Matematica cadernos CECEMCA v2

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Matematica cadernos CECEMCA v2

  1. 1. MATEMÁTICA EEDUCAÇÃO INFANTILCadernos CECEMCA, v.8 Parte 22005
  2. 2. Luiz Inácio Lula da SilvaFernando HaddadJairo JorgeFrancisco das Chagas FernandesJeanete BeauchampLydia BecharaGeraldo AlckminJoão Carlos de Souza MeirellesProfessor Doutor Marcos MacariProfessor Doutor Herman Jacobus Cornelis VoorwaldProfessor Doutor José Brás Barreto de OliveiraProfessor Doutor Osmar CavassanMEC - MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOPresidente da RepúblicaMinistro da EducaçãoSecretário ExecutivoSecretaria de Educação BásicaDiretora do Departamento de Políticasde Educação Infantil eEnsino FundamentalCoordenação Geral dePolíticas de FormaçãoGOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULOGovernadorSecretário de Ciência, Tecnologia,Desenvolvimento Econômico eTurismoUNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA”JÚLIO DE MESQUITA FILHO”ReitorVice-ReitorFaculdade de Ciências doCampus de BauruDiretorVice-Diretor
  3. 3. ORGANIZADORESMARA SUELI SIMÃO MORAESNELSON ANTONIO PIROLAMATEMÁTICA EEDUCAÇÃO INFANTIL
  4. 4. Professora Doutora Maria Amélia Máximo de AraújoProfessor Doutor João José CaluziProfessora Doutora Maria Isabel Castreghini de FreitasProfessor Doutor Eugênio Maria de França RamosMara Sueli Simão MoraesNelson Antonio PirolaJaneti Marmontel MarianiAdriana Josefa Ferreira Chaves, Ana Maria de Andrade Caldeira,João José Caluzi, João Pedro Albino, José Misael Ferreira doVale, Mara Sueli Simão Moraes, Nelson Antonio Pirola, RobertoNardi, Washington Luiz Pacheco de CarvalhoAdriana Josefa Ferreira Chaves, Aparecida Valquíria Pereira daSilva, Carmem Lúcia B. Passos, Lair de Queiroz Costa,Rosimar Poker, Sonia Maria Martins de Melo, Vera MarizaRegino Casério, Wilson Massashiro YonezawaAmanda Diniz Sotero de Menezes, Amanda Tonetti Qualhareli,Ana Carolina Serrata Malfitano, André Luis Martins Lopes,André Luiz Baú, Andréia Aparecida da Silva Brito, Caio deGodoy Camargo, Denysland Pinto Medeiros, Eduardo MoraisJunior, Fabiana Cezário de Almeida, Germano de Jesus Tobias,Luiz Gustavo Rodrigues, Mabi Katien Batista de Paula, MarceloCarlos de Proença, Natália AbrantesCarla Lisboa Porto, Christina de Almeida PeterAna Carolina Galvão Marsiglia, Glória Georges FeresDaniela Violim da Silva, João Paulo Castilho Herrera, MariaÂngela Dias dos Santos, Raquel Ventura Cuesta, Solange daSilva Castro, Sonia Regina Begey Gonçalves, TeIma AparecidaAprígio da Silva Carneiro, Valeria Alves da Silva, VanessaMossato G. da S. Arantes, Vânia Aparecida Silva de Paula, VeraCADERNOS CECEMCACoordenação Geral – UNESPCoordenação CECEMCA Núcleo BauruCoordenação CECEMCA Núcleo Rio ClaroCoordenação CECEMCA Núcleo EaDOrganizador do Caderno de Matemática eEducação InfantilColaboradoraComitê Técnico CientíficoCorpo de pareceristasBolsistasRevisãoAssessoria TécnicaAvaliação preliminar dos textosMatemática e Educação infantil /organizado por Mara Sueli Simão Moraes e Nelson Antonio Pirola. --Bauru: FC/CECEMCA, 2005.195 páginas. 2ª Parte (Cadernos Cecemca, v. 8).1. Matemática na educação infantil. 2. Operações aritméticas. 3. História da matemática I. Série.CDD - 370Dados para catologaçãoISBN – 85-99703-08-02005 - UNESP - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAMEC - MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOwww.mec.gov.brCECEMCAwww.cecemca.unesp.br
  5. 5. APRESENTAÇÃO CECEMCAA partir da parceria do Ministério da Educação com ins-tituições de ensino superior, ongs e empresas privadas, foramformados Centros de Educação Continuada para professoresda educação infantil, do ensino fundamental e médio. EstesCentros constituem uma rede nacional para atender as neces-sidades de professores que lecionam em escolas municipaise estaduais. Desde sua concepção, o objetivo é aprimorar otrabalho articulado entre diferentes Centros de Educação Con-tinuada. Grupos e instituições não associadas de todo o paístambém serão beneficiados.O Centro de Educação Continuada em Educação Mate-mática, Científica e Ambiental (CECEMCA), responde por açõesdirigidas à formação continuada de professores e, também, pelaprodução de material didático. Participam do CECEMCA profis-sionais da Universidade Estadual Paulista – UNESP que atuamnas áreas de Educação Matemática, Científica e Ambiental.A coleção Cadernos CECEMCA é composta de 23 cader-nos para a Educação Infantil e Ensino Fundamental de 1ª a 4ªanos. Os conteúdos disciplinares dos cadernos oferecem aosprofessores condições de participarem crítica e efetivamentede questões pedagógicas e sócio-ambientais, atualmente emdiscussão na sociedade brasileira.
  6. 6. Na formação continuada de professores o CECEMCAtambém oferece cursos de extensão e especialização sobdemanda dos sistemas Municipal e Estadual de educação. Paramais informações visite o site www.cecemca.unesp.br .A Coordenação CECEMCA
  7. 7. SUMÁRIOPARTE 1NTRODUÇÃO 10CAPÍTULO 1 A Educação Infantil e a Matemática: uma análisedo Referencial Curricular NacionalNelson Antonio PirolaJaneti Marmontel Mariani 17CAPÍTULO 2 A História da Matemática numa abordagemhistórico-social: contribuições para a Educação InfantilJosé Roberto Boettger GiardinettoJaneti Marmontel Mariani 41CAPÍTULO 3 Solução de Problemas Matemáticos e a Interven-ção do Professor - Uma Parceria Necessária na Educação InfantilFernanda de Oliveira Soares Taxa-Amaro 79CAPÍTULO 4 Jogos, Brinquedos e Brincadeiras: O ProcessoEnsino-Aprendizagem da Matemática na Educação InfantilJosé Roberto Boettger GiardinettoJaneti Marmontel Mariani 115CAPÍTULO 5 Tratamento da Informação e o Ensino -Aprendizagem de Matemática na Educação InfantilMara Sueli Simão MoraesElizabeth Mattiazzo-Cardia 163
  8. 8. PARTE 2CAPÍTULO 6 O Conceito de Número – Desafios e Conquistaspara Crianças e Professores da Educação InfantilFernanda de Oliveira Soares Taxa-Amaro 231CAPÍTULO 7 Operações Aritméticas na Educação InfantilEmília de Mendonça Rosa Marques 283CAPÍTULO 8 A Construção da Noção de Espaço pela CriançaMaria do Carmo Monteiro Kobayashi 311CAPÍTULO 9 Espaço e Forma na Educação InfantilNelson Antonio Pirola 335CAPÍTULO 10 Grandezas e Medidas:Mara Sueli Simão MoraesCélia Regina Pampani Borgo 385
  9. 9. CAPÍTULO6FERNANDA DE O.S.TAXA-AMAROO CONCEITO DE NÚMERO – DESAFIOS ECONQUISTAS PARA CRIANÇAS E PROFESSORESDA EDUCAÇÃO INFANTIL
  10. 10. 231Capítulo 6Um dia...1Daniel: Um, dois, três, sete, quatro, nove, dez. Ta certo, mamãe?Mãe: Não. Um, dois, três. Quatro, cinco, seis (impondo ritmo sobre acontagem).Daniel: Um, dois, três. Quatro, cinco, seis (imitando o ritmo). Dez, lá voueu. É assim?Mãe: Seis dez não.Daniel: Um, dois, três, quatro, seis, nove, dez. É assim? Um, dois, três,sete, quatro, nove, dez, lá vou eu. É assim?Mãe: Um, dois, três. Quatro, cinco, seis (impondo ritmo).Daniel: Um, dois, três, cinco, seis (sem ritmo).Mãe: Não, é um...Daniel: Um, dois,três. Quatro, cinco, seis (impondo ritmo). Dez lá vou eu.Etc.As crianças desde pequenas podem contar muitascoisas. É muito comum observarmos episódios com criançasda Educação Infantil que dizem os nomes dos números emuma certa ordem ou ainda que apontam coisas, designandoelementos de uma coleção.Muito embora seja inegável a demonstração de um certoconhecimento numérico em crianças pequenas, ao professorda Educação Infantil e para o desenvolvimento de sua práticapedagógica neste sentido caberia a seguinte questão: “Quandoas crianças contam muitas coisas, quando vão dizendo em ordem os1CARRAHER, T. N. Odesenvolvimento mental e osistema numérico decimal.In CARRAHER, T. N. (org.).Aprender Pensando - Con-tribuições da PsicologiaCognitiva para a Educação.Petrópolis, RJ: Editora Vo-zes, 2002, 16aed.,p. 52-68.
  11. 11. 232Capítulo 6nomes dos números para poder contar corretamente uma coleçãomais numerosa, quando elas escrevem vários numerais, na ordemconvencional correta, elas já estarão tendo a compreensão donúmero? E como elas os compreendem ?” (MORO, 2004, p.29).A aprendizagem do número não é tarefa fácil, pois requera aquisição de um campo de conceitos, de representaçõesgráficas e de organização de sentidos que implica longo e ricocaminhar das crianças desde muito pequenas.A aquisição das dez palavras iniciais “1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10” envolvendo a sua real significação não faz parte, ainda,da compreensão das crianças da Educação Infantil a respeitodo número. A conquista do universo numérico pelas criançasnão é algo tão simples como pode parecer aos olhos dosadultos. Ao contrário disto, o fato de ele ter diferentes funçõesleva-nos à necessidade de compreendê-lo com base em seusdiversos significados.A aprendizagem do “contar coisas” ocorre quando asolicitação do meio se faz significativamente presente na vidadas crianças, sobretudo quando a família e a escola oportuni-zam situações para o “contar” e auxiliam na organização destaatividade.A este respeito lembra-nos Moro (2004) que“Esse aprendizado se faz deixando-se a própria criança fazera contagem conforme suas formas de contar, mesmo queestas formas sejas incompletas, incorretas, limitadas a cer-tas quantidades. Mas, também, é muito importante que oadulto faça a contagem das coisas de forma correta para acriança poder observar do que se trata. Fazer a criança con-
  12. 12. 233Capítulo 6tar e deixá-la contar conforme sua capacidade do momentoé algo indispensável para que ela tenha progressos comos números. Somente assim ela estará construindo suasprimeiras idéias quantitativas: de que o mundo real podequantificado, pode ser medido, avaliado por meio dos núme-ros, o que muitos estudiosos chamam de “a aritmética naturaldas crianças”(MORO,2004, p.29-30).O ensino da Matemática nas décadas de 60 e meadosde 70 valorizavam a aprendizagem do número destacando arepetição exaustiva dos algarismos, utilizando folhas avulsasmimeografadas ou as folhas de caderno dos alunos a serempreenchidas com os algarismos que formam a seqüêncianumérica: “1, 2, 3, 4, 5... ”. A seqüência numérica verbal tam-bém era um outro tipo de exercício valorizado no trabalho doprofessor, acreditando este que a repetição exaustiva reverteriana aprendizagem da contagem.Nogueira e Montoya (2004) ressaltam também que osnúmeros eram comumente dados pelos professores de 1 a 5,depois de 5 a 10, depois de 10 a 20; e assim sucessivamente.Os autores fazem um apanhado das práticas mais usuais dosprofessores a respeito dos números e destacam que emseguida da seqüência numérica era solicitada e formação e adecomposiçãodosnúmerosemunidades(dezenasecentenas),a escrita do nome do numeral e a do próprio numeral. Em geral,na pré-escola trabalhava-se com números até 10, depois na 1ªsérie (Ensino Fundamental) eram trabalhados os números de 1a 100, as dezenas e a dúzia, e a contagem de 2 em 2, de 5 em5 e de 10 em 10.
