COURS

1. PERTES DE CHARGE
II. Pertes de charge linéaires ............................................................................................... 2
I.1. Définition............................................................................................................ 2
II.2. Calcul des pertes de charge linéaires............................................................... 3
a- Conduite de section circulaire ................................................................. 3
b. Coefficient de perte de charge linéaire .................................................... 4
II.3. Détermination du coefficient des pertes de charge linéaires.......................... 4
a. Influence de rugosité : Expérience de NIKURADSE ............................. 4
III. Pertes de charges singulières ........................................................................................ 6
II.1. Notion de perte de charge singulière............................................................... 6
III.2. Etude de quelques cas..................................................................................... 6
a. Elargissement brusque :........................................................................... 6
b- Rétrécissement brusque............................................................................ 8
c- Convergent................................................................................................ 8
d- Divergent................................................................................................... 9
e- Diaphragme : ............................................................................................ 9
f- Changement de direction :........................................................................ 9
IV. Charge et pertes de charge dans un circuit : ................................................................ 11

2. 2
I. Notion de perte de charge
Les équations régissant le mouvement d'un fluide incompressible en régime permanent
sont celles de Navier-Stokes dont celles de la quantité de mouvement peuvent être écrites suos
la forme suivante :
( ) ( ) Vp
1
ghVV
2
V2 rrrvrrr
∆
ρ
µ
+∇
ρ
−∇−=∧∧∇+





∇
ou encore :
( ) VVV
p
gh
2
V2 vrrrr
∧∧∇−∆
ρ
µ
=





ρ
++∇
On pose H
V
gh p= + +ρ ρ
2
2
que l'on appelle charge de l'écoulement. Elle représente
l'énergie transportée par le fluide par unité de volume. Notons qu'elle a la dimension d'une
pression.
Remarque : On peut aussi poser H h
V
g
h
p
g
(ou ) = + +
2
2 ρ
qui est appelée hauteur de charge;
on a alors :
( ) ( ) VVVH
vrrrr
∧∧∇ρ−∆µ=∇
En projetant sur une ligne de courant, sachant que le terme ( ) VV
vrr
∧∧∇ est normal à V
r
et
donc au vecteur tangent à la ligne de courant et à V
rr
∧∇ , nous avons :
∂
∂
µ
H
s
V
ds
ds
= ∆
r r
r.
Ainsi, sur une ligne de courant
dH V ds= µ∆
r r
.
Or nous savons que pour un fluide idéal dH = 0 (la charge se conserve le long d'une ligne de
courant); ici, la charge ne se conserve pas, et ce à cause de la dissipation par viscosité, nous
dirons alors qu'il y a perte de charge.
En général, on s'intéresse aux pertes de charge globales dans un écoulement et nous
distinguons entre deux types de pertes de charge :
- pertes de charge linéaires : celles qui se produisent dans une conduite rectiligne.
- pertes de charge singulières : celles qui sont dues à la présence d'une singularité dans
une conduite (vanne, étranglement, coude,...etc.)
II. Pertes de charge linéaires
I.1. Définition
La perte de charge entre deux sections S1 et S2 d'un tube de courant (en général
matérialisé par la conduite même) est, par définition, le quotient de la puissance dissipée en
chaleur par le débit moyen en poids :

3. 3
H H
P
gqv
1 2− =
µ
ρ
H désigne, ici, la hauteur de charge H
V
g
p
g
z= + +
2
2 ρ
. Cette définition peut être donnée aussi
en utilisant la pression totale p p
V
gzt = + +ρ ρ.
2
2
, la perte de charge se définit alors par :
p p
P
q
t t
v
1 2− =
µ
II.2. Calcul des pertes de charge linéaires
Considérons une conduite cylindrique, de section circulaire, longue et siège de l'écoulement
permanent en moyenne et établi d'un fluide incompressible (ou faiblement compressible). La
charge de l'écoulement est donnée par :
H p
V
gz= + +ρ ρ.
2
2
Or
dV
ds
= 0 ( vitesse débitante = constante, car la section et constante ), d'où :
dH
ds
d
ds
p gz
dp
ds
= + =
∗
( )ρ
s : abscisse curviligne le long de la conduite ( ici confondue avec x, abscisse sur l'axe )
et nous avons vu précédemment que cette quantité reste constante. On a donc :
H H
L
cons te1 2
12
−
= tan
L12 = longueur entre les sections (S1) et (S2) où les charges sont respectivement H1 et H2.
On utilise alors la quantité j
H H
gL
=
−1 2
ρ
que l'on appelle perte de charge unitaire (par unité
de longueur)
a- Conduite de section circulaire
On définit le coefficient de perte de charge unitaire par : λ
ρ
=
∆H
L
D
V
.
/2
2
, ou encore :






