SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 37
Baixar para ler offline
Funciones
por: Marta Bonacina
año: 2011
Definición de Función:
     Dados dos conjuntos, A y B; llamamos función de A en B , a
“una regla o ley que a cada elemento de A asigna un único elemento de B ”




                            REGLA ó LEY
          A                                                  B
             1                                       1   4   8
                                                     3   9    2 π
            2                                               5
                                    16                           2
            3                        49
                                                          16 π 2
            4                                            25
                                                         25    7. 2
Una forma “moderna” de representar funciones es con los llamados:
"DIAGRAMAS DE MAQUINA"


               x                MÁQUINA                        f (x)

          ( TECLADO)            ( CALCULADORA – PC )         (VISOR – PANTALLA)

   f   sería como una “procesadora” que :
        acepta x como “entrada”
        lo procesa según cierto “mecanismo” (la regla de f ),
        produce y = f (x) como “salida”.
 La máquina, procesa los x´s a partir de distintos “mecanismos” , los que se
                                                           2
 pueden representar por “ecuaciones”. Por ej, y = f (x )= x - 4x + 1. L ue go ,
  ♦ la x     se “visualiza” como un “hueco a llenar al interior de la máquina” ; y,

 ♦ la regla o ley de f:   como el “proceso” al que hay que someter a la x
   cuando se “rellena” con ella,       los huecos al interior de la máquina .


                -2         -2
                                 2
                                     - 4 .       + 1              13    f (- 2)
Definición de Función: Dados A y B; llamamos función de A en B , a
“una regla o ley que a cada elemento de A asigna un único elemento de B”.

En el ejemplo inicial, la función está presentada como una “máquina”.
¿Podremos “descubrir” la ecuación que gobierna el mecanismo de la misma?


                              REGLA ó LEY
           A                                                       B
             1                                             1   4   8
                                                           3   9    2 π
            2
            3                 [ 2 + 1]2
                                1   16
                                     9
                                     4                            5    2
                                                                16 π 2
            4                                                  25
                                                               25    7. 2

             La ecuación es:         y = ( x + 1)2
             Que “leemos” :     y = f ( x) con   f ( x) = ( x + 1)2
f  función de A en B

                f
A                               B
    x       Regla o Ley    y
de llegada
CONVENCION DE NOMBRES y SIMBOLOS:
                                                          de partida      A                  B
    f:A        B ; se lee :     f   aplica   A en B .                              f
                                                                              X           y
                                                                                          y= f(x)
    al   conjunto de partida (   A ), lo llamamos: DOMINIO
    al   conjunto de llegada ( B ), lo llamamos:    CODOMINIO
    a los elementos   del dominio o del codominio los llamamos:        VARIABLES.
     Las variables las representamos con letras minúsculas: x, y, z, t , u, ….

    si y   representa el valor obtenido de aplicar   “f”    a un   x    de   A entonces:

                    lo llamamos                                        Símbolo que usamos
                     → imagen de x por f
                                                                      para enfatizar la
      y                                                                función aplicada ( f ) y,
                                                                       la variable elegida (x).
                  lo indicamos
                      →        y   = f( x )
A                       B
                                   f
                         X
                                              y = f(x)




“ el valor de x   en el dominio ,
 se elige en forma arbitraria (entre los valores “posibles” para x ) ;
 el correspondiente valor de y en el codominio ,
 depende del valor de x previamente seleccionado ”
Existen otros conjuntos importantes asociados a función.

Uno de ellos: el conjunto “graf f ”. (gráfico de f )


           Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados
graf f     cuya 1er componente es un elemento x del dominio (A) y,
           su 2da componente, la imagen de x por f ; la indicamos:
f : A B
               graf f   = { (x ; y) / x ∈ A, y = f ( x ) }
               graf f   = { (x; f (x)) / x ∈ A }
Llamamos      graf f al conjunto de todos los pares ordenados cuya
 graf f       primer componente es un elemento x del dominio y, su
              segunda componente, la imagen de x por f ; lo indicamos:
f : A B
                           graf f = { (x; y) / x ∈A, y = f (x) }

Observación:
                                                          y                 C = graf f
Introducido un sistema de referencia
en el plano   (   π );   se verifica que:
      (x;y)                 P∈π
                                                    B
 Esta correspondencia permite                                               P
                                                         f(x)
 representar gráficamente al conj. graf f .
 eje horizontal ↔ Dominio (A) ↔ x
                                                                        x                x
   eje vertical ↔ Codominio (B) ↔ y = f (x)                                     A

  { P(x; y) / y = f (x); x ∈A } ↔ C: CURVA
  PLANA
t
                                                                   tt   (hs)    32
OBSERVACIONES y EJEMPLOS:                                  32
                                                            32

                                                             30
 ¿Cuándo estamosLEY una función ? :
                 ante                                                           28
                                                             28

     tcada vez que tengamos una V(ls.)
       (hs)                                                  26
                                                                                24
      magnitud que “dependa” de otra.                       24
                                                           24
      0             8. [ ....]     0                         22
                                                                                     V(ls)
                                                                                20
                     8 [ ....]
  Al abrir una canilla .para llenar un tanque,               20
      2                               4                      18
  el volumen de agua acumulado depende del tiempo.                             16
                     8. [ ....]       8                                         16
      8                                                      16
                                                            16
  el volumen de agua acumulado es función del tiempo .      14
                     8. [ ....]      16
     32                                                      12
                                                                                12
                                                                                         V(32)=
                                                                                         ∆V = 12 16 ls

  Si : V = volumen de agua en el tanque.
                   máquina
                                                             10

