2. ❑ Ángulo geométrico
GEOMETRÍA
❑ Ángulos entre dos rectas
paralelas y una recta secante

3. OBJETIVOS:
• Conocer la definición y características del ángulo geométrico.
• Identificar los diferentes tipos de ángulos según su clasificación.
• Diferenciar a las rectas secantes de las paralelas y conocer los distintos teoremas
relacionados a estas posiciones entre las rectas.
• Aplicar adecuadamente los teoremas en los problemas.

4. Introducción
Plano
Punto
Recta
ℒ
Para poder iniciar con el estudio de la
geometría es importante tener en cuenta algunas
ideas previas, como son el punto, la línea recta y el
plano, a partir de ellos se empezará a construir las
demás figuras geométricas.
CONCEPTOS
PRIMITIVOS
Desde que el hombre empezó a establecerse
en un lugar para poder desarrollarse, tuvo la
necesidad de poder hacer delimitaciones en los
terrenos que iba habitando, tanto por la idea de
vivienda, cultivo o crianza de animales; es en ese
sentido que nace la necesidad de medir la tierra y los
encargados de realizar dicha medición fueron los
primeros geométras.

5. ÁNGULO
GEOMÉTRICO

6. 𝛼
Definición: Es la figura geométrica formada por dos
rayos que comparten el mismo origen, los cuales no se
encuentran en línea recta.
𝐵
𝑂
𝐴 Elementos:
➢ Vértice:
➢ Lados: 𝑂𝐴 y
𝑂
𝑂𝐵
Notación: ∢𝐴𝑂𝐵 : Se lee ángulo AOB
Además: Medida del ∢𝐴𝑂𝐵 es 𝛼
𝒎∢𝑨𝑶𝑩 = 𝜶
Importante:
NOTA
< 𝜶 <
𝟎° 𝟏𝟖𝟎°
𝐿
𝑄
𝑅
Región exterior al ∢𝐿𝑄𝑅 Región interior al ∢𝐿𝑄𝑅
𝐶
𝐵 𝐴
Del gráfico:
✓ 𝐴
✓ 𝐵
✓ 𝐶
∈ a la región interior del ∢𝐿𝑄𝑅
∈ al ∢𝐿𝑄𝑅
∈ a la región exterior del ∢𝐿𝑄𝑅
❑ Regiones determinadas por el ángulo en el plano

7. 𝛼
𝛼
𝛼
∢𝑨𝑮𝑼𝑫𝑶 ∢𝑹𝑬𝑪𝑻𝑶 ∢𝑶𝑩𝑻𝑼𝑺𝑶
A .- SEGÚN SU MEDIDA
𝐵
𝑂
𝐴
𝐵
𝑂
𝐴
𝐵
𝑂
𝐴
Representación
gráfica
Aplicación:
< 𝜶 <90°
0° 𝜶 =90° < 𝜶 <180°
90°
2𝜃 − 7°
𝐵
𝑂
𝐴
Sea el ∢𝑀𝑂𝑁
agudo, indique el
mayor valor entero
de 𝜃.
▪ Como el ángulo es
agudo, entonces
aprovechamos la
variación para su
medida angular,
entonces:
Resolución:
2𝜃 − 7°
0° < < 90°
+7°
7° < 2𝜃 < 97°
÷ 2
3,5° < 𝜃 < 48,5°
Los valores enteros de 𝜃
pueden ser:
; 47°; 48°
4°; 5°; 6°; …
∴ 𝜽𝒎𝒂𝒚 ℤ =48°
Nos piden 𝜃𝑚𝑎𝑦 ℤ

