Resumo - Álgebra Linear

Rodrigo Thiago Passos Silva
Rodrigo Thiago Passos SilvaUndergrad student of Energy Engineering em UFABC

Resumo de Álgebra Linear - Transformações Lineares - Determinantes - Produto Interno Resumo feito com base no livro "Álgebra Linear e Aplicações", de autoria de Callioli, Domingues e Costa. Ed. Atual. 6ª ed. rev.

´
                                 ALGEBRA LINEAR
                                          ´
                         Baseado no livro Algebra Linear e Aplica¸˜es1
                                                                 co


1       Transforma¸˜es Lineares
                  co
Defini¸˜o 1.0.1 (Transforma¸oes Lineares) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R. Uma
       ca                    c˜                                c
aplica¸˜o T : U → V ´ chamada transforma¸˜o linear se, e somente se,
      ca            e                   ca

    • T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ); ∀u1 , u2 ∈ U e

    • T (αu) = αT (u), ∀u ∈ R e ∀u ∈ U .


1.1     Propriedades
    1. T (0) = 0

    2. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U

    3. T (u1 − u2 ) = T (u1 ) − T (u2 ), ∀u1 , u2 ∈ U

    4. Se W ´ um sub-espa¸o de U , ent˜o a imagem de W por T ´ um sub-espa¸o de V .
            e            c            a                      e            c

    5. Sendo T : U → V linear ent˜o
                                 a
                                               n                 n
                                         T          ai u i   =         ai T (ui )
                                              i=1                i=1


1.2     Injetividade e Sobrejetividade
Defini¸˜o 1.2.1 (Injetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ injetora se, e somente se,
     ca                                 ca            e

                                ∀u1 , u2 ∈ U, u1 = u2 =⇒ T (u1 ) = T (u2 )

ou, equivalementemente, a contra-positiva

                               ∀u1 , u2 ∈ U, T (u1 ) = T (u2 ) =⇒ u1 = u2 .

Defini¸˜o 1.2.2 (Sobrejetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ sobrejetora se, e somente
      ca                                     ca             e
se, Im(T ) = V , i.e.,
                          ∀v ∈ V, ∃u ∈ U tal que T (u) = v.

Defini¸˜o 1.2.3 (Bijetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ bijetora se, e somente se, T ´
       ca                               ca            e                              e
injetora e sobrejetora.
    1                                   ´
   CALLIOLI, C. DOMINGUES, H. COSTA, R. Algebra Linear e Aplica¸˜es. 6 ed. rev. S˜o Paulo:
                                                               co                a
Atual, 1990. ISBN 978-85-7056-297-5.




                                                        1
1.3    N´ cleo e Imagem
        u
Defini¸˜o 1.3.1 (N´ cleo) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans-
      ca            u                        c
forma¸˜o linear. Indica-se por Ker(T ) e denomina-se n´cleo de T o seguinte subconjunto de
     ca                                                u
U:
                               Ker(T ) = {u ∈ U |T (u) = 0}


Defini¸˜o 1.3.2 (Imagem) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans-
      ca                                        c
forma¸˜o linear. Indica-se por Im(T ) e denomina-se imagem de F o seguinte subconjunto de
     ca
U:
               Im(T ) = {v ∈ V |v = T (u) para algum v ∈ V } = {T (u)|u ∈ U },
i.e., o conjunto dos vetores de V que s˜o imagem dos vetores de U .
                                       a

Proposi¸˜o Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o:
       ca                               c˜             a
   • Ker(T ) ´ um sub-espa¸o vetorial de U ;
             e            c

   • A transforma¸ao linear T ´ injetora se, e somente se, Ker(T ) = 0.
                 c˜           e

Teorema 1.3.1 (do N´ cleo e da Imagem) Seja U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o finita
                     u                                   c                   a
sobre R. Dada uma transforma¸˜o linear T : U → V , ent˜o
                            ca                        a

                             dim U = dim ker(T ) + dim Im(T )

Corol´rio – Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R com a mesma dimens˜o finita n e supo-
     a                      c                                          a
nhamos T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o s˜o equivalentes as seguintes afirma¸˜es:
                                c˜              a a                                 co
   • T ´ sobrejetora.
       e

   • T ´ bijetora.
       e

   • T ´ injetora.
       e

   • T transforma uma base de U em uma base de V (i.e., se B ´ uma base de U , ent˜o T (B)
                                                             e                    a
     ´ uma base de V ).
     e


1.4    Isomorfismos e Automorfismos
Defini¸˜o 1.4.1 (Isomorfismo) Entende-se por isomorfismo do espa¸o vetorial U no espa¸o
       ca                                                        c                c
vetorial V uma transforma¸˜o linear T : U → V que seja bijetora.
                         ca

Defini¸˜o 1.4.2 (Automorfismo) Um isomorfismo T : U → U ´ um automorfismo de U .
     ca                                              e

Proposi¸˜o – Se T ´ um isomorfismo de U em V , ent˜o T −1 : V → U tamb´m ´ um isomorfismo
         ca          e                           a                   e e
(de V em U ). Em outras palaras, sempre que existe um isomorfismo T : U → V existe um
isomorfismo T −1 : V → U (isomorfismo inverso de T ). Neste caso, dizemos que U e V s˜oa
espa¸os vetoriais isomorfos.
    c

Teorema 1.4.1 Dois espa¸os vetoriais U e V de dimens˜o finita s˜o isomorfos se, e somente
                       c                            a         a
se,
                                   dim U = dim V.

                                               2
2     Matriz de uma Transforma¸˜o Linear
                              ca
2.1     Opera¸˜es com Transforma¸oes Lineares
             co                 c˜
Sejam U e V espa¸os vetoriais de R. Indicaremos por L(U, V ) o conjunto das transforma¸oes
                    c                                                                     c˜
lineares de U e V . Se U = V , o conjunto dos operadores lineares de U ser´ denotado por L(U ).
                                                                          a

Defini¸˜o 2.1.1 (Soma) Dados F, G ∈ L(U, V ), definimos soma F + G de F com G:
     ca

                  F +G:U →V           e       (F + G)(u) = F (u) + G(u), ∀u ∈ U.

Propriedades

    1. Associativa: F + (G + H) = (F + G) + H, ∀F, G, H ∈ L(U, V );

    2. Comutativa: F + G = G + F, ∀F, G ∈ L(U, V );

    3. Existe elemento neutro: a transforma¸ao linear nula 0 : U → V ´ tal que F + 0 = F, ∀F ∈
                                           c˜                        e
       L(U, V );

    4. Elemento oposto: ∀F ∈ L(U, V ), ∃(−F ) ∈ L(U, V )|F + (−F ) = 0.

Defini¸˜o 2.1.2 (Multiplica¸˜o) Dados F ∈ L(U, V ) e α ∈ R, definimos produto αF :
     ca                   ca

                         αF : U → V       e     (αF )(u) = αF (u), ∀u ∈ U.

Propriedades

Seja F ∈ L(U, V ) e α, β ∈ R.

    1. (αβ)F = α(βF );

    2. (α + β)F = αF + βF ;

    3. α(F + G) = αF + αG;

    4. 1F = F .

Defini¸˜o 2.1.3 (Composi¸˜o) Sejam U, V e W espa¸os vetoriais sobre R. Se F : U → V
       ca                 ca                         c
e G : V → W s˜o transforma¸˜es lineares, define-se a aplica¸˜o composta de F e G:
             a            co                              ca

                  (G ◦ F ) : U → W        e     (G ◦ F )(u) = G((F (u)), ∀u ∈ U.