                                                            8
                                                            88
                                                                                8
                                                                                8
      t = los objetivos de la matemática es
 Uno detiempo transcurrido desde que                          6
                                                                                         V(8) = 8 ls
 hallar, se empieza a llenar elecuación” que
          si existe, una “ tanque.                            4                 4
                                                                                4
 muestre como “opera” la “máquina” (LEY)                                                 V(2) = 4 ls
                  V= f (t)                                   22
 sobre la “v.i.”, para obtener la “v.d.”
                                       −18   −12−18   −6   −12 0          −6
                                                                           6    12 0         18   6    24   1
                                                             −2

                                                             −4                −4

                                                             −6
t
                                                                        tt   (hs)    32
OBSERVACIONES y EJEMPLOS:                                       32
                                                                 32

                                                                  30
 ¿Cuándo estamos ante una función ? :                                               28
                                                                  28

        cada vez que tengamos una                                 26
                                                                                     24
        magnitud que “dependa” de otra.                          24
                                                                24
                                                                                          V(ls)
                                                                  22
                                                     24 hs.                          20
   Al abrir una canilla para llenar un tanque,                    20

                                                                  18
   el volumen de agua acumulado depende del tiempo.                                 16
                                                                                     16
                                                                  16
                                                                 16
  el   volumen de agua acumulado es función del tiempo .         14
                                                                                     12
                                                                  12                          V(32)=
                                                                                              ∆V = 12 16 ls
                                                                                              ΔV = 16 ls
  Si : V = volumen de agua en el tanque.                          10

                                                                 8
                                                                 88
                                                                                     8
                                                                                     8
        t = tiempo transcurrido desde que                          6
          se empieza a llenar el tanque.              6 hs.                                   ΔV = 4 ls
                                                                                              V(8) = 8 ls
                                                                   4                 4
                                                                                     4

                                                                                              V(2) = 4 ls
                    V= f (t)                           2 hs.
                                                                  2
                                                                  2


                                       −18       −12 −18   −6   −12 0          −6
                                                                                6     12 0        18 6        24   1
                                                                  −2

                                                                 −4                 −4

                                                                 −6
   Con el tiempo el concepto de función evoluciona;
    se usa tanto para representar relaciones de dependencia,
       del tipo causa-efecto, pertenecientes al mundo de lo concreto y real ;

     como   relaciones de dependencia relativas al mundo de lo abstracto o ideal.
Funciones inicio
Funciones inicio
EJEMPLO 3
  Las ecuaciones algebraicas con dos variables “abstractas” son ejemplos
  típicos de relaciones de dependencia en el mundo de lo abstracto o ideal.
  a)   y = x +1

 Por definición:                                                      y
      esta ecuación establece una relación entre dos variables abstractas.
          En ella, a cada valor de x corresponde un único valor de y.
 graf f   ↔ { P(x; y) / y = f(x); x∈D }
          Luego, considerando como dominio y codominio el conjunto R, la
 graf f   relación descripta = x + 1; ecuación, define función.
          ↔ { P(x; y) / y por esta x∈R }

La Geometría nos dice que:
   dominio       codominio

                                     }↔
       f : {R (x; y) / y = x +1; x∈R LEY RECTA
            P R
                                                                                       x
           x  y = x +1
 Luego, y finalmente, tenemos que: x +1
                y = f(x) con f(x) =
               graf f ↔      RECTA
                                                                          r = graf f
Funciones inicio
Funciones inicio
Funciones inicio
=       ≠
    =           =

    =           =

                    ≠
f   =   g   g           h
Ejemplo:
Analizar si “c” (costo) y “p” (perímetro) dadas a continuación son iguales:
  (I) c = c(n) con c(n) = costo de ´n´ lápices de “costo unitario” $4.

  (II) p = p(L) con p(L) = perímetro de un cuadrado de lado L.


1º) damos ley de cada función a través de una ecuación (facilita comparar)
   (I)      c = c(n) con c(n) = 4.n      [ n: cantidad de lápices ]
   ( II )   p = p(L) con p(L)= 4.L       [ L : longitud del lado del cuadrado ]

2º) damos el dominio natural de cada función.
    (I)     Dnc = N       [ n ∈ N ; por ser una cantidad ]

    ( II ) Dnp = R + [ L ≥ 0 ; por ser una medida ]
                      0

3º) Conclusión :     ley c = ley p ;   Dnc ≠ Dn p
4º) Rta: las funciones costo y perímetro dadas no son iguales
 y= f(x)
                         Im f     B      B´         B´´




Observaciones: ► Im f ⊆ B
               ► Im f  “menor” codominio posible
NOTA:

en general a distintas leyes corresponden conjuntos imagen distintos;

pero; a leyes iguales pueden también corresponder imágenes distintas


 ( c: función “costo” )                       (p: función “perímetro”)
  Ley : n → c = 4 n                          Ley : L → p = 4 L
  Dominio = N                                 Dominio = R+

    Codominio = R                             Codominio = R

    Im c = { 4;   8; 12; 16,…}                  Im p = ( 0 ; +∞ )

                                  c   ≠   p
graf c = { P(n;c) / c = 4n ; n ∈ N }           graf p = { Q(L;p) / p = 4L ; L∈ R+ }
 24                                             24


 20                                             20


 16                                             16


 12                                             12
                                                                   graf p
  8
                       graf c                    8


                                                 4
  4


                                                      1   2    3   4    5   6    7    8
        1   2    3    4   5     6      7   8
Las distintas formas de dar “la ley” de una función.
EJEMPLO 1:

► LEY:     ECUACIÓN EN 2 VARIABLES

            f : {[1 ; 3]}
                 1;2;3  → R                           D = DOMINIO =  { 1;2;3 }
                                                                         [1 ; 3]
                      x → y = 2.x + 3 (* )            CODOMINIO    = R