  13. 13. 234Moro (2004) também destaca que, ainda, nas escolas,de Educação Infantil e de Ensino Fundamental, as criançastêm que fazer lições em que escrevem, copiando e copiando,a seqüência dos algarismos para aprender seus traçadoscorretos; e, também, aprendem a “ler” estes algarismos, dizerseus nomes corretamente, na ordem (MORO, 2004, p.30).Neste sentido, a tônica do ensino sobre númeroestava relacionada com sua apresentação como objetospré-existentes, cuja atividade mental dos alunos seria a deconhecer e memorizar. A aprendizagem estaria solidificadaquando o aluno fosse capaz de reconhecer o número em seusdiferentes aspectos: seu nome, seu algarismo, seu antecessore seu sucessor.É importante que desde cedo as crianças sejam solici-tadas a identificar que os números não são usados somentenos livros de exercícios ou, principalmente, levadas a pensarque os números são apenas utilizados em situações de cálculoou de registros numéricos que não transcendem as folhas doscadernos nas aulas de Matemática.DESENVOLVENDO O SENTIDO DONÚMERO DESDE CRIANÇAPara a LocalizaçãoCapítulo 6
  14. 14. 235Uma das funções do número refere-se à compreensãode que seu uso auxilia-nos na localização de lugares e objetos.Propor que as crianças identifiquem e analisem, por exemploque o número 325 de uma sala em um prédio indica, em simesmo, o andar e o número da sala a ser encontrada naqueleandar. Fazer que as crianças estabeleçam relações de proximi-dade entre os números: 425 (sala que está acima do 325) e o225 (sala que está abaixo da 325).É possível, ainda questionarquanto à posição ocupada pelas salas no corredor (pares eímpares). Ou ainda, no caso de localizarem–se nas ruas deseus bairros, questioná-los quanto ao fato de que “Se Zecamora no número 12 da Rua das Flores, qual seria o númeroda casa vizinha? Poderia ser o número 13? Por que?”Outras atividades que revelam o sentido do número comrelação à localização se referem à identificação das poltronasde teatros ou cinemas, provocando discussões acerca do cri-tério utilizado por estes estabelecimentos quanto à marcaçãodos lugares.Para a OrdenaçãoCapítulo 6
  15. 15. 236Outra função dos números refere-se ao estabelecimentode uma determinada ordem, ou seja, podemos ter uma filacom 15 crianças alinhadas por ordem de alturas, estabelecendoquem será o primeiro, o segundo, o terceiro integrante da fila eassim sucessivamente. De outra forma, poder-se-ia ordenar afila destas mesmas 15 crianças em razão da ordem alfabética,da idade, entre outros critérios que impliquem ordenação.A ordem numérica deve ser objeto de análise entre pro-fessores e alunos da Educação Infantil buscando, por exemplo,a identificação de seu sentido no entorno da vida cotidiana daspessoas, como a “máquina de senhas” instaladas geralmenteem padarias ou farmácias. A discussão a este respeito, tal comonos lembra Turkel e Newman (1988), implica compreensão danecessidade de um sistema de ordenação justa para os clien-tes. Ao mesmo tempo, enfatizam as referidas autoras que seriaapropriado adotar o mesmo sistema na ala da emergência deum hospital ? Tal ordenação poderia ser imposta para qualquersituação? Situações como esta remete todo o grupo-classe(professor e crianças) à identificação e discussão do sentido daordenação do número em um outro contexto.Para a identificaçãoCapítulo 6
  16. 16. 237Podemos dizer que um outro sentido para os númerosrefere-se ao fato de que estes funcionam como meios deidentificação. A casa da criança e os objetos que ali existemsão bons exemplos para o aluno começar a compreensão deque aquele local possui muitos números de identificação.O aparelho de televisão, a geladeira e os brinquedospossuem números de modelos que os identificam, ou mesmo,no supermercado, os produtos à venda possuem os códigos debarras para identificação dos valores a pagar.Inúmeras outras situações podem favorecer o desen-volvimento pelas crianças quanto ao sentido de identificaçãodos números, como por exemplo, o número de telefone, dasplacas dos automóveis, do registro geral de um cidadão (RG),da carteira de trabalho, o da matrícula escolar, entre tantosoutros.Turkel e Newman (1988) sugerem uma atividade bastan-te interessante para ser realizada com crianças pequenas e quepode ser intitulada de “Números importantes para mim”.Trata-se de um livro que a própria criança irá confeccionarregistrando todos os números de identificação que consigamencontrar na sua casa ou outros lugares significativos. Osnúmeros a serem registrados podem ser em razão do carroou ônibus que leva a criança para a escola, o número de seucalçado, da sua roupa, data de nascimento, número depessoas da sua família, o número preferido, a hora que acordae a que vai dormir, entre outros sentidos dos números quesejam suscitados pelo grupo-classe (TURKEL E NEWMAN,1988, 27).Capítulo 6
  17. 17. 238Para MedirVárias situações ligadas à vida da criança denotam osentido dos números com relação à medição. Por exemplo, osnúmeros expressam o peso, a altura de uma pessoa. Servemainda para indicar, em caso de uma gripe, a temperatura docorpo. As medidas de tempo, comprimento e de distânciastambém são formas importantes de serem analisadas entreprofessores e alunos no processo de desenvolvimento dossentidos dos números.Para a EstimativaÉ importante oportunizar situações de análise dosnúmeros que remetam as crianças desde a Educação Infantilà idéia de que uma boa “resposta matemática” pode estarinserida em um contexto que não seja necessariamente aoCapítulo 6
  18. 18. 239de uma resposta exata. As crianças podem ser incentivadas aelaborarem e a ficarem satisfeitas com respostas que implicamapenas aproximação do cálculo numérico exato. Perguntas quepodem contemplar a rotina diária do professor e que refletema estimativa de cálculo podem ser aquelas que solicitam dosalunos idéias como: 1) Uma criança aqui da pré-escola podeter dois metros de altura?, 2) por volta de quantas criançasestão aqui na nossa sala de aula no dia de hoje?, 3) Podemoscomprar um carro de brinquedo por R$ 50,00? E um automóvelde verdade? Os R$ 50,00 seriam suficientes? (TURKEL eNEWMAN, 1988, p. 28).A característica que envolve os diferentes sentidos donúmero também é destacada por Carraher (2002) lembrandoda existência da ambigüidade dos números, sendo que umamesma expressão com números poderá indicar diferentesoperações a realizar. A referida autora exemplifica a seguintesituação:Capítulo 6(CARRAHER, 2002, p, 53)
  19. 19. 240Em sua explicação, a autora completa que“A mesma expressão – 12 por 30 – ora significa 12 divididopor 30, ora implica em dividir 30 por 12 e ora exige que mul-tipliquemos 12 por 30! Os números são usados e situaçõesdiversas com funções diferentes e, do mesmo modo, asexpressões com números são usadas em situações diversaspara representar operações numéricas diferentes”(CARRAHER, 2002, p, 53-54).O desenvolvimento do sentido dos números passa pelaexploração do professor a seus alunos tanto em aspectosreferentes a questões de dentro como as de fora da sala deaula. Estes aspectos, porém não se solidificam rapidamente,ao contrário, necessitam de um grande período de tempo quedeve ser iniciado com as crianças desde a Educação Infantil.FUNDAMENTOS ACERCA DA AQUISIÇÃO DO CON-CEITO DE NÚMERO: O CONHECIMENTO FÍSICO E OCONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICOMuitos professores acreditam que os conceitosnuméricos devam ser ensinados por meio da transmissãosocial (verbalização e demonstração do “adulto-professor”),mas não fazem uma distinção fundamental entre a natureza doconhecimento social e a do conhecimento lógico-matemático.O número, em termos de análise no campo dosprocessos mentais traz a idéia subjacente ao conhecimento denatureza lógico-matemática.Capítulo 6
  20. 20. 241Conforme destaca Kamii (1992) “crianças de dois anospodem ver a diferença entre uma pilha de três pratos e umade dez, o que não implica que o número esteja lá fora”, nomundo físico, para ser aprendido por abstração empírica2(KAMII, 1992, p.25).As pesquisas piagetianas mostram o desenvolvimento dainteligência como um processo construtivo de um sujeito ativoem suas interações com o meio-ambiente. A inteligência nãoé algo dado ao nascermos, mas desenvolve-se gradualmentecomo resultado da interação de fatores internos e externos aoindivíduo.O ser humano é continuamente desafiado pelo meio-ambiente, procurando compreender, explicar e organizar osdados de realidade, segundo o leque de suas experiências epossibilidades cognitivas em jogo.Para a teoria do desenvolvimento de Piaget, a açãoé matéria-prima para a aquisição do conhecimento: nainteração com os objetos, o sujeito se transforma e constróiconhecimentos. Resultados de pesquisas, na perspectiva dapsicologia genética de Piaget, enfocam e esclarecem a natu-reza do conhecimento lógico-matemático, distinguindo-odo conhecimento físico e do conhecimento social. Piagetfaz uma distinção quanto aos tipos de experiências do sujeito,como a experiência física e a lógico-matemática.Com isso, a experiência cumpre estes dois papéis distin-tos e complementares: agir sobre um objeto, distinguindo suaspropriedades, o que denominamos de experiência física.Rangel (1992) analisou a importância da experiência físicana construção do número pela criança e destacou queCapítulo 62Uma forma elemen-tar de abstrair os dados deuma determinada realidadeou objeto dá-se por meioda abstração empírica; econsiste em o sujeito reti-rar informações dos objetossegundo suas propriedadesou seus caracteres mate-riais. A abstração empíricaapóia-se nos objetos físicosou nos aspectos materiaisda própria ação e, ainda sobsuas formas mais elemen-tares, ela não consiste em“leituras” diretas da reali-dade. Ao abstrairmos algode um dado objeto, como oseu peso, a sua cor, é preci-so que o sujeito valha-se deinstrumentos de assimilaçãoe esteja baseado nos es-quemas sensório-motoresou conceituais. Estes esque-mas não são fornecidos apriori pelo objeto, mas, sim,construídos dialeticamenteno plano da ação material emental pelo próprio sujeito(TAXA, 2001, p.27).
