скорости, меняющие условия
>бгекания (прежде всего, углы атаки). Течение при этом остается близким
к плоскому. Ниже этот эффект будет грубо учтен заменой теоретической
производной коэффициента подъемной силы профиля ее реальным зна­
чением для крыла в целом.
Схема на рис. 7 характерна для установившегося обтекания непод-
нижного крыла. Для колеблющегося крыла система вихрей сложнее.
1ак как присоединенный вихрь в этом случае меняется во времени, в
поюк поступают свободные вихри, параллельные присоединенному. Ины­
ми словами, на крыле в каждый момент времени образуются пары вих-
|н и противоположного знака; один из них добавляется к существующе­
му присоединенному вихрю, другой уносится потоком, пополняя вихре­
нии след за крылом. В отличие от вышеупомянутой вихревой пелены
ног след как результат нестационарного обтекания образуется и за крьь
пом бесконечного размаха (за профилем в плоском потоке). Именно
■ нкой простой случай колеблющегося профиля показан на рис. 8, а. На
рис. 8, б вихревая схема детализирована: вместо одного присоединенного
и' хря показан присоединенный вихревой слой, интенсивность которого
рл шична в разных точках хорды и меняется во времени.
13

15.
Свободные вихри создают дополнительные скорости на профиле,
изменяя условия его обтекания. Гипотеза стационарности предполагает,
что можно пренебречь влиянием свободных вихрей, возникающих из-за
изменения во времени вихрей присоединенных. В более широком смыс­
ле (при любой схеме обтекания, как для дозвукового, так и для сверх­
звукового потока) эта гипотеза означает следующее. Картина течения оп­
ределяется положением и скоростью аэродинамической поверхности от­
носительно потока, потому что указанные кинематические параметры
формируют краевые условия в задаче обтекания. Будучи вычисленными
в данный момент времени, эти положение и скорбеть предполагаются
существующими достаточно долго, чтобы сформулированные краевые
условия можно было считать не зависящими от времени, а течение — ус­
тановившимся.
Вернемся к рис. 8, а. Пусть крыло совершает гармонические колеба­
ния и величина присоединенного вихря меняется по закону Г eos wí, где
со круговая частота. За малое время dt образуются свободные вихри —
(Г eos coi) dt = соГ sin со tdt
*
, занимающие отрезок dx = Vdt и. следователь­
но, имеющие интенсивность соГ/И sin coi.
* Точкой всюду будем обозначать производную по времени.
Сопоставим ’’среднюю” по хорде интенсивность присоединенных вих­
рей Г/b coscot с интенсивностью свободных вихрей, рассматривая их ам­
плитудные значения. Интенсивность свободных вихрей ^ожно считать
малой, если Г/b > соГ/И.
Оставляя в стороне более тонкие фазовые эффекты нестационарного
обтекания, важные для малых относительных частот, приходим к усло­
вию приемлемости гипотезы стационарности cob/V < 1.
14

16.
ГЛАВА 2. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
НА КОЛЕБЛЮЩЕМСЯ ПРОФИЛЕ.
УРАВНЕНИЯ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНОГО ФЛАТТЕРА
П[х>должая анализ изгибно-крутильного флаттера крыла, займемся
пытислением аэродинамических сил на колеблющемся тонком профиле
и несжимаемом и невязком потоке воздуха. Так как нас не будут интере-
совать силы в направлении хорды профиля (в направлении наибольшей
жесткости крыла), то можно не учитывать силы сопротивления. Тогда
|рсдположение о том, что воздух невязкий, вполне оправдано. Далее,
рассматривая элемент длины профиля, поставим целью вычислить сум­
марную аэродинамическую силу, действующую на этот элемент, а не дав-
|' ние или разрежение на верхней и нижней поверхности в отдельности.
Профиль будем считать топким настолько, чтобы была допустима
•имена его бесконечно тонкой дужкой, расположенной по средней ли­
пин профиля. На дужке, как на скелете, можно было бы ’’нарастить” тол­
щину профиля, распределяя по дужке источники и стоки (упрощенно
ни показано на рис. 9, масштаб по вертикали увеличен). Однако источ­
ники (стоки) непосредственно не связаны с образованием аэродинами­
ческих сил указанного выше вида и поэтому далее не учитываются.
Обтекание дужки попытаемся построить, располагая на ней вихревой
слой (рис. 10, а) и определяя интенсивность вихрей в этом слое у (х, г)
и । условия непроницаемости дужки для воздуха (или условия непроте-
кания). Учет, кроме этих вихрей, еще источников и стоков привел бы к
условию непроницаемости не на средней линии, а на контуре профиля.
Аэродинамические силы определим в линейной постановке задачи
чиекания. Предположим, что дужка мало искривлена и настолько близ­
ка к отрезку ОЬ оси х, что вихревой .слой можно расположить на этом
"I резке и в его точках требовать выполнения условия непроницаемости
(рис. 10, 6).
Пусть невозмущенный поток создает нормальную к дужке скорость,
। которой воздух должен был бы течь сквозь дужку. При вычислении
ной скорости обязательно надо учесть и движение самого профиля, и та­
ким способом частично, в соответствии с гипотезой стационарности,
15