8. N
o
t
a
s
𝜃 𝛽
𝛾
𝛽
𝜃
∢𝒔 𝑨𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ∢𝒔 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔 ∢𝒔 𝑶𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒗é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆
B .- SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS
𝐵
𝑂
𝐴
𝐶
𝑥
Sólo son 2 ∢𝑠 coplanares
Se cumple:
𝒙 = 𝜃 + 𝛽
𝐵
𝑂
𝐴 𝐶
𝑥
𝐷
Son de 3 a más ∢𝑠 coplanares
Se cumple:
𝒙 = 𝜃 + 𝛽 + 𝛾
𝐵
𝑂
𝐴
𝛼
𝛽
𝐵′
𝐴′
Se cumple:
𝜶 = 𝛽
𝜃
𝜃
𝐿
𝐵
𝑂
𝐴
• 𝑂𝐿: Bisectriz del
∢𝐴𝑂𝐵
• 𝑂𝐿: Biseca al
∢𝐴𝑂𝐵
Del gráfico:
𝛽
𝛽
𝑁
𝛽
𝑀
𝐵
𝑂
𝐴 Del gráfico:
• 𝑂𝑀 y 𝑂𝑁:
Trisecan
al ∢𝐴𝑂𝐵
𝛽
𝑇
𝛽
𝐿
𝑄
𝑂
𝑃 Del gráfico:
• 𝑂𝐿 y 𝑂𝑇:
Se denominan
rayos isogonales
respecto del
∢𝑃𝑂𝑄
Lado común
También:

9. 𝛼 + 2𝑟
𝛼
𝛽
𝛼
𝜃
𝛾
𝛾 𝜃
𝜃
Propiedades adicionales
𝜃
𝛽
𝛼
𝑥
Se cumple:
Del gráfico:
𝜽 + 𝜶 + 𝜷 =180°
Se cumple:
Del gráfico:
𝒙 =90°
Se cumple:
Del gráfico:
𝜽 + 𝜶 + 𝜷 =360°
Aplicación:
En el gráfico mostrado, las medidas de los ángulos 𝐴𝑂𝐵, 𝐵𝑂𝐶, 𝐶𝑂𝐷, 𝐷𝑂𝐸 y 𝐸𝑂𝐹 se
encuentran en progresión aritmética, calcule la ∢𝐶𝑂𝐷.
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
Nos piden 𝛼
Resolución:
Como las medidas
angulares se encuentran
en progresión aritmética,
éstas aumentan o
disminuyen a partir de 𝛼
en una razón constante
𝛼 − 2𝑟
▪ Usamos la propiedad adicional 1, entonces:
𝛼 − 2𝑟 + 𝛼 − 𝑟 + 𝛼 + 𝛼 + 𝑟 + 𝛼 + 2𝑟 = 180°
→ 5𝛼 = 180°
∴ 𝜶 =36°
𝟏
𝟐
𝟑

10. 𝛽
∢𝒔 𝑪𝑶𝑴𝑷𝑳𝑬𝑴𝑬𝑵𝑻𝑨𝑹𝑰𝑶𝑺 ∢𝒔 𝑺𝑼𝑷𝑳𝑬𝑴𝑬𝑵𝑻𝑨𝑹𝑰𝑶𝑺
C .- SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS
𝐵
𝑂
𝐴
𝑀
𝑄
𝑁
Cuando un par de ángulos, cumple
que la suma de sus medidas
angulares es 90°
Cuando un par de ángulos, cumple
que la suma de sus medidas
angulares es 180°
Del gráfico:
➢ ∢𝑴𝑸𝑵y ∢𝑨𝑶𝑩 son
complementarios
𝛽
𝐵
𝑂
𝐴
𝑀 𝑄
𝑁
Del gráfico:
➢ ∢𝑴𝑸𝑵y ∢𝑨𝑶𝑩 son
suplementarios
También: 𝐶𝛽: Complemento de 𝛽 𝑪𝜷 = 90° − 𝛽
Ejemplos:
𝐶20° = 90° − 20° 𝐶20° = 70°
𝐶35° = 90° − 35° 𝐶35° = 55°
𝐶58° = 90° − 58° 𝐶58° = 32°
𝐶(𝑥+𝑦) = 90° − (𝑥 + 𝑦)
También: 𝑆𝛽: Suplemento de 𝛽 𝑺𝜷 = 180° − 𝛽
Ejemplos:
𝑆80° = 180° − 80° 𝑆80° = 100°
𝑆35° = 180° − 35° 𝑆35° = 145°
𝑆2𝑥 = 180° − 2𝑥
𝑆(𝑥−𝑦) = 180° − (𝑥 − 𝑦)

