1. Universidad Interamericana de Puerto Rico
Recinto de San Germán
Departamento de Matemáticas y Ciencias Aplicadas
Proyecto Creativo:
Modelo Matemático del Corazón
Por: Rosa E. Padilla Torres
Director: Dr. Álvaro Lecompte Montes
Febrero de 2012

2. Índice
Semblanza 3
Agradecimientos 4
1. Introducción 5
2. El corazón como bomba 8
3. Modelo matemático del corazón 25
4. Conclusión 29
Apéndices
1. Presión arterial sistólica y diastólica promedio para hombres 31
2. Presión arterial sistólica y diastólica promedio para mujeres 32
Bibliografía 32
Figuras
1. Esquema del corazón 5
2. Esquema de la función del corazón 6
3. Diástole y Sístole 7
4. Variables para el flujo en un tubo 10
5. Relación entre presión y tensión superficial 17
6. Fuerzas sobre una esfera con fluido en el interior 18
7. Modelo de circuito para el corazón 25
8. Tabla de valores de volumen – presión para ventrículo izquierdo 26
9. Curvas de valores de volumen y presión de varias partes del ventrículo
izquierdo 27
10. Ciclo P – V para el ventrículo izquierdo real e idealizado 28
11. Tabla de valores de volumen – presión para el ventrículo derecho 28
Ecuaciones
(1) Flujo 10
(2) Ecuación Poiseuille 11
(3) Resistencia 11
(4) Ley de Ohms 12
(5) Resistencia eléctrica 12
(6) Resistencia total 13
(7) Resistencia en paralelo recíproca 14
(8) Resistencia en paralelo 14
(9) Carga eléctrica 16
(10) Capacitancia 16
(11) Descarga de capacitor 17
(12) Solución descarga capacitor 17
(13) Fuerza neta ejercida 18
(14) Tensión superficial 18
(15) Fuerza para una esfera 18
(16) Razón entre presión y volumen 18
(17) Volumen 18
(18) Capacitancia 18
(19) Ecuación de Nernst 19
(20) Principio de Fick 20
(21) Resistencia 22
(22) Resistencia en los órganos 22
(23) Conformidad 23
Modelo matemático del corazón R. Padilla 2

3. Semblanza
Mi nombre es Rosa Elena Padilla Torres. Nací el 19 de julio de 1973 en Mayagüez P.R.,
ciudad donde resido actualmente. Realicé estudios primarios en la Escuela S. U. Sabanetas Maní.
De ahí, pasé a realizar estudios en Electrónica Digital en la Escuela Superior Vocacional, Dr.
Pedro Perea Fajardo de Mayagüez. En agosto de 1991 comienzo estudios en la Universidad de
Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez en el Departamento de Matemáticas, con
concentración en Ciencias de Computación. Realicé estudios electivos en Educación
Matemática, culminando mi bachillerato en mayo de 1999.
Realizo estudios en la Universidad Interamericana de Puerto Rico desde octubre de 2009
hasta febrero de 2012, donde completo un grado de Maestría en Artes, Matemática Aplicada.
Desde agosto de 2004, trabajo como maestra de Matemáticas y Tecnología en el Colegio
Episcopal San Andrés en Mayagüez. Es aquí he tenido la oportunidad de compartir mis
conocimientos con los estudiantes, aportando mi granito de arena para formar a los líderes del
futuro.
Actualmente me encuentro felizmente casada con el Sr. Enrique Pérez, quien se
desempeña como Agente de la Policía de Puerto Rico. Tengo dos hijos maravillosos, Stephanie
Marie y Edison Javier.
Soy miembro activo de AFAMaC (Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las
Matemáticas y Ciencias) donde tengo la oportunidad de añadir conocimientos y técnicas, además
de compartir mis conocimientos con colegas y amigos.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 3

4. Agradecimientos
Agradezco a Dios, sobre todas las cosas, quién me dio la salud, capacidad y recursos
para poder alcanzar mi meta.
A Enrique, mi esposo. Por su incondicional apoyo, ayuda y motivación brindada para así
poder obtener mi grado. A mis hijos Stephanie y Edison, por su paciencia e independencia a lo
que mami estudiaba. A mis profesores, amigos y compañeros de clase, los cuales siempre
estuvieron ahí cuando los necesité.
Muy en especial, al Dr. Alvaro Lecompte Montes, por su confianza, apoyo, consejos y la
inmensa e incondicional ayuda brindada durante mis estudios. Son profesores como usted, los
que hacen diferencia en la vida de sus estudiantes. Digno ejemplo a seguir.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 4