17.
Рис. 9. Симметричный профиль, образо
ванный источником (светлая точка) и
стоками (черные точки) в плоско
параллельном потоке
Рис. 10. Условия стационарного обтекания тонкого профиля:
а — вертикальная скорость и распределенные вихри на тонкой дужке; б перенесение
условия непроницаемости на отрезок ОЬ оси х
ввести нестационарный эффект в стационарную задачу. Ставя целью он
ределение интенсивности вихрей, следует, таким образом, считать из­
вестной из кинематических соображений (из положения и скорости про­
филя) нормальную скорость v (х, t) в точках отрезка ОЬ.
В линейной постановке необходимо считать величину v (х, t) малой
настолько, чтобы было v И, т.е. оказались малыми местные динами­
ческие углы атаки а (х, t) = v(x, t)/V. Термин ’’динамический угол ата­
ки” вводится по аналогии с обычным углом атаки пластинки а, так как
в случае пластинки под малым углом атаки (для случая v — const) име­
ет место та же формула.
Элементарный присоединенный вихрь у (f, t)d^, расположенный в
точке С отрезка ОЬ, создает в точке х этого отрезка вертикальную скорость
1 7 О, П
2тг г - х
В соответствии с условием непроницаемости скорость от всех присо­
единенных вихрей должна компенсировать известную скорость г (х, t)
Таким образом
1 b 7^.0^ =v(x<t). (2.1)
2я о
Это интегральное уравнение для интенсивности вихрей у имеет точ­
ное решение. Оставляя в стороне полное исследование, например мето­
дами теории функций комплексного переменного, остановимся лишь
на простых преобразованиях и вычислениях. В этих преобразованиях
можно не писать время t, присутствующее в них как параметр.
16

18.
Заменой переменных
х=2~ (1 - cos<p), £ = ^(1 - cos ф)
с соответствием значений
a, f = 0 : ip, ф = 0; х, f = b : = л
преобразуем уравнение (2.1) к виду
I ” т (* ) sin фйф . .
/ —-----------------=1’(с’).
2п cos ф - cos >р
о
Легко проверить подстановкой z = tg(i///2), что
Л / d* - о.
Г COSI// — cos<p
■ «1 °
Действительно,
, 1 - Z2
cos ф = —------ , = (1 + cos ф)dz = -
1 + z2 v 1 + z2 ’
(2.2)
(2.3)
Введем обозначение д = tg (^/2). Интеграл (2.3) преобразуется к сле-
лующему интегралу, который вычисляется в смысле главного значения:
__2 “ dz
1 + cos^> м2 - z2
О
1 Л d7 f dz _N dz
sin Ф ♦ Д 0 z - Д J z -
1
sin <f
[ln(z + Д) I - In I z - p| 1 In ( Z - д)Т
о о M +
1 /V -*■ oo
« f- 0
1
sin
N + m
In T,------
N - д
N - ~ °'
1.1КИМ образом, к числителю подынтегральной функции (2.2), не ме-
........... . интеграла, можно добавить произвольную постоянную С.
Иными словами, решение для вихревой интенсивности неоднозначно и
определяется с точностью до слагаемого
С С*
sin 0 s/r (b - t)1’
(2.4)
не создающего на отрезке ОЬ никакой вертикальной скорости.- Физичес-
ки решение (2.4) соответствует циркуляционному течению вокруг плас-
пшки. неподвижной и расположенной в потоке под нулевым углом ата-
1 " Величина циркуляции и, значит, постоянной С* пока остается про-
И'ВОЛЬНОЙ.

