Algebra linear hoffman e kunze

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Algebra linear hoffman e kunze

  1. 1. ÃLGEBRA LINEAR por KENNETH HOFFMAN Associada Professor of Malhemaiics Massachusetts ! nsliiure of Technoiogy C RAY KUNZE Associate Prtgfessor of Mathematics Washington University SI. Louis, Mo. Tradução de ADALBERTO PANOBIANCO BERGAMASCO Eonôm m UNIVERSIDADE DE São PAULO EDITORA POLÍGONO "W LE¡
  2. 2. Título do original: Linear Algebra Copyright © 1961 by PRENTICE-HALL INC. Etmlewood Ciiffs, NJ. Direitos exclusivos para a lingua portuguêsa EDITÕRA POLÍGONO S. A. Av. Brigadeiro Luís Antônio, 3035 São Paulo 1971 Capa de Studio Ita 512.897 Hoffman, Kenneth Álgebra linear. por Kenneth Hoffman e Ray Konze; traduzido por Adalberto P. Bergamamo. J. Faria, Ed. Univ. de S. Paulo e Poiigono, 1970. 356p. Has. Â igebra linear O
  3. 3. PREFÁCIO Nosso propósito original ao escrever êste livro foi o de fornecer um texto para o curso de graduação de álgebra linear no Massachussetts Institute of Technology. Este curso 'era destinado ao terceiro ano dos optantes de matemática. Atualmente, cêrca de três quartos dos alunos especializam-se em ciências ou engenharia e variam de calouros a estudantes de pós-graduação. Concessão alguma se fêz ao fato de a maioria dos alunos não estar interessada primordialmente em matemática. Isso porque acre- ditamos que um curso de matemática não deveria fornecer a estu- dantes de ciências ou engenharia um amontoado de métodos, e sim proporcionar a êles uma compreensão dos conceitos matemáticos fundamentais. Por outro lado, estivemos profundamente conscientes da grande variação de conhecimentos que os estudantes poderiam possuir e, em particular, do fato de terem os estudantes tido muito pouca ex- periência com o raciocínio matemático abstrato. Por essa razão, evitamos a introdução de muitas idéias abstratas logo no início do livro. Como complementa», incluímos um Apêndice, onde são apre- sentadas idéias básicas tais como conjunto, função e relação de equi- valência. Achamos mais proveitoso não insistir nessas idéias inde- pendentemente, e sim aconselhar os estudantes a lerem o Apêndice à medida que surjam tais idéias. Em todo o livro incluímos uma grande diversidade de exemplos dos conceitos importantes que ocorrem. 0 e_studo de tais exemplos e' de fundamental importância e tende a minimizar o número de estudantes que conseguem repetir definições, teoremas e demonstra- ções em ordem lógica, sem apreender o significado dos conceitos abs- tratas. O livro contém também uma ampla variedade de exercícios graduados (em tõrno de quinhentos), variando desde aplicações roti- neiras aos que solicitarão até os melhores alunos. Pretende-se que êsses exercícios sejam parte importante do texto. O Capítulo l trata de sistemas de equações _lineares e sua resolu-
  4. 4. x PREFÃCIO ção por meio de operações elementares sôbre linhas de matrizes. Tem sido nosso costume despender seis aulas nessa matéria. Isso proporciona ao estudante um esbôço das origens da álgebra linear e das técnicas de cálculo computacionais necessárias ao entendimento de exemplos das idéias mais abstratas ocornntes nos capítulos pos- teriores. O Capítulo 2 discorre sôbre espaços vetoriais, subespaços, bases e dimensão. O Capítulo 3 trata das transformações lineares, sua álgebra, sua representação por matrizes, bem como isomorfismo, funcionais lineares e espaços duais. 0 Capítulo 4 define a álgebra dos polinõmios sôbre um corpo, os ideais naquela álgebra e a decom- posição de um polinômio em fatôres primos. O Capítulo 5 desen- volve determinantes de matrizes quadradas, sendo' o determinante encarado como uma função n-linear alternada das linhas de uma matriz. Os Capítulos 6 e 7 contêm uma discussão dos conceitos bá- sicos para a análise de uma transformação linear isolada sôbre um espaço vetorial de dimensão finita, a análise de transformações dia- gonalizáveis, o conceito das partes diagonalizável e nilpotente de uma transformação mais geral e as formas canônicas racional e de Jordan. O Capítulo 8 considera com algum detalhe espaços de di- mensão finita com produto interno. Êle cobre, em particular, a geo- metria básica e o estudo dos operadores auto-adjuntos", positivos, unitários e normais. O Capítulo 9 discute formas bilineares, enfati- zando as formas canônicas para formas simétrieas e anti-simétricas, assim com o grupo que conserva uma forma não-degenerada. A interdependência dos capítulos é como segue'. Os Capítulos 1 e 2 e a maior parte do Capítulo 3 são básicos para o livro todo. Os Capítulos 4 e S também são fundamentais; entretanto, podem ser tratados de uma forma mais abreviada se o professor deseja passar aos capítulos subseqüentes mais rãpidamente. Os Capítulos 6 e 7 são uma unidade. Os Capítulos 8 e 9 são independentes entre s¡ e não necessitam dos Capítulos 6 e 7 (exceto talvez das primeiras pá- ginas do Capítulo 6). O Capítulo 9 não depende do Capítulo 4 nem do S tampouco. ' Somos gratos a nossos colegas, em particular, aos Professores Louis Howard e Daniel Kan e Doutores Harry Furstenberg e Edward Thorp, por suas tantas e tão profícuas sugestões. Pela preparação do manuscrito, agradecemos às Srtas. Betty Ann Sargent e Phyllis Ruby, que datilografarann as notas originais; Srta. Judith Bowers, que dati- lografou o manuscrito final; e' à equipe da Prentice-Hall, Inc. Cambridge, Mariachi-seen. : KENNETH Herrmann Wattham, Má. f.mr°lltll. t'. t't'fttt RAY Kuna:
  5. 5. SUMÁRIO CAM-rum 1. EQUAÇÕES LINEARES . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Corpos comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Matrizes e operações elementares sôbre linhas . . . . . . 6 1.4. Matrizes linha-reduzidas à forma em escada . . . . . . . 12 1.5. Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6. Matrizes inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS. . . . . . . . . . . . . . 30 2.1. Espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Bases e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5. Resumo de linha-equivalência . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6. Cálculos concernentes a subespaços . . . . . . . . . . . ' 61 Carirum 3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES . . . . . . . . 67 3.1. Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2. A álgebra das transformações lineares . . . . . . . . . . 73 3.3. Isomorfisrno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4. Representação de transformações por matrizes . . . . . . 85 3.5. Funcionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.6. Anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104_ 3.7. A transposta de uma transformação . . . . . . . . . . . 109 CAPÍTULQ 4. POLINÔMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1. Atgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2. A álgebra dos polinômios . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3. Interpolação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.4. Ideais de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5. A decomposição de um polinômio em fatôres primos . . 132 CAPITULO 5. DETERMINANTES . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.1. Anéis comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2. Funções determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.3. Permutações e a unicidade dos determinantes . . . . . . 149 5.4. Propriedades adicionais dos determinantes. . . '. . . . . 156 CAPÍTULO 6. DECOMPOSIÇÕFS EM SOMAS DIRETAS - [NVARIANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.1. Decomposições em somas diretas . . . . . . . . . . . . 166
  6. 6. Xl! SUMÁRIO 6.2. Valores característicos e vetores característicos . . . . . . 6.3. Operadores dnagonalizáveis . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. O teorema da decomposição primária . . . . . . . . . . CAPÍTULO 7. AS FORMAS RACIONAL E DE JORDAN 7.1. Subespaços cíclicos e emuladores . . . . . . . . . . . . 7.2. O teorema da decomposição racional . . . . . . . . . . 7.3. A forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Resumo: operadores semi-simples . . . . . . . . . . . . CapiruLo a. ESPAÇOS com Paoouro INTERNO . . . . . . 8.1. Produtos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Espaços com produto interno o e ¡ › o e p o n n o u o 8.3. Funcionais lineares e adjuntos . . . . . . . . . . . . . 8.4. Operadores positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Operadores unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . _8.6. Operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. 0 teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Diagonalização simultânea de operadores normais . . . . CAPÍTULO 9. FORMAS BILINEARES . . . . . . . . . . . . . 9.1. Fomtas bilineanes. . . .' . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Formas bilineares simétricas . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Fomias bilineares anti-simétricas . . . . . . . . . . . . 9.4. Grupos que conservjam formas bilineares . . . . . . . . ? ??? ? aawwr Relações de equivalência Espaços quocientes . . . . . . . . . . . . . '. . . . . Relações de equivalência em álgebra linear . . . . . . . BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . L . . . . . . . . ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 184 193 201 201 205 219 226 235 235 242 251 260 271 282 288 302 305 305 314 323 327 335 335 337 341 344 348 350 351
  7. 7. cash-oro 1 EQUAÇÕES LINEARES 1.1 Corpos Comutatlvos Supomos que o leitor tenha familiaridade com a álgebra ele- mentar dos números reais e complexos. Para uma grande parte deste livro as propriedades algébricas dos números que usaremos' podem ser facilmente deduzidas da pequena lista abaixo de propriedades da adição e da multiplicação. Indicamos por F o conjunto dos números reais ou o conjunto dos números complexos. (1 ) a adição e cbmtuativa, x + y = ' J' + x para todos x e y em F. (2) A adição é associativa, x+(y+z)= (x+y)+z' para todos x, y e z em F. (3) Existe um único elemento 0 (zero) em F tal que x + 0 -r x, para todo x em F. (4) A cada x em F corresponde um único elemento (--x) em F tal que x + (-x) = - O. (5) A multiplicação é comutativa, xy = yx para todos x e y em F. (6) A multiplicação é associativa, x02) = (xy): para todos' x, _y e z em F.
  8. 8. 2 EQUAÇÕES LINHARES - (7) Existe um único elemento não-nulo 1 (um) em F tal que xl = x, para todo x em F. - (S) A cada x não-nulo em F corresponde um único x** (ou l/ x) em F tal que xx** = 1. (9) A multiplicação é distributiva em relação à adição; isto é, x(y + z) = xy + xz, para todos x, y e z em F. Suponhamos que se tenha um conjunto F de objetos x, y, z, . . . e duas operações sôbre os elementos de F como segue. A primeira operação, denominada adição, associa a cada par de elementos x, y em F um elemento (x + y) em F; a segunda operação, denominada multiplicação, associa a cada par x, y um elemento xy em F; e estas 'duas operações satisfazem as condições (l)-(9) acima. 0 conjunto F, munido destas duas operações, é então denominado um corpo co- mutativo*. A grosso modo, um corpo é um conjunto munido de algumas operações sôbre seus objetos, as quais se comportam como a adição. subtração, multiplicação e divisão usuais de números nlo sentidode que elas obedecem às nove regras de álgebra acima rela- cionadas. Com as propriedades usuais da adição e multiplicação, o conjunto C dos números complexos é um corpo, como o é o conjunto R dos números reais. Na maior parte dêste livro, os “números” que usamos podem ser os elementos de qualquer corpo F. Para permitir esta generaliza- ção, usaremos a palavra “escalaf” ao invés de “número”. O leitor não perderá muito se supuser sempre que o corpo de escalares seja um_ subcorpo do corpo dos números complexos. Um suheorpo do corpo C é um conjunto F de números complexos que 6 um corpo em relação às operações usuais de adição e multiplicação de números complexos. Isto significa que 0 e 1 estão no conjunto F e que se x e y são' elementos de F então (x + y), -x. xy e x** (se x ré 0) também o são. Um exemplo de um subcorpo desta natureza é o corpo R dos números reais; de fato, se identificarmps os. números reais com os' números complexos (a + tb) para os quais b = 0, o 0 e o 1 do corpo complexo são números reais e, se x e y são reais, (x + y), .--x, xy, e x** (se x ; é O) também o são. Daremos outros exemplos abaixo. O objetivo de nossa discussão sôbre subcorpos é essencialmente o se- ghinte: quando trabalhamos com escalares de um certo subcorpo de C, a realização das operações de adição, subtração, multiplicação ou divisão sôbre êstes escalares não nos tira daquele subcorpo. (") Neste livro, sempre teremos corpos comutativos, portanto ahreviare- mos a denominação escrevendo simplesmente corpos. (N. do T. ) .