Propriedades

    1. Associativa: (H ◦ G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ), ∀H, G, F ∈ L(U );

    2. Operador idˆntico ´ elemento neutro da composi¸ao: I ◦ F = F ◦ I = F, ∀F ∈ L(U );
                  e      e                           c˜

    3. Distribuitiva: H ◦(F +G) = H ◦F +H ◦G e (F +G)◦H = F ◦H +G◦H, ∀F, G, H ∈ L(U ).




                                                  3
2.2     Matriz de um Transforma¸˜o Linear
                               ca
Sejam U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o n e m, respectivamente, sobre R. Consideremos
                   c                         a
uma transforma¸ao linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , ..., un } de U e C = {v1 , ..., vm }
                c˜
de V , ent˜o cada um dos vetores F (u1 ), ..., F (un ) est´ em V e conseq¨entemente ´ combina¸ao
          a                                               a              u          e         c˜
linear da base C:        
                         F (u1 ) = α11 v1 + α21 v2 + · · · + αm1 vm
                         
                         
                         
                         F (u2 ) = α12 v1 + α22 v2 + · · · + αm2 vm
                         

                         .
                         .
                         .
                         
                         F (u ) = α v + α v + · · · + α v
                         
                               n       1n 1        2n 2          mn m

onde αij ´ unico.
         e´

Defini¸˜o 2.2.1 A matriz m × n sobre R
     ca
                                                                        
                                α11 α12                       ···    α1n
                               α21 α22
                                                             ···    α2n 
                                                                         
                               .     .                       ..      . 
                               ..    .
                                      .                          .    . 
                                                                      .
                                               αm1 αm2 · · ·         αmn

que se obt´m das considera¸˜es anteriores ´ chamada matriz de F em rela¸˜o `s bases B e C.
          e               co              e                            ca a
Ser´ denontada por (F )B,C .
   a

Consequencia da defini¸˜o – Se a aplica¸˜o linear for o operador identidade, a matriz
                           ca               ca
(F )B,C = (I)B,C ser´ a matriz de mudan¸a da base C para a base B.
                    a                  c


2.3     Matriz de um Transforma¸˜o Composta
                               ca
Seja U , V e W espa¸os vetoriais sobre R de dimens˜es m, n e p, que admitem bases B =
                       c                                      o
{u1 , ..., un }, C = {v1 , ..., vm } e D = {w1 , ..., wp } respectivamente. Supondo F ∈ L(U, V ),
G ∈ L(V, W ) e que (F )B,C = (αij ) e (G)C,D = (βki ), ent˜o    a
                            m
                    γkj =         βki αij ,    onde γkj ´ o termo geral de (G ◦ F )B,D .
                                                        e
                            i=1

Logo,
                                        (G ◦ F )B,D = (G)C,D · (F )B,C .
Consequˆncia da defini¸˜o da matriz de um transforma¸˜o composta – Sejam U e V
         e                ca                               ca
espa¸os vetoriais sobre R de dimens˜o m. Se B e C s˜o bases de U e V , respectivamente, e
    c                              a               a
F : U → V ´ um isomorfismo, (F )B,C ´ invers´ e sua inversa ´ dada por
           e                         e     ıvel            e

                                              ((F )B,C )−1 = (F −1 )C,B .

Proposi¸˜o – Seja U um espa¸o vetorial de dimens˜o n sobre R. Dadas as bases B =
            ca                           c                    a
{u1 , ..., un } e C = {v1 , ..., vn } de U e dado T ∈ L(U ) ´ v´lida a f´rmula
                                                            e a         o

                                              (T )C = M −1 · (T )B · M,

onde M ´ a matriz de mudan¸a da base B para a base C (M = (I)C,B ).
       e                  c

                                                          4
3     Determinantes
3.1     Permuta¸˜es
               co
Defini¸˜o 3.1.1 (Permuta¸˜o) Seja n ≥ 1 um n´mero natural e Nn = {1, ..., n}. Toda
       ca                   ca                    u
aplica¸˜o bijetora σ : Nn → Nn chama-se permuta¸˜o do conjunto Nn .
      ca                                       ca
Nota¸˜o – uma permuta¸˜o σ de Nn ´ denotada por
    ca               ca          e
                                             1    2   ···          n
                                    σ=                                 .
                                            σ(1) σ(2) · · ·       σ(n)
Defini¸˜o 3.1.2 Consideremos uma permuta¸˜o
     ca                                ca
                                             1    2   ···           n
                                     σ=
                                            σ(1) σ(2) · · ·        σ(n)
de Nn . Seja r o n´mero de pares ordenados (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ n tais que σ(i) > σ(j).
                  u
Chama-se sinal da permuta¸˜o σ o n´mero inteiro representado por sgn (σ), que ´
                         ca        u                                          e
                                                 1,        se r ´ par
                                                                e
                                  sgn (σ) =
                                                 −1,        se r ´ ´mpar
                                                                 eı
Observa¸˜o – O valor de r ´ igual ao n´mero de trocas que s˜o necess´rias para que a per-
         ca                    e           u                      a      a
muta¸˜o fique na forma crescente. Se tivermos a permuta¸˜o (2 3 1) precisamos fazer as
     ca                                                        ca
sequintes trocas: (1 3 2) e (1 2 3). Ou seja, r = 2 e portanto sgn = +1.

                            1 2 3
Exemplo 3.1 Seja σ =                . Os pares (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ 3 e σ(i) > σ(j) s˜o (1, 2)
                                                                                       a
                            3 1 2
e (1, 3); logo r = 2 e sgn (σ) = 1.

3.2     Determinantes
Defini¸˜o 3.2.1 Seja A = (aij ) uma matriz real de ordem n, chama-se determinante da matriz
      ca
A de ordem n o n´mero real
                u
                               det(A) =         sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) .
                                            σ
                                  
                       a11 a12 a13
Exemplo 3.2 Seja A = a21 a22 a23  ∈ M3 (R). As permuta¸˜es do conjunto {1, 2, 3} e
                                                        co
                       a31 a32 a33
respectivos sinais s˜o
                    a
                           1 2 3                                1 2 3
                                           (+1)                                      (−1)
                           1 2 3                                1 3 2
                           1 2 3                                1 2 3
                                           (+1)                                      (−1)
                           2 3 1                                3 2 1
                           1 2 3                                1 2 3
                                           (+1)                                      (−1)
                           3 1 2                                2 1 3
Logo, det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 .

Observa¸˜o: O n´mero de parcelas ´ sempre igual ao n´mero de permuta¸˜es poss´vel (n!).
       ca      u                 e                  u               co       ı

                                                       5
3.3    Propriedades dos Determinantes
Seja A = (aij ) uma matriz de ordem n. A i-´sima linha da matriz ´ Ai = ai1 ai2 · · ·
                                           e                     e                                               ain .
Ent˜o a matriz A pode ser representada pela sequˆncia de vetores-linha
    a                                             e
                                              1
                                               A
                                              A2 
                                       A =  . .
                                              
                                              . 
                                                .
                                                           An

  1. A fun¸ao determinante ´ linear em cada uma das vari´veis A1 , A2 , ..., An , isto ´:
          c˜               e                            a                              e

      (a) det(A1 , A2 , ..., Ai +A i , ..., An ) = det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An )+det(A1 , A2 , ..., A i , ..., An );
      (b) det(A1 , A2 , ..., λAi , ..., An ) = λ det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An )

      para todo 1 ≤ i ≤ n e para todo λ ∈ R.

      Exemplo 3.3

                          x+1 y−1 z−3
                                                              
                                               x y z          1 1 3
                     det  1   0   2  = det  1 0 2 + det 1 0 2
                           2   2   1           2 2 1          2 2 1
                                                                 
                                            3λ 2λ λ            3 2 1
                                       det  1 0 2  = λ det 1 0 2
                                             2 2 1             2 2 1

  2. Se A = (A1 , A2 , ..., An ) ´ uma matriz de ordem n e se Aj = Ak , com j < k ent˜o
                                 e                                                   a
     det(A) = 0.

  3. Dada uma matriz A de ordem n suponhamos que B ´ a matriz obtida da seguinte maneira:
                                                   e

                                          B = (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ..., An ),

      sendo que
                                           A = (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ..., An ).
      Ent˜o det(B) = − det(A).
         a

  4. Seja A = (A1 , ..., An ). Ent˜o vale sempre a igualdade:
                                  a
                                                                           n
                                   1        n             1        i
               det(A) = det(A , ..., A ) = det(A , ..., A +                       αk Ak , ..., An ), ∀ak ∈ R.
                                                                        k=1,k=i


  5. det(A) = det(At ), para toda matriz A de ordem n.




