Resolução da lista 10

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Resolução da lista 10

  1. 1. Resolução da Lista 10 de FF-20701. Introduzindo a variável . Pede-se:a) Colchete de Poisson de e , isto é, .b) Expresse a Hamiltoniana , em função de e .c) Use seu conhecimento de Colchete de Poisson para provar que e são variáveis canônicas.d) Obtenha uma função geratriz do tipo 1, , para gerar as transformações canônicas do item c.e) Escreva a kamiltoniana correspondente. SOLUÇÃO:a) Como e , temos . Pela definição de colchete de Poisson, temos: Sabemos que: Então, temos:b) Seja a Hamiltoniana . Podemos escrevê-la como:
  2. 2. c) Podemos provar que e mostrando que elas satisfazem os colchetes de Poisson fundamentais: As duas primeiras são verificadas sem dificuldades, pois só temos um Q e um P. Devido a isso também, devemos ter: Da hipótese, temos: Então, temos: Segue que: Então, podemos concluir que Q e P são variáveis canônicas.d) Seja a função geradora. Devemos ter: Sabemos que: Então, vamos tentar achar p e P em função de x e Q. Isolando p na primeira equação acima, temos: Substituindo na equação de P, temos:
  3. 3. Agora, devemos resolver o seguinte problema: Podemos escolher: Sem perda de generalidade, tomemos g(t) =0. Então:e) A Kamiltoniana é determinada como: Temos: Substituindo, temos: Assim, temos uma Kamiltoniana nula, isto é, todas as variáveis são cíclicas, seja ela Q ou P. Assim, é mais fácil resolver o problema, pois teremos conservações de grandezas e simetrias.
  4. 4. 02. Obtenha a função geratriz de uma transformação com a passagem de e para e , onde = constante para o movimento de uma partícula livre. SOLUÇÃO: Pelo fato de ser uma partícula livre, vamos supor que sua Hamiltoniana só dependa da energia cinética, isto é: Vamos também considerar uma transformação canônica infinitesimal, tal que quando integrar a um tempo finito, tenha e . Assim, nós queremos uma solução para e . Como nós vamos analisar a Hamiltoniana do problema, podemos tomar e nosso problema passa a ser achar uma solução para e , com as condições iniciais de e . Podemos supor a resposta como uma expansão de Taylor em torno de , isto é: De maneira análoga para p. Calculemos então os colchetes de Poisson para tentar encontrar uma regularidade. Daí para frente, as derivadas de ordem maior de q são nulas e não fazem diferença para a série de Taylor. Fazendo isso para p, temos: Daí para frente, se anulam todas as derivadas.
  5. 5. Então, chegamos a:Realmente, p se conserva, isto é, é uma constante demovimento, pois . Então, temos a transformação:Reescrevendo,Vamos tomar uma função geradora do tipo 2. Desse fato, temosque:Ou seja,Onde temos como solução:Tomando g(t) =0 sem perda de generalidade, temos:
  6. 6. 03. Considere a seguinte transformação:a) Demonstre que a transformação é canônica.b) Ache a Kamiltoniana sabendo que a Hamiltoniana é: SOLUÇÃO:a) Vamos mostrar que elas satisfazem os colchetes de Poisson fundamentais: Da definição de colchetes de Poisson, já sabemos que: Agora, vamos mostrar os colchetes alternados:
  7. 7. b) Das equações da transformação, temos: Como o tempo não aparece explicitamente nas equações da transformação, podemos supor que a função geradora seja da forma: Tomando sem perda de generalidade g(t)=0, teremos: Assim, temos: Substituindo as transformações diretamente na expressão da Hamiltoniana, encontraremos a Kamiltoniana. Os termos dessa soma são simétricos em relação às funções trigonométricas. Logo, eles vão se anular ou simplificar. Assim, temos:

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