Lista 0 - Geometria Analítica - Resolução

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Geometria Analítica (vetores) resolvidos.

Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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Lista 0 - Geometria Analítica - Resolução

  1. 1. Geometria Analítica Lista 0 Vetores1. Prove que ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ .⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗Aplicando a propriedade do elemento oposto da adição, temos:⃗ ⃗⃗2. Prove que , ou, equivalentemente, pela propriedade comutativa, .Modificando o lado esquerdo da igualdade pela propriedade do elemento neutro damultiplicação, temospela propriedade distributiva ( )Logo, .4. Sendo ABCDEFGH o paralelogramo acima, calcule:(a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗(b) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗(c) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗5. Se ( ) é um representante de ⃗ ⃗ e( ) um representante de ⃗ , prove que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗Premissa: 1
  2. 2. Geometria Analítica Lista 0 Vetores i. ⃗ ⃗ |⃗ |Supondo que ⃗ e tenham o mesmo sentido, obtém-se |⃗ | . |⃗ || | | || | | | |⃗ | | | |⃗ | ⃗ | | |⃗ |Supondo que ⃗ e tenham sentidos contrários, obtém-se |⃗ | |⃗ || | | || | | | |⃗ | | | |⃗ | ⃗ | |O sinal negativo pode ser suprimido do vetor, pois fica implícito no valor da constanteA demonstração da recíproca é trivial.6. Resolva a equação nas incógnitas x e y.Substituindo y na primeira equação do sistema: ( )7. Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de umtrapézio é paralelo as bases e sua medida é a semi-soma das medidas das bases. A B M N C D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
  3. 3. Geometria Analítica Lista 0 Vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗Somando-se as duas equações vetoriais: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, portanto, o módulo da sua soma é a soma dos seus módulos, ouseja, |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |. Então o módulo de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é a semi-soma das bases dotrapézio, e, como é escrito na forma ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ele é paralelo a ambas as bases.8. Prove que existe um único ponto comum as bissetrizes internas de um triângulo e queesse ponto conhecido como incentro do triângulo é interior a ele.Para que ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ sejam vetores diretores das bissetrizes internas de um triângulo,devem atender as seguintes condições: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |Existe um ponto comum I às bissetrizes internas do triângulo ABC se, e somente se, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗Provemos, inicialmente, a primeira asserção. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |Como e são constantes arbitrárias, fazemos e provemos que não existe quetorne válida a igualdade. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | 3
  4. 4. Geometria Analítica Lista 0 VetoresMas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |A igualdade é válida se: (|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |) |⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |e |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |Foram encontrados valores distintos para , então, por redução ao absurdo, conclui-seque não existe que torne a asserção verdadeira. Portanto, ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são concorrentes einterceptam-se no ponto I, o incentro.Analogamente, demonstra-se que ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são concorrentes.Pelas condições adotadas inicialmente para que as retas ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ sejam dissetrizes,nota-se que os vetores ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são múltiplos das somas de vetores diretores unitáriosdos lados do triângulo, portanto, a resultante dessa soma, certamente, apontará para ointerior do triângulo. Daí se conclui, que I está no interior do triângulo ABC.9. Sejam M, N e P os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC:(a) Exprima ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função de ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )(b) Prove que as retas suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concorrentes. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4
  5. 5. Geometria Analítica Lista 0 Vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗A igualdade acima só é válida se , no primeiro termo e , no segundo.Entretanto, a mesma variável, não pode assumir valores diferentes. Logo, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , que implica em: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅A demonstração para quaisquer outras duplas de retas é trivial.(c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide AN, BP e CM narazão 2 para 1. Esse ponto é conhecido como baricentro do triângulo.Seja G o ponto comum entre as retas ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e H o ponto comum às retas ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅.Será provado que G = H e que o ponto pertence às três medianas.Sendo A, G e N colineares, existe tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .Analogamente, existe tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ . Portanto, pela hipótese, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ , então ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗que implica, pela proposição do cancelamento de ponto, em: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Substituindo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , temos ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗⃗⃗Então: ( )e ( )onde se obtém que .Da hipótese da demonstração temos: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , que implica em ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 5