ρ
∆
=ρ
ρ
=λ
gL
H
jg.
2/V
D
.j 2
D étant le diamètre hydraulique de la conduite défini par : D
S
=
4
χ
avec S : section de passage et χ : périmètre mouillé.
On a alors pour expression de la perte de charge unitaire : j
D
V
g
=
λ
.
2
2

4. 4
L'expression de la perte de charge sur une longueur L est alors donnée par :
∆H
L
D
V
g
= λ. .
2
2
Remarque :
Pour une conduite cylindrique de section constante la perte de charge exprime une
chute de pression motrice; et si la conduite est horizontale, elle exprime tout simplement une
chute de pression statique, V étant constante (débit constant).
b. Coefficient de perte de charge linéaire
L'analyse dimensionnelle montre que le coefficient des pertes de charge linéaires est
fonction uniquement du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la paroi :
λ
ε
= f
D
( Re, ). Nous allons exposer ci-dessus les différentes formules les plus souvents
utilisées pour le calcul de ce coefficient.
II.3. Détermination du coefficient des pertes de charge linéaires
a. Influence de rugosité : Expérience de NIKURADSE
L'expérience montre que le coefficient des pertes de charge linéaire dépend du nombre de
Reynolds et de la rugosité de la conduite. Quand on trace log(λ) en fonction de log (Re), on
distingue plusieurs zones comme l'indique la figure ci-dessous.
ε : hauteur moyenne des aspérités de la paroi.
Pour une valeur donnée du paramètre ε D; on peut donner plusieurs expressions permettant le
calcul du coefficient de perte de charge λ, suivant le régime d'écoulement. Les formules
habituellement utilisées sont données ci-après.

5. 5
a-1 : régime laminaire : région I.
En régime laminaire λ est indépendant de la rugosité, il est donné par la relation
suivante :
λ =
64
Re
Droite de Hagen-Poiseuille
Il est à remarque que c'est un résultat que l'on peut déterminer analytiquement par
l'étude de l'écoulement de Poiseuille.
La région II est une zone de transition que l'on ne peut explorer avec précision.
a-2. Régime turbulent
En régime turbulent on distingue principalement deux régimes : le régime turbulent
lisse et régime turbulent rugueux.
* Régime turbulent lisse(région III)
La limite inférieure correspond à Re = Rec, la limite supérieure dépend de la rugosité
de la paroi; pour ce régime, λ peut être calculé par la formule suivante dite de Blasius :
( ) 4
1
4
1
Re100
Re
316.0 −
==λ
Si le nombre de Reynolds est Re > 105, on remarque que λexp > λBlasius , on utilise alors la
formule de Prandtl-Nikuradse :
( ) 8.0.Relog2
1
−λ=
λ
Remarquons que dans cette dernière formule le calcul du coefficient des pertes de charges
n'est pas direct, il nécessite un processus itératif pour lequel on utiliserait par exemple pour
valeur initiale celle déterminée à l'aide de la formule de Blasius.
* Régime turbulent rugueux (région IV)
C'est le cas ou la rugosité influence la valeur du coefficient des pertes de charege λ,
que l'on peut calculer, dans la région IV par la relation :
1
2 1 14
λ ε
= +log .
D
Et enfin, il existe une relation applicable au régime turbulent, qu'il soit lisse ou rugueux :





 ε
+
λ
−=
λ D71.3.Re
51.2
log2
1
Formule de COLEBROOKE-WHITE
Le calcul direct de à partir de cette formule n'étant pas possible, on utilise alors le
diagramme de Colebrooke donné par la figure 1 donné en annexe.

6. 6
c. Conduite de section non circulaire
Dans le cas d'écoulement laminaire on a λ =
B
Re
, où B est un coefficient qui dépend
de la forme de la section de la conduite que l'on détermine par des abaques.
Pour le régime turbulent lisse on a λ =
C
Re /1 4
, et pour le régime turbulent rugueux on
peut utiliser la formule de colebrooke-White qui donne des résultats satisfaisantes.
Il est à noter que le nombre de Reynolds est calculé en se basant sur le diamètre hydraulique.
III. Pertes de charges singulières
II.1. Notion de perte de charge singulière
Les pertes de charges singulières sont celles qui se produisent soit à l'entrée d'une
conduite, soit à cause de la présence d'une singularité (discontinuité) telles que les vannes,
coudes, rétrécissement ou élargissement de la conduite ...etc.
Dans ce cas on définit le coefficient de perte de charge singulières ζ par :
∆H
V
g
= ζ.
2
2
ζ est fonction du type de la singularité et du nombre de Reynolds, mais pour les nombres de
Reynolds élevés, il est seulement fonction du type de singularité.
Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples de formules de calcul des pertes de
charge singulières. Elles sont données à titre indicatif et ne se veulent nullement universelles.
III.2. Etude de quelques cas
a. Elargissement brusque :
On suppose V uniforme dans les sections (S1) et (S2), ce qui est acceptable si l'on considère la
vitesse moyenne.








