C lculo com geometria anal tica vol 1 - george f. simmons parte i

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C lculo com geometria anal tica vol 1 - george f. simmons parte i

  1. 1. CALCULO COM GEOMETRIA ANALITICA VOLUME I George F. Simmons Professor de Matematica Colorado College Tradut;ao SEIJI HARIKI Professor do Instituto de Matemc3tica e Estatlstica - IME-USP Revisao Tecnica RODNEY CARLOS BASSANEZI SILVIO DE ALENCASTRO PREGNOLATTO Professores do Instituto de Matematica, Estatlstica e Ciencias de Computac;:ao - IMECC - UNICAMP MAKRON Books do Brasil Editora Ltda. Editora McGraw-Hill Ltda. Sao Paulo Rua Tabapua, 1105, Itaim-Bibi CEP 04533-905 (011) 829-8604 e (011) 820-8528 Rio de Janeiro. Lisboa • Porto. Bogotd • Buenos Aires. Guatemala. Madrid. Mexico. New York. Panama. San Juan. Santiago Aucltland • Hamburg. Kuala Lumpur. London. Milan. Montreal. New Delhi. Paris. Singapore. Sydney. Tokyo. Toronto
  2. 2. AGRADECIMENTOS A Editora deseja expressar publicamente seus agradecimentos a todos os ilustres professores que muito nos honraram com seus comentarios e sugestoes, permitindo que este livro esteja de acordo com as atuais necessidades do ensino de CaIculo e Geometria Analitica. Pedindo desculpas pela eventual omissao de alguns nomes, desejamos destacar: AFFONSO SERGIO FAMBRINI Mackenzie/FAAP - SP ALINE TEREZA CARMIN-ATI GONl;ALVES FATEC - SP ANGELA M. F. DE MAGALHAES PINTO UFMG-MG ANTONIO CATARUZZI Funda(iio Santo Andre - SP ANTONIO JOSE PINHEIRO DE ALMEIDA PUC - SP ANTONIO MARQUES VIEIRA CHAVES AEVA/UFRJ - RJ ANTONIO PERTENCE JUNIOR SENAI - MG ARMANDO PEREIRA LORETO JUNIOR Fac. S. Judas Tadeu/Fac. Moema/FEI - SP CELIA LOPES MARTINS AEVA/USU - RJ CiNTIA AUGUSTA DE MENEZES BARBOSA AEVA-RJ CLAuDIO JOAO DALL'ANESE IMES/FEI/Fac. Objetivo/Fund. Santo Andre - SP DEBORAH RAPHAEL USP - SP EDUARDO A. VALERIO DOMINGUES PUC - SP EDUARDO J. DE SOUZA MONTENEGRO Fac. S. Judas Tadeu/Fac. Moema/FGV - SP
  3. 3. FLAVIO ANGELINE PUC - SP GERSON RODRIGUES DA ROCHA Fac. Est<1cio de S<1/UGF - RJ IZABEL CRISTINA R. TEIXEIRA VIANNA Fac. Estacio de Sa - RJ . JOAO ANTONIO POLID0 Fac. S. Judas Tadeu/Fac. Moema/PUC/FMU - SP JOAO VIEIRA DE FARIA SUAM - RJ JOAQUIM DA SILVA COR~IA AEVA/UFRJ - RJ JOSE JUSTINO CASTILHO Mack.IEE MaualEE Piracicaba/FEC Araraquara - SP JOSE MAURICIO MACHADO DA SILVA UFMG - MG JUSSARA DE SOUZA TRANJAN Fund. Santo Andre - SP LAURITO ANTONIO PERRELLA IMES - SP LEILA M. V. FIGUEIREDO USP - SP LUcfLIA BORSARI USP - SP LUIZ MAURO ROCHA FEI/Fund. Santo Andre - SP MARIA LuizA AZAMBUJA DE SOUZA PUC - RS NATALINA NEVES DIAS Fac. S. Judas Tadeu - SP' NEDA DA SILVA GON<;ALVES PUC - RS ODUVALDOCACALANO Fund. Santo Andre/IMES - SP RICARDO BIANCONNI USP - SP ROBERT MALLET PUC - SP ROBERTO BARBOSA Fund. Santo Andre/Fac. C. Pasquale lFICAP) - SP ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES UFMG - MG RONALDO SILVEIRA DE SOUZA SUAM/USU/UCP - RJ RUBENER DA SILVA FREITAS FEI/PUC/Fund. Santo Andre - SP SERGIO MARQUES BARBOSA AEVA - RJ VICTOR HUGO TEIXEIRA RODRIGUES PUC - Campinas
  4. 4. Para Gertrude Clark, a grande professora da minha vida.
  5. 5. Tradi~ao nao pode ser herdada, e se voce a quer tern de obte-la atraves de grandes trabalhos. - T.S. Eliot Ciencia e Filosofia lan~am uma rede de palavras no mar da existencia, feliz no fim se elas arrastam alguma coisa alem da propria rede, com alguns buracos_nela. - Santayana A verdadeira defini~ao de ciencia e que ela e 0 estudo da beleza do mundo. - Simone Wei! Para mirn, logica e aprendizado e todas as atividades mentais tern sido sempre incompreensiveis como uma irnagem fechada e completa e tern sido compreensiveis somente como urn processo pelo qual 0 homem se coloca em rela~o com 0 seu ambiente. Ea batalha para aprender 0 que e significativo, e nao a vitoria. Toda vitoria que e absoluta e seguida de uma vez pelo crepusculo dos deuses, no qual 0 conceito exato de vitoria e dissolvido no momenta em que e atingido. Estamos nadando contra a corrente, contra urn grande tormento de desorganiza~o, que tende a reduzir tudo a morte termica, ao equilibrio, descrita na segunda lei da termodinamica. 0 que Maxwell, Boltzmann e Gibbs quiseram dizer por essa morte termica em Fisica tern uma contrapartida na etica de Kierkegaard, que mostrou que vivemos num universo moral caotico. Nisso, a nossa principal obriga~ao e estabelecer enclaves arbitrarios ate ordem e sistema. Esses enclaves nao ficarao hi indefinidamente, por algum processo deles proprios, uma vez estabilizados. Como a Rainha Vermelha, nao podemos ficar onde estamos sem correr 0 mais depressa que podemos. Nao estamos lutando por uma vitoria definitiva no futuro indefinido. Ea maior vitoria possivel ser, continuar a ser e ter sido. Nenhuma derrota pode nos privar do sucesso de ter existido por algum momento de tempo num universo que parece indiferente a nos. - Norbert Wiener
  6. 6. SUMARIO Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XlV Ao Estudante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XIX CAPiTULO 1 NUMEROS. FUN«;OES E GRAFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Introdu~ao 1 1.2 A Reta Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 0 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Coeficientes Angulares e Equa~5es de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Circunferencias e Parabolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 0 Conceito de Fun~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7 Tipos de Fun~ao. Formulas da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.8 Graficos de Fun~5es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 CAPITULO 2 A DERIVADA DE UMA FUN«;AO 69 2.1 0 que eCaIculo? 0 Problema das Tangentes '.... 69 2.2 Como Calcular 0 Coeficiente Angular (Inclina~ao) da Tangente . . . . . 72 2.3 A Defini~ao de Derivada 79 2.4 Velocidade e Taxas de Varia~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.5 Limites e Fun~5es Continuas 94 CAPiTULO 3 0 ·CA.LCULO DE DERIVADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107 3.1 Derivadas de Polinomios. ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 IX
  7. 7. X elilculo com Geometria Analftica 3.2 As Regras do Produto e do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114 3.3 Funyoes Compostas e a Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120 3.4 Funyoes Impllcitas e Expoentes Fracionlirios . . . . . . . . . . . . . . . .. 126 3.5 Derivadas de Ordem Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133 CAPITULO 4 APLICA(:OES DE DERNADAS " 146 4.1 Funyoes Crescentes e Decrescentes. Maximos e Minimos 146 4.2 Concavidade e Pontos de Inflexao .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153 4.3 Problemas de Aplicayoes de Maximos e Minimos 160 4.4 Mais Problemas de Maximos e Minimos. Reflexao e Refrayao . . . . .. 171 4.5 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182 4.6 (Opcional) Metodo de Newton para Resolver Funyoes . . . . . . . . . .. 190 4.7 (Opcional) Aplicayoes a'Economia e Neg6cios . . . . . . . . . . . . . . .. 194 CAPITULO 5 INTEGRAlS INDEFINIDAS E EQUA(:OES DIFERENCIAIS 219 5.1 Introduyao , 219 5.2 ANotayao de Diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219 5.3 Integrais IndefInidas. Integrayao por Substituiyao . . . . . . . . . . . . .. 231 5.4 Equayoes Diferenciais. Separayao de Variaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5.5 Movimento sob a Gravidade. Velocidade de Escape e Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245 CAPITULO 6 INTEGRAlS DEFINIDAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259 6.1 Introduyao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259 6.2 0 Problema das Areas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 260 6.3 A Notayao Sigma e Algumas Somas Especiais . . . . . . . . . . . . . . . .. 264 6.4 A Area sob uma Curva. Integrais Definidas 267 6.5 0 Calculo de Areas como Limites 274 6.6 0 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278 6.7 Propriedades das Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286 CAPITULO 7 APLICA(:OES DA INTEGRA(:AO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 297 7.1 Introduyao. 0 Significado Intuitivo da Integrayao . . . . . . . . . . . . .. 297 7.2 A Area entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 299 7.3 Volumes: 0 Metodo do Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303 7.4 Volumes: 0 Metodo daCasca 310 7.5 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 315
  8. 8. Sumdrio XI 7.6 A Area de uma Superficie de Revolu~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321 7.7 For~a Hidrostatica 328 7.8 Trabalho e Energia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 333 CAPITULO 8 FUNC;OES EXPONENCIAIS E WGARfTMICAS 351 8.1 Introdu~ao 351 8.2 Revisao de Expoentes e Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352 8.3 0 Numero e e a Fun~ao y = eX ...........•..••...•..... 357 8.4 A Fun~ao Logaritmo Natural y =In x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 366 8.5 Ap1ica~5es. Crescimento Populacional e Decaimento Radiativo . . .. 377 8.6 Mais Ap1ica~5es. Crescimento Populacional Inibido etc. . . . . . . . .. 387 CAPITULO 9 FUNC;OES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 404 . 9.1 Revisao de Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 404 9.2 As Derivadas do Seno e do Co-Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 417 9.3 As Integrais do Seno e do Co-Seno. 0 Problema da Agulha . . . . . .. 426 9.4 As Derivadas das Outras Quatro Fun~5es . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 433 9.5 As Fun~5es Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 437 9.6 Movimento Harmonico Simples. 0 Pendul0 . . . . . . . . . . . . . . . .. 448 9.7 As Fun~5es Hiperb6licas 457 CAPITULO 10 METODOS DE INTEGRAC;AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 468 10.1 Introdu~ao. As F6rmulas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 468 10.2 0 Metodo da Substitui~ao 472 10.3 Algumas lntcgrais Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 477 10.4 Substitui~5es Trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 483 10.5 Complementando 0 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 491 10.6 0 Metodo das Fra~5es Parciais 494 10.7 Integra~ao por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 504 10.8 (Opcional) Fun~5es CUjas Integrais Nao Podem Ser Expressas como Fun~5es Elementares 513 10.9 (Opcional) Integra~ao Numerica 520 CAPITULO 11 OUfRAS APLICAC;OES DE INTEGRAC;AO 536 11.1 0 Centro de Massa de urn Sistema Discreto .. . . . . . . . . . . . . . .. 536 11.2 Centr6ides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 540 11.3 Os Teoremas de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 547 11.4 Momento de Inercia 550