     (*)   se lee: y = f (x) con f (x) = 2.x + 3 ( imagen de x por f )
                                                        9
► LEY:   TABLA DE VALORES                               8
                                                        7
           x     1          2     3           DOMINIO
                                                        6
           y     5          7     9          IMAGEN
                                                        5
► LEY:   GRÁFICO                                        4

           graf f = { P (x;y) / x∈D; y = f (x) }        3
                                                        2
  graf f graf f = { y) / x ;∈ [1; 3] ;(3;9) } + 3 }
          = { P(x; (1;5) (2;7) ; y = 2x
                                                        1

                                              −2 −1          1   2      3   4      5   6   7
                                                   −1
EJEMPLO 2: procedemos a analizar las siguientes expresiones coloquiales a los
           efectos de decidir si las mismas ´definen función´ :

( I ) "el volumen de una esfera de metal      (II) "el volumen de una esfera de metal
        varia con el radio de la misma"             varia con la temperatura de la misma"

 (*) detectamos una relación de dependencia   (*) detectamos una relación de dependencia
    en que la correspondencia es unívoca         en que la correspondencia es unívoca
                  ⇓                                          ⇓
                FUNCION                                   FUNCION
¿ Cómo expresamos estas funciones en "lenguaje matemático" ?

   ( I ) "el volumen de una esfera de metal    ( II ) "el volumen de una esfera de metal
        varia con el radio de la misma"               varia con la temperatura de la misma"

1ro) reconocemos variables y elegimos letras apropiadas para identificarlas:

   ( I ) (radio)= r ;   (volumen)= V           ( II ) (temperatura)= t ; (volumen)= V

2do) establecemos el ´orden´ de dependencia:


    ( I ) el volumen depende del radio         ( II ) el volumen depende de la temperatura
         el volumen es función del radio.          el volumen es función de la temperatura
                  V = f (r )                                      V=g(t)

3ro) explicitamos (de ser posible) la regla de correspondencia e indicamos Dn y Cn

   ( I ) V = f (r ) con f (r )= 4/3 π r 3     (II)   V = g (t)   con   g (t )= ???
                               +
                        Dn = R
                               +
                        Cn =R

   ( * ) en este caso, acudiendo a la Geom. ; ( *) en este caso desconocemos una fórmula
         podemos escribir la “ ley de f ”          que relacione las variables; no podemos
          a través de una fórmula.                  dar la “ley de g” con una “ecuación”
                                              Esto plantea un problema: hallar la fórmula.
EJEMPLO 5

En un libro leemos: “el perímetro p de un cuadrado de lado L es; p = 4.L ”

 Esta conocida fórmula    puede ser abordada desde dos perspectivas distintas:

      desde la Geometría: donde esto es una ecuación ; la cual india como
                              se calcula el perímetro conocido el lado;
                            y las letras tienen el carácter de dato ó incógnita

      desde el Cálculo: donde se reconoce como una relación de dependencia ,
        o sea, como una expresión que muestra como el perímetro depende del lado
        y en la que las letras tienen el carácter de variables.

Conclusión: la forma de interpretar y trabajar una fórmula depende del contexto en
              el que se esté operando.
♦ Así, desde la óptica del Cálculo Matemático, la expresión leída en el libro la
  registramos como una ´relación entre dos variables´.
 Como a cada valor de L corresponde un único valor de p,
 vemos que esta relación cumple con una de las condiciones de función.


 Esta relación de dependencia. ¿ define función?
Problema: p = 4. L, ¿define función ? .
                                                     LEY :  f ( L) = 4. L (*)
     p =4. L    ⇒ p = f(L) con f(L) = 4. ⇒
                                         L
                                                     DOMINIO      = ?
                                                     CODOMINIO = ?

( ? ) El conjunto de partida y el de llegada no están indicados; luego:
    ¿tenemos función?:
    Sí, estos conjuntos existen aún cuando no estén explícitamente Indicados.
    La ley se ´aplica´ y ´produce´ números positivos.

Luego, p =4. L , define función:

               f : R+ → R
                                +

                   L  → p = 4. L                    LEY :  f ( L) = 4. L   (*)
                                                                       +
                                                     DOMINIO      = R
                     f es función                    CODOMINIO = R
                                                                         +
Funciones inicio
 El(*) ¿ Quéde datos en forma gráfica posibilita
     registro modelo ´ajusta mejor´ los datos ?.                     la búsqueda de una ecuación para f.
Según(*) curva (recta, parábola..) con la que aproximemos los “puntos soluciónpodemos obtener
       la Se utilizó una de las curvas de ajuste para predecir la temperatura de la dato” a
distintas ecuaciones; luego, elegir entre ellas la que mejor “aproxima” a los “puntos dato”.
             los 40´ . El resultado obtenido fue, 72,1 º C. ¿Qué modelo se usó?.
Por ej., las sgtes ecuacs resultan de aproximar,

 (I) con una recta;                                   (II) con una parábola
 (I) Modelo lineal  τ =13,6 + 1.24 t                  (II) Modelo cuadrático  τ = 15,3 + 0.7 t + 0.018 t
                                                                                                             2




