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  1. 1. Asíntotas de una función a) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la recta L y el punto A de la curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la recta L se denomina asíntota de la curva C.
  2. 2. b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la curva C: y = f(x), si se cumple una de las siguientes relaciones: i) lím x  a f(x) = ±∞ ii) lím x  a+ f(x) = ±∞ iii) lím x  a- f(x) = ±∞ -∞ +∞
  3. 3. c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de la curva C: y = f(x), si se cumple una de las siguientes relaciones: i) lím x  +∞ f(x) = k ii) lím x  -∞ f(x) = k iii) lím x  ∞ f(x) = k Asíntota horizontal
  4. 4. d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua de la curva C: y = f(x) Formas de encontrar los valores de “m” y “b”. f(x)lím x  ±∞( )xm = [f(x) – mx]lím x  ±∞b = y = mx + b Asíntota oblicua
  5. 5. 01. Halla las asíntotas de la función: x2 + x - 1 x - 3 y = f(x) =
  6. 6. -50.0 -40.0 -30.0 -20.0 -10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Gráfica de la función: f(x) = (x2 + x - 1)/(x - 3) Curva Asíntota oblicua Asíntotavertical Asíntota vertical: x = 3 Asíntota oblicua: y = x + 4 Asíntota horizontal: No existe
  7. 7. 02. Halla las asíntotas de la función: x2 + 2x - 8 x2 - 4 y = f(x) =
  8. 8. -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Gráfico de la función: f(x) = (x2 + 2x – 8)/(x2 – 4) Asíntotavertical Asíntota horizontal Asíntota vertical: x = -2 Asíntota oblicua: No tiene Asíntota horizontal: y = 1
  9. 9. 2x2 x + 3 y = f(x) = 03. Halla las asíntotas de la función:
  10. 10. -80 -75 -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Gráfico de f(x) = 2x2/(x + 3) Curva Asíntota oblicua Asíntota vertical: x = -3 Asíntota oblicua: y = 2x - 6 Asíntota horizontal: No tiene Asíntotavertical
  11. 11. 04. Halla las asíntota de la función: 6x2 + 8x - 3 3x2 + 2 y = f(x) =
  12. 12. -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gráfica de la función de y = (6x2 + 8x - 3)/(3x2 + 2) Asíntota horizontal Asíntota vertical: No tiene Asíntota oblicua: No tiene Asíntota horizontal: y = 2
  13. 13. Una función real f es continua en un número x = a si: Continuidad de una función lím x  a f(x) = f(a) Si f es continua en a, entonces debe cumplir: i) f (a) esta definida (esto es, a pertenece al dominio de f ) ii) lím x  a f(x) Existe iii) lím x  a f(x) = f(a)
  14. 14. Si f es continua, entonces los puntos (x, f (x)) en la gráfica de f tienden al punto (a, f (a)) sobre la gráfica. Así que no existe ninguna brecha en la curva
  15. 15. Discontinuidad evitable o removible. Tipos de discontinuidad lím x  a f(x)i) Una función real de variable real f: R  R, tiene una discontinuidad evitable y removible en un punto x = a, si: a) Existe ii) El número aDf, o bien aDf se tiene que: lím x  a f(x) ≠ f(a), en este caso redefinimos f: F(x) = f(x), si x ≠ a x  a f(x), si x = a lím 
  16. 16. Discontinuidad no evitable. i) Discontinuidad de primera especie una función real es discontinua cuando tiene límites laterales son infinitos y diferentes. b) ii) Discontinuidad de segunda especie de una función real es discontinuidad en el punto x = a, si no existe , o si, uno de los límites laterales es infinito (±∞) x  a lím f(x)
  17. 17. Ejemplos: ¿Dónde es discontinua la función? x2 – x - 2 x - 2 f(x) = 1)
  18. 18. Determina los valores de x para los cuales la función f es discontinua y evitar si es posible redefiniendo la función. x2 – 9 x - 3 f(x) = 2)
  19. 19. Determina los valores de x para los cuales la función f es discontinua y evitar si es posible redefiniendo la función. x3 – 2x2 – 11x + 12 x2 – 5x + 4 f(x) = 3)
  20. 20. Determina los valores de x para los cuales la función f es discontinua y evitar si es posible redefiniendo la función. 3x3 + 2x2 – 6x + 1 x2 – x f(x) = 4)
  21. 21. La recta tangente La recta tangente L toca al círculo en el punto P. La palabra tangente surge del verbo latín tangere, que significa “tocar”. Recta tangente L a una gráfica en el punto P.
