Resolução - P2 - Modelo A - Geometria Analítica

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Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo A.

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Resolução - P2 - Modelo A - Geometria Analítica

  1. 1. 2ª Avaliação de Geometria Analítica (Resolução)1. Sejam ( ) ( )e ( ) ( ) onde . Sejam ospontos ( )e ( ). Determine a equação vetorial da reta t que contém Pé concorrente com r e equidista de Q e s.Se s e t forem paralelas:Então o vetor diretor de t é paralelo ao vetor diretor de s. Assim: ⃗ ⃗ ( ). ( ) ( )i) Verificando a condição: ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| ( ) ( ) | ⃗| |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| |( ) ( )| |( )| ( ) | ⃗| |( )| |( )| |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| ( ) ( ) ( ) ( ) | ⃗| |( ) ( )| |( )| ( ) |( )| |( )|Condição verificada, pois ( ) ( ).ii) Verificando a condição: t é concorrente com rIgualando-se as coordenadas, obtém-se o seguinte sistema:Encontramos e . Logo, existe ponto de intersecção e as retas t e r sãoconcorrentes.As condições foram verificas, portanto, se s e t forem paralelas, a equação da reta t é ( ) ( )Se s e t forem reversas:I pertence à r então é da forma ( ) 1
  2. 2. P e I pertencem à reta t, então ⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor da reta t.⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Equação de t: ( ) ( )Pela condição do problema ( ) ( )i) Cálculo de ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗| ( ) | ⃗ ⃗| |( ) ( ) ( )| |( ) ( )| | | ( ) |( ) ( )| |( )| √ii) Cálculo de ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| ( ) | ⃗| |( ) ( )| |( )| √( ) ( ) |( )| |( )| √ ( ) √ √iii) Igualando as distâncias| | √√ √Elevando ao quadrado ambos os lados, encontramos:| |Equação da reta t: ( ) ( )2. Determine:(a) m de modo que os planos e sejamperpendiculares; e são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais forem ortogonais.Assim, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . ( ) ( ) 2
  3. 3. (b) a equação do plano que contém as retas e onde .Reescrevendo as equações das retas na forma paramétrica: ������ ������Sendo ( ) um ponto genérico do plano, a equação deste é dada por[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗] . ⃗ é o vetor diretor de r, ⃗ o vetor diretor de s e R um ponto pertencente ar. [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗] | | ( ) ( ) ( )3. Calcule:(a) a distância entre os planos e ; ( ) ( ), ( ) | | √ ( ) ( ) √ √ √(b) a distância entre as retas e .Reescrevendo as equações na forma paramétrica: ������ ������r e s são paralelas, então: ( ) ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| |( ) ( )| |( )| √( ) ( ) ( ) | ⃗| |( )| |( )| ( ) ( ) √ 3
  4. 4. 4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica: [ ( ) ] [ ( ) ]Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e nosegundo . Para que a segunda equação seja equivalente a primeiradevemos subtrair 64 no primeiro colchete e subtrair 9 no segundo. [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )Multiplicando a equação por ⁄ : ( ) ( )A equação acima representa uma hipérbole.Centro: ( ).Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) ( ) ( ) ( )Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) ( ) ( ) ( )Efetuando as translações (considerando o centro como (2,-1)), temos: ( )e ( ) ( )e ( )Excentricidade: 4
  5. 5. Figura 1- Gráfico da hipérbole5. Defina parábola como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos eindique sua equação geral.Sejam r uma reta e F um ponto não pertencente a ela. O lugar geométrico P dos pontosequidistantes de F e r chama-se parábola. F é o foco, r é a diretriz, e chamaremos onúmero positivo p tal que d(F,r) = 2p de parâmetro da parábola. A reta que contém ofoco e é perpendicular à diretriz chama-se eixo. Se H é o ponto de intersecção dadiretriz com o eixo, o ponto V, ponto médio de HF, é chamado de vértice. Uma cordada parábola é qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a ela.Amplitude focal de P é o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicularao eixo. [1]Equação geral:1 CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 306 5

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