1.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
①Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,
với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Kí hiệu: ( )
,
d M a MH
= .
② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng( )
a là MH , với
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( )
a .
Kí hiệu: ( )
( )
,
d M MH
a = .
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.
( ) ( ) ( )
, ,
d a b d M b MH M a
= = Î
④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )
a song song với
nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến
mặt phẳng ( )
a :
( ) ( ) ( )
, ,
d a d M MH M a
a a
é ù é ù
= = Î
ê ú ê ú
ë û ë û
⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
, , A, ,
d d a d AH a A a
a b b b a
é ù é ù é ù
= = = Ì Î
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ,
a b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi
là đường vuông góc chung của ,
a b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của ,
a b .
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
a
b
c
J
I
a
b
J
I



H
M

M
H
a

M
H
a
b

M
H
a

A B
H K

a

2.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng ( )
,
M d hạ MH d
^ với H d
Î .
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
 Chú ý:
 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:
( ) ( ) ( )
, ,
d M d d A d AK A d
= = Î .
 Nếu MA d I
Ç = , thì:
( )
( )
,
,
d M d MI
AI
d A d
= .
b. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng( )
a
Các bước thực hiện:
Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên ( )
a .
- Tìm mặt phẳng ( )
b qua O và vuông góc với ( )
a .
- Tìm ( ) ( )
a b
D = Ç .
- Trong mặt phẳng ( )
b , kẻ OH ^ D tại H.
 H là hình chiếu vuông góc của O lên ( )
a .
Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến ( )
a .
 Chú ý:
 Chọn mặt phẳng( )
b sao cho dễ tìm giao tuyến với( )
a .
 Nếu đã có đường thẳng ( )
d a
^ thì kẻ / /
Ox d cắt( )
a tại H.
 Nếu ( )
/ /
OA a thì: ( )
( ) ( )
( )
, ,
d O d A
a a
= .
 Nếu OA cắt ( )
a tại I thì:
( )
( )
( )
( )
O,
,
d OI
AI
d A
a
a
=
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ,
a b
 Trường hợp a  b:
- Dựng mặt phẳng ( )
a chứa a và vuông góc với b tại B.

M
H
a
a M A
K
d
A
K
d
I H
M



O
H
 H
O d
 H
O A
K
 H
O
A
K
I
b
a
B
A


3.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
- Trong ( )
a dựng BA  a tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung.
 Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
- Dựng mp ( )
a chứa a và song song với b.
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M
- Từ M dựng b// b cắt a tại A.
- Từ A dựng / /
AB MM ¢ cắt b tại B.
 AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)
- Dựng mặt phẳng ( ) a
a ^ tại O, ( )
a cắt b tại I
- Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên ( )
a
- Trong mp( )
a , vẽ OH  b tại H.
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ,
a b
Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của ,
a b .
- ( )
,
d a b AB
=
Cách 2. Dựng mặt phẳng( )
a chứa a và song song với b. Khi đó: ( ) ( )
( )
, ,
d a b d b a
=
Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: ( ) ( ) ( )
( )
, ,
d a b d a b
=
3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng ( )
MNP đi qua 3 điểm ( ) ( ) ( )
;y ; ,N ;y ; ,P ;y ;
M M M N N N P P P
M x z x z x z :
+ Mặt phẳng ( )
MNP đi qua điểm ( )
;y ;
M M M
M x z có vtpt ( )
A;B;C
n MN MP
= Ù =
u
r uuuu
r uuu
r
có dạng:
( ) ( ) ( ) 0 z 0
M M M
A x x B y y C z z Ax By C D
- + - + - = Û + + + =
+ Khoảng cách từ một điểm ( )
;y ;
I I I
I x z đến mặt phẳng ( )
MNP :
( ) 2 2 2
,( )
I I I
Ax By Cz D
IH d I MNP
A B C
+ + +
= =
+ +
Công thức tính nhanh: ( )
( ).
,( )
MN MP MI
d I MNP
MN MP
Ù
=
Ù
uuu
u
r uuu
r uu
u
r
uuu
u
r uuu
r
b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau ,
AB CD là: ( )
( ).
,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
Ù
=
Ù
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
(Hình a)
A