19.
но и малые антисимметричные горизонтальные скорости ±и(х) над отрез­
ком ОЬ и под ним. Рассматривая циркуляцию около элементарного вих­
ря по прямоугольному контуру (рис. 10, б) и устремляя высоту прямо­
угольника к нулю, получим и = у/2. Дополнительная (индуцированная)
скорость вдоль профиля непосредственно представляется вихревой интен­
сивностью.
Общее решение для вихревой интенсивности обращается в беско­
нечность (имеет интегрируемые особенности типа £ 2 ) в передней и зад­
ней точках дужки. Согласно постулату Чаплыгина реализуется обтекание
профиля без разрыва скоростей на задней кромке.
и = 0 прих = Ь.
Следовательно, к какому-либо частному решению уравнения (2.2)
нужно добавить решение вида (2.4) с такой постоянной С , чтобы устра
нить особенность на задней кромке. При этом не удается одновременно
устранить особенность в носке профиля. Попытаемся поэтому сразу пос­
троить решение, допускающее особенность указанного типа в точке х -
= 0 и удовлетворяющее условию у = 0 при х = Ь.
Зададим 7(ф) следующим рядом:
п sin П1р sin IpJtp
cos ip — cos
0
7(0)=aoctg(i///2)+ 2 апйппф.
п= 1
(2.5)
После подстановки этого выражения в
числить интегралы
уравнение (2.2) придется вы-
* ctg (ip/2) sin Ipjp _ _______
■' cos Ip - cos 1 cos ip - cos ip
0 0
* cos ipdip
cosip — cos<p
0
£ j- cos (n I) ipdp
2 0 cos - cos >p
1 ". cos (n + 1) ipdp
2 cos ip — cos
О
Учтем формулу (2.3) и заметим, что
я cos ipdip ’ , , . ’I. ¿Zip ___
г ---------------- = f dip + cosip f -------------- - — w.
J COS Ip — cos COS Ip — COS V?
0 0 0
Используя соотношение
cosnV+ cos (и — 2) i//= 2 cos (и - 1) 0 (cos у -cos^) +
+ 2 cos (n - 1) Ф cos <p,
получим следующую рекуррентную формулу для п > 2, позволяющую
вычислить все интегралы:
18

20.
Рис. 11. Перемещения сечения крыла
J
cos
cos ф - cos ч>
cos(л - 2) ф dф
cos ф — cos f
л cos (и - 1) фdф
+ 2 cos у J----------■—-------------
cos ф - eqs v
0
Окончательно вместо уравнения (2.2) получим
5’ 1 Е ап cos пу = р (р).
” = 1 (2.6)
Таким образом, неизвестные коэффициенты ряда (2.5) при любых
мапых перемещениях и деформациях профиля определяются разложе­
нием известной вертикальной скорости г(р) в модифицированный ряд
Фурье по косинусам на интервале (0, л).
Подчеркнем, что такое простое решение имеет место и в ситуациях,
। ераздо более общих, чем случай жесткого перемещения сечения кры-
ы В частности, оно применимо, если хорда профиля не только деформи-
pyetcH, но и претерпевает излом при отклонении органа управления, на­
пример элерона, вписанного в профиль и занимающего его часть.
В интересующем нас случае изгибно-крутильного флаттера по приня­
ли схеме каждое сечение крыла, оставаясь жестким, перемещается по
щциикали на величину у (z, i) и поворачивается относительно реи жест-
ми । и на угол a (z, t) (рис. 11).
В условиях установившегося режима полета сечения крыла имеют
некоторые постоянные прогибы y*(z и углы атаки a*(z). Рассматрива­
емые здесь прогибы y(z, t) и углы’атаки a(z, t) представляют собой ди-
шмические отклонения от этого равновесного состояния. Так как в пос-
недующем анализе привлекаются только линейные соотношения для аэро-
шнимических и упругих воздействий при вычислении их динамических
приращений начальное равновесное состояние полностью исключается.
1*дача динамической устойчивости формулируется тогда в отклонени­
ем так же, как и при нулевом начальном состоянии^* = а* = 0. По этой
же причине не рассматривается и постоянная кривизна дужки. Эту кривиз­
ну можно считать нулевой.
Вычисление вертикальной скорости на средней линии профиля про­
мелем, таким образом,_ для бесконечно тонкой пластинки. Последняя
19