(*) ¿ Qué modelo ´ajusta mejor´ los datos ?.
(*)   Se utilizó una de las curvas de ajuste para predecir la temperatura de la solución a
      los 40´ . El resultado obtenido fue, 72,1 º C. ¿Qué modelo se usó?.
EJEMPLO 4          la Física, muestra que, establecido un “sistema de referencia”
        la altura y , en cada instante t , de un cuerpo arrojado hacia arriba,
        se puede calcular según la siguiente ecuación:
                                        y0 = altura inicial
                           1       2
      y = yo + vo .t +         a.t                            9
                                        v0 = velocidad inicial9
                           2
                                        a = "g” acel. de la grav.
                                                                  8
                                                                  8
► Esta ecuación ¿define función ?: SI                                  y
                                                                  7 y                    graf f
     y = f (t)   con   f (t) = yo + vo t   + 1 at
                                                    2      ymax
                                             2
                                                                  6
►   Analizamos un caso particular:                                5
  y0 = 0 ; v0 = 5 ; a = - 2     y = 5 t - t2                y
                                                                  4

                                       Trayectoria               3
          Luego:   y = f (t)            No permite ver
                                        el instante “ t”          2
         Dn f =    ¿??? 5 ]
                    [ 0;               en que tiene la
                                           altura “y”             1
                   +
         Cod f = ¿???                                                                                 t
                 Ro
                                                  −2 −1
                                                  −2 −1                    1   2     3
                                                                               2 2,5 3    4
                                                                                          4       5
                                                                                                  5   6
                                                                                                      6   7
           Img f = [ 0; 6.25 ]
                     ¿???                              −1
                                                                  −2
¿ Existirá alguna función que describa la altura
   de este cuerpo, “ para todo t ≥ 0” ?.
   Si , tal función existe; lo que no es posible es
   describir dicha altura con “una” ecuación. Así:
  cuando el cuerpo está cayendo, la altura del mismo respecto
    del piso se expresa a través de la correspondiente fórmula física,
  cuando el cuerpo queda en “reposo” debemos acudir a otra ecuación:
     y = 0.
El hecho que la ley de la función esté constituida por
más de una fórmula, lo indicamos como sigue:
                                                                y
                                         2
                                5t - t           ;   0≤ t ≤ 5            t=5
                      f (t) =
                                 0           ;        t > 5

   Las funciones definidas por varias leyes, como la del ejemplo,
    reciben el nombre de funciones seccionalmente definidas .
RESUMEN
 DISTINTAS   FORMAS DE ´DAR´ LA LEY DE UNA FUNCIÓN.

   I - ALGEBRAICAMENTE  con una (ej. 2 dos (ej. 10 ) ó más ecuaciones.
                                 Ej. 2),


   II- NUMÉRICAMENTE  con una TABLA de VALORES (ej.1: τ = f ( t ) )

  III - GRÁFICAMENTE      con una gráfica (ej. 9: τ = f ( t ) )

  IV- VERBALMENTE         con una descripción en palabras (ej. 5 )
Definición de FUNCIÓN: Dados A y B; llamamos función de A en B , a
                “una regla o ley que a cada elemento de A
                     asigna un único elemento de B”.

         A                                          B
          1                                      1 33  8 2
         2                                       3 9    2 π
                                                     45     2
         2
         3
                                                  15 7
                                                     7    8π
                           Regla o Ley
         4                                                3,4
                        que puedo dar como           16




                                3        4   7       16
3   4                 7           16


                  y
             18

             16

             14

             12

             10

              8

              6

              4

              2
                                                       x

        −1                1   2        3   4   5   6
3      4        7       16




          2 x +1 ;      si x ∈Df       y x es " impar"
 f ( x) = 2
         x ;               si x ∈Df     y x      es " par"




“el perímetro p de un cuadrado de lado L es igual a 4 veces L ”
Funciones inicio

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (18)

Funciones 2
Funciones 2Funciones 2
Funciones 2
 
FUNCIONES REALES Y GRAFICAS
FUNCIONES  REALES  Y GRAFICASFUNCIONES  REALES  Y GRAFICAS
FUNCIONES REALES Y GRAFICAS
 
Funciones reales especiales 2012
Funciones reales especiales 2012Funciones reales especiales 2012
Funciones reales especiales 2012
 
Funciones (PRUEBA)
Funciones (PRUEBA)Funciones (PRUEBA)
Funciones (PRUEBA)
 
Funciones Reales
Funciones RealesFunciones Reales
Funciones Reales
 
Capitulo I analisis vectorial, funciones de varias variables.
Capitulo I analisis vectorial, funciones de varias variables.Capitulo I analisis vectorial, funciones de varias variables.
Capitulo I analisis vectorial, funciones de varias variables.
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Guia de funciones_i
Guia de funciones_iGuia de funciones_i
Guia de funciones_i
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Función exponencial y logarítmica
Función exponencial y logarítmicaFunción exponencial y logarítmica
Función exponencial y logarítmica
 
Capitulo ii métodos algebraicos para el análisis y síntesis de circuitos ló...
Capitulo ii   métodos algebraicos para el análisis y síntesis de circuitos ló...Capitulo ii   métodos algebraicos para el análisis y síntesis de circuitos ló...
Capitulo ii métodos algebraicos para el análisis y síntesis de circuitos ló...
 
Revista horacio
Revista horacioRevista horacio
Revista horacio
 
Guía de derivadas
Guía de derivadasGuía de derivadas
Guía de derivadas
 
Practica de funciones
Practica de funcionesPractica de funciones
Practica de funciones
 
03 2
03 203 2
03 2
 
Aplicaciones de la derivada segunda parte
Aplicaciones de la derivada segunda parteAplicaciones de la derivada segunda parte
Aplicaciones de la derivada segunda parte
 
Angel ribas
Angel ribasAngel ribas
Angel ribas
 
Funciones (notas de clase incompletas)
Funciones (notas de clase incompletas)Funciones (notas de clase incompletas)
Funciones (notas de clase incompletas)
 

Destaque

オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」
オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」
オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」mick
 
Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.
Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.
Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.nicowb
 
De Reis van de Heldin Januari 2015
De Reis van de Heldin Januari 2015De Reis van de Heldin Januari 2015
De Reis van de Heldin Januari 2015Peter de Kuster
 

Destaque (7)

Apre imagens ello final
Apre imagens ello finalApre imagens ello final
Apre imagens ello final
 
オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」
オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」
オープンソースカンファレンス名古屋「高蔵寺SE勉強会」
 
Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.
Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.
Aoc Terra Marloes, Sarah, Merel, Kimberley.
 
