1. Capitolul 3
Serii numerice
Stim ce înseamn˘ suma unei mul¸imi de numere, oricât de mare,
¸ a t
dar finit˘. Ne punem problema extinderii no¸iunii de sum˘ la o mul¸ime
a t a t
infinit˘ de numere.
a
Pe teoria seriilor se bazeaz˘ diverse metode numerice, de exemplu
a
construirea tabelelor de logaritmi, de func¸ii trigonometrice precum ¸i
t s
calculul unor constante ca e ¸i π.
s
Defini¸ia 3.1. Fie (an )n∈N∗ este un sir de numere reale. Perechea de
t ¸
¡ ¢ Xn
siruri (an )n∈N∗ , (sn )n∈N∗ unde sn = a1 + a2 + ... + an =
¸ ak se
k=1
nume¸te serie numeric˘ cu termenul general an .
s ¡ a ¢
Dac˘ (an )n∈N∗ , (sn )n∈N∗ este o serie numeric˘ cu termenul gen-
a a
eral an , atunci vom nota aceast˘ pereche prin
a
X
∞
a1 + a2 + ... + an + ... = an . (3.1)
n=1
Sirul (sn )n∈N∗ se nume¸te ¸irul sumelor par¸iale asociat ¸irului
¸ s s t s
(an )n∈N∗ .
Observa¸ia 3.1. Dat sirul (an )n∈N∗ avem
t ¸
s1 = a1 ,
s2 = a1 + a2 ,
s3 = a1 + a2 + a3 ,
...
sn = a1 + a2 + · · · + an
...
29

2. 30 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE
Se observ˘ c˘ reciproc, dându-se un sir (sn )n∈N∗ , putem forma o
a a ¸
X∞
serie an ale c˘ rei sume par¸iale s˘ fie termenii sirului (sn )n∈N∗ ,
a t a ¸
n=1
luând
a1 = s1 ,
a2 = s2 − s1 ,
a3 = s3 − s1 ,
...
an = sn − sn−1 ,
...
X
∞
În acest fel seria an este perfect determinat˘ de sirul sumelor
a ¸
n=1
X
∞
par¸iale (sn )n∈N∗ . De aceea studiul seriei
t an se reduce la studiul
n=1
sirului (sn )n∈N∗ .
¸
Defini¸ia 3.2. Spunem c˘ seria (3.1) este convergent˘ dac˘ sirul
t a a a ¸
sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ convergent. În acest caz s = lim sn se nu-
t
n→∞
X∞
me¸te suma seriei si se noteaz˘ s =
s ¸ a an .
n=1
Dac˘ sirul sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ nu are limit˘ sau are limit˘
a ¸ t a a
X
∞
infinit˘ spunem c˘ seria
a a an este divergent˘ .
a
n=1
Exerci¸iul 3.1. Fie an = q n−1 , n ∈ N∗ , q ∈ R, atunci seria corespun-
t
X∞ X
∞
z˘ toare
a an = q n−1 = 1 + q + q 2 + ... are o mare importan¸a t˘
n=1 n=1
în practic˘ si poart˘ numele de seria geometric˘ de ra¸ie q. Se-
a ¸ a a t
X∞
ria q n−1 este convergent˘ pentru |q| < 1 si este divergent˘ pentru
a ¸ a
n=1
|q| ≥ 1.
X
n
1 − qn
Rezolvare. Deoarece sn = q k−1 = , rezult˘ c˘
a a
k=1
1−q
1
lim sn = dac˘ |q| < 1,
a
n→∞ 1−q
deci spunem c˘ seria geometric˘ este convergent˘ pentru |q| < 1 ¸i
a a a s
divergent˘ pentru |q| ≥ 1.¨
a