21.
находится под углом атаки а и имеет вертикальную скорость у и угловую
скорбь i вращения вокруг ос» жесткое™, расположенно» на расе»-
яниихо от носка профиля.
Имеем
Ь ■ Ь •
р=Иа-;+(х-хо)^-Иа-;+(--^о)«
Вертикальная скорость здесь уже представлена рядом Фурье, содер­
жащим только два первых члена. Поэтому коэффициенты ряда (2.5)
согласно соотношению (2.6) будут
ло =2Иа-2у+ (Ь-2х0)а,а1 =Ьа,а2 = а3 = - = °- (2.7)
Воспользуемся формулой Жуковского для подъемной силы элемен­
тарного вихря
ГДе Вьн«°™мнХуаю силу Р на профиле (или в сечении крыла на
единицу длины по размаху) и момент Мо аэродинамических сил относи­
тельно носка профиля. Момент примем положительным, если он деис у
ет в сторону увеличения угла атаки (по часовой стрелке на рис. )
Привлекая разложение (2.5) и учитывая, что д2 - 0> найдем
Р = 7(0^ = -^ / 7(Ф)5Ш^ф =
pVb , . af
= 2я —- («о + -у
4
(2.8)
М. = - рУ / у(Ж = / У^ (1 - СО8ф) =
о 0
п рУЬ2 , , .
= _ — --------- (а0 + д^.
2 4
Для профиля, не имеющего угловой,скорости а, а, = 0. В этом слу­
чае момент относительно носка образуется только за счет подъемной силы
Р приложенной на расстоянии ¿/4 от носка, т.е. в аэродинамическом фо
кусе профиля (по определению аэродинамический фокус есть точка при
ложения приращения подъемной силы, возникающего при приращении уг
ла атаки). При а + 0 запишем момент в форме
Момент представлен в виде суммы слагаемого от подъемной силы
которую будем считать по-прежнему расположенной в фокусе, и слагав
мого. прямо не связанного с подъемной силой, а следовательно, и с циг
20

22.
куляцией вокруг профиля. Так, второе слагаемое не исчезает в случае
Г 0,^ *о.
Теперь внесем в теоретические значения подъемной силы и аэроди­
намического момента те поправки, которые хотя бы и в крайне грубом
виде должны учесть работу профиля в системе крыла конечного разма-
а В выражении для подъемной силы (2.8) выделен множитель 2л -
(еоретическое значение производной по углу атаки коэффициента подъ­
емной силы тонкого профиля. Его заменим действительным значением
производной коэффициента подъемной силы по углу атаки Су для кры-
ла конечного размаха: либо экспериментальным, либо рассчитанным на
ш иове действительных профильных характеристик и геометрии крыла.
<)|метим, что это значение су , найденное для жесткого крыла, отличается
<н местной, в данном сечении, величины су для упругого крыла, которая,
। сожалению, не может быть заранее вычислена, так как деформация
крыла неизвестна. В этом состоит грубость замены.
Действительное положение фокуса на профиле может отличаться
о 1еоретического на 1-2% хорды. Поэтому заменим в выражении для
момента (2.9) множитель Ь/4 в первом слагаемом реальным значением
с оординаты фокусаХф.
Основное взаимное влияние сечений крыла обусловлено изменением
циркуляции (присоединенного вихря) по размаху, как уже обсуждалось
н гл I Поэтому во второе слагаемое в формуле (2.9) не будем вносить
и 1мснсний как в слагаемое, не связанное с циркуляцией.
Перенесем точку приложения подъемной силы на ось жесткости и вы-
■Ю' "им а |родинамический момент М относительно этой оси. Используя
пыления а0, а, из формул (2.7), окончательно получим
/’ ■ с" pl Ma —— V + — (— b - х0) а];
' ‘>'2 1 V И 4 ь (2.10)
И - (х0 х^)РpVb3 а .
1 о
К формулам (2.9) и (2.10) следует дать пояснение. Разбиение мо-
•I ни и.। слагаемые, из которых только первое содержит подъемную
1нлу. неоднозначно. Второе слагаемое специально выделяется в форме,
• ни l' + .пнеи только а, чтобы согласовать вторую формулу (2.10) с ее более
•чепидным патическим случаем^ = а = 0. Наконец, коэффициент Д/16 в
ним шором слагаемом, пропорциональном угловой скорости и пред-
iiinи к кинем часть момента демпфирования крутильных колебаний, так-
»1 мч*е1 быть заменен с учетом действительной характеристики аэро-
дикамичсского демпфирования, если она известна.
Ьймсмся теперь упруго-массовой схемой. Рассматривая прямое кры-
||| кик балку, опишем ее упругие свойства изгибной жесткостью EJ(z)
и крушииной жесткостью GJy(z). Массы крыла сведем в каждом его
1 Ленин const к погонной массе m(z) с погонным моментом инер­
ции пицц ительно оси жесткости Центр масс сечения, вообще го­
21

