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Integrais de Linha,
Análise Matemática 2.

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  1. 1. AM2LinhaVectortangente erecta tangenteComprimento Integrais de Linhade uma linha An´lise Matem´tica 2 a aIntegral delinha decampo escalar Sandra Gaspar Martins sandra.martins@adm.isel.pt 2o Semestre 2011/12 vers˜o de 16 de Maio de 2012 a 1/24
  2. 2. AM2 Quais destas linhas s˜o gr´ficos de fun¸˜es? a a co (Cada objecto tem uma s´ imagem.) oLinhaVectortangente erecta tangenteComprimentode uma linhaIntegral delinha decampo escalar 2/24
  3. 3. AM2 Equa¸oes param´tricas da curva C c˜ eLinha de R2Vectortangente erecta tangente Defini¸˜o caComprimento Seja C uma curva/linha de R2 tal quede uma linhaIntegral delinha de x = f (t)campo escalar , t ∈ I = [a, b] ⊂ R, y = g (t) com f e g fun¸˜es cont´ co ınuas em I. A t chama-se a vari´vel ou a parˆmetro. a A orienta¸˜o da curva C corresponde ao sentido definido pelos ca valores crescentes de t no intervalo I . Ao ponto (x, y ) correspondente a t = 0 chama-se origem ou ponto de partida e ao correspondente a t = b chama-se extremidade ou ponto de chegada da curva. 2/24
  4. 4. AM2 Outra forma de descrever a curva C ´ utilizando fun¸˜es e co vectoriais:Linha r : I = [a, b] −→ R2Vectortangente e t −→ r (t) = (f (t), g (t))recta tangenteComprimento r (a) ´ a origem ou ponto de partida e ede uma linha r (b) ´ a extremidade ou ponto de chegada de C. eIntegral delinha decampo escalar Exemplo: Represente geometricamente a curva C: r : [−1, 1] −→ R2 t −→ r (t) = (t, t 2 ) ou seja, x =t , t ∈ I = [−1, 1] y = t2 ou seja, r (t) = (t, t 2 ), t ∈ [−1, 1] 3/24
  5. 5. AM2 Exerc´ ıciosLinhaVectortangente erecta tangente Represente geometricamente as curvas:Comprimentode uma linha 1 r (t) = (t, t 2 ), t ∈ [0, 2]Integral de 2 r (t) = (t, sin(t)), t ∈ [0, π]linha de √campo escalar 3 r (t) = (t, t), t ∈ [0, 9] 4 r (t) = (t, t + 3), t ∈ [0, 5] 5 r (t) = (t, t), t ∈ [0, 2] 6 r (t) = (t, −t), t ∈ [0, 2] 7 r (t) = (1 + 2t, 2 + t), t ∈ [0, 1] 8 r (t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ [0, 2] 9 r (t) = (t + 1, t 2 + 3), t ∈ [0, 2] 4/24
  6. 6. AM2 Exerc´ ıciosLinhaVectortangente erecta tangente Represente geometricamente as curvas:Comprimentode uma linha 1 r (t) = (3 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ [0, 2π]Integral de 2 r (t) = (2 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [0, π]linha decampo escalar 3 r (t) = (cos(t) − 2, sin(t) + 3), t ∈ [0, π ] 2 4 r (t) = (sin(t), cos(t)), t ∈ [0, 2π] 5 r (t) = (5 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [π, 2π] 6 r (t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [−π, π ] 3 7 r (t) = (cos(t) − 4, sin(t) + 2), t ∈ [− π , 0] 2 8 r (t) = (2 sin(t), 2 cos(t)), t ∈ [0, π] 9 r (t) = (sin(t) − 1, cos(t) + 3), t ∈ [ π , 2π] 2 5/24
  7. 7. AM2 Defini¸˜o caLinha Uma parametriza¸˜o de um segmento de recta com origem caVector em A e extremidade em B, pode ser:tangente erecta tangenteComprimento r (t) = A + t(AB), t ∈ [0, 1].de uma linhaIntegral delinha de Defini¸˜o cacampo escalar Seja C uma curva dada pelo caminho r (t), t ∈ [a, b] com origem em A = r (A) e extremidade em B = r (B). A curva −C (com origem em B e extremidade em A) ´ dada pelo caminho e inverso de r , r ∗ , obt´m-se se r substituindo t por −t, ou seja, e r ∗ (t) = r (−t), t ∈ [−b, −a] . Exemplo: Parametrize o segmento de recta de R2 que come¸a c em (0,1) e termina em (2,3) e o caminho inverso. 6/24
  8. 8. AM2 Exerc´ ıcios ILinhaVectortangente erecta tangenteComprimentode uma linha Parametrize as seguintes curvas e as curvas inversas:Integral delinha de 1 O segmento de recta que come¸a em (1,2) e termina em ccampo escalar (-1,-3). 2 A parte da recta y = 2x para x ∈ [−2, 3]. 2 3 A parte do gr´fico da fun¸˜o f (x) = e x − 1 para a ca x ∈ [0, 1]. 4 As linhas que se seguem: 7/24