3. 3.1. OPERATII CU SERII CONVERGENTE
¸ 31
P
∞ 1
Exerci¸iul 3.2. Seria
t este convergent˘ si are suma egal˘
a¸ a
n=1 n (n + 1)
cu 1.
Rezolvare. Seria are ¸irul sumelor par¸iale dat de termenul general
s t
P
n 1 P1 P 1
n n 1
sn = = − =1− .
k=1 k (k + 1) k=1 k k=1 k + 1 n+1
Deoarece lim sn = 1, rezult˘ c˘ seria dat˘ este convergent˘ ¸i
a a a a s
n→∞
P∞ 1
= 1.¨
n=1 n (n + 1)
1 P 1
∞
Exemplul 3.1. Consider˘ m sirul an =
a ¸ , deci seria este ,
n n=1 n
P1
n
numit˘ seria armonic˘ . Are sirul sumelor par¸iale sn =
a a ¸ t si
¸
k=1 k
1 1 1 1
deoarece s2n − sn = + + ... + > , rezult˘ c˘ (sn )n∈N∗
a a
n+1 n+2 2n 2
nu este sir Cauchy în R, deci nu este convergent. Ob¸inem c˘ seria
¸ t a
armonic˘ este divergent˘ .¨
a a
Seriei (3.1) i se poate ata¸a o serie cu termeni pozitivi ¸i anume
s s
seria
X
∞
|an | = |a1 | + |a2 | + ... + |an | + ... (3.2)
n=1
ob¸inut˘ prin înlocuirea fiec˘rui termen al seriei (3.1) prin modulul
t a a
s˘u. Dac˘ seria (3.2) este convergent˘, atunci seria (3.1) se nume¸te
a a a s
absolut convergent˘ .
a
3.1 Opera¸ii cu serii convergente
t
X
∞ X
∞
Propozi¸ia 3.1. Dac˘ seriile
t a an si
¸ bn sunt convergente si au
¸
n=1 n=1
suma a si b, atunci:
¸
X∞
1. Suma (an + bn ) este convergent˘ si are suma a + b,
a¸
n=1
X
∞ X
∞ X
∞
(an + bn ) = an + bn .
n=1 n=1 n=1

4. 32 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE
X
∞
2. Seria αan este convergent˘ , oricare ar fi α ∈ R, si are suma
a ¸
n=1
αa,
X
∞ X
∞
αan = α an .
n=1 n=1
X
∞
3. În particular, seria (−an ) este convergent˘ si are suma −a,
a¸
n=1
X
∞ X
∞
(−an ) = − an .
n=1 n=1
3.2 Propriet˘¸i generale ale seriilor
at
Propozi¸ia 3.2. Dac˘ se schimb˘ ordinea unui num˘ r finit de tremeni
t a a a
ai seriei se ob¸ine o nou˘ serie care are aceea¸i natur˘ cu seria ini¸ial˘ .
t a s a t a
În caz de convergen¸a, suma seriei ob¸inute coincide cu suma seriei
t˘ t
ini¸iale. Dac˘ se schimb˘ ordinea unui num˘ r infinit de termeni afir-
t a a a
ma¸ia precedent˘ nu este, în general, valabil˘ .
t a a
Propozi¸ia 3.3. Dac˘ ad˘ ug˘ m sau suprim˘ m un num˘ r finit de ter-
t a a a a a
meni ai unei serii date, atunci seria dat˘ area aceea¸i natur˘ cu seria
a s a
ini¸ial˘ . În caz de convergen¸a, suma seriei ob¸inute coincide cu suma
t a t˘ t
seriei date la care se adun˘ sau se scade suma termenilor ad˘ uga¸i
a a t
sau suprima¸i. t
X
∞
Propozi¸ia 3.4. Fie
t an o serie, (sn )n∈N∗ sirul sumelor par¸iale.
¸ t
n=1
Aranj˘ m to¸i termenii seriei în grupe, fiecare grup˘ fiind format˘
a t a a
dintr-un num˘ r finit de termeni consecutivi. Efectu˘ m în fiecare grup˘
a a a
X∞
suma termenilor. Consider˘ m seria
a bn a acestor sume. Dac˘ a
n=1
not˘ m cu (σ n )n∈N∗ sumele par¸iale ale acestei serii, atunci sirul (σ n )n∈N∗
a t ¸
este sub¸ir al sirului (sn )n∈N∗ . Deducem de aici:
s ¸
X∞ X∞
1. Dac˘ seria
a an este convergent˘ , seria
a bn este convergent˘ a
n=1 n=1
si are aceea¸i sum˘ .
¸ s a