11. ÁNGULOS ENTRE DOS
RECTAS PARALELAS Y
UNA RECTA SECANTE

12. SECANTES PARALELAS
DOS RECTAS EN EL PLANO PUEDEN SER:
𝑃
𝐿1
𝐿2
𝐿4
𝐿3
• 𝐿1 𝐿2
∩ = 𝑃
• 𝐿3 𝐿4
∩ = ∅
• 𝐿3 𝐿4
//
es paralela a
Del gráfico:
Importante:
NOTA
𝐿1
𝐿2
❑ Si dos rectas secantes forman
una medida de 90°, las rectas se
denominan perpendiculares.
• 𝐿1 𝐿2
⊥
⊥: Se lee, es perpendicular a
𝐿4
𝐿3
❑ Sean 𝐿3 y 𝐿4 paralelas
Ten en cuenta que:
Notación:
Pendiente lo de entonces
∩: Indica que vamos a
realizar la intersección. //: Se lee,
Punto de
intersección

13. 𝛼7 𝛼8
𝛼3 𝛼4
𝛼6
𝛼5
𝛼2
𝛼1
Veamos:
Del gráfico
• Medida de ∢𝑠 internos:
𝜶𝟑, 𝜶𝟒, 𝜶𝟓, 𝜶𝟔
• Medida de ∢𝑠 externos:
𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟕, 𝜶𝟖
𝐿1
𝐿2
𝛽
𝛼
𝐿1
𝐿2
𝜔
𝜓
𝐿1
𝐿2
𝛾
𝜙 𝐿1
𝐿2
𝜆
𝜃
𝐿1
𝐿2
𝜓
𝛼
𝐿1
𝐿2
Se cumple:
𝜶 = 𝜷
Del gráfico:
Se cumple:
𝝎 =𝝍
Se cumple:
𝝓 =𝜸
Se cumple:
𝝀 + 𝜽 = 180°
Se cumple:
𝜶 + 𝝍 =180°
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos
Ángulos conjugados
▪ ∢s alternos internos ▪ ∢s alternos externos
▪ ∢s conjugados internos ▪ ∢s conjugados externos
(POSTULADO)
(TEOREMA)
(TEOREMA)

14. N
o
t
a
s 𝛼
𝛼
𝐿1
𝐿2
Del gráfico:
𝑳𝟏 𝐿2
𝛽
𝛽
𝐿1
𝐿2
Las siguientes
situaciones, nos
ayudarán a
reconocer a dos
rectas paralelas.
∥
Del gráfico:
𝑳𝟏 𝐿2
∥
La rectas 𝐿1 y 𝐿2
cumplen el teorema de
los ángulos alternos,
con ello:
La rectas 𝐿1 y 𝐿2
cumplen el postulado
de los ángulos
correspondientes, con
ello:
Aplicación:
80° − 𝛼
2𝛼 − 10°
𝐿1
𝐿2
En el gráfico mostrado, calcule el
valor de 𝛼.
Resolución:
▪ Al observar las medidas de los ángulos rectos, notamos que 𝐿1 y 𝐿2 están cumpliendo el
teorema de los ángulos conjugados, con ello 𝐿1//𝐿2. Luego graficamos adecuadamente:
80° − 𝛼
2𝛼 − 10°
𝐿1
𝐿2
▪ Por ángulos correspondientes:
2𝛼 − 10° = 80° − 𝛼
→ 2𝛼 + 𝛼 = 80° + 10°
→ 3𝛼 = 90°
∴ 𝜶 = 30°

