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- 1. 高専生の知ってる数学・知らない数学 ～線型代数って何～ Web version 小鳥遊優葵 2011年10月8日 つくば理学カンファレンス at 筑波大学
- 2. 諸注意 • このスライドはつくば理学カンファレンスで発 表に使用したものをWebで公開するために改 良したものです。 • あっさり派のあなたはこのスライドをなんとな く眺め、こってり派のあなたはプロシーディン グと紙と鉛筆を持ってどうぞ。 • 補足のページは飛ばしても構いません。 • 疑問・質問・意見・誤植等ありましたら、 Twitter:@yuki_mathkまで
- 3. プレゼンの動機 高専の数学は学校によって違う →知ってたり知らなかったり エンジニアにとっていろんな数学の知識が必要 →学校でやらないなら独学 →モチベーションが… →興味を持つきっかけとしてプレゼンしよう!
- 4. プレゼンの内容：線型代数 なぜ線型代数なのか ⓪ 高専生が知ってたり知らなかったり（前提） ① 簡単（ほかの数学に比べるとね） ② 役に立つ（連立方程式とか解けるよ！） ③ 幅広い応用（物理とか経済学にも使える） ④ 数学っぽい（抽象的に話が進む） ⑤ 知らない(忘れた)人が相当いる（よね） ⑥ 面白いネタを思いつかなかった れっつ、すたーと～
- 5. 数学的準備 ～集合～ 集合：”もの”の集まり 何も含まない空集合 も集合 元：集合に含まれる”もの” たとえば {りんご, みかん, もも} とか {α, β, γ, δ, ε, θ, η}が集合で ”りんご”とか”みかん”とか”β”が元 元がたくさん（無限に）あるときの表しかた { a | aは正の偶数} = {2, 4, 6, …} 「｜の後ろが条件」 いくつかのものの組合せが元になることも { (a, b) | a, b ∈ {0, 1} } = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) } ここまでは簡単だよね。
- 6. 数学的準備 ～写像～ 写像：集合の各元から別の集合の元への対応 集合A 集合B 元→ 違うAの元が同じところに行っても良い （Aの元がそれぞれ行先が違うような写像を単射という） Bの全部の元に行かなくても良い （Bの元全部がAの元の行先になってるような写像を全射という） ついてきてる？
- 7. 数学的準備 ～写像の続き～ 全単射（可逆）：元の対応が1対1の写像 前ページの言葉で言えば全射でもあり単射でもあるってこと 集合A 集合B 元→ 逆写像：写像が全単射の時の逆向きの対応 上の図の赤→の写像の逆写像が青→ 変換：集合AとBが同じである写像 たとえば、{1, 2, 3}から{1, 2, 3}への変換 ちゃんと分かってる?
- 8. 数学的準備 ～写像の続きの続き～ 数の無限集合だと写像=関数と思ってもいい 実数 から への写像（関数）の例 集合の関係 元の関係 の行先を とすれば で この写像は1次関数を表している！ この話では無限集合しか出てこないので 写像は関数と思って大丈夫 次、いっくよー
- 9. 補足：数学的準備 ～同値類と商集合～ 同値関係：次の条件を満たす関係～ ① ② ③ 例： 整数 で が3の倍数 同値類：同値関係を満たすものを集めたもの 上の例： {0, 3, 6, …}, {1, 4, 7, …}, {2, 5, 8, …} 代表元：各同値類から一つずつ適当に選んだ元 商集合：同値類から代表元を集めて新しく作った集合 上の例： ↑こういう記号であらわす
- 10. 線型代数的準備 ～ベクトルと行列～ 縦（列）ベクトル：数を縦に並べたもの 横（行）ベクトル：数を横に並べたもの 行列：数を長方形に並べたもの ここでいう数は全部下で紹介してる”体”の元のこと 体：加減乗除ができて、結合・交換・分配則が 成り立つ（1を含む）集合 ここでは実数体 か複素数体 整数は割り算が できないからダメだよ
- 12. 線型代数の効能1：連立1次方程式の解法 この(n+1)×n行列に基本変形 ①ある行を定数倍 ②ある行に別の行の定数倍を加える ③ある行と別の行を入れ替え を何回かして整理する 係数を成分とみた行列の基本変形で必ず解ける （実際にはただの加減法） 結果はただ1つ, たくさん, 存在せず のどれか 次、いくよ
- 14. 線型空間とは ～縦ベクトル全体のこと～ 線型空間とは、ある体Kと集合Vがあって、 ①加法に関する結合・交換法則 ②零元の存在 なる0が存在する ③加法の逆元の存在 なる が存在する ④スカラー倍に関する結合則 ⑤スカラー倍に関する分配則 ⑥1倍 を満たす集合V おおざっぱに言えば, 線型空間とは（縦）ベクトル全体の集合 例えば、どんなのが線型空間なの？
- 15. 線型空間の例 例 平面ベクトル全体 平面ベクトルの元は とかける ①～⑥はそれぞれ成り立つ （体は ） 実係数1変数多項式全体 こんな風にベクトルの形にすれば一目で線型空間と分かる この例の場合は成分の数が無限のベクトルになる なんだ、そんなことなの
- 16. 線型空間用語 1次結合：線型空間の元を足したりスカラー倍したもの 1次独立：元がほかの元の1次結合で書けないこと （書けるときは1次従属という） と は1次独立 基底：任意の元がいくつかの1次独立な元の線形結合で書け るとき、それらの元のこと の 任意の元は↑のように2つの元の線形結合で書ける 次元：基底の個数 の場合は2（2次元空間） ちょっと、まって、、、