  9. 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 3 Exemplo 1. 0 conjunto dos inteiros positivos: l, 2, 3, . . . , não é um subcorpo de C, por diversas razões. Por exemplo, 0 não é um inteiro positivo; para qualquer inteiro positivo n, -n não é um inteiro positivo; para qualquer inteiro n, exceto l. , lfn não é um inteiro positivo. Exemplo 2. 0 conjunto dos inteiros: .. ., -2, -l, 0, i, 2, . . . , não é um subcorpo de C, pois para um inteiro n, l/ n não é um in- teiro a menos que n seja 1 ou --. l. Com as operações usuais de adi- ção e multiplicação, o conjunto dos inteiros satisfaz tôdas as conw dições (l)--(9) com exceção da condição (8). Exemplo 3. O conjunto dos números racionais, isto é, núme- ros da forma p/ q, onde p e q são inteiros e q ; é 0, é um subcorpo do corpo dos números complexos. A divisão, que não é possível dentro do conjunto dos inteiros, pode ser feita dentro do conjunto dos números racionais. 0 leitor interessado deve verificar que qual- quer subcorpo de C contém todos os números racionais. Exemplo 4. O conjunto de todos os números complexos da forma x + y V5, onde x e y são racionais, é um subcorpo de C. Deixamos a cargo do leitor a verificação dêste fato. 1.2 Sistemas de Equações Lineares Suponhamos que F seja um corpo. Consideremos o problema da determinação de n escalares (elementos de F) x1, . . . , x. . que sa- tisfaçam as condições Ánxi + 4412352 'l' - -- + Áinxn 142111 'l' 142232 + . .. + Azul. . Il ll P1 ya (l-l) . Ami-xl 'i' Ani2ix2 + - n- 'i' Aiimxn : im onde y¡, .. . , y,. , e Ag, 1 É i É m, l í j _<_ n, são elementos dados de F. Dcnominamos (1-I) um sistema de m equações lineares a n incógiitas. Toda n-upla (x1, . . . , x. ) de elementos de F que satis- faz a cada uma das equações em (l--1) é dita uma solução do sis- tema. Sc y¡ = ya = = y. . = 0, dizemos que o sistema é ho- mogêneo, ou que cada uma das equações é homogênea.
  10. 10. 4 equações LINHARES O método mais importante para determinar as soluções de um sistema de equações lineares é talvez o método de eliminação. Po- demos ilustrar éste método com o sistema homogêneo 2x¡-x2+x: ;=0 x1+3x2+4x3=0. Somando (-2) vêzes a segunda equação à primeira equação obtemos O ll -7x2 -7163 ou x2 = -x3. Somando 3 vêzes a primeira equação à segunda equa- ção obtemos - 711 'i' 7x3 3 0 ou x¡ = -x3. Assim, concluímos que_se (x1, x2, x3) é uma solução então x1 = = x2 = _x3_ Reciprocamente, pode-se verificar pronta- mente que tõda terna deste tipo é uma solução. Assim, o cqnjunto de soluções consiste de tõdas as temas (-+a, -a, a). Determinamos as soluções deste sistema de equações "elimi- nando incógnitasi', isto e, multiplicando equações por escalares e dàí somando-as para obter_ equações em que alguns dos x, - não esfayam presentes. Queremos formalizar ligeiramente éste processo para que possamos compreender por que ele funciona e para que possamos efetuar os cálculos necessários para resolvermos um sistema de uma maneira organizada. Para o sistema arbitrário (1-1), suponhamos selecionar m es- calares, multiplicar a j-ésima equação por c, - e dai somar. Obtemos aequação ' (Cláll + - - - CmAgil)xl + - - - +(c1Âln 'i' o u o 'i' cllAtllll)xil = cry¡ + + c. .y. .. Tal equação será por nós denominada uma combinação linear das equações em (l-1). Evidentemente, tôda_ solução do sistema *de equações (l-l) também será uma solução desta nova equação. Esta é a idéia fundamental db processo de eliminação. Se temos outro sistema de equações lineares 3111¡ 'i' - -- 'l' Blnxa = 21 (1-2) Í ' ' 351-x] + . . . 'i' Blix. . = E¡
  11. 11. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINHARES S no qual cada uma das k equações é uma combinação linear das equa- ções em (l-l) então tõda solução de (l-l) é uma solução dêste nôvo sistema. claro que_pode acontecer que algumas soluções de (l-2) não sejam soluções de (Im-l). Isto obviamente não acontece se cada equação do sistema original é uma combinação linear das equações do nôvo sistema. Diremos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se cada equação de cada sistema fôr urna combinação linear das equações do outro sistema. Podemos então enunciar formalmente nossas observações como segue. Teorema 1. Sistemas equiiialentes de equações lineares têm exa- tamente as mesmas soluções. Para o processo de eliminação ser eficiente na determinação' das soluções de um sistema como (l-'1), é necessário que se saiba, formando combinações lineares das equações dadas, como produzir um sistema. equivalente de equações que seja mais fácil de resolver. Na próxima seção discutiremos um método para conseguir isto. Exercicios 1. Verificar que o conjunto dos números complexos descrito no Exemplo 4 é um subcorpo de C. 2. Seja F o corpo dos números complexos. Os dois seguintes sistemas de equações lineares são equivalentes? Em caso afirmativo, exprimir cada equa- ção de cada sistema como uma combinação linear das equações do outro sistema. xníxg-D 3x¡+x¡=0 2Xr+x¡'“0 xI+Xz-0 3. Repetir o Exercício 2 para os seguintes sistemas de equações: -x. + x¡ + 4x, - 0 x. -x, = 0 x¡ + 3x2 + 8x3 * 0 x: + 3X¡ _ D â-x¡ + x¡ + ; x3 = 0 4. Repetir o Exercício 2 para os sistemas seguintes: 2x, +(-1+ox. + x. -o (l+â)x: +3xa-ix, ~x. -0 3x. --2ix, +sx, =o §x¡-'-'¡xz+x, +7x4-0 5. Seja F um conjunto que contém exatamente dois elementos, O e 1. Defi- namos uma adição e uma multiplicação pelas tábuas: + 0 1 0 0 l l D l O l 'í 1 DO l 0
  12. 12. 6 HQUAçõHs LINEARES Verificar que o conjunto F, munido destas duas operações, é um corpo. 6. Demonstrar que se dois sistemas homogêneos de equações lineares a duas ¡ncógnitas têm as mesmas soluções, então eles são equlvalentes. 7. Demonstrar que todo subcorpo do corpo dos números complexos con- tém todos os números racionais. 1.3 Matrizes e Operações Elementares sôbre Linhas Não podemos deixar de observar que, ao formarmos combina- ções lineares de equações lineares, não há necessidade de continuar- mos escrevendo as “incógnitas" x1, . . . , xa, uma vez que, na rea- lidade, fazemos cálculos apenas com os coeficientes A. ,- e os escalares y. ; Abreviaremos o sistema (l-l) por AX = Y onde ÁII Ala A = _Abel - . A1.. ., _xl X = e Y = - 22,. Denominamos A a matriz dos coeficientes do sistema. Rigoro- samente falando, a tabela retangular acima exibida não é uma matriz, mas sim uma representação de um matriz. Uma m X n matriz sô- bre o corpo F é uma função A do conjunto dos pares de inteiros (i, j), l É i í m, 1 _<_ j _<_ n, no corpo F. Os elementos da matriz A são os escalares A (i, j) = A. ; e, com bastante freqüência, o mais con- veniente é descrever a matriz exibindo seus elementos numa tabela retangular com m linhas e n colunas, como acima. Assim X (acima) é, ou define uma n >< 1 matriz e Y e' uma m X 1 matriz. Por ora, AX = Y nada mais é que uma notação taquigráfica para o nosso sistema de equações lineares. Posteriormente, quando houvermos definido uma multiplicação de matrizes, aquilo significará que Y é o produto de A por X . i ' Queremos agora considerar operações sôbre linhas da matriz A que correspondam a formar combinações lineares das equações do
  13. 13. MATRIZES EOPERAÇÕES ELEMENTARES soam: LINHAS 7 sistema AX = Y. Restringiremos nossa atenção a três operações ele- mentares sôbre as linhas de uma m >< n matriz A sôbre o corpo F: (l) multiplicação de uma linha de A por um escalar c não-nulo; (2) substituição da r-ésima linha de A pela linha r mais c vêzes a linha s, sendo c um escalar arbitrário e r ; é s; (3) transposição de duas linhas de A. Uma operação elementar sôbre linhas e' assim um tipo particular de função (regra) e que associa a cada m X n matriz A uma m X n matriz e (A). Pode-se descrever e com precisão nos três casos acima como segue: Ár¡ SC l 75 r, 604), ¡ = CÁ, _,'. (l) 904): : = (2) 900o = Ás¡ 50 l # f'. ?Mia = Ari + Cds. ;- Q(Â)¡¡' = 44;¡ SC diferente de l' C de S, 8(Â), ¡ = ÂU', EÇÁL¡ = Ár). Ao definirmos e(A) rlão importa muito o número de colunas de A, mas o número de linhas de A é crucial. Por exemplo, deve-se tomar cuidado ao decidir o que significa trocar as linhas 5 e 6 de uma 5 X 5 matriz. Para evitar tais complicações, convencionaremos que uma o_pe- ração elementar e sôbre as linhas é definida sôbre a classe das m X n matrizes sôbre F, para um certo m fixo mas para n arbitrário. Em outras palavras, um e particular é definido sôbre a classe das matri- zes com m linhas sôbre F. Uma razão para nos restringirmbs a Estes três tipos simples de operações sôbre linhas é que, tendo efetuado uma tai operação e sôbre uma matriz A, podemos voltar a A efetuando uma operação do mesmo tipo sôbre e(A). Teorema 2. A cada operação elementar sôbre linhas e con-es¡ ponde uma operação elementar sôbre linhas C2, do mesmo tipo que e, e¡(e(A)) = e(e¡('A)) = A para qualquer A. Em outras palavras, a operação (função) inversa de uma operação elementar sôbre linhas existe e e' uma operação elementar sôbre linhas do mesmo tipo. Demonstração. (l) Suponhamos que e seja a operação que mul- tiplica a r-ésima linha de uma matriz pelo escalar não-nulo c. Seja e¡ a operação que multiplica a linha r por c”. (2) Subonliamos que e seja a operação que substitui a linha r pela linha r mais c vêzes a linha s, r ; é s. Seja e¡ a operação que substitui a linha r pela l-_inha r mais (-c) vêzes a linha s. (3) Se e transpõe as linhas r e s, seja e¡ = e. Em cada um destes três casos temos evidentemente e¡(e(A)) = e(e1(A)) = A para cada A.
  14. 14. 8 EQUAÇÕES LINHARES Definição. Se A e B são m X n matrizes sôbre o corpo F, dizemos que B é linha-equivalente a A se B pode ser obtida de A por uma se- qilência finito de operações elementares sôbre linhas. Usando o Teorema 2, o leitor deverá achar fácil verificar o que segue. Tôda matriz é linha-equivalente a si mesma; se B é linha-- equivalente a A_ , então, A é linha-equivalente a B; se B é linha-equí- valente a A e C é linha-equivalente a B, então C é linha-equivalente a A. Em outras palavras, a linha-equivalência é uma relação de equi- valência (ver Apêndice). Teorema 3. Se A e B são m X n matrizes linha-equivalentes, os sistemas homogêneos de equações lineares AX = O e BX = O têm exatamente as mesmas soluções. Demonstração. Suponhamos passar de A para B por meio de uma seqüência finita de operações elementares sôbre linhas: A= Ao-›Az-›. ..-›A¡= B. Basta demonstrar que os sistemas A, -X = '0 e A_, -+¡X = 0 têm as mesmas soluções, isto é, que uma operação elementar sôbre linhas não altera o conjunto das soluções. Assim, Suponhamos que B seja obtida de A por uma única ope- ração elementar sôbre linhas. Qualquer que seja o tipo da operação, (l), (2) ou (3), cada equação dos sistema BX = 0 será urna com- binação linear das equações do sistema AX = 0. Como a inversa de uma operação elementar sôbre linhas é uma operação elementar sôbre linhas, cada equação em AX = 0 também será uma combi- nação linear das equações em BX = O. Logo êstes dois sistemas são equivalentes e, pelo Teorema l, têm as mesmas soluções. Exemplo 5. Suponhamos que F seja o corpo dos números ra- cionaiseque 2 -l 3 2 A: 1 4_ o -1 - 2 6 -l 5 Efetuaremos uma seqüência f inita de operações elementares sôbre as linhas de A, indicando por números entre parênteses o tipo de operação efetuada. 2 -1 3 2 o _9 3 4 1 4 o -1 (2) 1 4 o -1 Q 2 6 -1 5 “* 2 s -1 s
  15. 15. MATRIZES E oranxçõas ELEMENTARES 563111-3 LINHAS 9 o -9 3 4 o -9 3 4 1 4 o -1 5g 1 4 o _1 (2) o -2 -1 7 _o 1 g _g ““' A linha-equivalência de A com a matriz final na seqüência acima nos diz em particular que as soluções de 2x1»- x2+3-. x3+2x4=0 x1+4x2 w-x4=0 2x1+6x2- x3+5x4=0 Xa-ITIX4=Ú xt +1íZX4=0 x2 -§x4=0 são exatamente as mesmas. No segundo sistema é evidente que atri- buindo um valor racional arbitrária c a x4, obtemos uma solução ( -ãcg ão, 55o, c), e também que tôda solução é desta forma. Exemplo 6. Suponhamos que F seja o corpo dos números com- plexos e que -l t A = -i 3 - _ l 2 Ao efetuarmos operações sôbre linhas freqüentemente convém com- binar várias operações do tipo (2). Com isto em mente -1¡ 02+¡ o 1 '01 [4 310) [o 3+2] (I) [o a-rzt] (2) [o o]- .12 “H 1 2 ““' 1 2 *" 1o
  16. 16. 10 EQUAÇÕES LINEARES Assim o sistema de equações “x1 + fxz mix; + 3x2 ! x1 -I- 2X2 = possui apenas a solução trivial x¡ = x2 = O. Nos Exemplos 5 e 6 é óbvio que não efetuamos operações sôbre linhas ao acaso§Nossa escolha de operações sôbre linhas foi motivada por um desejo de simplificar a matriz dos coeficientes de uma maneira análoga à "eliminação de incógnitas" no sistema de equações linea- res. Coloquemos agora uma definição formal do tipo da matriz à qual estávamos tentando chegar. Definição. Uma m >< n matriz R é dita linha-reduzida se: II ! i ooo (a) o primeiro elemento não-nulo em cada linha não-nula de R é igual a l; (b) cada coluna de R que contém o primeiro efemento não-nulo de alguma _linha tem todos os seus outros elementos nulos. Exemplo 7. Um exemplo de uma matriz linha-reduzida e' a n X n matriz (quadrada) unidade l. Esta é a n X n matriz definida por ! ü . = Esta é a primeira de muitas ocasiões em que usaremos o simbolo de Kronecker (õ). Nos 'Exemplos 5 e 6, as matrizes finais nas seqüências apresen- tadas são matrizes linha-reduzidas. Dois exemplos de matrizes que não são linha-reduàidas são: l, sef= j 0,sei; áj. 100o' 021"" 01-10 10-3- 0010 _ooo A segunda matriz não satisfaz a condição (a) porque o primeiro elemento não-nulo da primeira linha não é 1. A primeira matriz satisfaz a condição (a) mas não satisfaz a condição (b) na coluna 3. Demonstraremos agora que podemos passa-r de uma matriz arbitrária a uma matriz linha-reduzida, por meio de um número finito de operações elementares sôbre linhas. Combinado com o Teorema 3, isto nos fornecerá um instrumento eficiente para a reso- lução de sistemas de equações lineares. Teorema 4. Tôda m >( n matriz sôbre o corpo F e' linha-negar¡- valente a uma matriz linha-reduzido.