                                                          6
4        Espa¸os com Produto Interno
             c
Defini¸˜o 4.0.1 (Produto Interno) Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre R.
       ca                                         c                   a
Entende-se por produto interno sobre V uma aplica¸˜o que transforma cada par ordenado
                                                 ca
(u, v) ∈ V × V em um n´mero real (que ser´ denotado por u, v ) obedecendo `s seguintes
                        u                 a                               a
condi¸˜es:
      co
    • u + v, w = u, w + v, w , ∀u, v, w ∈ V ;

    • αu, v = α u, v , ∀α ∈ Re∀u, v ∈ V ;

    • u, v = v, u , ∀u, v ∈ V ; e

    • u, u ´ um n´mero real maior que zero para todo vetor u = 0.
           e     u
Defini¸˜o 4.0.2 Um espa¸o vetorial real com produto interno ou espa¸o euclidiano e um espa¸o
       ca                c                                        c                      c
vetorial sobre R munido de um produto interno.

4.1      Propriedades
    1. 0, u = u, 0 = 0, ∀u ∈ V .

    2. u, αv = α u, v , ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V .

    3. u, v + w = u, v + u, w , ∀u, v, w ∈ V .

    4. Dado um n´mero inteiro m ≥ 1,
                u
                                                        m                     m
                                                            αi ui , v     =         αi ui , v .
                                                    i=1                       i=1

                n                     m
    5.   u,     j=1    αj vj =        i=1   αi ui , v       (n ≥ 1).

              m               n                   m         n
    6.        i=1   αi ui ,   j=1   βj vj =       i=1       j=1   αi βj ui , vj .

4.2      Norma e Distˆncia
                     a
Defini¸˜o 4.2.1 (Norma) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano com o produto interno (u, v) →
        ca                                c
 u, v . Dado um vetor u ∈ V indica-se por u e chama-se norma de u o n´mero real positivo
                                                                     u
dado por
                                       u =    u, u .
Proposi¸˜o
       ca
    • αu = |α| u , ∀α ∈ R, ∀u ∈ V .

    • u ≥ 0, ∀u ∈ V e u = 0 ⇐⇒ u = 0.
Proposi¸˜o (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) – Se V ´ um espa¸o vetorial euclidiano, ent˜o
       ca                                          e        c                          a
                                               | u, v | ≤ u              v , ∀u, v ∈ V.
Corol´rio (Desigualdade triangular) – Num espa¸o euclidiano vale a seguinte desigualdade:
     a                                        c
                                               u + v ≤ u + v , ∀u, v ∈ V.

                                                                     7
4.2.1   M´trica
         e
Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Consideremos a aplica¸˜o d : V × V → R, assim definida:
              c                                            ca

                                   d(u, v) = u − v , ∀u, v ∈ V.

Valem as seguintes proprieades:

  1. d(u, v) ≥ 0, ∀u, v ∈ V e d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v.

  2. d(u, v) = d(v, u), ∀u, v, ∈ V .

  3. d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v), ∀u, v, w ∈ V .

Pelo fato de valerem as trˆs propriedades acima, damos ` aplica¸˜o d : V × V → R o nome de
                          e                            a       ca
m´trica sobre V , induzida pela norma. O n´mero d(u, v) ´ chamado distˆncia de u a v.
 e                                         u             e              a

4.2.2   ˆ
        Angulo entre dois vetores
Da desigualdade de Caughy-Schawarz segue que
                                                                   u, v
                      − u     v ≤ u, v ≤ u             v ⇒ −1 ≤         ≤ 1.
                                                                  u v
Logo, existe um unico θ ∈ R, tal que 0 ≤ θ ≤ π e
                ´
                                                        u, v
                                        cos θ =              .
                                                       u v

4.3     Ortogonalidade
Defini¸˜o 4.3.1 Seja V um espa¸o euclidiano. Dizemos que dois vetores u, v ∈ V s˜o orto-
       ca                        c                                                   a
gonais se, e somente se, u, v = 0. Um conjunto S = {u1 , ..., ur } ⊂ V se diz ortonormal se, e
somente se

   • ui = 1 (i = 1, 2, ..., r) e

   • dois vetores quaisquer de S, distintos entre si, s˜o ortogonais.
                                                       a

Proposi¸˜o – Seja S = {g1 , ..., gr } um subconjunto ortonormal do espa¸o euclidiano V . Ent˜o,
         ca                                                              c                   a
∀u ∈ V , o vetor v = u− u, g1 g1 −· · ·− u, gr gr ´ ortogonal a todo vetor do sub-espa¸o vetorial
                                                  e                                   c
gerado pelos vetores de S.

Teorema 4.3.1 (Processo de Ortonormaliza¸˜o de Gram-Schmidt) Todo espa¸o veto-
                                                ca                    c
rial euclidiano de dimens˜o finita (= 0) admite uma base ortonormal.
                         a

Exemplo 4.1 Sendo B = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 2)} uma base de R3 , utiliza-
remos o processo de ortogonaliza¸˜o de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base.
                                ca

´
E claro que g1 = u1 = u1 = (1, 0, 0). Por outro lado, v2 = u2 − u2 , g1 g1 = (0, 1, 1) −
                       u1
0(1, 0, 0) = (0, 1, 1). Logo,
                                                     √ √
                                   v2  (0, 1, 1       2 2
                              g2 =    = √       = 0,   ,   .
                                   v2      2         2 2

                                                   8
Finalmente,
                                                             √       √     √
                                                            3 2         2 2            1 1
      v3 = u3 − u3 , g1 g1 − u3 , g2 g2 = (0, 1, 2) − 0g1 −         0,   ,     =   0, − ,    .
                                                             2         2 2             2 2

Da´
  ı                                                          √ √
                                  v3   0, − 1 , 1
                                            2 2               2 2
                             g3 =    =            =     0, −   ,         .
                                  v3      1
                                            +1               2 2
                                          4     4

Logo,
                                           √ √               √ √
                                            2 2               2 2
                             (1, 0, 0), 0,   ,        , 0, −   ,
                                           2 2               2 2
´ uma base ortonormal do R3 ,constru´da a partir da base B.
e                                   ı

Defini¸˜o 4.3.2 (Complemento Ortogonal) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Dado
      ca                                                      c
                                               ⊥
um subespa¸o vetorial U de V , indiquemos por U o seguinte subconjunto de V
          c

                                 U ⊥ = {v ∈ V | u, v = 0, ∀u ∈ U.

Exemplo 4.2 Achar uma base do sub-espa¸o V ⊥ , onde V ´ subespa¸o de R4 gerado por
                                                  c   e        c
(1, 0, 1, 1) e (1, 1, 2, 0). Ortonormalize esta base.

v = (x, y, z, t) ∈ R4 pertece a V ⊥ se e somente se

                                  v, (1, 0, 1, 1) = x + z + t = 0
                                  v, (1, 1, 2, 0) = x + y + 2z = 0

A solu¸˜o do sistema ´ V ⊥ = {(−z − t, −z + t, z, t |z, t ∈ R}.
      ca             e


4.4      Operadores Auto-Adjuntos
Defini¸˜o 4.4.1 Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Um operador A ∈ L(V ) se diz auto-
      ca                     c
adjunto se
                          A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V.