  21. 21. 242“Por exemplo, ao entregarmos um giz3a uma criança quenunca o observou e o manipulou, ela irá agir sobre ele e des-cobrir que ele suja suas mãos, que é possível riscar com ele,que apertando-o ele amassa e vira pó e o seu pó é macio eleve e voa quando se assopra, etc. A experiência física per-mite, então, à criança, descobrir as propriedades do objeto,ou seja, conceber o que é giz pela abstração das ações exer-cidas sobre ele. Assim, agindo diretamente sobre o giz, acriança o transforma na busca do seu entendimento e, pelaresposta que este objeto dá à sua ação, a criança descobresuas propriedades físicas. Observa-se, no entanto, que semuma organização estruturada no nível da inteligência, não sejapossível o entendimento de tais propriedades, isto é, precisaocorrer a “assimilação” deste objeto às estruturas da inte-ligência até então construídas pelas crianças. É aí que seevidencia a inter-relação entre experiência física e experiên-cia lógico-matemática”(RANGEL, 1992, p.22-23)Distinguir as propriedades dos objetos, no entanto,não corresponde a uma atividade da mesma natureza dodescobrimento de propriedades em razão da ação do sujeito noCapítulo 63Grifos nossos
  22. 22. 243decorrer de sua interação com o objeto. A experiência denomi-nada lógico-matemática caracteriza-se pelas coordenaçõesdas ações do sujeito, e abstração de conhecimentos a partirdelas. O conhecimento nesse último caso é abstraído da açãodo sujeito sobre os objetos e não diretamente dos objetos.A cena acima apresentada, inspirada a partir do texto deRangel (1992) mostra-nos a abstração das ações das criançasexercitadas sobre a quantidade (idêntica) de brinquedos decada uma e das coordenações (mentais) que ligam estasações (não acrescentaram iô-iôs algum para nenhuma criança,apenas arrumaram os brinquedos de forma diferente).Rangel (1992) analisando a interface entre conhecimentofísico e lógico-matemático na situação da manipulação do gizdestaca que“[...] poderia a criança estabelecer relações entre o giz eoutros objetos que pesquisou e, ao coordenar mentalmenteessas relações, classificar,por exemplo, os objetos que ris-cam a calçada e os que não riscam. Entre os que riscam,Capítulo 6
  23. 23. 244poderia ordená-los indo daquele que risca mais forte ao querisca mais fraco; comparando essa relação com a consis-tência dos objetos,descobriria que os objetos mais “duros”fazem o traçado mais fraco e os mais “macios”, traçados maisfortes. Poderia, ainda, enumerar quantos objetos seleciona-dos riscam o chão, quantificando-os, e dar-se conta de queselecionou mais objetos que riscam do que objetos que nãoriscam o chão”. (RANGEL, 1992, p.2).As crianças da Educação Infantil conseguem apenascontar coleções pequenas, de 5 ou 6 elementos; e conseguemprontamente, nos dizer que estão vendo, “...uma bolinha...”,“... duas bolinhas...”, “... três bolinhas...”, sem precisar mesmoapontar cada uma dessas coisas. Já a contagem de coleçõescada vez mais numerosas, até dominarem a seqüência até 13ou 15 elementos ocorre somente mais tarde na vida destascrianças; até seguirem adiante para chegar a outras dezenas.Ao analisar o conhecimento físico e o lógico-matemáticocomo fontes básicas na construção da natureza do númeronas crianças, Kamii (1992) lembra ainda da importância deo professor distinguir estes tipos de conhecimento e em secompreender também a diferença entre números e númeroselementares ou perceptuais. A autora explica que“Piaget faz uma diferença entre números perceptuais e núme-ros. Os números perceptuais são números pequenos, atéquatro ou cinco, que podem ser distinguidos através da per-cepção, sem requerer uma estruturação lógico-matemática.Até alguns pássaros podem ser treinados para distinguir entreCapítulo 6
  24. 24. 245“00” e “000”. Contudo, é impossível distinguir “0000000”de “00000000” apenas pela percepção. Os números peque-nos que são maiores que quatro ou cinco são chamados denúmeros elementares”(KAMII, 1992, p.15).Observa-se, no entanto, que, ao falarmos de açãosobre o “número” na escola, o conceito de atividade nateoria piagetiana tem sido interpretado, muitas vezes, de formaequivocada, o que tem constituído um aspecto dificultador nainterpretação da teoria para a prática educativa.Conforme lembrado por Gallagher (1978), o fato defazer as crianças agirem sobre os objetos apenas por meio dematerial de manipulação (neste caso para estabelecer a relaçãonumeral-quantidade) é uma maneira indevida de aproximar ateoria às aprendizagens escolares, assim como é indevida aforma de propaganda do marco teórico piagetiano.A denominação de termos como “ação”, “atividade” oumesmo “agir sobre” é freqüente nos trabalhos de Piaget e aidéia subjacente a este respeito seria a de que para conhecer, osujeito tem que agir sobre os objetos, para, então, transformá-los. É preciso que, ao agir sobre os objetos, o sujeito valha-sede ações ou atividades de deslocamento, conexão, combina-Capítulo 6
  25. 25. 246ção, montagem, desmanche, entre outras para “retirar” aspropriedades a serem abstraídas.Piaget apresenta um quadro teórico de aquisição doconhecimento enfatizando a construção do sujeito e não aapropriação do conhecimento como cópia dos objetos darealidade que o rodeia.Não se trata, então, de discutir a importância demateriais de manipulação na sala de aula para o favorecimentode aprendizagem de conteúdos matemáticos, mas, sim, dediscutir o quadro explicativo dos mecanismos de aprendizagemrelacionados ao significado da atividade (manipulativa ou não)do sujeito.A descoberta da criança sobre as relações do universoquantitativo que a rodeia deriva da ação do sujeito. A experiênciafísica, porém, não é a única fonte do conhecimento, tampoucotoda e qualquer ação nos conduz ao conhecimento. Ela é, pois,condição necessária, mas não suficiente do conhecimento.Assim, nas ações e operações do sujeito em interação com omundo está implícito diretamente o processo ou mecanismofuncional da abstração reflexiva4.Podemos dizer que o processo de abstração estáligado a um deslocamento realizado pelo sujeito, a fim de que,por meio da abstração, ele seja capaz de isolar e generalizarcertos aspectos de uma dada realidade.O sujeito conhece na medida em que pode extrairconhecimento dos observáveis e não-observáveis. Entende-se por observáveis os objetos ou ações do sujeito em suascaracterísticas materiais, ao passo que os não-observáveisCapítulo 64A abstração reflexi-va é um mecanismo fun-cional relacionado com aconceitualização e toma-da de consciência em faceda construção de conhe-cimentos que se constituipelo sujeito. A soma é umbom exemplo do proces-so de abstração reflexivadiretamente relacionadacom o pensamento ma-temático. Desde cedo, ascrianças mais novas sa-bem reunir objetos, e, noplano da ação, executar asoma destes objetos. So-mente, porém, no nívelda conceitualização sãoelas capazes de abstraira construção de coleçõesdistinguindo as totalida-des como tais dos seuselementos. Mais adiantesão capazes de reunir co-leções com distinção datotalidade de conjunto eas subcoleções. No ca-so do exemplo da soma,
  26. 26. 247referem-se às coordenações das ações. Podem-se observaralgumas ações realizadas pelas crianças ao se depararemcom uma situação ou mesmo ao tentarem fazer a “leitura”de um objeto. Mas não se pode ver a coordenação realizadamentalmente que a criança fez ao apropriar-se do objeto ouao generalizar uma situação para uma semelhante àquela emdestaque.Tomemos a noção “talher”, conforme exemplificadopor Kesselring (1990). A característica a ele atribuída não éuma qualidade que os objetos (colher de plástico, garfo deprata, faca com cabo de madeira) possuem como tais, mas simimposta aos próprios objetos por meio da ação humana.Tomemos ainda, como o faz o referido autor, o exemploda laranja: podemos tocá-la, olhá-la, cheirá-la. Podemos aindapercebê-la como um objeto que tem certa forma, tamanho,peso, cheiro e cor, tal como denominamos: cor-de-laranja.Dessa forma, descola-se, por abstração, a forma, a cor edemais atributos deste objeto. Sabemos, no entanto, que acor-de-laranja é encontrada em muitos outros objetos.Capítulo 6a progressão de cada umadestas condutas é abstraí-da das ações precedentes enão dos objetos como tais,manipulados pelas ações.Num plano superior, o su-jeito é capaz de realizarabstrações reflexivas, emque estas ações são reor-ganizadas e coordenadas,numa tarefa de reflexão dacriança que a leva à toma-da de consciência daquelasações. Em nível de abstra-ção reflexiva, a reflexãopassa a ser obra do pensa-mento do sujeito, sob a for-ma de construção retroativatornando-se uma reflexãosobre a reflexão (TAXA,2001).
  27. 27. 248Kesselring (1990) conclui que, ao deslocarmos ou abs-trairmos a cor de uma laranja, detemo-nos no caráter individual,como é o caso da cor apenas da laranja em questão. Masvamos, além disso, pois é possível reconhecer esta mesmacor em outros objetos; e isto se dá graças ao fato de podermosgeneralizar a cor individual da laranja. Conquistamos, assim, porabstração, propriedades dos objetos, como a forma, a cor, opeso entre outras.Como destacado por Moreno (1988), quando diferencia-mos a cor de um objeto, estamos separando esta qualidadedas demais. Assim, ao abstrair a cor implica, simultaneamente,individualizar as qualidades que foram deixadas de lado, ouseja, aquelas que deixamos para reter a propriedade: cor. É nacontraposição de uma propriedade a outras que nos possibilitaabstrair uma propriedade como tal e de forma que caracterizeo objeto analisado.Desde muito cedo as crianças são capazes de realizarestas contraposições no sentido de “separar” uma propriedadede um único objeto, mas quando se trata de fazer o mesmopara um conjunto de objetos, observamos que o processo secomplica consideravelmente.A ESTRUTURA NUMÉRICA E AS ESTRUTURASDE CLASSIFICAÇÃO E DE SERIAÇÃOCapítulo 6
  28. 28. 249A construção do número se dá, segundo Piaget eSzeminska (1975) como síntese de relações de ordem e declasse e suas inter-relações. O número seria então a síntesedas relações simétricas e assimétricas.Por relações simétricas entende-se àquelas que estãorelacionadas à formação da estrutura lógica de classificação.No caso das relações assimétricas, estas se referem àformação da estrutura lógica de seriação.As relações simétricas são aquelas que estabelecemosnos objetos em função de suas semelhanças, ou seja, aomesmo tempo (“motivo”) que aproximo um elemento a deoutro elemento b, passo então a aproximar o elemento b de a.Um exemplo pode ser o seguinte: “se a tem a mesma cor queb, logo b tem a mesma cor que a”.Assim, “classificar” se refere ao agrupamento de obje-tos de um dado universo, reunindo todos os que se parecemnum determinado valor de um atributo, separando-os dos quedeles se distinguem neste mesmo atributo. Quando a criançaconsegue coordenar duas características:a) compreensão – aspecto qualitativo da classe – porexemplo, no caso das frutas: “ser ou não ser laranja, ser ou nãoser fruta);Capítulo 6
  29. 29. 250b) extensão – aspecto quantitativo da classe – porexemplo, quando se aplica os quantificadores “todos e alguns”(RANGEL, 1992, p.103).A figura a seguir, adaptada da análise apresentadapor Rangel (1992) reforça a explicação dada acima sobre asrelações de simetria aplicadas aos objetos.As crianças pequenas (4 a 6 aproximadamente) tendem“agrupar” os objetos alternando critérios em detrimento dascaracterísticas de compreensão e extensão de uma dadaclasse. Isto porque, muitas vezes elas se centram na cor doobjeto; ou ainda, na forma ou mesmo no tamanho.Muitas vezes podemos observar que as crianças peque-nas aproximam os objetos por “conveniência”, constituindouma espécie de figura (coleção figural) de um objeto ou deuma cena.Capítulo 6