  22. 22. Halla las asíntotas de la función y representa gráficamente: Taller N° 9 02) x2 - 3 2x - 4 y = f(x) = 01) x2 2 - x y = f(x) = Halla las asíntotas de la función:
  23. 23. Pendiente de una recta -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Gráfico de y = 2x + 1 f(a) = f(1) = 3 (1; 3) f(a+h) = f(1+2) = 7 f(a+h)-f(a)=4 (a+h) - (a) = h = 2 Variacióndey (3; 7) Variación de x Pendiente = m = Variación de x Variación de y Pendiente = m = f(a+h) – f(a) (a+h) – (a) Pendiente = m = 7 – 3 2 = 2 m = y – y1 x – x1 Ecuación punto pendiente
  24. 24. Pendiente de rectas secantes Pendiente de rectas secantes se aproximan la pendiente mtan de L. Si las coordenadas de P son (a, f(a)) y las coordenadas de Q son (a + h, f(a+h)), entonces como se muestra en la figura, la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es: Cociente diferencial.
  25. 25. Rectas secantes giran en la recta tangente L cuando h  0 Recta tangente con pendiente Cuando el valor de h se hace cada vez más pequeño (h  0), entonces los puntos Q(a + h, f(a+h)) se mueven e la curva cada vez más cerca de P(a, f(a)); por lo tanto, la recta secante tiende a la recta tangente L; o sea, msec  mtan; cuando h  0. La recta tangente a la gráfica de f en (a; f(a)) es la recta que pasa por el punto (a; f(a)) con pendiente mtan.
  26. 26. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = x2 + 2 en x = 1. Halla la ecuación de la recta tangente con la pendiente encontrada. 01). Aplicaciones
  27. 27. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 2/x en x = 2. Halla la ecuación de la recta tangente con la pendiente encontrada. 02).
  28. 28. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x - 1 en x = 5. 03). 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gráfico de y = x - 1 Series1 Series2
  29. 29. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola de f(x) = x2 – 8x + 9 en el punto (3; -6) 04). -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gráfico de y = x2 - 8x + 9 Series1 Series2
  30. 30. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f (x + h) – f (x) hf’(x) = lim h  0 Si y = f(x) y f(x + h), son funciones derivables: d( y) dx =
  31. 31. i) Si y = f (x) = c = 0 d( y) dx Algunas reglas de derivación ii) Si y = f (x) = x = 1 d( y) dx iii) Si y = f (x) = xn = nxn-1 d( y) dx iv) Si y = f (x) + g(x) = f ’(x) + g’(x) d( y) dx
  32. 32. v) Si y = f (x). g(x) = f (x).g’(x) + f ’(x).g(x) d( y) dx vi) Si y = g(x). f ’(x) - f (x).g’(x)d( y) dx f (x) g(x) = [g(x)]2 Si f (x) y g(x), son funciones derivables en x y g(x) ≠ 0, entonces f /g es diferenciable en x. Derivación del cociente de dos funciones Derivación del producto de dos funciones
  33. 33. vii) d dx [(f o g)(x)] = f ’[g(x)].g’(x) = Si la función f (x) es diferenciable en u = g(x) y la función g es diferenciable en x, entonces la composición y = (f o g)(x) = f [g(x)] es diferenciable en x. Derivación de una función compuesta (Regla de la cadena) En forma equivalente d(y) dx d(y) du d(u) dx .
  34. 34. Derivada de funciones trigonométricas Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces: i) Si y = sen[f(x)] ii) iii) = cos[f(x)].f’(x)] d( y) dx Si y = cos[f(x)] = -sen[f(x)].f’(x)] dx d( y) Si y = tan[f(x)] = sec2[f(x)].f’(x)] dx d( y)
  35. 35. Derivada de funciones trigonométricas Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces: iv) Si y = cot[f(x)] v) vi) = -csc2[f(x)].f’(x)] d( y) dx Si y = sec[f(x)] = sec[f(x)].tan[f(x)]. f’(x)] dx d( y) Si y = csc[f(x)] = -csc[f(x)].cot[f(x)]. f’(x)] dx d( y)
  36. 36. Derivada de funciones trigonométricas inversas Si f (x) es una función real derivable en x, entonces: i) Si y = arc sen [f(x)] ii) = d( y) dx f’(x) 1 – [f(x)]2 Si y = arc cos [f(x)] = d( y) dx f’(x) 1 – [f(x)]2 iii) Si y = arc tan [f(x)] = d( y) dx f’(x) 1 + [f(x)]2