15. 𝑥
𝑥 + 𝑦
𝜆
𝜔
𝑧
𝑦
𝛽
𝑥
𝜃
𝐿1
𝐿2
𝛽
𝑥
𝜃
Teorema 𝟏
Teorema 𝟐
𝐿1
𝐿2
Se cumple: 𝒙 = 𝜃 + 𝛽
Se cumple:
𝜷 + 𝜽 + 𝝎 + 𝝀 =𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝛽
𝑥
𝜃
𝐿1
𝐿2
Demostración del teorema 1
𝐶
𝐴
𝐵
▪ Por 𝐵 trazamos una paralela a las rectas 𝐿1 y 𝐿2.
𝐿
𝛽
𝜃
▪ Por ángulos alternos: 𝑚∢𝐴𝐵𝐿 = 𝛽
▪ Análogamente:
▪ Finalmente: ∴ 𝑥 = 𝛽 + θ
𝑚∢𝐶𝐵𝐿 = 𝜃
Aplicación:
𝑥
𝑥
𝑦
𝐿1
𝐿2
𝑦
𝐶
𝐴
𝐵
▪ Aplicando el teorema 1:
Resolución:
𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 𝑥 + 𝑦
Por ángulos opuestos por el vértice
▪ En B: 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 180°
∴ 𝒙 + 𝒚 = 90°
Del gráfico, si 𝐿1 𝐿2 ,
calcule 𝑥 + 𝑦

16. 𝑒
𝑑
𝑐
𝑏
𝑓
𝜔
𝑎
Teorema 𝟑
Teorema 𝟒
Se cumple:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 + 𝒇 =180°
𝑥
𝐿1
𝐿2
Se cumple: 𝒙 = 90°
𝐿1
𝐿2
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 = 𝜔
Además:
Aplicación:
3𝑦
3𝑥
2𝑥
𝑥
𝐿1
𝐿2
4𝑥
2𝑦
4𝑦
6𝑦
▪ Aplicando el teorema 4:
Resolución:
𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 180°
∴ 𝒙 − 𝒚 = 6°
→ 10𝑥 =180°
→ 𝑥 = 18°
2𝑦 + 3𝑦 + 4𝑦 + 6𝑦 = 180°
→ 15𝑦 = 180°
→ 𝑦 = 12°
▪ De los resultados anteriores:
𝑥 − 𝑦 = 18° − 12°
Del gráfico, si 𝐿1 𝐿2, calcule 𝑥 − 𝑦.

17. 𝑎𝑛
𝑎3
𝑎2
𝑎1
𝑧
𝑦
𝑧
𝑤
𝑦
𝑥
Teorema 𝟓
Teorema 𝟔
𝐿1
Se cumple: 𝒙 + 𝒚 + 𝒘 + 𝒛 = 540°
𝑥
𝐿1
𝐿2
Se cumple: 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 360°
𝐿2
Ten en cuenta que, éstos dos últimos
teoremas se pueden generalizar.
𝐿1
𝐿2
(𝑛 − 1) segmentos
Se cumple: 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏 = 180°(𝑛 − 1)
Generalización:
Demostración del teorema 5
𝑧
𝑦
𝑥
𝐿1
𝐿2
𝐶
𝐴
𝐵
▪ Por 𝐵 trazamos una paralela a las rectas 𝐿1 y 𝐿2.
𝐿
180° − 𝑥
180° − 𝑧
▪ Por ángulos correspondientes: 𝑚∢𝐴𝐵𝐿 = 180° − 𝑥
▪ Análogamente: 𝑚∢𝐶𝐵𝐿 = 180° − 𝑧
▪ Finalmente en el ∢𝐴𝐵𝐶: 𝑦 = 180° − 𝑥 + 180° − z
∴ 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 360°

18. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e