5. ¸˘
3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 33
X
∞
2. Dac˘ seria
a an este divergent˘ dar are suma ∞ sau −∞,
a
n=1
X
∞
atunci seria bn este divergent˘ si are, respectiv, tot suma ∞ sau
a ¸
n=1
−∞.
X
∞
3. Dac˘ seria
a an este divergent˘ dar nu are sum˘ , s-ar putea
a a
n=1
X
∞
ca seria bn s˘ fie convergent˘ .
a a
n=1
X
∞
Exemplul 3.2. Fie seria an = 1 − 1 + 1 − 1 + .... S˘ consider˘ m
a a
n=1
X
∞
seria bn = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + .... Aceast˘ serie
a
n=1
convergent˘ si are suma 0.
a¸
3.3 Criterii de convergen¸a pentru serii
t˘
Studiul unei serii comport˘, ca ¸i pentru ¸iruri, dou˘ probleme:
a s s a
1. Studiul convergen¸ei.
t
2. În cazul în care seria este converge, aflarea sumei seriei.
De cele mai multe ori ne mul¸umim numai cu rezolvarea primei
t
probleme, deoarece problema a doua este greu sau imposibil de rezol-
vat, în majoritatea exemplelor concrete. O dat˘ stabilit faptul c˘ o
a a
serie este convergent˘, adunând un num˘r destul de mare de termeni
a a
ai s˘i ob¸inem un num˘r oricât de apropiat de suma seriei, num˘r care
a t a a
aproximeaz˘ suma seriei cu o eroare oricât de mic˘.
a a
În cele ce urmeaz˘ vor fi date criterii suficiente (cu excep¸ia cri-
a t
teriului general al lui Cauchy, care este necesar ¸i suficient) pentru
s
stabilirea convergen¸ei sau divergen¸ei seriilor.
t t
Teorema 3.1. (Criteriul general al lui Cauchy pentru serii)
X
∞
Seria an este convergent˘ dac˘ si numai dac˘ pentru orice ε > 0
a a¸ a
n=1
exist˘ un nε ∈ N∗ astfel încît pentru orice n ≥ nε si pentru pentru
a ¸

6. 34 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE
orice p ∈ N∗ are loc rela¸ia
t
¯ n+p ¯
¯ X ¯
¯ ¯
¯ ak ¯ < ε.
¯ ¯
k=n+1
Demonstra¸ie. Aplic˘m ¸irului sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ criteriul
t a s t
general al lui Cauchy de la ¸iruri, teorema 2.7. Rezult˘ c˘ ∀ε > 0
s a a
exist˘ un nε ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ are loc
a ∗
s
n+p
X
inegalitatea |sn+p − sn | < ε. G˘sim c˘ sn+p − sn =
a a ak din care
k=n+1
rezult˘ enun¸ul de mai sus.¥
a t
Observa¸ia 3.2. Pentru p = 1 rezult˘ |an+1 | < ε pentru orice n ≥ nε ,
t a
dac˘ seria este convergent˘ . Ob¸inem urm˘ torul rezultat:
a a t a
Teorema 3.2. O condi¸ie necesar˘ ca seria (3.1) s˘ fie convergent˘
t a a a
este ca sirul format cu termenii seriei s˘ fie convergent c˘ tre zero.
¸ a a
X∞
Dac˘ an nu converge la zero, seria
a an este divergent˘ .
a
n=1
P
∞ 1
Exemplul 3.3. Seria armonic˘
a este divergent˘ , de¸i sirul ter-
a s ¸
n=1 n
1
menilor s˘ i an =
a este convergent c˘ tre zero.¨
a
n
P
∞ 1
Exemplul 3.4. Seria este convergent˘ si sirul terme-
a ¸ ¸
n=1 n (n + 1)
1
nilor s˘ i an =
a este convergent c˘ tre zero.¨
a
n (n + 1)
½
P∞
n 1 dac˘ n este par
a
Exemplul 3.5. Seria (−1) are an = .
n=1 −1 dac˘ n este impar
a
Observ˘ m c˘ an 9 0, deci seria este divergent˘ . Într-adev˘ r sirul
a a a a ¸
sumelor par¸iale este
½t
0 dac˘ n par
a
sn = si acesta este un sir divergent.¨
¸ ¸
−1 dac˘ n este impar
a
Teorema 3.3. Orice serie absolut convergent˘ este convergent˘ .
a a
Demonstra¸ie. Deoarece seria (3.1) este absolut convergent˘ rezult˘
t a a
c˘ seria (3.2) este convergent˘ ¸i aplicând criteriul general de conver-
a as
gen¸a a lui Cauchy pentru serii, teorema 3.2, rezult˘ c˘ pentru orice
t˘ a a
ε > 0 exist˘ un nε ∈ N∗ astfel încît are loc rela¸ia
a t