Tesis
TesisTesis
Tesis
 
De Reis van de Heldin Januari 2015
De Reis van de Heldin Januari 2015De Reis van de Heldin Januari 2015
De Reis van de Heldin Januari 2015
 
Behavior Therapy
Behavior TherapyBehavior Therapy
Behavior Therapy
 
España
EspañaEspaña
España
 

Semelhante a Funciones inicio

Semelhante a Funciones inicio (20)

Funciones para el jueves
Funciones para el juevesFunciones para el jueves
Funciones para el jueves
 
Suma de funciones
Suma de funcionesSuma de funciones
Suma de funciones
 
Funciones y preguntas tipo test
Funciones y preguntas tipo testFunciones y preguntas tipo test
Funciones y preguntas tipo test
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Integracion numerica trapecio
Integracion numerica trapecioIntegracion numerica trapecio
Integracion numerica trapecio
 
Glosario
GlosarioGlosario
Glosario
 
Teoría elemental de Funciones Reales FU21 ccesa007
Teoría elemental de Funciones Reales  FU21 ccesa007Teoría elemental de Funciones Reales  FU21 ccesa007
Teoría elemental de Funciones Reales FU21 ccesa007
 
Sesión 10.funciones i
Sesión 10.funciones iSesión 10.funciones i
Sesión 10.funciones i
 
Calcuclo integral pasito a paso i
Calcuclo integral pasito a paso iCalcuclo integral pasito a paso i
Calcuclo integral pasito a paso i
 
Apunte funciones uba xxi
Apunte funciones uba xxiApunte funciones uba xxi
Apunte funciones uba xxi
 
Apunte funciones
Apunte funcionesApunte funciones
Apunte funciones
 
Producto cartesiano; definición, elementos de una función..pdf
Producto cartesiano; definición, elementos de una función..pdfProducto cartesiano; definición, elementos de una función..pdf
Producto cartesiano; definición, elementos de una función..pdf
 
Funcion lineal prueba
Funcion lineal pruebaFuncion lineal prueba
Funcion lineal prueba
 
Funciones resueltos
Funciones resueltosFunciones resueltos
Funciones resueltos
 
Clase 2
Clase 2Clase 2
Clase 2
 
Introducción a las Funciones Reales ccesa007
Introducción a las Funciones Reales  ccesa007Introducción a las Funciones Reales  ccesa007
Introducción a las Funciones Reales ccesa007
 
Tema 02 funciones en ir
Tema 02 funciones en irTema 02 funciones en ir
Tema 02 funciones en ir
 
Integracion aproximada
Integracion aproximadaIntegracion aproximada
Integracion aproximada
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Tema3
Tema3Tema3
Tema3
 

Último

SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er gradoSECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er gradoAnaMara883998
 
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTOCIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTOCEIP TIERRA DE PINARES
 
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxHerbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxArs Erótica
 
Temas para GP (1).pdf Semana santa la última victoria
Temas para GP (1).pdf Semana santa la última victoriaTemas para GP (1).pdf Semana santa la última victoria
Temas para GP (1).pdf Semana santa la última victoriaFernando Rojas
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 
U2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdf
U2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdfU2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdf
U2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdfJavier Correa
 
PPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULAR
PPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULARPPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULAR
PPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULARCesarSantosTello
 
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Ivie
 
Tecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptxTecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptxJulioSantin2
 
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosXardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosAgrela Elvixeo
 
Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...SamuelGampley
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialeshanda210618
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAPROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAJoaqunSolrzano
 
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptxPresentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptxNabel Paulino Guerra Huaranca
 
Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaRevista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaTatiTerlecky1
 
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionUNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionCarolVigo1
 
plan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primariaplan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primariaElizabeth252489
 

Último (20)

SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er gradoSECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
 
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTOCIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE CUARTO
 
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxHerbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
 
Temas para GP (1).pdf Semana santa la última victoria
Temas para GP (1).pdf Semana santa la última victoriaTemas para GP (1).pdf Semana santa la última victoria
Temas para GP (1).pdf Semana santa la última victoria
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
 
U2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdf
U2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdfU2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdf
U2_EA1_descargable TIC 2 SEM VIR PRE.pdf
 
PPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULAR
PPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULARPPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULAR
PPT RM N° 587 -2023 PRIMARIA.pdf DE LA EDUCACION BASICA REGULAR
 
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
 
Tecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptxTecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptx
 
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosXardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
 
Power Point E. Sab: Adoración sin fin...
Power Point E. Sab: Adoración sin fin...Power Point E. Sab: Adoración sin fin...
Power Point E. Sab: Adoración sin fin...
 
Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAPROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
 
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptxPresentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptx
 
Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaRevista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
 
Sesión de clase ES: Adoración sin fin...
Sesión de clase ES: Adoración sin fin...Sesión de clase ES: Adoración sin fin...
Sesión de clase ES: Adoración sin fin...
 