B M
M'
a
b
b'
(Hình b)

b'
a b
A
O
I H
B

4.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
c) Góc giữa hai đường thẳng ,
AB CD theo công thức: ( )
.
cos ,
.
AB CD
AB CD
AB CD
=
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
d) Góc giữa hai mặt phẳng ( )
ABC và ( )
MNP :
( )
ABC có vecto pháp tuyến 1
n AB AC
= Ù
u
u
r uuu
r uuu
r
; ( )
MNP có vtpt 2
n MN MP
= Ù
uu
r uuuu
r uuu
r
, khi đó:
( ) ( )
( )
1 2
1 2
.
cos ,
.
n n
ABC MNP
n n
=
u
u
r uu
r
u
u
r uu
r ( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
,
.
A A B B C C
ABC MNP
A B C A B C
+ +
= Þ
+ + + +
;
e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( )
MNP :
Tính u A B
=
r uuu
r
và ( )
MNP có vtpt n MN MP
= Ù
u
r uuu
u
r uuu
r
, thì: ( )
( ) ( )
( )
.
sin , ,
.
u n
AB MNP AB MNP
u n
= Þ
r u
r
;
r u
r
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHÓP ĐỀU
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng
0
60 Khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A
2
a
. B.
4
a
. C.
3
4
a
. D.
3
2
a
.
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng
0
60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
A.
5
5
a
B.
5
a
. C.
5
10
a
. D.
2
5
a
.
Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, 3
SA a
= . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A.
85
arctan
17
. B.
10
arctan
17
. C.
85
arcsin
17
. D.
85
arccos
17
.
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, 3
SA a
= . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A.
330
arccos
110
. B.
33
arccos
11
C.
3
arccos
11
. D.
33
arccos
22
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, 3
SA a
= . M là trung điểm của cạnh
BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.
2 11
arctan
110
. B.
110
arctan
11
. C.
2 110
arctan
33
. D.
2 110
arctan
11
.

5.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, , 2
AB a AC a
= = và diện tích tam
giác SBC bằng
2
33
6
a
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A.
330
33
a
. B.
330
11
a
. C.
110
.
33
a
D.
2 330
.
33
a
Câu 6. Cho hình chóp tam giác .
S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,
BA BC a
= = , góc giữa ( )
mp SBC với ( )
mp ABC bằng 0
60 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
A.
3
4
a
. B.
3
2
a
. C.
2
3
a
. D.
6
2
a
.
Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 0
30 , góc ABO bằng
0
60 và 6
AC a
= . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường
thẳng CM và OA.
A.
93
arctan
6
. B.
31
arctan
3
. B.
93
arctan
3
. D.
31
arctan
2
.
Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng
0
30 , góc ABO bằng
0
60 và 6
AC a
= . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt
phẳng (OCM) và (ABC).
A.
1
arcsin
35
B.
34
arcsin
35
C.
14
arcsin
35
D.
3
arcsin
7
Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)
bằng
0
60 , OB a
= , 2
OC a
= . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
A.
3
arcsin
4 7
. B.
1
arcsin
7
. C.
3
arcsin
2 7
. D.
1
arcsin
2 7
.
Câu 10. Cho tứ diện OABC có , ,
OA OB OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và
( )
mp OBC bằng 0
60 , OB a
 , 2
OC a
 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa
hai mặt phẳng  
AMC và  
ABC bằng:
A.
3
arcsin
35
. B.
32
arcsin
35
. C.
1
arcsin
35
. D.
34
arcsin
35
.
D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢIBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

6.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63
A D C

7.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
KHỐI CHÓP ĐỀU
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 0
60
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A
2
a
. B.
4
a
. C.
3
4
a
. D.
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu
của S trên mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm của BC
suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là góc SIG.
Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên
1 3 3
.
3 2 6
a a
GI = =
Theo bài · 0
60
SIG = , suy ra
· 0
3
.tan tan 60
6 2
a a
SG GI SIG
= = = .
Vì
( )
3
AG SBC I
AI
GI
ì Ç =
ï
ï
ï
í
ï =
ï
ï
î
nên ( ,( )) 3. ( ,( ))
d A SBC d G SBC
= .
Gọi H là hình chiếu của G trên (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI). Suy ra
2 2
2 2
3
.
. 2 6
( ,( ))
4
4 12
a
a
GS GI a
d G SBC GH
a a
GS GI
= = = =
+
+
, suy ra
3
( ,( )) 3. ( ,( ))
4
a
d A SBC d G SBC
= = .
[Cách 2] Phương pháp thể tích.
Ta có:
3
0
.
1 1 3
. . . .sin 60 .
3 2 2 24
S ABC
a a
V a a
= = , 0
3
cos60 3
GI a
SI = = , suy ra
2
3
6
SBC
a
SD = .
Vậy
3
.
2
3
3 3
8
( ;( ))
4
3
6
S ABC
SBC
a
V a
d A SBC
S a
D
= = = .
[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I O
º ,
, ; / / .
Ox IA Oy IC Oz GS
º º (Hình vẽ).
Khi đó,
3
;0;0
2
a
A
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
,
A C
S
B
G I
H
A
C
S
B
G I
z
y
x