5. 1. Introducción
El corazón es el órgano principal del sistema o aparato circulatorio. Éste se encuentra
situado en la cavidad torácica entre los pulmones, en el centro del pecho, detrás y levemente a la
izquierda del esternón. Una membrana de dos capas, denominada “pericardio” envuelve el
corazón como una bolsa. La capa externa del pericardio rodea el nacimiento de los principales
vasos sanguíneos del corazón y está unida a la espina dorsal, al diafragma y a otras partes del
cuerpo por medio de ligamentos. La capa interna del pericardio está unida al músculo cardíaco.
Una capa de líquido separa las dos capas de la membrana, permitiendo que el corazón se mueva
al latir, a la vez que permanece unido al cuerpo. Su tamaño aproximado es de unas cinco
pulgadas de largo, lo que sería un poco más grande que el puño de la persona. Tiene un peso de
entre 5 a 7 onzas. Las venas y arterias están conectadas a la base superior del corazón.
Internamente, el corazón consiste de cuatro cámaras: dos aurículas y dos ventrículos, a donde
llega o de donde sale la sangre. El paso de una cámara a otra y de los ventrículos hacia las
arterias se controla por cuatro válvulas. (Figura 1).
Figura 1: Esquema del Corazón
Modelo matemático del corazón R. Padilla 5

6. La función del corazón es bombear sangre a todos los demás órganos del cuerpo. La
sangre transporta oxígeno desde los pulmones hacia los tejidos del cuerpo y transporta el dióxido
de carbono de los tejidos nuevamente hacia los pulmones (Figura 2). La sangre que viene de los
tejidos del cuerpo llega a la aurícula derecha del corazón por las venas cavas: superior e inferior.
La válvula tricúspide controla el flujo sanguíneo entre la aurícula derecha y el ventrículo
derecho. Cuando los ventrículos se contraen (sístole), esta válvula se cierra y la sangre se envía a
través de la válvula pulmonar hacia las arterias pulmonares, las cuales transportan la sangre a los
pulmones para oxigenarla. La sangre oxigenada regresa por las venas pulmonares a la aurícula
izquierda. La válvula mitral permite que la sangre rica en oxígeno pese de la aurícula izquierda al
ventrículo izquierdo. Desde este lugar, al contraerse los ventrículos (sístole), la válvula mitral se
cierra y la válvula aórtica permite que la sangre rica en oxígeno pase a la aorta, la arteria más
grande del cuerpo, la cual transporta la sangre al resto del organismo (Figura 3).
Figura 2: Esquema de la función del corazón
Modelo matemático del corazón R. Padilla 6

7. Figura 3: Diástole y Sístole
En este Proyecto Creativo estudiamos las características mecánicas y de control de flujo
sanguíneo que hace el corazón como bomba responsable de suplir sangre a todos los demás
órganos sistémicos. Este estudio permite entender mejor cómo debe ser el buen funcionamiento
de nuestro sistema circulatorio.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 7

8. 2. El corazón como bomba
Como se ha indicado, la función básica del corazón es la de una bomba encargada de la
circulación de la sangre por todos los órganos del cuerpo humano, a través de arterias, venas y
capilares. Las arterias y venas son básicamente tubos, aunque muestran ciertas características
que los diferencian de los tubos rígidos considerados en la ingeniería. Las arterias al igual que el
corazón, también son músculos que pueden contraerse o dilatarse para modificar el flujo
sanguíneo. Las venas disponen de válvulas internas que impiden el retroceso de la sangre y
poseen cierta elasticidad. Además, en los capilares, donde arterias y venas se hacen bien
pequeñas, se intercambian sustancias, incluyendo parte del fluido, con los tejidos. En el sistema
digestivo, se pueden incorporar agua y nutrientes, mientras que en los riñones, especialmente, se
controla el volumen de fluido, eliminando agua además de las sustancias tóxicas.
No obstante esta complejidad, para comprender la relación entre los factores físicos que
gobiernan el flujo sanguíneo en el cuerpo humano, la mecánica de fluidos viscosos en un tubo es
probablemente la clave. Sin embargo, las ecuaciones de flujo viscoso son no-lineales y
matemáticamente complicadas. Por esta razón, luego de un primer análisis con base en la
mecánica de fluidos se suele linearizar las ecuaciones para obtener un modelo más manejable
matemáticamente. En este caso podemos hacer analogías entre el flujo de la sangre y un circuito
eléctrico.
El flujo o caudal es el volumen de sangre que pasa por una sección dada en una unidad de
tiempo. Este flujo se mide en litros por minuto y es igual a la velocidad promedio del fluido
multiplicada por el área de la sección. La variable análoga en un circuito eléctrico es la corriente
eléctrica, la cual se mide en amperios o culombios por segundo. En analogía a la velocidad de
fluido se utiliza la densidad de corriente eléctrica. Aunque en el caso de la sangre puede haber
Modelo matemático del corazón R. Padilla 8