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionUNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
 
plan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primariaplan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primaria
 
Conducta ética en investigación científica.pdf
Conducta ética en investigación científica.pdfConducta ética en investigación científica.pdf
Conducta ética en investigación científica.pdf
 

Funciones inicio

  • 2. Definición de Función: Dados dos conjuntos, A y B; llamamos función de A en B , a “una regla o ley que a cada elemento de A asigna un único elemento de B ” REGLA ó LEY A B 1 1 4 8 3 9 2 π 2 5 16 2 3 49 16 π 2 4 25 25 7. 2
  • 3. Una forma “moderna” de representar funciones es con los llamados: "DIAGRAMAS DE MAQUINA" x MÁQUINA f (x) ( TECLADO) ( CALCULADORA – PC ) (VISOR – PANTALLA) f sería como una “procesadora” que :  acepta x como “entrada”  lo procesa según cierto “mecanismo” (la regla de f ),  produce y = f (x) como “salida”. La máquina, procesa los x´s a partir de distintos “mecanismos” , los que se 2 pueden representar por “ecuaciones”. Por ej, y = f (x )= x - 4x + 1. L ue go , ♦ la x se “visualiza” como un “hueco a llenar al interior de la máquina” ; y, ♦ la regla o ley de f: como el “proceso” al que hay que someter a la x cuando se “rellena” con ella, los huecos al interior de la máquina . -2 -2 2 - 4 . + 1 13 f (- 2)
  • 4. Definición de Función: Dados A y B; llamamos función de A en B , a “una regla o ley que a cada elemento de A asigna un único elemento de B”. En el ejemplo inicial, la función está presentada como una “máquina”. ¿Podremos “descubrir” la ecuación que gobierna el mecanismo de la misma? REGLA ó LEY A B 1 1 4 8 3 9 2 π 2 3 [ 2 + 1]2 1 16 9 4 5 2 16 π 2 4 25 25 7. 2 La ecuación es: y = ( x + 1)2 Que “leemos” : y = f ( x) con f ( x) = ( x + 1)2
  • 5. f  función de A en B f A B x Regla o Ley y
  • 6. de llegada CONVENCION DE NOMBRES y SIMBOLOS: de partida A B  f:A  B ; se lee : f aplica A en B . f X y y= f(x)  al conjunto de partida ( A ), lo llamamos: DOMINIO  al conjunto de llegada ( B ), lo llamamos: CODOMINIO  a los elementos del dominio o del codominio los llamamos: VARIABLES. Las variables las representamos con letras minúsculas: x, y, z, t , u, ….  si y representa el valor obtenido de aplicar “f” a un x de A entonces: lo llamamos Símbolo que usamos    → imagen de x por f  para enfatizar la y función aplicada ( f ) y, la variable elegida (x). lo indicamos      → y = f( x )
  • 7. A B f X y = f(x) “ el valor de x en el dominio , se elige en forma arbitraria (entre los valores “posibles” para x ) ; el correspondiente valor de y en el codominio , depende del valor de x previamente seleccionado ”
  • 8. Existen otros conjuntos importantes asociados a función. Uno de ellos: el conjunto “graf f ”. (gráfico de f ) Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados graf f cuya 1er componente es un elemento x del dominio (A) y, su 2da componente, la imagen de x por f ; la indicamos: f : A B graf f = { (x ; y) / x ∈ A, y = f ( x ) } graf f = { (x; f (x)) / x ∈ A }
  • 9. Llamamos graf f al conjunto de todos los pares ordenados cuya graf f primer componente es un elemento x del dominio y, su segunda componente, la imagen de x por f ; lo indicamos: f : A B graf f = { (x; y) / x ∈A, y = f (x) } Observación: y C = graf f Introducido un sistema de referencia en el plano ( π ); se verifica que: (x;y) P∈π B Esta correspondencia permite P f(x) representar gráficamente al conj. graf f . eje horizontal ↔ Dominio (A) ↔ x x x eje vertical ↔ Codominio (B) ↔ y = f (x) A { P(x; y) / y = f (x); x ∈A } ↔ C: CURVA PLANA
  • 10. t tt (hs) 32 OBSERVACIONES y EJEMPLOS: 32 32 30  ¿Cuándo estamosLEY una función ? : ante 28 28 tcada vez que tengamos una V(ls.) (hs) 26 24 magnitud que “dependa” de otra. 24 24 0 8. [ ....] 0 22 V(ls) 20 8 [ ....] Al abrir una canilla .para llenar un tanque, 20 2 4 18 el volumen de agua acumulado depende del tiempo. 16 8. [ ....] 8 16 8 16 16  el volumen de agua acumulado es función del tiempo . 14 8. [ ....] 16 32 12 12 V(32)= ∆V = 12 16 ls Si : V = volumen de agua en el tanque. máquina 10 8 88 8 8 t = los objetivos de la matemática es Uno detiempo transcurrido desde que 6 V(8) = 8 ls hallar, se empieza a llenar elecuación” que si existe, una “ tanque. 4 4 4 muestre como “opera” la “máquina” (LEY) V(2) = 4 ls V= f (t) 22 sobre la “v.i.”, para obtener la “v.d.” −18 −12−18 −6 −12 0 −6 6 12 0 18 6 24 1 −2 −4 −4 −6
