SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO E PERDA DE CARGA
EM PERMUTADORES DE CALOR CASCO-E-TUBOS
Rodolfo Heitor Campos
DISSERTAÇÃO...
ii
CAMPOS, RODOLFO HEITOR
Simulação Numérica do Escoamento e
Perda de Carga em Permutadores de Calor
Casco-e-Tubos [Rio de...
iii
Agradecimentos
A Deus...
À minha família...
Aos que acreditaram no desfecho bem sucedido deste trabalho, apesar de tod...
iv
“Eu acredito demais na sorte, e tenho
constatado que quanto mais duro eu
trabalho, mais sorte tenho”.
Thomas Jefferson ...
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre e...
vi
Abstract of the Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Mas...
vii
Índice
Capítulo 1 – Introdução 1
1.1 Casco-e-Tubos 1
1.2 Padrão TEMA 2
1.3 Projeto Térmico 5
1.4 Técnicas Computaciona...
viii
5.4 Condições de contorno 57
5.5 Resumo do Modelo 59
5.5.1 Condições Gerais 59
5.5.2 Equações Governantes 59
5.5.3 Eq...
ix
Lista de Símbolos
a Coeficiente para sistemas lineares
b Coeficiente para sistemas lineares
pc Calor específico a press...
x
S Superfície do poro no meio poroso
S Tensor Tensão Extra
Sφ Termo-fonte
eS Superfícies de entrada e saída de fluido em ...
xi
Índices (subscritos e sobrescritos)
0 Nível temporal anterior ou iteração anterior
B, b Face ou ponto nodal anterior (b...
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Casco-e-Tubos
Quanto à construção, existem vários tipos de permutadores de calor: tubulares,
d...
2
será recirculada e transformada em vapor por uma caldeira, possivelmente de casco-
e-tubos também (caldeira recuperadora...
3
RINGO [2] narra boa parte da história da Tubular Exchanger Manufacturers
Association Inc. (TEMA), fundada em 1939 com o ...
4
Figura 1.2 – Padrões TEMA (extraída de [2])
5
1.3 Projeto Térmico
Na História, contribuições diversas têm aumentado a confiabilidade do projeto
térmico dos casco-e-tu...
6
em escala, e dividido em quatro correntes de fluido dentro do equipamento: fração de
escoamento cruzado, folga entre cas...
7
Algumas referências digerem estes dois métodos, mas HEWITT [12] demonstra de
forma mais didática a aplicação dos mesmos....
8
• Identificar regiões de estagnação de fluido, baixa troca térmica ou
susceptíveis à incrustração e corrosão;
• Identifi...
9
No último capítulo são apresentados e discutidos resultados obtidos de um
código computacional escrito exclusivamente pa...
10
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1 Feixes Tubulares
Em SHA [13] o autor expõe três métodos utilizados na análise térm...
11
e-tubos. Porém, ainda não foi realizada com sucesso, pois é muito cara
computacionalmente; um simples permutador de dim...
12
2.2 Trabalhos Destacados
Uma das primeiras aplicações representativas de CFD a permutadores de calor
casco-e-tubos data...
13
hipótese foi assumida, de que as componentes do tensor condutividade dependem
somente da magnitude do vetor velocidade ...
14
fronteira de cada componente no domínio de uma forma muito cuidadosa,
discriminando permeabilidades e porosidades espec...
15
com os experimentais, obtendo boa aderência. Este equipamento trabalha com uma
corrente de sódio escoando no lado do ca...
16
carga quanto as diferenças de temperatura observadas aderem adequadamente aos
resultados do simulador.
DUTRA [30], em s...
17
Capítulo 3
Formulação
3.1 Integração Média
O uso de integrações médias é comum em alguns problemas de engenharia. O
mel...
18
O campo de maior aplicabilidade de média volumétrica local é em meios
porosos. A famosa Lei de Darcy, que pode ser expr...
19
média volumétrica local de uma equação diferencial. Por exemplo, a equação da
continuidade:
( ) 0
t
ρ
ρ
∂
+ ∇⋅ =
∂
v (3...
20
onde B pode ser um escalar, um vetor ou mesmo um tensor de segunda ordem
associado ao fluido. Aplicando esta operação à...
21
( ) ( )
1 1 1
1
f f w
w
V V S
S
B BdV BdV B dV
V
dB
V V
B B S
V
⎛ ⎞
∇ ≡ ∇ = ∇ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
=∇ ∇ +
∫ ∫ ∫
∫
n
n (3.9)
e o teo...
22
3.3.2 Equação de Quantidade de Movimento Linear
Para obter as equações de conservação de quantidade de movimento linear...
23
simplicidade vamos notar
1
wS
dS
V
= − ⋅∫g Τ n , sendo g o vetor força por unidade de
volume que o fluido exerce sobre ...
24
3.4 Influência da Matriz Porosa
A questão relevante agora é o tratamento da função g . Lembrando que ela
possui integra...
25
3.4.1 Vetor g
O vetor g é a representação de uma força por unidade de volume definida
como
1
wS
dS
V
= − ⋅∫g Τ n (3.27)...
26
meio “feixe tubular” causa no escoamento. O desenvolvimento de g visa apenas dar
arcabouço algébrico e tensorial para s...
27
a idéia da simetria do tensor K , que é uma questão sempre contundente em
problemas de meios porosos.
Supondo um vetor ...
28
simétrico em um sistema coordenado qualquer, ele será simétrico em todos os
sistemas. Como só teremos que nos preocupar...
29
direção y:
( ) 2 2 2
*
2 2 2 y y
v vu vv vw p v v v
f R
t x y z y x y z
ρ ρ ρ ρ
µ ρ
∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + + + ...
30
Capítulo 4
Discretização das Equações de Conservação
4.1 Propriedades de Esquemas de Discretização
Métodos numéricos, e...
31
quantidade de energia (sob a forma de calor, quantidade de movimento etc) que entra
no volume de controle deve ser igua...
32
4.2 Método dos Volumes Finitos
No método de Volumes Finitos (MVF) o domínio é discretizado em volumes
elementares numa ...
33
onde F e G são grandezas físicas que representam fluxos de uma determinada
propriedade e S um termo fonte da equação. P...
34
( )
( ) ( ) ( )
t t e t t e t t e
p tt w t w t w
T
c T dxdt k dxdt Sdxdt
t x x
ρ
+∆ +∆ +∆∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Ι ΙΙ ...
35
P W
w
T TT
x x
θ θ θ
−∂
=
∂ ∆
(4.8)
Da mesma forma, os termos com sobrescrito θ exigem tratamento especial, já
que dent...
36
0
P E W P Pa a a a S x= + + − ∆ (4.15)
O desenvolvimento aqui apresentado pode ser repetido para outras grandezas
e pro...
37
2
2
2
2
2
2
P
e
w
a
x
u
a
x x
u
a
x x
ρ
ρ
Γ
=
∆
Γ
= − +
∆ ∆
Γ
= +
∆ ∆
(4.20)
Sabe-se que (ver PATANKAR[36]), na resoluç...
38
Interpolation for Convective Kinematics) de LEONARD [38], que usa interpolações
quadráticas e outros.
O método utilizad...
39
4.4 Integração das Equações de Conservação
Aqui é apresentada a integração das equações para advecção-difusão num
volum...
40
Figura 4.3 – Volume elementar para integração
Usando fluxos de massa e coeficientes difusivos escrevemos
0 0
P P P P
e ...
41
termos advectivos:
1 1
2 2
e e P e Eφ α φ α φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(4.37)
1 1
2 2
w w W w Pφ α φ α φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
...
42
Desenvolvendo as equações (4.23 – 4.41) é possível obter uma forma matrical para o
sistema de equações. Para maiores de...
43
4.5 Acoplamento Pressão-Velocidade
Em escoamentos compressíveis a baixas velocidades a equação de
continuidade pode ser...
44
Uma vez que muitos dos termos nas equações são idênticos, o número de
coeficientes acaba sendo minimizado e a programaç...
45
O problema do arranjo deslocado está no seu uso com coordenadas
generalizadas, no qual ele se restringe a casos geométr...
46
* '
* '
* '
u u u
v v v
w w w
= +
= +
= +
(4.53)
Com algum desenvolvimento algébrico (ver PATANKAR[36]), chega-se às eq...
47
* ' '
( )P P P w eu u d p p= + − com P
P
P nb
A
d
a a
=
− ∑
. Abaixo consta o ciclo iterativo para a
resolução do acopl...
48
Capítulo 5
Modelagem
5.1 Resistências Distribuídas
Desde TINKER [8], a abordagem da perda-de-carga no permutador casco-...
49
Onde u é a componente x do vetor velocidade média, td o diâmetro dos tubos de
troca e f o fator de atrito, a questão pr...
50
Figura 5.1 – Arranjo quadrado para o feixe tubular (figura extraída de
LIENHARD IV et al.[43])
Figura 5.2 – Arranjo tri...
51
Tabela 5.1 – Resultados de k para escoamentos lentos em arranjos
quadrados e quadrados rodados
t
t
p
d Arranjo
2
3t
3
t...
52
2
2Re
td
f
k
= (5.3)
Onde Re é o número de Reynolds local com base no diâmetro dos tubos.
Tabela 5.3 – Resultados de k ...
53
Ao mesmo tempo é necessário que a reta representada pela equação
linear do termo-fonte tenha inclinação negativa. Se co...
54
5.3 Obstáculos no Domínio
O permutador de calor casco-e-tubos é internamente todo composto de
obstáculos ao escoamento ...
55
Figura 5.3 – Esquema mostrando o efeito de fixar valores elevados para o
termo-fonte em uma face qualquer do domínio.
N...
56
Da mesma forma podemos simular nas chicanas algo como vazamentos via
termo-fonte, basta aplicar uma correlação adequada...
57
2
1
2 3
t
t
d
p
π
η
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.15)
5.4 Condições de contorno
São aplicadas ao domínio as seguintes condições de...
58
y
x
z
Parede 0u v w= = =
Entrada Saída
Face anterior Face posterior
Simetria
0
0
0
u
v
x
w
x
=
∂
=
∂
∂
=
∂
0u v w= = = ...
59
5.5 Resumo do Modelo
5.5.1 Condições Gerais
• Coordenadas cartesianas com geometria serrilhada para representar a forma...
60
continuidade:
( ) ( ) ( ) ( ) 0
u v w
t x y z
ηρ ηρ ηρ ηρ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
(5.23)
5.5.3 Equações Discretizadas
Co...
61
s ss s
m v x z d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.29)
b bb b
m w x y d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.30)
0 0
P PP P
m V m Vηρ ηρ= ∆ = ∆ (5.3...
62
Capítulo 6
Resultados
6.1 Aspectos Computacionais
O código computacional para obter os resultados a seguir fora escrito...
63
problema cilíndrico exige algumas manobras extras no sentido de driblar o problema
do ponto central (descontinuidade) d...
64
problemas resolvidos, pôde-se reduzir o tempo computacional de cerca de horas
(usando-se o método de Gauss-Siedel) para...
65
Figura 6.2 – Desenvolvimento hidrodinâmico entre placas paralelas
Segundo [45] , o desenvolvimento hidrodinâmico neste ...
66
6.2.1 Entrada Hidrodinâmica – Resultados (Re =100)
Abaixo são mostrados os perfis de velocidades em quatro seções do do...
67
Perfil z=0.2
0
0,00005
0,0001
0,00015
0,0002
0,00025
0,0003
0,00035
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Numérica
Analítica
Figura ...
68
Para o problema foram testadas três malhas: 10x40x40, 10x50x100 e
10x75x150. Na tabela abaixo são mostrados os erros má...
69
Tabela 6.2 – Erros máximos para perda de carga em relação à solução analítica
Erro máximo(%)
Malha 10x40x40
Erro máximo...
70
6.3 Trocador do Projeto Delaware
Em BELL [9], algumas correlações são propostas para se estimar o coeficiente
de transf...
71
Figura 6.8 – Pontos no permutador em análise onde foram tomas medidas de pressão
Nas simulações realizadas, foram extra...