- 17. 部分空間とは 部分空間：線型空間の部分集合の線型空間 の部分空間の例 これらは線形空間のきまり（公理）①～⑥ を満たしている 部分空間の次元は元の線形空間の次元 以下になる {0} は0次元空間だよ うーん、難しくなってきたかも
- 18. 補足：商空間とは 商空間：線型空間の次のような商集合 線形空間をV, 部分空間をWとする。 同値関係 に関する商集合をとる。 そこに加法とスカラー倍をもとの線形空間と 同じように計算して、その同値類の代表元を 値とすれば、商集合は線形空間となり、商空 間と呼んで、 であらわす。
- 19. 線型写像とは ～行列のこと～ 線型写像： 線型空間から別の線型空間への写像で 足し算と定数倍を保存する 行先の線形空間が元の線形空間と同じ時は線型変換という おおざっぱに言えば, 線型写像とは行列を掛けること ベクトルに左から行列を掛けると別のベクトルになる 掛けてから足すのと、足してから掛けるのが等しい 掛けてからスカラー倍と、スカラー倍してから掛けるのが等しい なるほどね～
- 20. 線型写像用語 像空間(image)：各元の行先全体 核空間(kernel)：0に行く元全体 次元定理：核空間と像空間の次元の和は最初 の空間の次元に等しい 雰囲気⇒ 核 像 同型：全単射な線型写像 同型写像の2つの空間は同一視できる→同形とも書かれる ここから”線型”も→”線形”に イメージとカーネル！
- 21. 補足：次元定理 商空間を知ってればもうちょっと詳しく言えて、 が線型写像ならば、 が成り立つ。 ここからさらに、有限次元で がいえる。この定理は同型を調べるのに便利。
- 22. 線型写像の例 ↓ 3次元 線型写像の例 線型写像とは行列を左から掛けること 像空間 ←2次元 核空間 ←1次元 次元定理の通り像と核の次元の和が元の空間の次元になっている！ なるほどね～
- 23. 補足：双対空間 ～横ベクトルはなんだ～ 線型写像は行列でした n次元空間から1次元空間への線形写像 を 行列で表すと 横ベクトルの形をしてます 縦ベクトル全部集めてきたものが線型空間でした この空間に対応した横ベクトルの全部の集まりを と表して元の線形空間の双対空間という さらに有限次元（基底が有限個）なら双対空間の双対空間は もとの空間と同型になる 双対 縦ベクトル全体 横ベクトル全体 双対
- 24. 固有値と固有ベクトルと固有空間 線型変換は正方行列（をかけること） 対角化とは 変換を見やすくすること 基底を取り替えることで行列を簡単（対角行列）にできる となるλ, x ≠ 0があったとき、 λが固有値, xが固有ベクトル 固有ベクトルがなす空間 が固有空間 固有値が全て異なれば、線型空間は固有空間で分解できる 線型変換を固有空間の変換とみれば全体が掴める なるほど、わからん
- 25. 対角化の計算方法 次のページの例を参照！ ①固有値を計算する 0以外に を満たすxがあるには は正則でない ②固有ベクトルを計算する ①で求めたλを使って を満たすxを1つ求める ③対角化 固有ベクトルを並べてできた行列は正則で、これで挟むと対角化 ④固有空間分解 線形空間は固有空間の直和になる すなわち、②で計算した固有ベクトルが線型空間の基底になる 元の空間と行先の空間の基底を取り替えることで 基底を定数（固有値）倍するだけの線形写像になる
- 26. 対角化の計算例 ①固有値の計算 ②固有ベクトルの計算 ③対角化の結果 ④固有空間分解 計算してみよう！
- 27. 対角化とジョルダン標準形 対角化できないとき（固有値が重根となる時） →できるだけ対角行列に近くする →ジョルダン標準形 （ジョルダンブロック を対角に並べたもの） 特徴：対角化できないと固有空間だけの分解はできないが 固有空間を拡張した一般固有空間 でなら分解できる 行列の場合 む、むずかしいよ
- 28. ジョルダン標準形の計算方法 次のページの例を参照！ ①固有値を計算する 対角化の時と同じ 重根が出てくることに注意 ②固有ベクトルを計算する 1次独立な固有ベクトルが重複度の数だけないときは 一般固有ベクトルとして を満たす1次独立なxを重複 度の数に足りるまでnを増やしてとる ③ジョルダン化 （一般）固有ベクトルを並べてできた行列は正則で、これで挟むとジョル ダン化 ④固有空間分解 線形空間は一般固有空間の直和になる すなわち、②で計算した一般固有ベクトルが線型空間の基底になる
- 29. ジョルダン標準形の計算例 ①固有値の計算 ②（一般）固有ベクトルの計算 ③ジョルダン標準形の結果 ④（おまけ）一般固有空間分解 対角化とどこが違うかな？
- 30. 行列のべき乗計算・指数計算 ジョルダン標準形が だとする はジョルダンブロック うぎゃー
- 31. 線型代数の効能2：定係数線形常微分方程式 とおくと これを解くと、 前ページの指数計算を使うと（計算機なら）すぐに計算できる 線型代数で微分方程式が解ける！
- 32. 線型代数の応用 線型代数からちょっと進んだら・・・ ・2次曲線, 2次曲面 ・テンソル空間 ・マルコフ過程 ・関数解析 ・フーリエ解析 ・量子力学 ・表現論 etc いろいろあるんだね