  • 11. t tt (hs) 32 OBSERVACIONES y EJEMPLOS: 32 32 30  ¿Cuándo estamos ante una función ? : 28 28 cada vez que tengamos una 26 24 magnitud que “dependa” de otra. 24 24 V(ls) 22 24 hs. 20 Al abrir una canilla para llenar un tanque, 20 18 el volumen de agua acumulado depende del tiempo. 16 16 16 16  el volumen de agua acumulado es función del tiempo . 14 12 12 V(32)= ∆V = 12 16 ls ΔV = 16 ls Si : V = volumen de agua en el tanque. 10 8 88 8 8 t = tiempo transcurrido desde que 6 se empieza a llenar el tanque. 6 hs. ΔV = 4 ls V(8) = 8 ls 4 4 4 V(2) = 4 ls V= f (t) 2 hs. 2 2 −18 −12 −18 −6 −12 0 −6 6 12 0 18 6 24 1 −2 −4 −4 −6
  • 12. Con el tiempo el concepto de función evoluciona; se usa tanto para representar relaciones de dependencia,  del tipo causa-efecto, pertenecientes al mundo de lo concreto y real ;  como relaciones de dependencia relativas al mundo de lo abstracto o ideal.
  • 15. EJEMPLO 3 Las ecuaciones algebraicas con dos variables “abstractas” son ejemplos típicos de relaciones de dependencia en el mundo de lo abstracto o ideal. a) y = x +1 Por definición: y  esta ecuación establece una relación entre dos variables abstractas. En ella, a cada valor de x corresponde un único valor de y. graf f ↔ { P(x; y) / y = f(x); x∈D } Luego, considerando como dominio y codominio el conjunto R, la graf f relación descripta = x + 1; ecuación, define función. ↔ { P(x; y) / y por esta x∈R } La Geometría nos dice que: dominio codominio }↔ f : {R (x; y) / y = x +1; x∈R LEY RECTA P R x x  y = x +1 Luego, y finalmente, tenemos que: x +1 y = f(x) con f(x) = graf f ↔ RECTA r = graf f
  • 19. = ≠ = = = = ≠ f = g g h
  • 20. Ejemplo: Analizar si “c” (costo) y “p” (perímetro) dadas a continuación son iguales: (I) c = c(n) con c(n) = costo de ´n´ lápices de “costo unitario” $4. (II) p = p(L) con p(L) = perímetro de un cuadrado de lado L. 1º) damos ley de cada función a través de una ecuación (facilita comparar) (I) c = c(n) con c(n) = 4.n [ n: cantidad de lápices ] ( II ) p = p(L) con p(L)= 4.L [ L : longitud del lado del cuadrado ] 2º) damos el dominio natural de cada función. (I) Dnc = N [ n ∈ N ; por ser una cantidad ] ( II ) Dnp = R + [ L ≥ 0 ; por ser una medida ] 0 3º) Conclusión : ley c = ley p ; Dnc ≠ Dn p 4º) Rta: las funciones costo y perímetro dadas no son iguales
  • 21.  y= f(x) Im f B B´ B´´ Observaciones: ► Im f ⊆ B ► Im f  “menor” codominio posible
  • 22. NOTA: en general a distintas leyes corresponden conjuntos imagen distintos; pero; a leyes iguales pueden también corresponder imágenes distintas ( c: función “costo” ) (p: función “perímetro”)  Ley : n → c = 4 n  Ley : L → p = 4 L  Dominio = N  Dominio = R+  Codominio = R  Codominio = R  Im c = { 4; 8; 12; 16,…}  Im p = ( 0 ; +∞ ) c ≠ p
  • 23. graf c = { P(n;c) / c = 4n ; n ∈ N } graf p = { Q(L;p) / p = 4L ; L∈ R+ } 24 24 20 20 16 16 12 12 graf p 8 graf c 8 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
  • 24. Las distintas formas de dar “la ley” de una función. EJEMPLO 1: ► LEY: ECUACIÓN EN 2 VARIABLES f : {[1 ; 3]} 1;2;3 → R  D = DOMINIO = { 1;2;3 } [1 ; 3] x → y = 2.x + 3 (* )  CODOMINIO = R (*) se lee: y = f (x) con f (x) = 2.x + 3 ( imagen de x por f ) 9 ► LEY: TABLA DE VALORES 8 7 x 1 2 3 DOMINIO 6 y 5 7 9 IMAGEN 5 ► LEY: GRÁFICO 4 graf f = { P (x;y) / x∈D; y = f (x) } 3 2 graf f graf f = { y) / x ;∈ [1; 3] ;(3;9) } + 3 } = { P(x; (1;5) (2;7) ; y = 2x 1 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −1
  • 25. EJEMPLO 2: procedemos a analizar las siguientes expresiones coloquiales a los efectos de decidir si las mismas ´definen función´ : ( I ) "el volumen de una esfera de metal (II) "el volumen de una esfera de metal varia con el radio de la misma" varia con la temperatura de la misma" (*) detectamos una relación de dependencia (*) detectamos una relación de dependencia en que la correspondencia es unívoca en que la correspondencia es unívoca ⇓ ⇓ FUNCION FUNCION
  • 26. ¿ Cómo expresamos estas funciones en "lenguaje matemático" ? ( I ) "el volumen de una esfera de metal ( II ) "el volumen de una esfera de metal varia con el radio de la misma" varia con la temperatura de la misma" 1ro) reconocemos variables y elegimos letras apropiadas para identificarlas: ( I ) (radio)= r ; (volumen)= V ( II ) (temperatura)= t ; (volumen)= V 2do) establecemos el ´orden´ de dependencia: ( I ) el volumen depende del radio ( II ) el volumen depende de la temperatura el volumen es función del radio. el volumen es función de la temperatura V = f (r ) V=g(t) 3ro) explicitamos (de ser posible) la regla de correspondencia e indicamos Dn y Cn ( I ) V = f (r ) con f (r )= 4/3 π r 3 (II) V = g (t) con g (t )= ??? + Dn = R + Cn =R ( * ) en este caso, acudiendo a la Geom. ; ( *) en este caso desconocemos una fórmula podemos escribir la “ ley de f ” que relacione las variables; no podemos a través de una fórmula. dar la “ley de g” con una “ecuación” Esto plantea un problema: hallar la fórmula.