9. eliminación o adición de flujo en algunos órganos, esto ocurre de forma mucho más lenta que la
correspondiente a los latidos del corazón y la podemos dejar de lado. Desde esta aproximación,
el volumen total de sangre se puede considerar constante y el flujo tiene leyes de conservación
similares a las de la corriente eléctrica.
Tomando en consideración un segmento de tubo de largo (L) con cierto radio (r) a través
del cual pasa un fluido, este pasa por el tubo siempre y cuando se tengan dos presiones P1 y P2,
en la entrada y salida respectivamente, diferentes. La diferencia entre esas presiones se le llama
. La presión se puede medir en mm de mercurio, o también en bares, donde esta unidad es un
cienmilésimo de un pascal o newton de fuerza por metro cuadrado. La presión atmosférica se
omite en la medida de presión, ya que solamente interesan las diferencias entre dos valores de
esta. La diferencia de presión produce una fuerza neta sobre el fluido, que podemos llamar
fuerza de conducción, la cual se obtiene multiplicando la diferencia de presión por el área de la
sección. El origen básico de esta fuerza es la presión ejercida por las paredes del corazón
durante la fase de contracción (sístole) y luego se propaga por el mismo fluido. La variable
eléctrica análoga a la diferencia de presión es la de una diferencia de potencial o voltaje entre los
extremos de un conductor, la cual se mide en voltios.
En un circuito eléctrico las diferencias de potencial son en últimas originadas por baterías
o por generadores eléctricos, pero también por capacitores, los cuales son aparatos que
almacenan carga eléctrica. Una batería genera un voltaje constante, mientras la diferencia de
presión creada por el corazón es variable. Un generador eléctrico típicamente genera un voltaje
alterno de forma sinusoidal. Este voltaje sinusoidal puede rectificarse mediante diodos que
permitan el flujo de corriente en una sola dirección. Esta es en buena parte la función de las
válvulas, con la diferencia que estas válvulas se cierran cuando el corazón cesa de hacer la
Modelo matemático del corazón R. Padilla 9

10. diferencia de presión. La analogía es más exacta si pensamos que el corazón funciona como un
capacitor, el cual durante la diástole se llena de fluido y durante la sístole se vacía. Esta
operación se puede entender como regulada por una variación externa de la capacitancia, la cual
requiere de un trabajo realizado por una fuerza externa. Este punto se ampliará más adelante.
De otra parte, como con cualquier flujo a través de un tubo, las arterias y venas crean
resistencia, debido a la fricción viscosa con la superficie interior del conducto y de las capas de
flujo entre ellas. La resistencia vascular mide de forma gruesa la dificultad con la cual el fluido
pasa a través del tubo. Definimos resistencia vascular de modo que la relación entre diferencia
de presión, presión y flujo de sangre esté dada por la siguiente ecuación de flujo (Figura 4)::
(1)
Donde:
= flujo (volumen / tiempo)
= diferencia de presión (mmHg1)
R = resistencia al flujo (mmHg × tiempo / volumen)
Figura 4: Variables para el flujo en un tubo
Modelo matemático del corazón R. Padilla 10

11. Entrando en el detalle, la resistencia al flujo de los fluidos en un tubo depende de varios
factores, incluyendo el radio y largo del tubo y la viscosidad del fluido, pero también puede
depender de la velocidad media del fluido. No se conocen soluciones exactas de la mecánica de
fluidos para flujos en tubos de radio variable o cuando la velocidad del flujo supera un valor
crítico que se mide con cierto número adimensional conocido como número de Reynolds (flujos
turbulentos). Para tubos de radio constante y a bajas velocidades, se puede utilizar la ecuación de
Poiseuille:
Ecuación de Poiseuille:
(2)
Donde:
y según definidas anteriormente
r = radio interior del tubo
L = largo del tubo
= viscosidad del fluido
De esta ecuación concluimos que la resistencia del tubo depende considerablemente del
radio interior del tubo:
(3)
Esta fórmula es aproximada por varias razones: las arterias van disminuyendo su radio a medida
que se ramifican y lo contrario ocurre con las venas en su regreso hacia el corazón. Además, la
sangre no es un fluido homogéneo, sino que contiene las células sanguíneas en suspensión. En
las arterias principales y en áreas de curva, el flujo puede ser turbulento o en el borde de la
turbulencia. Finalmente, según mencionamos, las arterias pueden contraerse o dilatarse
respondiendo a ciertos estímulos, con lo cual también ayudan a controlar el flujo sanguíneo.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 11

12. No obstante, podemos concluir que al radio encontrarse elevado a la cuarta potencia, este
es la variable más significativa en la resistencia. Por ejemplo, una diferencia de la mitad del radio
ocasionaría un cambio de 16 veces mayor en resistencia. Si se desea mantener el mismo flujo, se
requiere entonces una diferencia de presión 16 veces mayor. Esto es muy importante cuando se
producen obstrucciones en las arterias, tales como coágulos o depósitos de grasa en la pared
arterial, que reducen su radio.
La propiedad análoga en un circuito eléctrico es la resistencia eléctrica y la ley
correspondiente a (3) es la Ley de Ohm.
V=IR (4)
V= diferencia de potencial
I= Corriente
R= Resistencia
La resistencia eléctrica varía con el largo y la sección del conductor de acuerdo a:
R = r L/ A (5)
r = resistividad
L= largo del conductor
A= área de la sección
Una comparación de las dos fórmulas indica que la resistencia eléctrica varía
inversamente con el área de la sección, mientras la de un flujo va con el cuadrado del área de la
sección. Esto se debe a que usamos la variable P como análoga de V. Si se usa la fuerza de
presión F = P A, se restablece una dependencia similar en ambas. Por costumbre se mantiene la
analogía ya dicha, lo cual es solamente un detalle menor a considerar.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 12