7. ¸˘
3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 35
¯ n+p ¯
¯ X ¯ n+p
X
¯ ¯
¯ |an |¯ = |an | < ε pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ ,
s
¯ ¯
k=n+1 k=n+1 ¯ n+p ¯
¯ X ¯ n+p
X
¯ ¯
deci pentru seria (3.1) avem |sn+p − sn | = ¯ an ¯ ≤ |an | < ε
¯ ¯
k=n+1 k=n+1
pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ , deci seria 3.1) este convergent˘.¥
s a
Reciproca acestei teoreme nu este adev˘rat˘ în general.
a a
3.3.1 Criterii de convergen¸a pentru serii cu ter-
t˘
meni pozitivi
X
∞
Defini¸ia 3.3. O serie de numere reale
t an se nume¸te serie cu
s
n=1
termeni pozitivi dac˘ exist˘ un rang începând de la care to¸i termenii
a a t
∗
seriei sunt strict pozitivi, adic˘ ∃n1 ∈ N astfel încât ∀n ≥ n1 : an ≥ 0.
a
Observa¸ia 3.3. Deoarece obiectul studiului la seriile cu termeni po-
t
zitivi îl constituie natura acestora si deoarece dac˘ suprim˘ m un num˘ r
¸ a a a
finit de termeni ai unei serii natura ei nu se modific˘ (numai suma se
a
modific˘ , în caz de convergen¸a), vom considera numai serii în care
a t˘
to¸i termenii sunt pozitivi.
t
Observa¸ia 3.4. Criteriile pe care le vom enun¸a pentru serii cu ter-
t t
meni pozitivi constituie criterii de absolut convergen¸a pentru serii cu
t˘
termeni oarecare.
Teorema 3.4. (Criteriul monotoniei)O serie cu termeni pozitivi
este convergent˘ dac˘ si numai dac˘ sirul sumelor par¸iale este m˘ rgi-
a a¸ a¸ t a
nit.
Demonstra¸ie. Consider˘m seria (3.1) cu an ≥ 0, deci ¸irul sumelor
t a s
par¸iale este cresc˘tor: sn+1 = sn + an+1 , deci sn+1 ≥ sn ¸i aplic˘m
t a s a
teorema de convergen¸a a ¸irurilor monotone.¥
t˘ s
Observa¸ia 3.5. Dac˘ sirul sumelor par¸iale asociat unei serii cu
t a ¸ t
termeni pozitivi este nem˘ rginit, atunci seria este divergent˘ .
a a
X
∞
Teorema 3.5. (Criteriul compara¸iei) Consider˘ m seriile
t a an
n=1
X
∞
si
¸ bn cu 0 ≤ an ≤ bn ∀n ∈ N∗ .
n=1

8. 36 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE
X
∞ X
∞
a) Dac˘ seria
a bn este convergent˘ , atunci
a an este conver-
n=1 n=1
gent˘ .
a
X
∞ X
∞
b) Dac˘ seria
a an este divergent˘ , atunci
a bn este divergent˘ .
a
n=1 n=1
Demonstra¸ie. a) Fie (sn ) ¸i (tn ) ¸irul sumelor par¸iale ale seriilor
t s s t
X
∞ X
∞
an , respectiv bn . Deoarece an ≤ bn rezult˘ c˘
a a
n=1 n=1
sn = a1 + a2 + ... + an ≤ b1 + b2 + ... + bn = tn , ∀n ∈ N∗ .
X∞
def
Conform ipotezei seria bn este convergent˘ → (tn )n∈N∗ conver-
a
n=1
X
∞
gent ⇔ (tn )n∈N∗ este m˘rginit ⇒ (sn )n∈N∗ este m˘rginit ¸i cum
a a s an
n=1
X
∞
este o serie cu termeni pozitivi, rezult˘, conform teoremei 3.4, c˘
a a an
n=1
este convergent˘.
a
X
∞
b) Dac˘ seria
a bn ar fi convergent˘, conform punctului a) ar
a
n=1
X
∞
rezulta c˘
a an este convergent˘, ceea ce este imposibil.¥
a
n=1
X
∞
1
Exemplul 3.6. Seria √ este convergent˘ deoarece
a
n=1
2n n + 1
1 1
√ < n , ∀n ≥ 1,
2n n+1 2
X 1
∞
iar seria este convergent˘ (este seria geometric˘ cu ra¸ia q =
a a t
n=1
2n
1
2
< 1 Exerci¸iul 3.1).¨
t
X
∞
1
Exemplul 3.7. Seria √ este divergent˘ deoarece
a
n=1
n+1
1 1
<√ , ∀n ≥ 1,
n n+1
X1
∞
iar seria este divergent˘ (Exemplul 3.1 ).¨
a
n=1
n