72
6.3.1 Resultados, =m 11,13 kg/s
Variação da pressão
Vazão Entrada: 11,13 kg/s
60
70
80
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100
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120
130
140
150
160
1...
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6.3.2 Resultados, =m 6,03 kg/s
Variação da pressão
Vazão Entrada: 6,03 kg/s
60
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100
120
140
160
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200
1 2 3 4 5 6 7...
TESE_Rodolfo_Heitor_Campos
TESE_Rodolfo_Heitor_Campos
TESE_Rodolfo_Heitor_Campos
TESE_Rodolfo_Heitor_Campos
TESE_Rodolfo_Heitor_Campos
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  1. 1. SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO E PERDA DE CARGA EM PERMUTADORES DE CALOR CASCO-E-TUBOS Rodolfo Heitor Campos DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Aprovada por: ________________________________________________ Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Albino José Kalab Leiroz, Ph.D. ________________________________________________ Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL SETEMBRO DE 2007
  2. 2. ii CAMPOS, RODOLFO HEITOR Simulação Numérica do Escoamento e Perda de Carga em Permutadores de Calor Casco-e-Tubos [Rio de Janeiro] 2007 XI, 93 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Mecânica, 2007) Dissertação - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE 1. Permutadores de Calor 2. Método dos Volumes Finitos 3. Meios Porosos I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
  3. 3. iii Agradecimentos A Deus... À minha família... Aos que acreditaram no desfecho bem sucedido deste trabalho, apesar de todos as mudanças bruscas na minha vida pessoal e profissional desde o início do mestrado. Ao meu nobre orientador, professor Nísio Brum; certamente foi quem mais acreditou. As suas colocações inteligentes a respeito de temas ligados ou não à tese trouxeram bastante motivação e inspiração para o trabalho. Aos grandes colegas e amigos de curso: Maurício, Stilpen, Clauderino, Sias, Luiz Augusto, Rafael, Jeziel, Deyse, Anelise, Patrícia, Antônio, Alexandre, e muitos outros. Aos funcionários técnico-administrativos do Programa de Engenharia Mecânica, que foram sempre muito prestativos, especialmente à Vera, que me ajudou bastante e teve muita paciência para resolver problemas diversos. Aos professores José Luiz e Manoel Ernani, que foram bastante compreensivos enquanto coordenadores do programa. À CAPES pelo suporte financeiro no período em que fui bolsista e à FAPERJ pela bolsa do Prêmio “Aluno Nota 10”.
  4. 4. iv “Eu acredito demais na sorte, e tenho constatado que quanto mais duro eu trabalho, mais sorte tenho”. Thomas Jefferson (1743-1826)
  5. 5. v Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO E PERDA DE CARGA EM PERMUTADORES DE CALOR CASCO-E-TUBOS Rodolfo Heitor Campos Setembro/2007 Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum Programa: Engenharia Mecânica Este trabalho tem por objetivo modelar e resolver numericamente o problema tri- dimensional em coordenadas cartesianas do escoamento e perda de carga em um permutador de calor casco-e-tubos. A solução numérica é alcançada utilizando-se o método dos volumes finitos para discretização das equações diferenciais parciais e o algoritmo SIMPLEC para acoplamento dos campos de velocidade e pressão. Uma formulação de meios porosos é também utilizada para descrever o comportamento do fluido no feixe tubular do equipamento. Ainda, assume-se que o fluido tenha propriedades termo-físicas constantes. Os dados da simulação são comparados com dados experimentiais do projeto Delaware e resultados obtidos do software HTRI Xchanger Suite®, para projetos de trocadores de calor.
  6. 6. vi Abstract of the Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) NUMERICAL SIMULATION OF FLUID FLOW AND PRESSURE LOSS IN SHELL-AND-TUBE HEAT EXCHANGERS Rodolfo Heitor Campos September/2007 Advisor: Nísio de Carvalho Lobo Brum Department: Mechanical Engineering This work aims to model and solve numerically the tridimensional problem of fluid flow and pressure loss in a shell-and-tube heat exchanger in cartesian coordinates. The numerical solution is achieved by using the Finite Volume Method for partial differential equations discretization and the pressure-velocity coupling SIMPLEC algorithm. A porous media approach is also used to help to describe the behavior of fluid flow through the equipment tube bundle. Besides, the fluid thermophysical properties are considered constant. The simulation data are compared with experimental data from the Delaware Research Program and output results from the HTRI Xchanger Suite® software for heat exchanger design.
  7. 7. vii Índice Capítulo 1 – Introdução 1 1.1 Casco-e-Tubos 1 1.2 Padrão TEMA 2 1.3 Projeto Térmico 5 1.4 Técnicas Computacionais e Numéricas 7 1.5 Este Trabalho 8 Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 10 2.1 Feixes Tubulares 10 2.2 Trabalhos Destacados 12 Capítulo 3 – Formulação 17 3.1 Integração Média 17 3.2 Operadores Diferenciais 18 3.3 Equações de Conservação Integradas 21 3.3.1 Equação de Continuidade 21 3.3.2 Equação de Quantidade de Movimento Linear 23 3.4 Influência da Matriz Porosa 24 3.4.1 Vetor g 25 3.4.2 Características de R 26 3.5 Equações Governantes 27 Capítulo 4 – Discretização das Equações de Conservação 28 4.1 Propriedades de Esquemas de Discretização 29 4.2 Método dos Volumes Finitos 30 4.3 Esquemas de Interpolação 36 4.4 Integração das Equações de Conservação 39 4.5 Acoplamento Pressão-Velocidade 43 4.5.1 O Método SIMPLE 43 4.5.2 Arranjos da Malha 43 4.5.3 O Algoritmo SIMPLE/SIMPLEC 45 Capítulo 5 – Modelagem 48 5.1 Resistências Distribuídas 48 5.2 Tratamento do Termo-Fonte 52 5.3 Obstáculos no Domínio 54 5.3.1 Chicanas 54 5.3.2 Tubos 56
  8. 8. viii 5.4 Condições de contorno 57 5.5 Resumo do Modelo 59 5.5.1 Condições Gerais 59 5.5.2 Equações Governantes 59 5.5.3 Equações Discretizadas 60 Capítulo 6 – Resultados 62 6.1 Aspectos Computacionais 62 6.2 Validação 64 6.2.1 Entrada Hidrodinâmica – Resultados (Re =100) 66 6.3 Trocador do Projeto Delaware 70 6.3.1 Resultados, m = 11,13 kg/s 72 6.3.2 Resultados, m = 6,07 kg/s 73 6.3.3 Resultados, m = 4,77 kg/s 74 6.3.4 Resultados, m = 3,77 kg/s 75 6.3.5 Comentários Gerais 76 6.4 Análises Complementares 79 6.4.1 Diâmetro dos Bocais 80 6.4.2 Porosidade do Domínio 81 6.4.3 Número de Chicanas 82 Conclusão 83 Referências Bibliográficas 84 Apêndice I - Equação Média para Energia 92
  9. 9. ix Lista de Símbolos a Coeficiente para sistemas lineares b Coeficiente para sistemas lineares pc Calor específico a pressão constante d Fluxo difusivo Pd Termo de correção no SIMPLE hD Diâmetro hidráulico td Diâmetro dos tubos de troca térmica VD Diâmetro equivalente volumétrico dx , dy , dz Comprimentos infinitesimais de integração f Fator de atrito f Força externa por unidade de massa f Força externa por unidade de massa média g Vetor força por unidade de volume sobre as paredes do poro Ι Matriz Identidade k Permeabilidade do meio poroso tk Condutividade térmica K Tensor Permeabilidade 1K 2K 3K Direções principais do tensor permeabilidade m Quantidade de massa no volume de controle m Fluxo de massa p Pressão tp Pitch do feixe tubular *p Pressão estimada no método SIMPLE 'p Correção da pressão no método SIMPLE p Pressão média Pe Peclet de malha (parâmetro adimensional) R Tensor resistência * R Vetor resistência Re Número de Reynolds (parâmetro adimensional) * xR * yR * zR Componentes do vetor resistência
  10. 10. x S Superfície do poro no meio poroso S Tensor Tensão Extra Sφ Termo-fonte eS Superfícies de entrada e saída de fluido em ( )fV PS , CS Parcelas do termo-fonte wS Superfície das paredes do poro T Temperatura t Tempo Τ Tensor Tensão *u , *v , *w Velocidades estimadas para o método SIMPLE u , v , w Componentes do vetor velocidade média 'u , 'v , 'w Correção das velocidades no método SIMPLE U Módulo do vetor velocidade v Vetor velocidade V Volume ( )fV Volume da parcela fluida do poro no meio poroso Símbolos Gregos α Coeficiente do método WUDS β Coeficiente do método WUDS φ Propriedade genérica para integração η Porosidade Γ Propriedade difusiva genérica x∆ , y∆ , z∆ Dimensões dos volumes elementares da malha t∆ Incremento temporal V∆ Volume de um volume elementar ijδ Delta de Kronecker ρ Massa específica ρ Massa específica média µ Viscosidade absoluta θ Nível temporal σ Fator de sub-relaxação
  11. 11. xi Índices (subscritos e sobrescritos) 0 Nível temporal anterior ou iteração anterior B, b Face ou ponto nodal anterior (back) E, e Face ou ponto nodal leste (east) F, f Face ou ponto nodal posterior (front) N, n Face ou ponto nodal norte (north) nb Volumes vizinhos P Ponto nodal S, s Face ou ponto nodal sul (south) t Nível temporal atual W, w Face ou ponto nodal oeste (west)
  12. 12. 1 Capítulo 1 Introdução 1.1 Casco-e-Tubos Quanto à construção, existem vários tipos de permutadores de calor: tubulares, de placas, de superfícies estendidas e regenerativos. Eles podem também ser classificados em grupamentos dos mais distintos: quanto ao número de fluidos, a compacidade, os mecanismos de transmissão de calor etc. Mais especificamente, o equipamento que iremos tratar neste trabalho é o trocador de calor do tipo casco-e-tubos, sendo ele certamente o mais popular e utilizado na indústria. Ele utiliza um feixe de tubos, dentro do qual percorre um determinado fluido. Estes tubos estão enclausurados num casco, pelo qual passa outro fluido, que acaba escoando pelos espaços entre os tubos (planos, aletados etc). A figura 1.1 mostra um trocador em construção (sem o casco e outros componentes), as chapas em formato semi-circunferencial são chamadas de chicanas e contribuem para que o fluido entre no feixe tubular o mais perpendicularmente possível, e assim aumentar a parcela de escoamento cruzado. Dois fluidos, de temperaturas de entrada diferentes, escoam através do permutador. O fluxo de calor de um fluido para o outro atravessa a parede dos tubos; estes fluidos podem ser líquidos ou gases, tanto no casco quanto nos tubos. Há trocadores de calor com apenas uma fase (líquida or gasosa) em cada corrente ou duas fases, que podem ser usados para evaporar algum líquido, chamados também de evaporadores, ou condensar um vapor (chamados condensadores). Por exemplo, caldeiras em locomotivas são tipicamente grandes, geralmente do tipo casco-e-tubos. Em grandes plantas termoelétricas condensadores casco-e-tubos são usados para condensar o vapor exausto das turbinas em água que
  13. 13. 2 será recirculada e transformada em vapor por uma caldeira, possivelmente de casco- e-tubos também (caldeira recuperadora). Figura 1.1 – Permutador casco-e-tubos em fase de montagem Segundo FLETCHER e ANDREWS [1] os casco-e-tubos tomam uma fatia de 37% do mercado mundial de permutadores, o equivalente a US$650 milhões anuais (dados de 1995). Além disso, no aspecto da aplicabilidade eles são muito versáteis, podendo ser adaptados a uma gama enorme de processos e utilidades, na indústria química, alimentícia, do petróleo, em geração de energia e outras. Isso engloba virtualmente várias condições operacionais, como altas pressões, altas temperaturas, fluidos altamente corrosivos, líquidos muito viscosos, fluidos multicomponentes, fluidos em mudança de fase, etc. Estes e outros fatores fazem deste tipo de permutador o primeiro candidato quando se deseja realizar uma operação de troca térmica. 1.2 Padrão TEMA Uma variedade de construções internas é usada em trocadores casco-e-tubos, dependendo das temperaturas envolvidas, das restrições de perda de carga, estanqueidade, tensões térmicas, limpeza e muitas outras.