  6. 6. Geometria Analítica Lista 0 VetoresQuanto ao ponto H, supomos que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Executando, de formaanáloga o procedimento adotado anteriormente, encontramosOu seja, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗Fazendo a comparação entre as expressões do ponto G e do ponto H, conclui-se que: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗que acarreta: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗Como o escalar que multiplica os vetores é maior que 0 e menor que 1, concluímos queos vetores à esquerda da igualdade são menores que os da direita, portanto, G está contidonas três medianas. Além disso, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ou seja, o baricentro divide a mediana numa razão de 2 para 1.É o que queríamos provar.10. Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ A F O B E C D ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗11. Prove que ( ⃗ ⃗⃗ ) é L.I., então ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ) também são L.I. 6
  7. 7. Geometria Analítica Lista 0 VetoresSe ( ⃗ ⃗⃗ ) é L.I. então é uma base no no espaço (⃗ ⃗⃗ )Então:⃗ ⃗⃗ ( )⃗ ( ) ( ) | | (⃗ ⃗⃗ ⃗ )12. Prove que ( ⃗ ) é L.I. se e somente se ( ⃗ ⃗ ).i. ( ⃗ ) (⃗ ⃗ ) é L.I.Se ( ⃗ ) é L.I., então B é uma base de vetores no plano, onde (⃗ )Logo, ⃗ ( ) e⃗ ⃗ ( ) . não é múltiplo escalar de ⃗ , portanto, ( ⃗ ⃗ ) é L.I.ii.( ⃗ ⃗ ) (⃗ )Se ( ⃗ ⃗ ) é L.I., então C é uma base de vetores no plano, onde (⃗ ⃗ )Logo, ⃗ ( ) e ( )⃗ não é múltiplo escalar de , portanto, ( ⃗ ) é L.I.13. Prove que ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ) é L.D. para quaisquer ⃗ ⃗⃗Se ( ⃗ ⃗⃗ ) for L.D., são, portanto, coplanares. Todos os vetores que forem combinaçãolinear de ⃗ ⃗⃗ são também coplanares. Logo, ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ) é L.DSe ( ⃗ ⃗⃗ ) for L.I., forma a base (⃗ ⃗⃗ ) Então:⃗ ⃗⃗ ( ) ⃗ ⃗⃗ ( )⃗ ⃗⃗ ( ) 7
  8. 8. Geometria Analítica Lista 0 Vetores | | (⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ )14. Mostre que os vetores ⃗ ⃗⃗ são coplanares se e somente se um deles é combinaçãolinear dos outros dois. ⃗ ⃗⃗Três vetores são, por definição, linearmente dependentes se forem paralelos a um mesmoplano, ou seja, coplanares. Logo, a afirmativa acima é equivalente a ⃗ ⃗⃗i. Se ⃗⃗ é paralelo a ⃗ , então, ⃗⃗ ⃗ Logo, ⃗⃗ ⃗ii. Se ⃗⃗ não é paralelo a ⃗ , nem a . Considerando a figura abaixo, C M P B N Aonde, ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo a , portanto ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo a ⃗ , então ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , logo, ⃗⃗ ⃗.Analogamente, a recíproca pode ser reescrita como ⃗ ⃗⃗Supondo ⃗⃗ ⃗.Se ⃗⃗ ⃗ , o conjunto é L.D, pois os três vetores ficam contidos no mesmo plano.Senão, tomemos ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (figura acima). Nasituação da figura, B não pertence à reta PA, nem à reta PC, o paralelogramo PNBM estácontido no plano determinado por P, A e C. Concluímos que P, A, C e B são 8
  9. 9. Geometria Analítica Lista 0 Vetorescomplanares, e, portanto, ⃗ ⃗⃗ O mesmo raciocínio aplica-se caso Bpertença a PA ou PC.15. Demonstre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio éparalelo a base e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases. A B M N D C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Somando-se as duas equações, obtêm-se: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, portanto, o módulo da sua diferença é a diferença dos seusmódulos, ou seja, |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |. Então o módulo de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é a semi-diferençadas bases do trapézio, e, como é escrito na forma ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ele é paralelo aambas as bases.16. Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer e seja P o ponto médio dosegmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 9
  10. 10. Geometria Analítica Lista 0 Vetores D C O P A BProvar que (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) é o mesmo que provar ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), pela definição de soma de ponto com vetor.Reescrevendo o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ , temos: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Somando-se as quatro equações: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Como ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )Base1. Na figura abaixo ABCDEFGH é um paralelepípedo retângulo. Sejam ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 10
  11. 11. Geometria Analítica Lista 0 VetoresDetermine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G, e H nos seguintes sistemas decoordenadas:Note que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗(a) ( ) ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )(b) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ( )(c) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) 11
  12. 12. Geometria Analítica Lista 0 Vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )(d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2. Verifique se os vetores são L.I. ou L.D.(a) ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ( ) | |(b) ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ( ) | |3. Determine m e n tais que ( ⃗⃗ ) seja L. D., sendo ( ) e ⃗⃗ ( ).Condição: ⃗⃗ ( ⃗⃗ )⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ( [ ]) (I) (II) ( ) (III) 12
  13. 13. Geometria Analítica Lista 0 VetoresSubstituindo (I) em (II), obtemos o sistema (IV) ( ) (V)Substituindo (IV) em (V), ( )Com , calcula-se:e4. Sejam ( ) uma base, e considere os vetores ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗e ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a,b,c paraque ( ⃗ ⃗⃗ ) sejam L.I.⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )[⃗ ⃗⃗ ] | |(⃗ ⃗⃗ ) é LI se [ ⃗ ⃗⃗ ] , então .Logo, ( ⃗ ⃗⃗ ) .5. Dado um quadrilátero MNPQ e seja A o ponto de intersecção das diagonais e seja B eC os pontos médios dos lados opostos MN e PQ. Prove que se os pontos A, B e C estãosobre a mesma reta então MNPQ é um trapezoide ou um paralelogramo. MNPQ é um trapezoide ou paralelogramo se ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são concorrentes, ou seja ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 13
  14. 14. Geometria Analítica Lista 0 Vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Ou seja, não existe que torne ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ uma igualdade verdadeira, portanto, ̅̅̅̅ e̅̅̅̅̅ são concorrentes e MNPQ formam um trapezoide ou paralelogramo. 14

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