23.
воря, не располагается на оси жесткости и отстоит от нее на расстоянии
о(г) (см. рис. 11).
При одновременном изгибе крыла с прогибами у(г, Г) и кручении
с-углами поворота сечений а(г, Т) потенциальная (упругая) энергия кры­
ла как балки и его кинетическая энергия будут определяться следующи­
ми формулами:
1 1 1 /
П= SEJУ"2dz+-- / (и
2 0 п
Т= — J my2 dz + — f Jm a2 dz- $ т ay adz.
2 о 2 о о
Несмотря на схематизацию крыла балкой, мы все же имеем достаточ­
но сложную систему с бесконечным числом степеней свободы. Анализ
динамической устойчивости такой системы, конечно, можно провести,
но средствами, далеко не соответствующими поставленное здесь цели
простого качественного исследования. Для такого исследования обычным
является прием, до предела упрощающий задачу.
Предположим, что прогибы всех сечений находятся в одной фазе коле­
бательного процесса и связаны между собой одной заранее выбранной
координатной функцией. То же допущение сделаем относительно углов
поворота. Итак:
У (z,t)= f,(z)qx(t), a(z,t) = ^(z)q2(t), (2.12)
где /(z) и<р(г) - заданные координатные функции изгиба и кручения,
qx(t) и q2 (t) — функции времени, играющие в дальнейшем роль обоб­
щения координат.
Формулы (2.12) можно рассматривать как первое приближение раз­
ложения прогибов и углов поворота в ряды по системам координатных
функций с коэффициентами, зависящими от времени:
у= Е qx (t)f (z); а= 2 q2 (Г) q> (z).
m m
Такое разложение возможно, если в качествеи выбрать функ­
ции полной системы, удовлетворяющие тем же граничным условиям на
концах балки, что и функции у и а. Ни свойств разложений, ни условий
полноты здесь обсуждать не будем.
Для крыла (как балки), жестко заделанного по борту фюзеляжа и
свободного на конце, граничные условия будут следующими:
22

24.
при : 0 у — у = О, а = О — отсутствуют прогиб и углы поворота
Пилки в заделке;
при z I Е/у = (EJy ')' = 0, GJp а' = 0 — отсутствуют изгибаю­
щих момент, перерезывающая сила и крутящий момент на свободном
конце.
Функции f(т 1 и (т 1 можно взять, например, как формы собственных
колебаний изгиба и кручения балки в пустоте, рассматриваемых раздель­
но. Ас । их действительной связанности.
I I
f EJf"2dz = J mf2 dz.
0 0
Полагаем
v(2.t) /(z)e,P,”r/; a(z,t) = >p (г)е'РкР‘,
"" /’н и и Ркр ~ частоты изгибных и крутильных колебаний. Из урав-
111 НИН t пободных колебаний изгиба и кручения
(/ Jy ту; (GJpa')'=Jma
найдем уравнения
(/ '/”)"= P¿3T mf- (GJp ^'У=- р^р Jmtp. (2.13)
Присоединяя сюда выписанные выше граничные условия (у следу-
■ । шмснить на /, а на у>), получим однородные задачи для определения,
........’сгсгвенно, спектров частот ризг и ркр как спектров собственных
...... ний. "ри которых существуют ненулевые (нетривиальные) решения
них шдач формы собственных колебаний (собственные функции).
Отмстим полезное свойство форм собственных колебаний. Подста-
ним и первое уравнение (2.13) выражение для формы колебаний гр-го
...... и ниба и соответствующую собственную частоту. Уравнение при этом,
..... '''И". выполняется. Умножим левую и правую части уравнения на то
**’ выражение и проинтегрируем по длине балки
I I
f (J:jf")"fdz=p23r f mf2 dz.
О о
Интеграл слева дважды вычислим ”по частям” и учтем, что внеинтег-
1*альные слагаемые обратятся в нуль в силу однородных граничных ус-
....ши Получим
(2.14)
23