  37. 37. Derivada de funciones trigonométricas inversas Si f (x) es una función real derivable en x, entonces: iv) Si y = arc cot [f(x)] v) = d( y) dx Si y = arc sec [f(x)] = d( y) dx f’(x) | f(x)|.[f(x)]2 – 1 vi) Si y = arc csc [f(x)] = d( y) dx f’(x) 1 + [f(x)]2 f’(x) | f(x)|.[f(x)]2 – 1
  38. 38. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x) d( y) dx ii) Si y = ln[ f(x)] f ’(x)d( y) dx f (x) = iii) Si y = ax d( y) dx ax.ln(a)= iv) Si y = a f(x) d( y) dx a f(x). f ’(x).ln(a)=
  39. 39. Aplicación Halla la derivada de: f (x) =01) 1 x + 1
  40. 40. Halla la derivada de: f (x) =02) x2 - 1 x2 + 1
  41. 41. Halla la derivada de: f (x) =03) 4x + 6 x2 + 3x + 4
  42. 42. Halla la derivada de: f (x) = 04) (3x2 + 4x + 8)x - 1
  43. 43. Halla la derivada de: f (x) =05) e x2 + x
  44. 44. Halla la derivada de: y = ln(a + x + x2 + 2ax) 06)
  45. 45. Halla la derivada de: y = ln(x + x2 – 1) 07) x– x2 – 1
  46. 46. Halla la derivada de: y = sen (5x2) - sen (x2) 08) 1 20 1 4
  47. 47. Halla la derivada de: y = 09) sen (x) - cos (x) sen (x) + cos (x)
  48. 48. Halla la derivada de: y = ln 10) 1 - sen (x) 1 + sen (x)
  49. 49. Halla la derivada de: y = tan3 (2 ) 11) 5x4
  50. 50. Un móvil tiene un movimiento rectilíneo representado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1 (x en metros y t en segundos). Halla la posición x del móvil (en m) cuando su rapidez es 8 m/s. 12)
  51. 51. Derivada de funciones trigonométricas inversas Si f (x) es una función real derivable en x, entonces: i) Si y = arc sen [f(x)] ii) = d( y) dx f’(x) 1 – [f(x)]2 Si y = arc cos [f(x)] = d( y) dx f’(x) 1 – [f(x)]2 iii) Si y = arc tan [f(x)] = d( y) dx f’(x) 1 + [f(x)]2
  52. 52. Derivada de funciones trigonométricas inversas Si f (x) es una función real derivable en x, entonces: iv) Si y = arc cot [f(x)] v) = d( y) dx Si y = arc sec [f(x)] = d( y) dx f’(x) | f(x)|.[f(x)]2 – 1 vi) Si y = arc csc [f(x)] = d( y) dx f’(x) 1 + [f(x)]2 f’(x) | f(x)|.[f(x)]2 – 1
  53. 53. Hallar sí: y = arc tan [4x2 – 1]01) d( y) dx
  54. 54. Hallar sí:02) d( y) dx y = arc sen [ex] + arc sen [1 – e2x ]
  55. 55. Hallar sí:03) d( y) dx y = arc sen [ln(x)]
  56. 56. Hallar sí:04) d( y) dx y = arc tan x.sen  1 – x.cos [ ]
  57. 57. Hallar sí:05) d( y) dx y = ln 1 + sen x [ ]1 - sen x 2.arc tan [sen x ]+
  58. 58. Hallar sí:06) d( y) dx y = arc tan sen x + cos x [ ]sen x - cos x
  59. 59. Hallar sí:07) d( y) dx y = arc cos b + a.cos x [ ]a – b.cos x
  60. 60. Halla la derivada implícita de: 5x3 + 2y5 = ln(x.y) 08)
  61. 61. Halla la derivada implícita de: 3xy2 - 5x + x.y = 4 09)
  62. 62. Halla la derivada implícita de: x3 - y3 = 3x.y 10)
  63. 63. Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de x2 + 4y2 = 4; en el punto (2; -1/2) 11)
  64. 64. Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 3(x2 + y2)2 = 100xy; en el punto (3; 1) 12)
  65. 65. Dada x2 + y2 = 25. Evaluar la primera y la segunda derivadas en el punto (-3; 4) 13)
  66. 66. Halla la segunda derivada de la expresión 4y3 = 6x2 + 1 14)
  67. 67. Taller 01) Encuentre la segunda derivada de: x2 + 2xy – y2 = 1. Halla sí:02) 1 – cos x 1 + cos x y = arc cotd( y) dx [ ]
  68. 68. Trabajo grupal 01) Encuentre la segunda derivada de: x2 + 2xy – y2 = 1. Halla la derivada de:02) 2x - 3 8x + 1
  69. 69. Halla la derivada de: 2x2 - 2x + 1 02) xy = Trabajo grupal 01) Un móvil tiene un movimiento rectilíneo representado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1 (x en metros y t en segundos). Halla la posición x del móvil (en m) cuando su rapidez es 8 m/s. 03) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 4/(x – 1) en x = 2. Halla la ecuación de la recta tangente con la pendiente encontrada.