  • 27. EJEMPLO 5 En un libro leemos: “el perímetro p de un cuadrado de lado L es; p = 4.L ”  Esta conocida fórmula puede ser abordada desde dos perspectivas distintas:  desde la Geometría: donde esto es una ecuación ; la cual india como se calcula el perímetro conocido el lado; y las letras tienen el carácter de dato ó incógnita  desde el Cálculo: donde se reconoce como una relación de dependencia , o sea, como una expresión que muestra como el perímetro depende del lado y en la que las letras tienen el carácter de variables. Conclusión: la forma de interpretar y trabajar una fórmula depende del contexto en el que se esté operando. ♦ Así, desde la óptica del Cálculo Matemático, la expresión leída en el libro la registramos como una ´relación entre dos variables´. Como a cada valor de L corresponde un único valor de p, vemos que esta relación cumple con una de las condiciones de función. Esta relación de dependencia. ¿ define función?
  • 28. Problema: p = 4. L, ¿define función ? .  LEY : f ( L) = 4. L (*) p =4. L ⇒ p = f(L) con f(L) = 4. ⇒ L  DOMINIO = ?  CODOMINIO = ? ( ? ) El conjunto de partida y el de llegada no están indicados; luego: ¿tenemos función?: Sí, estos conjuntos existen aún cuando no estén explícitamente Indicados. La ley se ´aplica´ y ´produce´ números positivos. Luego, p =4. L , define función: f : R+ → R + L  → p = 4. L  LEY : f ( L) = 4. L (*) +  DOMINIO = R f es función  CODOMINIO = R +
  • 30.  El(*) ¿ Quéde datos en forma gráfica posibilita registro modelo ´ajusta mejor´ los datos ?. la búsqueda de una ecuación para f. Según(*) curva (recta, parábola..) con la que aproximemos los “puntos soluciónpodemos obtener la Se utilizó una de las curvas de ajuste para predecir la temperatura de la dato” a distintas ecuaciones; luego, elegir entre ellas la que mejor “aproxima” a los “puntos dato”. los 40´ . El resultado obtenido fue, 72,1 º C. ¿Qué modelo se usó?. Por ej., las sgtes ecuacs resultan de aproximar, (I) con una recta; (II) con una parábola (I) Modelo lineal  τ =13,6 + 1.24 t (II) Modelo cuadrático  τ = 15,3 + 0.7 t + 0.018 t 2 (*) ¿ Qué modelo ´ajusta mejor´ los datos ?. (*) Se utilizó una de las curvas de ajuste para predecir la temperatura de la solución a los 40´ . El resultado obtenido fue, 72,1 º C. ¿Qué modelo se usó?.
  • 31. EJEMPLO 4 la Física, muestra que, establecido un “sistema de referencia” la altura y , en cada instante t , de un cuerpo arrojado hacia arriba, se puede calcular según la siguiente ecuación: y0 = altura inicial 1 2 y = yo + vo .t + a.t 9 v0 = velocidad inicial9 2 a = "g” acel. de la grav. 8 8 ► Esta ecuación ¿define función ?: SI y 7 y graf f y = f (t) con f (t) = yo + vo t + 1 at 2 ymax 2 6 ► Analizamos un caso particular: 5 y0 = 0 ; v0 = 5 ; a = - 2  y = 5 t - t2 y 4 Trayectoria  3 Luego: y = f (t) No permite ver el instante “ t” 2 Dn f = ¿??? 5 ] [ 0; en que tiene la altura “y” 1 + Cod f = ¿??? t Ro −2 −1 −2 −1 1 2 3 2 2,5 3 4 4 5 5 6 6 7 Img f = [ 0; 6.25 ] ¿??? −1 −2
  • 32. ¿ Existirá alguna función que describa la altura de este cuerpo, “ para todo t ≥ 0” ?. Si , tal función existe; lo que no es posible es describir dicha altura con “una” ecuación. Así:  cuando el cuerpo está cayendo, la altura del mismo respecto del piso se expresa a través de la correspondiente fórmula física,  cuando el cuerpo queda en “reposo” debemos acudir a otra ecuación: y = 0. El hecho que la ley de la función esté constituida por más de una fórmula, lo indicamos como sigue: y 2 5t - t ; 0≤ t ≤ 5 t=5 f (t) = 0 ; t > 5  Las funciones definidas por varias leyes, como la del ejemplo, reciben el nombre de funciones seccionalmente definidas .
  • 33. RESUMEN  DISTINTAS FORMAS DE ´DAR´ LA LEY DE UNA FUNCIÓN. I - ALGEBRAICAMENTE  con una (ej. 2 dos (ej. 10 ) ó más ecuaciones. Ej. 2), II- NUMÉRICAMENTE  con una TABLA de VALORES (ej.1: τ = f ( t ) ) III - GRÁFICAMENTE  con una gráfica (ej. 9: τ = f ( t ) ) IV- VERBALMENTE  con una descripción en palabras (ej. 5 )
  • 34. Definición de FUNCIÓN: Dados A y B; llamamos función de A en B , a “una regla o ley que a cada elemento de A asigna un único elemento de B”. A B 1 1 33 8 2 2 3 9 2 π 45 2 2 3 15 7 7 8π Regla o Ley 4 3,4 que puedo dar como 16 3 4 7 16
  • 35. 3 4 7 16 y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 x −1 1 2 3 4 5 6
  • 36. 3 4 7 16  2 x +1 ; si x ∈Df y x es " impar" f ( x) = 2 x ; si x ∈Df y x es " par" “el perímetro p de un cuadrado de lado L es igual a 4 veces L ”