  9. 9. XII Ctilculo com Geometrio Analftica CAPiTULO 12 FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRAlS IMPROPRIAS 560 12.1 Introduc;:ao. 0 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 560 12.2 A Forma Indeterminada 0/0. Regra de L'Hospital : . . .. 563 12.3 Outras Formas Indeterminadas " 569 12 A Integrais Improprias 577 APENDICES A. ADICIONAIS TOPICOS 592 A.1 Mais inforrnac;:oes sobre Numeros: Numeros Irracionais, Numeros Perfeitos e Numeros Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 592 A.2 0 Calculo Realizado por Fermat de IS x" dx para n Racional Positivo .. 600 A.3 Como Arquimedes Descobriu a Integrac;:ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 601 Ao4a Uma Abordagem Simples da Equac;:ao E.= M c2 .....•••...•••••.• 605 Ao4b Propu1sao de Foguete no Espac;:o Cosmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 607 A.5 Uma Prova da Formula de Vieta 609 A.6 A Catenaria ou a Curva de urn Fio Suspenso entre Dois Apoios . . . . . . .. 611 A.7 A Sequencia dos Primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 614 A.8 A Soluc;:ao por Bernoulli! para 0 Problema da Braquistocrona 623 8. A TEORIA DO CALCUW '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 628 B.1 0 Conjunto dos Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 628 B.2 Teoremas sobre Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 633 B.3 Algumas Propriedades mais Profundas das Func;:oes Continuas . . . . . . . .. 642 BA 0 Teorema do Valor Medio 648 B.5 A Integrabilidade de Func;:oes Continuas , .. 654 B.6 Uma Outra Prova do Teorema Fundamental do C3.1cu10 . . . . . . . . . . . .. 660 B.7 Existencia de e = limh_O (l + h)l/h 661 B.8 A Validade da Integrac;:ao por Substituic;:ao Inversa 663 B.9 Prova do Teorema das Frac;:oes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 665 C. NOTAS BIOGRAFICAS 669 Urn Panorama da Hist6ria do C3.1culo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 669 Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 671 Euc1ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 676 Arquirnedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 681 Pappus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 686
  10. 10. Surruirio XIII Descartes 688 Mersenne 693 Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 694 Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 701 Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 705 Newton 708 Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 713 Os Irmaos Bernoulli 724 Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 726 Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 731 Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 732 Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 733 Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 734 Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 740 Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 740 Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 742 Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 743 Hermite 744 Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 745 D. ALGUNS TOPICOS DE REVISAO 750 D.l 0 Teorema do Binomio de Newton 750 D.2 Indu~ao Matematica : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 758 TABELAS NUMERICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 771 RESPOSTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 773 mDICE ANALITICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 827
  11. 11. PREFAclO E curiosa que alguem que escreve urn livro-texto de mil paginas pense ser necessario escrever urn preflicio para explicar os objetivos: 0 proprio livre ja seria 0 suficiente. No entanto, todo livre- texto - e este nao e exce~ao - etanto expressao de insatisfa~ao com os livros existentes como uma proposta do que urn tallivro deva conter: urn prefacio oferece a Ultima oportunidade para sintetizar a proposta. Alem do mais, qualquer pessoa que contribua para aumentar a abundancia de livros introdutorios de Calculo deve ser intimada a justificar sua ac;:ao (ou talvez se desculpar por isto) a seus colegas da comunidade matematica. Este livre pretende ser urn texto de CaIculo que possa ser utilizado em toda especie de curso superior em qualquer nivel. Foi projetado particularmente para 0 curso-padrao de tres semestres para estudantes de Ciencia, Engenharia ou Matematica. 0 pre-requisito requerido e Algebra e Geometria do 2<? grau. Nao se sup5e nenhum conhecimento especializado de Ciencia, e os estudantes de Filosofia, Historia ou Economia podem ler e compreender as aplicac;:oes tao facilmente como qualquer outro estudante. Nao ha lei da natureza humana segundo a qual as pessoas com grande interesse pelas Ciencias Humanas ou Sociais estejarn automaticarnente impedidas de compreender e de gostar de Matem~tica. A Matematica e, de fato, 0 palco de muitas' das mais elevadas realizac;:oes da mente humana e deveria atrair os humanistas com a mesma forc;:a com a qual urn campo de flores silves- tres atrai as abelhas. Dizem, com razao, que a Matematica pode iluminar 0 mundo ou satisfazer a mente e, freqtientemente, ambas as coisas. Assim, urn estudante de Filosofia, por exemplo, teria informac;:ao tao falha pela ausencia de conhecimentos nesta area quanto urn estudante de Historia sem uma ampla compreensao de Economia e de Religiao. Assim, como poderiarn os estudantes de Filosofia ou de Hist6ria dar-se ao luxe de desprezar 0 fato (e eurn fato!) de que 0 progresso da Matematica e das Ciencias no seculo XVII foi 0 evento crucial no desenvolvimento do mundo modemo, muito mais profundo em significado hist6rico que as Revoluc;:oes Americana, Francesa e Russa? N6s, professores de Matemcitica, temos obriga~ao de ajudar tais estudantes neste aspecto de sua formac;:ao, e 0 CaIculo e urn excelente ponto de partida. xv
  12. 12. XVI Ctileulo com Geometria Analftica o texto em si - isto e, os 22 capitulos (Volumes Ie II)* sem os apendices - etradicional na materia e na organiza~ao. Dei grande enfase amotivariio e acompreensiio intuitiva, e os refrnamen- tos da teoria foram negligenciados. A maioria dos estudantes revela impaciencia com a parte teorica do assunto, e com razao, pois a essencia do Calculo nao esta em teoremas e em como prova-los, mas nos instrumentos que fomece e na forma de utiliza-los. Meu proposito maior foi 0 de apresentar 0 Calculo como arte poderosa de resolver problemas, arte que e indispensavel em todas as ciencias quantitativas. Naturalmente, desejo convencer 0 estudante de que os instrumentos-padrao do Calculo sao razoaveis e legitimos, mas nao acusta de transformar 0 assunto numa disciplina logica enfadonha, dominada por defini~5es supercuidadosas, apresentac;:5es formais de teoremas e provas meticulosas. E minha esperanc;:a que toda explica~ao matemlitica nestes capitulos pare~a ao estudante atento ser tao natural e inevitavel quanta a agua que flui no leito do rio. 0 objetivo principal do texto e explorar assuntos para os quais 0 Calculo e litil- 0 que ele nos possibilita fazer e compreender - e nao qual 6 sua natureza logica, quando encarado do ponto de vista especializado (e limitado) do matemMico puro modemo. Ha diversos aspectos do proprio texto que gostaria de comentar. Material Anterior ao Clilculo Devido a grande extensao do Calculo a ser coberta, e desejavel comec;:ar com uma partida rapida, introduzir a derivada 0 mais cedo possivel e demorar 0 minima na revisao do material anterior ao Calculo. Entretanto, os estudantes constituem urn grupo heterogeneo com niveis de prepara~ao matematica bastante diferentes. Por essa razao, inclui urn primeiro capitulo com material de revisao que recomendo aos professores omitir completamente ou tratar superficialmente, tanto quanta julgar aconselhavel para seus alunos. Esse capitulo foi escrito com suficientes detalhes, de forma a que os estudantes que tenham necessidade de dispender mais tempo nos preliminares consigam absorver a maior parte dele por si proprios com urn pequeno esfor~o extra**. Trigonometria 0 problema do que fazer com a Trigonometria em cursos de Calculo nao tern tido solu~ao satisfatoria. Alguns autores introduzem 0 assunto cedo, parcialmente, para poder usar as func;:6es trigonomMricas no ensino da regra da cadeia. Essa abordagem tern a desvan- tagem de saturar os primeiros capitulos de Calculo com material tecnico que nao e realmente essencial para os primeiros objetivos dos estudantes nesse estagio, que sao compreender os significados e algumas das aplica~5es das derivadas e das integrais. Vma outra desvantagem dessa forma de tratamento e que muitos tern urn unico semestre de Calculo e para eles a Trigonometria 6 uma complica~ao desnecessaria da qual talvez eles devam ser dispensados. 0 fato e que a trigo- nometria so se toma realmente indispensavel quando metodos formais de integra~ao devem ser enfrentados. Por essas raz6es, introduzo 0 calculo de fun~5es trigonometricas no Capitulo 9, de modo que todas as id6ias estarao frescas quando osestudantes iniciarem 0 Capitulo 10, que trata dos metodos de integra~ao. Vma exposi~ao completa de trigonometria e dada na Sec;:ao 9.1. Para a maioria * ** (Nota do Tradutor). 22 capftulos na edi~ao portuguesa. Vma exposi~iio mais completa da matematica do 29 grau, ainda respeitavelmente concisa, pode ser encon- trada em meu livreto, Precalculos Mathematics In a Nutshell (William Kaufmann, Inc., Los Altos, Calif., 1981), 119 paginas.
  13. 13. Pre/licio XVII dos estudantes, sera uma revisao necessaria da materia aprendida (e, em grande parte, esquecida) no 29 grau. Para aqueles que nao estudaram trigonometria, as explica90es apresentadas sao sufici- entemente completas e os estudantes poderao aprender 0 que necessitam a partir desta (mica se9ao. Para os professores que prefiram apresentar a trigonometria mais cedo - e ha boas razoes para isto - destaco as Se90es 9.1 e 9.2, que podem ser facilmente introduzidas diretarnente ap6s as Se90es 4.5,9.3 e 9.4 ou podem perfeitarnente ser apresentadas em qualquer estagio depois do Capitulo 6. Os unicos ajustes necessarios sao advertir os estudantes a nao trabalharem as pares (b), (c) e (d) do Exemplo 2 da Se9ao 9.2 e tarnbem informa-los de que os Problemas 15-18 da Se9ao 9.2; 12,16,17 e 29 da Se9ao 9.3; e 11,12 e 24 da Se9ao 9.4 nao sao exercicios para casa. Problemas Para os estudantes, as partes mais irnportantes de seu livro de Calculo podem bern ser os conjuntos de problemas, pois e neles que gastarn a maior parte de seu tempo e energia. Ha mais de 5.800 problemas neste livro, incluindo muitos dos velhos problemas de apoio, farniliares a todos os professores de Calculo, analisados desde 0 tempo de Euler e mesmo antes. Tentei retri- buir nosso debito ao passado criando novos problemas, sempre que possivel. Os conjuntos de problemas. foram cuidadosamente construidos, come9ando com exercicios de calculo de rotina e passando a problemas mais complexos que exigem niveis mais elevados de pensamento e de habilidade. Os problemas mais complexos sao marcados com urn asterisco (*). Em geral, cada, conjunto contem aproximadarnente 0 dobro de problemas que a maioria dos professores gostaria de passar para trabalho de casa, de forma que urn grande numero fica para os estudantes usarem como material de revisao. A maioria dos capitulos termina com longas listas de problemas suplementares. Muitos deles pretendem apenas fornecer escopo e variedade adicionais aos conjuntos de problemas dos fins das se90es. Entretanto, os professores e estudantes devem tratar esses problemas suplementares com cuidado especial, pois alguns sao bastante sutis e dificeis e devem ser enfrentados por estudantes munidos de amplas reservas de energia e tenacidade. Devo mencionar tambem que ha diversas se.90es espalhadas por todo 0 livro nao coroadas com uma rel~ao de problemas correspondentes. As vezes, essas se90es ocorrem em grupos peque- nos e sao meramente subdivisoes convenientes do' que considero urn t6pico isolado e portanto tern uma linica lista de exercicios, como no caso das Se90es 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 e 6.5. 'Em outros casos (Se9[0 9.7 e Se90es 14.12, 15.5, 19.4 e 20.9, Vo.lurne II) a ausencia de problemas e urna sugestao tacita de que 0 assunto tratado deve ser tocado de leve e com brevidade. Ha urn grande numero de problemas "com hist6rias" espalhados por todo 0 livro. Todos os professores sabem que os estudantes tremem diante desses problemas, pois usualmente exigem pensamento nao-rotineiro. Entretanto, a utilidade da Matematica nas varias_ciencias demanda..'1l,e_ tentemos ensinar os nossos estudantes a penetrar no significado de urn problema com hist6ria, julgar 0 que e relevante e traduzir as palavras para esb090s e equa90es. Sem essas habilidades - que sao igualmente valiosas para os estudantes que se tornarao doutores, advogados, analistas fmanceiros ou pensadores de qualquer natureza - nao ha educa9ao matematica digna desse nome.