  30. 30. 251É de fundamental importância que o professor daEducação Infantil consiga diferenciar quando as criançasestejam elaborando coleções mais em nível figural ou quandojá fazem de forma intermediária para a conquista da estruturade classificação (relações simétricas) dos objetos. Sobretudo,é importante que o professor organize situações diferenciadasque provoquem a mobilização das crianças na construção daclassificação em nível operatório.As relações assimétricas são aquelas que estabe-lecemos ao seriar objetos, tanto na sua forma ascendentecomo também descendente. Tais relações estão presentesna constituição das séries de “assimetria”, porque nos levamà aproximação de um objeto b de um outro a colocado emrelação. Um exemplo pode ser o seguinte: “uma série que vaido menor para o maior, sendo que b é maior do que a e estepor sua vez não “possui” o mesmo motivo para que possamosaproximá-lo de b (RANGEL, 1992, p.110).Podemos empregar atributos variados ao seriar osobjetos, como: pelo tamanho, pela espessura, pelo peso, palavelocidade, pelo volume, pela idade, entre outros.Capítulo 6Figura adaptada da obra de RANGEL (1992, p.105)
  31. 31. 252A criança da Educação Infantil pode apresentar umasérie intuitiva, valendo-se de tateamentos; e mesmo assimnão conseguir“[...] relacionar o próximo bastão a ser colocado como, aomesmo tempo, sendo maior do que os já presentes na série etambém sendo o menor do que todos os que restam. Assim,ela aproxima ao último bastão um qualquer que seja, garan-tido pelo dado perceptivo, suficientemente maior do que esteúltimo e não necessariamente o menor dos que restavam”(RANGEL, 1992, p.112).Analisando situações que envolvem a natureza donúmero, Piaget (1993) explica“ Um número inteiro é uma coleção de unidades iguais entresi, ou seja, uma classe cujas subclasses se tornam equivalen-tes pela supressão das qualidades. Mas ao mesmo tempo, éuma série ordenada, ou melhor, uma seriação de relações deordem. A dupla natureza de ordinal e cardinal resulta de umafusão dos sistemas de encaixamento e de seriações lógicas(...) Agora pode-se compreender porque as correspondên-cias termo a termo permanecem intuitivas durante a primeirainfância...”(PIAGET, 1993,p.55).Piaget e Inhelder (1993) completam:“O número resulta, em primeiro lugar, de uma abstração dasqualidades diferenciais, que tem como resultado tornar cadaelemento individual equivalente a cada um dos outros: 1 = 1 =1 etc. Estabelecido isto, esses elementos se tornam classificá-Capítulo 6
  32. 32. 253veis segundo as inclusões (<): 1 < (1+1) < (1+ 1+ 1) etc. Massão, ao mesmo tempo, seriáveis ( ) e o único meio de distin-gui-los e de não contar duas vezes o mesmo elemento nessasinclusões é seriá-los (no espaço ou no tempo): 1 1 1 etc.O número aparece assim como se constituísse simplesmenteuma síntese da seriação e da inclusão { [ (1) 1] 1 } etc...”(PIAGET e INHELDER, 1993, p.90).Da mesma forma que a exploração de relações simétri-cas (classificações) deve ser objeto de análise e preocupaçãodo professor da Educação Infantil, a solicitação de atividadesque suscitem relações assimétricas também deve ser contem-plada no trabalho docente. Vale ressaltar, no entanto que taisatividades devem superar a “manipulação pela manipulação”dos objetos (blocos lógicos e bastões para montagem da“escada”), pois é preciso encontrar nas atividades cotidianasdas crianças elementos que propiciem novas propostas peloprofessor, superando ainda, as clássicas atividades que apare-cem de forma estática nos livros didáticos sobre classificaçãoe seriação.Contar - enumerar objetosNa atualidade existem muitos estudos que procuramcompreender o que significa para as crianças contar as coisas eas formas de contagem que elas usam, bem como as diversasrelações mentais que elas podem estar fazendo quando estãoconstruindo o conceito de número. Por exemplo, diante de doisCapítulo 6
  33. 33. 254pacotes de balas, depois de fazer a contagem destas balas,uma por uma, diz que “... ali tem oito balas, aqui tem dez,...aqui tem mais, ... quero este porque tem mais..., no outro temmenos.” (MORO, 2004, p.30).Procuraremos abordar a seguir, os estudos que têmapresentado um quadro explicativo à luz dos processoscognitivos sobre o desenvolvimento do conceito de númerodas crianças da Educação Infantil, procurando identificar algunsdos fundamentos que nos ajudam entender como as criançasvão compreendendo o que realmente é o número.A ação do sujeito em situação e a organização de seucomportamento devem ser consideradas quando se pre-tende compreender o sentido das situações e dos símbolos,por exemplo. Por isso, é atribuído ao conceito de esquema5aimportância de não prescindi-lo da análise, uma vez que esteorganiza o comportamento do sujeito, abrangendo regras deação e antecipações.Vergnaud (1985), particularmente, aponta para o fatode que o conceito de esquema tem papel fundamental noCapítulo 65O termo “esquema”é usado para fazer refe-rência aos pedaços bemintegrados de conheci-mento acerca do mundo,de eventos, de pessoas ede ações; tratando-se deum “saber fazer”, de um“plano organizado” do su-jeito (EYSENCK e KEANE,1994; Taxa, 2001).
  34. 34. 255processo de construção numérica e representação dasoperações mentais realizadas pela criança. Os esquemas sãoaliados imprescindíveis para a estrutura cognitiva do sujeito eservem para organizar ao plano do significado, a articulaçãonecessária entre as situações de referências e os significantessimbólicos.O processo de construção do conhecimento pelo sujeitoapóia-se fundamentalmente nos esquemas que ele possui.Os esquemas constituem os elementos básicos por meio dosquais o sujeito poderá atuar sobre a realidade e servem paraorganizar as condutas do sujeito, com base em um recorte dosobjetos, propriedades e relações de diferentes níveis.Partindo-se da concepção piagetiana de que o conhe-cimento é construído com base na interação sujeito-objeto,a assimilação de novos objetos ou situações depende dasestruturas do sujeito. A interação do sujeito com o objetodepende das possibilidades desse sujeito em relação ao objeto,e, conseqüentemente, depende dos esquemas que possui.O conhecimento prático dos alunos, como as ações queexercem, no caso das crianças mais novas, quanto ao fato dejuntar, compor e quantificar objetos constitui a matéria-primapara a construção do conhecimento.Assim, o conhecimento matemático está sustentadopor esquemas organizadores do comportamento, como, porexemplo, o esquema de enumeração. As crianças mais novasao contar pequenas coleções (contar balas ou peças de brin-quedos) não deixam de abranger uma organização invariante,necessária para a manutenção do esquema.Capítulo 6
  35. 35. 256O esquema de enumeração abarca tipos de elementosorganizadores. Abarca um objetivo (associação de uma coleçãoa um número que será sua medida); regras (uma única conta-gem para cada objeto e contar todos os objetos); constantesoperatórias (conceitos em ato -de caráter biunívoco, cardinal,sucessor) e teoremas em ato (no sentido de que o cardinal éindependente da ordem em que se contam os objetos).Quando uma criança conta objetos desde pequena (4-5anos), observam-se evoluções e estabilização. Tal esquemaconsiste num conjunto organizado de gestos, percepções eemissões vocais.A estabilidade diz respeito a dois princípios matemáticos:a) bijecção; b) cardinalidade. Estes dois princípios matemáticossão, no caso da enumeração, indispensáveis ao funcionamentodo esquema. Os erros das crianças nos mostram, por exemplo,que muitas crianças fracassam ao “cardinalizar”, ou seja, fazera identificação do último número-palavra pronunciado comoaquele que representa a medida de todo o conjunto.A bijecção e a cardinalidade estão ligadas aos invariantesoperatórios (conceitos em ato e teoremas em ato) quepermitem ao sujeito selecionar as informações pertinentes edar tratamento a elasO princípio de bijecção refere-se aos gestos da criança,organizados de maneira sincronizada, pois implica que osobjetos sejam contados na sua totalidade (no sentido de suaexaustividade) e uma única vez (no sentido de sua exclusivi-dade). Dessa forma, os gestos das mãos e olhos não devemesquecer nenhum dos objetos, não deixando de controlar, porCapítulo 6
  36. 36. 257exemplo, a contagem repetida ou a falta da contagem de umdos objetos.O princípio da cardinalidade refere-se à série de palavraspronunciadas. Por exemplo, a palavra cinco é pronunciada duasvezes: “um, dois, três, quatro, cinco... cinco”. A palavra “cinco”primeiramente remete ao quinto e último elemento da coleçãoe, em seguida, remete à coleção completa, designando ocardinal da coleção.O tom empregado pela criança para pronunciar as duaspalavras é diferente. Como o léxico não marca esta diferença,o tom o faz. Algumas crianças voltam a contar a coleção todapara responder “quantos objetos” e não compreendem queresponder “cinco” seria o suficiente.A CORRESPONDÊNCIA TERMO A TERMO E ACONSTRUÇÃO DO NÚMEROAs pesquisas piagetianas mostraram que no processo daconstrução do número a criança deve compreender o princípiode correspondência um a um, contando cada objeto de umconjunto uma vez e apenas uma vez. Também devem dar-seconta de que apesar de alterações na aparência, permanecemidênticas seja qual for a disposição espacial.Capítulo 6
  37. 37. 258Piaget e Szeminska (1975) lembram, no entanto, quequando a correspondência termo a termo surge no decorrerda evolução da estrutura numérica, e, embora necessária,não é suficiente para a consolidação da mesma. Estão emjogo os aspectos cardinais e ordinais do número citadosanteriormente.Moro(2004) explica que“É bom lembrar que a correspondência termo a termo oubiunívoca consiste na relação seguinte: para cada elementode uma coleção há um elemento de outra. Ela traz à criançaas primeiras noções de igualdade ou de equivalência numé-rica, quando lhe permite compreender que há “o mesmotanto igual de fichas, aqui e lá porque cada uma tem o seupar...”(MORO, 2004, p. 31).Piaget (1993) assinala que pequenos números são aces-síveis às crianças mais novas em razão de serem númerosintuitivos correspondentes a figuras perceptivas. Quandosolicitamos que crianças de 4-5 anos aproximadamente,construam uma fileira de fichas brancas com base em umafileira já construída de, por exemplo, 8 fichas verdes, é comumque estas crianças construam uma fileira de fichas brancasde mesmo tamanho que as das verdes. Estas crianças nãodemonstram preocupação com o número de elementos,tampouco com a correspondência termo a termo de cada fichabranca com cada ficha verde.Capítulo 6
  38. 38. 259Os estudos de Piaget neste tipo de tarefa evidenciaramuma forma primitiva de intuição, na qual a criança avalia a quan-tidade somente pelo espaço ocupado, ou seja, pelos aspectosperceptuais das coleções e não pela análise das relações.A partir de 5 anos, aproximadamente, as crianças ten-dem a equiparar, por exemplo, uma ficha vermelha em frente acada ficha amarela e concluem, com base na correspondênciatermo a termo, a igualdade das coleções.Ao serem alternadas, porém, as disposições dasfichas, estas crianças passam a avaliar quantidades desiguaisentre as coleções. As crianças mantêm a equivalência namedida em que exista a correspondência visual, não resultandono argumento de conservação por correspondência lógica.Os referidos autores verificaram a relação entre o esque-ma de correspondência e a conservação do número analisandoa transição entre a correspondência espacial, entendida comoCapítulo 6
  39. 39. 260um tipo de correspondência perceptualmente constatável e acorrespondência temporal, na qual a criança não tem acessovisual dos elementos a serem correspondidos.A correspondência visual ou espacial evidencia apenasesquemas de ação ligados à percepção e não a esquemasinteriorizados como representação. Igualar quantidades deuma coleção à outra por correspondência termo a termo nãosignifica que as crianças estejam considerando aspectos cardi-nais e ordinais do número. Tais aspectos podem se manifestarde maneira indiferenciada nas ações das crianças, conformeexposto na seqüência, a respeito dos tipos de correspondên-cias empregadas pelas crianças.A correspondência denominada temporal insere-se noquadro da inferência quantitativa e está diretamente ligada àconstrução necessária da conservação da igualdade numérica.Piaget e Szeminska (1975), a respeito da construção donúmero destacam tipos de correspondências diferenciadascomo esquemas quantitativos em situações nas quais as crian-ças são levadas a utilizar a correspondência termo a termo.A primeira delas, “correspondência estática com obje-tos hetereogêneos” indica que é a natureza do material queprovoca o estabelecimento da correspondência. Exemplificaque, em uma coleção de pires e xícaras, as crianças farão acorrespondência conforme o caráter ou significado utilitário domaterial, e, baseando-se nesse critério, constituem coleçõesequivalentes. Neste primeiro tipo de correspondência, osdados são fornecidos ao sujeito por meio da percepção, oumelhor, prevalecendo os dados perceptuais.Capítulo 6