+
ρ
+−







+
ρ
+=∆ 2
2
2
2
1
1
2
1
z
g
p
g2
V
z
g
p
g2
V
H
et l'on prend, pour simplifier : z1=z2
A B
C D
EF
GH
S1
S2
1V
r
2V
r

7. 7
Appliquons le théorème des quantités de mouvements au fluide contenu entre les
sections (S1) et (S2) (volume de contrôle ABCDEFGH)
Forces appliquées :
* sur S1 : p S i1 1 .
r
* sur S2 : − p S i2 2 .
r
* sur BC et GF : ( )i.SSp 121
r
−
d'où :
( ) ( )12v1212211 VVq.SSpSpSp −ρ=−+−
( )1222221 VVSV.S)pp( −ρ=−
ce qui donne l'expression de la diminution de la pression entre les deux sections considérées :
( )12221 VVV.pp −ρ=−
et finalement :
( )
g
VVV
g
pp 12221 −
=
ρ
−
et en reportant dans l'expression ( I ) de ∆H ci-dessus, on a :






−
+−
−
+
−
=∆
2
2112
122
2
2
2
1
V
2
VV
.
g
VV
=
g
)VV(V
g2
VV
H
d'où finalement :
∆H
V V
g
=
−( )1 2
2
2
2
2
1
2
1
S
S
1.
g2
V
H 





−=∆
d'où on tire l'expression du coefficient des pertes de charge théorique :
2
2
1
1 





−=
S
S
thζ
Le coefficient de pertes de charges effectif se rapproche de sa valeur théorique si Re
est grand et si
S
S
2
1
se rapproche de l'unité.

8. 8
b- Rétrécissement brusque
De la même manière que précédemment, et considérant les section σ et S2, on établit que la
perte de charge est donnée par :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
S
.
g2
V
1
V
V
.
g2
V
g2
)VV(
H 





−
σ
=





−=
−
=∆
soit donc :
22
2
11.
2






−=∆
cCg
V
H , avec
2S
Cc
σ=
Où Cc représente le coefficient de contraction au passage de la section σ. Le
coefficient des pertes de charge est donc :
2
11 





−=
cC
ζ et ∆H
V
g
= ζ 2
2
2
Dans la pratique, le coefficient des pertes de charge singulières est donné par une
exprssion de la forme :
2
1
C
1






−=ζ
C étant un coefficient qui se rapproche de Cc pour les grands nombres de Reynolds. Il peut
être calculé, pour le cas d'un raccordement à angle droit et à grands nombre de Reynolds, par
la relation empirique suivante :
3
1
2
S
S
37.063.0C 





+=
c- Convergent
Les pertes de charge dans un convergent sont faibles à condition que la diminution de la
section soit progressive. On peut calculer le coefficient des pertes de charge singulières ζ ,
dans le cas d'un convergent du type donné ci-dessus par :
α





−
µ
=ζ sin1
1
2
α
S2
S1
σ

9. 9
d- Divergent
α1 2
On a dans ce cas :
∆H
V
g
= ζ 1
2
2
avec ζ α= f
S
S
( , ,Re )1
2
e- Diaphragme :
On définit le nombre de Reynolds par :
Re =
Vd
ν
d : diamètre du diaphragme
La perte de charge est alors donnée par :
22
2
1
C
1
g2
V
H 





−=∆
C
s
f
s
S
= =
σ
( ,Re, )
1
forme du biseau avec s : section du diaphragme.
f- Changement de direction :
α
R0
σ
S1 S2

10. 10
Le gradient de pression radial
∂
∂
ρ
p
r
V
R
*
=
2
provoque des écoulements secondaires
(écoulements dans la direction transversale ) qui sont à l'origine des pertes de charge. Pour les
grands nombre de Reynolds Le coefficient des pertes de charge peut être calculé à l'aide de la
formule de WEISBACH :
π
α














+=ζ
2
7
0R2
D
847.1131.0

11. 11
IV. Charge et pertes de charge dans un circuit :
Dans un circuit comprenant des conduites, des singularités et des machines
hydrauliques, au passage d'une section S1 à une section S2 la charge varie, elle diminue si,
entre S1 et S2.

12. 12
Dans le cas de pertes de charge, il n'est pas rigoureux de les les ajouter quand les singularités
sont rapprochéesvue que perturbation que cause chaque singularité à son aval.
Au passage dans une machine ou un organe qui écahnge de la puissance avec le fluide, la
charge varie. Elle augment dans le cas d'une machine motrice (pompe) ou diminue dans le cas
d'une machine réceptrice (turbine). On écrit :
P q Hv= ρ. .∆
P : Puissance fournie par la machine (∆H < 0) ou cédée à la machine (∆H > 0).
Diagramme de Moody (Formule de Colebrooke-White pour le cas tubulent)