  17. 17. MATRIZES E OPERAÇÕES ELEMENTARES sôaaa LINHAS "'11" Demonstração. Seja A uma m X n matriz sôbre F. Se todo ele- mento na primeira linha de A é O. então a condição (a) está satis- feita no que . diz respeito à _linha I. Se a linha l tem um elemento não-nulo, seja k o menor inteiro positivo j para o qual A. ; ; é 0. Multipliquemos a linha 1 por A1' e então a condição (a) está satis- feita em relação à linha I. Agora, para cada i 2 2, somemos (-A. :,¡) vêzes a linha l à linha i. Agora o primeiro elemento não-nulo da linha l ocorre na coluna k, este elemento é l, e todos os outros ele- mentos na coluna k são nulos. ' Consideremos agora a matriz que resultou das operações acima. Se todo elemento na linha 2 é nulo, nada fazemos à linha 2. Se algum elemento na linha 2 é diferente de O, multiplicamos a linha 2 por um escalar de modo que o primeiro elemento não-nulo seja l. No caso em que a linha l tenha um primeiro elemento não-nulo na coluna k, éste primeiro elemento não-nulo na linha 2 não pode ocorrer na coluna k; digamos que êle aparece na coluna k' ; é k. Somando múltiplos adequados da linha 2 às diversas linhas, podemos fazer com que todos os elementos na coluna k' sejam nulos, com exceção do l na linha 2. O fato importante a ser notado é êste: ao efetuarmos estas últimas operações, não alteramos os elementos da linha l nas colu~ nas l, . . ., k; além disso, não alteramos nenhum elemento da coluna k. É claro que, se a linha l fôsse idênticamente nula, as operações com a linha 2 não afetariam a linha l. Trabalhando com uma linha de cada vez da maneira acima, é evidente que, com um número finito de passos, chegaremos a uma matriz linha-reduzida. Exercicios 1. Determinar tôdas as soluções do sistema de equações (1 í' Íjx¡ É' 2x] 3. -.1 2 A= 2 1 l l -3 0 determinar tôdas as soluções de AX = 0, tornando A linha-reduzida. 3. Se 6 -4 0 A = 4 -2 O -l 0 3 O O. 2.Se
  18. 18. 12 EQUAÇÕES LINeAaI-: s determinar tõdas as soluções de AX = 2X e todas as _soluções de AX = 3X. (O símbolo c-X indica a matriz cujos elementos são c vêzes os elementos correspondentes de X. ) 4. Encontrar uma matriz linha-reduzida que seja linha-cqttivalente a r -(1+¡) o A = l H2 1 - l 2¡ _I 5. Demonstrar que as duas matrizes seguintes ! tão são linha-equivalentes: 2 0 O l l 2 a -l 0 -2 0 -1 - b c 3_ l 3 5 A-[zz] uma 2 X 2 matriz com elementos complexos. Suponhamos que A seja li- nha-reduzida e também que a + b + c + d = 0. Demonstrar que exis- tem exatamente trés destas matrizes. 7. Demonstrar que a transposição de duas linhas de uma matriz pode ser conseguida por uma seqüência finita de operações elementares sôbre li- nhas dos outros dois tipos. 8. Consideremos o sistema de equações AX -z O onde _ a b A " lc dl é uma 2 X 2 matriz sôbre o corpo F. Demonstrar o que segue. (i) Se todo elemento de A é nulo, então todo par (x, , x1) é uma solução de AX - 0. (ii) Se acl- be ; é 0, o sistema AX = O possui apenas a solução trivial x1 : z x¡ É O. - (iii) Se ad - bc = 0 e algum elemento de A é diferente de 0. então existe uma solução (x2, x2) tal que (xg, x. ) é uma solução se e somente se existe um escalar y tal que x, == yx? , x, = yxl. 6. Seja 1.4 Matrizes Linha-reduzidas à Forma em Escada Até agora, nosso trabalho com sistemas de equações lineares foi motivado por uma tentativa de determinar as soluções de um tal sistema. Na Seção 1.3 estabelecemos um método padronizado para determinar estas soluções. Desejamos agora obter algum conheci- mento que seja um pouco mais teórico, e para tal propósito é con- veniente ir um pouco além de -matrizes linha-reduzidas. Definição. Uma m X n matriz R é dita uma matriz linha-redu- zida à forma em escada se (a) R é linha-reduzida;
  19. 19. MATRIZES LINHA-REDUZIDAS À FORMA EM ESCADA 13 (b) tôda linha de R cujos efemenros são todos nulos ocorre abaixo de todos as linhas que possuem um elemento não-nulo; (c) se as linhas l. . . . , r são as linhas não-nulos de R e se o prí- meiro elemento não-nulo da linha 1 ocorre na coluna ka, i = 1, . . . , r, entãok¡ < kz < . ..< 14,. Pode-se também descrever uma m x n matriz R linha-reduzida à formaem escada como segue. Todo elemento em R é nulo ou então existe um inteiro positivo r, l 5 r É m, e r inteiros positivos kz, .. .uhcomlgkggne (a)R, -,-=0parai>r, eR¡¡=0sej< kg. (b) Rafkj= ôrjalífífslífíf› (c) k¡ < < 14,. Exemplo 8. Dois exemplos de matrizes linha-reduzidas à forma em escada são n X n matriz unidade e a m X n matriz nula 0'”, na qual todos os elementos são nulos. 0 leitor não deverá encontrar nenhuma dificuldade para encontrar outros exemplos, mas gosta- ríamos de dar mais um exemplo não-trivial: 01-30; 00 012 00 000 Teorema 5. Tôda m X n matriz A é linho-equivalente a uma matriz linha-reduzida à forma em escada. Demonstração. Sabemos que A é linha-equivalente a uma matriz linha-reduzida. Portanto, basta observar que, efetuando um número finito de permutações das linhas de uma matriz linha-reduzida. po- demos transforma-la numa matriz linha-reduzida à forma em escada. Nos Exemplos 5 e 6, vimos a importância de matrizes linha- reduzidas na solução de sistemas homogêneos de equações lineares. Discutamos rapidamente o sistema RX = 0, no caso em que R é uma matriz linha-reduzida à forma em escada. Sejam as linhas l, . , r as linhas não-nulas de R e suponharnos que o primeiro ele- mento não-nulo da linha i' ocorra na coluna ln. O sistema RX = 0 consiste então de r equações não-triviais. Além disso, a incógnita xt¡ aparecerá (com coeficiente não-nulo) apenas na i-ésima equação. Se indicarmos por a1, . . . , u. .-, as (n - r) incógnitas que são dife- rentes de xh, . . . , xt_ então as r equações não-triviais em RX = O são da forma
  20. 20. 14 EQUAÇÕES LINHARES Xkl 'Fnàr CUM¡ = 0 J' -l (l--3) . xr, *j* “É, Cau, - = Ú. . l=1 Tôdas as soluções dos sistemas de equações RX = O são obtidas atribuindo-se valores arbitrários a a1, . . . , th. .., e calculando os va- lores correspondentes de xh, . . . , xt, por meio de (1-3). Por exem- plo, se R é a matriz do exemplo 8 acima, então r = 2, ki = 2, kg = 4, e as duas equações não-triviais do sistema RX = 0 são x2 - 3x; + ; x5 = 0 ou x2 = 3x3 - àxã x4 + 2x5 = 0 ou x4 = 2x5. Assim, podemos atribuir valores arbitrários a x¡, x3 e x5, digamos x¡ = a, x3 = b, x5 = c, e obter a solução (a,3b - àc, b, -2c, c). Observemos mais um fato sôbre o sistema de equações RX = 0. Se o número r de linhas não-nulas de R é menor que n, então o s_ís_- tema RX = 0 admite uma solução não-trivial, isto é, uma solução (x1, . . . , x") em que nem todo x, - é nulo. De fato, como r < n, po- demos tomar algum x, - que não esteja entre as r incógnitas xr” . . . , xt, e daí construir uma solução como acima na qual éste x, é l. Esta observação nos leva a um dos conceitos mais fundamentais relativos a sistemas de equações lineares homogêneas. Teorema 6. Se A é uma m X n matriz e m < n, então o sistema homogêneo de equações lineares AX = O admite uma solução não- trivial. Demonstração. Seja R uma matriz linha-reduzida à forma em escada que seja linha-equivalente a A. Então os sistemas AX = O e R-'X = 0 possuem, pelo Teorema 3, as mesmas soluções. Se r é o . número de linhas não-nulas em R, então certamente r < m e como m < n, temos r < n. Decorre imediatamente de nossas observações acima que AX = 0 admite uma solução não-trivial. Teorema 7. Se A é uma n X n matriz (quadrada) e se o sistema de equações AX = 0 não possui solução não-trivial, então A é linha- equivalente a n >< n matriz unidade. Demonstração. Seja R uma n X n matriz linha-reduzida à for- ma em escada que seja linha-equivalente a A, e seja r o número de
  21. 21. MATRIZES UNHA-REDUZIDAS À FORMA EM ESCADA 15 elementos não-nulos de R. Como AX = 0 não admite solução não- trivial, RX = O não admite solução não-trivial. Assim, r > n. Mas como R possui n linhas, certamente r ç n e temos r = n. Como isto significa que R possui na verdade um primeiro elemento não-nulo igual a l em cada uma de suas n linhas e como êstes l ocorrem cada um numa das n colunas, R é, necessariamente, a n X n 'matriz uni- dade. Perguntemos agora que operações elementares sôbre linhas efe- tuar para resolver um sistema de equações lineares AX = Y que não seja homogêneo. De início, devemos observar uma diferença básica entre êste caso e o caso homogêneo, asaber, que enquanto o siste- ma homogêneo sempre admite a solução trivial x¡ = . . . = x. , = O, um sistema não homogêneo pode não ter nenhuma solução. Formemos a matriz completa A' do sistema AX = Y. Esta é a m >< (n + 1) matriz cujas n primeiras colunas são as colunas de A e cuja última coluna é Y. Mais precisamente A; = A, -,-. sej < n Air» + . J g y' Suponhamos que efetuemos uma seqüência de operações elemen- tares sôbre as linhas de A, obtendo uma matriz R linha-reduzida à forma em escada. Se efetuarmos esta mesma seqüência de opera»- ções sôbre a matriz completa A”, obteremos uma matriz R' cujas n primeiras colunas são as colunas de R e cuja coluna contém certos escalares 21,. .. , z, ... Os escalares z, - são os elementos da m X l matriz 21 que resulta de se aplicar a seqüência de operações sôbre as linhas da matriz Y. Deve ser evidente ao leitor que, como na demonstra- ção do Teorema 3, os sistemas AX = Y e RX = = Z são equivalen- tes e portanto admitem as mesmas soluções. É bem fácil saber se o sistema RX = Z possui soluções e em caso afirmativo determinar tõdas as soluções. De fato, se R possuir r linhas não-aulas, com o primeiro elemento não-nulo da linha i ocorrendo na coluna k, -, i = 1,. . . , r, então as r primeiras equações de RX = Z exprimem
  22. 22. 16 EQUAÇÕES LINHARES realmente xa, . . ., xr, em têrmos dos (n - r) x, - restantes e dos escalares 21, . . . , 2,. As (m - r) últimas equações são O = Z', .+1 O = 2,, portanto a condição para o sistema ter uma solução é que z. - = 0 para i > r. Se esta condição é satisfeita, tôdas as soluções deste sistema podem ser determinadas, como no caso homogêneo, atri- buindo-se valores arbitrários a (n - r) dos x¡ e daí' calculando xr¡ por meio da i-ésima equação Exemplo 9. Seja F o corpo dos números racionais e "l -2 1 2 l l _O 5 -l e suponhamos que se deseje resolver o sistema AX = Y para certos yr, _V2 e ya. _Efetuemos uma seqüência de operações sôbre as linhas da matriz completa A' qule torne A linha-reduzida: '1 -2 1 y_ 1 -2 1 y 2 1 1 já] (2) 0 5 -1 (yg--lzyg-l _(_2) .0 - . A: _o 5 -1 y. . '“* 5 -1 y; " 1 -2 1 y¡ ' o s -1 (P2_2y1) LL, _0 0 0 (ya _P2 "l- Zyi) 1 -2 1 y¡ ' o 1 -i : oa-zm 91, 0 O 0 (ya'y2+2.| '1) _l 0 Ê SOH + 3h) 0 l *'13 tua-Zn) - _0 0 0 (ya-Jo + 2m). A condição para que o sistema AX = Ytenha uma solução é portanto 2yr~y2+ys = 0 e se os escalares y. - dados satisfazem esta condição, tôdas as solu- ções são obtidas atribuindo-se um valor c a x3 e depois calculando -lc + ipa + 2y2) ãc + ; U2 -r 2m). X1 X2