  14. 14. XVIII Ctilculo com Geometria Analftica series Infmitas Todo matematico que der uma olhada no Capitulo 14 (Volume II) vera de imediato que "s6ries infmitas" e um de meus temas favoritos. No calor de meu entusiasmo, desen- volvi esse t6pico com profundidade maior e com mais detalhes do que e usual em livros de Oilculo. Entretanto, alguns professores podem nao desejar dedicar muito tempo e aten9ao a esse t6pico e para sua conveniencia, dei urn tratamento breve no Capitulo 13 (Volume II), que deve ser suficien- te para as necessidades da maioria dos estudantes que nao estao planejando prosseguir em cursos mais avan9ados de Matematica. Os professores que, como eu, consideram que 0 assunto e de fato importante, ira~ provavelmente utilizar ambos os capitulos, 0 prirneiro para dar urn panorama eo segundo par.a estabelecer uma fundamenta9aO s6lida e flxar os conceitos basicos. Esses capitulos foram concebidos com espiritos bastante diferentes e, surpreendentemente, hi pouca repeti9ao. Equa~oes Diferenciais e AnaIise Vetorial Cada urn desses assuntos e por si s6 urn ramo importante da Matematica. Eles devem ser ensinados em cursos separados, ap6s 0 Calculo, com tempo amplo para explorar seus metodos e aplica90es especificos. Uma das principais responsa- bilidades de urn curso de Calculo e preparar 0 carninho para esses assuntos mais avan9ados e ~ar alguns passos preliminares nessa dire9ao, mas 0 quanto se deve ir e uma questao discutivel. No caso de equa90es diferenciais, 0 assunto e introduzido tao cedo quanto possivel (Se9ao 5.4) e retorna- mos a ele de urn modo restrito sempre que surge a oportunidade (Se90es 5.5,7.8,8.5,8.6 e 9.6 e Se90es 17.7,19.9, Volume II), completando com um estudo mais detalhado no Capitulo 22 (Volume II). Em analise vetorial acredito que 0 Teorema de Green e exatamente 0 ponto certo para parar, com 0 Teorema de Stokes - que e urn dos teoremas mais profundos ede longo alcance de toda a Matematica - sendo deixado para urn curso posterior. Para os que desejarem incluir mais analise vetorial em seu curso de Calculo, dou urn tratamento resumido do Teorema da Divergencia e do Teorema de Stokes - com problemas - nos Apendices A.15 e A.16 (Volume II). Urn dos principais aspectos que distinguem este livro e 0 tornam talvez Wrico em rela9ao a todos os demais e notado pelo exame dos apendices, que comentarei rapidamente. Antes de faze-Io, enfatizo que este material e inteiramente separado do texto principal, podendo ser yuida- dosamente estudado, consultado ocasionalmente ou completamente ignorado, conforme 0 desejo de cada estudante ou professor. Apendice A Ensinando Calculo durante varios anos, coletei uma quantidade considemvel de t6picos de Teoria dos Numeros, Geometria, Ciencia etc., que tenho usado com 0 prop6sito de abrir as portas e estabelecer liga90es com outros assuntos... e tambem para sair da rotina e despertar os espiritos. Muitos de meuS estudantes acharam· essas "pepitas" interessantes e estirnulantes. Coletei a maioria desses topicos nesse apendice com a esperan9a de conquistar alguns adeptos a visao de que a Matematica, embora as vezes tediosa e rotineira, pode, com frequencia, ser suma- mente interessante. Apendice B No corpo do texto, 0 nivel de rigor matematico aumenta' e dirninui de acordo com a natureza do assunto estudado. E bastante baixo nos capitulos geometricos, onde contio no senso comum e na intui9ao e acrescento ilustra90es; e bastante elevado nos capitulos sobre as series infinitas, onde a substancia do assunto nao pode realmente ser compreendida sem urn pensamento cuidadoso. Tive sempre em mente 0 fato de que a maioria dos estudantes tern pouco interesse no raciocinio puramente matematico em si e tentei evitar esse tipo de material, intro- duzindo apenas 0 absolutamente necessario. Alguns estudantes, no entanto, tern urn gosto natural
  15. 15. Prefacio XIX pOI teoria, e alguns professores encaram como questao de principio que todos os estudantes devam estar expostos a uma certa quantidade· de teoria para seu pr6prio bern. Esse apendice contem virtualmente todo 0 material te6rico que por qualquer esfor90 da imagina9ao poderia ser conside- rado apropriado para 0 estudo do Calculo. Do ponto de vista puramente matematico, e possivel para os professores dar cursos em muitos niveis diferentes de sofistica9ao usando - ou nao - 0 material selecionado contido nesse apendice. Em resumo, 0 corpo principal deste livro e direto e tradicional, e os apendices 0 tOffiam conveniente para os professores, permitindo-lhes, em correspondencia a seus interesses e opinioes, oferecerem uma ampla variedade de cursos adaptados as necessidades de suas pr6prias classes. Pretendi a maxima flexibilidade de uso. Apendice C Esse material compoe-se de uma pequena hist6ria biografica da Matematica desde seus primeiros tempos ate meados do seculo XIX. Ele tern dois objetivos principais. Primeiro, espero dessa maneira "humanizar" 0 CaIculo, tomar transparentemente claro que grandes homens criaram-no com genialidade. Dessa forma almejo aumentar 0 interesse dos estudan- tes naquilo que estao estudando. As mentes de muitas pessoas evitam enfrentar problemas - mudam de dire9ao, ausentam-se, eludem 0 contato, mudam de assunto, pensam em alguma outra coisa a todo custo. Essas pessoas - a grande maioria da ra9a humana - encontram consolo e conforto no que conhecem e no que Ihes e familiar, evitando 0 desconhecido. E tao dificil para elas pensar regularmente em urn problema dificil quanta manter juntos os p610s norte de dois fortes imas. Em contraste, uma minuscula minoria e atraida irresistivelmente pelos problemas: envolvem-se e lutam com eles, sem descanso, ate que seus segredos sejam revelados. Eessa minoria que ensina aos outros muito do que se sabe e se pode fazer, desde aroda e a balan9a ametalurgia e aTeoria da Relatividade. Escrevi sobre algumas dessas pessoas de nosso passado na esperan9a de encorajar elementos dessa gera9ao. Meu segundo objetivo esta ligado ao fato de que muitos estudantes de Ciencias Humanas e Ciencias Sociais sao obrigados, contra a pr6pria vontade, a estudar Calculo s6 para satisfazer requisitos academicos. As profundas conexoes que unem a Matematica a historia da Filosofia e tambem a mais ampla historia social e intelectual da civiliza9ao ocidental sao muitas vezes capazes de aumentar 0 interesse desses estudantes que, de outro modo, se mostrariam indiferentes. George F Simmons
  16. 16. AD ESTUDANTE Embora nao pareya, nenhum autor tern a intenyao deliberada de produzir urn livro ilegivel; todos nos fazemos 0 que podemos e esperamos ter feito 0 melhor. Naturalmente, espero que minha linguagem seja clara e util para os estudantes; no flIll so eles estiio qualificados para julgar. Entretanto, sena uma grande vantagem para todos nos - professores e estudantes - se de algum modo fossem dadas aos estudantes usmirios de livros-texto de Matematica'algumas sugest6es sobre a arte de ler Matematica, que 6 muito diferente da de ler novelas, revistas ou jomais. Nos cursos de Matematica do 29 grau, a maioria dos estudantes esta acostumada a tentar resolver primeiro os exercfcios para casa, com impaciencia, para terminar toda a tarefa penosa 0 mais rapidamente possive!. Esses estudantes leem as explicayoes no texto apenas como Ultimo recurso. Este 6 0 oposto grotesco do procedimento razoavel e tern tanto sentido quanta tentar por os sapatos antes das meias. Minha sugestao 6 que os estudantes leiam primeiroo texto e quando este estiver totalmente assirnilado entao e so entao passem para os exercfcios de casa. Como urn estudante deve ler 0 texto de urn livro como este? Devagar e com cuidado, e com total consciencia de que urn grande numero de detalhes tera sido deliberadamente omitido. Se este livro contivesse todos os detalhes de cada tema, seria cinco vezes maior, 0 que seria pecado mortal! Ha urn velho prov6rbio frances que diz: "Aquele que tenta explicar tudo acaba falando sozinho". Todo autor de urn livro dessa natureza tenta andar num estreito caminho entre dizer demais e dizer de menos. As palavras "evidentemente", "6 facll ver" e express6es semelhantes nao tern intenyao de . serem consideradas ao p6 da letra e jamais devem ser interpretadas por urn estudante como menos- prezo de suas habilidades. Estas sao frases-padrao utilizadas na escrita matematica ha centenas de anos. Seu proposito 6 dar urn sinal ao leitor cuidadoso de que nesse lugar particular a exposiyao 6 algo condensada e que alguns detalhes de calculo foram ornitidos. Toda frase como estas equivale a uma sugestao amigavel para 0 estudante de que talvez seja uma boa id6ia ler ainda com mais cuidado e meditayao a fim de preencher as lacunas da exposiyao, ou talvez lanyar mao de uma XXI
  17. 17. XXII Ctilculo com GeometriD Analftica follia de rascunho para verificar detallies de calculo que foram omitidos. Ou mellior ainda, fazer total uso das margens deste livro para enfatizar pontos, levantar questOes, fazer pequenos ccilculos e corrigir erros de impressao.
  18. 18. CAPiTULO 1 NUMEROS, FUNCOES E GRAFICOS 1.1 INTRODUCAO Todos nos sabemos que 0 mundo em que vivemos e dominado por movimento e variar;ao. A Terra move-se em sua orbita em tome do Sol; uma colonia de bacterias cresce; uma pedra lanr;ada para cima vai perdendo velocidade, para e, em seguida, cai ao dillo com velocidade crescente; elementos radiativos de desintegram. Estes'sao apenas alguns itens no rol infindcivel de fenomenos para os quais a Matematica e 0 meio mais natural de comunicar;ao e compreensao. Como disse Galileu ha mais de 300 anos: "0 Grande Livro da Natureza esta escnto com sfmbolos matematicos". o Calculo e 0 ramo da Matematica cujo principal objetivo e 0 estudo do movimento e da anar;ao. E urn instrumento indispensavel de pensamento em quase todos os campos da ciencia pura e aplicada - em Fisica, Quimica, Biologia, Astronomia, Geologia, Engenharia e ate mesmo em algumas das ciencias sociais. Tern tambem muitas aplicar;oes importantes em outras partes da Matematica, especialmente na Geometria. Qualquer que seja 0 padrao de medida, os metodos e as aplicar;oes do Calculo estao entre as maiores realizar;oes intelectuais da civilizar;ao. Os principais objetos de estudo do Calculo sao as funr;oes. Mas, 0 que euma funr;ao? Grosso modo, e uma regra ou lei que nos diz como uma quantidade variavel depende de uma outra "Funr;ao" e 0 principal conceito das ciencias exatas. Ele nos oferece a perspectiva de compreender e correlacionar fen6menos naturais _por meio de instrumental matematico de grande e, as vezes, misterioso poder. 0 conceito de funr;ao e tao vitalmente importante para todo nosso trabalho que devemos batalhar muito para toma-Io claro, para alem de qualquer possibilidade de confusao. Este e 0 tema do presente capitulo. As seyoes seguintes contem uma boa quantidade de material que muitos leitores ja estudaram. Alguns iraQ saudar a oportunidade de rever e refrescar sua memoria. Aqueles. que acharem cansativo trilhar urn mesmo caminho repetidas vezes poderao descobrir algumas variar;oes 1
  19. 19. 2 Cdlculo com Geometria Analftica interessantes e desafios estimulantes nos problemas suplementares no fim do capitulo. Este capitulo tenciona servir somente para prop6sitos de revisao. Podera"ser estudado com cuidado ou superficialmente, ou ate mesmo ser omitido, dependendo do nivel de preparo do leitor. 0 conteudo real deste curso comeera no Capitulo 2, mas seria desastroso se, urn unico estudante que fosse, viesse a sentir que este capltulo preliminar e mais urn obstaculo que uma fonte de recorrencia. 1.2 A RETA REAL A maior parte das quantidades vanavelS que estudamos, tais como comprimento, area, volume, posierao, tempo e velocidade, e medida por meio de numeros reais e, nesse sentido, 0 Calculo esta baseado no sistema dos numeros reais. E verdade que existem outros sistemas numericos importantes e uteis, como, por exemplo, os numeros complexos. E tambem verdade que os tratamentos bi e tridimensional de posierao e velocidade exigem 0 uso de vetores. Essas ideias serao examinadas no devido momento, mas, por longo periodo de tempo, os unicos numeros com os quais trabalharemos serao os numeros reais*. Pressupomos neste livro que os estudantes estejam familiarizados com a algebra elementar dos numeros reais. Todavia, nesta seerao, damos urn breve apanhado descritivo que podera ser uti!. Para nossos prop6sitos basta isto, mas 0 leitor que deseje investigar com maior profundidade a natureza dps numeros reais encontrara uma discussao mais precisa no Apendice B.1. o sistema dos numeros reais contem diversos tipos de numero que merecem menerao especial: os inteiros positivos (ou numeros naturais) 1,2,3,4,5, ... ; os inteiros ..., -3, -2, -1,0, 1,2,3, ...; e os numeros racionais, que sao aqueles numeros reais que podem ser representados sob a forma de fraeroes (ou quocientes de irlteiros), tais como 1, -i, 4, 0, - 5, 3,87, 2t· Urn numero real que nao e racional e denomirlado irracional; por exemplo: sao numeros irracionais. 12, ,[3, 12 + ,[3, J'S, V5, e Aproveitamos esta oportunidade para lembrar ao leitor que, para todo numero positivo a, 0 simbolo ..jii significa sempre a raiz quadrada positiva. Assim, V4 e igual a 2 e nao a -2, embora * o adjetivo "real" [oi originahnente utilizado para distinguir esses numeros de numeros tais como ..;:I, que foram no passado encarados como "irreais" ou "imaginanos".
  20. 20. Numeros. funfoes e grtificos 3 (_2)2 =4. Se desejamos designar ambas as ralzes quadradas de 4, devemos escrever ±yI4." Analogamente, !Va significa sempre a raiz n-esima positiva de a. A Reta Real o uso dos numeros reais para mediyao se reflete no costume bastante conveniente de representar esses numeros graficamente por meio de pontos numa reta horizontal. -l~ 1 .j2 ,)3 242 1T .. • • • • • • • • • • • • • • - ..-3 -2 -I 0 1 2 3 Figura 1.1 A reta real. Essa representayao comeya com a escolha de urn ponto arbitnirio, denominado origem ou ponto zero, e urn outro ponto arbitnirio a sua direita, 0 ponto 1. A distancia entre esses pontos (a distancia unitaria) serve entao como escala por meio da qual podemos associar pontos da reta a inteiros positivos ou negativos, como esta ilustrado na Fig. 1.1, e tambem a numeros racionais. Chamamos atenyao especial para 0 fato de que todos os numeros positivos estao a direita do 0, no "sentido positivo", e todos os numeros negativos estao a sua esquerda. a metoda de associar 7 1 urn ponto a urn numero racional e mostrado na Fig. 1.1 para 0 nUmero 3 = 2 3: 0 segmento de reta entre 2 e 3 e subdividido por dois pontos em tres segmentos iguais, e 0 primeiro desses pontos e designado 2~. Esse processo de usar subdivisoes iguais serve, e claro, para determinar o ponto da reta que corresponde a todo e qualquer numero racional. Alem disso, essa cor- respondencia entre numeros racionais e pontos pode ser estendida para numeros irracionais, pois, como veremos no fim desta seyao, a expansao decimal de numeros irracionais tais como v'2 = 1,414 ... , .f3 = 1,732 ... , 7l = 3,14159 ... , pode ser interpretada como urn conjunto de instruyaes que especificam a posi¢o exata do ponto correspondente. o descrito acima e uma correspondencia urn a urn (ou biunlvoca) entre todos os nUmeros reais e todos os pontos da reta, correspondencia esta que caracteriza esses numeros como urn sistema de coordenadas na reta. Esta reta com coordenadas chama-se reta real (ou, as vezes, reta numerica). E conveniente e costumeiro fundir os conceitos 10gicamente distintos de sistema dos numeros reais e reta real - falaremos livremente de pontos da reta como se fossem numeros e de nUmeros como se fossem pontos da reta. Dessa forma, expressoes mistas, tais como "ponto irracional" e "segmento de reta entre 2 e 3", sao abso1utamente naturais e serao utilizadas sem maiores explicayoes.