  40. 40. 261A “correspondência estática com objetos homogê-neos” ocorre, ou, ainda, é estabelecida não mais com baseno que o material pode provocar. Estabelece-se uma corres-pondência (por exemplo, entre fichas de cor azul e vermelha)apenas quando o sujeito sente internamente a necessidadede coordenar relações percebidas no espaço ocupado pelosobjetos dados.Por fim, a “correspondência dinâmica” refere-se à trocade um contra um realizada pela criança. Um exemplo comumé a troca de uma mercadoria por uma moeda que equivale aoseu pagamento.Ao relacionarmos estes tipos de correspondência coma aprendizagem da contagem, observa-se que mesmo quea criança já tenha “aprendido a contar”, neste nível, ela nãoconseguirá empregar esta aprendizagem como instrumentoconfiável para solucionar o problema proposto, como o deigualar as fichas das duas coleções. Somente quando acorrespondência termo a termo, que, no início, era qualitativa,torna-se, então, numérica, a numeração falada atinge o seu realsignificado e passa a ser utilizada como instrumento lógico. Aoacrescentar um novo elemento à série que está quantificando,a criança preocupa-se apenas com a relação criada em suamente de colocar mais um.As crianças conseguem resolver muito dos problemassobre contagem pela correspondência termo a termo. Um bomexemplo disto se refere a propor situações-problema (De MiguelVallejo e Taxa, 1998) que solicitem delas uma solução queimplique calcular o “a mais que”, “a menos que” ou “igual a”.Capítulo 6
  41. 41. 262Pensemos em uma aula da Educação Infantil em queo professor proporia o seguinte problema de matemática“Zeca trouxe hoje no seu estojo 9 lápis para colorir suasatividades e Chica que vai trabalhar com ele na sala trouxe4 lápis a mais que ele. Quantos lápis a Chica trouxe?”.Uma das explorações possíveis pelo professor depois daleitura coletiva do problema seria a dramatização da situaçãofeita pelas próprias crianças e, em seguida, a análise passo apasso da atividade de dramatizar pela professora, buscandoelucidar com elas a quantidade de cada um dos sujeitos do pro-blema e de estabelecer então uma relação de correspondência(termo a termo) entre as quantidades e discutir posteriormente:“O que ou quantos eles têm (em termos de quantidade delápis) igual ?”, “Depois que vemos a quantidade de lápis igualentre os dois (Zeca e Chica) o que podemos observar?”, “Oque são estes lápis aqui ? (apontar para os que estão a mais).Capítulo 6
  42. 42. 263Vimos como o esquema de correspondência termoa termo desempenha papel fundamental para a construçãodo número, mas a consolidação de tal construção implica,sobretudo, síntese recíproca das duas estruturas lógicas: a daclassificação e a da seriação.Considera-se importante que o próprio professor daEducação Infantil investigue na sala de aula o processo deconstrução do conceito de número com base nas tarefas quepropõe a seus alunos. Aspectos como o desenvolvimentodos sentidos dos números para as crianças, a classificação,a seriação, a contagem e a correspondência termo a termosão eixos fundamentais do ponto de vista conceitual para aaquisição do conceito de número e devem ser transformadospelo professor sob forma de atividades rotineiras que envolvamo trabalho com a Matemática na Educação Infantil.Na perspectiva piagetiana, a prática docente dosprofessores deve estar comprometida primeiramente com umestudo aprofundado de como o sujeito constrói conhecimento;considerando o funcionamento cognitivo, a trajetória de cons-trução das estruturas numéricas e o saber inicial da criançaem relação a conteúdos voltados à compreensão do númeroorganizados na Educação Infantil.Capítulo 6
  43. 43. 264REFERÊNCIASCARRAHER, T.N. O desenvolvimento mental e o sistemanumérico decimal. In CARRAHER, T.N. (org.). Aprenderpensando. Petrópolis: RJ, 16ª ed, 2002, p.51-68.DE MIGUEL VALLEJO; TAXA, F. de O.S. Intervenção psico-pedagógica em resolução de problemas aritméticos: umaexperiência na perspectiva de temas transversais em educa-ção. In Anais do XV Encontro Nacional de Professores doPROEPRE. Águas de Lindóia:S.P, Setembro, 1998, p.242-243.EYSENCK, M. W.; KEANE, M. T. Psicologia Cognitiva – ummanual introdutório. Trad. Wagner Gesser e Maria HelenaF.Gesser. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.GALLAGHER, J. M. Reflexive Abstraction and Education –The meaning of activity in Piaget’s Theory. In J.M. Gallagher;J.A. Easley (Eds). Knowledge and development, v. Piagetand education. New York: Plenum, 1978.KAMII, C. A Criança e o Número- Implicações educacio-nais da teoria de Piaget para a atuação junto a esco-lares de 4 a 6 anos. Trad. Regina A.de Assis. 16ªed. Campi-nas-SP: Papirus, 1992.Capítulo 6
  44. 44. 265KESSELRING, T. Os quatro níveis de conhecimento em JeanPiaget. In Educação e Realidade. Porto Alegre, 15 (1): 3 –22, jan/jun, 1990,p. 3-21.MORENO, M.M; SASTRE, G. et al. Enciclopedia Practica dePedagogía - El niño en las etapas de la enseñanza. EditorialPlaneta, Barcelona, Espanha, 1988.MORO, M.L.F. Contar, emparelhar coleções. Colocar e reti-rar elementos das coleções... O longo e rico caminho dascrianças para compreender os números. In PIROLA, N.A.,TAXA-AMARO. F.de O.S. Cadernos de Formação –Educação Matemática – Universidade Estadual Paulista/UNESP -Publicação da Pró-reitoria de Graduação, 2004,p.29-42.NOGUEIRA, C.M.I., MONTOYA, A.O.D. O desenvolvimen-to das noções matemáticas na criança e seu uso no contex-to escolar: um estudo psicogenético. In MONTOYA, A.O.D.(org.). Cadernos de Formação – Psicologia da Educação– Universidade Estadual Paulista/UNESP -Publicação da Pró-reitoria de Graduação, 2004, p.119-136.PIAGET, J.; SZEMINSKA. A. A gênese do número nacriança. Trad. Christiano M.Oiticica. Rio de Janeiro: Zahar,1975.PIAGET, J.; INHELDER, B. A psicologia da criança. Tr.de Octávio M.Cajado. 12ªedição. Rio de Janeiro: EditoraBertrand Brasil, 1993.Capítulo 6
  45. 45. 266PIAGET, J. Seis Estudos de Psicologia. Tr. de Maria AliceM.D’Amorim, Paulo S.L.Silva. 19ªedição. Rio de Janeiro:Forense Universitária, 1993.RANGEL, A.C.S. Educação Matemática e a Construçãodo número pela criança- uma experiência em diferentescontextos sócio-econômicos. Porto Alegre: Artes Médicas,1992.TAXA, F. de O.S. Problemas multiplicativos e processode abstração em crianças na 3ª série do ensino funda-mental. Campinas: Faculdade de Educação da Unicamp.Tese (doutorado) na área de Psicologia Educacional, 2001.TURKEL, S.; NEWMAN, C.M. Qual é o teu número? Desen-volvendo o sentido do número. In INSTITUTO POLITECNI-CO DE LISBOA- ESCOLA SUPERIOR DE EDUCAÇÃO - ONÚMERO- Textos de apoio. Lisboa, 1988, 25-31.VERGNAUD, G. Concepts et schèmes dans une théorieopératoire de la representation. Psychologie Française, nº30-3/4, nov, 1985, p.245-252.Capítulo 6
  46. 46. 267TRABALHANDO COM A COMPREENSÃODA CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DENÚMERO DAS CRIANÇAS DA EDUCAÇÃOINFANTILATIVIDADES PARA OS PROFESSORES E PARA ASPROFESSORASATIVIDADE 1O texto inicialmente abordou a importância do desenvolvi-mento dos sentidos dos números nas crianças. Discutam cadaum dos 5 tópicos expostos no texto e em seguida preenchamo quadro abaixo selecionando também as atividades que cadaum dos itens sugeriu ao professor. Em seguida, elaboremconjuntamente outras possibilidades de trabalho do professorsegundo o contexto da sua sala de aula.Capítulo 6Sentidos dos Números Sugestões dadas notextoSugestões elaboradas apartir da discussão emgrupoLocalizaçãoOrdenaçãoIdentificaçãoMedirEstimar
  47. 47. 268ATIVIDADE 2Façam uma coleta de dados dos livros didáticos (clássi-cos e os recentes) que propõem atividades sobre o número.Analisem e discutam aqueles que tendem a um ensino quevaloriza atuações mais tradicionais como enfocado pelo texto.Registrem coletivamente as atividades que lhes parecem estarmais aproximada da crítica apontada pelo texto teórico.Em seguida, discutam sobre as atividades coletadas quetendem à exploração, por exemplo, da correspondência termoa termo ou da contagem para favorecer a aquisição do conceitode número. Selecionem até duas atividades e conjuntamentecriem, a partir da atividade original, uma adaptação possível deser executada com seus alunos e alunas.Registro da discussão coletiva entre os professoresCapítulo 6
  48. 48. 269TRABALHANDO PARA A CONSTRUÇÃODO CONCEITO DE NÚMERO DAS CRIAN-ÇAS DA EDUCAÇÃO INFANTILATIVIDADES PARA OS ALUNOS E AS ALUNASORIENTAÇÕES GERAISObjetivoProporcionar situações diferenciadas que impliquem con-tagem (um a um, dois em dois, três em três, etc...), utilizaçãodo esquema de correspondência termo a termo, manipulaçãode objetos pertinentes à situação, necessidade de representa-Atividades selecionadas Adaptação da atividade para a realidadedo professorCapítulo 6
  49. 49. 270ção gráfica (desenho dos objetos, de “bolinhas” ou “traçados”que representem os objetos contados e de numerais), bemcomo promover discussões individuais e coletivas entre oprofessor e as crianças como forma de organizar idéias préviase estratégias de solução.ATIVIDADE 11º) Solicitar que as crianças utilizando palitos6(sorvete ou de dentes) elaborem uma cena a partirdeste material. O professor poderá, no entanto,estipular a quantidade de palitos ou de tampinhas: “com 5palitos”, “com 9 palitos” e assim sucessivamente.2º) Permitir que as crianças discutam coletivamentesobre os cenários possíveis de se elaborar a partir da quan-tidade dada, favorecendo a troca de idéias.Após a realizaçãoda tarefa, o professor deverá dar um determinado tempo paraque as crianças possam observar o que cada um dos colegasrealizou.3º) Em seguida, o professor proporá a seguinte questão:“Como mostrar que usamos ______ palitos para fazero cenário?”. Nesta etapa da atividade, o professor deveráincentivar as crianças a registrarem no papel o que fizeram, deforma que registrem tanto as representações pictóricas quantoo registro do total geral de palitos usados, com notação dosCapítulo 66O professor tambémpoderá variar a atividadedando aos alunos tampi-nhas de garrafas ao invésde palitos.
  50. 50. 271numerais pertinentes. No final do registro, o professor deveránovamente expor todos os trabalhos e discutir as diferentesformas de mostrar a quantidade de palitos utilizados.ATIVIDADE 21º) Solicitar que as crianças reflitam sobre as diferentespossibilidades de as pessoas fazerem coleções de objetos,como: selos, figurinhas, entre outros. Depois de exposta a idéiadas crianças, o professor poderá pedir que as crianças escolhamum tipo de objeto e a quantidade que querem registrar para acoleção escolhida.2º) Deixar que as crianças desenhem em uma folha depapel a coleção que escolheram e a respectiva quantidade.1 2 3 4 5 6 7 8 9Capítulo 6
  51. 51. 2723º) Em seguida, o professor poderá fazer uma outra folhade registro, buscando elaborar um quadro comparativo entre asvárias quantidades e registros elaborados por cada criança.ATIVIDADE 31º) Selecionar 7 palitos e 7 tampinhas e pedir que ascrianças elaborem um cenário com este material. Tal comoindicado na primeira atividade, o professor deverá explorar oscenários. Depois, propor que as crianças elaborem as váriaspossibilidades de fazer a correspondência entre cada palito etampinha.Algumas possibilidades seriam7:“Zequinha” “Chiquinha” “Kiko” “Aninha” “Teodoro”NICOLAU(2000, p.202)Capítulo 67NICOLAU, M.L.M. Su-gestões de atividades deMatemática. In NICOLAU,M.L.M. A educação pré-escolar -fundamentos edidática. São Paulo: Edi-tora Ática, 10ª ed., 2000,p.198-211.