  9. 9. AM2 Exerc´ ıcios IILinhaVectortangente erecta tangenteComprimentode uma linhaIntegral delinha decampo escalar Nota: Repare que a parametriza¸˜o n˜o ´ unica. ca a e ´ 8/24
  10. 10. AM2 Equa¸oes param´tricas da curva C c˜ eLinha de R3Vectortangente erecta tangente Defini¸˜o caComprimentode uma linha Seja C uma curva/linha de R3 tal queIntegral de linha decampo escalar  x = f (t) y = g (t) , t ∈ I = [a, b] ⊂ R, z = h(t)  ou seja, r : I = [a, b] −→ R3 t −→ r (t) = (f (t), g (t), h(t)) ou seja, r (t) = (f (t), g (t), h(t)), t ∈ [a, b] 9/24
  11. 11. AM2 Exerc´ ıciosLinhaVectortangente erecta tangente Represente geometricamente as curvas:Comprimentode uma linha 1 r (t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1]Integral delinha decampo escalar 2 r (t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3] 3 r (t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2] 4 r (t) = (cos(t), sin(t), 2), t ∈ [0, 2π] 5 H´lice circular: e r (t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4π] 6 H´lice el´ e ıptica: r (t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π] 10/24
  12. 12. AM2 Exerc´ ıciosLinhaVector Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte quetangente erecta tangente representa o cilindroComprimentode uma linha {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}Integral delinha decampo escalar 11/24
  13. 13. AM2 Classifica¸˜o de curvas caLinhaVectortangente e Defini¸˜o carecta tangente Seja C uma curva dada por r (t), t ∈ [a, b].Comprimentode uma linha A curva C diz-se fechada se a origem coincide com aIntegral delinha de extremidade, ou seja, r (a) = r (b). Caso contr´rio a curva acampo escalar diz-se aberta. A curva C diz-se simples se n˜o se intersecta a si pr´pria a o (excluindo a origem e a extremidade). 12/24
  14. 14. AM2 ExemploLinha Classifique a curvaVectortangente e π 3πrecta tangente r (t) = (sin(t), sin(2t)), t∈ − ,Comprimento 2 2de uma linhaIntegral delinha decampo escalar Nota: Curvas de Lissajous1 r (t) = (sin(nt), sin(mt)), m, n ∈ N 1 http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve 13/24
  15. 15. AM2 Vector tangente e recta tangenteLinhaVectortangente e Defini¸˜o carecta tangenteComprimento Seja C uma curva de Rn dada por r (t), t ∈ [a, b].de uma linha Designa-se por vector tangente ` curva C no ponto aIntegral delinha de P0 = r (t0 ) a derivadacampo escalar r (t0 + h) − r (t0 ) r (t0 ) = lim , t0 ∈]a, b[ h→0 h quando existe e ´ n˜o nula. e a A recta tangente ` curva em P0 = r (t0 ) ´ dada por: a e rT (t) = r (t0 ) + tr (t0 ), t∈R 14/24
  16. 16. AM2 1 Considere o caminho, r (t), que leva de A = (1, 0) para B = (−1, 0), ao longo de uma circunferˆncia de equa¸˜o e caLinhaVector x2 + y2 = 1tangente erecta tangente em sentido directo (anti-hor´rio). Determine a equa¸˜o da a caComprimentode uma linha recta tangente ` curva no ponto (0,1). aIntegral delinha de 2 Considere o caminho, r (t), que leva de A = (1, 0) paracampo escalar B = (0, 2), ao longo de uma elipse de equa¸˜o ca y2 x2 + =1 4 em sentido directo (anti-hor´rio). Determine a equa¸˜o da a ca recta tangente ` curva no ponto correspondente a t = π . a 4 3 Determine a recta tangente ` curva representada pela a fun¸˜o ca r (t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t) no ponto t0 = π . 4 15/24
  17. 17. AM2 Defini¸˜o caLinha Uma curva C de Rn dada por r (t), t ∈ [a, b] diz-se regularVector se a derivada r (t) existe e ´ cont´ e ınua (o que significa quetangente erecta tangente r (t) ∈ C 1 ) e n˜o nula em ]a, b[. aComprimentode uma linha C ´ seccionalmente regular se se puder dividir num n´mero e uIntegral delinha de finito de curvas regulares.campo escalar Nota: Se um caminho ´ regular, a curva por ele descrita n˜o e a apresenta bicos nem esquinas angulosas pois a derivada evolui sem varia¸˜es bruscas de direc¸˜o ou sentido. co ca 16/24