  21. 21. 4 Calcula com Geametria AnaUtica Desigualdades A sucessao, da esquerda para a direita, de pontos na reta real corresponde a uma parte importante da algebra dos numeros reais - a que trata das desigualdades. Essas ideias exercem urn papel maior no Calculo que nos cursos anteriores de Matematica, de modo que recordaremos rapidamente os pontos essenciais. a significado geometrico da desigualdade a < b (leia-se "a e menor que b") e simplesmente que a esta a esquerda de b; a desigualdade equivalente b > a ("b e maior que a") significa que b esta it direita de a. Urn numero a e positivo ou negative conforme a> aou a < O. As principais regras utilizadas no trabalho com desigualdades sao as seguintes: 1. Se a> 0 e b < e, entao ab < ae. 2. Se a < 0 e b < e, entao ab > ae. 3. Se a < b, entao a +e < b +e para qualquer numero e. As regras 1 e 2 sao usualmente expressas dizendo-se que uma desigualdade e preservada quando da multiplicayao por numero positivo e invertida quando da multiplicayao por numero negativo; a regra 3 diz que uma desigualdade e preservada quando qualquer nlimero (positivo ou negativo) e adicionado a ambos os membros. Muitas vezes, e desejavel substituir uma desigualdade a> b pela desigualdade equivalente a - b > 0, sendo a regra 3 utilizada para estabelecer a equivaH~ncia. Se desejamos dizer que a e positivo ou igual a zero, escrevemos a;;;' ae lemos "a e maior au igual a zero". Analogamente, a;;;' b significa que a> b ou a =b. Assim, 3;;;' 2 e 3;;;' 3 sao ambas desigualdades verdadeiras. Lembramos tambem que 0 produto de dois au mais numeros sera igual a zero se e somente se pelo menos urn dos fatores for igual a zero. Se nenhum dos fatores for igual a zero, 0 produto sera positivo ou negativo, conforme tenha urn numero par ou impar de fatores negativos. Valores Absolutos a valor absoluto (ou m6dulo) de urn numero a e denotado par Ia I e defmido par lal= { a -a se a ~ 0, se a < 0. Por exemplo, I3 I = 3, I -2 I = -(-2) = 2 e IaI = O. E claro que a operayao de formar 0 valor absoluto mantem inalterados os numeros positivos e troca cada numero negativo pelo numero positivo correspondente. As principais propriedades dessa operayao sao labl = lallbl e la + bl $Ial +/bl· Em linguagem geomtHrica, 0 valor absoluto de urn numero a e simplesmente a distancia do ponto a it origem. Analogamente, a distancia de a abe Ia-b.
  22. 22. Numeros, func;oes e grdficos 5 Para resolver uma equa9ao como Ix +2 1= 3, podemos escreve-la na forma Ix - (-2) I = 3 e pensa-la como "a distancia de x a -2 e 3". Tendo em mente a Fig. 1.1, e evidente que as solu~~es sao x = 1 e x = -5. Podemos tambem resolver essa equa9ao utilizando 0 fato de que Ix +2 1=3 significa que x +2 = 3 ou x + 2 = -3, e as solU90es sao x = 1 ex = -5, como antes. Intervalos Os conjuntos de mimeros reais que consideraremos sao, na grande maioria dos casos, intervalos. Urn intervalo e simplesmente urn segmento da reta real. Se suas extremidades sao O,s nfuneros a e b, entao 0 intervalo consiste em todos os numeros que estao entre a e b. No entanto, podemos querer incluir ou nao as pr6prias extremidades como parte do intervalo. Para maior precisao, suponha que a e b sejam numeros, com a < b. 0 intervalo fechado de a a b, denotado por [a, b], inclui as extremidades e, portanto, consiste em todos os nfuneros reais x tais que a ~ x ~ b. Utilizaremos parenteses para indicar extremidades excluidas. 0 intervalo (a, b), com ambas as extremidades excluidas, chama-se intervalo aberto de a a b, e consiste em todos os x tais que a < x < b. Algumas vezes desejamos ~cluir somente uma extremidade nurn intervalo. Assim, os intervalos denotadospor [a, b) e (a, b] sao defmidos pelas desigualdades a ~ x < b e a < x ~ b, respectivamente. Em cada urn desses casos, todo numero c tal que a < c < b chama-se ponto interior do'intervalo (Fig. 1.2). Ponto interior /a c b .~I / - Extremidades a • b Fechado: a $. x $. b ou [a. b J a o b Aberto: a < x < b ou(a. b) Figura 1.2 Intervalos. Do ponto de vista estrito, as nota90es a ~ x ~ b e [a, b] tern significados diferentes - a primeira representa urna restri9ao imposta sobre x, enquanto a segunda denota urn conjunto -, mas ambas designam 0 mesmo intervalo. Iremos entao consideni-las equivalentes e usa-las indistintamente; 0 leitor devera se familiarizar com ambas as nota90es. Entretanto, 0 significado geometrico da nota9ao a ~ x ~ be mais visual e, por essa razao, ir~mos preferi-la aoutra.
  23. 23. 6 Cdlculo com Geometrio AnaUtica Vma semi-reta e, muitas vezes, considerada como urn intervalo estendendo-se ao infInito em urn dos sentidos. 0 simbolo 00 (leia-se "infInito") e com freqiiencia utilizado na designa9ao de tal intervalo. Assim, para todo nfunero real a, os intervalos defmidos pelas desigualdades a < x ex";;; a podem ser escritos como a < x < 00 e _00 < x";;; a ou, equivalentemente, como (a, 00) e (_00, a]. Lembre-se, no entanto, de que os simbolos 00 e _00 nao denotam numeros reais; eles sao utilizados desta maneira somente como urn modo conveniente de enfatizar que a x epermitido ser arbitrariamente grande (no sentido positivo ou negativo). Para ajudar a ter clara a nota9ao em nossa mente, pode ser util pensar em _00 e 00 como "numeros ficticios" localizados nas "extremidades" esquerda e direita da reta real, como se sugere na Fig. 1.3. Etambem as vezes conveniente pensar na propria reta real como urn intervalo, _00 < x < 00 ou (_00,00) . •a Figura 1.3 Conjuntos numencos descritos por meio de desigualdades e valores absolutos sao, com frequencia, intervalos. E claro, por exemplo, que 0 conjunto de todos os x tais que Ix I < 2 e o intervalo -2 < x <2 ou (-2, 2). 0 exemplo seguinte ilustra algumas tecnicas que serao uteis em varias situa90es. Exemplo Resolver a desigualdade x 3 > x. "Resolver" uma desigualdade como esta signifIca achar todos os numeros x para os quais a desigualdade everdadeira. Primeiro, escrevemos a desigualdade como x3 - x > 0, e depois na forma fatorada x(x + 1)(x - I) > O. (1 ) A expressao da esquerda e igual a zero quando x = 0, -1, 1. Esses tres pontos dividem a reta real em quatro intervalos abertos, como emostrado na Fig. 1.4; e, no interior de cada urn desses intervalos, a expressao x (x + 1)(x - 1) tern sinal constante. Por exemplo, quando x < -I, vemos, pOI inspe9ao, que todos os tres fatores sao negativos, e assim x (x + I) (x - 1) enegativo; quando -1 < x < 0, vemos que x ex - 1 sao negativos, mas x + 1 epositivo, e assim x (x + 1) (x - 1) e positivo. Testamos a expressao em cada intervalo dessa maneira e registramos os resultados em nossa fIgura. Concluida essa opera9ao, simplesmente lemos os intervalos nos quais (1) esatisfeita e escrevemos a solu9ao: -1 < x < 0 ou 1 < x ou, de modo equivalente, (-1,0) ou (1,00). •-I + •a Figura 1.4 •I +
  24. 24. Numeros. fun{:oes e grdficos 7 Acrescentamos alguns comentarios sobre 0 uso de intervalos para que se compreenda 0 significado geornetrico da expansao decimal de urn numera real. No caso do irracional 0,0 fato de que a sua expansao decimal e 1,414... significa que 0 numera V2 satisfaz cada uma das desigualdades da seguinte relayao infmita: 1 ~ fi ~ 2, 1,4 ~ fi ~ 1,5, 1,41 ~ fi ~ 1,42, Isto, por sua vez, significa que 0 ponto correspondente a V2esta em cada urn dos intevalos fechados com extrernidades racionais: [1,2], [1,411,5], [1,141 11,42] ... Essa sequencia de "intervalos encaixados" e mostrada na Fig. 1.5. Egeometricamente claro que existe urn e somente urn ponto que esta em todos esses intervalos, e, nesse sentido, a expansao decimal do numera V2pode ser interpretada como urn conjunto de instruyoes especificando a posiyao exata do ponto V2 na reta real. Como V2 e irracional, ele e urn ponto interior de todos os intervalos dessa sequencia. [1. 21 ,---------------~---------------------l : ,_£:1[1,4,1,5 1 I I I ~ [1,41,1,42) : I Ir'f i I III I II I III I I -.. W • • 1 1,4 1,5 Figura 1.5 -J2 = 1,414... localizado geometricamente. Enfatizamos que nossas metas neste livro sao quase inteiramente praticas. Entretanto nossas .discussoes muitas vezes fazem aparecer certas quest6es "nao-pniticas", que alguns Ieitores poderao considerar interessantes e atraentes. Por exemplo, como sabemos que 0 numero 0 e irracional? Aos leitores com tempo e inclinayao para atacar essas questoes - e tambem porque consideramos que vale a pena conhecer as respostas por si mesmas, sem outra fmalidade -, oferecernos material para aprofundamento em apendices ocasionais (veja 0 Apendice A.I).
  25. 25. 8 Calculo com Geometria Analftica Problemas 1. Ache todos os valores de x que satisfazem cada uma das seguintes condiyoes: (a) Ixl = 5; (c) Ix - 21 = 4; (e) Ix + 11 = 12x - 21; (g) Ix-31:s5. (b) Ix + 41 = 3; (d) Ix + 11 = Ix - 21; (f) Ix2 - 51 = 4; 2. Resolva as seguintes desigualdades (ou inequayoes): (a) x(x - 1) > 0; (c) (x - 1)(x + 2) < 0; (e) x 2 (x - 1) ~ 0; (g) x2 + 4x - 21 > 0; (i) 1 - x :s 2x2 ; (k) x 3 + 1 < x 2 + x; (b) x4 < x2 ; (d) x 2 - 2 ~ x; (f) (2x + 1)8(X + 1) :s 0; (h) 2x2 + x < 3; (j) 4x2 + lOx - 6 < 0; (1) x 2 + 2x + 4 > O. 3. l..embrando que va e um numero real se e somente se a ~ 0, ache os valores de x para os quais cada uma das seguintes expressoes eurn nlimero real: (b) ..)x2 - 9; (d) 1 vx2 -x- 12 (c) ~; v4 - 3x (a) ..)4 - x2; 1 4. Ache os valores de x para os quais cada uma das seguintes expressoes e positiva: x (a) x2 + 4; (c) x + 1; x-3 x (b) x2 - 4; (d) x 2 - 1 . x2 - 3x 5. Mostre, por meio de urn exemp10 numerico, que a seguinte afirmayao nao e verdadeira: se a < bee < d, entao ac < bd. (para essa afirmayao ser verdadeira, ela devera ser verdadeira para todos os nlimeros a, b. c, d. satisfazendo as condiyoes estabelecidas. Vma Unica exceyao - chamada contra-exemplo - e, portanto, suficiente para demonstrar que a afirmayao nao e verdadeira.)
  26. 26. Numeros, fun90es e grdficos 9 6. Se a, b, c e d sao numeros positivos tais que alb < cld, mostre que a a+c c -<--<-b b + d d' 7. Mostre que 0 numero ~ (a +b), chamado media aritmetica de a e b, e 0 ponto medio do intervalo a';;;;; x';;;;; b. (Sugestao: 0 ponto medio e a mais a metade do comprimento do intervalo.) Ache os pontos de trisseyao desse intervalo. 8. Se 0 < a < b, mostre que a2 < b 2 e.,Ja< ..,fE. 9. Se 0 < a < b, 0 numero.,Jab chama-se media geometrica de a e b. Mostre que a<...;ab< b. 10. Se a e b sao numeros positivos, mostre que.,Jab ,;;;;; ~ (a +b). 1.3 0 PLANO COORDENADO Assim como os numeros reais sao utilizados como coordenadas para pontos de uma reta, pares de ntimeros reais podem ser utilizados como coordenadas para pontos de urn plano. Com esse prop6sito estabelecemos urn sistema de coordenadas retangulares no plano, como se segue. Desenhamos duas retas perpendiculares no plano, uma horizontal e a outra vertical, como na Fig. 1.6. Essas retas chamam-se eixo x e eixo y, respectivamente, e seu ponto de interseyaO chama-se origem. As coordenadas sao assinaladas nesses eixos da maneira descrita anteriormente, com a origem como 0 ponto zero em ambos os eixos e a mesma distancia unitaria em ambos os eixos. 0 serni-eixo positivo dos x esta a direita da origem, e 0 semi-eixo negativo dos x a esquerda, como antes; 0 serni-eixo positivo dos y esta acima da origem, e 0 semi-eixo negativo dos y esta abaixo. Agora consideremos urn ponto P qualquer do plano. Desenhamos uma reta por P paralela ao eixo dos y, e seja x a coordenada do ponto em que essa reta corta 0 eixo dos x. Analogamente, desenhamos uma reta por P paralela ao eixo dos x, e seja y a coordenada do ponto em que essa reta carta 0 eixo dos y. Os numeros x e y determinados dessa maneira chamam-se coordenada x e coordenada y de P. Ao nos referirmos as coordenadas de P, e costume escreve-Ias como urn par ordenado (x, y), com a coordenada x escrita em primeiro lugar; dizemos que P tern coordenadas (x, y)*. * Na pnitica, 0 usa da mesma nota~iio para pares ordenados e intervalos abertos jamais leva a confusao, pois em qualquer contexto especifico fica sempre claro 0 que esta sendo tratado.