  14. 14. 3 RINGO [2] narra boa parte da história da Tubular Exchanger Manufacturers Association Inc. (TEMA), fundada em 1939 com o intuito de estabelecer padrões confiáveis para o projeto mecânico e a manufatura de permutadores tubulares. Pouco após sua fundação foi lançado o primeiro código na indústria dedicado ao projeto de permutadores casco-e-tubos. A TEMA é atualmente composta de aproximadamente 30 companhias, todas especializadas no projeto e fabricação de trocadores de calor casco-e-tubos. Os seus comitês técnico e executivo têm o propósito de revisar, interpretar e atualizar as normas, participar de grupos de trabalho em conjunto com ASME, API, HTRI e outros, e financiar pesquisas para avanços tecnológicos nos casco-e-tubos. A Norma TEMA foi recentemente revisada em sua 8ª edição e apresenta três categorias que especificam o projeto, fabricação e materiais a serem empregados: • Classe R – petróleo e aplicações em processos relacionados; • Classe C – comercial e aplicações em processos gerais; • Classe B – serviço em processos químicos. Esta norma também estabelece o chamado Padrão TEMA, que facilita muito o projeto e especificação dos equipamentos. Na figura abaixo é possível ver uma tabela com diferentes geometrias de componentes do permutador casco-e-tubos. Usando combinações dessas geometrias sugeridas é possível projetar permutadores para a grande maioria dos serviços de troca térmica da indústria. Exceto serviços muito específicos ou muito severos exigem o uso de equipamentos que não se encaixam nesses padrões. Exemplos que fogem a esse padrão seriam, dentre outros, os trocadores do tipo bainha-baioneta, indicados para serviços de alta temperatura.
  15. 15. 4 Figura 1.2 – Padrões TEMA (extraída de [2])
  16. 16. 5 1.3 Projeto Térmico Na História, contribuições diversas têm aumentado a confiabilidade do projeto térmico dos casco-e-tubos. O “divisor de águas” no projeto de equipamentos de processo para troca térmica foi o livro KERN [3]. Este trabalho tem influenciado gerações de projetistas de permutadores por reunir de forma ampla e didática informações sobre tais equipamentos. A referência [3] apareceu numa época especialmente oportuna para a indústria de transmissão do calor. Com o fim da 2ª Guerra Mundial, a corrida tecnológica da Guerra Fria alavancou o desenvolvimento do maquinário térmico; os novos campos da energia nuclear e aeroespacial pediam soluções para problemas jamais encontradas até então, a maioria de interesse estratégico e militar. Foram nesses anos que surgiram organizações como HTRI, HTFS, DIMP e outras. Outro fator importante, a chegada dos computadores digitais de alta velocidade nos anos de 1960, permitiu que muitas simplificações fossem esquecidas, dando espaço a cálculos mais sofisticados para os problemas. Por exemplo, a versão original do Método das Correntes, em TINKER [8] precisou sofrer diversas adaptações para reduzir sua complexidade computacional para a época. Assim, idéias do período entre 1930 e 1950, abandonadas ou demasiadamente simplificadas em prol do projeto térmico, puderam ser recuperadas com os avanços da computação. Na linha do tempo, alguns trabalhos (hoje tido como clássicos) destacam-se, dentre eles, COLBURN [4], SIEDER e TATE [5] e PETUKHOV [6], para transferência de calor e perda de carga no interior de tubos, e ŽUKAUSKAS [7] para escoamento cruzado contra feixes tubulares. Paralelo ao desenvolvimento das correlações empíricas propostas em [4,5,6,7], trabalhos diretamente aplicados ao projeto dos casco-e-tubos foram estabelecidos. O já mencionado Tinker, em [8] desenvolveu um método para calcular trocadores de calor baseado em dados de perda de carga e transferência de calor de permutadores
  17. 17. 6 em escala, e dividido em quatro correntes de fluido dentro do equipamento: fração de escoamento cruzado, folga entre casco e chicana, folga entre tubo e chicana e correntes de by-pass, como ilustra a figura abaixo. Figura 1.3 – Correntes do método [8] O Departamento de Engenharia Química da Universidade de Delaware conduziu um extenso programa de pesquisa ao longo das décadas de 1950 e 1960, que é sumarizado em BELL [9]. A partir dos resultados dessa pesquisa, BELL [10] apresenta um método de cálculo térmico para permutadores casco-e-tubos. Apesar de todo o esforço de pesquisa a respeito do assunto, não se definiu um método padrão para o cálculo térmico de casco-e-tubos. Nem a norma TEMA, essencialmente voltada para o projeto mecânico, faz restrição quanto ao procedimento utilizado para o cálculo térmico. TABOREK [11] faz uma explanação melhor sobre a evolução dos métodos de cálculo térmico neste artigo sobre a evolução dos casco-e- tubos. O que a maioria dos projetistas térmicos considera como o “Estado da Arte” seria utilizar o chamado Método Bell-Delaware para o cálculo da performance térmica do equipamento e o Método das Correntes de Tinker para estimar a perda de carga.
  18. 18. 7 Algumas referências digerem estes dois métodos, mas HEWITT [12] demonstra de forma mais didática a aplicação dos mesmos. 1.4 Técnicas Computacionais e Numéricas Nos últimos 30 anos, técnicas de Mecânica dos Fluidos Computacional – CFD vêm sendo utilizadas amiúde para a resolução de problemas de transferência de calor e escoamento em trocadores de calor. Tais técnicas também têm emergido significativamente para diversas outras classes de problemas. Como os permutadores em geral têm uma geometria irregular e padrões de escoamento muito complexos, ainda não é possível obter expressões analíticas que descrevam de maneira precisa o comportamento dentro destes equipamentos. Conseqüentemente, tem se lançado mão de softwares de CFD para tal. E este é, certamente, o caminho mais viável economicamente para um maior domínio sobre a fenomenologia do escoamento e transmissão de calor. Apesar de todo o esforço, os métodos numéricos ainda estão longe de serem definitivos para o cálculo térmico de trocadores e outros equipamentos; eles aparecem como uma alternativa de análise mais aprofundada do problema. No entanto, fazendo uma previsão otimista, é possível que num futuro pouco distante técnicas de Mecânica dos Fluidos Computacional deixem de ser complementares e possam ser suficientes para projetar equipamentos térmicos no geral. O otimismo advém da idéia de se ter maior conhecimento e controle do problema de que está se tratando e, com isso, poder dimensionar equipamentos menores, mais seguros, mais baratos e que desempenhem um papel adequado. Alguns exemplos de como valores locais de velocidade, temperatura e pressão podem ser úteis são: • Avaliação mais precisa de problemas de vibração induzida pelo escoamento;
  19. 19. 8 • Identificar regiões de estagnação de fluido, baixa troca térmica ou susceptíveis à incrustração e corrosão; • Identificar regiões de má-distribuição de energia e escoamento, que tendem a diminuir a eficiência térmica; • Otimizar o layout do feixe tubular e dos dispositivos de bloqueio do fluido para minimizar o by-pass e melhorar a eficiência térmica; • Desenvolver melhorias em métodos de cálculo tradicionais em permutadores de calor baseados em experimentos numéricos, mais simples e menos custosos que testes de campo ou laboratório. 1.5 Este Trabalho O trabalho apresentado analisa o escoamento e perda de carga em um permutador casco-e-tubos utilizando a Mecânica dos Fluidos Computacional, mais precisamente, o Método dos Volumes Finitos para discretização das equações de conservação e algoritmo SIMPLEC para obtenção do campo de velocidades e pressão. O domínio é assumido como tridimensional em coordenadas cartesianas. Atenção especial é dada à abordagem de meios porosos presente no trabalho, motivada pelo fato de que poucos autores exibem este tópico com clareza. Um desenvolvimento mais adequado neste ponto visa auxiliar futuros interessados no assunto. Os capítulos seguintes procuram desenvolver o problema numa ordem lógica, apresentando passo-a-passo seus fundamentos e particularidades. Assim, após esta Introdução temos uma Revisão Bibliográfica, onde são discutidos trabalhos clássicos e recentes a respeito de aplicações de CFD a casco-e-tubos. Um capítulo dedicado à Formulação do problema, onde são apresentadas as equações que regem o fenômeno do escoamento no interior do trocador. Um capítulo para Discretização via volumes finitos das mesmas equações e outro com a Modelagem do problema.
  20. 20. 9 No último capítulo são apresentados e discutidos resultados obtidos de um código computacional escrito exclusivamente para resolver a tese. Os mesmos são comparados com simulações feitas com o software comercial HTRI Xchanger Suite® e dados experimentais de um trocador do projeto Delaware.
  21. 21. 10 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 2.1 Feixes Tubulares Em SHA [13] o autor expõe três métodos utilizados na análise térmica e fluidodinâmica de feixes tubulares. O primeiro a ser descrito é chamado de Análise de Subcanais (do inglês Subchannel Analysis), o qual foi utilizado em programas computacionais pioneiros na estimativa de valores locais para os campos de velocidade e temperatura em feixes tubulares. A idéia do método Análise de Subcanais é supor que uma das componentes de velocidade no feixe tubular, geralmente na direção axial aos tubos, é dominante em relação às outras. Desta forma, a solução das componentes não-dominantes pode ser simplificada. No artigo o autor compara uma série de trabalhos mostrando quais termos das equações de conservação foram desprezados ou não. É importante notar que os tubos não são representados de maneira fidedigna na malha empregada neste primeiro método, ou seja, a presença dos tubos é embutida nas equações utilizando-se alguns fatores de forma e parâmetros que contabilizam perda de carga e resistência ao escoamento cruzado. Para considerar rigorosamente a presença dos tubos é preciso escrever as equações de conservação em coordenadas generalizadas e utilizar uma malha que circunde adequadamente os tubos. Apesar da utilização desse tipo de formulação ter se mostrado adequada para feixes tubulares, ela ainda está em desenvolvimento para o problema do trocador completo, com todos os obstáculos e detalhes. Certamente, esta segunda possibilidade delineada pelo autor seria o caminho “direto” para simular o campo de velocidade e temperatura em um permutador casco-
  22. 22. 11 e-tubos. Porém, ainda não foi realizada com sucesso, pois é muito cara computacionalmente; um simples permutador de dimensões medianas requer milhões de células computacionais para que se consigam resultados coerentes, como mostram os recentes e elaborados trabalhos BENHAMADOUCHE e LAURENCE [14] e HASSAN e BARSAMIAN [15], por exemplo. Vale lembrar que a geometria em si, apesar de ser um grande fardo, não é o único fator que torna a solução do problema proibitiva. Além, a questão da turbulência, da convecção natural, do escoamento e transmissão de calor conjugados no lado do casco e lado dos tubos simultaneamente elevam o problema a um patamar de dificuldade notável. De outra forma, é possível considerar a geometria interna do equipamento como parte de uma resistência média local ao escoamento, que elimina a necessidade de empregar um sem-número de elementos de malha que delimite precisamente todos os tubos e preencha as muitas folgas do domínio. O uso de correlações empíricas embutidas nas equações de conservação para contabilizar os efeitos de turbulência, perda de carga e transferência de calor auxilia também este tipo de formulação. Obviamente, esta formulação carrega uma série de aproximações, além da idéia de se utilizar correlações, o que muitas vezes torna o resultado tendencioso ou pré-direcionado. Ainda assim, como descrito em [13], era o único método viável na época para os trocadores completos e continua vigente, mesmo com toda a evolução do CFD. Esta dissertação, por conseguinte, segue essa última vertente, o uso da chamada resistência média local [16]. Logo, os trabalhos revisitados neste capítulo são todos aqueles que, ao longo dos anos, foram mais influentes nesse campo. No capítulo seguinte, essa formulação é explorada e explicada adequadamente.