9. ¸˘
3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 37
X
∞ X
∞
Teorema 3.6. Consider˘ m seriile
a an si
¸ bn cu termeni pozitivi
n=1 n=1
an
si presupunem c˘ exist˘ lim
¸ a a = l.
n→∞ bn
X
∞ X
∞
1. Dac˘ l = 0 si seria
a ¸ bn este convergent˘ , atunci seria
a an
n=1 n=1
este convergent˘ .
a
X
∞ X
∞
2. Dac˘ l = ∞ si seria
a ¸ bn este divergent˘ , atunci seria
a an
n=1 n=1
este divergent˘ .
a
3. Dac˘ 0 < l < ∞ atunci cele dou˘ serii au aceea¸i natur˘ .
a a s a
X
∞
1
Exemplul 3.8. 1. Seria sin este convergent˘ deoarece
a
n=1
n2
1
sin 2 X∞
1
lim n = 1, iar seria este convergent˘ (Exer-
a
n→∞ 1 n(n + 1)
n=1
n(n + 1)
ci¸iul 3.2).
t
1
X∞ √
1 n+1
2. Seria √ este divergent˘ deoarece lim
a =∞
n+1 n→∞ 1
n=1
n
X1
∞
iar seria este divergent˘ .
a
n=1
n
1
X 1
∞
3. Seria este convergent˘ deoarece lim n! = 0 si seria
a ¸
n! n→∞ 1
n=1
n2
X 1
∞
este convergent˘ .¨
a
n=1
n2
X
∞
1
Exerci¸iul 3.3. S˘ se studieze natura seriei
t a √ .
n=2
nnn
1 1 √
Rezolvare. Fie an = √ ¸i bn = . Deoarece lim n n = 1, Ex-
s
n n
n
n n→∞
an X1
∞
erci¸iul 2.3, rezult˘ lim
t a = 1. Cum seria este divergent˘,
a
n→∞ bn n
n=2

10. 38 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE
X
∞
1
rezult˘ c˘ ¸i seria
a as √ este divergent˘.¨
a
n=2
nnn
Teorema 3.7. (Criteriul de condensare a lui Cauchy) Dac˘ a
X∞
an este o serie cu termeni pozitivi pentru care sirul termenilor
¸
n=1
X
∞
(an )n∈N∗ este monoton descresc˘ tor, atunci seria
a an are aceea¸i
s
n=1
X
∞
natur˘ cu seria
a 2n a2n .
n=1
Demonstra¸ie. Fie k ∈ N∗ cu proprietatea 2k−1 ≤ n < 2k . Folosim
t
faptul c˘ am ales n < 2k . Deoarece (an ) este un ¸ir de numere pozitive
a s
monoton descresc˘tor, avem:
a
sn = a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + (a2 + a3 ) + ... + (a2k−1 + ... + a2k ) ≤
≤ a1 + 2a2 + ... + 2k−1 a2k−1 ≤ a1 + σ 2k−1 ,
P k
n
unde am notat σ 2n = 2 a2k .
k=1
P
∞
Dac˘ seria
a 2k a2k este convergent˘ ¸irul (σ 2n ) este convergent,
as
k=1
deci ¸i m˘rginit ¸i deoarece 0 ≤ sn ≤ a1 + σ 2k−1 rezult˘ ¸irul (sn ) ¸i
s a s as s
X
∞
deoarece este monoton cresc˘tor rezult˘ c˘ ¸i seria
a a as an este conver-
n=1
gent˘.
a
X
∞
Presupunem c˘ seria
a an este convergent˘. Dar n ≥ 2k−1 , deci
a
n=1
vom avea
sn = a1 +a2 +...+an ≥ (a1 + a2 )+(a3 + a4 )+...+(a2k−2 +1 + ... + a2k−1 ) ≥
≥ a2 + 2a4 + ... + 2k−2 a2k−1 ≥ 1 σ 2k−1 .
2
X
∞
P k
∞
Dac˘ seria
a an este este convergent˘, rezult˘ c˘ seria
a a a 2 a2k
n=1 k=1
este convergent˘.¥
a
X 1
∞
Exerci¸iul 3.4. (Seria armonic˘ generalizat˘ ) Seria
t a a , nu-
n=1
nα
mit˘ si serie Riemann sau seria armonic˘ generalizat˘ , este conver-
a ¸ a a
gent˘ pentru α > 1 si divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1.
a ¸ a