  27. 27. 10 Ctilculo com Geometria AnaUtica 2<) quadrante Eixo y. 1<) quadrante 3 y (.-4.3)t------------/ I ... -----------1 p =(x . .1') : 2 I I I I : I I I I x 1 • l~ -5 -·4 -3 -2 -y 2 3: 4 5 Eixox Origem (0: 0) -I i I ~ --------J(3. -2) 3 3<) quadrante 4<) quadrante Figura 1.6 0 plano coordenado, ou plano xy. Essa correspondencia entre 0 ponto P e suas coordenadas e uma correspondencia um-a-um entre todos os pontos do plano e todos os pares ordenados de numeros reais, pois P determina suas coordenadas univocamente, e, revertendo 0 processo, vemos que cada par ordenado de numeros reais determina univocamente urn ponto P tendo esses nUmeros como suas coordenadas. Como no caso da reta real, e costume deixar de lado a distinyao entre urn ponto e suas coordenadas e falar de "0 ponto (x, y)" em vez de "0 ponto com coordenadas (x, y)". As coordenadas x e y do ponto P sao, as vezes, chamadas de abscissa e ordenada, respectivamente, de P. a leitor deve notar, em particular, que os pontos (x, 0) estao sobre 0 eixo dos x, os pontos (O,y) sobre 0 eixo dos y e que (0, 0) e a origem. Deve tambem notar que os eixos dividem 0 plano em quatro. quadrantes, como rnostrado na Fig. 1.6; esses quadrantes sao caracterizados, como se segue, pelos sinais de x e y: primeiro quadrante, x> 0 e y> 0; segundo quadrante,x < 0 ey < 0; terceiro quadrante, x < 0 e y < 0; quarto quadrante, x > 0 e y < O. Quando 0 plano esta munido do sistema de coordenadas aqui descrito, e usualmente chamado plano coordenado, ou plano xy. A Formula da Distancia Grande parte de nosso trabalho envolve ideias geometricas - triarrgulos retarrgulos, triarrgulos semelhantes, circulos, esferas, cones etc. -, e consideramos que os estudantes tenham ja adquirido uma razoavel comprensao da geometria elementar nos cursos anteriores. Urn fato notivel de particular importarrcia e 0 Teorema de Pitagoras: "Em todo triarrgulo retarrgulo, a soma dos
  28. 28. Numeros. fim90es e grtificos 11 quadrados dos catetos e igual ao quadrado da hipotenusa" (Fig. 1.7). Dentre as diversas demonstra~6es desse teorema, a que se segue talvez seja a mais simples Sejam a e b os catetos e C, a hipotenusa; disponha quatro replicas do triangulo nos cantos de urn quadrado de lado a +b, como mostra a Fig. 1.7. Entao, a area do quadrado maior eigual a 4 vezes a area do triangulo mais a area do quadrado menor; isto e, (a + W = 4(!ab) + c2 . Isto se simplifica imediatamente para a2 + b2 = c2 , que e0 Teorema de Pitagoras*. u b (/~ b b (/ Figura 1.7 0 Teorema de Pitagoras e uma de suas demonstrayoes. Como primeira de muitas aplicayoes desse fato, obtemos a formula da distancia d entre dois pontos quaisquer do plano coordenado. Se os pontos sao PI = (x I, Yl) e P2 = (X2' Y2), entiro 0 segmento que os une e a hipotenusa de urn triangulo retangulo (Fig. 1.8), com catetos I XI - X2 1 e IYI - Y2 I. Pelo Teorema de Pitagoras, d2 = IXI - x21 2 +IY1 - )'21 2 = (XI - x2)l + (YI - )'2)2, logo * Os estudantes interessados em aprender urn poueo mais aeerea dos homens extraordinarios que criaram a Matematica eneontrarao no Apendice C urn breve relata sobre quase todas as personalidades eujas contribuiyoes sao meneionadas no deeorrer deste livre.
  29. 29. 12 Cdlwlo com Geometria Analftica que e af6rmula da distdncia. )' .1'2- I I" -.Xl Figura 1.8 X Exemplo 1 A distancia d entre os pontos (-4,3) e (3, -2) na Fig. 1.6 e d = ./(-4 - 3)2 + (3 + 2)2 = .J74. Observe que, ao aplicar a formula (1), a ordem em que os pontos sao tornados nao importa. Exemplo 2 Achar os comprimentos dos lados do triangulo cujos vertices sao P1 = (-1, -3), Pz =(5,-I)eP3 =(-2,10). Por (1), esses comprimentos sao PlP2 = ./(-1 - 5)2 + (- 3 + 1)2 = ,J46 = 2110, PI P3 = ./(-1 + 2)2 + (- 3 - 10)2 = If70 e P2P3 = ./(5 + 2)2 +(-1 - 10)2 = 1f7O. Esses c3.lculos revelam que 0 triangulo e isosceles, sendo P1P3 e PZP3 os lados iguais. As Formulas do Ponto Media Muitas vezes e uti! conhecer as coordenadas do ponto medio do segmento que une dois
  30. 30. Numeros, funfoes e grdficos 41 6. . Se f(x) =1 - x, mostre que f(f(x)) =x. 7. Sef(x)= x~ 1 ,calcule f(0),f(I),f(2),f(3)ef(f(3)) . Mostrequef(f(.x))=x . ax +b 8. Se f(x) = x _ a ' mostre que f(f(x)) =x. 9. Se [(.x) = 1/(1 -x), calcule f(O),f(1 ),f(2),f(f(2)) e f(f (f (2))). Mostre que f(f(f(x))) =x. 10. Se f(x) =ax, mostre que f(x) +f(l - x) = f(l). Verifique tambem que f(x 1 +X2) = f(x d + +f(.x2) para quaisquer Xl e X2. 11. Se f(x) =2x, use a notayao funcional para exprimir 0 fato de que 2 X 1 . 2X2 =2 X 1 + X2 . 12. Se f(x) = 10glO x, use a notayao funcional para exprimir 0 fato de que 10glO XIX2 =lOglOXj +]OgIOX2 . 13. Funyao linear afim e uma funyao que tern a forma f(.x) =ax +b, onde a e b sao constantes. Se g(x) =ex +de tambem linear afirn, esempre verdade que f(g(x)) =g(f(x))? 14. Se f(x) = ax +b euma funyao linear afim com a"* 0, mostre que existe uma funyao linear afirn g(x) = ax +(3 tal que f(g(x)) = x* . Mostre tambem que para essas funyoes e verdade que f(g(x)) = g(f(x)). 15 . Funyao quadrdtiea euma funyao que tern a forma f(x) =ax2 + bx + e, onde a, bee sao constantes com a"* O. (a) Ache os valores dos coeficientes a, bee se f(O) = 3,1(1) = 2 e f(2) =9. (b) Mostre que, independentemente dos valores dados aos coeficientes a, bee, a imagem de uma funyao quadnitica nao pode ser 0 conjunto de todos os numeros reais. 1.7 TIPOS DE FUNCAO. FORMULAS DA GEOMETRIA Na Seyao l.6 discutimos em detalhe 0 conceito de funyao. * Os simbolos a e {3 sao letras do alfabeto grego cujos nomes sao "alfa" e "beta". As letras desse alfabeto (veja o Apendice F) sao utilizadas com tanta freqiiencia em Matematica e outras ciencias que 0 estudante deve aprende-las 0 mais cedo posslve!.
  31. 31. 42 Ctilculo com Geometria Analftica Essa discussao pode ser resumida como se segue. Se x e y sao duas variaveis relacionadas de tal modo que, sempre que urn valor numerico e associado a x, esta determinado urn unico valor numerico correspondente para y , entao dizemos que y eumafunfao de x e exprimimos esse fato escrevendo y = f(x). A letraf simboliza a pr6pria fun((ao , que e a opera((ao ou regra de correspondencia que produz y quando aplicada a x . N~ entanto, por motivos praticos, preferimos falar de "a fun((ao y = f (x )" em vez de "a fun((ao f'. Como questao de principio , os estudantes devem entender claramente que uma fun((ao nao e uma f6rmula nem precisa ser especificada por uma f6rmula, embora a maior parte de nossas fun((oes 0 sejam. Na pnitica, as fun((oes surgem, com freqiiencia, de rela((oes algebricas entre variaveis. Assim, uma equa((ao envolvendo x e y determina y como fun((ao de x se tal equa((ao for equivalente a uma f6rmula que exprima univocamente y em termos de x . Por exemplo, a equa((ao 4x + 2y =6 pode ser resolvida para y , y = 3" - lx, e essa segunda equa((ao define y como fun((ao de x. Entretanto, em alguns casos, 0 processo de resolu((ao para y leva a-mais de urn valor de y. Por exemplo , se a equa((ao for y2 =x, temos y = ± rx Como temos dois valores de y para cada valor positivo de x, a equa((ao y2 = X nao determina por si mesma y como fun((ao de x. Se desejarmos, podemos repartir a f6rmula y = ± Vx em duas f6rmulas: y = Vx e y = - -..rx: Cada uma dessas formula define y como fun((ao de x , de modo que de uma equa((ao obtemos duas fun((oes. o numero de fun((oes individuais distintas e claramente ilimitado. No entanto, a maioria das que aparecem neste livro e relativamente simples e pode ser classificada em algumas categorias convenientes. Podera ser util para a orienta((ao dos estudantes apresentarmos grosso modo uma descri((ao dessas categorias em ordem crescente de complexidade. Polinomios As fun((oes mais simples sao as potencias de x com expoentes inteiros nao-negativos, 1,x,x2,x3, . .. ,xn , .. .. Se uma quantidade finita delas e mUltiplicada por constantes e os resultados sao somados, obtemos urn polin6mio ograu de urn polinomio e0 maior expoente de x que aparece nele; se an =1= 0, 0 grau de p(x) e n. Os polinomios seguintes sao de grau 1, 2 e 3, respectivamente : y = 3x - 2, y = 1 - 2X+X2,
  32. 32. Numeros, funfoes e grtificos 43 Os polin6mios podem, evidentemente, ser multiplicados por constantes, somados, subtraidos e multiplicados, e os resultados serao novamente polinomios. Fun~oes Racionais Se permitirmos tambem a divisao entre polinomios, passaremos dos polinomios para as funyoes racionais tais como X x2 + l' x+2 x -2 ' x3 - 4x2+ x + 6 x2+ x + 1 A funyao racional geral eurn quociente de polinomios ao+ a1x + a2x2 + . . . + anxn bo+ b1x + b2x2 + ... + bmxm' 1 x+ - . x e uma dada funyao e racional se ela e ou pode ser expressa sob a forma de tal quociente. Se 0 denominador for uma constante mlo-nula, esse quociente sera, ele proprio, urn polin6mio. Assim, os polin6mios estao incluidos entre as funyoes racionais. Fun~oes Aigebricas Se permitirmos extrayoes de raizes de polinomios, passaremos das funyoes racionais para a classe das funyoes algebricas, que sera devidamente definida em urn capitulo posterior. Alguns exemplos simples sao y = fX, y = x + ~X2 + 1, 1 y =-- ~' y =1 X + 1 . x - I Usando a notayao de expoentes fracionarios, essas funyoes poderao ser escritas y = x + (x2 + 1)1/3, y = (1 - X)-1/2, _ (x+ 1)1/4y - - - . x -I
  33. 33. 44 Calculo com Geometria Analftica Func;:oes Transcendentes Toda funr;:ao que nao e algebrica se diz transcendente. As (micas funr;:oes transcendentes estudadas no OHculo sao as funr;:oes trigonometricas, trigonometricas inversas, exponenciais e logaritmicas. Nao partimos do pressuposto de que os estudantes tenham qualquer conhecimento previo dessas funr;:oes. Todas elas serao cuidadosamente explanadas em cap{tulos posteriores. Concluimos esta seyao com uma breve revisao de algumas funyoes importantes que aparecem na Geometria. Vma nipida compreensao das f6rmulas da Geometria dadas na Fig. 1.24 eessencial para enfrentar os muitos exemplos e problemas dos capJtulos seguintes. Essas f6rmulas, para a area e circunferencia do circulo, para 0 volume e area da super[{cie de uma esfera e para 0 volume e area da super[{cie lateral de urn cilindro e de urn cone, devem ser compreendidas e relembradas. Circulo A =11"/"1 C = 211"r " ----r--1'- ....-:::;..- Esfera v =411"r3 A := -t;rr2 Cilindro ,. = ..r1" A = 2i1rh Figura 1.24 Formulas de Geometria Cone r·= ~ rrr2" A = 1I"rs Cada uma das quatro primeiras formulas, as do drculo e da esfera, define uma funyao da variavel independente r, em que urn dado valor positivo de r determina 0 valor correspondente da variavel dependente. Nossa atenyao neste livro sera dedicada a funr;:oes de uma (mica variavel independente, como foram previamente definidas e discutidas. Todavia, assinalamos que cada uma das Ultimas formulas da Fig. 1.24 define uma funr;:ao de duas variaveis r e h; essas variaveis sao chamadas independentes (uma da outra) porque 0 valor atribufdo a uma delas nao precisa estar relacionado com 0 valor atribufdo aoutra. Em circunstancias especiais, uma funyao dessa natureza pode ser expressa como funyao de apenas uma variavel. Por exemplo, se a altura de urn cone econhecida como sendo 0 dobra do raio da base, de modo que h = 2r, entao podemos escrever a formula para esse volume como funr;:ao de r ou como funyao de h: ou
  34. 34. Numeros, jUncoes e grtificos 45 As formulas da Fig. 1.24 ilustram tambem a pnitica de se escolher letras para as variaveis de forma que tenham alguma relayao com as grandezas em questao , tais como A para area, V para volume , r para raio e assim por diante. Problemas 1. Decida, em cada caso,se aequayao determina ounaoy como funyao de x e,em caso afirmativo, ache urna formula para a funyao (a) 3x2 + y2 = I; (c) y + 1 = x; y-I (b) 3x2 + y = I; 1 (d) x = y --. y 2. Separe, a equayao 2x2 + 2xy +y2 = 3 em duas equayoes, de modo que cada uma delas determine y como funyao de x. rodos os problemas seguintes envolvem Geometria. Ao trabalhar com tais problemas, faya sempre uma figura e use essa figura como fonte de ideias. 3. Se urn trhingulo eqililatero tern lado x, exprima sua area como funyao de x. 4. Os lados iguais de urn trhingulo isosceles tern medida 2. Se x e a base, exprima a area como funyao de x. 5. Se a aresta de urn cuba ex, exprima seu volume, a area de sua superficie e sua diagonal como . funyoes de x. . 6. Urn retangulo, cuja base tern comprimento x, esta inscrito num circulo de raio a. Exprima a area do retangulo como funyao de x. 7. Urn fio de comprimento L e cortado em dois pedayos, e estes tomam a forma de urna circunferencia e de urn quadrado. Se x e0 lado do quadrado, exprima a area total englobada pelas d,!as figuras como funyao de x. 8. (a) A area de urn circulo efunyao do comprimento de sua circunferencia? Se for, qual e essa funyao? (b) A area de urn quadrado e funyao de seu perimetro? Se for, qual eessa funyao? (c) A area de urn triangulo efunyao de seu perimetro? Se for, qual eessa funyiIo? 9. 0 volume de uma esfera e funyao da area de sua superficie? Ache uma formula para essa funyao.
