ระยะระหว่างจุดสองจุด

1. ระยะระหว่างจุดสองจุด
บนเส้นจานวน ถ้าจุด แทนจานวนจริง และจุด แทนจานวนจริง
ระยะทางระหว่างจุด และ คือค่าสัมบูรณ์ของ - เขียนแทน ด้วย หรือ | |
=
สาหรับจุด 2 จุด , และ , ใดๆ ที่ ขนาน
กับแกน x หรือขนานกับแกน y สามารถแสดงได้ว่า
1) ถ้า ขนานกับแกนx จะได =
2)ถ้า ขนานกับแกน y จะได้ =
ซึ่งแสดงให้จริงได้ดังนี้
ถ้าจุด , และจุด , อยู่บนเส้นตรงซึ่งขนานกับแกน x
ให้ A และ B เป็นจุดที่ และ ตั้งฉากกับแกน X ตามลาดับ
จะได้จุด A มีพิกัด เป็น ,0)
จุด B มีพิกัดเป็น ( ,0)
ดังนั้น AB =
แต่ และ เป็นด้านตรงข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า BA
ดังนั้น = AB นั่นคือ =
ในทานอนเดียวกัน ถ้าจุด , และจุด , อยู่บนเส้นตรง
ซึ่งขนานกับแกน Y
จะได้ =

2. ในกรณีที่จุด , และ , อยู่บนเส้นตรงซึ่งไม่ขนาน
กับแกน X และไม่ขนานกับแกน Y เราจะหา ได้ดังนี้
ลากส่วนเส้นตรง และ ให้ขนานกับแกน X และแกน Y ตามลาดับ จุด Q จะมี
พิดกัดเป็น , และมุม เป็นมุมฉาก จากทฤษฏีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า
=
=
= เนื่องจาก =
ข้อสังเกต ในกรณีที่จุด และ อยู่บนเส้นตรงที่ขนานกับแกน X จะใช้สูตรนี้ก็ได้เพราะ = จะ
ได้ = =
ทานองเดียวกัน ในกรณีที่จุด และ อยู่บนเส้นตรงที่ขนาน
กับแกน Y จะใช้สูตรนี้ก็ได้เพราะ =
จะได้ = =
ดังนั้นจึงสรุปเป็น ทฤษฎีบทได้ดังนี้
ทฤษฏีบท
ถ้า , และ ( , ) เป็นจุดในระนาบ ระยะระหว่าง
จุด และ เท่ากับ

3. การวัดระยะทาง
เมื่อจุดที่อยู่คนละตาแหน่งถึงเป็นคนละจุดกัน เราจึงควรจะมีวิธีวัดว่าจุดสองจุด “ต่างกันเท่าไร” ความ
แตกต่างระหว่างจุดสองจุดเรียกว่า “ระยะทาง” หมายถึงถ้าเอาไม้บรรทัดไปทาบ จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดไหนสักจุด
แล้ววัดไปจนถึงอีกจุดหนึ่งแบบตรงๆ ไม่เลี้ยวไปไหน แล้วอ่านค่าออกมาว่าได้ตัวเลขเท่าไหร่
ในทางคณิตศาสตร์มีคาอีกคาหนึ่ง เรียกว่า Geodesic มีความหมายว่าเป็น “ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่
ใช้ในการเดินทางเปลี่ยนตาแหน่ง” ลองนึกภาพการเดินทางจากบ้านเราเองไปโรงเรียน บางครั้งเราไม่
สามารถเดินทางเป็นเส้นตรงได้ ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจึงอาจจะไม่ใช่ระยะทางตามแนวเส้นตรง
แต่ต้องลัดเลาะไปตามทางเท้า หรือวิ่งตามถนนซึ่งเลี้ยวไปเลี้ยวมา ก็ต้องไปวัดระยะทางตามแนวที่คดไปคด
มานั้น
เพื่อนของเราที่บอกว่าจะวัดระยะทางในแนวเส้นตรงได้ยังไงชื่อว่า “พิธากอรัส” สมัยมัธยมต้นเราเคยรู้ว่า
ทฤษฎีหรือ “สูตร” ของพิธากอรัสใช้หาความยาวด้านใดๆของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อรู้ความยาวสองด้านที่
เหลือ ความรู้เดียวกันนี้ประยุกต์มาใช้ในการคานวณระยะทางด้วย เพราะระบบแกนพิกัดของเราทามุม
“ฉาก” กันอยู่แล้ว จึงมีมุมฉากให้เรียกใช้เมื่อไหร่ก็ได้ แค่มีเส้นตรงเส้นเดียวก็เหมือนกับมีรูปสามเหลี่ยมมุม
ฉากเกิดขึ้นมาทันที
จุดสองจุดที่อยู่ต่างที่กัน ไม่ตรงกันทั้งในแนวราบและแนวดิ่ง ค่า x จะต่างกัน และค่า y ก็จะต่างกัน
เช่นเดียวกัน ผลต่างของค่า x และค่า y นี่แหละที่สร้างด้านสองด้านของ “สามเหลี่ยมมุมฉาก” และเจ้า
ระยะทางระหว่างจุดสองจุดนั้นคือความยาว “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” ของสามเหลี่ยมนี้ ทาให้เราได้สูตรการ
หาระยะทางระหว่างสองจุดออกมาแบบนี้
ระยะทางระหว่าง กับ =

4. ตัวอย่างโจทย์
ตัวอย่างที่1 จงหาระยะระหว่างจุด P1 (1,7) และ P2 (-5,2)
วิธีทา =
=
7.8102
หมายเหตุ เป็นคาตอบที่ถูกต้องแต่ 7.8102 เป็นค่าโดยประมาณ
ที่มา :
http://dit.dru.ac.th/math/lesson5/waypoint.html
https://fltsolver.wordpress.com/tag/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A2%E0%B8%B0%E0%B8
%97%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%A3B8%B8%E0%B8%94/
http://dit.dru.ac.th/math/lesson5/waypoint_Example.html