  23. 23. 12 2.2 Trabalhos Destacados Uma das primeiras aplicações representativas de CFD a permutadores de calor casco-e-tubos data de 1974 e é descrita em PATANKAR e SPALDING [17]. Neste trabalho os autores resolvem – munidos de hipóteses simplificadoras, porém, plausíveis – o problema de escoamento e transferência de calor em um trocador de geometria cartesiana tridimensional. Além do fato de adotarem uma geometria simples, componentes internos do equipamento, como o feixe tubular e as chicanas, foram abordados utilizando uma formulação de resistências distribuídas. Como não houve preocupação de se comparar os resultados obtidos com dados experimentais ou outras fontes, as expressões escolhidas para as resistências foram apenas funções lineares sem significado físico especial. Ainda, os valores de massa específica considerados carregavam informação inerente à geometria interna do equipamento. Como na formulação de média local, as massas específicas foram corrigidas pela razão entre volumes preenchidos de fluido e outros preenchidos de tubos, trazendo à tona a idéia de porosidade. O sistema de equações resolvido era composto de equações de conservação de massa, momentum e energia para um sistema cartesiano tridimensional, considerando os termos difusivos desprezíveis e as propriedades termofísicas constantes (salvo pela correção geométrica já mencionada). O problema foi solucionado para regimes permanente e transiente, num trocador com múltiplos passes no lado dos tubos, temperaturas de entrada prescritas como constantes ou variando periodicamente. Utilizou-se para resolução a metodologia descrita em CARETTO et al. [18] e PATANKAR e SPALDING [19], trabalhos precursores no desenvolvimento do método SIMPLE. BUTTERWORTH [20] fez uma análise de feixes tubulares usando um tensor condutividade hidráulica (ou tensor resistência hidráulica) obtido de correlações empíricas para escoamento unidimensional através de feixes tubulares. Uma simples
  24. 24. 13 hipótese foi assumida, de que as componentes do tensor condutividade dependem somente da magnitude do vetor velocidade e não de sua direção. Isso leva a algumas conclusões úteis e permite assumir isotropia da propriedade condutividade no plano perpendicular aos tubos, tanto quando dispostos em arranjo quadrado ou arranjo triangular equilátero. Com esta contribuição é possível prever a perda de carga em uma direção com dados aquisitados para a outra. O autor ainda compara seus resultados com dados experimentais e alcança boa concordância. Em um trabalho subseqüente, BUTTERWORTH [21] aproveita as conclusões tiradas sobre a isotropia do tensor condutividade para resolver um sistema de equações de massa, momentum e energia em um trocador casco-e-tubos, usando um domínio 2D com uma chicana no centro. Uma equação semi-empírica é proposta para prever o coeficiente de transmissão de calor entre os tubos e fluido do casco, em função da direção do escoamento. O autor obtém estimativas para o campo de pressões, coeficiente de transferência, campos de velocidades, num problema de baixo número de Reynolds, com e sem vazamento através das chicanas. ADACHI et al. [22] segue a mesma linha pela representação do feixe tubular e chicanas através de resistências. No aspecto de discretização, o autor opta por discretizar as equações de conservação usando o Método dos Elementos Finitos. Ele resolve dois casos: um trocador de calor casco-e-tubos e um gerador de vapor, este último com geometria irregular contornada pelo uso de elementos de malha triangulares. O problema é resolvido para domínios bidimensionais e os resultados comparados com dados experimentais, exibindo boa aderência. CARLUCCI et al. [23] descrevem um procedimento computacional para calcular o escoamento e transferência de calor em trocadores casco-e-tubos de diversas configurações. Utilizam-se domínios bidimensionais e procura-se dar ênfase ao trato com os obstáculos internos do equipamento, como tiras selantes, tubos e placas de retenção; uma modelagem baseada em meios porosos faz sentir a presença de todas essas obstruções dentro do equipamento. O procedimento também procura separar a
  25. 25. 14 fronteira de cada componente no domínio de uma forma muito cuidadosa, discriminando permeabilidades e porosidades específicas para cada região do domínio. Os autores simulam casos de fluido monofásico e mistura bifásica homogênea em equipamentos como um condensador de superfície e um refervedor padrão TEMA K (kettle reboiler). Nas equações de quantidade de movimento são embutidos termos de resistência ao escoamento baseados no conceito de permeabilidade, obtidos de BUTTERWORTH [24]. Para a equação de energia é usado um termo de geração com a informação da quantidade de calor local fornecida pelos tubos. Uma vertente no início da década de 1980 optou por utilizar programas de CFD para estudar equipamentos nucleares, mormente aqueles com feixes tubulares. SHA et al. [25] procura centrar seu trabalho em trocadores para serviço com metal líquido. Confrontando a idéia de se utilizar aparatos experimentais onerosos, para se levantar informações do equipamento, o artigo descreve um modelo numérico tridimensional para estimar os campos de pressão, velocidade e temperatura. Com este, os autores atingem uma maior proximidade das características reais do equipamento que seus antecessores; a geometria cilíndrica e tridimensional do domínio é um indicativo disto. O escoamento no interior dos tubos é também resolvido, porém de maneira simplificada, supondo-se que o gradiente de pressão ao longo do comprimento seja constante e conhecido. Mais uma vez, o modelo de resistências e a analogia com meios porosos são repetidos, correlações empíricas para prever a perda de carga e o coeficiente de transmissão do calor em feixes tubulares são embutidas nas equações de conservação de quantidade de movimento e energia. O modelo é ainda validado com dados experimentais, porém, utilizando um domínio com as dimensões radial e longitudinal apenas. Dentre os trabalhos aplicados a equipamentos específicos da indústria pode-se citar WEBSTER [26], que simulou o escoamento e campo de temperaturas num evaporador PFR em operação, assim pôde comparar os resultados computacionais
  26. 26. 15 com os experimentais, obtendo boa aderência. Este equipamento trabalha com uma corrente de sódio escoando no lado do casco e uma corrente de água à temperatura de saturação no lado dos tubos. Nas equações de momentum o autor embute correlações de [7] para perda de carga em escoamento cruzado e usa apenas o conceito de diâmetro hidráulico e uma correlação de escoamento turbulento em tubos para o escoamento no lado do casco paralelo aos tubos. Para a troca térmica, por estar a corrente d’água em mudança de fase, é admitido um coeficiente de transmissão do calor constante no lado dos tubos. Em ANDREWS e PRITHIVIRAJ [27,28], os autores consolidam as idéais propostas em um trabalho anterior [29] para propor um modelo tridimensional, colocalizado e em coordenadas cilíndricas, utilizando o conceito de resistências distribuídas, porosidades e permeabilidades, já mencionados anteriormente, para a modelagem do feixe tubular do permutador de calor. No artigo que trata do escoamento [27], a questão do vazamento de fluido através das folgas entre tubos e chicanas e entre casco e chicanas é relevada utilizando-se relações de Bernoulli para perda de carga e correlações típicas de escoamento em superfícies estendidas e trocadores compactos. A turbulência aqui, além de estar presente nas correlações, é também acoplada ao modelo numérico; os autores adotam o modelo k-ε adicionando termos fontes para a geração de turbulência e dissipação viscosa provocado pelos tubos. No artigo subsequente [28], para tratar a transferência de calor no interior do equipamento, os autores demonstram um procedimento para obter um termo-fonte a ser embutido na equação de energia do sistema. A idéia é toda baseada no uso de um coeficiente global de transmissão de calor, e com este é possível estimar o fluxo de calor entre casco e tubos. Os resultados obtidos são comparados com leituras experimentais do laboratório Argonne para um permutador de casco padrão TEMA E. Tanto a perda de
  27. 27. 16 carga quanto as diferenças de temperatura observadas aderem adequadamente aos resultados do simulador. DUTRA [30], em sua dissertação de doutorado segue uma linha semelhante à de ANDREWS e PRITHIVIRAJ [28], porém aplicando a modelagem de BUTTERWORTH [24] para estimativa de perda de carga no equipamento. Os resultados são comparados com os experimentos com um casco-e-tubos do projeto Delaware e também leituras experimentais do laboratório Argonne.
  28. 28. 17 Capítulo 3 Formulação 3.1 Integração Média O uso de integrações médias é comum em alguns problemas de engenharia. O melhor exemplo para integração média aplicado às equações de quantidade de movimento é o problema da Turbulência. Ela é modelada como uma média da variação local de velocidade ao longo de uma faixa de tempo. Figura 3.1 – Variação de componente de velocidade em um ponto de um escoamento turbulento A figura 3.1 mostra esquematicamente uma situação típica de escoamento turbulento. Uma componente de velocidade medida em um ponto específico do escoamento exibe um comportamento randômico com o tempo. Assim, utilizando uma média temporal é possível obter um valor aproximado da velocidade naquele ponto, na figura representado por .u Analogamente, é possível realizar integrações médias em coordenadas espaciais.
  29. 29. 18 O campo de maior aplicabilidade de média volumétrica local é em meios porosos. A famosa Lei de Darcy, que pode ser expressa na forma da equação (3.1), trata de valores médios para a pressão P e a velocidade v . P k µ ∇ + =v 0 (3.1) Salvo algumas limitações, a equação é útil para descrever o escoamento em um meio poroso não-orientado, ou seja, isotrópico, sem direção preferencial. A variável k representa a permeabilidade, uma propriedade inerente ao meio. Notar que, pelo fato de o meio ser não-orientado, a propriedade k é um escalar, o que não ocorre para um meio orientado. Este último, também chamado de anisotrópico, mostra valores de permeabilidade diferenciados para cada direção do escoamento. Escrevendo a lei de Darcy para este meio, a permeabilidade aparece como um tensor de 2ª ordem K . P µ∇ + ⋅ =-1 K v 0 (3.2) A questão da anisotropia para o problema do trocador de calor será discutida na seção 3.4. 3.2 Operadores Diferenciais Uma vez trabalhando com médias volumétricas locais é preciso adaptar os operadores diferencias gradiente e divergente. O desenvolvimento é aqui apresentado de maneira sucinta, sendo em SLATTERY[16] e WHITAKER[31] explicado com maiores detalhes. Suponha o meio poroso representado na figura 3.2, note que o contorno apresentado é o mais genérico possível, de modo que o equacionamento resultante das deduções possa ser aplicado a qualquer geometria, seja ela de um feixe tubular ou não. Inicialmente, procura-se associar a um ponto z qualquer do domínio uma
  30. 30. 19 média volumétrica local de uma equação diferencial. Por exemplo, a equação da continuidade: ( ) 0 t ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∂ v (3.3) Entenda por “ponto qualquer” um ponto que pode estar localizado tanto na porção líquida do meio quanto na porção sólida. Ao ponto z é associada uma superfície S fechada, cujo volume confinado é V. Ainda, seja ( )fV a parcela do volume V que contém fluido; o valor de ( )fV tende a mudar conforme se caminha dentro do meio poroso, porém é fixo no tempo. Figura 3.2 – Superfície S associada a um ponto z qualquer do meio poroso. Na figura estão representadas as superfícies eS e wS , cuja soma resulta em ( )fS , a superfície dentro de ( )fV em contato com fluido. A equação (3.4) mostra um procedimento de integração média sobre o volume ( )fV , ( ) 1 fV B BdV V ≡ ∫ (3.4)
  31. 31. 20 onde B pode ser um escalar, um vetor ou mesmo um tensor de segunda ordem associado ao fluido. Aplicando esta operação à equação da massa, ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 1 1 ( ) 0 f f f V V V dV V t dV dV V t V ρ ρ ρ ρ ∂⎡ ⎤ + ∇⋅ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∂ + ∇⋅ = ∂ ∫ ∫ ∫ v v (3.5) ou então, ( ) 1 ( ) 0 fV dV t V ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∂ ∫ v (3.6) A variável B representa uma média volumétrica local com respeito ao volume V de uma propriedade B associada ao fluido. Da mesma forma, na equação (3.6) ρ representa uma massa específica média. O termo contendo o operador divergente não foi desenvolvido, pois a idéia de divergência de um parâmetro depende da geometria do poro englobado por S e do ponto z. Semelhante à equação (3.4), temos ( ) 1 fV B BdV V ∇ ≡ ∇∫ (3.7) onde B pode ser um escalar, um vetor ou mesmo um tensor de segunda ordem associado ao fluido. Ou ainda, ( ) 1 fV B BdV V ⎛ ⎞ ∇ ≡ ∇⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ (3.8) A idéia demonstrada em [16,31] é associar à superfície S todos os pontos do domínio. Considera-se uma curva que percorre todo o meio poroso, sendo s o parâmetro que mede o comprimento de arco ao longo desta curva. Após o desenvolvimento devido chega-se ao teorema para média volumétrica de um gradiente.