  35. 35. 46 Ctilculo com Geometria Analftica 10. Urn ci1indro esta inscrito numa esfera de raio a. Se h e a altura e r 0 raio da base do cilindro, exprima seu volume e a area da superficie total como funyoes de r e tambem como funyoes de h. 11 . Urn cilindro esta circunscrito a uma esfera, sendo os respectivos volumes denotados por C e S. Ache C como funyao de S. 12. Urn cilindro tern volume dado V. Exprima a area total de;! sua superficie como funyao do raio r de sua base. 13. Urn cone dado tern altura H e raio da base R. Se urn cilindro com raio da base r e inscrito no cone, exprima 0 volume do cilindro como funyao de r. 14. (a) Urn fazendeiro tern 100 metros de cerca para construir urn galinheiro retangular. Se x e 0 comprimento de urn lado do galinheiro, mostre que a area cercada e A = 50x - x 2 = 625 - (x - 25)2. Use 0 resultado para achar a maior area cercada possivel e os comprimentos dos lados que dao essa maior area. (b) Suponha que 0 fazendeiro da questao (a) decida construir a cerca mas aproveitando a parede de urn celeiro, de modo que ele tera de cercar apenas tn!s lados. Se x e 0 comprimento de urn lade perpendicular aparede do celeiro, ache a area cercada como func;:ao de x. Ache tambem a maior area possivel e os comprimentos dos lados que Mo essa maior area. 1.8 GRAFICOS DE FUNCOES Os chineses tern urn proverbio que exprime uma verdade fundamental acerca do estudo da Matematica: "Uma boa figura vale mais que mil palavras". Em nosso estudo de func;:oes, ele se aplica a desenhar grd[icos. Acrescentamos que devemos cultivar 0 habito de pensar graficamente ate 0 ponto em que isto se tome automatico. Antes de descer aos detalhes de func;:oes especificas, enfatizamos que muitas vezes e possivel pensar no grafico de uma funyao y =[(x) muito concretamente, como a trajet6ria de urn ponto mOvel (Fig. 1.25).
  36. 36. y Pontos altos --,. /<x,)') •~ x Figura 1.25 Numeros, funfoes e grdficos 47 x A variavel independente x pode ser visualizada como urn ponto m6vel ao longo do eixo x da esquerda para a direita; cada x deterrnina urn valor da variavel dependente y, que e a cota do ponto (x, y). 0 grafico da funyao esimplesmente a trajet6ria do ponto (x, y) quando ele se move por meio do plano cartesiano, as vezes subindo e as vezes descendo, em geral variando a cota de acordo com a natureza da funyao em consideraij:ao. 0 gnifico como urn todo pretende dar urn retrato completo e claro dessa variayao. 0 grafico que se ve na Fig. 1.25 euma curva lisa com dois pontos altos e urn ponto baixo (Picos), mas este e apenas urn exemplo, podendo ocorrer situaij:oes muito diversas das apresentadas. Discutiremos agora os graficos dos exemplos representativos dos tipos de funyao descritos na Seij:ao 1.7. Polinomios Vimos que os polin6rnios mais simples sao as potencias de x com expoentes inteiros nao- negativos: y = 1,x,x2,x3, . .. ,x", .... Como sabemos, 0 grafico de y = 1 euma reta horizontal que passa pelo ponto (0, 1) e 0 grafico de y = x e a reta que passa pela origem, com coeficiente angular 1 (Fig. 1.26a). Para valores maiores do expoente n, os graficos de y = 0 sao de dois tipos distintos, dependendo de ser n par ou {mpar: e
  37. 37. 48 Ctilculo com Geometria Analftica Esses tipos sao mostrados nos itens bee da Fig. 1.26. Y =x (a) Y = Xll, Il par e ll::::: 2 (b) x Figura 1.26 Graficos de y = xn. YlY=x". n {mpax f en::::: 2 x (c) Quando n cresce, essas curvas se tornam mais achatadas perto da origem e mais inclinadas fora do intervalo [- 1,1]. e Ja sabemos que os gnificos dos polinornios de primeiro e segundo graus tais como y = 2x - l y = 3x2 - 2x + 1, sao retas e panibolas. Esses gnlficos sao faceis de desenhar, sem ser ponto a ponto, baseando-se nas ideias das Seyoes 1.4 e 1.5. Para nossa proxima observayao, precisamos de uma nova terrninologia. Uma raiz (ou urn zero) de uma funyao y =[(x) euma .raiz da equayao correspondente [(x) =0. Geometrieamente, os zeros dessa funyao (se eque ela tern algum) sao os valores de x em que 0 seu gnifico atravessa ou toea 0 eixo x. Consideramos agora 0 polinornio geral de segundo grau y = ax2 + bx + c, a oF o. (1) Como sabemos, 0 gnifico dessa funyao e uma parabola para todos os valores dos eoeficientes. Supondo-se que a > 0, de modo que a parabola se abre para eima, hi tres possibilidades para 0 os zeros de (1), e estas sao mostradas na Fig. 1.27.
  38. 38. Numeros, /U1Z{:oes e graficos 49 y , y y :7! Dois zeros x Figura 1.27 Como as raizes da equac;:ao quadnitica ax2 +bx +c = 0 sao dadas pela formula - b ± ,JlJ2 - 4ac Xl 2 =------::---- , 2a x e claro que as tres possibilidades da Fig. 1.27 correspondem as condic;:oes algebricas b2 - 4ac > 0, b2 - 4ac = 0, b2 - 4ac <O. o problema de construir os gnificos de polinornios de grau n ~ 3 nao e faci!o Nossa discussao dos exemplos seguintes sugere diversas ideias tlteis. Exemplo 1 0 grafico de Y = X3 - 3x (2) emostrado na Fig. 1.28. y x (1, -2) Figura 1.28
  39. 39. 50 CiJlculo com Geometria Analftica Ate 0 presente momenta nao temos metodos disponiveis para descobrir facetas importantes dessa curva, como a localizas:ao precisa dos pontos altos e baixos (Picos). Isto vini mais tarde. Todavia, algumas observas:oes podem ser feitas, e estas darao ao menos alguns detalhes e uma impressao suficientemente boa da forma do gnifico, de modo que os estudantes sejam capazes de esbos:a-Io por si mesmos. Comes:amos destaqndo que se (2) for escrita na forma fatorada y = x(x2 - 3) = x(x + 13)(x - 13), (3) entao seus zeros serao obviamente 0, - V3, ..[3. Esses tres numeros dividem 0 eixo x em quatro intervalos, como se ve na Fig. 1.29, e uma rapida inspes:ao de (3) revela que em cada intervalo y tern 0 sinal dado na figura. + + • • • -.../3 o ,fi Figura 1.29 Sabemos, portanto, para cada intervalo, se 0 grafico de (2) esta acima ou abaixo do eixo x (veja Fig. 1.28). Nossa segunda observas:ao se refere ao comportamento do grafico de (2) quando x e numericamente grande, isto e, bern para a direita e bern para a esquerda na Fig. 1.28. Escrevendo- se (2) sob a forma Y = X3 (1-~) ,x2 x =fo 0, vemos que, para grandes valores positiv~s ou negativos de x, a expressao entre parenteses esta perto de 1, e assim y esta perto de x3 . Em linguagem geometrica, quando x e grande, 0 grafico de (2) esta perto do grafico de y = x 3 , como sugere a Fig. 1.28. Em particular, 0 grafico de (2) e crescente adireita e decrescente aesquerda. Os estudantes notarao que sempre poderao esbos:ar urn grafico, dispendendo muita energia, assinalando muitos pontos e unindo esses pontos por uma curva razoavel. Todavia, esse procedimento bern grosseiro deve ser adotado somente como Ultimo recurso, quando metodos mais imaginativos falharem. Os aspectos importantes das funs:oes e seus gnificos sao muito mais claramente revelados pelo enfoque qualitativo do esbos:o de curvas que tentamos sugerir e que continuaremos a enfatizar.