Proposi¸˜o – Seja V um espa¸o euclidiano de dimens˜o finita. Ent˜o, um operador A ∈ L(V )
         ca                  c                    a            a
´ auto-adjunto se, e somente se, a matriz de A em rela¸ao a uma base ortonormal de V ´
e                                                     c˜                               e
                     T
sim´trica (i.e. A = A ).
   e


5       Diagonaliza¸˜o de Operadores Lineares e Forma de
                   ca
        Jordan
5.1      Valores e Vetores pr´prios
                             o
Defini¸˜o 5.1.1 Seja V um espa¸o vetorial (sobre R ou C) e seja T : V → V um operador
        ca                        c
linear. Um vetor u ∈ V , u = 0, ´ um vetor pr´prio (autovetor) de T se existe um escalar λ (de
                                e            o
R ou C, respectivamente) tal que T (u) = λu. Neste caso λ ´ um valor pr´prio associado a u.
                                                           e             o

                                                 9
Defini¸˜o 5.1.2 O sub-espa¸o
     ca                  c

                          V (λ) = {u ∈ V |T (u) = λu} = ker(T − λI)

´ chamado de sub-espa¸o pr´prio de λ e ser´ indicado por V (λ).
e                    c    o               a

Defini¸˜o 5.1.3 Dada uma matriz A = (aij ) de ordem n (real ou complexa), chama-se po-
      ca
linˆmio caracter´stico de A o seguinte polinˆmio de grau n:
   o            ı                            o
                                                           
                               a11 − t    a12   ···    a1n
                              a21      a22 − t · · ·  a2n 
                Pt (A) = det  .                        .  = det(A − tIn ).
                                                           
                                  .        .
                                           .    ..      . 
                              .           .        .   .
                                an1    an2 − t · · ·   ann − t

Proposi¸˜o – Matrizes semelhantes tem o mesmo polinˆmio caracter´
       ca                                          o            ıstico.

Defini¸˜o 5.1.4 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o n e T : V → V um operador linear.
       ca                        c                   a
Chama-se polinˆmio caracter´stico de T o polinˆmio caracter´stico da matriz de T em rela¸˜o
               o             ı                o            ı                            ca
a qualquer base de V . Nota¸˜o: pT (t).
                           ca

Proposi¸˜o – Seja T um operador linear de um espa¸o vetorial sobre K(KS = R ou K = C)
        ca                                          c
de dimens˜o n. Ent˜o os valores pr´prios de T s˜o as ra´ de pT (t) em K.
         a        a               o            a       ızes

Exemplo 5.1 Seja T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (y, x).
A matriz de T na base canˆnica ´
                         o     e
                                        0 1
                                        1 0
Logo,
                                             −x 1
                              pT (x) = det               = x2 − 1
                                              1 −x
cujas ra´zes s˜o 1 e −1.
        ı     a
Uma vez conhecidos os valores pr´prios de um operador T , podemos achar seus vetores pr´prios.
                                o                                                      o
Os autovetores s˜o os vetores n˜o nulos de ker(T − λI).
                 a             a
Para λ = 1 temos (T − I)(x, y) = T (x, y) − I(x, y) = 0 ⇒ T (x, y) = I(x, y) ⇒ (y, x) = (x, y).
Portanto, x = y e os autovetores associados ao autovalor λ = 1 tem a forma (x, x) = x(1, 1),
∀x ∈ R∗. Analogamente, para λ = −1 teremos x(1, −1).


5.2     Diagonaliza¸˜o de Operadores
                   ca
Defini¸˜o 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita. Um operador T : V → V se
       ca                          c                  a
diz diagonaliz´vel se existe uma base de V formada por vetores pr´prios de T .
              a                                                  o

   Se B = {e1 , ..., en } for uma base formada de vetores pr´prios de T ent˜o
                                                            o              a
                                                            
                                              λ1
                                                λ2          
                                    (T )B = 
                                                            
                                                     ..      
                                                       .    
                                                          λn

                                              10
onde λ1 , ..., λn s˜o os valores pr´prios de T . Da´
                   a               o               ı
                                                       
                           λ1 − x
                                  λ2 − x               
           pT (x) = det                                 = (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x)
                                                       
                                            ..
                                              .        
                                                 λn − x

e assim pT (x) se decomp˜e em fatores lineares.
                        o

Teorema 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre K (K = R ou K = C).
                                c                     a
Um operador linear T ∈ L(V ) ´ diagonaliz´vel se, e somente se,
                             e           a

   • o polinˆmio caracter´stico de T tem todas as suas ra´zes em K;
            o            ı                               ı

   • a multiplicidade alg´brica de cada valor pr´prio λi de T ´ igual ` dimens˜o de V (λi ).
                         e                      o             e       a       a


5.3    Diagonaliza¸˜o de Operadores Auto-adjuntos (ou de matrizes
                   ca
       sim´tricas reais)
          e
Como visto na defini¸˜o 4.4.1, um operador linear A de um espa¸o vetorial euclidiano V tal
                   ca                                        c
que
                             A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V.

Teorema 5.3.1 Um operador linear A de um espa¸o euclidiano V , de dimens˜o finita n ≥ 1,
                                                  c                       a
´ auto-adjunto se, somente se, existe uma base ortonormal de V formada de vetores pr´prios
e                                                                                   o
de A.




                                                 11

Recomendados

Fisica ppt 2º a - plano inclinado e força de atrito por
Fisica ppt   2º a - plano inclinado e força de atritoFisica ppt   2º a - plano inclinado e força de atrito
Fisica ppt 2º a - plano inclinado e força de atritoCristiane Tavolaro
8.4K visualizações13 slides
Leis de newton por
Leis de newtonLeis de newton
Leis de newtonRildo Borges
4.4K visualizações15 slides
Lançamento oblíquo por
Lançamento oblíquoLançamento oblíquo
Lançamento oblíquojorgehenriqueangelim
6.6K visualizações13 slides
Fórmulas de Cinemática por
Fórmulas de CinemáticaFórmulas de Cinemática
Fórmulas de CinemáticaO mundo da FÍSICA
47.7K visualizações7 slides
Derivadas direcionais por
Derivadas direcionaisDerivadas direcionais
Derivadas direcionaisFranklin G Mendes
29.3K visualizações14 slides
Lançamento horizontal por
Lançamento horizontalLançamento horizontal
Lançamento horizontaljorgehenriqueangelim
2.5K visualizações5 slides

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Resumo EquaçõEs 8º Ano por
Resumo EquaçõEs 8º AnoResumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º Anonescalda
36.7K visualizações28 slides
Fórnulas de dinâmica por
Fórnulas de dinâmicaFórnulas de dinâmica
Fórnulas de dinâmicaO mundo da FÍSICA
18.2K visualizações6 slides
Movimento circular por
Movimento circularMovimento circular
Movimento circularGeorge Anderson Araujo
9.4K visualizações9 slides
Fisica 001 plano inclinado atrito por
Fisica   001 plano inclinado atritoFisica   001 plano inclinado atrito
Fisica 001 plano inclinado atritocon_seguir
10.9K visualizações3 slides
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria por
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaGráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
75.2K visualizações9 slides
Grandezas escalares e vetoriais por
Grandezas escalares e vetoriaisGrandezas escalares e vetoriais
Grandezas escalares e vetoriaisfisicaatual
18.2K visualizações18 slides

Mais procurados(20)

Resumo EquaçõEs 8º Ano por nescalda
Resumo EquaçõEs 8º AnoResumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º Ano
nescalda36.7K visualizações
Fórnulas de dinâmica por O mundo da FÍSICA
Fórnulas de dinâmicaFórnulas de dinâmica
Fórnulas de dinâmica
O mundo da FÍSICA18.2K visualizações
Fisica 001 plano inclinado atrito por con_seguir
Fisica   001 plano inclinado atritoFisica   001 plano inclinado atrito
Fisica 001 plano inclinado atrito
con_seguir10.9K visualizações
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria por O Bichinho do Saber
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaGráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
O Bichinho do Saber75.2K visualizações
Grandezas escalares e vetoriais por fisicaatual
Grandezas escalares e vetoriaisGrandezas escalares e vetoriais
Grandezas escalares e vetoriais
fisicaatual18.2K visualizações
MU e MUV por paolazeroum
MU e MUVMU e MUV
MU e MUV
paolazeroum3.1K visualizações
Noções básicas de cinemática por Angélica Brasil
Noções básicas de cinemáticaNoções básicas de cinemática
Noções básicas de cinemática
Angélica Brasil6K visualizações
Dinâmica por fisicaatual
DinâmicaDinâmica
Dinâmica
fisicaatual6K visualizações
Leis De Newton por Miky Mine
Leis De NewtonLeis De Newton
Leis De Newton
Miky Mine50K visualizações
8a série - As leis de newton por SESI 422 - Americana
8a série - As leis de newton8a série - As leis de newton
8a série - As leis de newton
SESI 422 - Americana6.8K visualizações
Lógica e teoria de conjuntos ppt por Pedro Teixeira
Lógica e teoria de conjuntos  pptLógica e teoria de conjuntos  ppt
Lógica e teoria de conjuntos ppt
Pedro Teixeira26K visualizações
Movimento retilíneo uniforme - MRU por O mundo da FÍSICA
Movimento retilíneo uniforme - MRUMovimento retilíneo uniforme - MRU
Movimento retilíneo uniforme - MRU
O mundo da FÍSICA20.1K visualizações
Análise de arredondamento em ponto flutuante por Felipe Belarmino
Análise de arredondamento em ponto flutuanteAnálise de arredondamento em ponto flutuante
Análise de arredondamento em ponto flutuante
Felipe Belarmino8.9K visualizações
Construção da tabela verdade por Aristóteles Meneses
Construção da tabela verdadeConstrução da tabela verdade
Construção da tabela verdade
Aristóteles Meneses14.7K visualizações
Retas e planos no espaço: Geometria de Posição por Bruno Cavalcanti
Retas e planos no espaço: Geometria de PosiçãoRetas e planos no espaço: Geometria de Posição
Retas e planos no espaço: Geometria de Posição
Bruno Cavalcanti15.6K visualizações
Física vetores por Adrianne Mendonça
Física  vetoresFísica  vetores
Física vetores
Adrianne Mendonça15.2K visualizações