  23. 23. MATRIZES LlNHA-REDUZIDAS A FORMA EM ESCADA 17 Façamos uma observação final sôbre o sistema 'AX = Y. Supo- nhamos que os elementos da matriz A e os escalares y1, . .. , y. .. estejam num subcorpo F¡ do corpo F. Se o sistema de equações AX = Y admite uma solução com x1, . . . , x. . em F, êle admite uma solução com x1, . . . , x. , em F1. De fato, sôbre qualquer uin dos dois corpos, a condição para o sistema admitir uma solução é que valham certas relações entre y. -, . . . , ymqem F¡ (a saber, as relações z. - = 0 para i > r. acima). Por exemplo. se AX = Y é um sistema de equações lineares no qual os escalares yr. e Ai, - São números reais e, se existe uma Solução na qual x¡. . . ._, x. . são nú- meros complexos, então existe uma solução com x1. . . . . x. . nú- meros reais. Exercícios 1. Determinar tôdas as soluções do seguinte sistema de equações. linha-re- duzindo a matriz dos coeficientes: ix', + 2x. - 6x, - 0 -4x¡ + 5x¡ -c O -3x, + 6.x'. - 13x, a- 0 -ã-. r, + 2x. -- Éx, a- O 2. Determinar uma matriz linha-reduzida à forma em escada que seja equi- valente a l -i A a: 2 2 - t' l + i' Quais são as soluções de AX - O? 3. Descrever explicitamente tôdas as 2 x 2 matrizes linha-reduzidas à for- ma em escada. 4. Consideremos o sistema de equações X; à x¡ + 2x3 = 1 2x, -I- 2x, = l x¡ * 3X¡ + 4X1 É 2a Êste sistema admite solução? Em caso afirmativo, descrever explicitamente tôdas as soluções. 5. Dar um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas incógni- tas que não admite soluáo. 6. Seja '3 --1 2 As-I-Z 1 l - l -3 0
  24. 24. 18 EQUAÇÕES LINHARES Para que temas (y1,y, .y, ) o sistema AX = Y admite solução? 7. Seja swsz-r __-2 413 A“oo1-1' 1-210 Para que (y, ,y. .y, ,y_, ) o sistema de equações AX = Y admite solução? 8. Suponhamos que R e R', sejam 2 X 3 matrizes linha-reduzidas à forma em escada e que os sistemas RX = 0 e R'X = 0 admitam as mesmas so- luções. Demonstrar que R = R'. 1.5 Multiplicação de Matrizes É evidente (ou, de qualquer modo, deveria ser) que o processo de formar combinações lineares das linhas de uma matriz é um processo fundamental. Por esta razão é vantajoso introduzir um es- quema sistemático para indicar exatamente que operações devem ser efetuadas. Mais especificamente, Suponhamos que B seja uma n >< p matriz sôbre um corpo F com linhas B1, . . . , 6,. e que a partir de B construamos uma matriz C com linhas T1, . . . , 7m formando cer- tas combinações lineares (V4) 'Ya' = 145151 + Áizpaz + . . . 'i' ÂsnBm. As linhas de C são determinadas pelos mnescalares A. ; que são os elementos de uma m X n matriã A'. Se ('l-4) é desenvolvido como (Cil e o - Cíp) = 2: (Air-BH - - - AirBrp) ? H1 vemos que os elementos de C são dados por Ci¡ = É fig-Bd. r I- l Definição. Seja A uma m X n matriz sôbre o corpo F e seja B uma n X p matriz sôbre F. 0 produto AB e' a m X p matriz C cup elemento i, j e Exemplo lt). Eis alguns produtos de matrizes com elementos racionais. <» saa4sanaa
  25. 25. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Nestecaso 71=(5-12')= l.(S_l2)+0.(l548) 72=(0 72)= -3(5-12)+1.(l548) O 6 1" 1 O" 9 12 -8 -2 3 'O 6 1 (b) 1262-3: 54i3s-2 3 3 _2_ _ O l_ Nestecaso 72=(912-8)= -2(O6l)+3(38-2) 7:s= (l2 62 -3)= 5(06l)+4(38-2) (c) [23] = [ê â] [à] w l": 1:] = H] t2 41 Neste caso 72 = (6 12) = 3(2 4) _1' o1o'1-s2 “234 (r) [oooJE sq-: Looo ooo 9_13 ooo_ 1-,52 01o' ' (g) 234 00o _9-13_o00 01o = o2o _ _090 É importante observar que o produto de duas matrizes pode ' não estar definido; o produto é definido se, e somente se, o nú- mero de coluna da primeira matriz coincide com o número de li- nhas da segunda matriz. Assim, não faz sentido trocar a ordem dos fatôres em (a), (b) e (c) acima. Freqüentemente escrieveremos produ- tos como AB sem mencionar explicitamente as dimensões dos t'a- tôres e, em tais casos, estará subenjtendido que o produto está de- finido. De (d), (e), (f), (g) vemos que mesmo quando ambos os pro- dutos AB e BA estão definidos não é necessariamente verdade que AB = BA; em. outras palavras a multiplicação de matrizes não é comutativa. 19
  26. 26. 20 EQUAÇÕES LINHARES Exemplo 11. (a) Se I é a m X m matriz unidade e A é uma m X n matriz, IA = A. (b) Se I é a n X n matriz unidade e A é uma m X n matriz, AI = A. (c) Se 0*"" é a k X m matriz nula, Os” = OWA. Anàloga- mente, A0” = OMF'. Exemplo 12. Seja A uma m X n matriz sôbre F. Nossa notação taquigráfica anterior, AX = Y, para sistemas de equações lineares, é coerente com nossa definição de produtos de matrizes. De fato, se com_x. - em F, então AX é a m X l matriz , V1 _V2 , Van ta¡ que P¡ = Ánxt -l- Árexe + - -- -l- Árax». A despeito do fato de que um produto de matrizes depende da ordem em que os fatôres são escritos, êle é independente da maneira pela qual elas são associadas, como o próximo teorema mostra. Teorema 8. Se A, B, C são matrizes sôbre o corpo F tais que os produtos BC e A(BC) são definidos, então estão definidos os produ- tos AB, (ÁB)C e A(BC) . -. (AB)C. Demonstração. Suponhamos que B seja uma n X p matriz. Como BC está definida, C é uma matriz com p linhas e BC tem n linhas. Como A(BC) está definido podemos supor que A é uma m X n matriz. Assim, o produto AB existe e é uma m X p matriz, do que
  27. 27. MULTIPLICAÇÃO na MATRIZES n 21 segue que o produto (ABJC existe. Mostrar que A(BC) = (AB)C significa mostrar que [ÁÓBCJJ-'i = [(AB)C'J. ›- para cada í, j. Por definição [Á(BC)]¡; ' = É AsÁBCJr¡ í E Ai¡- E . Bg-'Cgj E E AirBr-¡Csj E E Air-Bricu' = E AfrBs-Jca¡ = 2¡ (AB), -.C. ¡ = [ÉÁBJCIE- Quando A é uma n x m matriz (quadrada), o produto AA está definido. Indicaremos esta matriz por A2. Pelo Teorema 8, (AA)A = = A(AA) ou A2A = AA 2, de modo que o produto AAA está defi- nido sem ambigüidade. Indicaremos éste produto por A3'. Em geral, o produto AA A (k vêzes) está definido sem ambigüidade e indicaremos este produto por AE Notemos que a relação A(BC) = (AB)C implica, entre outras coisas, que combinações lineares de combinações lineares das linhas de C são novamente combinações lineares das linhas de C. Se B é uma dada matriz e C é obtida de B por meio de uma operação elementar sôbre linhas, então cada linha de C é uma com- binação linear das linhas de B, logo existe uma matriz A tal que AB = C. Em geral, existem múitas dessas matrizes A e, dentre elas tôdas, e' conveniente e possível escolher uma que tenha um número de propriedades especiais. Antes de passar a isto precisamos intro- duzir uma classe de matrizes. Definição. Uma nxm matriz é dita uma matriz elementar se ela pode ser obtida da m X mmatriz unidade por meio de uma única ope- ração elementar.
  28. 28. 22 EQUAÇÕES LINEARES Exemplo 13. Uma 2 X 2 matriz elementar é necessáriamente uma das seguintes: l? àl' [à fl [ê i] [3 ? J,_c#0, [à 2], Caáü. Lema. Seja e uma operação elementar sôbre linhas de matrizes com p iinkas. Seja A uma rn X n matriz e B uma p X m matriz. Então (le-S) e(B)A = e(BA). Demonstração. Indiquemos as linhas de A por a1, . . . , a. .. As linhas 71, . .., 7,, de C = BA são então dadas por 7¡ = E Bijaj. 1 Se a operação e é a multiplicação de r-ésima linha por c ; é O, então a r-ésima linha de e(C) é dada por (1-7) 7; = z 634a¡ J enquanto 7:- = 7.- para i ; é r. Por outro lado, se e é uma operação que substitui a linha r pela linha r maisc vêzes a linha s, r ; ú s, então (1-3) 7: = É (3a + 03:30¡ e 7', - = q», - para i ; á r. No caso restante, quando e transpõe as linhas r e s, temos 7:- = E Bud¡ (1-9) j 'Ti = É Bric-Cí e 7: = 7.- se i é diferente de r e de s. Considerando (l-7), (I-8) e (I-9) é evidente que em cada caso 'Yi = &meu; J parai= l, ... ,p. Tomando B como sendo a m X m matriz unidade em (l--5) obtemos (-l-l0) e(1')A = e(A ).
  29. 29. MULTIPLICAÇÃO' DE MATRIZES 23 Por ser êste resultado de importância fundamental reenunciarno-lo como segue: Teorema 9. Seja A uma m X n matriz sobre o corpo F e seja C uma matriz obtida efetuando-se uma única operação elementar sôbre as tinhas de A. Seja E a matriz efementar obtido efetuando-se a mesma operação elementar' sôbre a m X m matriz unidade. Então C = EA. Corolário. Sejam A e B m X n matrizes sobre o corpo F. Então - B e' tinha-equivalente a A se e sómente se B = PA, onde P é um pro- duto de m X m matrizes elementares. Demonstração. Suponhamos que B = PA onde P = E. E251 e as E. - são m X m matrizes elementares. Então BIA e' linha- equivalente a A e E2(E1Â) é linha-equivalente a E2A. Assim E2E¡A é linha-equivalente a A; continuando desta maneira, vemos que (E, . . . Et)A é linha-equivalente a A. Suponhamos agora que B seja linha-equivalente a A. Sejam E1, E2, . .., E, as matrizes elementares correspondentes a alguma seqüência de operações elementares sôbre linhas que levam A em B. Então B = (E, E¡)A. Exercícios 1. Sejam . . 3' __ 2 --I 1 _ A ' [1 2 : J 3 [J Calcular ABC e CAB. 'l -l l 2 -2 2 0 1 B - l 3 - _3 o 1 _4 4 _ 2. Sejam Verificar diretamente que AMB) - A“B. 3. Determinar duas 2 X 2 matrizes A distintas tais que A' - O mas A ; é 0. 4. Para a matriz A do Exercício 2. determinar matrizes elementares 15,, 5,. . . . , E¡ tais que A- Et. . . E, E,A n I. 1-1 A: 2 2 a= [_-í' 1 o Existe alguma matriz C tal que CA = = B? 5. Sejam
  30. 30. 24 EQUAÇÕES LINHARES 6. Seja A uma m X n matriz e B uma n X k nmtriz. Mostrar que as colunas de C - AB são combinações lineares das colunas de A. Se ou. . . . , a.. são as colunas de A e 71.. .. . n são as colunas de C. então 1 É 7¡ = = E Buu. .. rI-l 7. Sejam A e B duas 2 >< 2 matrizes tais que AB - I. Demonstrar que BA - I. B. Seja _ 'C11 Ca] C [C21 _Cia uma 2X2 matriz. Perguntamos quando é possível encontrar 2 X 2 ma- trizes A e B tais que C n AB - BA. Demonstrar que tais matrizes po- dem ser encontradas se e somente se Cu + Cn n_- 0. I . 6 Matrizes lnversiveis Suponhamos que P seja uma m X m matriz que seja um pro- duto de matrizes elementares. Para cada m >< n 'matriz A, a matriz B = PA é linha-equivalente a A; logo A é linha-equivalente a B e existe um produto Q de matrizes elementares tal que A = QB. Em particular, isto é válido quando A é a m x m matriz unidade. Em outras palavras, existe uma m X m matriz Q, que é um produto de matrizes elementares, tal que QP = I. Como logo veremos, a exis- tência de uma Q tal que QP = I é equivalente ao fato de P ser um produto de matrizes elementares. Definição. Seja A uma n x n matriz (quadrada) sôbre o corpo F. Uma n >( n matriz B ta! que BA = I e dita uma inversa à esquerda de A; uma n X n matriz B ta¡ que AB r: I é dita uma inversa à dl- relta de A. Se AB = BA = I, então B é dita lnversivel. Lema. Se A possui uma inversa à esquerda B e uma inversa à direita C, então B = C. Demonstração. Suponhamos que BA = I e AC = I. Então B = BI '= B(AC) = (BA)C = IC = C. Assim, se A possui uma inversa à esquerda e uma à direita, A é inversível e possuí uma única inversa bilateral, que indicaremos por A* e denominaremos simplesmente a inversa de A. Teorema 10. Sejam A e B n x n matrizes sôbre F. (a) Se A é inversível, A** tambem o é e (A")'1 = A. (bi) Se A e B são inversíveis, AB também o e' e (AB)' 1_ = B* *A* 1.