  70. 70. Teorema de Rolle El teorema de Rolle supone la existencia de una línea tangente horizontal que se ubica en el punto c de un máximo o un mínimo formado por la unión de intervalos crecientes y decrecientes. La importancia de este teorema radica en que afirma la existencia de al menos una línea horizontal entre cada dos intersecciones con el eje x, siempre y cuando la función sea continua en dichas intersecciones. Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en a, b  tal que f(a) = f(b), entonces existe un punto c en a, b  en el que f ’(c) = 0, por lo que la recta que toca el punto c será horizontal.
  71. 71. Teorema de valor medio Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en a, b entonces existe al menos un punto c en a, b tal que la línea tangente a la curva en el punto c es paralela a la secante que une a los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Es decir: f´(c) = f (b) - f (a) b - a Tal f´(c), representa los ceros de la derivada de f´(c) = f´(x).= m
  72. 72. Ejemplo 1 Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en a, b tal que f(a) = f(b), entonces existe un punto c en a, b en el que f ’(c) = 0. Halla el valor de c entre [-3; 0] y [0; 3] , si f(x) = 9x – x3 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Gráfico de f(x) = 9x – x3
  73. 73. Dada la función f (x) = x2, halla la ecuación de la línea secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) y compare con la recta tangente al punto (c, f(c)); sabiendo que a = 1 y b = 2. Ejemplo 2 y = 3x - 2 y = 3x – 2,25 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Gráfico de y = x2 Curva recta secante Recta tangente
  74. 74. Aplicaciones de la derivada Trazado de gráficas 01) y = f(x) = 3x2 – x3 a) Construir la gráfica para:
  75. 75. -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 -2 -1 0 1 2 3 4 Gráfico de y = 3x2 - x3 x f(x) f ’(x) Concavidad -∞; 0 Decreciente En -∞; 1 m > 0 Positivo en (0; 0) 0; 2 Creciente En 1; +∞ m < 0 Negativo en (2; 4) 2; +∞ Decreciente x y -2 20 -1.75 14.5469 -1.5 10.125 -1.25 6.64063 -1 4 -0.75 2.10938 -0.5 0.875 -0.25 0.20313 0 0 0.25 0.17188 0.5 0.625 0.75 1.26563 1 2 1.25 2.73438 1.5 3.375 1.75 3.82813 2 4 2.25 3.79688 2.5 3.125 2.75 1.89063 3 0 3.25 -2.64063 3.5 -6.125 3.75 -10.5469 4 -16
  76. 76. 02) y = f(x) = (1/8)(x4 – 8x2)
  77. 77. x f(x) f '(x) Concavidad -∞; -2 En -∞; - 1,1547 m > 0 Positivo -2; 0 En -1,1547; 1,1547 m < 0 Negativo 0; 2 En 1,1547; +∞ m > 0 Positivo 2; +∞ -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Gráfico de y = (1/8)(x4 - 8x2)
  78. 78. Encuentre donde la función f (x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5 es creciente y donde es decreciente. 03)
  79. 79. -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Gráfico de y = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5 x f(x) Concavidad -∞; -1 -1; 0 0; 2 2; +∞
  80. 80. 04) y = f(x) = x3 – 3x + 2
  81. 81. 05) y = f(x) = 2x3 – 6x2 – 3x + 7
  82. 82. 06) Construir la gráfica para f(x) = 2|x| - x2; luego indica sus características.
  83. 83. -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 Gráfico de y = 2|x| - x2 x y -3 -3 -2.6 -1.56 -2.2 -0.44 -2 0 -1.8 0.36 -1.6 0.64 -1.4 0.84 -1.2 0.96 -1 1 -0.8 0.96 -0.6 0.84 -0.4 0.64 -0.2 0.36 0 0 0.2 0.36 0.4 0.64 0.6 0.84 0.8 0.96 1 1 1.2 0.96 1.4 0.84 1.6 0.64 1.8 0.36 2 0 2.2 -0.44 2.6 -1.56 3 -3 x f (x) f ’(x) Concavidad -∞; -1 -1; 0 0; 1 1; +∞
  84. 84. Regla de L’Hôpitalb) lím x 0 cos mx – cos nx x2 01)
  85. 85. lím x  0 ex – 1 sen x 02)
  86. 86. lím n  0 ex – cos x03) ex – cos x
  87. 87. lím x  0 04) ln x x - 1( )
  88. 88. lím x  0 05) ex – e-x – 2x x - sen x ( )
  89. 89. lím y  0 06) ln ( 1 + y) ( ) e y + sen y – 1
  90. 90. Trabajo grupal 01). Construir la gráfica para f(x) = x3 + 2x2 + x + 1; luego indica sus características. 02). Aplicando la Regla de L’Hôpital, halla el límite de: lím x  0 x – sen x( ) tan x – sen x x f (x) f ’(x) Concavidad -∞; -1 -1; -1/3 -1/3; +∞

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