Destaque

Sensor de Campo Magnético por
Sensor de Campo MagnéticoSensor de Campo Magnético
Sensor de Campo MagnéticoRodrigo Thiago Passos Silva
3.5K visualizações8 slides
Por que "menos com menos dá mais"? por
Por que "menos com menos dá mais"?Por que "menos com menos dá mais"?
Por que "menos com menos dá mais"?Rodrigo Thiago Passos Silva
2.4K visualizações3 slides
Redes de Primeira Ordem por
Redes de Primeira OrdemRedes de Primeira Ordem
Redes de Primeira OrdemRodrigo Thiago Passos Silva
1.5K visualizações3 slides
Exercícios de Geometria Analítica por
Exercícios de Geometria AnalíticaExercícios de Geometria Analítica
Exercícios de Geometria AnalíticaRodrigo Thiago Passos Silva
2.5K visualizações5 slides
Questões - Bases Matemáticas por
Questões - Bases MatemáticasQuestões - Bases Matemáticas
Questões - Bases MatemáticasRodrigo Thiago Passos Silva
1.4K visualizações5 slides
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC? por
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?Rodrigo Thiago Passos Silva
24.9K visualizações1 slide

Destaque(20)

Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC? por Rodrigo Thiago Passos Silva
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Rodrigo Thiago Passos Silva24.9K visualizações
Aplicações das equações e sistemas lineares por Angélica Brasil
Aplicações das equações e sistemas linearesAplicações das equações e sistemas lineares
Aplicações das equações e sistemas lineares
Angélica Brasil12.4K visualizações

Similar a Resumo - Álgebra Linear

Nucleo-Imagem.pdf por
Nucleo-Imagem.pdfNucleo-Imagem.pdf
Nucleo-Imagem.pdfPauloAndrePinheiro1
16 visualizações16 slides
Transformação linear por
Transformação linearTransformação linear
Transformação linearramos_unicap
1.7K visualizações6 slides
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineares por
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações LinearesTópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineares
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineareswillianv
759 visualizações14 slides
Aula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro por
Aula de Álgebra Linear - 1 de DezembroAula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro
Aula de Álgebra Linear - 1 de DezembroThiago VedoVatto
495 visualizações32 slides
1939 d (2) por
1939 d (2)1939 d (2)
1939 d (2)Tuane Paixão
2.9K visualizações14 slides
Curso de àlgebra linear por
Curso de àlgebra linearCurso de àlgebra linear
Curso de àlgebra linearThiago VedoVatto
968 visualizações45 slides

Similar a Resumo - Álgebra Linear(20)

Transformação linear por ramos_unicap
Transformação linearTransformação linear
Transformação linear
ramos_unicap1.7K visualizações
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineares por willianv
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações LinearesTópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineares
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineares
willianv759 visualizações
Aula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro por Thiago VedoVatto
Aula de Álgebra Linear - 1 de DezembroAula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro
Aula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro
Thiago VedoVatto495 visualizações
1939 d (2) por Tuane Paixão
1939 d (2)1939 d (2)
1939 d (2)
Tuane Paixão2.9K visualizações
Curso de àlgebra linear por Thiago VedoVatto
Curso de àlgebra linearCurso de àlgebra linear
Curso de àlgebra linear
Thiago VedoVatto968 visualizações
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr... por Azul Assessoria Acadêmica
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
Azul Assessoria Acadêmica89 visualizações
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr... por Azul Assessoria Acadêmica
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
Azul Assessoria Acadêmica16 visualizações
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr... por Azul Assessoria Acadêmica
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
Azul Assessoria Acadêmica11 visualizações
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr... por Azul Assessoria Acadêmica
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entr...
Azul Assessoria Acadêmica25 visualizações
Calculo1 aula15 por Élica Dias
Calculo1 aula15Calculo1 aula15
Calculo1 aula15
Élica Dias253 visualizações
Calculo1 aula15 por Cleide Soares
Calculo1 aula15Calculo1 aula15
Calculo1 aula15
Cleide Soares306 visualizações
Notas sobre a Geometria Diferencial por elysioruggeri
Notas sobre a Geometria DiferencialNotas sobre a Geometria Diferencial
Notas sobre a Geometria Diferencial
elysioruggeri1.4K visualizações
ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/2023 por Azul Assessoria Acadêmica
ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/2023ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/2023
ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/2023
Azul Assessoria Acadêmica7 visualizações
Algebra Linear cap 07 por Andrei Bastos
Algebra Linear cap 07Algebra Linear cap 07
Algebra Linear cap 07
Andrei Bastos2.4K visualizações
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]? por HelpEducacional
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
HelpEducacional5 visualizações
(g) Quais seus autovalores? por HelpEducacional
(g) Quais seus autovalores?(g) Quais seus autovalores?
(g) Quais seus autovalores?
HelpEducacional7 visualizações
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora? por HelpEducacional
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
HelpEducacional4 visualizações
(h) Quais seus autovetores? por HelpEducacional
(h) Quais seus autovetores?(h) Quais seus autovetores?
(h) Quais seus autovetores?
HelpEducacional6 visualizações
(h) Quais seus autovetores? por HelpEducacional
(h) Quais seus autovetores?(h) Quais seus autovetores?
(h) Quais seus autovetores?
HelpEducacional12 visualizações

Mais de Rodrigo Thiago Passos Silva

Recompra de Energia - Demonstração por
Recompra de Energia - DemonstraçãoRecompra de Energia - Demonstração
Recompra de Energia - DemonstraçãoRodrigo Thiago Passos Silva
794 visualizações2 slides
Exercício sobre Pré-Imagem por
Exercício sobre Pré-ImagemExercício sobre Pré-Imagem
Exercício sobre Pré-ImagemRodrigo Thiago Passos Silva
2.4K visualizações1 slide
Demonstração - Propriedade de módulo por
Demonstração - Propriedade de móduloDemonstração - Propriedade de módulo
Demonstração - Propriedade de móduloRodrigo Thiago Passos Silva
27.2K visualizações2 slides
Newton e Leibniz por
Newton e LeibnizNewton e Leibniz
Newton e LeibnizRodrigo Thiago Passos Silva
2.8K visualizações3 slides
Petróleos ultra-pesados - Apresentação por
Petróleos ultra-pesados - ApresentaçãoPetróleos ultra-pesados - Apresentação
Petróleos ultra-pesados - ApresentaçãoRodrigo Thiago Passos Silva
4.2K visualizações38 slides
Petróleos ultra-pesados por
Petróleos ultra-pesadosPetróleos ultra-pesados
Petróleos ultra-pesadosRodrigo Thiago Passos Silva
1.4K visualizações26 slides

Mais de Rodrigo Thiago Passos Silva(17)

Exercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica por Rodrigo Thiago Passos Silva
Exercício - Torre de Resfriamento - TermodinâmicaExercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
Exercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
Rodrigo Thiago Passos Silva8.9K visualizações

Resumo - Álgebra Linear

  • 1. ´ ALGEBRA LINEAR ´ Baseado no livro Algebra Linear e Aplica¸˜es1 co 1 Transforma¸˜es Lineares co Defini¸˜o 1.0.1 (Transforma¸oes Lineares) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R. Uma ca c˜ c aplica¸˜o T : U → V ´ chamada transforma¸˜o linear se, e somente se, ca e ca • T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ); ∀u1 , u2 ∈ U e • T (αu) = αT (u), ∀u ∈ R e ∀u ∈ U . 1.1 Propriedades 1. T (0) = 0 2. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U 3. T (u1 − u2 ) = T (u1 ) − T (u2 ), ∀u1 , u2 ∈ U 4. Se W ´ um sub-espa¸o de U , ent˜o a imagem de W por T ´ um sub-espa¸o de V . e c a e c 5. Sendo T : U → V linear ent˜o a n n T ai u i = ai T (ui ) i=1 i=1 1.2 Injetividade e Sobrejetividade Defini¸˜o 1.2.1 (Injetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ injetora se, e somente se, ca ca e ∀u1 , u2 ∈ U, u1 = u2 =⇒ T (u1 ) = T (u2 ) ou, equivalementemente, a contra-positiva ∀u1 , u2 ∈ U, T (u1 ) = T (u2 ) =⇒ u1 = u2 . Defini¸˜o 1.2.2 (Sobrejetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ sobrejetora se, e somente ca ca e se, Im(T ) = V , i.e., ∀v ∈ V, ∃u ∈ U tal que T (u) = v. Defini¸˜o 1.2.3 (Bijetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ bijetora se, e somente se, T ´ ca ca e e injetora e sobrejetora. 1 ´ CALLIOLI, C. DOMINGUES, H. COSTA, R. Algebra Linear e Aplica¸˜es. 6 ed. rev. S˜o Paulo: co a Atual, 1990. ISBN 978-85-7056-297-5. 1
  • 2. 1.3 N´ cleo e Imagem u Defini¸˜o 1.3.1 (N´ cleo) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans- ca u c forma¸˜o linear. Indica-se por Ker(T ) e denomina-se n´cleo de T o seguinte subconjunto de ca u U: Ker(T ) = {u ∈ U |T (u) = 0} Defini¸˜o 1.3.2 (Imagem) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans- ca c forma¸˜o linear. Indica-se por Im(T ) e denomina-se imagem de F o seguinte subconjunto de ca U: Im(T ) = {v ∈ V |v = T (u) para algum v ∈ V } = {T (u)|u ∈ U }, i.e., o conjunto dos vetores de V que s˜o imagem dos vetores de U . a Proposi¸˜o Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o: ca c˜ a • Ker(T ) ´ um sub-espa¸o vetorial de U ; e c • A transforma¸ao linear T ´ injetora se, e somente se, Ker(T ) = 0. c˜ e Teorema 1.3.1 (do N´ cleo e da Imagem) Seja U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o finita u c a sobre R. Dada uma transforma¸˜o linear T : U → V , ent˜o ca a dim U = dim ker(T ) + dim Im(T ) Corol´rio – Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R com a mesma dimens˜o finita n e supo- a c a nhamos T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o s˜o equivalentes as seguintes afirma¸˜es: c˜ a a co • T ´ sobrejetora. e • T ´ bijetora. e • T ´ injetora. e • T transforma uma base de U em uma base de V (i.e., se B ´ uma base de U , ent˜o T (B) e a ´ uma base de V ). e 1.4 Isomorfismos e Automorfismos Defini¸˜o 1.4.1 (Isomorfismo) Entende-se por isomorfismo do espa¸o vetorial U no espa¸o ca c c vetorial V uma transforma¸˜o linear T : U → V que seja bijetora. ca Defini¸˜o 1.4.2 (Automorfismo) Um isomorfismo T : U → U ´ um automorfismo de U . ca e Proposi¸˜o – Se T ´ um isomorfismo de U em V , ent˜o T −1 : V → U tamb´m ´ um isomorfismo ca e a e e (de V em U ). Em outras palaras, sempre que existe um isomorfismo T : U → V existe um isomorfismo T −1 : V → U (isomorfismo inverso de T ). Neste caso, dizemos que U e V s˜oa espa¸os vetoriais isomorfos. c Teorema 1.4.1 Dois espa¸os vetoriais U e V de dimens˜o finita s˜o isomorfos se, e somente c a a se, dim U = dim V. 2
  • 3. 2 Matriz de uma Transforma¸˜o Linear ca 2.1 Opera¸˜es com Transforma¸oes Lineares co c˜ Sejam U e V espa¸os vetoriais de R. Indicaremos por L(U, V ) o conjunto das transforma¸oes c c˜ lineares de U e V . Se U = V , o conjunto dos operadores lineares de U ser´ denotado por L(U ). a Defini¸˜o 2.1.1 (Soma) Dados F, G ∈ L(U, V ), definimos soma F + G de F com G: ca F +G:U →V e (F + G)(u) = F (u) + G(u), ∀u ∈ U. Propriedades 1. Associativa: F + (G + H) = (F + G) + H, ∀F, G, H ∈ L(U, V ); 2. Comutativa: F + G = G + F, ∀F, G ∈ L(U, V ); 3. Existe elemento neutro: a transforma¸ao linear nula 0 : U → V ´ tal que F + 0 = F, ∀F ∈ c˜ e L(U, V ); 4. Elemento oposto: ∀F ∈ L(U, V ), ∃(−F ) ∈ L(U, V )|F + (−F ) = 0. Defini¸˜o 2.1.2 (Multiplica¸˜o) Dados F ∈ L(U, V ) e α ∈ R, definimos produto αF : ca ca αF : U → V e (αF )(u) = αF (u), ∀u ∈ U. Propriedades Seja F ∈ L(U, V ) e α, β ∈ R. 1. (αβ)F = α(βF ); 2. (α + β)F = αF + βF ; 3. α(F + G) = αF + αG; 4. 1F = F . Defini¸˜o 2.1.3 (Composi¸˜o) Sejam U, V e W espa¸os vetoriais sobre R. Se F : U → V ca ca c e G : V → W s˜o transforma¸˜es lineares, define-se a aplica¸˜o composta de F e G: a co ca (G ◦ F ) : U → W e (G ◦ F )(u) = G((F (u)), ∀u ∈ U. Propriedades 1. Associativa: (H ◦ G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ), ∀H, G, F ∈ L(U ); 2. Operador idˆntico ´ elemento neutro da composi¸ao: I ◦ F = F ◦ I = F, ∀F ∈ L(U ); e e c˜ 3. Distribuitiva: H ◦(F +G) = H ◦F +H ◦G e (F +G)◦H = F ◦H +G◦H, ∀F, G, H ∈ L(U ). 3