  31. 31. MATRIZES INVERSÍVEIS 25 Demonstração. A primeira afirmação é evidente pela simetria da definição. A segunda decorre da verificação das relações (AB) (B'1A'1) = (B'1A'1) (AB) = I. Corolário. Um produto de matrizes inversíveis é inversivei. Teorema 11. Uma matriz elementar' e' inversívei. Demonstração. Seja E uma matriz elementar correspondente à operação elementar sôbre linhas e. Se el é a operação inversa de e (Teorema 2) e E1 = e¡(I), então EE1 = Il e(e¡(I)) I E15 = EIÍE) = 9i(9(Í)) de modo que E é inversível e E¡ = E". I Exemplo 14. FT O u-ÇN @i-A l I Il Il lí-iríl CDI- I-O I 0'- _____ '_. _1 1.. ..; (a) 1 (b) [à [ (3a: - -o = -s II T” für-n -~CD (c) (d) Quando c ; é 0, [a s* = Lã" ? l [a 2]" = [a 2-. a Teorema 12. Se A e uma n x n matriz sôbre F, as seguintes ' afirmações são equivalentes (isto e', tôdas verdadeiras ou tôdasfaisas). (i) A e inversívei. (ii) A possui uma inversa à esquerda. (iii) AX = 0 e' um sistema de equações sem soiução além da trivial. (iv) A e' um produto de matrizes elementares. Demonstração. Demonstraremos as implicações (i) -› (ii) -› (iii) e» (iv) -› (i). (i) -› (ii). Se A é inversível, A** é uma inversa à es- querda de A. (ii) -› (iii). Suponhamos que P seja uma inversa à esquerda de Aeque AX = 0.Entã0X = IX = (PAJX = P(AX) = P.0 = 0.
  32. 32. 26 EQUAÇÕES LINEARES (iii) -› (iv). Suponhamos que o sistema de equações lineares homogêneas AX = O não possua solução não-trivial. Seja R uma matriz-reduzida à forma em escada e linha-equivalente a A. Então R é uma n X n matriz quadrada e RX = 0 não possui soluções X ; é 0. Assim, R é a n X n matriz unidade e, pelo Corolário do Torema 9, A z P onde P é um produto de matrizes elementares. (iv) -› (i). Suponhamos que E1, E2, . .., E3 sejam n X n ma- trizes elementares tais que A = E152 . . . E5. Pelo Teorema ll, cada E, - é inversível e é evidente que A"' = EI¡ E5151”. Corolário l. Se A e uma n X n matriz inversível e se uma se- qüência de operações elementares sôbre linhas reduz A a unidade, então aquela mesma seqüência de operações sôbre linhas quando apli- cada a I produz A". Corolário 2. Uma matriz quadrada com in versa à esquerda ou à direita e' inversível. Demonstração. Se A e B são n X n matrizes tais que AB = I, então A é uma inversa à esquerda de B, logo B é ínvcrsível, o que implica B'1= A e A“1=(B'¡)“1= B. Corolário 3. Uma n X n matriz A e inversível se e somente se o sistema de equações AX = X possui uma solução X para cada n X 1 matriz Y. Demonstração. Suponhamos que A seja ínversível. Então X = = A“-'Y é uma solução da equação AX = Y. Suponhamos que AX = Y possua uma solução para cada Y. Seja Y, - a irésima coluna da n X n matriz unidade. Tomamos X , ~ de modo que AX, = Y. ; Se B é a n X n matriz com colunas X¡, X2, . . . , X” então AB r 1; agora o corolário anterior se aplica e mos- tra que B = A”. Deve-se observar que o Corolário 3 mostra que se A é n X n e AX = Y possui uma solução para cada Y, então na verdade AX = Y possui uma única solução para cada Y. Corolário 4. Sejam A e B m >< n matrizes. Então B é linha- equivalente a A se e sómente se B = PA onde P é uma m X m ma- triz inversivel. Tomando m = n e fazendo B igual à n X n matriz unidade obtemos o resultado que segue. Corolário 5. Uma n X n matriz A e' linha-equivalente à matriz unidade se e somente se A e' inversível. '
  33. 33. MATRIZES INVERSÍVEIS 27 Corolário 6. Seja A = A¡A2, Aç, onde Ar. .. ., As são n X n matrizes (quadradas). Então A e' inversivel se e . somente se cada A i e' inversível. Demonstração. Já demonstramos que o produto de duas ma- trizes inversíveis é inversível. A partir disto vê-se fãcilmente que se cada A, - é inversível então A é inversível. Suponhamos agora que A seja inversível. Demonstremos pri- meiro que Ai, é inversível. Suponhamos que X seja uma n X l ma- triz e AtX = 0. Então AX = (A1 Ai_¡)A¡, X = O. Como A é inversíveltemosX = 0. Desta maneira, o sistema de equações A *X = 0 não possui soluções não-triviais, portanto, A t é inversível. Mas en- tão A¡ Abi = AAgl é inversível. Pela razão anterior Ah¡ é invers_ível. Prosseguindo desta forma, .concluímos que cada A, - é inversível. Gostaríamos de fazer um comentário final sôbre a resolução de equações lineares. Suponhamos que A seja uma m X n matriz e que desejamos resolver o sistema de equações AX = Y. Se R é uma matriz linha-reduzida à forma em escada que é equivalente a A, então R = PA, onde P é uma m X m matriz inversível. As soluções do sistema AaX = Y são exatamente as soluções do sistema RX = = PY (= Z). Na prática, não é muito mais difícil determinar a má- triz P do que linha-reduzir A a R. De fato, Suponhamos que for- memos a matriz completa A' do sistema AX = Y, com escalares arbitrários y¡ . . - , y. .. na última coluna. Se agora efetuarmos sôbre A' uma seqüência de operações elementares sôbre linhas que re- duza A a R, tornar-se-á evidente o que é a matriz P. (0 lejtor deve consultar o Exemplo 9 onde, em essência, aplicamos éste processo. ) Em particular, se A é uma matriz quadrada, éste processo mostrará claramente se A é inversível ou não e, se A fôr inversíyel, qual é a inversa de P. Como já apresentamos o núcleo de um exemplo dêste tipo de cálculo, contentar-nos-emos com um exemplo 2 X 2.. Exemplo 15. Suponhamos que F seja o corpo dos números racionais e 2 _ A ' i1 si' Então [i “â i: : su: _í iílíâlà e? y, [1 3 1 . v2 ](2)[l 0 -$0›2+3yi) 0 1 ? (2J›'2“"'yl)' --t 0 1 X2322 -yi)
  34. 34. 28 EQUAÇÕES LINHARES onde se vê claramente que A é inversível e que l A-I = [ i 7 Deve ter ocorrido ao leitor que fizemos uma longa discussão sôbre linhas de matrizes e pouco dissemos sôbre colunas. Concen- tramos nossa atenção sôbre as linhas porque isto pareceu mais na- tural do ponto de vista de equações lineares. Como não existe evi- dentemente nada sagrado sôbre linhas, a discussão das últimas se- ções poderia muito bem ter sido feita usando-se colunas em vez de linhas. Se se define uma operação elementar sôbre colunas e uma coluna equivalência de maneira análoga à operação elementar sô- bre línhas e à linha-equivalência é evidente que cada m X n matriz será coluna equivalente a uma matriz "coluna-reduzida à forma em escada". Além disso, cada operação elementar sôbre colunas será da forma A -› AE, onde E é uma n X n matriz elementar e assim por diante. aja-u. - Exercícios 1. Seja 1 21 A- -I 035- 1-211 Determinar uma matriLR linha-reduzida à forma em escada que seja li- nha-eqttivalente a A e uma 3 X 3 matriz inverslvel P tal que R a- PA. 2. Fazer o Exercicio 1, com 2 0 t" A- 1-3 -í- r' 1 l 3. Para cada uma das matrizes 2 5 -~l _l -l 2 4 -l 2 3 2 4 6 4 l 0 1 -2 usar operações elementares sôbre linhas para descobrir se é inversivel e, em caso afirmativo, determinar a inversa. 4.Seja 50 A-: ISO- 015
  35. 35. MATRIZES INVERSÍVEIS 29 Para que X existe um escalar c tal que AX = = cx? 5. Suponhamos queAseja uma2 X 1 matrizequeBseja uma 1 X 2m¡- triz. Demonstrar que C - AB não e inversível. 6. Seja A uma u X n matriz (quadrada). Demonstrar as duas afirmações seguintes: (a) Se A é inversivel e AB n 0 para alguma n X n matriz, então B - 0. (b) Se A não é inversível, então existe uma n X n matriz B tal que AB -s 0 mas B - 0. 7. Seja ab A= _cd' Demonstrar, usando operações elementares sobre linhas, que A é inversí- vel se, e somente se, (ad - be) 75 0. 8. Demonstrar a seguinte generalização do Exercicio S. Se A é uma m X n lnatriz, B é uma n X rn matriz e n < m, então AB não é inversível. 9. Seja A uma m X n matriz. Mostrar que, por meio de um número finito de operações elementares sôbre linhas e/ ou colunas, pode-se passar de A a uma matriz R, "linha-reduzida à forma em escada" e "coluna-reduzida àformaemescada", istoé, R.-¡ -r 0seía-éj, R.-. --_- 1,1 5i5 r, R.-. - -r 0 se r' > r. Mostrar que R s? FAQ, onde P é uma n X m rrtatriz inversivel e Q é uma n X n matriz inversível.