11. ¸˘
3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 39
X 1
∞
Rezolvare. Aplic˘m criteriul condens˘rii seriei
a a , α > 0. Pentru
n=1
nα
α > 0, termenii seriei descresc ¸i se poate aplica criteriul de condensare
s
X 1
∞
a lui Cauchy. Rezult˘ c˘ seria
a a are aceea¸i natur˘ cu seria
s a
n=1
nα
X∞
1 X µ 1 ¶n
∞ X µ 1 ¶n
∞
n
2 nα = . Seria este o serie geo-
n=1
2 n=1
2α−1 n=1
2α−1
1
metric˘ cu ra¸ia α−1 , care este seria geometric˘ convergent˘ dac˘ ¸i
a t a a as
2
1
numai dac˘ α−1 < 1 ⇔ α > 1.
a
2
1
Dac˘ α ≥ 1, atunci α−1 ≥ 1 ¸i seria geometric˘ este divergent˘.
a s a a
2
În particular, pentru α = 1 ob¸inem o nou˘ demonstra¸ie a faptului
t a t
X1∞
c˘ seria armonic˘
a a este divergent˘.H
a
n=1
n
X
∞
1
Exerci¸iul 3.5. Seria
t , a > 1 este convergent˘ pentru
a
n=2
n (loga n)α
α > 1 si divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1.
¸ a
Rezolvare. Conform criteriului condens˘rii aceast˘ serie are aceea¸i
a a s
X∞
1 X ∞
1 1 X 1
∞
natur˘ cu seria
a 2n n n )α
= α =
n=2
2 (loga 2 n=2
(n loga 2) (loga 2)α n=2 nα
care este convergent˘ pentru α > 1 ¸i divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1.H
a s a
Teorema 3.8. (forma practic˘ a criteriului raportului a lui -
a
X
∞
D’Alembert) Fie seria an cu termeni pozitivi si presupunem c˘
¸ a
n=1
an+1
exist˘ lim
a = l. Atunci:
n→∞ an
X
∞
a) dac˘ l < 1, seria
a an este convergent˘ ;
a
n=1
X
∞
b) dac˘ l > 1, seria
a an este divergent˘ .
a
n=1
c) dac˘ l = 1 nu se poate preciza natura seriei.
a
X an
∞
Exerci¸iul 3.6. S˘ se studieze natura seriei
t a , a > 0.
n=1
n!