  40. 40. Fun~oes Racionais Exemplo 2 A fun~ao raeional mais simples nao-polinomial e I Y=x· Numeros, ftlnfoes e grlificos 51 (4) Examinando-se (4), notamos os seguintes fatos: y eindefinido para x = 0; y epositivo quando x e positivo ;epequeno quando x egrande; egrande quando x esta perto do zero adireita;y e negativo quando x e negativo ; e pequeno quando x e grande e grande quando x esta pr6ximo de 0 a esquerda. 0 grafieo de (4) dado na Fig. l.30 euma versao piet6riea direta dessas afirma~oes . Ct, 4) c-I.:1- C-f,-4) Figura 1.30 Nesse easo particular 0 grilleo e tambem faeil de esbo~ar assinalando alguns pontos, como mostra a figura. No entanto, os estudantes terao muito maior proveito sirnplesmente visualizando 0 comportamento de tal fun~ao nas diversas partes de seu domfnio e desenhando 0 que veem. Uma reta ehama-se assintota de uma eurva se, quando urn ponto se move ao longo de uma parte extrema da curva, a distancia desse ponto areta se aproxima de O. E claro que ambos os eixos x e y sao assintotas do grafieo mostrado na Fig. 1.30. 0 eomportamento da fun~ao (4) no ponto x = 0 e perto dele, isto e, 0 fato de que y nao esta definido em x = 0 e "torna-se infinito" perto de x = 0, e deserito dizendo-se que nesse ponto oeorre uma descontinuidade infinita da fun~ao. Exemplo 3 No caso da fun¢o x y =-- x -I ' (5)
  41. 41. 52 Calculo com Geometria AnaUtica eclaro que 0 ponto x =1 tern urn interesse particular, pois y nao esta definido em x =1 e egrande quando x esta perto desse ponto (x = 1 e uma descontinuidade infinita). Tambem vemos que y esta perto de 1 e e urn pouco menor que 1 quando x e grande e negativo*. Essas observayoes sugerem desenhar as linhas verticais e horizontais mostradas na Fig. 1.31a. Observando-se que y =0 quando x = 0 e dando atenyao ao sinal de y em cada urn dos intervalos - 00 < x < 0, 0< x < 1 e 1 < x, entao 0 grafico dado na Fig. 1.31a fica muito facil de se esboyar. Ambas as retas x =1 e y =1 sao assintotas. ---------- Exemplo 4 A funyao 1"---~------ (a) I I 11 I I I I I I I I I Figura 1.31 x xy = = . x2 - 3x + 2 (x - 1)(x - 2) (b) 12 I in:I I I I I I I I I I -- (6) e semelhante a (5), mas urn pouco mais complicada. Aqui a forma fatorada do denominador revela duas descontinuidades infinitas: x = 1 e x = 2. De novo, y = °quando x = 0, mas dessa vezy e pequeno quando x e grande, pois 0 grau do denominador e maior que 0 do numerador. Combinando-se esses fatos com 0 sinal observavel de y em cada urn dos intervalos - 00 < x < 0, °<x < 1, 1 <x <2 e 2 <x , entao e razoavelmente facil esboyar 0 grafico como na Fig. 1.31 b. E evidente que ha urn ponto alto entre 1 e 2 e urn ponto baixo a'esquerda de 0, mas ate agora nao estamos capacitados a determinar a localizayao precisa desses pontos (eles ocorrem em x = Vi e x = -V2 ). 10 * Para ver isto, teste com valores especificos convenientes de x; assim, por exemplo, y = quando x = 10, 10 9 ey= - quando x = - lO, 11
  42. 42. Exemplo 5 A funyao 1 y = x +- x Numeros, funfoes e grdficos 53 (7) tern descontinuidade infinita em x = 0 e e positiva ou negativa conforme x seja positiv~ ou negativo. Para x positiv~ pequeno, 0 primeiro termo a direita de (7) e desprezivel e 0 segundo termo e grande; para x positivo grande, 0 segundo termo e desprezivel eye aproxirnadamente igual ax. Logo, esboyamos a parte do grafico no semiplano direito como se segue: desenhamos a linha y =x (Fig. 1.32), colocamos as duas partes extremas da curva, aproximando-se dessa linha e do semi-eixo positiv~ dos y, como foi sugerido pelo comportamento previamente estabelecido, e ligamos essas partes extremas de maneira razoavel, considerando que nessa parte o grafico tern obviamente urn ponto baixo. A funyao se comporta analogamente, com urn correspondente ponto alto para valores negativos de x. 0 eixo yea reta y =x sao ambas assintotas. Exemplo 6 0 denominador de / / / / / y , ~: / / / / / / / // X ~ Figura 1.32 x y = x2 + 1 (8) e positivo (de fato;;;;' 1) para todo x, assim y = 0 quando x =0, y e positiv~ quando x e positivo eye negativo quando x e negativo. E, tambem,y e pequeno quando x e grande, porque 0 grau do
  43. 43. )4 Cti[cu[o com Geometria Analftica denominador emaior que 0 do numerador*. Essas propriedades da funyao foryam 0 gnifico a ter a forma mostrada na Fig. 1.33. Exemplo 7 Ao considerar a funyao enatural fatorar 0 numerador, obtendo Figura 1.33 x2 - 1 y =-- x - I ' (x + I)(x - 1) y = x -I ' e entao cancelar 0 fator comum, 0 que nos da y = x + 1. (9) (10) Esse cancelamento evalido exceto quando x =1. Nesse ponto 0 valor de (1 0) e2, mas (9) nao tern valor (y = 0/0, 0 que nao tern significado). Portanto, para esboyar 0 grafico de (9), desenhamos a reta (10) e retiramos 0 ponto (1 , 2) como na Fig. 1.34. / ~ I 1 I I? t--~- Figura 1.34 * Observe que, quando x egrande, x 2 +1 eenorme, e assirn y epequeno.
  44. 44. Numeros, funfoes e grdficos 55 Duas fun90es y = [(X) e y =g(X) sao ditas iguais se elas tern 0 mesmo dominio e se [(X) = g(x) para todo X em seu dominio comum. De acordo com essa defini9ao, as fun90es (9) e (10) nao sao iguais, porque elas tern dominios diferentes: 0 ponto X = 1 esta no dominio de (10) mas nao esta no dominic de (9). 0 fato de 0 gnifico de (9) ter uma .falha (urn buraco) correspondente a X = 1 e expresso dizendo-se que (9) edescontinua em x = 1 E)U tern uma descontinuidade nesse ponto. Funcoes Aigebricas Exemplo 8 As fun90es e y = ../25- x2 (11) podem ser obtidas resolvendo as equa90es y2 = x e x2 + y2 = 25 (12) em y e escolhendo as raizes quadradas positivas. Sabemos que os graficos das equa90es (12) sao uma parabola e uma circunferencia, como se ve na Fig. 1.35, e assim os graficos de (11) sao as partes dessas curvas que estao sobre ou acima do eixo x. I (5, 0) I I , I , / '.......... ...../~ - - - - y = - .J25- x 2 Figura 1.35
  45. 45. 56 Calculo com Geometria Analftica Exemplo 9 0 gnifico da funyao valor absoluto y=lxl, e facil de desenhar (Fig. 1.36). Para ver que essa funyao ealgebrica, temos apenas de notar que Ix I =."fX2 para todo valor de x. Figura 1.36 Como esses exemplos mostram, muitos dos aspectos basicos de uma funyao tomam-se transparentes ao se esboyar seu gnifico. Estamos menos interessados em esboyos de grande precisao do que naqueles que mostram aspectos gerais e amplos: onde 0 grafico esta em ascensao e onde esta em decn!scimo; a presenya de falhas ; a presenya de pontos altos e pontos baixos; qual sua forma aproximada. As formulas sao obviamente importantes no estudo de funyoes - de fato, elas sao indispensaveis quando nossos prop6sitos exigem cruculos exatos conduzindo a resultados quantitativos. Mas nao devemos nunca esquecer que 0 principal objetivo da Matematica e a .compreensao, e os graficos sao instrumentos valiosos para se obter uma compreensao visual das caracteristicas individuais das funyoes. Problemas 1. Esboce os gnificos dos seguintes po1inornios, dando atenyao especial alocalizayao de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de x: (a) y = x2 +X - 2; (b) y = x 3 - 3x2 + 2x; (e) y = (1 - x)(2 - x)(3 - x); (d) y = X4 - X2; (e) y = X4 - 5x2 + 4.
  46. 46. 2. Esboce os gnificos das seguintes funyoes racionais: 1 1 (a) y = x2 ; (b) y = x3 ; 1 (c) y = X2 +-; X 1 (e) y = x2 + 1; 1 (g) y = x2 - 1; x (h) y = x2 - I; ( .) x2 -3x+2 J y = 2-x ; Numeros. funt;oes e grdficos 57 X 3 _ X 2 (k) y =--; x - I (I) y = (x + 2)(x - 5)(x2+ 2x - 8) (x - ·2)(x2- 3x - 10) 3. Esboce os gnificos das seguintes funyoes algebricas : (a) y = ../(x - 1)(3 - x); 1 (c) y=--; ../x-l ~ -x (e) y= --; x -2 I (b) y = ; ../(x - 1)(3 - x) (d) y = ~ x ; 3.- x @,- 4 (f) y = - -. x - 2 4. Em cada item, esboce os gnlficos de todas as tres funyoes num Unico sistema de coordenadas: (a) y=lxl,y=lxl+ l,y=lxl-l; (b) y=lxl,y=lx+ II,y=lx-ll; (c) y = lxi, y = 21xl, y = tlx' 5. Esboce os gnificos das seguintes funyoes: Ixl(a) y =-' x' (c) y = x+lxl; (e) y = x-Ixl; (g) y = IX2 - 11. (b) y = 12x + 31; (d) y = 2x + Ixl; (f) y = 1 +x-Ixl;
  47. 47. 58 Oilculo com Geometria Anil[(tica 6. Considerando somente valores positivos de x, mostre que y = Ix + 11- Ix - 11= 1~' x . _ x' 7. Os seguintes pares de fun90es sao iguais? x (a) f(x) = - , g(x) = 1. x (b) f(x) = x 2 - 1, g(x) = (x + 1)(x - 1). (c) f(x) = x, g(x) = .fX2. (d) f(x) = x, g(x) = (,fX)2. Problemas Suplementares do Capitulo 1 Se~o 1.2 O<x< 1, ' x ~ 1, 1. Se a e b sao numeros positivos, prove a desigualdade y(ib < ~ (a +b) como fez Euc1ides, considerando urn triangu10 retangu10 inscrito num semicircu10 (Fig. 1.37). Figura 1.37 2. Se a e b sao dois numeros quaisquer, denote 0 maior por max (a, b) e 0 menor por min (a, b). Mostre que max (a, b) = -Ha + b +la - bl), e ache uma expressao anaIoga para min (a, b).
  48. 48. Numeros, ftwfoes e grtificos 59 3. Mostre que se a ~ bee ~ d, entao a +c ~ b +d. Use esse fato para provar que 1a +b 1~ 1a 1+1b I. Sugestao :comece por notar que - 1a 1~ a ~ 1ale - 1b 1~ b ~ 1b I. 4. Se a e urn numero racional positivo, explique por que 0 seguinte metodo para calcular a raiz quadrada de a funciona. Primeiro, escolha urn numero racional que seja urn palpite razoavel para 0 valor de a e chame essa aproxima¢o inicial de Xl' A seguir, divida a por Xl e faya a media aritmetica do resultado com Xl' obtendo, desse modo, uma segunda aproximayao Xl' A seguir, divida a par Xl e faya a media aritmetica do resultado com Xl, obtendo uma terceira aproxima¢o X3' Esse procedimento e expresso pela formula 5. 6. 7. 8. 9. 10. X n+1 = ~ ( Xn + ;J, n = 1, 2, 3, . . .. Sugestao: se Xl e razoavelmente proximo de Va mas diferente dela, entlio Va esta entre Xl e a (por que?), e assim a media aritmetica de Xl e a esta provavelmente Xl Xl mais perto de Va .Note tambem que x +1 - .fa = - x - 2.fa +- = - (x - .fa)21( . a) 1n 2 n xn 2xn n • Use 0 metoda do Problema 4 para calcular V2, prirneiro com Xl 3 Xl = 2" . 1 e depois com Use 0 metodo do Problema 4 para calcular v'3 ,primeiro com Xl = 2 e depois com Xl =%. Se a e b sao numeros reais com a < b, mostre que existe pelo menos urn numero racional c tal que a < c < b e, portanto, existe uma infmidade deles. Em particular, entre dois irracionais existe uma infmidade de racionais. a Se a e urn numero racional nao-nulo e b e irracional, mostre que a +b, a - b, ab, b e !!... sao todos irracionais. a Se a e b sao irracionais, entao a +b enecessariamente irracional? E ab? Se a e b sao numeros reais com a < b, mostre que existe pelo menos urn numero irracional c tal que a < c < b e, portanto, existe uma infinidade deles. Em particular, entre dois racionais existe urn numero infinito de irracionais. Sey301.3 11. De uma outra prova do Tearema de Pitagoras usando as equayoes a e b d e c a
  49. 49. 60 Cdlculo. com Geometria Analftica obtidas de triangulos semelhantes (Fig. 1.38). L1c Figura 1.38 12. Coloque a figura, em . cada caso, numa .posl~ao conveniente relativamente ao sistema de coordenadas, e prove algebricamente a afrrma~ao: 13. 14. (a) A soma dos quadrados das distancias de qualquer ponto a dois vertices opostos de urn retangulo e igual a soma dos quadrados das distancias desse ponto aos outros dois vertices. (b) Em qualquer triangulo, 4 vezes a soma dos quadrados das medianas e igual a 3 vezes a soma dos quadrados dos lados. Se PI = (Xl. yd e P2 =(X2. 12) sao pontos distintos e se P =(x. y ) esta localizado no segmento que os une numa posi~ao tal que a razao entre sua distancia a PI e sua distancia aP2 e !L , mostre que p p X 1 + qX2 x = :.-....:-:--=---=. p + q e PYI + qY2 y = p + q . Ache 0 ponto sobre 0 segmento que une (1, 2) e (5, 9) que esteja a primeiro para 0 segundo. 11 do carninho do 17 Se~o 1.4 15. Areta determinada por dois pontos distintos (Xl> yd e (X2' 12) nao evertical e portanto tern coeficien~e angular (ye2- Yl » . Mostre que a forma ponto-coeficiente angular dessa X2 -Xl equa~ao ea mesma, independentemente do ponto usado como ponto dado. 16. Determine 0 que se infere sobre as constantes A, B e C na equa~ao Ax +By +C= 0 a partir . das seguintes sentenyas : (a) Areta passa pela origem. (b) Areta eparalela ao eixo y. (c) Areta eperpendicular ao eixo y . (d) Areta passapor (1, 1).
  50. 50. Numeros. jUn90es e grtificos 61 (e) Areta e paralela a 5x +3y = 2. (f) Areta e perpendicular a x +10y = 3. 17. Se as retas A1x+B1y+C1 =0 e Alx+Bly+Cl=O naosaoparalelasekeuma constante qualquer, mostre que (Alx + Bly + Cl ) + k(A2x + B2 y + C2) = 0 e uma reta que passa pelo ponto de intersecrao das retas dadas. Quando atribuimos diversos valores a k, essa equacrao representa varios membros da familia de todas as retas que passam pelo ponto de intersecrao. 18. Dadas as retas x + 3y - 2 = 0 e 2x - Y +4 = 0, use 0 Problema 17 para achar a equacrao da reta que passa pelo ponto de interseyao e que (a) passapor (-2, 1); (b) e perpendicular areta 3y +x =21 ; (c) passa pela origem. 19. Os pontos (0,0), (a, 0) e (b, c) sao os vertices de urn trilingulo arbitrlirio que esta localizado numa posicrao conveniente com relacrao ao sistema de coordenadas. (a) Ache a equacrao da reta que passa por cada vertice e e perpendicular ao lado oposto e mostre algebricamente que essas tres retas se interceptam num unico ponto. (b) Ache a equacrao da mediatriz de cada lado e mostre algebricamente que essas tres retas se interceptam num unico ponto. Por que esse fato e geometricamente 6bvio? (c) Ache as equacroes das retas que passam por cada vertice e pelo ponto medio do lado oposto e mostre algebricamente que essas tres retas se interceptam num unico ponto. Verifique tambem que esse ponto esta a dois teryos do carninho de cada vertice para 0 ponto medio do lado oposto. 20. Mostre que cada uma das seguintes equacroes e a equacrao de uma reta: (a) x 3 - x2y - 2X2 + 3x - 3y - 6 = O. (b) 3xy2+ 5y2 - y3 - 4y + 12x + 20 = O.