  36. 36. CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS 2. l Espaços Vetoriais Em várias partes da matemática, defrontamo-nos com um c_on- junto, tal que é, ao mesmo tempo, significativo e interessante lidar com “combinações lineares" dos objetos daquele conjunto. Por exem- plo, em nosso estudo de equações lineares, foi bastante natural considerar combinações lineares das linhas de uma matriz. É pro- vável que o leitor tenha estudado cálculo e tenha já lidado com com- binações lineares de funções; isto certamente ocorreu se êle estu- dou equações diferenciais. Talvez o leitor tenha tido alguma expe- riência com vetores no espaço euclidiano tridimensional e, em par- ticular, com combinações lineares de tais vetores. A grosso modo, a álgebra linear é o ramo da matemática que trata das propriedades comuns a sistemas algébricos constituídos por um conjunto mais uma noção razoável de uma "combinação linear” de elementos do conjunto. Nesta seção definíremos o objeto matemático que, como a experiência mostrou, é a abstração mais útil dêste tipo de sistema algébrico. Definição. Um espaço vetorial (ou espaço fíneor) consiste do se- guinte: (l) um corpo F de escalares; (2) um corpo V de objetos, denominados' vetores; (3) uma regra (ou operação), dita adição de vetores, que associa a cada por de vetores a, B em V um vetor a + B em V, denominado a soma de a e B, de maneira ta¡ que ' (a) a adição é comunicativa, a + B = ;S + a; (b), ..a adição é associativa, a '+ (B + 7) = (a + B) + 7; (c) 'existe um único vetor O em V, denominado o vetor nulo, ta¡ que a + O = a para todo a em V;
  37. 37. ESPAÇOS VETORIAIS 31 (d) para cada vetor a em V existe um único vetor - a em V talgue a + (- a) = O; (4) wna regra (ou operação), dita multiplicação escalar, que os- socia a cada escalar c em F e cada vetor a em V um vetor ca em V, denominado o produto de c por a de maneira ta! que (a) I a = a para todo a em V; (b) (Ciczla = C1(C2a)§ (c) c(a + B) = ca + CB; (C1 + C2)a = C111 -l- 62a. É importante observar, como afirma a definição, que um espaço vetorial é um objeto composto de um corpo, um conjunto de “ve- tores" e duas operações com certas propriedades especiais. O mesmo conjunto de vetores pode ser parte de diversos espaços vetoriais (ver Exemplo 5 abaixo). Quando não há possibilidade de confusão, podemos simplesmente nos referir ao espaço vetorial por V ou, quando fôr desejável especificar o corpo, dizer que V é um espaço vetorial' sôbre o corpo F. O nome “vetof” é aplicado aos elementos do conjunto V mais por conveniência. A origem do nome é encon- trada no Exemplo l abaixo, mas não se deve emprestar muita impor- tância ao nome uma vez que a variedade de objetos que aparecem como sendo os vetores em V podem não apresentar muita seme- lhança com qualquer conceito de vetor adquirido a priori pelo leitor. Tentaremos indicar esta variedade através de uma lista de exemplos; nossa lista será consideravelmente ampliada assim que iniciarmos o estudo de espaços vetoriais. Exemplo l. O espaço das n-uplas, F 'h Seja F um corpo arbitrá- rio e seja V o conjunto de tôdas as n-uplas a = (x1 , x2, . . . , x") de escalares x. - em F. Se B = (yl, yg, . . . , y, ,) com y¡ em F, a soma de a e B é definida por (2-1) a+B= (xi-i-y¡, x2+y2,. .., x.. +y, .). O produto de um escalar c por um vetor a é definido por (2-2) ea = (cx¡, 0x2 . . . , cxn). O fato de que esta adição de vetores e multiplicação escalar satis- fazem as condições (3) e (4) é fácil de verificar, usando as proprie- dades semelhantes da adição e multiplicação de elementos de F. Exemplo 2. O espaço das m X n matrizes sôbre o corpo F. Seja F um corpo arbitrário e sejam m e n inteiros positivos. Seja V o
  38. 38. 32 ESPAÇOS VETDRIAIS conjunto de tôdas as m X n matrizes sôbre o corpo F. A soma de dois vetores A e B em V é definida por (2-3) (Â + 3): : = Ao' + Bo'- 0 produto de um escalar c por A em V é definido por (2-4) (CÁ)t¡ = C/ Írj. Exemplo 3. O espaço das funções de um conjunto em um corpo. Seja F um corpo arbitrário e seja S um conjunto não-vazio arbitrá- rio. Seja V o conjunto das funções do conjunto S em F. A soma de dois vetores f e g em V é o vetor f + g, isto é, a função de S em F, definida por (2-5) (f + 3) (S) = fls) + &(8)- - O produto do escalar c pela função f é a função cf definida por (2-6) (cf) (S) = CIC? )- Os exemplos anteriores são os casos particulares dêste. De fato, uma n-upla de elementos de F pode ser considerada como uma fun- ção do conjunto S dos inteiros 1, . . . , n em F. Anàlogamente, uma m X n matriz sôbre o corpo F é uma função do conjunto S de pares de inteiros (i, j), 15 i5 m, 15 j5 n, no corpo F. Para êste terceiro exemplo indicaremos como se faz para verificar que as ope- rações por nós definidas satisfazem as condições (3) e (4). Para a adição de vetores: (a) Como a adição em F é comutatíva, ffs) + 30) = 30) +f(s) para cada s em S, portanto as funções f + g e g + f são idênticas. (b) Como a adição em F é associativa, fü) + (80) + MSN = f (S) + g0) + MS) para cada s, portanto f + (g + h) e (f + g) + h são a mesma função. (c) O único vetor nulo é a função nula que associa a cada ele- mento de S o escalar 0 em F. (d) Para cada f em V, (--f) é a função dada por (-f) (s) = -f(s)- O leitor deverá achar fácil verificar que a multiplicação escalar sa- tisfaz as condições de (4), fazendo como fizemos para a adição de vetores.
  39. 39. ESPAÇOS VETORIAIS 33 Exemplo 4. O espaço das funções polinomiais sôbre um corpo F_ Seja F um corpo e seja V o conjunto das funções f de F em F que são da forma (2-7) f(x) = cn + elx + + cnx' onde Co, C1, . . . , c. . são escalares fixos em F (independentes de x). Uma função dêste tipo é denominada uma função polinomial sôbre F. Sejam a adição e multiplicação escalar definidas como no Exem- plo 3. Deve-se observar aqui que se f e g são funções polinomiais e c está em F, então f + g e cf são também funções polinomiais. Exemplo 5. 0 corpo C dos números complexos pode ser con- siderado como um espaço vetorial sôbre o corpo R dos números reais. De maneira mais geral, seja F o corpo dos números reais, e seja Vo conjunto das n-uplas a = (x1, . . . , x. ) onde x1, . . . , x. . são números complexos. Definamos a adição de vetores. e a multipli- cação escalar por (2-1) e (2-2), como no Exemplo 1. Desta forma obtemos um espaço vetorial sôbre o corpo R que é bem diferente do espaço C” e do espaço R”. Há alguns fatos simples que decorrem quase imediatamente da definição de um espaço vetorial e que passamos a deduzir. Se c é um escalar e 0 é o vetor nulo, então, por (3) (c) e (4) (c), c0== o(0+0)= c0+c0. Somando --(c0) e usando 3(d) obtemos (2-8) cO = O. Anàlogamente, para o escalar 0 e qualquer vetor o: temos que (2-9) 0o: = O. Se c é um escalar não-nulo e a é um vetor tal que c cr = O, então por (2-8), c' 1(ca) = O. Mas c'¡(ca) = (c"1c)a = la = a logo, a = O. Assim, vemos que se c é um escalar e o: um vetor tal que ca = O, então c é o escalar nulo ou a é o vetor nulo. Sc a é um vetor arbitrário em V, então O=0a= (l-l)a=1a+(-l)a= a+(-l)a do que segue que (2-10) (-l)a = -a.
  40. 40. 34 ESPAÇOS VETORIAIS Finalmente, as propriedades associativa e comutativa da adição de vetores implicam que uma soma envolvendo um certo número de vetores é independente da maneira pela qual êstes vetores são com- binados ou associados. Por exemplo, se a1, a2, a3, a4 são vetores em V, então (a1 + a2) ri' (as 'l- a4) = [a2 + (a1 + a: a)] + a4 e esta pode ser escrita sem confusão como a1+ a2 'l' a3 + a4- Definição. Um vetor 6 em V é dito uma combinação linear dos vetores a1, . . . ,a, , em V se existem escalares C1, . . . , c, em F tais que B = clal+ooo+cnan ? l E c. *a, -. lzl Outras extensões da propriedade associativa da adição de ve- tores e das propriedades distribuitivas (4) (c) e (4) (d) da multipli- cação escalar aplicam-se a combinações lineares: É Crocs' + gdra¡ = :51-(63 + dih¡ (nl faz] Ízl fl ? l C É Cmt; = E (cada. : f I l Í- I Certas partes da álgebra linear são intimamente relacionadas com a geometria. A própria palavra “espaçd” sugere algo geomé- trico, como o faz a palavra “vetor" à maioria das pessoas. A me- dida ue rossi amos nosso estudo de es a os vetoriais, o leitor P _observará que grande parte da terminologia possui uma conotação geométrica. Antes de concluirmos esta seção introdutória sôbre es- paços vetoriais, seria bom discutirmos a relação dos espaços veto- riais com a geometria até um ponto que indique pelo menos a ori- gem do nome "espaço vetorial". Esta será uma discussão breve' e intuitiva. Consideremos o espaço vetorial R3. Na geometria analítica, identificamos as temas (x1, x2, x3) de números reais com os pontos do espaço euclidiano tridimensional. Naquele contexto, um vetor é usualmente definido como sendo um segmento de reta orientado PQ, que vai de um ponto P do espaço a outro ponto Q. Isto signi-
  41. 41. espaços VETORIAIS 35 fica uma formulação cuidadosa da idéia da "flecha" de P a Q. Da forma como os vetores são usados, pretende-se que êles sejam deter- minados por seu comprimento, direção e sentido. Assim, é neces- sário identificar dois segmentos de reta orientados se êles têm o mesmo comprimento. direção e sentido. 0 segmento de reta orientado PQ, que vai do ponto P = (m, x2, x3) ao ponto Q = (yl, yg, y3), tem o mesmo comprimento, di- reção e sentido que o segmento de reta orientado que vai da ori- gem O = (0, O, O) ao ponto (yi - x1, _V2 - x2, _V3 - xa). Além disso, êste é o único segmento que emana da origem e tem o mes- mo comprimento, direção e sentido que PQ. Assim, se resolvermos estudar apenas os vetores que emanam da origem, existe exata- mente um vetor associado a cada comprimento, direção e sentido dados. O vetor OP. que vai da origem a P = (x1, x2, x3), é comple- tamente determinado por P, portanto é possivel identificar êste vetor com o ponto P. Em nossa definição do espaço vetorial R3, os veto- res são definidos como sendo simplesmente as ternas (x1, x2, x3). Dados pontos P = (x1, x2, x3) e Q = (y¡, yg, y3), a definição da soma dos vetores 0P e OQ pode ser dada geometricamente. Se os vetores não são paralelos, então os segmentos 0P e OQ deter- minam um plano e êstes segmentos são dois dos lados de urn para- lelogramo naquele plano (ver Figura l). Uma diagonal dêste para- Slõ¡ +Y1J2 "l-Yzixa + Yal 'f' "X
  42. 42. 36 espaços veromais lelogramo estende-se de O a um ponto S e a soma de 0P e OQ é definida como sendo o vetor OS. As coordenadas do ponto S são (x1 + yi, x2 + y2, x3 + y3), logo esta definição geométrica da adição de vetores é equivalente à definição algébrica do Exemplo l. A multiplicação escalar tem uma interpretação geométrica mais simples. Se c é um número real, então, o produto de c pelo vetor 0P é o vetor que parte da origem, tem comprimento | ci vêzes o comprimento de OP, mesma direção que 0P e um sentido que con- corda com o de 0P se c > 0 e é oposto ao de OP se c < 0. Esta multiplicação escalar produz exatamente o vetor 0T onde T = (cxi, cx2, cxa) c 'é portanto compatível com a definição algébrica dada para R3. De vez em quando, o leitor provavelmente achará útil "pensar geometrícamente" sôbre espaços vetoriais, isto é, desenhar figuras para uso próprio para ilustrar e motivar algumas idéias. Na ver- dade deve fazer isto. Contudo, ao fazer tais ilustrações, deve ter em mente que, por estarmos tratando de espaços vetoriais como siste- mas algébricos, tôdas as demonstrações que fizermos serão de na- tureza algébrica. Exercicios 1. Se F é um corpo, verificar que F '* (tal como definido no Exemplo 1) é um espaço vetorial sobre o corpo F. 2. Se V é um espaço vetorial sôbre o corpo F, verificar que ' (a. + a. ) + (a, + a. ) - [a, + (a, + an] + a, para todos vetores ai, ou, a, e a, em V. 3. Se C é o corpo dos números complexos, quais vetores em C 5 são combi- nações lineares de (1, 0, -l). (O, l, 1) e (l, 1, 1)? 4. Seja V o cortiunto de todos os pares (x, y) de números reais e seja F o corpo dos números reais. Definamos (x1 + (xli y! ) S (x + xlr y 'l' yl) ctx. y) = - (cx. y). V, com estas operações. é um espaço vetorial sôbre o corpo dos números reais? 5. Seja V o conjunto de todos os pares (x, y) de números reais e seja F o corpo dos números reais. Definamos (x. y) + (x1, yz) = (ly + 3h. - x - xi) dx. y) = (3cy, eu). Verificar que V, com estas operações, não é um espaço vetorial sôbre o corpo dos números reais.
  43. 43. SUBESPAÇOS 37 ' 2 . 2 Subespaços Nesta seção íntroduziremos alguns conceitos básicos no estudo dos espaços vetoriais. Definição. Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo F. Um sub- espaço de V e' um subconjunto W de V que é um espaço 'vetorial sôbre F com as operações de adição de vetores e multiplicação esca- lar de V. Uma verificação direta dos axiomas para um espaço vetorial mostra que o subconjunto W de V é um subespaço se para todos a e B em W o vetor a + B está ainda ern W; o vetor nulo está em W; para todo a em W o vetor (-oc) está em W; para todo a em W e todo escalar c o vetor c a está em W. A comutatividade e associa- tividade 'da adição de vetores e as propriedades (4) (a), (b), (c) e (d) da multiplicação escalar não precisam ser verificadas, uma vez que são propriedades das' operações em V. Podemos simplificar ainda mais as coisas. ' Teorema 1. Um subconjunto não-vazio W de Ve' um subespaço de V se, e sómente se, para cada por de vetores a, B em W e cada es- calar c em F, o vetor Ca + B está em W. Demonstração. Suponhamos que W seja um subconjunto não- gvazio de V tal que c a + B pertença a W para todos os vetores a, B em W e todos escalares c em F . Como W é não-vazio, existe um vetor p em W, logo (-l) p + p = 0 está em WjEntão se a é um vetor arbitrário em W e c um escalar arbitrário, o vetor co: = c a + 0 está em W. Em particular (--l)a - -a está em W. Finalmente se a e B estão em_ W, então a + B 1 o: + B está em W. Assim, W é um subespaço de V. Reciprocamente, se W é um subespaço de V, a e B estão em W e c é um escalar, certamente c a + B está em W. Exemplo 6. (a) Se V e' um espaço vetorial arbitrário, V é um subespaço de V; o subconjunto constituído somente pelo vetor nulo é um sub- espaço de V, denominado o subespaço nulo de V. (b) Em F', o conjunto das n-uplas (x1, . . . , xl. ) com x¡ = 0 é um subespaço: contudo, o conjunto das n-uplas corn x¡ = l + x2 não é um subespaço (n _>_ 2). (c) O espaço das funções polinomiais sôbre o corpo F é um subespaço do espaço de tôdas as funções de F em F.
