1. Crecimiento Logístico.
Presentado por:
Jose Dagoberto Rojas Castellanos.

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN.
EJEMPLO 1.
Crecimiento logístico.
Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe
y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes.
Si se supone que la razón con que se propaga el virus es
proporcional no solo a la cantidad X de estudiantes
infectados si no también a la cantidad de estudiantes no
infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados
después de 6 días si además se observa que después de
cuatro días x (4)=50.

3. SOLUCIÓN.
Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la
enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales.
dy = k y x
dt
y = # de estudiantes contagiados
x = # de estudiantes no contagiados
k = constante de proporcionalidad
pero tenemos que
x + y = 1000---------------> x = 1000 - y

4. SOLUCIÓN.
Variables separables.
dy = k dt
y (1000 – y)
Lo hacemos por fracciones parciales.
A + B =1
y 1000 – y
Solución Parcial.
1000A – Ay + By = 1 B=A= 1
-A + B = 0 1000
1000A = 1 B= 1
A= 1 1000
1000

5. Identificando A= 1B= 1
1000 1000
1 ∫1 + 1 ∫ dy = ∫ k dt
1000 dy 1000 1000 - y
1 ln/y/ - 1 ln/100-y/ = k t + ln/c/
1000 1000
1 ln / y / = k t + ln/c/
1000 100-y

6. ln / y / = 1000 k t
c(1000-y)
y = e1000kt
C(1000-y)
y = c (1000-y) e1000kt ECUACIÓN 1

7. Aplicando condiciones iniciales y reemplazando
t=0 y=1
1=e1000kt c(1000-1)
1=999c
c= 1
999
Reemplazamos c en la ECUACIÓN 1
y=e1000kt (1000-y)
999

8. Utilizando las siguientes condiciones iniciales
tenemos:
t=4 y=50
50=e4000k (1000-50)
999
50=950e4000k
999
49950=950e4000k
49950=e4000k
950

9. ln/52,57/=4000k
Ln/52,57/=k=9,9x10-4
4000
Reemplazando k en la ECUACIÓN 1.
y=e0,99t (1000-y)
999
999y=1000e0,99t - ye0,99t
999y+ye0,99t =1000e0,99t
y(999+e0,99t)=1000e0,99t
y=1000e0,99t ECUACIÓN 2.
999+e0,99t

10. Luego para saber cuantos estudiantes
infectados hay en 6 días, reemplazamos el
tiempo en la ECUACIÓN 2.
y=1000e0,99(6)
999+e0,99(6)
y=1000e5,94
999+e5,94
y=275,52 estudiantes.

11. El numero de estudiantes infectados x(t)
tiende a 1000 conforme pasa el tiempo t.
T (DIAS) X (NUMERO DE INFECTADOS)
0 1
4 50 (OBSERVADOS)
5 124
6 276
7 507
8 735
9 882
10 953