13. Cuando tenemos tubos de diferente sección y longitud, uno seguido de otro, se dice que
están conectados en serie. Usando analogías de circuitos eléctricos, la resistencia total en este
caso se obtiene sumando la resistencia de las partes. Esto se debe a que el flujo es el mismo en
todos los segmentos, mientras que la diferencia de presión total es la suma de las diferencias de
presiones en cada parte.
Q = constante
ΔP = ΔP1 + ΔP2 +… + ΔPn
(6)
Esta fórmula es compatible con la ecuación de Poiseuille, en la cual la resistencia total
aumenta con el largo del tubo, pero se está suponiendo que el cambio de radio no produce
pérdidas adicionales por fricción. En los tubos un cambio brusco de sección del tubo causa
turbulencias, que luego se disipan más adelante, pero inicialmente introducen pérdidas de presión
extras.
Cuando un tubo se divide en varios segmentos, los segmentos se dicen que están en
paralelo. En este caso, el flujo sanguíneo se divide, mientras la diferencia de presión es la misma
para los segmentos. La resistencia total de conexiones en paralelo se calcula según la ecuación:
ΔP = constante
Q = Q1 + Q2 + … + Qn
Modelo matemático del corazón R. Padilla 13

14. (7)
Despejando para Rtotal resulta:
(8)
Cuando las arterias se van dividiendo para dar paso a la sangre hacia diferentes órganos,
estas divisiones están conectadas en paralelo. Nuevamente es una aproximación, porque no se
conocen soluciones exactas para flujos en tubos que se bifurcan. Experimentalmente se observa
que alrededor de una bifurcación se producen turbulencias que inducen pérdidas de presión
extras, pero como modelo es lo mejor que se puede sugerir. La analogía eléctrica sería la de
despreciar resistencia de la unión entre los conductores, lo cual se suele hacer debido a que son
pérdidas menores.
Dentro de cada órgano, las arterias se siguen subdividiendo en arteriolas y finalmente en
capilares. Básicamente todas estas son conexiones en paralelo. Cada vaso capilar tiene un radio
del orden de micras: por él sólo cabe una célula sanguínea a la vez y, correspondientemente
presenta mucha resistencia. Sin embargo, la longitud de cada uno es corta y son muchísimos
conectados en paralelo a las arteriolas, que a su vez se conectan en paralelo a las arterias. Si
fueran n vasos sanguíneos de igual resistencia conectados en paralelo, la resistencia total es: RT
= R/n que en total resulta una resistencia pequeña.
En principio, entonces, tenemos ecuaciones que permiten estimar la resistencia de los
vasos sanguíneos, para lo cual sería suficiente hacer un mapa de cada vaso con su longitud y
Modelo matemático del corazón R. Padilla 14

15. radio, emplear la fórmula de Poiseuille en cada segmento y las fórmulas de composición de
resistencias. Experimentalmente existen medios para medir la presión en las diversas arterias y
venas, así como el flujo de sangre, por lo que también es posible estimar las resistencias a partir
de la definición. La resistencia de las arterias y venas mayores es mucho menor que las de
arteriolas, capilares y vénulas. En los cálculos de la siguiente sección se recogen valores de
presión en arterias y venas que permiten estimar la resistencia total del cuerpo y de los pulmones.
La función de suma importancia del corazón en este sistema circulatorio es suplir la de
diferencia de presión requerida para la circulación de la sangre a través de todos los órganos. El
paso de sangre por los órganos es un proceso relativamente pasivo, mientras la energía necesaria
para esta circulación proviene del corazón. El ventrículo derecho provee la energía necesaria
para mover la sangre a través de los vasos pulmonares, mientras que el ventrículo izquierdo
provee la energía que causa el flujo a través de todos los demás órganos.
A pesar de que el corazón tiene dos ventrículos, los cuales funcionan como bombas por
separado, cada uno tiene principios idénticos. Cada bomba consiste de un ventrículo, una bolsa,
hecha de pared muscular, cada ventrículo tiene una válvula de entrada para la sangre que
proviene de la aurícula y otra de salida para la sangre que va hacia la arteria. Cuando la de
entrada está abierta, la de salida se encuentra cerrada y el tanque se llena de sangre casi sin
resistencia a su entrada. Esto se debe a que el músculo de la pared está relajado (diástole). Una
vez lleno, la válvula de entrada se cierra y la de salida se abre debido al aumento súbito de
presión, causado por la contracción de las paredes. El volumen de los ventrículos se reduce en un
40% durante cada contracción. Para la entrada de sangre de la aurícula hacia el ventrículo
también hay un contracción de la aurícula, que precede a la del ventrículo, pero de menor
presión, ya que solo requiere mover la sangre de una cámara a otra.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 15