25.
Аналогичное свойство имеет место и для т-го тона кручения
/ /
/ С,др аг = р2р { }т <р2 аг. (2.15)
■ О о
Окончательно, будем считать, что в представлении (2.12) / и — фор­
мы раздельных колебаний по первым тонам изгиба и кручения. Отметим,
что при этом формулы (2.12) не будут точными даже для колебаний в
пустоте, так как такие колебания будут совместными изгибно-крутиль-
ными (с преимущественным изгибом и относительно малым кручением)
и крутильно-изгибными (с преимущественным кручением и малым из­
гибом). Совместный характер колебаний возникает за счет инерцион­
ной связи изгиба и кручения — несовпадения центров масс сечений с осью
жесткости.
Все же основную неточность следует приписать не способу задания
координатных функций, а тому обстоятельству, что в потоке воздуха раз­
личные сечения крыла могут колебаться в различной фазе, а это никак не
учитывается приближением (2.12).
Формы колебаний могут быть получены как расчетом, например,
применением итерационного метода к уравнениям (2.13), так и экспери­
ментально, путем частотных испытаний ЛА или его модели.
Кратко опишем итерационный метод на примере первого уравнения
(2.13). Четырехкратным интегрированием с учетом граничных условий
превратим его в уравнение
г г । / /
/ = Ризг М“ 1
О 0 £7 2 2
Выберем за начальное приближение какую-нибудь функциюопре­
деленным образом нормированную. Например, для нашего случая кон­
сольной балки удобно принять условие нормирования / (/) - 1, имея его
в виду для всех приближений.
Подставим /о под интеграл и выполним численное четырехкратное
интегрирование. Хорошо известно, что численное интегрирование можно
выполнить с высокой точностью при небольшом числе шагов, применяя
самые простые алгоритмы. Получим ненормированную функцию пер
вого приближения Д. Ее легко нормировать, просто разделив на ее зна­
чение при г = I. Нормированную функцию подставим под интеграл
производя четырехкратное интегрирование, найдем/2 и ТД-
Выяснению того, сходится ли итерационный процесс с увеличением
числа приближений, а если сходится, то к какой функции, помогает следу­
ющее рассуждение.
Если бы в качестве начального приближения /0 была принята фор
24

26.
ми колебаний w-го тона изгиба удовлетворяющая уравнению при
чистоте те-го тона рт, то в результате интегрирования была бы вновь
полу чена та же форма, деленная на р 2
т.
Произвольную функцию /о можно представить разложением по Фор-
M.im । nixшенных колебаний с некоторыми коэффициентами Ат :
Ат
ГП
Ин-рационный процесс в силу линейности задачи представляется су-
"• ........ицией операций над каждым слагаемым. Поэтому первое прибли­
жение имеет вид
J iS.
т рт
Л
। ч ' приближение, если не обращать внимания на нормирующий множи-
кчн,, будет
4 г
т
Ат
(т)
1п
Рт
1 Ли видно, что с ростом п выделяется слагаемое с наинизшей, пер-
..... .<>1ншснной частотой — первая форма колебаний. Когда из сравне­
нии двух последовательных приближений становится ясным, что про-
Ц( । ( определения формы сошелся с желаемой точностью, квадрат первой
чи( ины находится как необходимый нормирующий множитель.
Пык, возмущенное движение крыла описано как движение линейной
■ н< 1смы с двумя степенями свободы. В исследовании динамической устой-
чннщ 1п крыла причины и характер начальных возмущений можно деталь-
........ . рассматривать. Совершенно ясно, что турбулентность атмосферы,
малые корректирующие отклонения органов управления и другие воз-
мущспии способны создать любые комбинации отклонений прогибов и
VI лов а1аки от их основных значений, а также любые комбинации их ско-
I"" н и I ( гественно только считать, что эти начальные отклонения и ско-
|мн 1и малы и сами по себе не опасны.
Иди суждения об устойчивости необходимо проследить за развити­
ем во (мущений во времени в соответствии с уравнениями возмущенного
движения Вся подготовительная работа для вывода этих уравнений уже
выполнена, и можно приступить к записи самих уравнений — уравнений
11ни! ража II рода:
</ а т ат
<11 d i'ij Э qj
ап
(2.16)
+ 2,0 = 1,2).
25