  32. 32. 21 ( ) ( ) 1 1 1 1 f f w w V V S S B BdV BdV B dV V dB V V B B S V ⎛ ⎞ ∇ ≡ ∇ = ∇ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =∇ ∇ + ∫ ∫ ∫ ∫ n n (3.9) e o teorema para média volumétrica de uma divergência. ( ) 1 1 f w V S dV V dS V ∇⋅ ∇⋅ ≡ ∇⋅ = ∇⋅ + ⋅ ∫ ∫ B B B B nB (3.10) Agora, com os operadores aplicáveis a domínios porosos, podemos integrar as equações da continuidade, quantidade de movimento e energia. 3.3 Equações de Conservação Integradas 3.3.1 Equação de Continuidade Voltando à equação (3.6) e aplicando a relação mostrada na equação (3.10). ( ) 1 ( ) 0 1 ( ) f w V S dV t V dS t V ρ ρ ρ ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∂ ∂ + ∇⋅ + ⋅ ∂ ∫ ∫ v v v n 0= (3.11) O termo de integral na superfície foi anulado na equação acima pois a velocidade do fluido é assumida como zero na parede wS dos poros. Desta forma, ( ) 0 t ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∂ v (3.12)
  33. 33. 22 3.3.2 Equação de Quantidade de Movimento Linear Para obter as equações de conservação de quantidade de movimento linear aplica-se a média volumétrica local à 1a Lei de Cauchy, integrando-a em relação ao volume de fluido ( )fV contido em S. ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) fV dV V t ρ ρ ρ ∂⎡ ⎤ + ∇⋅ −∇⋅ − =⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ Ι ΙΙ ΙΙΙ ∫ v vv Τ f 0 (3.13) Integrando os termos ( )Ι , ( )ΙΙ e ( )ΙΙΙ separadamente. ( ) ( )( ) 1 ( ) fV dV V t t ρ ρ ∂ ∂ Ι = ∂ ∂∫ v v (3.14) ( ) ( )( ) 1 1 ( ) f wV S dV dS V V ρ ρ ρΙΙ ∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∫ ∫vv vv vv n (3.15) ( ) 1 1 ( ) f wV S dV dS V V ΙΙΙ ∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∫ ∫Τ Τ Τ n (3.16) Voltando à equação (3.13) e substituindo os termos (3.14), (3.15) e (3.16), ( ) ( ) 1 wS dS t V ρ ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∇⋅ + + ⋅ ∂ ∫v vv Τ f Τ n (3.17) Fazendo uso do tensor tensão extra S . p= +S Τ Ι (3.18) Substituindo (3.18) em (3.17) ( ) ( ) 1 ( ) wS p dS t V ρ ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∇⋅ −∇⋅ + + ⋅ ∂ ∫v vv S I f Τ n (3.19) Substituindo a identidade tensorial ( )p p∇⋅ = ∇Ι . ( ) ( ) 1 wS p dS t V ρ ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∇⋅ −∇ + + ⋅ ∂ ∫v vv S f Τ n (3.20) O último termo da equação anterior é aquele que relaciona a geometria do meio poroso com a variação de quantidade de movimento no escoamento. Por
  34. 34. 23 simplicidade vamos notar 1 wS dS V = − ⋅∫g Τ n , sendo g o vetor força por unidade de volume que o fluido exerce sobre a parede do poro contido na superfície S. Para um fluido newtoniano incompressível, ( ) T µ ⎡ ⎤= ∇ + ∇ ⎢ ⎥⎣ ⎦ S v v (3.21) Analogamente à equação (3.9), e supondo que velocidade do fluido é nula na parede do poro, temos ( ) 1 1 f wV S dV dS V V ∇ ≡ ∇ + ⋅∫ ∫v v v n ∇ = ∇v v (3.22) O mesmo argumento pode ser usado para mostrar que ( ) ( ) T T ∇ = ∇v v (3.23) Conseqüentemente, ( ) T µ ⎡ ⎤= ∇ + ∇ ⎣ ⎦ S v v (3.24) e ( )µ∇⋅ = ∇⋅ ∇S v (3.25) Reescrevendo a equação (3.20) com as modificações cabíveis, ( ) ( ) ( )p t ρ ρ µ ρ ∂ + ∇⋅ = −∇ + ∇⋅ ∇ + − ∂ v vv v f g (3.26) 1a Lei de Cauchy com média volumétrica aplicada Considerações a respeito do vetor g serão traçadas na seção (3.4) deste capítulo.
  35. 35. 24 3.4 Influência da Matriz Porosa A questão relevante agora é o tratamento da função g . Lembrando que ela possui integrais na superfície wS , que ajudam a definir o comportamento do fluido dentro da matriz porosa. A rigor, o contorno desta superfície deveria ser conhecido para a resolução das equações, porém, na maioria dos problemas em meios porosos a geometria interna do meio é desconhecida. Como a modelagem de meios porosos é mais largamente usada em estudos de solos e materiais porosos, a idéia de utilizar dados experimentais dessas matrizes é certamente óbvia, frente à dificuldade de se definir padrões de geometria. No problema do feixe tubular de um trocador de calor, faz sentido pensar em se obter expressões analíticas para definir a influência da geometria do feixe no escoamento, já que esta é regular e bem definida. Apesar desta vantagem, diversos trabalhos nessa linha tem sido apresentados ao longo dos anos, como KELLER e SACHS [32], SANGANI e ACRIVOS [33] e DRUMMOND e TAHIR [34], e mostrado que esta não é uma tarefa tão simples. Como foi comentado no Capítulo 2, muitas das referências citadas e direcionadas a trocadores casco-e-tubos mostram métodos de predição dos campos de velocidade e temperaturas auxiliados por correlações empíricas. Para bons resultados do comportamento do fluido no equipamento ainda é mais prático e seguro se basear em tais correlações. Para embutir correlações em g , este deve ser trabalhado de tal forma que seja uma transformação linear que leve a informação do plano poroso para o plano físico real.
  36. 36. 25 3.4.1 Vetor g O vetor g é a representação de uma força por unidade de volume definida como 1 wS dS V = − ⋅∫g Τ n (3.27) O sinal negativo na expressão acima designa uma resistência imposta ao escoamento, ou seja, a reação das paredes do meio poroso à força do escoamento. Em SLATTERY[16], é demonstrado com rigor algébrico que g pode ser representado por uma simples relação linear. Especificamente para um meio anisotrópico (orientado) ele assume g como uma função da diferença entre a velocidade média local do fluido v e a velocidade média local do sólido u e de um termo que represente a geometria do meio, que vamos chamar de L : ˆ( , )= −g g v u L (3.28) Para L , o autor sugere o gradiente de um comprimento característico de partícula do meio poroso ( )ˆl l= x , função da posição no domínio, mas vamos tratar apenas com L . Com um pouco de desenvolvimento de matemática tensorial e álbebra, o autor deduz 1 2( )a a= − +g v u L (3.29) Com os valores escalares 1a e 2a dá-se forma polinomial à expressão (3.36). Nestes coeficientes pode ser condensada informação a respeito do meio poroso em questão. Assim, propriedades como viscosidade, efeitos de capilaridade e outros podem ser inseridas nesses termos. A expressão final de g pode assumir diferentes formas a depender do problema que se deseja resolver. Neste trabalho, como fora citado no item (3.4), há pretensão de se empregar correlações empíricas para representar os efeitos que o
  37. 37. 26 meio “feixe tubular” causa no escoamento. O desenvolvimento de g visa apenas dar arcabouço algébrico e tensorial para seguir adiante. De acordo com [16], podemos reescrever g como = ⋅g R v (3.30) Onde R é conhecido como tensor resistência, e v é a velocidade do fluido. A velocidade u , presente nas equações anteriores, é nula para o problema do trocador de calor, pois a parcela sólida do domínio é estacionária. Este tensor tem caracterísitcas especiais por conter informações do domínio, os termos da equação (3.37), por exemplo, estariam implícitos neste tensor. No item a seguir exploramos melhor o tensor R . 3.4.2 Características de R No item anterior chegamos a uma expressão que incluía o tensor resistência R . Tradicionalmente, em problemas de meios porosos, costuma-se utilizar um outro tensor. Ao invés de R emprega-se K , o tensor permeabilidade. Não há problema em desenvolver o tensor permeabilidade no lugar do tensor resistência, uma vez que a relação entre eles é muito simples: ij ij ijK R δ= , onde ijδ é também conhecido como delta de Kronecker. Existe uma gama de trabalhos que desenvolvem este tensor para diversas geometrias. Tomemos como referência os trabalhos de WHITAKER [31] e BUTTERWORTH [20]. No primeiro o autor discorre sobre a simetria do tensor permeabilidade K para dois meios particulares: um meio de obstáculos periodicamente espaçados e outro composto por tubos capilares, ambos largamente estudados na literatura de meios porosos. Note que esses dois problemas remetem à geometria do feixe tubular de trocadores de calor. O autor ainda lista uma série de outros trabalhos que generalizam
  38. 38. 27 a idéia da simetria do tensor K , que é uma questão sempre contundente em problemas de meios porosos. Supondo um vetor ω representando uma direção preferencial, que caracteriza a natureza de um meio anisotrópico, tal que ( ) ( ) = = K Κ ω ω ω x (3.31) Para um meio isotrópico, ω será obviamente nulo e, num feixe tubular, considerando as outras duas direções simétricas, será paralelo aos tubos. Se o meio é simétrico em relação a um plano, então a mudança de coordenadas é do tipo 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ, ,x x x x x x= − = = (3.32) Isto implica em 12 21 31 13 11 22 23 32 33 0 0 0 0 0 ij K K K K K K K K K K = = = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.33) Se mais um plano é simétrico, ou seja, unindo a transformação 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ, ,x x x x x x= − = − = (3.34) com a transformação (3.40), temos 23 32 0K K= = , e o tensor se torna 11 22 33 0 0 0 0 0 0 ij K K K K ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.35) De forma simples, conclui-se que um meio poroso simétrico em relação a dois planos ortogonais deve ser simétrico em relação a um terceiro plano ortogonal. Com isso, apenas os elementos diagonais do tensor são não-nulos; tais meios são denominados ortotrópicos e K é completamente especificado por seus valores principais 1K , 2K e 3K . Algebricamente, pode ser demonstrado que, se K é
  39. 39. 28 simétrico em um sistema coordenado qualquer, ele será simétrico em todos os sistemas. Como só teremos que nos preocupar com as direções principais do tensor, podemos usar um vetor permeabilidade ou um vetor resistência. Butterworth chega a conclusões semelhantes de maneira distinta. Agora, sobre a esfera dos permutadores casco-e-tubos, ele lança mão de resultados experimentais para concluir a questão da simetria para os arranjos tubulares quadrado e triangular. Em seu trabalho [24], usando dados do ESDU (Engineering Sciences Data Unit), ele conclui que arranjos quadrados e triangulares exibem isotropia em relação ao escoamento cruzado. Voltando à equação (3.26), a 1a Lei de Cauchy com média volumétrica, o termo g pode ser reescrito. Na equação (3.38) foi definido que = ⋅g R v , porém, de maneira mais simples adotaremos * =g R (3.36) Baseado nas conclusões expostas anteriomente nesta seção do texto, onde * R é um vetor com as resistências ao escoamento nas três direções ortogonais. 3.5 Equações Governantes Reescrevendo a equação (3.26) com a condição (3.44) temos ( ) ( ) ( ) * p t ρ ρ µ ρ ∂ + ∇⋅ = −∇ + ∇⋅ ∇ + − ∂ v vv v f R (3.37) E agora expandindo a equação anterior num sistema de coordenadas cartesianas, direção x: ( ) 2 2 2 * 2 2 2 x x u uu uv uw p u u u f R t x y z x x y z ρ ρ ρ ρ µ ρ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − + + + + −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.38)
  40. 40. 29 direção y: ( ) 2 2 2 * 2 2 2 y y v vu vv vw p v v v f R t x y z y x y z ρ ρ ρ ρ µ ρ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − + + + + −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.39) direção z: ( ) 2 2 2 * 2 2 2 z z w wu wv ww p w w w f R t x y z y x y z ρ ρ ρ ρ µ ρ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − + + + + −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.40) E adicionando a equação da continuidade, 0 u v w t x y z ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (3.41) Temos um sistema de equações diferenciais parciais na forma conservativa. Este rege o comportamento do fluido dentro da matriz porosa do equipamento. Existem algumas diferenças em relação ao sistema de equações tradicional de Navier-Stokes, o campo de velocidades encontrado da solução deste problema não é exatamente o mesmo se os tubos fossem representados como já foi comentado em capítulos anteriores. Com a solução das equações (3.46 – 3.49) espera-se encontrar um campo de velocidades no plano transformado do meio poroso. Não nos interessa porém, fazer a transformação inversa neste caso, já que para efeito de análise qualitativa do problema o campo v já satisfaz. Em relação ao campo de pressões, o interesse está apenas no diferencial entre a entrada e algum ponto do domínio para estimativa da perda de carga local. As grandezas massa específica média ρ , força externa por unidade de massa média f e o vetor de resistências * R serão discutidos posteriormente quando se for tratar do modelo empregado na solução.