16. Las válvulas están estructuralmente diseñadas para permitir el flujo de sangre en una sola
dirección y pasivamente abren y cierran en respuesta a la dirección de presión que pasa a través
de ella. La válvula pulmonar es la salida del ventrículo derecho. La válvula aórtica es la salida
del ventrículo izquierdo.
El bombeo ventricular ocurre porque el volumen de los ventrículos está cambiando
cíclicamente. Cuando los músculos ventriculares se contraen, la sangre es forzada a salir a través
de la válvula de salida. Esta etapa se conoce como sistólica. Como la presión es mayor en el
ventrículo que en la aurícula o atrio, durante la sístole las válvulas atrio-ventriculares se cierran.
Cuando las células musculares del ventrículo se relajan, la presión del ventrículo pasa ser
ligeramente menor que la del atrio, la válvula abre y el ventrículo se llena nuevamente de
sangre. En esta etapa, las válvulas hacia las arterias están cerradas, impidiendo el regreso del
flujo desde las arterias hacia el ventrículo. Esta porción del ciclo cardiaco se le llama diástole.
Si extendemos la analogía de un capacitor, podemos entender la reducción de volumen
(contracción) como un cambio en la capacitancia. En un capacitor la relación lineal es entre
voltaje y carga:
Q=CV (9)
Q= carga eléctrica
C = capacitancia
V = voltaje
En un capacitor la capacitancia depende del área entre placas y de la distancia entre ellas
según la fórmula:
C = e A/d (10)
Modelo matemático del corazón R. Padilla 16

17. A= área entre places
D= distancia entre placas
En un capacitor variable se puede variar ya seas la distancia o el área entre placas. El
efecto de bajar la capacitancia con una carga dada es la de un aumento del voltaje. Por supuesto,
de acuerdo a la resistencia del circuito, más tarde sale mayor corriente del capacitor y este se
descarga:
dQ/dt = - I = - V/ R = - Q / CR (11)
la solución de esta ecuación de primer orden es de la forma:
Q = Qo Exp(- ) (12)
Para un fluido la variable análoga a carga es volumen, mientras en un tanque, tubo o
bolsa la presión se relaciona con el volumen por el siguiente razonamiento que se debe a Laplace
(Figura 5 para tubos y Figura 6 para esferas):
Figura 5: Relación entre presión y tensión superficial
Modelo matemático del corazón R. Padilla 17

18. Figura 6: Fuerzas sobre una esfera con fluido en el interior
Cuando las células musculares estriadas del corazón se contraen, la tensión en la pared
aumenta. En equilibrio las fuerzas de presión del interior y de la tensión en la pared son iguales.
Tenemos una fuerza neta ejercida por la presión hacia la derecha (color azul) de valor
Px 2 R² Cos ( ) d = P R² (13)
La fuerza de la tensión superficial tensión Color rojo) es igual a:
Tx2 R (14)
Por tanto, para una esfera:
P = 2 T /R (15)
Para un tubo el razonamiento análogo lleva a P = T / R.
Como consecuencia, si se aumenta la tensión muscular con un radio fijo, la presión
también aumenta. Si luego de cierto valor de la presión se abre la válvula hacia las arterias
Modelo matemático del corazón R. Padilla 18

19. mientras la tensión está fija, el volumen disminuye y correspondientemente el radio disminuye,
por lo que la tensión disminuye. Si se calcula la razón:
P/V = T / RV = T/ (4/3 R4 ) (16)
Se llega a la conclusión que el volumen depende de la presión de la forma:
V = (4/3 R4 ) / T P (17)
El equivalente de la capacitancia es entonces:
C = (4/3 R4 ) / T (18)
La señal para que las células musculares se contraigan es causada por un cambio de
voltaje a través de las membranas celulares. A este voltaje se le llama potencial de acción y es
lo que se mide mediante los electrocardiogramas. Físicamente este voltaje se crea por diferencia
en concentraciones de iones: los iones de potasio (K+) se encuentran concentrados en el interior
de los fluidos intersticiales y los iones de sodio (Na+) dentro de la célula muscular, en
distribución opuesta. El intercambio de iones a través de las membranas celulares genera una
descarga eléctrica que activa el músculo. El potencial de equilibrio de potasio antes de la
descarga es de alrededor de 90mV. El potencial de equilibrio de los iones de sodio está cerca de
los +60mV.
El potencial de equilibrio (Eeq) para cualquier ion (Xz) es determinado por las
concentraciones intracelulares y extracelulares indicadas en la ecuación de Nernst:
(19)
Modelo matemático del corazón R. Padilla 19

