Resolução da lista 8

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Resolução da lista 8

  1. 1. Resolução da Lista 8 de FF-20701. Suponha que a função Hamiltoniana de um sistema de partículas não varie com uma translação infinitesimal. Discuta a Conservação do Momentum. SOLUÇÃO: Se a função Hamiltoniana não varia com uma translação infinitesimal, então a coordenada generalizada é cíclica, isto é, não aparece explicitamente na Hamiltoniana e, portanto . No entanto, pelas equações canônicas, temos que . Então, é fácil ver o momento generalizado é conservado no tempo.02. Obtenha a função de Hamilton para um oscilador anarmônico, cuja função de Lagrange é: SOLUÇÃO: Da Lagrangeana, segue que: Com isso, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando a transformação de Legendre: Sabemos que:
  2. 2. Fazendo as substituições necessárias para eliminar e acrescentar , temos:03. Ache a equação de movimento de uma partícula, cuja função de Hamilton é: a) b) SOLUÇÃO: a) As equações canônicas dessa Hamiltoniana são: Da segunda equação, temos: Substituindo na primeira: Elevando-se a segunda equação ao quadrado e substituindo o valor encontrado acima, temos:
  3. 3. Para não ficar repetindo, vamos chamar de . Fazendo a substituição . Então, integrando: Onde .b)As equações canônicas dessa Hamiltoniana são:Integrando a primeira equação, temos:Onde é o momento generalizado inicial.Substituindo na segunda, temos:Onde é a posição inicial.Também, podemos fazer de outra forma, mas a equação demovimento não vai depender explicitamente do .Isolando na segunda equação e derivando:
  4. 4. Substituindo na primeira equação:Fazendo , temos:Para simplificar os cálculos, vamos chamar .Trocando o de novo na equação, chegaremos ao seguinteresultado:Onde são respectivamente a posição e a velocidadeinicial.

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