  52. 52. 2732º) O professor deverá escolher um tipo de correspon-dência elaborado pelas crianças e propor uma situação-pro-blema: “Agora quero que vocês pensem em uma situaçãopara aumentar a quantidade de palitos sem mexer nasde tampinhas. Quero que tenham 2 palitos a mais que astampinhas”.A partir deste questionamento, o professor poderá soli-citar de uma quantidade inicial (6 palitos e 6 tampinhas) comtampinhas “a menos que “ ou “a mais que” as de palitos. Avariação das quantidades ficará a critério do professor conformeo grupo-classe corresponda aos questionamentos.TRABALHANDO BASES NUMÉRICAS NAEDUCAÇÃO INFANTILATIVIDADE 4ObjetivoIdentificar que existem várias maneiras de agrupamentosdas quantidades, reconhecendo e registrando agrupamentosnas bases 2 e 3.Desenvolvimento da atividade - A Caixa de brinquedosAgrupando de dois em dois8Material: Papel sulfite, giz de cera ou lápis de cor (pararegistro), brinquedos e caixas.Capítulo 68Ao se trabalhar coma base 2, o professor nãodeverá ultrapassar a quan-tidade de 3 elementos aserem dados para as crian-ças procederem ao agrupa-mento, pois caso contrárioestaria possibilitando o re-agrupamento, aspecto esteque deverá ser trabalhadocom crianças maiores dasséries iniciais do ensinofundamental.
  53. 53. 274Descrição da atividade: O professor deve entregar paracada criança uma caixa. Explicar, inicialmente, que devem guar-dar (agrupar), exatamente, dois brinquedos dentro da caixa. Emseguida deve distribuir três brinquedos para cada aluno e pedirpara que agrupem conforme explicado. Após isso questioná-los de como ficou a distribuição com três brinquedos e emseguida fazer o mesmo para dois e um brinquedos.Algumas questões podem ser:“Temos uma caixa com 2 brinquedos”“Com 3 brinquedos deu para montar uma caixa e sobrou1 brinquedo, ele ficou para fora...”Essas respostas devem ser discutidas, e cada professoradequaria a forma de perguntar.A última etapa da atividade será o registro dos alunos.O professor deverá entregar uma ficha na qual os alunosrepresentarão as situações trabalhadas.Ao lado, apresentamos uma ficha para o professorter um parâmetro da possibilidade de registro. No entanto,o professor não precisa necessariamente apresentar oquadro abaixo “pronto” e sim, elaborá-lo passo a passo com asCapítulo 6
  54. 54. 275próprias crianças. Uma das discussões fundamentais sobre aatividade de agrupamentos se refere à compreensão da criançana diferenciação da quantidade inicial que pode ser agrupadade 2 em 2 ou 3 em 3, etc, bem como a forma de registro podevariar entre cada um dos tipos de agrupamentos que se faz.MODELO DE FICHA PARA O PROFESSORNÚMERO DE OBJETOS OBJETOS AGRUPADOSDOIS A DOISSOBRA1 0 12 1 03 1 1Capítulo 6
  55. 55. 276Para o preenchimento deste quadro, as crianças daEducação Infantil tenderão a fazer o desenho pictórico, ou seja,desenhar a caixa com “2 ursinhos dentro” e “um ursinho forada caixa”. Desta forma,a representação do numeral acompanhaa do desenho, não valorizando uma em detrimento da outra,como por exemplo, fazer somente o registro numérico dasituação.Atenção ! Professor: É importante destacar cada quan-tidade inicial trabalhada, pois quando não houver brinquedossuficientes para colocar na caixa (situação da primeira linha), oregistro apresenta-se de uma forma; e quando houver 1 ou 3brinquedos, provocará sobras (situação das linhas 1 e 3). EstaMODELO DE FICHA PARA ALUNOSNÚMERO DE OBJETOS OBJETOS AGRUPADOSDOIS A DOISSOBRA123Capítulo 6
  56. 56. 277atividade pode ser realizada com outros objetos como: fichas,feijões, palitos, entre outros objetos disponíveis e do entornoda criança.Todos os agrupamentos devem ser registrados dealguma forma: ora somente pelo desenho, ora pelo desenho eutilização de traçados ou bolinhas para representar os objetos,roa pelo desenho, e numerais.O trabalho com os agrupamentos não deverá serdado em um mesmo momento. É importante que o professortrabalhe constantemente e pouco a pouco tais atividades.Agrupando9balas 3 a 3Material: papel crepom, papel dobradura de diversascores, sacos plásticos (embalagens), papel sulfite.Descrição da atividadeNo primeiro momento, o professor deverá elaborar,juntamente com os alunos, a montagem das balas. Para isso,entregar papel crepom e solicitar que os alunos façam “boli-nhas” e embrulhem com papéis coloridos (papel dobradura,por exemplo), formando assim as balas. Feito isso, o professorcolocará todas as balas em uma caixa, onde cada aluno deverápegar uma quantidade de no máximo oito balas, já que estásendo trabalhada a base 3.Em seguida, explicar que as balas serão agrupadas 3 a3, formando um pacote. Pedir que façam os pacotes com as 8balas que possuem. O professor deverá em seguida, construiruma tabela na lousa como um exemplo, juntamente com osCapítulo 69Ao se trabalhar coma base 3, o professor nãodeverá ultrapassar a quan-tidade de 8 elementos aserem dados para as crian-ças procederem ao agrupa-mento, pois caso contrárioestaria possibilitando o re-agrupamento, aspecto esteque deverá ser trabalhadocom crianças maiores dasséries iniciais do ensinofundamental.
  57. 57. 278alunos, para melhor compreensão. No processo de agrupa-mento das balas, fazer em seguida o preenchimento da tabela.O professor deverá questionar os alunos quanto aos possíveisresultados, como por exemplo: “quantos pacotes podemosformar com 4 balas?”, “quantas balas irão sobrar?”, “qualo número máximo de balas que poderá sobrar?”.Depois da discussão coletiva, entregar uma tabela deregistros (figura 1), para cada aluno, deixá-los preencher emgrupos de duas a três crianças e retomar novamente a discus-são coletiva contemplando os registros feitos.O professor poderá variar com a quantidade inicial paraagrupamentos na base 3 (desde que não ultrapasse 8 balasiniciais para não dar reagrupamento) e fazer a análise conjuntacom as crianças de que podemos ter formas diferentes comquantidades diferentes de empacotar as balas.Capítulo 6Figura 1
  58. 58. 279Orientação para o professor: O professor poderá uti-lizar este material na elaboração de atividades lúdicas, comopor exemplo, uma fábrica de balas, onde cada grupo decrianças teria um estabelecimento, que receberia pedidos declientes encomendando quantidades diversas de bala (pacoteou unidade). É importante ressaltar, que através da anotaçãodesses pedidos, os alunos estariam realizando, intuitivamente,operações de soma, subtração, multiplicação e divisão.Segueabaixo um exemplo da tabela de registros preenchida:FIGURA 91Capítulo 6
  59. 59. 280Capítulo 6ANOTAÇÕES
  60. 60. 281Capítulo 6ANOTAÇÕES
  61. 61. CAPÍTULO7EMÍLIA DE MENDONÇA ROSA MARQUESOPERAÇÕES ARITMÉTICAS
  62. 62. 283Neste capítulo abordaremos as Operações Aritméticas,dividindo o tema em Um pouco de História, Conceituação,Estratégias para o ensino, Avaliação e Propostas de Atividadespara o Ensino da Aritmética para alunos da Educação Infantil.Ao final sugerimos uma Bibliografia que consideramos interes-sante para os educadores de crianças de 0 a 6 anos.1. UM POUCO DE HISTÓRIAA matemática tem seu início marcado pela invençãodos números para contar, o que também marca o início daaritmética, que é a arte de comparar e calcular grandezas. Estainvenção está essencialmente vinculada a problemas práticos enecessidades comerciais, tais como: contar rebanhos, repartirbens ou áreas de terras, construir casas, registrar intervalosde tempo e prever épocas de chuvas ou de seca. Os grandesimpérios da Antigüidade, os persas, os hindus, os chineses,os egípcios, os babilônicos e, mais tarde, os maias, os astecase os incas, na América desenvolveram algum tipo de sistemanumérico, de aritmética e de geometria.A noção de quantidade, ou de número, e a capacidadede quantificar são inerentes à inteligência humana e se desen-volvem com o tempo. Atualmente, pesquisas comprovam quealguns animais possuem “habilidade numérica”, isto é, noçãode quantidade, porém não possuem capacidade para desenvol-Capítulo 7
  63. 63. 284ver o conceito de número, como os humanos. Na medida emque as sociedades crescem e se tornam mais diversificadas,os sistemas numéricos ficam mais complexos. Na pré-históriae em algumas tribos indígenas contemporâneas, a numeraçãonão vai além do dois ou do três. A civilização egípcia, no entan-to, realizava cálculos complexos e trabalhava com númerossuperiores a 1 milhão no século XXX a.C.Em um sistema numérico, os números são representa-dos por símbolos. A quantidade de símbolos de um sistemanumérico, e sua organização variam de acordo com a base decontagem utilizada. O sistema decimal, por exemplo, cuja basede contagem é 10, é chamado de Sistema de Base 10, poisutiliza apenas dez símbolos diferentes para representar todosos números. Os símbolos atuais são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. O sistema numérico decimal é organizado em unidades,dezenas (dez unidades), centenas (dez dezenas), milhares (dezcentenas), etc. Ele é também um sistema posicional, o quesignifica que a posição do símbolo no número indica o seuvalor. No número 2.314, por exemplo, o 2 indica a quantidadede milhares, o 3 indica a quantidade de centenas, o 1 indica asdezenas, e o 4 indica as unidades.Existem outros sistemas numéricos, por exemplo, osistema adotado na Mesopotâmia Antiga, o sistema de base60, no qual existiam símbolos específicos para representar asunidades de 1 a 59. Há relatos de que o sistema numérico debase 60 foi utilizado no século XVII a.C., tanto na aritmética ele-mentar como para efetuar complicados cálculos astronômicos.Sabe-se também, que o sistema não apresenta um símboloCapítulo 7
  64. 64. 285para o zero, deixando-se um espaço em branco na escritados números para indicar sua posição quando da realizaçãode cálculos. A medida usada para ângulos e para a contagemdas horas é uma herança desse sistema numérico. Tal sistemafoi considerado muito prático, visto que podem ser realizadasvárias divisões exatas por 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 12, evitando, assim,a ocorrência de frações. Seus múltiplos também permitemexpressar com facilidade alguns fenômenos físicos. Osbabilônios, por exemplo, optaram por dividir o círculo em 360º(que é 60 x 6), devido a uma analogia feita entre o círculo e omovimento do Sol, ao longo do ano. Assim, o Sol desloca-secerca de um grau por dia neste círculo aparente que executaem torno da Terra. Nesse sistema a equivalência é dada daseguinte forma: um grau equivale a 60 minutos e um minutoequivale a 60 segundos.Os historiadores não possuem consenso a respeito dainvenção do zero. Alguns a atribuem aos povos da MesopotâmiaAntiga, outros aos árabes, ou até mesmo a hindus e chineses.Entretanto sabe-se que essa invenção aumentou a precisão detodos os cálculos e trouxe um grande desenvolvimento para aaritmética e a astronomia.Os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, chamadosde algarismos arábicos, foram inventados pelos hindus, porvolta do século V d.C., para um sistema de numeração debase 10, com notação posicional. O uso do zero pelos hindusé registrado no século VII, na obra Brahmasphutasidanta(A abertura do universo), do matemático Brahmagupta. Osistema numérico dos hindus é divulgado pelo livro Sobre aCapítulo 7
  65. 65. 286arte indiana de calcular, escrito em 825 d.C. pelo matemáticoe astrônomo persa al-Kwarizmi, origem das palavras algarismoe algoritmo. A obra de al-Kwarizmi chega à Espanha islamizadano século X. Os símbolos numéricos hindus são adotadospelos comerciantes italianos e propagam-se por toda a Europa.Os algarismos foram então chamados de Algarismos Arábicosem contraposição ao Sistema Numérico Romano1, aindautilizado na época.Para a realização de cálculos aritméticos os dedos ealguns materiais como pedras e ossos foram utilizados durantemuito tempo, atendendo plenamente as necessidades davida que se levava. Entretanto, com o avanço da astronomia,as quantidades ficaram muito grandes e esses recursos nãoatendiam mais as novas necessidades. Assim para resolveressa questão inicia-se uma busca constante por melhoresinstrumentos de cálculos. A melhoria dos registros das quan-tidades, e das operações realizadas (métodos operacionais)passam a ter papel fundamental nesse processo. Os sistemasde representação numérica surgem e se consolidam conformea necessidade e cultura dos povos.Os chineses, por exemplo, usavam palitos para fazeras operações aritméticas. No início, os palitos eram grandes,depois foram diminuindo, e eram usados também comosímbolos para representar os números de 1 a 9. Cada númerotinha um valor dependendo da sua posição no conjunto depalitos. Para fazer as operações eles utilizavam um tabuleiroparecido com aquele do jogo de damas (ou xadrez). Os gruposde palitos eram colocados em casas que representavamCapítulo 71Esse sistema numé-rico não é posicional e uti-liza os seguintes símbolos:I (um), V (cinco), X (dez),L (cinqüenta), C (cem),D (quinhentos) e M (mil).Para fazer os milhões co-loca-se um traço sobre ossímbolos.