20. El rol que juegan otros iones adicionales a los de sodio y potasio determinan un potencial
menor, el cual es ignorado. Por ejemplo, los iones de calcio (Ca2+) también participan en el
potencial de acción de los músculos cardiacos. La descarga de estos iones se inicia en la aurícula
y se propaga siguiendo un red compleja de nervios a través de la pared interna que separa los
ventrículos y de allí hacia las paredes externas, en forma de una cascada. El electrocardiograma
es un record de cómo el voltaje entre dos puntos de la superficie del cuerpo cambia en un periodo
de tiempo e indica los eventos eléctricos en el ciclo cardiaco. En resumen, esta parte del
funcionamiento del corazón es autónoma. Se puede simular por el tiempo que tardan los iones en
alcanzar el potencial de disparo indicado. Para los propósitos de este trabajo podemos suponer
que esta señal es externa a la bomba y ya programada de antemano.
Otro principio empírico a tomar en cuenta e la llamada “Ley del corazón de Starling” , la
cual afirma que el volumen de sangre que el corazón expulsa en cada latido no varía
significativamente. E. H. Starling, en 1918 formalmente estableció esta ley. Por tanto, las
variaciones en el flujo de sangre se deben a cambios en la frecuencia de los latidos. Esto es
fácilmente medible al hacer ejercicio, o durante estímulos como miedo, ansiedad o ciertas
drogas. Por tanto, podemos concentrarnos en lo que pasa en cada ciclo, ya que los resultados en
el tiempo se obtienen multiplicando los valores de cada ciclo por la frecuencia de los mismos.
Una forma empírica de medir el flujo total en un órgano es mediante la llamada salida
cardiaca. Para medir la misma, utilizamos el Principio de Fick.
(20)
Modelo matemático del corazón R. Padilla 20

21. En esta necesitamos el consumo de oxígeno ( ), la concentración de oxígeno en la
sangre arterial ( ) y la concentración de oxígeno de la sangre en venas mixtas ( ). Sin
embargo, estas concentraciones no son fáciles de obtener.
Según el radio de las arterias, venas y capilares, tenemos variaciones en la velocidad de
flujo sanguíneo. Según circula la sangre el cuerpo, se genera una turbulencia de flujo. Esta
turbulencia surge de la fricción entre las capas de fluidos y genera sonidos, los cuales se
escuchan con la ayuda de un estetoscopio. Este sonido es utilizado por los médicos para
diagnosticar anormalidades en las válvulas cardiacas.
La presión sanguínea fluctúa por las válvulas sistólicas y diastólicas en cada latido. El
promedio de presión aórtica es de alrededor de 100mmHg. Se le llama “presión arterial”.
Mientras en las venas de unos 3 a 5 mm de Hg. Esta diferencia de presión es suficiente para que
la sangre fluya por todo el cuerpo y regrese al corazón.
Los valores típicos para la salida cardiaca son:
Volumen sistólico = 70 cm3 / latido
= 0.070 litros / latido
Frecuencia del corazón = 80 latidos / minuto
Salida cardiaca = 5.6 litros / minuto
Modelo matemático del corazón R. Padilla 21

22. Anteriormente, definimos la ecuación de flujo como . Como el flujo debe ser
igual por cada segmento de la cama vascular, la resistencia en cada segmento es relacionado
directamente con la diferencia de presión a través del mismo. De la ecuación anterior,
despejando para R obtenemos:
(21)
La resistencia del flujo sanguíneo varía de acuerdo a los órganos hacia los cuales circula
la misma. La resistencia total de un órgano en particular se obtiene mediante la suma de
resistencias de segmentos vasculares consecutivos:
Rórgano = Rarteriolas + Rcapilares + Rvenulas + Rvenas (22)
La resistencia en las arteriolas está fuertemente influenciada por el diámetro de la misma
( ). Mientras mayor es la presión en las arteriolas, mayor cantidad de sangre pasa por
ellas, aumentando así la resistencia. El hecho de que la presión de flujo se distribuya
equitativamente a pesar de la diferencia en diámetro entre las arterias, venas y capilares, se debe
simplemente a que los capilares son mucho más que las arteriolas.
La resistencia periférica total es una variable cardiovascular que indica la resistencia
general al flujo de sangre a través del sistema vascular completo. La resistencia vascular de cada
órgano contribuye a la resistencia total periférica, la cual se indica en la ecuación de resistencia
paralela.
Aproximadamente un 20 por ciento del volumen total de la sangre es contenido en el
sistema pulmonar y válvulas del corazón. Alrededor de un dos por ciento de la sangre, se
encuentra en las arteriolas a cada instante.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 22