27.
Для линейной системы кинетическая и потенциальная энергии воз­
мущенного движения имеют вид квадратичных форм с постоянными
коэффициентами от обобщенных скоростей и координат. Их выраже­
ния получим подстановкой представлений (2.12) в формулы (2.11):
1 .2 . . 1 .2
Т= — Сц + <?12 <71 42 + — с22
2 2
_ 1 2 1 2
7/------ а11 <71 + — а22 <72 •
2--------- 2
7 7 7
Здесьси = / щ/2 dz с13 = - j mofydz,c22 = ^dz,
Ooo
a коэффициенты ац в вычислительных целях удобно выразить через коэф­
фициенты Сд с помощью соотношений (2.14) и (2.15)
_ 2 2
^11 “ Ризг ’ ^22 — рКр с22.
К обобщенным силам Qj отнесем все силы аэродинамического проис­
хождения. Вообще говоря, они непотенциальны. Найдем обобщенные
силы, используя формулы (2.12) и рассматривая работу аэродинамичес­
ких сил и моментов (2.10), отнесенных к оси жесткости, на виртуаль­
ных вертикальных перемещениях этой оси и поворотах вокруг нее:
lll I
f Р8 ydz + f M8adz = J Pfdz bq^ + f M ydz -ôq2 =
ООО о
= Q1 qi + Q2 8q2.
После подстановки представлений (2.12) в формулы (2.10) полу­
чим выражения, в которых скорость выписана явно:
I
Ci - f Pfdz = -du Vq, -dl2 Vq2 -bl2 V2 q2 ;
0
l
Q2 - i M ydz =-d2l Vqt -d22 Vq2 ~b22 V2 q2.
0
Здесь
1 1 1 1 3
dlt = - c ? P J bf2 dz; dl2=~-cavp / (-b-x0)bf<pdz-,
2 У о 2 ' 0 4
26

28.
¿л с ° p f (x0 ~хф) bfydz;
0
(2.17)
I a л 3
du - -C P J [---- — b2 -(x0 -Хф) (—h-x0)] b <p2 dz
2 ' 0 8сУ 4
*u
1 or 1
~~cyPÎ bfydz, b22 =-
n
1 a Z
~ cy P f(x0 -x^b^2dz.
2 0
0
Уравнения Лагранжа 11 рода (2.16) приобретают вид
<11 ài +<Л1 4г + ¿11 Vdi +¿12 V 42 + *12 V2d2 +atiqi =0;
(2.18)
<1! il + c» 42 +¿21 ^ii +¿22 V 4г + b22 V1 q2 + a22q2 =0.
Ии уравнения можно также записать в более общей, матричной фор­
ме, пригодной, как поясняется ниже, и для других видов флаттера ЛА:
( <| + l'Dq + V2 Bq + A q = 0. (2.19)
1десь q матрица-столбец, составленная из обобщенных координат,
А матрица жесткости [для уравнений (2.18) эта матрица диагональ-
и«и|. В матрица аэродинамического происхождения, которую по ана-
....ин с матрицей жесткости можно назвать матрицей аэродинамической
•1ЧШОСГИ [в уравнениях (2.18) часть элементов этой матрицы нули],
< инерционная матрица, D - матрица аэродинамического демпфирования.
Уравнение (2.19) можно было бы дополнить следующим образом.
Иринин в нем И = 0, что соответствует колебаниям ”на земле”, обнару-
♦им, 'по в этом случае нет сил демпфирования. Очевидно осталось не-
......иным демпфирование, не связанное с обтеканием ЛА. Сюда относят-
< и ра< < синие энергии в соединениях и люфтах (конструкционное демп-
фиронание), акустическое демпфирование за счет излучения звуковых
иолн и воздушную среду и т.д.
I икос демпфирование можно было бы учесть, весьма условно пред-
Полагая его линейным и вводя соответствующую матрицу коэффици-
•итоп демпфирования, что иногда и делается в расчетах.
27