  41. 41. 30 Capítulo 4 Discretização das Equações de Conservação 4.1 Propriedades de Esquemas de Discretização Métodos numéricos, em geral, são usados para resolver equações diferenciais ou sistemas de equações diferenciais. Quando não é possível obter a solução analítica e opta-se por um método numérico, usa-se um método de discretização que aproxima as equações diferenciais por um sistema de equações algébricas que pode ser solucionado com auxílio do computador. As aproximações são aplicadas a pequenos domínios no espaço e tempo de modo que a solução numérica fornece resultados em um número discreto de pontos do domínio. Isso implica em um erro associado, espera-se que quanto maior o número de pontos e melhor a discretização utilizados, menor será este erro. Em teoria, um número infinito de células computacionais traria a solução exata independente do método de discretização empregado. Entretanto, na prática só é possível empregar um número finito (e muitas vezes reduzido) de células computacionais. O que garante que tenhamos um solução fisicamente realística a despeito dessas limitações são algumas propriedades que o esquema de discretização deve ter. FERZIGER et al. [35] descrevem uma série de propriedades que métodos númericos e esquemas de discretização devem apresentar para uma boa solução. Consistência, estabilidade, convergência e acurácia são alguns deles, porém damos atenção aqui a duas outras propriedades: conservação, limitação e transportividade. Um vez que as equações resolvidas são leis de conservação, o esquema numérico deve respeitá-las. Isso significa que, num fenômeno permanente a
  42. 42. 31 quantidade de energia (sob a forma de calor, quantidade de movimento etc) que entra no volume de controle deve ser igual à quantidade que deixa o mesmo. Assim, a propriedade conservação é mais facilmente garantida quando emprega-se equações diferenciais na forma conservativa, escolhe-se bem as aproximações e trata-se bem dos termos-fonte, de modo que não haja desequilíbrio de quantidades no domínio. As soluções numéricas devem também estar limitadas aos valores fixados em suas fronteiras. A propriedade de limitação indica que deve haver conformidade entre os valores da variável e os especificados na fronteira. Por exemplo, um campo de temperaturas nunca poderá apresentar temperaturas maiores das que especificadas nas fronteiras em um problema em que não haja termo-fonte e de temperaturas prescritas. A transportividade trata do carreamento de informação advectiva (convectiva) e/ou difusiva através do domínio. Em termos práticos o número de Peclet é utilizado para medir a dominância advectiva ou difusiva do escoamento: • Difusão pura ( )0Pe = • Advecção pura ( )Pe → ∞ Em problemas de difusão dominante o volume de cotrole em questão é bastante influenciado pelos adjacentes e pelos valores de fronteira. Já numa situação de advecção dominante, pensando num problema unidimensional, o volume em questão é pouco influenciado pelos valores a jusante e fortemente influenciado por valores à montante. Com isso, o esquema de discretização deve atentar para esses detalhes, relacionando a magnitude do Pe com a direcionalidade do escoamento.
  43. 43. 32 4.2 Método dos Volumes Finitos No método de Volumes Finitos (MVF) o domínio é discretizado em volumes elementares numa malha onde são definidas as fronteiras destes, ao contrário do método de Diferenças Finitas, onde a malha é definida por pontos nodais. O conceito chave do MVF é o princípio de conservação de uma certa grandeza física expressa por equações governantes num volume de controle. A discretização em Volumes Finitos representa melhor esta idéia do que em Diferenças Finitas pois trabalha com a forma integral das equações de conservação sobre os volumes, ao invés de apenas substituir derivadas por expressões algébricas. No centro de cada volume de controle está um nó computacional onde os valores da variável são calculados. Uma interpolação é usada para estimar o valor da variável nas superfícies dos volumes em termos dos valores nos pontos nodais. Por exemplo, para ilustrar a idéia do método, considere uma equação de conservação arbitrária (4.1) e o volume elementar mostrado na figura 4.1 F S t ∂ + ∇⋅ = ∂ G (4.1) Figura 4.1 – Volume de controle elementar
  44. 44. 33 onde F e G são grandezas físicas que representam fluxos de uma determinada propriedade e S um termo fonte da equação. Por exemplo, para um problema unidimensional de condução do calor em função da temperatura em coordenadas cartesianas, tem-se pF c Tρ= (4.2) =G q (4.3) onde ρ é a massa específica, T a temperatura e q o fluxo de calor que, considerando o meio como condutor Fourier de propriedades constantes, fazemos t T k x ∂ = − ⋅ ∂ xq n . Assim, ( )p t T c T k S t x x ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (4.4) O domínio é discretizado por uma malha como a mostrada na figura (4.2). Os pontos representados por letras maiúsculas são os pontos nodais dos volumes de controle. A superfície do volume de controle pode ser dividida em duas (caso 1D), quarto (caso 2D) e seis (caso 3D) faces, representadas por letras minúsculas correspondentes àquela direção (e, w, n, s, t, b) com respeito ao ponto central P. 4.2 – Volumes e fronteiras Integrando a equação (4.4) com base nesta malha e supondo que os volumes estejam igualmente espaçados de x∆ .
  45. 45. 34 ( ) ( ) ( ) ( ) t t e t t e t t e p tt w t w t w T c T dxdt k dxdt Sdxdt t x x ρ +∆ +∆ +∆∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Ι ΙΙ ΙΙΙ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (4.5) ( ) ( ) ( )0 0 t t e p p P P P Pt w c T dxdt c x T T t ρ ρ ρ +∆ ∂ Ι = ∆ − ∂∫ ∫ ( ) t t e t t t t tt w t e w T T T k dxdt k k dt x x x x +∆ +∆ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ΙΙ = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) t t e t t P P Ct w t Sdxdt S T S xdt +∆ +∆ ΙΙΙ = + ∆∫ ∫ ∫ Percebe-se que o termo fonte da equação (III) foi linearizado em função da temperatura, este é um artifício instigantemente discutido em algumas referências bibliográficas para evitar instabilidade numérica, como em PATANKAR [36]. Convenciona-se para os termos relacionados à variável tempo, não usar sobrescrito para o nível de tempo atual t t+ ∆ , e usar sobrescrito “0” para o nível de tempo anterior. Usando o sobrescrito θ para simbolizar as integrações no tempo, a equação (4.5) fica, ( ) ( )0 0 p P P P P t t P P C e w T T c x T T k k t S T S x t x x θ θ θ ρ ρ ⎡ ⎤∂ ∂ ∆ − = − ∆ + + ∆ ∆⎢ ⎥ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.6) Ainda é preciso achar uma forma discreta de se escrever os termos de derivada na equação (4.6). Estes termos são avaliados nas faces dos volumes de controle e podem ser obtidos a partir de valores nos centros dos volumes de controle vizinhos, com o que chamamos de função de interpolação espacial. Neste caso, uma boa aproximação pode ser alcançada substituindo as derivadas por expressões de segunda ordem de diferenças centradas em e . Logo, E P e T TT x x θ θ θ −∂ = ∂ ∆ (4.7)
  46. 46. 35 P W w T TT x x θ θ θ −∂ = ∂ ∆ (4.8) Da mesma forma, os termos com sobrescrito θ exigem tratamento especial, já que dentro do intervalo t∆ o comportamento da temperatura é desconhecido. Assim, também é preciso utilizar uma função de interpolação temporal. A maioria dos textos de métodos numéricos classificam estas funções em três categorias: explícita, implícita e totalmente implícita. Como este é um tópico que gera muitos desdobramentos, não será tratado aqui com detalhes. Portanto, todas as discretizações temporais utilizadas daqui por diante serão do tipo totalmente implícita, o que gera T Tθ = , vide MALISKA [37]. Substituindo (4.7) e (4.8) e a hipótese de formulação totalmente implícita na equação (4.6), ( ) ( )0 0 P WE P p P P P P t t P P C T TT T c x T T k k t S T S x t x x ρ ρ ⎡ ⎤−− ∆ − = − ∆ + + ∆ ∆⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦ (4.9) Esta equação pode ser rearranjada da forma, P P E E W W Pa T a T a T b= + + (4.10) que caracteriza um sistema linear, 0 0 0 0 0 0 W W P E P P E T a a a T b T ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.11) onde, E W k a a x = = ∆ (4.12) 0 0 P P P c x a t ρ ∆ = ∆ (4.13) 0 0 P C P Pb S x a T= ∆ + (4.14)
  47. 47. 36 0 P E W P Pa a a a S x= + + − ∆ (4.15) O desenvolvimento aqui apresentado pode ser repetido para outras grandezas e propriedades, além da equação de energia podemos armar um sistema para conservação de quantidade de movimento ou equação de concentração de espécies, por exemplo. Basta escolher as variáveis adequadas nas equações (4.1 – 4.3) e repetir o procedimento algébrico. 4.3 Esquemas de Interpolação Considerando o problema de advecção-difusão unidimensional de uma propriedade φ sem o termo trasiente nem o termo-fonte ( )u x x x φ ρ φ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = Γ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (4.16) Da integração dessa equação no volume de controle da figura (4.2), temos e w e w u u x x φ φ ρ φ ρ φ ∂ ∂ − = Γ − Γ ∂ ∂ (4.17) O esquema de interpolação tem por objetivo determinar os valores da variável e/ou fluxo na face do volume elementar usando a informação dos pontos nodais do domínio, conectando os mesmos. O método mais óbvio empregado para interpolação dos valores nas fronteiras é o das diferenças centrais ou central differencial scheme (CDS) por ser simples e de fácil implementação. Aplicando o CDS à equação (4.17) resulta ( ) ( )( ) ( ) 2 2 P W P WE P E P u u x x φ φ φ φφ φ φ φ ρ ρ + −+ − − = Γ − Γ ∆ ∆ (4.18) Esta equação também pode ser arranjada da forma P P E E W Wa a aφ φ φ= + (4.19) com os coeficientes
  48. 48. 37 2 2 2 2 2 2 P e w a x u a x x u a x x ρ ρ Γ = ∆ Γ = − + ∆ ∆ Γ = + ∆ ∆ (4.20) Sabe-se que (ver PATANKAR[36]), na resolução de sistemas lineares via métodos iterativos é importante haver a positividade dos coeficientes da matriz para se garantir convergência. Para uma velocidade u positiva e para que ea seja positivo, a seguinte relação deve ser respeitada 2 u xρ ∆ ≤ Γ (4.21) O lado esquerdo da expressão acima é conhecido como número de Peclet de malha. Assim, para velocidades crescentes, é necessário refinar a malha (reduzir x∆ ) para que a relação se mantenha. Ocorre, porém, que o uso de diferenças centrais como função de interpolação cria geralmente, coeficientes negativos, e não é possível refinar indefinidamente a malha para respeitar a inequação (4.21). Para evitar o aparecimento de coeficientes negativos lança-se mão do esquema upwind (UDS). A aproximação para eφ tem a seguinte forma 0 0 P e E u u φ φ φ ⎧ >⎪ = ⎨ <⎪⎩ (4.22) Este é porém um método numericamente difusivo, e essa difusão é amplificada em problemas multidimensionais se o escoamento é oblíquo à malha; o erro de truncamento produz difusão também na direção normal ao escoamento, assim como na direção da corrente. Picos ou variações bruscas nas variáveis serão amenizados na solução e, em geral para resultados acurados será necessário o uso de malhas refinadas. Entre as técnicas que atendem bem a uma maior variedade de escoamentos temos o esquema exponencial Power Law [36], o esquema QUICK ((Quadratic Upwind