  • 4. 2.2 Matriz de um Transforma¸˜o Linear ca Sejam U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o n e m, respectivamente, sobre R. Consideremos c a uma transforma¸ao linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , ..., un } de U e C = {v1 , ..., vm } c˜ de V , ent˜o cada um dos vetores F (u1 ), ..., F (un ) est´ em V e conseq¨entemente ´ combina¸ao a a u e c˜ linear da base C:  F (u1 ) = α11 v1 + α21 v2 + · · · + αm1 vm    F (u2 ) = α12 v1 + α22 v2 + · · · + αm2 vm  . . .  F (u ) = α v + α v + · · · + α v  n 1n 1 2n 2 mn m onde αij ´ unico. e´ Defini¸˜o 2.2.1 A matriz m × n sobre R ca   α11 α12 ··· α1n  α21 α22  ··· α2n    . . .. .   .. . . . .  . αm1 αm2 · · · αmn que se obt´m das considera¸˜es anteriores ´ chamada matriz de F em rela¸˜o `s bases B e C. e co e ca a Ser´ denontada por (F )B,C . a Consequencia da defini¸˜o – Se a aplica¸˜o linear for o operador identidade, a matriz ca ca (F )B,C = (I)B,C ser´ a matriz de mudan¸a da base C para a base B. a c 2.3 Matriz de um Transforma¸˜o Composta ca Seja U , V e W espa¸os vetoriais sobre R de dimens˜es m, n e p, que admitem bases B = c o {u1 , ..., un }, C = {v1 , ..., vm } e D = {w1 , ..., wp } respectivamente. Supondo F ∈ L(U, V ), G ∈ L(V, W ) e que (F )B,C = (αij ) e (G)C,D = (βki ), ent˜o a m γkj = βki αij , onde γkj ´ o termo geral de (G ◦ F )B,D . e i=1 Logo, (G ◦ F )B,D = (G)C,D · (F )B,C . Consequˆncia da defini¸˜o da matriz de um transforma¸˜o composta – Sejam U e V e ca ca espa¸os vetoriais sobre R de dimens˜o m. Se B e C s˜o bases de U e V , respectivamente, e c a a F : U → V ´ um isomorfismo, (F )B,C ´ invers´ e sua inversa ´ dada por e e ıvel e ((F )B,C )−1 = (F −1 )C,B . Proposi¸˜o – Seja U um espa¸o vetorial de dimens˜o n sobre R. Dadas as bases B = ca c a {u1 , ..., un } e C = {v1 , ..., vn } de U e dado T ∈ L(U ) ´ v´lida a f´rmula e a o (T )C = M −1 · (T )B · M, onde M ´ a matriz de mudan¸a da base B para a base C (M = (I)C,B ). e c 4
  • 5. 3 Determinantes 3.1 Permuta¸˜es co Defini¸˜o 3.1.1 (Permuta¸˜o) Seja n ≥ 1 um n´mero natural e Nn = {1, ..., n}. Toda ca ca u aplica¸˜o bijetora σ : Nn → Nn chama-se permuta¸˜o do conjunto Nn . ca ca Nota¸˜o – uma permuta¸˜o σ de Nn ´ denotada por ca ca e 1 2 ··· n σ= . σ(1) σ(2) · · · σ(n) Defini¸˜o 3.1.2 Consideremos uma permuta¸˜o ca ca 1 2 ··· n σ= σ(1) σ(2) · · · σ(n) de Nn . Seja r o n´mero de pares ordenados (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ n tais que σ(i) > σ(j). u Chama-se sinal da permuta¸˜o σ o n´mero inteiro representado por sgn (σ), que ´ ca u e 1, se r ´ par e sgn (σ) = −1, se r ´ ´mpar eı Observa¸˜o – O valor de r ´ igual ao n´mero de trocas que s˜o necess´rias para que a per- ca e u a a muta¸˜o fique na forma crescente. Se tivermos a permuta¸˜o (2 3 1) precisamos fazer as ca ca sequintes trocas: (1 3 2) e (1 2 3). Ou seja, r = 2 e portanto sgn = +1. 1 2 3 Exemplo 3.1 Seja σ = . Os pares (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ 3 e σ(i) > σ(j) s˜o (1, 2) a 3 1 2 e (1, 3); logo r = 2 e sgn (σ) = 1. 3.2 Determinantes Defini¸˜o 3.2.1 Seja A = (aij ) uma matriz real de ordem n, chama-se determinante da matriz ca A de ordem n o n´mero real u det(A) = sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) . σ   a11 a12 a13 Exemplo 3.2 Seja A = a21 a22 a23  ∈ M3 (R). As permuta¸˜es do conjunto {1, 2, 3} e co a31 a32 a33 respectivos sinais s˜o a 1 2 3 1 2 3 (+1) (−1) 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 (+1) (−1) 2 3 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 (+1) (−1) 3 1 2 2 1 3 Logo, det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 . Observa¸˜o: O n´mero de parcelas ´ sempre igual ao n´mero de permuta¸˜es poss´vel (n!). ca u e u co ı 5
  • 6. 3.3 Propriedades dos Determinantes Seja A = (aij ) uma matriz de ordem n. A i-´sima linha da matriz ´ Ai = ai1 ai2 · · · e e ain . Ent˜o a matriz A pode ser representada pela sequˆncia de vetores-linha a e  1 A  A2  A =  . .    .  . An 1. A fun¸ao determinante ´ linear em cada uma das vari´veis A1 , A2 , ..., An , isto ´: c˜ e a e (a) det(A1 , A2 , ..., Ai +A i , ..., An ) = det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An )+det(A1 , A2 , ..., A i , ..., An ); (b) det(A1 , A2 , ..., λAi , ..., An ) = λ det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An ) para todo 1 ≤ i ≤ n e para todo λ ∈ R. Exemplo 3.3 x+1 y−1 z−3       x y z 1 1 3 det  1 0 2  = det  1 0 2 + det 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1     3λ 2λ λ 3 2 1 det  1 0 2  = λ det 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2. Se A = (A1 , A2 , ..., An ) ´ uma matriz de ordem n e se Aj = Ak , com j < k ent˜o e a det(A) = 0. 3. Dada uma matriz A de ordem n suponhamos que B ´ a matriz obtida da seguinte maneira: e B = (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ..., An ), sendo que A = (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ..., An ). Ent˜o det(B) = − det(A). a 4. Seja A = (A1 , ..., An ). Ent˜o vale sempre a igualdade: a n 1 n 1 i det(A) = det(A , ..., A ) = det(A , ..., A + αk Ak , ..., An ), ∀ak ∈ R. k=1,k=i 5. det(A) = det(At ), para toda matriz A de ordem n. 6
  • 7. 4 Espa¸os com Produto Interno c Defini¸˜o 4.0.1 (Produto Interno) Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre R. ca c a Entende-se por produto interno sobre V uma aplica¸˜o que transforma cada par ordenado ca (u, v) ∈ V × V em um n´mero real (que ser´ denotado por u, v ) obedecendo `s seguintes u a a condi¸˜es: co • u + v, w = u, w + v, w , ∀u, v, w ∈ V ; • αu, v = α u, v , ∀α ∈ Re∀u, v ∈ V ; • u, v = v, u , ∀u, v ∈ V ; e • u, u ´ um n´mero real maior que zero para todo vetor u = 0. e u Defini¸˜o 4.0.2 Um espa¸o vetorial real com produto interno ou espa¸o euclidiano e um espa¸o ca c c c vetorial sobre R munido de um produto interno. 4.1 Propriedades 1. 0, u = u, 0 = 0, ∀u ∈ V . 2. u, αv = α u, v , ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V . 3. u, v + w = u, v + u, w , ∀u, v, w ∈ V . 4. Dado um n´mero inteiro m ≥ 1, u m m αi ui , v = αi ui , v . i=1 i=1 n m 5. u, j=1 αj vj = i=1 αi ui , v (n ≥ 1). m n m n 6. i=1 αi ui , j=1 βj vj = i=1 j=1 αi βj ui , vj . 4.2 Norma e Distˆncia a Defini¸˜o 4.2.1 (Norma) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano com o produto interno (u, v) → ca c u, v . Dado um vetor u ∈ V indica-se por u e chama-se norma de u o n´mero real positivo u dado por u = u, u . Proposi¸˜o ca • αu = |α| u , ∀α ∈ R, ∀u ∈ V . • u ≥ 0, ∀u ∈ V e u = 0 ⇐⇒ u = 0. Proposi¸˜o (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) – Se V ´ um espa¸o vetorial euclidiano, ent˜o ca e c a | u, v | ≤ u v , ∀u, v ∈ V. Corol´rio (Desigualdade triangular) – Num espa¸o euclidiano vale a seguinte desigualdade: a c u + v ≤ u + v , ∀u, v ∈ V. 7