12. 40 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE
an bn+1 a
Rezolvare. Fie bn = . Deoarece lim = lim = 0 < 1,
n! n→∞ bn n→∞ n + 1
seria este convergent˘.
a
Exemplul 3.9. Observ˘ m din urm˘ toarele dou˘ exemple c˘ în cazul
a a a a
l = 1 nu se poate preciza natura seriei.
1 an+1 n X1
∞
Dac˘ an = ,
a = → 1 si seria corespunz˘ toare
¸ a
n an n+1 n=1
n
este divergent˘ , exemplul 3.1.
a
X∞
1 an+1 n
În cazul seriei , = → 1 si seria este con-
¸
n=1
n(n + 1) an n+2
vergent˘ , exemplul 3.2.¨
a
Teorema 3.9. (Forma practic˘ a criteriului r˘ d˘ cinii) Fie seria
a a a
X∞
√
an , ∀n ∈ N∗ , serie cu termeni pozitivi si lim n an = l. Atunci:
¸
n→∞
n=1
X
∞
a) dac˘ l < 1, seria
a an este convergent˘ ;
a
n=1
X
∞
b) dac˘ l > 1, seria
a an este divergent˘ ;
a
n=1
c) dac˘ l = 1 nu se poate preciza natura seriei.
a
X
∞
n2
Exerci¸iul 3.7. S˘ se studieze natura seriei
t a ¡ ¢ .
1 n
n=1
3+ n
√
n
Rezolvare. Deoarece lim n2 = 1 rezult˘ a
s n→∞
√n
n2 n2 1
lim n ¡ 1
¢n = lim 1 = < 1, deci seria este convergent˘.
a
n→∞ 3+ n n→∞ 3 +
n
3
Exemplul 3.10. Observ˘ m din urm˘ toarele dou˘ exemple c˘ în cazul
a a a a
l = 1 nu se poate preciza natura seriei.
1 p 1 X1
∞
Dac˘ an = ,
a n
|an | = √ → 1 si seria corespunz˘ toare
¸ a
n n
n n=1
n
este divergent˘ , exemplul 3.1.
a
X∞
1 p 1
În cazul seriei , n |an | = p → 1 si seria
¸
n=1
n(n + 1) n
n(n + 1)
este convergent˘ , exemplul 3.2.¨
a

13. ¸˘
3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 41
X∞
Teorema 3.10. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria an , an 6=
µ ¶ n=1
an
0, ∀n ∈ N∗ , serie cu termeni pozitivi si lim n
¸ − 1 = r. Atunci
n→∞ an+1
a) dac˘ r > 1, seria este convergent˘ ;
a a
b) dac˘ r < 1, seria este divergent˘ ;
a a
c) dac˘ r = 1 nu se poate preciza natura seriei.
a
X
∞
1 an+1 n
Exemplul 3.11. În cazul seriei , = → 1,
n=1
n(n + 1) an n+2
aplic˘ m criteriul Raabe-Duhamel:
a µ ¶ µ ¶
an n+2
lim n − 1 = lim n − 1 = 2 si reg˘ sim rezultatul
¸ a
n→∞ an+1 n→∞ n
stiut c˘ seria este convergent˘ .¨
¸ a a
X 1
∞
Exemplul 3.12. Seriei nici criteriul raportului si nici criteriul
¸
n=1
n2
r˘ d˘ cinii nu ne dau informa¸ii µ
a a t asupra convergen¸ei seriei. Aplic˘ m
¶ t µ a¶
an (n + 1)2
criteriul Raabe-Duhamel: lim n − 1 = lim n −1 =
n→∞ an+1 n→∞ n2
2 si deci seria este convergent˘ .¨
¸ a
X
∞
Exerci¸iul 3.8. Fie seria
t aln n , a > 0. S˘ se studieze natura seriei.
a
n=1
an+1
Rezolvare. Not˘m an = aln n ¸i aplic˘m criteriul raportului
a s a =
an
aln(n+1) n+1 an+1 n+1
ln n
= aln(n+1)−ln n = aln n , lim = lim aln n = 1 deci nu
a n→∞ an n→∞
putem determina natura seriei.
Aplic˘m criteriul ¶
aµ Raabe-Duhamel.
an ³ n
´ n
aln n+1 − 1
ln n+1 n
lim n − 1 = lim n a − 1 = lim n n ln n+1 =
n→∞ an+1 n→∞ n→∞ ln n+1
n
aln n+1 − 1 ¡ n ¢n
lim n ln n+1 = − ln a
n→∞ ln n+1
X∞
−1
Dac˘ ln a < 1 ⇒ a < e seria
a aln n este convergent˘.
a
n=1
X
∞
Dac˘ ln a > 1 ⇒ a > e−1 seria
a aln n este divergent˘.
a
n=1

14. 42 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE
1 X1
∞
Pentru a = e−1 avem an = ¸i seria
s este divergent˘.
a
n n=1
n