  49. 49. 38 Interpolation for Convective Kinematics) de LEONARD [38], que usa interpolações quadráticas e outros. O método utilizado neste trabalho para interpolar os valores do centro dos volumes para as interfaces foi originalmente proposto por RAITHBY e TORRANCE [39]. A função de interpolação WUDS (Weighted Upstream Differencing Scheme) utiliza dois coeficientes, α e β, que dependem do número de Peclet de malha e servem como pesos entre a característica advectiva ou difusiva do problema. Este método têm sido utilizado de maneira bem sucedida em diversos trabalhos, como em COLAÇO [40], onde o autor compara problemas resolvidos com o WUDS e o recente método UTOPIA, do tipo upwind de terceira ordem. Os resultados obtidos via WUDS foram mais favoráveis do ponto de vista de tempo de processamento computacional. Os valores de φ e suas derivadas nas interfaces são escritos tomando a face leste como exemplo, como: 1 1 2 2 e e P e Eφ α φ α φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.23) E P e e ex x φ φφ β ⎛ ⎞−∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∆⎝ ⎠ (4.24) As expressões para α e β são deduzidas na forma exponencial, porém expressões mais simples são sugeridas por RAITHBY [41]: ( ) 2 2 sign 10 2 e Pe Pe Pe α = + (4.25) 2 2 1 0,005 1 0,05 e Pe Pe β + = + (4.26) lembrando que a expressão para o número de Peclet de malha está expressa pela equação (4.21). Na equação (4.25), ( )sign x é a função sinal de x, ou seja, ( ) 1 0 sign 1 0 x x x − <⎧⎪ = ⎨ + >⎪⎩ (4.27)
  50. 50. 39 4.4 Integração das Equações de Conservação Aqui é apresentada a integração das equações para advecção-difusão num volume de controle tridimensional em coordenadas cartesianas. Generalizando, utiliza- se para desenvolver a equação a váriável φ , que pode representar grandezas como componentes do vetor velocidade, temperatura, concentração e outras, a depender do problema. Assim, temos a equação de advecção-difusão para um volume elementar cartesiano: ( ) ( ) ( ) ( )u v w t x y z S x x y y z z φ ρφ ρ φ ρ φ ρ φ φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Γ + Γ + Γ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.28) Esta equação será integrada no tempo e no espaço mostrado na Figura 4.3, o que equivale a aplicar à equação o operador [ ] , ... V t dVdt∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , I II III IV V VI VII VIII V t V t V t V t V t V t V t V t dVdt u dVdt v dVdt w dVdt t x y z dVdt dVdt dVdt S dVdt x x y y z z φ ρφ ρ φ ρ φ ρ φ φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Γ + Γ + Γ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (4.29)
  51. 51. 40 Figura 4.3 – Volume elementar para integração Usando fluxos de massa e coeficientes difusivos escrevemos 0 0 P P P P e e w w n n s s f f b b e w n s f b e w n s f b m m m m m m m m t d d d d d d L S x x x x x x φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ − + − + − + − = ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤− + − + − + ⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.30) Onde, e we w m u y z m u y zρ ρ= ∆ ∆ = ∆ ∆ (4.31) n sn s m v x z m v x zρ ρ= ∆ ∆ = ∆ ∆ (4.32) f bf b m w x y m w x yρ ρ= ∆ ∆ = ∆ ∆ (4.33) e we w d y z d y z= Γ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (4.34) n sn s d y z d y z= Γ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (4.35) f bf b d y z d y z= Γ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (4.36) Empregando a função de interpolação do método WUDS,
  52. 52. 41 termos advectivos: 1 1 2 2 e e P e Eφ α φ α φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.37) 1 1 2 2 w w W w Pφ α φ α φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.38) 1 1 2 2 n n P n Nφ α φ α φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.39) 1 1 2 2 s s S s Pφ α φ α φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.40) 1 1 2 2 f f P f Fφ α φ α φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.41) 1 1 2 2 b b B b Pφ α φ α φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.42) termos difusivos: E P e e e e ex x φ φφ β ⎛ ⎞−∂⎛ ⎞ Γ = Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.43) P W w w w w wx x φ φφ β ⎛ ⎞−∂⎛ ⎞ Γ = Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.44) N P n n n nn y y φ φφ β ⎛ ⎞⎛ ⎞ −∂ Γ = Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.45) P S s s s ss y y φ φφ β ⎛ ⎞⎛ ⎞ −∂ Γ = Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.46) F P f f f f fz z φ φφ β ⎛ ⎞−∂⎛ ⎞ Γ = Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.47) P B b b b b bz z φ φφ β ⎛ ⎞−∂⎛ ⎞ Γ = Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.48)
  53. 53. 42 Desenvolvendo as equações (4.23 – 4.41) é possível obter uma forma matrical para o sistema de equações. Para maiores detalhes, ver MALISKA [37]. Os coeficientes da matriz do sistema são mostrados abaixo: 0 0P P P P P e E w W n N s S f F b B P C m m a a a a a a a S V t t φ φ φ φ φ φ φ φ φ+ = + + + + + + + ∆ ∆ ∆ (4.49) onde 0 P P P e w n s f b P m m a a a a a a a S V t t = + + + + + − ∆ − + ∆ ∆ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 e e e e e w w w w w n n n n n s s s s s f f f f f b b b b b a m d x a m d x a m d y a m d y a m d z a m d y β α β α β α β α β α β α ⎛ ⎞ = − − +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − − +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − − +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ (4.50) Para cada volume elementar do domínio são aplicados esses coeficientes, de forma a compôr um sistema de equações algébricas que podem ser resolvidas lançando mão de um método para resolução de sistemas lineares. Mais informações sobre os métodos iterativos para resolução de matrizes serão dadas em capítulo posterior.
  54. 54. 43 4.5 Acoplamento Pressão-Velocidade Em escoamentos compressíveis a baixas velocidades a equação de continuidade pode ser usada para determinar a densidade e a pressão é calculada de uma equação de estado. Entretanto, a solução das equações de Navier-Stokes em escoamentos incompressíveis se complica com a falta de uma equação independente para a pressão, cujo gradiente contribua para cada uma das três equações de momentum. 4.5.1 O Método SIMPLE Uma forma de driblar essa dificuldade é construir o campo de pressão de modo que ele satisfaça a equação da continuidade. Notar que a pressão absoluta não terá importância em um escoamento incompressível; apenas o gradiente de pressão afeta o escoamento. Uma metodologia eficiente para solucionar o problema foi proposta originalmente em [17,18]. No algoritmo SIMPLE (Semi Implicit Linked Equations) os fluxos convectivos por unidade de massa através das células são calculados para componentes de velocidade estimados. Além disso, um campo de pressões, também estimado, é usado para resolver as equações de momentum e uma equação para correção da pressão estimada, deduzida a partir da equação da continuidade. A equação de correção é resolvida para se obter um campo de correção de pressão, o qual atualiza os campos de velocidades e pressão originais. O processo é iterativo até a convergência dos campos de velocidade e de pressão. 4.5.2 Arranjos da Malha A escolha mais óbvia para as variáveis na malha seria armazená-las todas no mesmo conjunto de pontos e usar os mesmos volumes de controles para elas. Uma malha deste tipo é chamada de colocalizada (do inglês colocated), ver figura (4.4).
  55. 55. 44 Uma vez que muitos dos termos nas equações são idênticos, o número de coeficientes acaba sendo minimizado e a programação se torna mais fácil. O arranjo colocalizado têm também grandes vantagens para domínios de geometrias mais complexas, especialmente quando as fronteiras têm descontinuidades de inclinação e as condições de contorno são descontínuas. No entanto, o arranjo colocalizado foi durante algum tempo deixado à margem devido a dificuldades no acoplamento pressão-velocidade e ocorrência de oscilações na pressão. Seu uso se acentuou com malhas não-ortogonais para resolução de problemas de geometria complexa e após surgirem técnicas para lidar com os problema citados. Por outro lado, um outro tipo de arranjo (ver figura 4.4), o deslocado (do inglês staggered), introduzido nos anos 60, oferece um série de vantagens em relação ao arranjo colocalizado. Alguns termos que requerem interpolação no arranjo colocalizado podem ser obtidos sem interpolação alguma. De maneira análoga, o cálculo dos fluxos na equação da continuidade nas faces do volume de controle da pressão é direto. Figura 4.4 – Arranjos de Malha Colocalizado e Deslocado
  56. 56. 45 O problema do arranjo deslocado está no seu uso com coordenadas generalizadas, no qual ele se restringe a casos geométricos específicos. Mesmo assim introduzindo termos de curvatura de difíceis de assimilar e tratar numericamente. Neste trabalho escolheu-se usar o arranjo deslocado por estar se tratando uma geometria simples e para evitar interpolações adicionais, a despeito de precisar alocar mais memória para vetores no programa. 4.5.3 O Algoritmo SIMPLE/SIMPLEC Para iniciar o cálculo do SIMPLE um campo de pressão *p é estimado. Dois passos básicos devem ser seguidos então: as velocidades são corrigidas de modo a satisfazer a equação de conservação da massa; depois as pressões são avançadas para completar o ciclo iterativo. No método SIMPLE, um campo de pressão deve ser inserido na equação (4.49). Escrevendo-a na forma das três componentes de velocidade estimadas de Navier-Stokes, as equações de momentum para as componentes *u , *v e *w são * * * * * * * * * * * * ( ) ( ) ( ) P P nb nb w e P P P P nb nb s n P P P P nb nb b f P P a u a u p p A b a v a v p p A b a w a w p p A b = + − + = + − + = + − + ∑ ∑ ∑ (4.51) O termo Pb é equivalente ao vetor b em um sistema linear do tipo ⋅A x = b , nele devem ser adicionados os termos explícitos do sistema para a resolução. O termo PA representa da seção no centro do volume de controle. Agora, define-se a correção 'p como a diferença entre o campo de pressão original e o campo estimado, * 'p p p= + (4.52) Analogamente, defide-se correções para as velocidades,
  57. 57. 46 * ' * ' * ' u u u v v v w w w = + = + = + (4.53) Com algum desenvolvimento algébrico (ver PATANKAR[36]), chega-se às equações * ' ' * ' ' * ' ' ( ) ( ) ( ) P P P w e P P P s n P P P b f P P P u u d p p v v d p p w w d p p A d a = + − = + − = + − = (4.54) Agregando os termos de (4.54) à equação da continuidade, é possível organizar as expressões em forma de coeficientes para um sistema linear. ' ' ' ' ' ' ' ' P P E E W W N N S S F F B B Pa p a p a p a p a p a p a p b= + + + + + + (4.55) onde P E W N S F Ba a a a a a a= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' * * * * * * E e W w N n S s F f B b P w e s n b f a Ad a Ad a Ad a Ad a Ad a Ad b u A u A v A v A w A w A ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = = = = = − + − + − (4.56) A equação (4.55) representa a equação da continuidade como uma equação de correção da pressão. O algoritmo SIMPLEC (SIMPLE-Consistent), usado neste trabalho, é uma simples expansão do SIMPLE. Por exemplo, a equação de correção da velocidade u no SIMPLEC seria
  58. 58. 47 * ' ' ( )P P P w eu u d p p= + − com P P P nb A d a a = − ∑ . Abaixo consta o ciclo iterativo para a resolução do acoplamento pressão-velocidade com a aplicação do algoritmo SIMPLEC: 1. Estimar os campos * u , * v , * w e * p . 2. Calcular os coeficientes das equações de movimento para u , v e w . 3. Resolver os sistemas lineares, usando * p , obtendo * u , * v e * w . 4. Resolver a equação (4.55) e obter ' p . 5. Corrigir * u , * v e * w com as equações (4.54). 6. Calcular p usando a equação (4.52). 7. Fazer * p p= e repetir o ciclo a partir de (2) até a convergência. No capítulo seguinte, vamos aplicar as idéias exploradas nos capítulos 3 e 4 especificamente ao problema proposto do permutador de calor.