  44. 44. 38 ESPAÇOS VETORIAIS (d) Uma n >< n matriz (quadrada) A sôbre o corpo F é sime- trica se Ag, - = ' A ,3- para todos i e j. As matrizes simétricas formam um subespaço do espaço de tôdas as n X n matrizes sôbre F. (e) Uma u X n matriz (quadrada) A sôbre o corpo C dos nú- meros complexos é hermitiana (ou auto-adjunta) se A, ,.= A_, .,- para todos j, k, sendo que a barra indica conjugação complexa. Uma 2 X 2 matriz é hermetíana se e sómente se é da forma [z x+iv] x--iy w onde x, y, z e w são números reais. O conjunto de tôdas as matrizes hermitianas não é um subespaço do espaço de tôdas as n X n ma- trizes sôbre C. De fato, se _A é hermitíana, todos os elementos Au, A22, . . . , de sua diagonal são números reais mas os elementos dia- gonais de iA em geral não são reais. Por outro lado, verifica-se fà- cilmente que o conjunto das n >< n matrizes hermitianas complexas é um espaço vetorial sôbre o corpo R dos _números reais (com as operações usuais). Exemplo 7. O espaço-solução de um sistema de equações linea- res homogêneas. Seja A uma m x n matriz sôbre F. Então o con- junto de tôdas as n >< l matrizes - (colunas) X sôbre F tais que AX = 0 é um subespaço do espaço de tôdas as n X l matrizes sôbre F. Para demonstrar isto precisamos mostrar que A(cX + Y) = 0 para AX = 0, A Y = O e c um escalar arbitrária em F. Isto decorre imediatamente do seguinte fato geral: Lema. SeAéutnamxnmatrizstíbreFeECsãonxp matrizes sôbre F, então (2-11) AMB + C) = 4043) + AC para todo escalar d em F. .Demonstração. [A(dB + C)]. -,- = E , -l, -tutti + C)¡, ¡ J: = É (dAikBkj + Aíkcki) É = dz ÁttBt¡ + E Áikckj) x x 4043): : + (ÁCJu [GÍÁB] + AC]. ',-.
  45. 45. SUBESPAÇOS 39 Anàlogamente, pode-se mostrar quetdB + C)A = d(BA) + CA, se as somas e produtos de matrizes estão definidos. Teorema 2. Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo F. A inter- seção de uma coleção arbitrária de subespaços de V é um subespaço de V. Demonstração. Seja [HQ] uma coleção de subespaços de V e seja W = ñ W. . a sua interseção. Recordemos que W é definido como sendo o conj-unto dos elementos pertencentes simultaneamente a W. , (ver Apêndice). Como cada W. . é um subespaço, todos contêm o vetor nulo. Assim o vetor nulo está na interseção W e W é não vazio. Sejam a e B vetores em W e seja c um escalar. Pela definição de W, tanto a como B pertencem a cada W. . e, con1o cada W. , é um subespaço, o vetor (c a + B) está em todo Wa. Assim, (c a + B) está em W. Pelo Teorema 1, W é um subespaço de' V. Do Teorema 2 decorre que se S é uma coleção arbitrária de vetores em V, então existe um menor subespaço de V que contém S, isto é, um subespaço que contém S e que está contido em todos os outros subespaços que contêm S. Definição. Seja S um conjunto de vetores num espaço vetorial V. O subespaço gerado por S é definido como sendo a interseção W de todos os subespoços de V que contêm S. Quando S é um conjunto fi- nito de vetores, S = [aq, a2,. . . .an j, denominaremos W simples- mente o subespaço gerado pelos vetores a1, a2, . . . , a. .. Teorema 3. O subespaço gerado por um subconjunto nõo vazio S de um espaço vetorial V é o conjunto de tôdas as combinações iineares de vetores em S. Demonstração. Seja W o subespaço gerado por S. Então, cada combinação linear a= Xtar¡ -l-xzatz-l-n-'l-xma. .. de vetores ou. a2, . . . , a, ... em S evidentemente está em W. Assim, W contém o conjunto L de tôdas as combinações lineares de vetores em S. O conjunto L, por outro lado, contém S e é não vazio. Se a, B pertencem a L, então a é uma combinação linear, a = na¡ + xzaz + + Jima. . de vetores a, em S e B é urna combinação linear t3 = P151 + _P252 -l- . .. + Ps3.. de vetores B¡ em S. Para cada escalar c,
  46. 46. 40 ESPAÇOS VETORIAIS Il t¡ Ca -I- 6 = E (Cxdaí *i* É y¡B, -. t-; 1-1 Logo ca + B pertence a L. Assim, L é um subespaço de V. Mostramos acima que L é um subespaço de V que contém S e também que todo subespaço que contém S contém L. Decorre que L é a interseção de todos os subespaços que contêm S, isto é, que L é o subespaço gerado pelo conjunto S. Definição. Se S1, S2,. .., S.¡ são subconjuntos de um espaço vetorial V, o conjunto de tôdas as somas _ a1+a2+. ..+az de vetores x¡ em S¡ é dito a soma dos subconjunto: S¡, S2, . . . , S¡ e é indicado por S1+S2“Í-. ..+Sn ou por Í: É Sa. iu] Se W¡, Wa, . . ., W* são subespaços de V, então vê-se fácil- mente que a soma W-i-W1_+ W2+. ..+Wx é um subespaço de V que contém cada um dos subespaços W. ; Disto decorre, como na demonstração do Teorema 3, que W é o subespaço gerado pela reunião de WI, Wa, . . ., Wt. Exemplo 8. Seja F um subcorpo do corpo C dos números com- plexos. Suponhamos que a] : (1: 2» os 3! a2 "t (Os O! ls 49 a3 = (O, O, 0, 0, l). Pelo Teorema 3, um vetor a está no subespaço W de F 5 gerado por a1, a2, a3 se, e somente se, existem escalares q, C2, C3 em F tais que cr = 01011 + C2a2 -I- C303- Portanto, W consiste de todos os vetores da forma a = (Cl. 261, C2, 301 + 462, C3) onde cl, C2, C3 são escalares arbitrários em F. W pode ser descrito de outra forma como sendo o conjunto de tôdas as quíntuplás a = (xl) x29 x39 x4; É?
  47. 47. SUSE-ESPAÇOS 41 com x. - em F tais que X2 2X1 x4 3X¡ + 4x3. Assim, ( 3,' -6, 1, -5, 2) está em W, enquanto que (2, 4, 6, 7, 8) não está. Exemplo 9. Seja F um subcorpo do corpo C dos números com- plexos e seja V o espaço vetorial das 2 X 2 matrizes sôbre F. Seja W¡ o subconjunto de V constituído por tôdas as matrizes da forma i” z 0_ onde x, y, z são escalares arbitrários em F. Finalmente, seja Wz o subconjunto de V constituído por tôdas as matrizes da forma PW 0 . v onde x e y são escalares arbitrários em F. Então, W¡ e W: : são sub- espaços de V. Além disso V = W 1 + W; knsmnsa 0 subespaço W¡ (N Wg consiste de tôdas as matrizes da forma [x 0]_ 0 O Exemplo 1D. Seja A uma m X n matriz sôbre um corpo F. Os vetores-linhas de A são os vetores em F" dados por a, - = (An, . . ., Am), i = 1,. .., m. O subespaço de F" gerado pelos vetores-li- nhas de A é denominado o espaço-linha de A. O subespaço considerado no Exemplo 8 e' o espaço-linha da matriz 12030 A=00l40- _00001 Êle também é o espaço-linha da matriz l 2 0 3 O" B = O 0 l 4 OJ_ 0 0 0 0 l 1 8 pois
  48. 48. 42 ESPAÇOS VETORIAIS Exemplo ll. Seja V o espaço das funções polinomiais sôbre F. Seja S o subconjunto de V constituído pelas funções polinomiaís f¡, ,f¡, f2,_. . . ', definidas por f, .(x) = x”, n = 0,1, 2,. .. Então V é o subespaço gerado pelo conjunto S. Exercicios 1. Quais dos seguintes conjuntos de vetores a - (m. . . . . an) em R" são subespaços de R"? (n 2 3) (a) todos a tais que a¡ 2 O; (b) todos a tais que a¡ + 3a, == = 0,; (c) todos a tais que a. = af; (d) todos a tais que um, == 0; (e) todos a tais que x a. seja racional. 2. Seja V o espaço vetorial (real) de tôdas as funções _f de R em R. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de V? (a) tôdas ftais que ffx") = ,f(x= ); (b) tôdas f tais que H0) = f( I); (c) tôdas ftais que f(3) = l + f(-5); (d) tôdas ftais que f(-l) n 0; (e) tôdas f que são continuas. 3. O vetor (3, -L 0, ml) está no subespaço de R4 gerado pelos vetores (2. -L 3, 2), (--l. 1. l. -3) e (l. l. 9, -5)'? 4. Seja ! V o conjunto de todos os (x1, x. , x3, x4, x 5) em R* que satisfazem 2x, - x, -i- fx, - . t, = 0 x¡ +ãx3 "1 X5 =0 9x¡: '3x¡+6x3'""3X4'”'3x5=0. Determinar um conjunto finito de vetores que gere W. s. Seja F um corpo e seja n um inteiro positivo (u 2 2). Seja V o espaço vetorial das n X n matrizes sôbre F. Quais dos seguintes conjuntos de ma- trizes A em V são subespaços de V? (a) tôdas A inversíveis; (b) tôdas A não-inversíveis; (c) tôdas A tais que AB n BA, onde B é uma certa matriz fixa em V; (d) tôdas A tais que A' = A. 6. (a) Demonstrar que os únicos subespaços de R' são R* e o subespaço nulo. (b) Demonstrar que um subespaço de R' ou é IP, ou é o subespaço nulo ou então consiste de todos os múltiplos escalares de um certo vetor fixo em R'. (O último tipo de subespaço é (intuitívannente) uma reta pela origem. ) (c) Você é capaz de descrever os subespaços de R3? 7. Sejam W. e W, subespaços de um espaço vetorial V tais que a reunião de W. e W, também seja um subespaço. Demonstrar que um dos espaços W. está contido no outro.
  49. 49. aasas a DIMENSÃO 43 8. Seja V o espaço vetorial das funções- de R em R; seja V, o subconjunto das funções pares. f(-x) = für); seja V, - o subconjunto das funções im; pares. fC-x) = - fm- - (a) Demonstrar que V, e V¡ são subespaços de V. (b) Demonstrar que V, + V. - = V. (c) Demonstrar que V, f). V, - = 9. Sejam W, e W , subespaços de um espaço vetorial V tais que W, + W , =-= V e W, (N W. = Determinar que para cada vetor o: em V existem ve- tores bem determinados or¡ em W¡ e a, em W. . tais que o: = a. + ai¡ 2.3 Bases e Dimensão Passamos agora à tarefa de atribuir uma dimensão a certos_ espaços vetoriais. Apesar de associarmos usualmente “dimensão” a algo geométrico, precisamos encontrar uma definição algébrica adequada da dimensão de um espaço vetorial. Isto será feito atra- vés do conceito de uma base para o espaço. Definição. Seja V um espaço vetorial sôbre F. Um subconjunto S de V é dito linearmente dependente (ou, .simplesmente, dependente) se existem vetores distintos a1, a2, . . . , a, em S e escolares C1, cg, .. ., c. , em F, não todos nulos, tais que 61111-1- Cgaz + . .. + Cum, = Um conjunto que não é Iinearmente dependente é dito linearmente inde- pendente. Se o conjunto S contém apenas um número finito de vetores a1, a2, . . . , a, dizemos, às vêzes, que a1, a2, . . . .a, são dependentes (ou independentes) em vez de dizer que S e' dependente (ou independen- te). Decorrem fàciimente da definição as conseqüências seguintes: (a) Todo conjunto que contém um conjunto ! inearmente depen- dente é iinearmente dependente. (b) Todo subconjunto de um conjunto Iinearmente independente é linearmente independente. (c) Todo conjunto que contém o vetor nulo é iinearmente depen- dente, pois l . O = 0. (d) Um conjunto S de vetores é Iinearmente independente se e sómente se todo subconjunto finito de S e' Iinearmente independente, isto é, se e somente se para quaisquer vetores distintos a1, . . . , a. . em S 01a¡ + . . . + 05a. . = O implica que cada c. - = 0. Exemplo 12. Seja F um subcorpo do corpo dos nú-meros com- plexos. Em F3 os vetores II ( 39 09 (_"la Is a1 a2
  50. 50. 44 ESPAÇOS VETORIAIS são linearmente dependentes, pois 2a¡ -l- Zag-ag + 0 . a4 = 0. Os vetores e; = ( , 0, 0) eg = 0, 1, O) a3 = O, O, 1) são linearmente independentes. Definição. Seja V um espaço vetorial'. Uma base de V é um con- junto Iinearmente independente de vetores em V que gera V. Exemplo 13. Seja F um corpo e, em F, ., seja S o subconjunto constituído dos vetores q, E2, . . . , e. . definidos por (1, o, o, ... ,o) (0.1.0,-«-,0) 51 92 u ¡ ¡ - - c u - o o 5,. =(0,0,0,. .., l). Sejam x1, x2, . . . , x. escalares em F e coloquemos a = xm + + xgeg + + xana. Então (2-12) a = (x1, x2,. .., xa). Isto mostra que el, . . . , eu geram F”. Como a = O se e somente se x¡ = x2 = = x, = 0, os vetores 51,. .. , a. são linearmente independentes. 0 conjunto S _= [q, . . . , a. ) é portanto uma base de F ". Denominamos esta base particular a base canônica de F'. Exemplo 14. Seja F um subcorpo do corpo dos números com- plexos. Usando a notação do Exemplo ll consideraremos o subes- paço V do espaço das funções polinomiaís sôbre F que é gerado pelas funções fo, fl, fz. Suponhamos que Co, q, C2 sejam escalares em F tais que _ Cofo + Crfl + Cafe = 0. Isto significa que para cada x em F, C0 + clx + 02.112 = O. Tomando x = 0, vemos que eo = O e, fazendo x = l e x = = -1, obtemos as equações C1+C2=Ú _C1+C2=0.