29.
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ.
ВЛИЯНИЕ НЕКОТОРЫХ ПАРАМЕТРОВ
НА КРИТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ
В исследовании устойчивости будем опираться на уравнение (2.19),
имея в виду те постановки задач флаттера, которые сводятся к подоб­
ному уравнению. Напомним, что тривиальное решение ц = 0( соответст­
вует основному, невозмущенному движению.
Наметим путь исследования возмущенного движения. Общее решение
уравнения (2.19) ц (Г) строится как сумма частных решений (с произволь­
ными коэффициентами) вида
I (л) г
Ч=Чое . (3.1)
Каждое такое решение представляет собой ’’собственное” движение
со своей частотой щ. Собственный вектор-столбец ц0 составлен из чисел -
амплитуд обобщенных координат; эти амплитуды, вообще говоря, могут
быть комплексными, что при разных аргументах соответствует сдвигу
фаз между колебаниями по каждой из обобщенных координат.
Важно заметить, что и собственные частоты, все или некоторые, мо
гут быть комплексными:
ш = р + I 5.
Собственные колебания будут убывающими, если 8 > 0, и возрас­
тающими, если 8 < 0. Произвольное возмущенное движение как сумма
собственных колебаний, затухает во времени, если мнимые части всех
собственных частот положительны. Если же мнимая часть хотя бы одной
собственной частоты отрицательна, то возмущенное движение во време­
ни нарастает (в рамках линейной постановки задачи и, соответственно,
линейных уравнений этот рост беспределен). Начальные возмущения для
реализации такого движения всегда найдутся.
Для вычисления собственных частот подставим предполагаемое ре­
шение (3.1) в уравнение (2.19). Получим уравнение для собственного
28

30.
т к к»р.|, которое имеет ненулевое решение, если равен нулю определи-
к о. уравнения
| ша С + ; ш СЭ +И2 В+А| =0. (3.2)
В >то частотное или характеристическое уравнение скорость воздуш­
ною потока V (или, что то же самое, скорость полета) входит как па-
римпр Дня каждой скорости можно вычислить собственные частоты и
■.....не ишующие им собственные векторы, дающие представление о фор-
м.н колебаний в потоке. Однако, если ограничиться только задачей флат-
о-|’ | ио будут хотя и полезные, но промежуточные результаты.
Конечная цель исследования состоит в определении такой скорости
но шушного потока, начиная с которой хотя бы у одной собственной час-
ЮН.1 появляется отрицательная мнимая часть. Эта скорость и будет ско­
ро п.ю флаттера ИфЛ (ее называют еще критической скоростью).
Можно было бы утверждать, что при скорости флаттера мнимая часть
одной из частот 6(10 как функция скорости меняет знак, если бы не
. ункч пищало исключение, практически редкое, но важное для упрощен­
ною анализа. Может оказаться, что при V < ИфЛ все собственные частоты —
л* в. । пи к пьные. Возмущенное движение при таких частотах незатуха-
... нт а линейные уравнения, строго говоря, не дают решения вопроса
о динамической устойчивости. В такой ситуации малые нелинейности,
*.....рые не учтены, но всегда есть, могут приводить как к раскачке, так
и ь ш гуканию колебаний. Суждение об устойчивости могут изменить и
мин и линейные ранее неучтенные силы. Случай действительных частот
мм у. лонно отнесем к случаю динамической устойчивости.
Оговорим еще один частный случай. Если уравнение (3.2) имеет крат-
таг корни кратные частоты,то частные решения, наряду с формой (3.1),
мш у| имен, и более сложный вид:
„ . . Г
<| ПО е
। п Г(0 полином с коэффициентами в виде матриц-столбцов. Решения
•»кого типа появляются только при некоторых соотношениях между
пирамс!рами уравнения (3.2), в частности возможны на границах устой-
чииш ги, но обычно не определяют расположение области флаттера. Поэ-
тому они детально не рассматриваются.
Выше не было оговорено, что на границе флаттера одна из частот дол­
жна быть не только действительной, но и отличной от нуля. Только при
р * О переход этой границы ведет к неустойчивости типа нарастающих
колебаний.
Случай р = 0, 6 = О соответствует ’’нейтральному” равновесию, при
котором отклонения от основного состояния сохраняют свои значения.
При переходе в область неустойчивости отклонения монотонно нарас-
1к|о| Такой тип неустойчивости называют дивергенцией. Он может быть
и (учен в статической, бифуркационной постановке задачи устойчивости,
29