23. Anteriormente indicamos que los vasos sanguíneos poseen cierta elasticidad, la misma se
puede medir mediante el análogo de una capacitancia que en fluidos se llama conformidad. Esta
describe cuánto cambia el volumen ( ) según incrementa el cambio en presión interna ( ).
(23)
El corazón realiza un trabajo medible cada minuto para forzar la salida cardiaca hacia el
sistema arterial, donde las presiones son altas. El trabajo externo (W) que se requiere para mover
un volumen dado de fluido ( ) de una región de presión cero a una región de mayor presión (P)
es dada por:
Si consideramos el trabajo realizado por el lado izquierdo del corazón en un minuto,
entonces es igual a la salida cardiaca. En adición, si asumimos que la presión arterial fluctúa
con cada latido, y asumimos que cada volumen sistólico es expulsado frente a una presión
arterial constante ( ), entonces el trabajo externo del ventrículo izquierdo puede ser estimado
como la media de la presión arterial por tiempo de salida cardiaca (CO):
Como también se puede definir como:
Despejando para , obtenemos:
Modelo matemático del corazón R. Padilla 23

24. Donde TPR = resistencia periférica total.
Para medir la presión arterial de la sangre que recorre desde nuestro corazón hacia todos
nuestros órganos, lo hacemos a través de la presión diastólica (PD) y la presión sistólica (PS). Se
utiliza una maga inflable, la cual se coloca en el antebrazo. Ésta, se encuentra unida a un
dispositivo llamado manómetro de mercurio y junto a un estetoscopio, podemos escuchar tanto
la presión diastólica como la sistólica.
La media de presión arterial es una variable cardiovascular críticamente importante, ya
que indica efectivamente el promedio de presión de sangre que fluye a través de órganos. Este
promedio se puede estimar con la siguiente ecuación:
El pulso de presión arterial es definido simplemente como la presión sistólica menos la
presión diastólica o diferencia entre presiones:
Partiendo de , la presión de pulso arterial se puede aproximar como .
Modelo matemático del corazón R. Padilla 24

25. 3. Modelo matemático del corazón
En resumen, podemos establecer un modelo matemático ideal corazón mediante una
analogía con los circuitos eléctricos. Este modelo se resume en la Figura 7. Cada aurícula y cada
ventrículo se han modelado mediante un capacitor de capacitancia variable, cerrado por
rectificadores que impiden el regreso de la corriente, los cuales representan las válvulas. Las
venas dispones también de válvulas que impiden el retroceso de la sangre, por lo que también
son representados por rectificadores de corriente. Los órganos y vasos en general se representan
por resistencias en paralelo.
R Corazón
Otros
órganos
R
Pulmones
Figura 7: Modelo de circuito para el corazón
Modelo matemático del corazón R. Padilla 25

26. Para dar sentido numérico a este esquema, se ha realizado una tabla con los valores aceptados
para la presión y volumen de la sangre.
La siguiente tabla resume los datos del ventrículo izquierdo:
Ventrículo Izquierdo
P C
V(mL) VI(mmHg) C ideal P id
120 7 17.14286 17 7.058824
175 7 25 25 7
190 13 14.61538 15 12.66667
190 70 2.714286 3 63.33333
185 90 2.055556 2 92.5
180 100 1.8 1.5 120
170 110 1.545455 1.5 113.3333
165 115 1.434783 1.5 110
160 118 1.355932 1.5 106.6667
155 120 1.291667 1.5 103.3333
150 118 1.271186 1.5 100
145 115 1.26087 1.5 96.66667
140 110 1.272727 1.5 93.33333
130 100 1.3 1.5 86.66667
125 90 1.388889 1.5 83.33333
120 70 1.714286 1.5 80
120 7 17.14286 17 7.058824
Figura 8: Tabla de valores de volumen –presión en ventrículo izquierdo
Los valores reales se han tomado de una curva típica de presión vs. tiempo y de volumen
vs. tiempo, según se muestra a continuación:
(Tomada de: http://www.ate.uniovi.es/
14005/documentos/clases%20pdf/el%20coraz%F3n%20humano%202.pdf)
Modelo matemático del corazón R. Padilla 26

27. Figura 9: Curvas de presión y volumen de varias partes del ventrículo izquierdo
La capacitancia o conformidad se ha idealizado para llevarla a los valores promedio. Con
estos valores ideales se produce un ciclo aproximado al ciclo real. En la figura 10 se presenta el
ciclo P-V para este ventrículo.
Un tipo de cálculo similar se puede realizar para el ventrículo derecho, pero para este no
se consiguieron gráficas tan descriptivas. Se menciona que los valores de presión son un 55% de
los valores en el ventrículo izquierdo, mientras los de volumen son semejantes. Basado en estos
datos, la tabla se presenta en la figura 11.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 27