  51. 51. BASES e DIMENSÃO 45 Somando e subtraindo. concluímos que 202 = O e 2c¡ = 0. donde concluímos que c¡ = ' 0 e a2 = 0. Assim as funções fmf. , f2 são ii- nearmente independentes e formam uma base de V. Posteriormente, mostraremos que o conjunto infinito constituido por tôdas as fun- ções f. , n = 0, 1, 2.. ... é uma base do espaço de tôdas as fun- ções polinomiais sôbre F. Quando houvermos feito isto, teremos um exemplo de uma base infinita para um espaço vetorial. Notemos que, apesar de (fl); fla fza fifa ' "i ser um conjunto infinito que é uma base para o espaço das funções polinomiaís sôbre F, isto não quer dizer que estejamos considerando combinações lineares infinitas. Cada função polinomial será uma combinação linear de um certo número finito das funções f. .. Teorema 4. Seja V um espaço vetorial gerado par um conjunto finito de vetores B1, .62, . . . . B, ... Então. todo conjunto independente de vetores em V éfinito e contém no máximo m elementos. Demonstração. Para demonstrar o teorema basta mostrar que todo subconjunto S de V que contém mais de m vetores é linear- mente dependente. Seja S um tal conjunto. Em S existem vetores distintos ou, 412,. . . , a. . com n > m. Como 61,. .. , B. .. geram V existem escalares A. ; em F tais que m a¡ = 23 Amflç. III l Para n escalares arbitrários x1, x2.. . . , x. . temos Il 361a¡ + . . . + Xna" = E xja¡ J= l N Í” = É xjÉ 1443-13¡ J= l 131 ! I M ' = E 27 (Áuxim: .ia-l í= l Como n > m. o Teorema 6 do Capitulo l implica que existem esca- lares x1, x2. . . . , x. . não todos nulos, tais que â Aíjxj = 0, Í-l líiím.
  52. 52. 46 ESPAÇOS VETORIAIS Logo, ma¡ + X2612 + + xnan = O. Isto mostra que S é um conjunto linearmente dependente. Definição. Um espaço vetorial V é de dimensão finita se ele pos- sui uma base finita. Corolário l. Se V e' um espaço vetorial de dimensão finito, então duas quaisqzter bases de V têm o mesmo número (finito) de elementos. Demonstração. Sendo de dimensão finita, V possui uma base finita _ *[619 ¡62¡"'9Bm]- Pelo Teorema 4, tôda base de V é fínita e contém no máximo m elementos. Assim, se fm, a2, . .., an] é uma base, n É m. Pela mesma razão, m g n. Logo m = n. Definição. Se V é um espaço vetorial de dimensão _fL-üta, a di- mensão de V e' definida como sendo a número de elementos de uma base de V. lndícaremos a dimensão de um espaço vetorial V de dimen- são finita por dim V. Exemplo 15. Se F é um corpo, a dimensão de F" é n, pois a base canônica de F" contém n vetores. Corolário 2. Seja V um espaço vetorial n-dimensional. Enúo (a) todo conjunto de vetores em V que contém mais de n vetores é linear-mente dependente. (b) nenhum conjunto contendo menos de n vetores pode gerar V. Lema. Seja S um subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V. Suponhamos que B seja um vetor em V que não esteja no subespaço gerado por S. Então o Lvanjunto obtido acrescen- tando-se B a S é linear-mente independente. Demonstração. Suponhamos que a1, . . . , a. .. sejam vetores dis- tintos em S e que C¡a1+ -Í-Cmam = Então b = 0, caso contrário C2 B= T)a¡+. ..+ ---b-)a. . e B estaria no subespaço gerado por S. Assim, c1a1 + + + ema. . = O, e como S é um conjunto linearmente independente, cada c. - = 0.
  53. 53. BASES E DIM ENSÃO 47 Teorema 5. Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finito, todo subconjunto de W que é iinearmente indepen- dente éfinito e e' parte de uma base (_fr'nita) de W. Demonstração. Suponhamos que Su seja um subconjunto de W li- nearmentc independente. Se S é um subconjunto de W linearmente independente contendo S”, então S também é um subconjunto de W linearmente independente: como V é de dimensão finita, S' contém no máximo dim V elementos. Portanto, existe um subconjunto S de W linearmente independente que é maxima! e contém Sc. Como S é um subconjunto de W linearmente independente e maxima] conten- do S0, o lema anterior mostra que W é o subespaço gerado por S. Logo, S é uma base de W e o conjunto original Sn é parte de uma base de W. Corolário 1. Se W e' um subespaço próprio de um espaço vetorial V de dimensão f inita. então W é de dimensãofinita e dim W < dim V. Demonstração. Podemos supor que W contém utn vetor o: ;é 0. Pelo Teorema S e sua demonstração, existe uma base de W que contém a e no máximo dim V elementos. Logo W é de dimensão finita e dim ! tl/ É dim V. Como W é subespaço próprio, existe um vetor B em V que não está em W. Acrescentando B a uma base arbitrária de W obtemos um subconjunto de V Iinearmente inde- pendente. Portanto dim W < dim V. Corolário 2. Num espaço vetorial V de dimensão finito todo con- junto não-vazio de vetores iinearmente independentes e' parte de uma base. Corolário 3. Seja A uma n X n matriz sôbre um corpo F e . Itupo- nhamos que os vetores-linhas de A formem um conjunto de vetores de F " iinearmente independentes. Então A é inversivei. Demontrtração. Sejam a1, a2, . . . _. a. . os vetores-linhas de A e Suponhamos que W seja o subespaço de F” gerado por a1, a2, . . . a. .. Como m, a2, . .. , a, são linearmente independentes, a dimensão de W é n. 0 Corolário 1 mostra agora que W = F". Logo, existem escalares B. ,- em F tais que e¡ = &Bum; lí ¡St! i-I onde [q, E2, . . . , : Hj é a base canônica de F". Portanto, para a matriz B com elementos B”, temos BA= I.
  54. 54. 48 espaços veronuus Teorema 6. Se W 1 e Wg são subespaços de dimensão finito de um espaço vetorial V, então W¡ + Wg é de dimensão finito e dim W¡ + dim Wg = dim (Wl (W Wg) + dim (W, + W2). Demonstração. Pelo Teorema 5 e seus carolários, W¡ f) Wz tem uma base finita [a1, . . . , at] que é parte de uma base ía1s°'-! aits Bla-me 63111 de WI e parte de uma base iam-u. 5x; 'Y1,---, Tui' de W2- 0 subespaço W. + W2 é gerado pelos vetores a1!"'3ah Bls---sôms 71$°"5Tl e êstes vetores formam um conjunto independente. De fato, supo- nhamos que E Xtar' 'i' 21,161' 'i' E zrTr = Então "* E Zntr = E xau¡ + 237,5¡ o que mostra que 2 2,7, pertence a Wl. Como 222,7, pertence também a Wg, segue que ' E 2,7, = E 6.1x, - para certos escalares cl, . . . , Cg. Por ser o conjunto fa1,. ._. , at, 71,. .., ;hj independente, cada um dos escalares z. . = 0. Portanto, E . xau, + Ey_, -B, - = O e como [ala---saka Blg- -samj também é um conjunto independente, cada x¡ = O e cada y, - = 0. Assim, . jah. .., ag, B¡, ... ,5m, T1,. .., T,. l
  55. 55. BASES E DIMENSÃO 49 é uma. base de W¡ + We. Finalmente dim W¡ +dim Wg' (k+ m)+ (_k+n) k+(m + kd' n) f) (Wj -i- Wa). Il Exercícios 1. Demonstrar que, se dois vetores são linearmente dependentes, um deles é um múltiplo escalar do outro. 2. Os vetores a, - u_ 1, 2, 4) a, ... tz, -L -5, 2) a, - u, -1, -4. o) a. - (2, 1. 1,6) são linearmente independentes em 12"! 3. Determinar uma base do subespaço de R' gerado pelos quatro vetores do Exercício 2. 4. Mostrar que os vetores _ a¡ = ll, 0. -1), a¡ - (l. 2, l), a, - (O, -_-3, 2) formam uma base de R3. Exprimir cada um dos vetores da base canônica como combinações lineares de aq, ou, e a, 5. Determinar três vetores em Rs que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer deles sejam ! inearmente independentes. 6. Seja V o espaço vetorial das 2 x 2 matrizes sôbre o corpo F. Demons- trar- que V tem dimensão 4 mostrando uma base de V que tenha 4 elementos. 7. Seja V o espaço vetoriai do Exercicio 6. Seja W, o conjunto das matri- zes da forma- [x 'il y 3_ e seja W. o conjunto das matrizes da forma I: a b' -a c_ ° (a) Demonstrar que W, e W. são subespaços de V. (b) Determinar as dimensões de W, , W. . W¡ + W. e W, t") W. . 8. Novamente, seja V o espaço das 2 X 2 matrizes sôbre F. Determinar uma base [Ap Ah A, A4] de V tal que A: == A, para cada j. 9. Seja V um espaço vetorial sôbre um subcorpo F do corpo dos números complexos. Suponhamos que a, B e -y sejam vetores de V linearmente inde- pendentes. Demonstrar que (a + B), (a + v) e (1 + a) são linearmente inde- pendentes. m. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F. Suponhamos que exista um número finito de vetores a1, . . . , a. - de V que gerem V. Demonstrar que V é de dimensão finita. 11. Seja V o conjunto das 2 X 2 matrizes A com elementos compiexos sn- tisfazendo Au + A: : - 0.
  56. 56. S0 ESPAÇOS VETORIAIS (a) Mostrar que V é um espaço vetorial sôbre o corpo dos números reais, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de uma rrmriz por um escalar. (b) Determinar uma base desse espaço vetorial. (c) Seja W o conjunto de tôdas as matrizes A em V tais que A. , = -Iín (a barra indica conjugação completa). Demonstrar que W é um subespaço de V e determinar uma base de W. 12. Demonstrar que o espaço 'das m X n matrizes sobre o corpo F tem dimensão mu, mostrando uma base para éste espaço. 13. Discutir o Exercício 9, para o caso de V ser um espaço vetorial sôbre o corpo formado por dois elementos descritos no Exercício 5. Seção l . l (p. 5). 14. Seja V o conjunto dos números reais. Consideremos V como um es- paço vetorial sôbre o corpo dos números racionais, com as operações usuais. Demonstrar que éste espaço vetorial. não é de dimensão imita. 2.4 Coordenadas Uma das características úteis de uma base (B de um espaço n-dimensional V é essencialmente que ela nos permite introduzir coordenadas em V análogas às "coordenadas naturais" x. -de um vetor a: = (x1, . . . , xa) do espaço F”. Em assim sendo, as coorde- nadas de um vetor a de V em relação à base t3 serão os escalares que servem para exprimir a como uma combinação linear dos veto- res da base. Assim, gostaríamos de considerar as coordenadas na- turais de um vetor a de F” como sendo definidas por a e pela base canônica de F "; contudo, ao adotarmos êste ponto de vista preci- samos ter um certo cuidado. Se CI = 051,. .., xa): Exu¡ e (B é a base canôniea de F”, como são as coordenadas de a deter- minadas por LB e a? Uma maneira de formular a resposta é esta: Um dado vetor a é expresso de maneira única como uma combinação linear dos vetores da base canônica, e a i-ésinta coordenada x. - de a: é o coeficiente de e¡ nesta expressão. Sob éste ponto de vista po- demos dizer quai é a i-ésima coordenada, pois temos uma ordenação "natural" dos vetores da base canônica, isto é, temos uma regra para determinar qual é o “primeiro” vetor da base, qual é o "se- gundo" e assim por diante. Se 05 é uma base arbitrária do espaço n-dimensional V, não teremos provavelmente nenhuma ordenação natural para os vetores de us e será portanto necessário impormos uma certa ordem sôbre esses vetores antes de podermos definir "a i-ésima coordenada de a em relação a 03". Se S é um conjunto corn n. elementos, o que é uma ordenação dos elementos S? Existem muitas definições dêste conceito, apesar de

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