  66. 66. 287unidades, dezenas, centenas, etc. Como não existia nenhumsímbolo para o zero, os chineses simplesmente deixavam oespaço em branco na escrita e quadrados vazios no tabuleiro,conforme relatado por historiadores.Outro instrumento de cálculo da antiguidade é oábaco (Figura 1), chamado carinhosamente de “calculadora debolinhas”, que surgiu por volta de 2500 anos a.C. Os ábacoshorizontais, ainda hoje facilmente encontrados no comércio,consistem numa moldura de madeira onde são fixados algunsfios de arame, com dez bolinhas em cada fio. As bolinhasdo primeiro fio representam as unidades, as do segundo asdezenas, as do terceiro, as centenas e assim por diante (FiguraCapítulo 7Figura 1 (b)Figura 1 (a)
  67. 67. 2881 (b)). Para a realização de cálculos com eles, deve-se consi-derar que cada bolinha de um certo fio vale 10 bolinhas do fioimediatamente superior a ele. Mantendo-se todas as bolinhasà direita do ábaco, os números são “digitados” empurrando-as para o lado esquerdo. Para representar o zero, basta nãomexer nas bolinhas, deixando-as à direita do ábaco. Na figura1(a) temos “digitados” os números 30.406 e 6.060.503. Oábaco foi usado em quase todas as partes do mundo.Com o avanço das tecnologias surgiram as calculadoraseletrônicas e os computadores, ferramentas tão poderosasque ultrapassaram as necessidades da Aritmética e hoje sãoutilizadas até mesmo para o ensino da Matemática.Hoje, a aritmética faz parte do conteúdo proposto parao Ensino Infantil em nosso país, tendo em vista que fazemoscomparações e medimos grandezas a todo o momento emnossas vidas. Deste modo é importantíssimo que os nossospequenos alunos possam percorrer o caminho do aprendizadoda aritmética de forma natural e agradável, percebendo quea aritmética não é um amontoado de regras e sinais, semsignificado e nem utilidade.Do mesmo modo que na história da humanidade, ascrianças, seus pais e professores, devem perceber a utilidadeda aritmética e da resolução de problemas em situações docotidiano como compras em cantinas, lojas e supermercados;pontuação e classificação de times de futebol nos campeona-tos; literatura infantil, jogos e brincadeiras, dentre outras.Capítulo 7
  68. 68. 2892. CONCEITUAÇÃOAs operações aritméticas são relações entre númerostais que, a cada dois números associa-se um terceiro. Esseconceito é bastante explorado quando utilizamos jogos comdois dados, por exemplo, nas trilhas, pois a cada jogada osvalores obtidos são associados ao número de casas a serempercorridas.A operação de Adição está associada à idéia de juntar, dereunir e de acrescentar. Estas idéias intuitivas, que adquirimosna vida e levamos para a escola, constituem o ponto de partidapara o aprendizado da Adição que está presente na próprianoção de número e na construção do sistema de numeraçãodecimal. Por outro lado, a operação de Subtração está asso-ciada à idéia de retirar (como o inverso de adicionar), o que atorna uma operação não tão natural como a Adição. Visandomelhor compreensão dessa operação devemos destacar suaassociação às idéias de comparar e de completar, que são maisnaturais. Lembremos ainda que a idéia de retirar quantidadesque faz sentido para crianças do Ensino Infantil é a retiradade quantidades menores daquelas maiores existentes nasquestões e problemas.A operação de Multiplicação aparece comumenteassociada à soma de parcelas iguais, entretanto também podeser relacionada com a organização de área e com o raciocíniocombinatório. Por exemplo: a área de uma certa sala, cujo chãoé recoberto por ladrilhos quadrados enfileirados, pode ser dadaa partir da quantidade total de ladrilhos que recobrem a sala.Capítulo 7
  69. 69. 290Para que não precisemos contar um por um, os ladrilhos dosolo, podemos contar os ladrilhos de uma fileira e multiplicarpelo número de fileiras existentes. O raciocínio combinatóriotambém deve ser explorado nesse momento, utilizando porexemplo a formação de grupos de trabalho: “Quantos gruposde 3 alunos poderíamos formar na nossa turma?”. Naturalmen-te que nessa idade não se pode simplesmente fazer a perguntae aguardar as respostas, deve-se construir grupos diferentes,para diferentes atividades e contá-los, somente depois de reali-zar essa atividade muitas vezes, deve-se utilizar a multiplicaçãorelacionada a esse tipo de raciocínio.A idéia associada à operação de Divisão, nesse inícioenvolve apenas os atos de distribuir, repartir ou mesmo dividirquantidades, e deve ter seu ponto de partida em experiênciascom situações em que ela, espontaneamente, reparte, divide,distribui. Como tem sido destacado por diversos pesquisadoresda área da Educação Matemática, precisamos nos preocuparcom as divisões que as crianças realizam nas atividades, jogose brincadeiras, ou na hora de repartir o material de classe, ouaté mesmo o lanche e sempre que oportuno, discutir comelas o critério que usaram para dividir. No momento de proporuma atividade de divisão deve-se tomar o cuidado de propordivisões exatas, ou no caso de não ser exata, ressaltar o fato deque sobrou ou faltou uma certa quantidade.Nesse sentido, o professor da Educação Infantil precisacompreender como se processam as operações aritméticas enão apenas saber resolver as operações que se apresentam.Ressaltamos também, que as operações apresentadas seCapítulo 7
  70. 70. 291completam e devem ser trabalhadas de forma simultânea, oque significa a construção dos conceitos das várias operaçõesaritméticas de forma conjugada, não sendo aconselhávelesperar que as crianças estejam dominando o conceito daoperação de Adição para então introduzir as idéias da operaçãode Subtração.Problemas com mais de uma operação devem sertrabalhados no decorrer das atividades. Desta forma a criançaprecisará desenvolver o raciocínio lógico e a elaboração dopensamento, e também identificar, em cada momento, quala operação que está sendo requisitada para a solução doproblema, jogo ou atividade, propostos.As crianças da Educação Infantil estão pensando eresolvendo problemas o tempo todo, pois este é o caminhopara o aprendizado do mundo que as cerca, bem como de seufuncionamento. Elas aprendem rapidamente que se obtiveremsoluções adequadas para seus problemas são recompensadascom situações de conforto, segurança, carinho e até mesmoa satisfação biológica das necessidades básicas. O bebê, porexemplo, que joga o objeto no chão para que o adulto o pegue,e o faz muitas vezes, está tentando aprender sobre a gravidade,mesmo que ele não saiba disso ainda. Se, porém, o educadorsabe disso, não vai incomodar-se em pegar o objeto por váriasvezes e o devolver à criança.Fazendo uma analogia ao exemplo dado, o educadorterá mais paciência com as crianças em suas várias fases depensamento lógico, tornando o caminhar delas mais tranqüilo,saudável e agradável, sempre que compreender tais fases.Capítulo 7
  71. 71. 292Lembramos que a ansiedade do educador pelo registro dasoperações geralmente prejudica as crianças, fazendo com queelas pensem menos e imitem mais. Imitar tem o seu papelno ensino e aprendizagem da aritmética, porém não podemosexagerar, ultrapassando os limites dos pequenos alunos.O registro das operações aritméticas envolve linguagemsimbólica, a qual pode apresentar-se em vários níveis, taiscomo: icônico (desenho do objeto), simbólico (desenho desímbolos, ex: palitinhos ou bolinhas) e numérico (desenho donúmero).Os primeiros registros (com crianças de 3 anos) devemser feitos na lousa, pelo educador através de várias formas,usando desenhos, símbolos e numerais. Quando as criançascomeçarem a fazer os seus próprios registros, o educadorpoderá observar o nível de representação em que cada uma seapresenta, bem como seu desenvolvimento nessa área.A linguagem numérica é um facilitador da comunicaçãomatemática. As crianças, mesmo sem total consciência dessefato, são naturalmente estimuladas e avançam nos níveis derepresentação, pois isso facilita a comunicação interpessoaldelas. Quando o educador percebe dificuldade ou lentidãono processo de desenvolvimento, deve intervir através deestímulos, respeitando sempre a trajetória da criança. Traduziro pensamento realizado, por exemplo, na resolução de umproblema, é um ato difícil e desafiador para as crianças.Os pequenos alunos da Educação Infantil estão iniciandona arte de pensar, atividade mental na qual reside a sublimi-dade da raça humana. Devemos ajudá-los nesse caminho,Capítulo 7
  72. 72. 293intervindo sempre que o aprendizado esteja estabilizado, istoé, sempre que o desafio tenha sido atingido e, por si mesmo,o aluno não tenha descoberto um novo desafio.Lembre-se que a sentença matemática é importante,porém o desenvolvimento do pensamento utilizado pelopequeno aluno na resolução do problema que resulta naquelasentença matemática é o que deve ocupar a preocupação doeducador nessa faixa etária.“PENSAR É MAIS IMPORTANTE QUE IMITAR”A imitação pode ser utilizada em muitos momentos comorecurso didático, porém não pode ser a finalidade das ações eatividades propostas na Educação Infantil. As ações e tarefaspropostas a uma turma se tornam atividades adequadas a elase, considerando a idade dos alunos, resultarem em aprendiza-do para eles, ou seja, se propiciarem que os objetivos daquelaaula sejam alcançados. O desafio está sempre presente emuma “aula de matemática”, sendo importante a dosagem domesmo pelo educador da turma para que não se torne emum obstáculo tão grande que desanime, nem tão fácil queprovoque o desinteresse. Qualquer das situações descritasproduz sentimentos negativos quanto ao conteúdo proposto,resultando em traumas e fazendo com que essas crianças nãogostem de matemática no futuro.Capítulo 7
  73. 73. 2943. ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DAARITMÉTICAExistem muitas estratégias interessantes para o ensinodas operações aritméticas, e dentre elas escolhemos: resolu-ção de problemas, jogos e brincadeiras.Lembramos que as operações aritméticas devem sertrabalhadas simultaneamente, visto que elas se complemen-tam. A partir de um mesmo enunciado, podem-se apresentarquestões variadas, cada uma envolvendo uma operação dife-rente. A resolução dos mesmos deve ser registrada, porémo registro não precisa ser sistematizado. O importante édescrever o raciocínio realizado, isto é, o caminho trilhado paraa obtenção da solução.O educador deve prestar atenção às soluções, devendoincentivar a criança que não resolveu corretamente, a que refa-ça seu raciocínio, ou mesmo seu registro. Entretanto é precisoestar atento ao fato de que a criança, na etapa da EducaçãoInfantil, muitas vezes não tem condições de aprender todosos problemas propostos e acertá-los, devido aos diferentesníveis de interesse, concentração e experiências, não sendonecessário refazer até acertar a solução. O acompanhamentodo educador e sua intencionalidade podem promover apren-dizagens em outros momentos. O “erro” ou “não solução”deve ser tratado de modo sutil, para que não se cristalize, nemmesmo desanime o aluno.Com alunos de 6 anos o educador pode objetivar assentenças matemáticas, visto que as mesmas devem surgirnaturalmente através dos registros feitos pelos por eles.Capítulo 7