  • 8. 4.2.1 M´trica e Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Consideremos a aplica¸˜o d : V × V → R, assim definida: c ca d(u, v) = u − v , ∀u, v ∈ V. Valem as seguintes proprieades: 1. d(u, v) ≥ 0, ∀u, v ∈ V e d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v. 2. d(u, v) = d(v, u), ∀u, v, ∈ V . 3. d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v), ∀u, v, w ∈ V . Pelo fato de valerem as trˆs propriedades acima, damos ` aplica¸˜o d : V × V → R o nome de e a ca m´trica sobre V , induzida pela norma. O n´mero d(u, v) ´ chamado distˆncia de u a v. e u e a 4.2.2 ˆ Angulo entre dois vetores Da desigualdade de Caughy-Schawarz segue que u, v − u v ≤ u, v ≤ u v ⇒ −1 ≤ ≤ 1. u v Logo, existe um unico θ ∈ R, tal que 0 ≤ θ ≤ π e ´ u, v cos θ = . u v 4.3 Ortogonalidade Defini¸˜o 4.3.1 Seja V um espa¸o euclidiano. Dizemos que dois vetores u, v ∈ V s˜o orto- ca c a gonais se, e somente se, u, v = 0. Um conjunto S = {u1 , ..., ur } ⊂ V se diz ortonormal se, e somente se • ui = 1 (i = 1, 2, ..., r) e • dois vetores quaisquer de S, distintos entre si, s˜o ortogonais. a Proposi¸˜o – Seja S = {g1 , ..., gr } um subconjunto ortonormal do espa¸o euclidiano V . Ent˜o, ca c a ∀u ∈ V , o vetor v = u− u, g1 g1 −· · ·− u, gr gr ´ ortogonal a todo vetor do sub-espa¸o vetorial e c gerado pelos vetores de S. Teorema 4.3.1 (Processo de Ortonormaliza¸˜o de Gram-Schmidt) Todo espa¸o veto- ca c rial euclidiano de dimens˜o finita (= 0) admite uma base ortonormal. a Exemplo 4.1 Sendo B = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 2)} uma base de R3 , utiliza- remos o processo de ortogonaliza¸˜o de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base. ca ´ E claro que g1 = u1 = u1 = (1, 0, 0). Por outro lado, v2 = u2 − u2 , g1 g1 = (0, 1, 1) − u1 0(1, 0, 0) = (0, 1, 1). Logo, √ √ v2 (0, 1, 1 2 2 g2 = = √ = 0, , . v2 2 2 2 8
  • 9. Finalmente, √ √ √ 3 2 2 2 1 1 v3 = u3 − u3 , g1 g1 − u3 , g2 g2 = (0, 1, 2) − 0g1 − 0, , = 0, − , . 2 2 2 2 2 Da´ ı √ √ v3 0, − 1 , 1 2 2 2 2 g3 = = = 0, − , . v3 1 +1 2 2 4 4 Logo, √ √ √ √ 2 2 2 2 (1, 0, 0), 0, , , 0, − , 2 2 2 2 ´ uma base ortonormal do R3 ,constru´da a partir da base B. e ı Defini¸˜o 4.3.2 (Complemento Ortogonal) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Dado ca c ⊥ um subespa¸o vetorial U de V , indiquemos por U o seguinte subconjunto de V c U ⊥ = {v ∈ V | u, v = 0, ∀u ∈ U. Exemplo 4.2 Achar uma base do sub-espa¸o V ⊥ , onde V ´ subespa¸o de R4 gerado por c e c (1, 0, 1, 1) e (1, 1, 2, 0). Ortonormalize esta base. v = (x, y, z, t) ∈ R4 pertece a V ⊥ se e somente se v, (1, 0, 1, 1) = x + z + t = 0 v, (1, 1, 2, 0) = x + y + 2z = 0 A solu¸˜o do sistema ´ V ⊥ = {(−z − t, −z + t, z, t |z, t ∈ R}. ca e 4.4 Operadores Auto-Adjuntos Defini¸˜o 4.4.1 Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Um operador A ∈ L(V ) se diz auto- ca c adjunto se A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V. Proposi¸˜o – Seja V um espa¸o euclidiano de dimens˜o finita. Ent˜o, um operador A ∈ L(V ) ca c a a ´ auto-adjunto se, e somente se, a matriz de A em rela¸ao a uma base ortonormal de V ´ e c˜ e T sim´trica (i.e. A = A ). e 5 Diagonaliza¸˜o de Operadores Lineares e Forma de ca Jordan 5.1 Valores e Vetores pr´prios o Defini¸˜o 5.1.1 Seja V um espa¸o vetorial (sobre R ou C) e seja T : V → V um operador ca c linear. Um vetor u ∈ V , u = 0, ´ um vetor pr´prio (autovetor) de T se existe um escalar λ (de e o R ou C, respectivamente) tal que T (u) = λu. Neste caso λ ´ um valor pr´prio associado a u. e o 9
  • 10. Defini¸˜o 5.1.2 O sub-espa¸o ca c V (λ) = {u ∈ V |T (u) = λu} = ker(T − λI) ´ chamado de sub-espa¸o pr´prio de λ e ser´ indicado por V (λ). e c o a Defini¸˜o 5.1.3 Dada uma matriz A = (aij ) de ordem n (real ou complexa), chama-se po- ca linˆmio caracter´stico de A o seguinte polinˆmio de grau n: o ı o   a11 − t a12 ··· a1n  a21 a22 − t · · · a2n  Pt (A) = det  . .  = det(A − tIn ).   . . . .. .   . . . . an1 an2 − t · · · ann − t Proposi¸˜o – Matrizes semelhantes tem o mesmo polinˆmio caracter´ ca o ıstico. Defini¸˜o 5.1.4 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o n e T : V → V um operador linear. ca c a Chama-se polinˆmio caracter´stico de T o polinˆmio caracter´stico da matriz de T em rela¸˜o o ı o ı ca a qualquer base de V . Nota¸˜o: pT (t). ca Proposi¸˜o – Seja T um operador linear de um espa¸o vetorial sobre K(KS = R ou K = C) ca c de dimens˜o n. Ent˜o os valores pr´prios de T s˜o as ra´ de pT (t) em K. a a o a ızes Exemplo 5.1 Seja T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (y, x). A matriz de T na base canˆnica ´ o e 0 1 1 0 Logo, −x 1 pT (x) = det = x2 − 1 1 −x cujas ra´zes s˜o 1 e −1. ı a Uma vez conhecidos os valores pr´prios de um operador T , podemos achar seus vetores pr´prios. o o Os autovetores s˜o os vetores n˜o nulos de ker(T − λI). a a Para λ = 1 temos (T − I)(x, y) = T (x, y) − I(x, y) = 0 ⇒ T (x, y) = I(x, y) ⇒ (y, x) = (x, y). Portanto, x = y e os autovetores associados ao autovalor λ = 1 tem a forma (x, x) = x(1, 1), ∀x ∈ R∗. Analogamente, para λ = −1 teremos x(1, −1). 5.2 Diagonaliza¸˜o de Operadores ca Defini¸˜o 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita. Um operador T : V → V se ca c a diz diagonaliz´vel se existe uma base de V formada por vetores pr´prios de T . a o Se B = {e1 , ..., en } for uma base formada de vetores pr´prios de T ent˜o o a   λ1  λ2  (T )B =    ..   .  λn 10
  • 11. onde λ1 , ..., λn s˜o os valores pr´prios de T . Da´ a o ı   λ1 − x  λ2 − x  pT (x) = det   = (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x)   ..  .  λn − x e assim pT (x) se decomp˜e em fatores lineares. o Teorema 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre K (K = R ou K = C). c a Um operador linear T ∈ L(V ) ´ diagonaliz´vel se, e somente se, e a • o polinˆmio caracter´stico de T tem todas as suas ra´zes em K; o ı ı • a multiplicidade alg´brica de cada valor pr´prio λi de T ´ igual ` dimens˜o de V (λi ). e o e a a 5.3 Diagonaliza¸˜o de Operadores Auto-adjuntos (ou de matrizes ca sim´tricas reais) e Como visto na defini¸˜o 4.4.1, um operador linear A de um espa¸o vetorial euclidiano V tal ca c que A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V. Teorema 5.3.1 Um operador linear A de um espa¸o euclidiano V , de dimens˜o finita n ≥ 1, c a ´ auto-adjunto se, somente se, existe uma base ortonormal de V formada de vetores pr´prios e o de A. 11