  51. 51. 62 Oilculo com Geometria Ana/(tica 21. Mostre que a distancia de urn ponto (xo, Yo) a uma reta Ax +By +C= 0 edada por IAxo + Byo + q ,jA2 + B2 22. Ache a distlincia entre as retas paralelas 4x +3y + 12 =0 e 4x +3y - 38 = O. 23. Se duas retas concorrentes sao dadas, entao e feici! ver que as bissetrizes dos angulos formados por essas retas sao retas cujos pontos sao eqilidistantes das retas dadas. Use esse fato para achar as equa~oes das bissetrizes dos angulos formados pelas retas (a) 3x + 4y - 10 = 0 e 4x - 3y - 5 = 0; (b) y =O e y = x. 24. Por que e geometricamente 6bvio (sem ca1culo) que as bissetrizes dos angulos de qualquer triangulo se interceptam num tinico ponto? Se~ao 1.5 25. Ache os valores de b para os quais a reta y =3x +b intercepta a circunferencia x 2 +y2 =4. 26. Se a reta y =mx + b e tangente acircunferencia x2 +y2 =r2, ache uma equa¢o que relacione m, b e r. 27. Ache a equayao do lugar geom~trico descrito pelo ponto P = (x, y ) que se move de tal modo que . (a) sua distancia a (0, 0) seja 0 dobro de sua distancia a (a, 0); (b) 0 produto de suas distancias a (a, 0) e (-a, 0) seja a2 (essa curva chama-se lemn.iscata). Esboce os graficos. 28. Urn segmento de reta de comprirnento 6 move-se de tal modo que suas extrernidades permanecem nos eixos dos x .e dos y . Qual a equayao do lugar geometrico de seu ponto medio? 29. Urn ponto se move de tal modo que a razao de suas distancias a dois pontos fixos euma constante k -:1= 1. Mostre que 0 lugar geom~trico euma circunferencia. 30. Ache a equa~ao da reta tangente acircunferencia x2 +y2 + 8x + 6y + 8 =0 no ponto (-8, -2). 31. Ache as equayoes das retas que passam pelo ponto (1, 3) e sao tangentes acircunferencia X2 +y2 = 2.
  52. 52. Numeros, fun90es e grtificos 63 32. Se duas circunferencias e se interceptam em dois pontos e se k e uma constante =1= -1 , explique por que e a equayao de uma circunferencia que passa pelos pontos de interseyao. Se k = -1, 0 que essa equayao representa? 33. Use 0 Problema 32 para achar a equayao da reta que une os pontos de interseyao das circunferencias x2 + y2 = 4x + 4)1 - 4 e x2 + y2= 2y. Ache tambem esses pontos de interseyao. 34. Mostre que uma parabola com foco na origem, eixo no eixo x e abrindo-se para a direita tern uma equayao da forma y2 =4p (x +p), onde p > o. 35. Ache a equayao da parabola com foco (1, l) e diretriz x +y = 0 e simplifique essa equayao para uma forma que nao contenha radicais. Sugestao:veja 0 Problema 21 36. Liguemos 0 vertice da parabola x 2 = 4py com todos os outros pontos da parabola. Mostre que os pontos medios das cordas resultantes estao sobre uma outra parabola. Ache 0 foco e a diretriz dessa segunda parabola. 37. Considere todas all cordas com dado coeficiente angular m que tern extremidades na parabola x 2 = 4py. Prove que 0 lugar geometrico dos pontos medios dessas cordas e uma reta paralela ao eixoy. 38. Uma corda focal de uma parabola e 0 segmento, cortado pela parabola, de uma reta que passa pelo foco. (a) Se A e B lla"o as extremidades de uma corda focal e se a reta que passa por A e pelo vertice intecepta a diretriz no ponto C, mostre que a reta que passa por Bee e paralela ao eixo da parabola.
  53. 53. 64 COlculo com Geometria Analftica (b) Mostre que 0 comprirnento de uma corda focal e 0 dobro da distancia de seu ponto medio adiretriz. (c) Mostre que se duas tangentes a uma parabola sao trayadas a partir de qualquer ponto da diretriz, entao os pontos de tangencia sao as extremidades de uma corda focal. 39. Dados os pontos A = (4p, 0) e B = (4p, 4p), divida os segmentos OA e AB em numero igual de partes iguais, numere os pontos de divisao como mostrado na Fig. 1.39 e ligue a origem os pontos de divisao de AB, por meio de retas. Mostre que os pontos de interseyao de cada uma dessas retas com as correspondentes retas verticais estao sobre a parabola x2 = 4py. .Y • • • ".o 2 3 4 A Figura 1.39 Sey30 1.6 40. Ache 0 dominio de cada uma das seguintes funyoes: (a) 5 - x; (c) '/3x - 2; x+7 (e) X2=9; (g) '/9 - 4x2; (i) hX2 + 5. x (b) 2x - 3; (d) '/5 - 3x; (f) VX; 1 " (h) ~; vx+ 3 41 . Se [(x) == ax + b, mostre que B 4 3 2 x
  54. 54. Numeros, [un{:oes e grdficos 65 Isto e verdade para [(x) = x2 ? 42. Se [(x)=(l +x)/(I -x), ache (a) f{- x ); (b) f(~); (c) fe~J; (d) f(f(x}}. 43. Se [(x) = .z;x,que funyao g(x) tern a propriedade de que g(j(x)) = x? Se~o 1.7 44. 0 perimetro de urn triangulo retangulo e 6 e a hipotenusa e x. Exprima a area como funyao dex. 45. Urn cilindro tern area de superficie total A fixa . Exprima seu volume como funyao do raio r de sua base. 46. Urn cone esta inscrito numa esfera com raio a fuw. Se reo raio da base do cone, exprima seu volume como funyao de r. 47. Urn cone esta circunscrito a uma esfera com raio a fuw. Se reo raio da base do cone, exprima seu volume como funyao de r. 48. Se f(x)=(x-3)/(x+l), mostre que [(j(j(x)))=x. 49. Sejam dadas as constantes a, b, e e d com a propriedade de que ad - be =1= o. Se [(x) = (ax + b)/(ex + d), mostre que existe uma funyao g(x) = (ex x + (3 )/('Y x + 8 ) tal que · [(g(x)) = x. Mostre tambem que para essas duas funyoes everdade que [(g(x)) = g(j(x)). 50. Suponha que uma funyao [(x) tenha a propriedade de que [ (Xl + X2) = [ (Xl) +[(X2), para qUaisquer Xl e X2 . Disto segue-se que Prove que existe urn numero a tal que [(x) =ax para todos os numeros racionais x. Sugestao:
  55. 55. 66 Cdlrulo com Geometria Analftica decida 0 que a deve ser, depois prove a afirrna9ao sucessivamente para os casos em que x eurn inteiro positivo, urn inteiro, 0 inverso de urn inteiro nao-nulo e urn numero racional*. 51. Esse problema euma seqiiencia do Problema 50. Suponha que uma fun9ao f(x) tenha as duas seguintes propriedades: f(xt +X2) =f(xd +f(X2) e f(XtX2)=f(xd f(X2) para quaisquer XI e X2' Se essa fun9ao tern pelo menos urn valor nao-nulo, mostre que f(x) =x para todos os numeros reais x, provando as seguintes afirma90es: (a) f(l) = 1; (b) f(x) = X se x eracional; (c) f(x) > 0 se x > 0 (Sugestao : urn numero positivo e quadrado de algum numero positivo.); (d) f(xl) < f(x2) se XI < X2; (e) f(x) = x para todo x (Sugestao: existe urn numero racional entre quaisquer dois mimeros reais .) Se~o 1.8 52. Seja p (x) = an~ +an_l~-l + ... +atx +ao urn polinornio de grau n ~ 1. Prove as seguintes afirma90es: (a) Se p(O)=O, entao p(x)=xq(x), onde q(x) eurnpolinomiodegrau n-1. (b) Se a e urn numero real qualquer, a fun9ao f(x) defmida por f(x) = p(x +a) eurn polinornio de grau n. (c) Se a e urn numero real tal que pea) = 0, isto e, se a eurn zero de p(x), entao p(x) = (x - a) rex), onde rex) e urn polin6rnio de grau n - 1. Sugestao: considere f(x) = p(x +a). (d) p(x) tern no m~ximo n zeros. 53. Se n eurn inteiro ~ 1 qualquer, mostre que existe urn polinornio de grau n com n zeros. Se n e par, ache urn polin6rnio de grau n sem zeros; e se n e impar, ache urn polinornio com somente urn zero. 54. Seja p(x)=anxn +an_lXn-1 + ... +atx+ao urn polinornio de grau n~1. Se p(x) tern n zeros x~·. X2.' . .,xn e, portanto, pode ser expresso sob a forma * Sem hip6teses suplementares, sabemos ser imposslvel provar que f{x) =ax para todos os numeros reais x.
  56. 56. Numeros, fimfoes e grdficos 67 mostre que 55 . Uma fun¥ao [ diz-se par se [(-x) = [(x) para todo x de seu domfnio e diz-se zmpar se [(-x) = - [(x) para todo x de seu domfnio (em cada caso, entende-se que -x esta no domfnio de [ quando x esta). Determine se cada uma das seguintes fun¥oes epar, zmpar ou nenhuma das duas: (a) f(x) = x 3; (c) f(x) = Ixj; 1 (e) f(x) = x 2 + - ; X (g) f(x) = X S + I; (b) f(x) = X(X3 + x); 1 (d)f(x)=x+-; x x3 +x (f) f(x) = x2 + 1; (h) f(x) = x (x + I). 56. Qual 0 aspecto caracteristico do grafico de uma fun¥ao par? De uma fun¥ao fmpar? 57. 0 que se pode dizer acerca (a) do produto de duas fun¥oes pares? (b) do produto de duas fun¥5es impares? (c) do produto de uma fun¥ao par por uma fun¥ao fmpar? 58. Se [(x) e uma fun¥ao arbitraria definida num intervalo da forma [-a. a], mostre que [(x) pode ser expressa de uma Unica maneira como soma de uma fun¥iio par g(x) com uma fun¥ao fmpar hex) : [(x) =g(x) +hex). Sugestao: [(-x) = g(x) - hex). 59. De urn polinornio de segundo grau cujos valores em 1,2 e 3sao tr ,...[3 e 550. 60. Se iz e b sao constantes positivas, esboce 0 graftco de b y = 2a (Ix + al +Ix - al- 21xl). 61 . 0 sfmbolo [x] (leia-se "colchete de x") eusado para indicar 0 maior inteiro que emenor ou igual a urn mimero real x. Por exemplo, [1J = 1, [2,1] = 2, [tr] = 3 e [-1,7] = -2.
  57. 57. 68 Colculo com Geometria Anal(tica Esboce os gnificos das seguintes funyoes : (a) y = [xl; (b) y = x - [xl; (e) y = Jx - [xl; (d) y = [xl + Jx - [xl; (e) JI = IX - [IX], 0 ~ x ~ 9. 62. Exprima 0 numero de quadrados perfeitos menores ou iguais a urn numero positivo x em termos da funyao colchete definida no Problema 61. Faya 0 mesmo para 0 numero de cubos perfeitos menores ou iguais ax. 63. Se 0 simbolo {x} (leia-se "chave de x") denota a distancia de urn numero real x ao inteiro mais proximo, esboce 0 gnifico das seguintes funyoes : (a) y = (x); (e) y = (4x); (b) y = {2x); (d) y = t{4x).
  58. 58. CAPrTULO 2 A DERIVADA DE UMA FUNCAO 2.1 0 QUE ECALCULO? 0 PROBLEMA CAS TANGENTES Comeyamos nosso estudo de CaIculo com uma breve apreciayao sobre seu conteudo e as razOes de sua importancia. Uma vista geral do percurso que esta a frente pode ajudar-nos a atingir uma clareza de proposito e senso de direyao que nos serao muito uteis no meio dos muitos detalhes tecnicos que constituem a parte principal de nosso trabalho. o CaIculo e usualmente dividido em duas partes principais - ailculo di[erencial e cdlculo integral - , sendo que cada uma tern sua propria terminologia nao-farniliar, notayao enigmatica e metodos computacionais especializados. Acostumar-se a tudo isto exige tempo e pratica, processo semelhante ao de aprender uma nova lingua. Entretanto, esse fato nao deve nos impedir de ver no inicio que os problemas centrais do assunto sao realmente muito simples e claros, sem nada de estranho ou misterioso acerca deles. Quase todas as ideias e aplicayaes do CaIculo giram em tomo de dois problemas geometricos que sao muito faceis de ser entendidos. Ambos se referem ao grafico de uma funcrao y =[(x). Evitamos complicayoes assurnindo que esse gnifico esta inteiramente acima do eixo x , como na Fig. 2.1. Declive = ? a b x Figura 21 A essencia do Oilculo. 69

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