  74. 74. 295Apresentaremos a seguir algumas estratégias de ensinopara as operações aritméticas:Problemas do cotidiano: aqueles que aparecem a todoo momento, por exemplo, “Hoje é dia 16, no dia 24 não haveráaulas. Quantos dias faltam para chegar lá?”. Lembre-se de queos problemas devem ser apresentados às crianças de formagradativa, considerando a dificuldade de cada um deles. Oregistro dos problemas e de sua solução pode ser apresentadode diversas formas: desenhos, palitos, bolinhas ou sentençasnuméricas.Também os problemas podem ser apresentados à turmade maneiras variadas:•Oral: em conversas com a classe no início do períodoou na hora do lanche, por exemplo;•Oral com apoio de material didático: em conversascom os alunos e apresentando-lhes tampinhas, botões, palitosou mesmo os blocos lógicos;•Desenhos: apresentando à turma um quadro ondeestão desenhados os dados do problema. A questão do proble-ma deve ser formulada oralmente e de acordo com os dados,lembrando que um problema que objetive ensinar as operaçõesaritméticas precisa que sua solução envolva essas operações.A resolução poderá ser registrada através de desenhos feitospelas crianças;•Escrita: apresentados na lousa ou em folhas individuais,através de enunciados em português;•Literatura: esta é uma estratégia interdisciplinar, ondeCapítulo 7
  75. 75. 296através da leitura de um livro ou estória infantil, podem-seintroduzir problemas matemáticos envolvendo as operaçõesaritméticas. Tudo acontece a partir da estória e com aquelespersonagens. Também se pode utilizar a numeração das pági-nas do livro, quando trabalhamos com crianças de 6 anos.Jogos e Brincadeiras: esta é uma excelente estratégia,pois possibilita uma “boa situação” para a aprendizagem. Ospequenos alunos aprendem através da diversão. Nos jogosas crianças podem exercitar o conceito de muitas operaçõesjuntas, e possuem o livre trânsito do erro (que é sempre cons-trutivo). O resultado correto é sempre exigido pelas criançasdurante as jogadas e isso é feito através da competição, quenesse aspecto é absolutamente positiva. Competições nega-tivas devem ser evitadas: destacar o aluno “mais inteligente”,“mais caprichoso” ou mesmo, “o melhor”, pode diminuir aauto-estima dos demais. O professor(a) de crianças de até3 anos deve lembrar-se que nessa faixa etária não existecompetição: “todos ganham sempre”. Os jogos devem terregras claras, constantes e em pouca quantidade. O registrodas jogadas é imprescindível, para que as crianças aprendam aexpressar o pensamento lógico-matemático.A intervenção do educador deve ser realizada sob doisaspectos:•Aprendizagem do jogo: significa que o educador deveexplicar o jogo e acompanhar as primeiras jogadas, sendo que,conforme as crianças mostrem que aprenderam a jogar o edu-cador deixa de intervir;Capítulo 7
  76. 76. 297•Estimulação do pensamento: neste caso o educadorfaz “perguntas certas na hora certa”, sempre objetivando alcan-çar os objetivos matemáticos propostos para aquela atividade,por exemplo, “Pedro se você tirar 6 no dado você vencerá apartida?”, ou ainda “Quanto falta para que Mariane termine apartida?”.4. AVALIAÇÃOA avaliação deve compreender dois aspectos:•Avaliação do aluno: esta avaliação deve ser realizadade forma periódica, onde o educador deve analisar nãosomente os resultados, mas sim toda a forma de resolução dosproblemas propostos, bem como o comportamento do alunodurante os jogos e brincadeiras. Devem ser analisados seuprogresso nos níveis de registro e também sua postura ética. Aavaliação tem como objetivo principal proporcionar ao educadorsubsídios para promover incentivos adequados a cada criança,visando seu crescimento intelectual, emocional e ético.Avaliação do professor(a): a auto-avaliação do educa-dor é imprescindível e deve ser diária, se perguntandosempre:“Quealteraçõesprecisofazernaminhapráticapedagógicapara que meus alunos atinjam os objetivos traçados?”;“Qual o papel e lugar que tenho dado, em minha propostade aula de matemática, para a resolução de problemas etambém o trabalho pedagógico com jogos e brincadei-ras?”;Capítulo 7
  77. 77. 298“O que é, para mim, um problema específico da mate-mática?”;“Tenho trabalhado a matemática de forma integrada àvida dos alunos, tratando temas interdisciplinares, bemcomo as grandes preocupações mundiais, tais como afome, o meio ambiente, a poluição, a alimentação saudá-vel, a higiene, dentre outras?”.As respostas devem então nortear as mudanças que sefizerem necessárias e incentivar os educadores à EducaçãoContinuada, através de cursos e leituras que o capacitem cadavez mais para a missão importantíssima de preparar adequada-mente esses pequenos alunos para a vida.5. PROPOSTAS DE ATIVIDADESApresentaremos algumas propostas que podem seralteradas e adequadas à realidade que cada educador vivencia,devendo este estar sempre atento aos objetivos propostos paraque as atividades não se transformem em meras tarefas paraas crianças. O aprendizado de conteúdos matemáticos e inter-disciplinares é o objetivo maior de cada atividade proposta.Atividade 1: Comer bem é tão bom quanto aprenderMatemáticaObjetivos:- Compreender a noção de adição;- Trabalhar o conceito de uma alimentação adequada esaudável.Capítulo 7
  78. 78. 299Materiais:- Figuras: recortar vários alimentos, como copos de suco,frutas, arroz, feijão, carne, saladas, ou comidas regionais,e trazer coladas em cartolina.- Cartazes: um com a figura de uma menina, outro com afigura de um menino, e ainda outro contendo o desenhoindicado abaixo:Descrição da atividade: deverá estar inserida em umprojeto sobre alimentação e saúde. Sugerimos que primeiro oeducador trabalhe com as crianças os temas interdisciplinarese depois proponha esta atividade.No início da atividade, o(a) professor(a) deverá colocar nalousa o cartaz com as respectivas colunas das refeições. Emseguida, juntamente com as crianças, decidirá um nome para amenina do outro cartaz e dirá: “A (nome) quer saber quantasfrutas e quantos copos de suco ela toma por dia. Vamos ajudá-la?”. Então, o(a) professor(a) deverá colar as figuras de alimentosnas respectivas colunas, sendo que os pratos menores devemser reservados para a sobremesa. Perguntas que podem serCapítulo 7CAFÉ DA MANHÃ ALMOÇO JANTAR
  79. 79. 300feitas: “Quantas maçãs ela come por dia? E quantas bananas?Então quantas frutas ela comeu hoje?” e ainda “E quantoscopos de suco?”, ou mesmo “Quantos pães?”. Após estaabordagem matemática, o(a) professor(a) deverá pedir aosalunos que façam seus registros. Em seguida poderá realizar omesmo procedimento com a figura do menino. Considerandoo trabalho com crianças de 6 anos, poderá propor questõesque envolvam as duas crianças: “Quantos copos de suco o(nome) tomou a mais que a (nome)?”, ou “Quantas frutas elescomeram hoje?”.A questão da alimentação saudável deve ser abordadaquestionando os alimentos consumidos pelos personagens.Orientações para o(a) professor(a): É importantedestacar que os alimentos sugeridos nessa atividade podemser substituídos por alimentos típicos da região em que seencontra, bem como as frutas. Destacamos ainda que o(a)professor(a) pode aprofundar mais ou menos as perguntas,considerando o desenvolvimento próximo das crianças.Atividade 2: A ColméiaObjetivos:- Compreender a noção de multiplicação através da somade parcelas iguais;- Trabalhar o conceito de preservação e exploração ade-quada do meio ambiente.Materiais:- Cartazes: um cartaz com uma grande colméia, foto deapicultor, abelhas, mel e outras gravuras nessa área eoutro conforme o desenho ao lado.Capítulo 7
  80. 80. 301Descrição da atividade: esta atividade pede um trabalhoantecipado do calendário com as crianças. Sugerimos que otema “Abelhas” seja abordado de forma bem ampla, explican-do o trabalho do apicultor e sua importância para a coleta domel, e também o uso medicinal do mel. Deve-se tratar aindados perigos desse trabalho, deixando claro para as crianças quenão devem mexer em cachos de abelha, ressaltando que, parapessoas alérgicas, a picada de abelha pode ter conseqüênciasmuito graves.O(a) professor(a) propõe às crianças que sentem no chãoem círculo e coloca ao centro o cartaz com os dias do mês, dis-postos como acima. Em seguida propõe: “O apicultor recolheo mel produzido a cada três dias, iniciando do dia primeiro domês. Quem é capaz de dizer quais são os demais dias em queele recolherá mel?”.Permita que as crianças façam sugestões de como resol-ver este problema e que exponham suas hipóteses. Nas casasque as crianças apontaram corretamente, coloca-se uma fichacolorida com o formato da casa e escrevendo-se o respectivoCapítulo 7
  81. 81. 302número na ficha, de modo que o cartaz fique coberto pelasfichas somente nos dias em que o apicultor deverá recolhermel. Nesse momento, pergunta-se a uma criança da turma:“Como você pode afirmar que são esses dias?”, permitindoque exponha o raciocínio que desenvolveu acerca da noçãoaditiva para assinalar os dias. Outras questões podem serlevantadas de acordo com a zona de desenvolvimento próximodas crianças, bem como situações-problema, a partir docalendário disposto.Orientações para o(a) professor(a): O trabalho comcalendário deve ser constante, não apenas para identificaçãodas datas e registrar a regularidade do tempo, mas também,para propor situações-problema às crianças. Devem-se explo-rar oralmente diferentes seqüências numéricas, procurando anotação aditiva para contar objetos de três em três, quatro emquatro, e outros, desenvolvendo assim o conceito da multipli-cação. Dependendo da zona de desenvolvimento próximo dascrianças propomos a utilização de materiais complementarespara contar, como palitos, pedras, botões e outros. A avaliaçãodeve ser feita através da análise do registro das crianças, bemcomosuasexplicaçõesorais.Pode-seaindaentregarfolhascomdesenhos de calendários em forma de favo e pedir às criançasque pintem as casinhas de acordo com a situação problemaque o(a) professor(a) propôs. Essa atividade pode ser propostautilizando o tabuleiro de xadrez (ou dama). O cartaz grande coma colméia completa pode ser utilizado posteriormente, para pro-por um jogo de trilhas, escrevendo nos papéis coloridos sobreCapítulo 7
  82. 82. 303as casas cobertas, frases do tipo: “As abelhas escaparam,fique uma vez sem jogar.”, “Hoje está chovendo muito, nãohaverá coleta de mel. Volte 3 casas.”, “Um amigo do apicultorveio visitá-lo e quer aprender a colher mel. Avance 5 casas.”,dentre outras. A criança jogará dois dados e a quantidade decasas a percorrer deve ser a soma dos números sorteados. Umnovo jogo poderá ser criado se as crianças usarem três dados,sendo dois convencionais, e o terceiro colorido, com três facesazuis e três faces vermelhas. A criança jogará os três dados, sesair a cor vermelha ela deverá somar as quantidades dos outrosdois dados, e se sair a cor amarela ela subtrairá o menor domaior. Os jogos podem ser propostos para grupos de crianças,no tabuleiro grande, ou em folhas sulfite, para duplas. O nívelde complicação das situações-problema a ser colocado no jogodeve ser estabelecido pelo(a) professor(a) dependendo da zonade desenvolvimento próximo das crianças.Atividade 3: Brincadeiras1. Boliche:Objetivos:- Compreender o conceito das operações de adição esubtração;- Trabalhar o conceito de reciclagem de lixo.Materiais:- uma bola leve (meia, plástico ou tênis), dez garrafas domesmo tamanho (recicláveis de refrigerante ou água)com um pouco de areia dentro.Capítulo 7

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