8.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
0; ;0
2
a
C
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
;
3
;0;
6 2
a a
S
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
, suy ra
æ ö
÷
ç ÷
= ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
uu
r 3
;0;0
2
a
IA ,
æ ö
÷
ç
= ÷
ç ÷
ç
è ø
uu
r
0; ;0
2
a
IC
æ ö
÷
ç ÷
= ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
uu
r 3
;0;
6 2
a a
IS , suy ra
, . 3
( ,( ))
4
,
IC IS IA a
d A SBC
IC IS
é ù
ê ú
ë û
= =
é ù
ê ú
ë û
uu
r uu
r uu
r
uu
r uu
r .
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 0
60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
A.
5
5
a
B.
5
a
. C.
5
10
a
. D.
2
5
a
.
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên đường
thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.
Khi đó, ( , ) ( ,( ))
d GC SA d GC SAH GK
= = . Ta có:
3
3
a
AG = ;
·
( ) · 0 0
,( ) 60 .tan 60 ,
SA ABC SAG SG AG a
= = Þ = =
2
a
GH AM
= = , suy ra
2 2
. 5
( , ) .
5
GS GH a
d GC SA GK
GS GH
= = =
+
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G O
º , , / / ,
Ox GA Oy NC Oz GS
º º (Hình vẽ).
Khi đó,
3
;0;0
3
a
A
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
,
3
; ;0
6 2
a a
C
æ ö
÷
ç ÷
-
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
; ( )
0;0;
S a , suy ra ( )
0;0;
GS a
uur
,
3
; ;0
6 2
a a
GC
æ ö
÷
ç ÷
-
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
uuu
r
,
A
S
B
C
M N
G
H
K
S
A
B
C
K
H
G
z
x
y

9.
TẢI FILE KẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)
trithucpanda.com
3
;0;
3
a
AS a
æ ö
÷
ç ÷
-
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
uuu
r
suy ra
, . 5
( , )
5
,
GC AS GS a
d SA GC
GC AS
é ù
ê ú
ë û
= =
é ù
ê ú
ë û
uuu
r uuu
r uur
uuu
r uuu
r
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, 3
SA a
= . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A.
85
arctan
17
. B.
10
arctan
17
. C.
85
arcsin
17
. D.
85
arccos
17
.
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và
cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD),
suy ra ·
( ) ·
,( )
BG ABCD GBK
= .
Ta có:
2
2
a
AO = ,
10
2
a
SO = ,
1 10
3 6
a
GK SO
= = ,
vì
2
3
OK OM
= nên
3
a
OK = , suy ra
34
6
a
BK = .
·
( ) · 85
tan ,( ) tan
17
GK
BG ABCD GBK
BK
= = = .
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với , ,
Ox OC Oy OD Oz OS
º º º . Khi đó,
2
0; ;0
2
a
B
æ ö
÷
ç ÷
-
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
,
2 2 10
; ;
6 6 6
a a a
G
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
;
10
0;0;
2
a
S
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
.
Suy ra ( )
2 2 2 10 2 2
; ; 1;4; 5 .
6 3 6 6 6
a a a a a
BG n
æ ö
÷
ç ÷= =
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
uuu
r r
,
( )
10 10 10
0;0; 0;0;1 .
2 2 2
a a a
OS k
æ ö
÷
ç ÷= =
ç ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
uur r
.
· · ·
. 5 17 85
sin( ,( )) cos( ,( )) tan( ,( ))
22 22 17
.
n k
BG ABCD BG ABCD BG ABCD
n k
= = Þ = Þ =
r r
r r .
A
B C
D
S
O
G
K
M