28. 140
P (mm Hg) 120
P-V Ventrículo Izquierdo
100
80
60
40
20
0
0 50 100 150 200
V (mL)
Figura 10: Ciclo P-V para el ventrículo izquierdo, real (azul) e idealizado (rojo)
Ventrículo derecho
P C
V(mL) VI(mmHg) C ideal P id
20 3.85 5.194805 17 1.176471
30 3.85 4.195804 25 1.2
40 7.15 1.038961 15 2.666667
50 38.5 1.010101 3 16.66667
60 49.5 1.090909 2 30
70 55 1.157025 1.5 46.66667
80 60.5 1.264822 1.5 53.33333
90 63.25 1.386749 1.5 60
100 64.9 1.515152 1.5 66.66667
120 66 1.818182 1.5 80
140 64.9 2.157165 1.5 93.33333
100 63.25 1.581028 1.5 66.66667
80 60.5 1.322314 1.5 53.33333
60 55 1.090909 1.5 40
40 49.5 0.808081 1.5 26.66667
20 38.5 0.519481 1.5 13.33333
5 3.85 1.298701 17 0.294118
Figura 11. Tabla de valores Volumen –presión para el ventrículo derecho.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 28

29. 4. Conclusión
El corazón es uno de los órganos más complejos de nuestro cuerpo. Su función es muy
importante. Si el corazón no funciona adecuadamente, corremos el riesgo de sufrir
enfermedades cardiacas las cuales podrían costarnos la vida. Tanto para monitorear como para
diagnosticar fallas en el sistema circulatorio, se utilizan operaciones matemáticas. Éstas son de
suma importancia para poder monitorear anomalías en nuestro sistema. Una arritmia cardiaca
puede ser consecuencia tanto de un problema con las válvulas del corazón, como también puede
ser causada por un cambio en el diámetro de una vena. Luego de varios estudios, los especialistas
realizan una serie de cálculos matemáticos similares a los mostrados en este trabajo de
investigación, y de acuerdo a unos parámetros establecidos, pueden determinar la causa del
problema y buscar una solución médica.
Luego de haber realizado la investigación, puedo concluir que las matemáticas juegan un
papel muy importante en el estudio del sistema circulatorio y el corazón como bomba. Los
diagnósticos de enfermedades cardiacas mediante cálculos matemáticos ayudan
significativamente a alargar nuestra vida, y que la misma sea una con un corazón saludable.
Modelo matemático del corazón R. Padilla 29

30. Apéndice 1
Presión arterial Sistólica y Diastólica promedio para hombres (v)
Presión arterial Sistólica y Diastólica promedio para hombres
Presión Sistólica Presión Diastólica Presión Arterial
Edad Promedio
Desde Hasta Promedio Desde Hasta Promedio
16 a 18 105 135 120 60 85 72.5 88.33333
19 a 24 105 140 122.5 60 85 72.5 89.16667
25 a 29 108 140 124 60 86 73 90
30 a 39 110 145 127.5 65 90 77.5 94.16667
40 a 49 110 155 132.5 65 96 80.5 97.83333
50 a 59 115 165 140 70 100 85 103.3333
60 o más 115 170 142.5 70 100 85 104.1667
Presión arterial sistólica y diastólica
promedio por edad para hombres
160
140
120
Presión Arterial
100
80 Sistólica
60 Diastólica
40
20
0
16 a 18 19 a 24 25 a 29 30 a 39 40 a 49 50 a 59 60 o más
Modelo matemático del corazón R. Padilla 30

31. Apéndice 2
Presión arterial Sistólica y Diastólica promedio para mujeres (v)
Presión arterial Sistólica y Diastólica promedio para mujeres
Presión Sistólica Presión Diastólica Presión Arterial
Edad Promedio
Desde Hasta Promedio Desde Hasta Promedio
16 a 18 100 130 115 60 85 72.5 86.66667
19 a 24 100 130 115 60 85 72.5 86.66667
25 a 29 102 130 116 60 86 73 87.33333
30 a 39 105 140 122.5 65 90 77.5 92.5
40 a 49 105 155 130 65 96 80.5 97
50 a 59 110 170 140 70 100 85 103.3333
60 o más 115 175 145 70 100 85 105
Presión arterial sistólica y diastólica promedio
por edad para mujeres
160
140
120
100
Presión
80 Sistólica
60 Diastólica
40
20
0
16 a 18 19 a 24 25 a 29 30 a 39 40 a 49 50 a 59 60 o más
Modelo matemático del corazón R. Padilla 31

32. Bibliografía
i. Heller, Loise Jane (1981). Cardiovasculary Physiology, Estados Unidos, McGraw-Hill
ii. F. C. Hoppensteadt, C. S. Peskin (1992); Mathematics in Medicine and the Life Sciences,
Springer Verlag, Vol. 10
iii. http://texasheart.org/HIC/Anatomy_Esp/anato_sp.cfm, septiembre 2011
iv. http://texasheart.org/HIC/Anatomy_Esp/valve_sp.cfm, septiembre 2011
v. http://www.tadforo.com/tension-arterial-niveles-normales-t41233.html
vi. http://www.ate.uniovi.es/14005/documentos/clases%20pdf/el%20coraz%F3n%20human
o%202.pdf, recuperado febrero de 2012
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