  18. 18. AM2 Aplica¸oes c˜Linha Se r (t) der origem a uma curva que traduz o movimento deVectortangente e um corpo ou part´ ıcula, r (t) corresponder´ ao vector arecta tangente velocidade, ou seja,Comprimentode uma linhaIntegral delinha de v (t) = r (t).campo escalar O vector acelera¸˜o ser´ ca a a(t) = v (t) = r (t). Exemplo: Considere um objecto que se move ao longo de uma curva C dada por r (t) = (t − 2, t 2 ). Determine os vectores velocidade e acelera¸˜o nos instantes ca t = 0 e t = 1. Represente-os. 17/24
  19. 19. AM2 Comprimento de uma linhaLinhaVectortangente erecta tangente Defini¸˜o caComprimentode uma linha Seja C uma curva dada por r (t), t ∈ [a, b].Integral de Chamamos comprimento da linha/curva C com origem emlinha decampo escalar A = r (a) e extremidade B = r (b) ao integral b lC = r (t) dt a Defini¸˜o ca Uma curva diz-se rectific´vel se tiver comprimento finito. a 18/24
  20. 20. AM2 Exerc´ ıciosLinha 1 Prove que o per´ ımetro de uma circunferˆncia de raio R ´ e eVectortangente e 2πR.recta tangente 2 Determine k de modo que o comprimento da rectaComprimentode uma linha y = −2x + 1 entre 0 e k seja 2.Integral de 3 Considerelinha decampo escalar r (t) = 4 sin(t)e1 + 3t e2 + 4 cos(t)e3 , t ∈ [0, π] Esboce a curva e calcule o seu comprimento. (R : 5π) 4 Determine o comprimento da curva C de equa¸˜es co param´tricas e x = e t cos(t) π , t ∈ 0, y = e t sin(t) 2 5 Determine o comprimento do arco de curva dado por  x = ae t cos(t)  y = ae t sin(t) z = ae t  √ 19/24
  21. 21. AM2 Defini¸˜o ca Seja C uma curva dada por r (t), t ∈ [a, b].Linha Seja f : Df ⊂ Rn −→ R um campo escalar cont´ ınuo cujoVectortangente e dom´ Df cont´m todos os pontos da curva C ınio erecta tangente Chamamos integral de linha do campo escalar f ao longo daComprimentode uma linha curva C ao integralIntegral de blinha decampo escalar f dS = f (r (t)) r (t) dt C a Notas: S ´ o comprimento infinit´simo do arco, ou seja, e e dS S= r (t) dt logo dt = r (t) portanto dS = r (t) dt Quando a curva ´ fechada o integral de linha representa-se e por f dS C e designa-se por circula¸˜o. ca Este integral n˜o depende da parametriza¸˜o escolhida a ca 20/24
  22. 22. AM2 PropriedadesLinhaVectortangente erecta tangente Propriedades dos integrais de linha de campos escalares:Comprimentode uma linha Seja f e g campos escalares cont´ınuos com Df , Dg ⊂ Rn eIntegral de C curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg .linha decampo escalar C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df . α, β ∈ R. 1 αf + βg dS = α f dS + β g dS C C C 2 f dS = 1f dS + 2f dS C1 ∪C2 C C 21/24
  23. 23. AM2 Exerc´ ıcios ILinhaVectortangente e 1 Calcule C f dS onde C ´ a linha da figura: erecta tangenteComprimentode uma linhaIntegral delinha decampo escalar 2 Calcule C y dS onde C ´ a meia circunferˆncia de raio 2 e e centrada na origem percorrida desde o ponto (2,0) at´ ao e ponto (-2,0). (R: 8) √ 3 Calcule C 2 x − y dS onde C ´ o semento de recta com e √ origem em (0,0) e extremidade em (1,1). (R: 5 6 2 ) 4 Calcule C x + z dS onde C ´ o segmento de recta que tem e √ origem em (0,2,3) e termina em (2,1,0). (R: 5 14 2 ) 22/24
  24. 24. AM2 Exerc´ ıcios IILinhaVectortangente erecta tangenteComprimentode uma linha 5 Calcule C x + y + z dS onde C ´ a linha de equa¸˜o e caIntegral delinha de param´trica e campo escalar  x = cos(t) y = sin(t) z =t  entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2π). 23/24
  25. 25. AM2LinhaVectortangente erecta tangenteComprimentode uma linhaIntegral delinha decampo escalar Autora: Sandra Gaspar Martins Com base no trabalho de: Nuno David Lopes e Cristina Janu´rio a 24/24

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