  59. 59. 48 Capítulo 5 Modelagem 5.1 Resistências Distribuídas Desde TINKER [8], a abordagem da perda-de-carga no permutador casco-e- tubos tem sido feita por segmentos do equipamento. Desta forma, chicanas, janelas, folga entre casco e chicanas, folga entre tubos e chicanas, by-pass e interações com obstáculos diversos do equipamento são tratados separadamente, cada um dando sua contribuição para a perda de carga. Isso sem mencionar o feixe tubular, que foi durante décadas motivação de estudo no campo de mecânica dos fluidos e transferência de calor. Num problema de análise local, como é o caso do abordado neste trabalho, nem todas essas seções do equipamento devem receber correlações especiais. Escoamento pelas janelas, bypass não precisam de tratamento especial, ao passo que o feixe tubular e as chicanas sim. No nosso problema as resistências ao escoamento precisam ser equacionadas de alguma forma; já foi mostrado no Capítulo 3 que a resistência inerente ao feixe tubular está contemplada no vetor * R , em suas componentes * xR , * yR e * zR . As componentes do vetor * R têm a dimensão de um gradiente de pressão, por exemplo, * xR tem a mesma dimensão de p x ∂ ∂ . Uma expressão para a componente x desse gradiente tem a forma 2 * 4 2 x t p f u R x d ρ∂ = = − ∂ (5.1)
  60. 60. 49 Onde u é a componente x do vetor velocidade média, td o diâmetro dos tubos de troca e f o fator de atrito, a questão principal agora é determinar este último baseado na idéia da média local. Alguns autores dedicaram bastante tempo ao estudo de perda de carga em escoamentos em feixes tubulares, destacam-se ŽUKAUSKAS [7] e BELL[8]. Inclusive ANDREWS[27] adapta as correlações de [7] para trabalhar com médias locais. O problema desta dissertação usa, no entanto, os conceitos introduzidos por Butterworth em [20,21,24] para introduzir a influência do feixe tubular nas equações de Navier- Stokes adaptadas à média local. Em BUTTERWORTH [24] o autor apresenta uma série de correlações usando a forma da equação de perda de carga em escoamento cruzado em feixes tubulares. Ele estende a análise a arranjos quadrados e triangulares (ver figuras 5.1 e 5.2), pois estes exibem isotropia no plano perpendicular ao eixo dos tubos (conforme foi comentado no Capítulo 3) e esta propriedade é usada na construção da correlação. Os dados usados inicialmente na produção da correlação foram pontos extraídos de curvas do Engineering Sciences Data Unit (ESDU). O autor ainda divide as correlações em escoamentos de baixo e alto Reynolds. Nas tabelas 5.1 a 5.3 são ilustrados resultados encontrados em [24], que usamos no código computacional da tese. Nos trabalhos [20,21] o autor achou conveniente usar a seguinte equação relacionando a velocidade ao gradiente de pressão k dp u dxµ = − (5.2) Esta forma de equação é comumente usada em problemas de meios porosos e k é a propriedade chamada permeabilidade [42].
  61. 61. 50 Figura 5.1 – Arranjo quadrado para o feixe tubular (figura extraída de LIENHARD IV et al.[43]) Figura 5.2 – Arranjo triangular para o feixe tubular (figura extraída de LIENHARD IV et al.[43])
  62. 62. 51 Tabela 5.1 – Resultados de k para escoamentos lentos em arranjos quadrados e quadrados rodados t t p d Arranjo 2 3t 3 t V kp ×10 d D 1,25 Quadrado 4,48 1,25 Quadrado rodado 4,48 1,3 Quadrado 4,15 1,4 Quadrado 3,90 1,5 Quadrado 4,23 1,75 Quadrado 4,49 2,0 Quadrado 4,16 Tabela 5.2 – Resultados de k para escoamentos lentos em arranjos triangulares t t p d 2 3t 3 t V kp ×10 d D 1,25 6,9 1,5 6,7 Outras grandezas em questão são tp , o pitch (distância entre centros dos tubos de troca) e VD , o diâmetro equivalente volumétrico, dado pelas expressões Arranjo quadrado e quadrado rodado Arranjo triangular e triangular rodado 2 2 4 t t t p d d π π − 2 2 2 3 t t t p d d π π − Estes valores são aplicados às equações do modelo usando as equações (5.1) e (5.2). Destas equações temos que
  63. 63. 52 2 2Re td f k = (5.3) Onde Re é o número de Reynolds local com base no diâmetro dos tubos. Tabela 5.3 – Resultados de k para escoamentos na direção axial Arranjo 2 t 3 t V kp d D Quadrados 2 2,43 10− × Triangulares 2 2,84 10− × Dentre alguns trabalhos que usaram a mesma metodologia estão CARLUCCI et al.[23], WEBSTER[26] e DUTRA[30]. A questão agora é inserir as resistências citadas no termo-fonte das equações de momentum e dar tratamento adequando a este, uma vez que há exigências especiais para o mesmo. 5.2 Tratamento do Termo-Fonte PATANKAR [36] enuncia um conjunto de regras imprescindíveis para o sucesso do método numérico, e dentre elas há uma que trata do termo-fonte. Primeiro, convém criar uma dependência linear entre o termo-fonte e a variável principal, pois as equações discretizadas são resolvidas por técnicas para equações algébricas lineares. Relembrando, o termo L Sφ ⎡ ⎤⎣ ⎦ da equação (4.30) fora discretizado da forma P P CS S Sφ φ= + (5.4) Desta maneira, espera-se evitar instabilidades no processo. Aproximar o termo-fonte por uma equação que depende da grandeza em resolução faz com que o mesmo atue implicitamente no processo iterativo.
  64. 64. 53 Ao mesmo tempo é necessário que a reta representada pela equação linear do termo-fonte tenha inclinação negativa. Se considerarmos os coeficientes definidos nas equações (4.50), nota-se que, mesmo que os coeficientes vizinhos ao volume de controle sejam positivos, o coeficiente do ponto central pode se tornar negativo por influência de PS . Isso não pode acontecer para a convergência adequada de sistemas lineares resolvidos por método iterativos. Assim, de alguma forma, é necessário manter PS com valor menor ou igual a zero. O termo-fonte será tornado implícito pela variável velocidade, porém, a equação (5.1) é quadrática com respeito a essa variável. Seguindo a mesma orientação de outros autores [25,26,27,30] uma forma de driblar este problema é fazendo, por exemplo * 4 2 x t f R u d ρ = U (5.5) Onde U é o módulo do vetor velocidade no ponto em análise. Para efeito de organização vamos fazer 4 x t f R d = , logo * 1 2 x xR R uρ= U (5.6) Linearizando o termo-fonte de acordo com a equação (5.4) e respeitando a negatividade de PS , os coeficientes das equações de termo-fonte para as três direções cartesianas seriam 1 2 1 2 1 2 x x y y z z C x P x C y P y C z P z S R u S R S R v S R S R w S R ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = − = = − = = − U U U U U U (5.7)
  65. 65. 54 5.3 Obstáculos no Domínio O permutador de calor casco-e-tubos é internamente todo composto de obstáculos ao escoamento do fluido. Além do feixe tubular podemos encontrar chicanas, tiras selantes, placas defletoras, tirantes, olhais para içar o feixe e outros acessórios. Neste trabalho só iremos nos preocupar com os dois principais itens internos do equipamento: os tubos e as chicanas. 5.3.1 Chicanas Com o uso de coordenadas generalizadas é possível circundar obstáculos do domínio como chicanas e outros, porém, existe um artifício computacional que simplifica o problema. É possível forçar que pontos do domínio tenham valores desejados com um procedimento muito simples. Usando coeficientes bastante elevados no termo-fonte num ponto do domínio, este pode assumir um valor de variável qualquer pois há influência direta nos resultados da solução do sistema linear. Por exemplo, supondo que usemos para o termo-fonte os seguintes valores 30 30 10 10P C fixoS S φ= − = (5.8) Este coeficientes acabam incluídos dentro das equações discretizadas na forma ( )30 30 10 10P P nb nb fixoa aφ φ φ+ = +∑ (5.9) Na figura a seguir podemos ver o efeito de tal manobra num caso teste, neste caso fixamos os valores de termo-fonte em várias faces do domínio.
  66. 66. 55 Figura 5.3 – Esquema mostrando o efeito de fixar valores elevados para o termo-fonte em uma face qualquer do domínio. Nos sistemas lineares o efeito ocorre conforme mostra a equação (5.10), o coeficiente Pa praticamente assume o valor de 30 10 . 1 3030 0 0 100 10 0 0 0 P W m m fixoW E E P n ba ba a a b φ φ φ φ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.10) Os outros valores na linha da matriz acabam tornando-se desprezíveis frente a 30 10 , ou seja, 30 30 30 10 10 10 fixo m m W W m E E b a a φ φ φ φ φ (5.11) Logo, teremos em determinada altura da solução 30 30 10 10m fixoφ φ= ou m fixoφ φ= .
  67. 67. 56 Da mesma forma podemos simular nas chicanas algo como vazamentos via termo-fonte, basta aplicar uma correlação adequada, como nos trabalhos ANDREWS et al. [27] e YANG et al. [44]. 5.3.2 Tubos PATANKAR e SPALDING[19] foram os primeiros a elaborar uma simulação de casco-e-tubos usando a idéia de porosidade de maneira indireta (por não apresentarem uma fundamentação em meios porosos), utilizando valores de massa específica modificadas nas equações de conservação. Voltando ao Capítulo 3, as equações (3.46 – 3.49) contêm termos médios, no caso dos variáveis dependentes (velocidade e pressão) teremos resultados num “plano poroso” como já foi discutido. A massa específica, a princípio, também deverá sofrer modificação pois trata-se de um termo de entrada na solução ao qual foram aplicados operadores de média local. Em ρ está implícita uma razão entre a massa específica do fluido e a parcela sólida do domínio, ou seja, uma razão entre os volumes sólido e vazio do meio poroso. Define-se um termo η como a porosidade volumétrica local volume de fluido volume total η = (5.12) Como ρ está associado ao volume total, extraímos a relação com η diretamente ρ ηρ= (5.13) A porosidade é deduzida geometricamente para cada arranjo no feixe tubular, de acordo com CARLUCCI [24] temos as expressões arranjo quadrado: 2 1 4 t t d p π η ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (5.14) arranjo triangular:
  68. 68. 57 2 1 2 3 t t d p π η ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (5.15) 5.4 Condições de contorno São aplicadas ao domínio as seguintes condições de contorno, na página seguinte um desenho esquemático resume as mesmas. paredes: 0u v w= = = (5.16) plano de simetria: 0 0 0 v w u x x ∂ ∂ = = = ∂ ∂ (5.17) bocal de entrada: 0 0entu v v w= = = (5.18) bocal de saída: 0 0 0 u v w y y y ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ (5.19)
  69. 69. 58 y x z Parede 0u v w= = = Entrada Saída Face anterior Face posterior Simetria 0 0 0 u v x w x = ∂ = ∂ ∂ = ∂ 0u v w= = = 0u v w= = = 0 0 0 u v w y y y ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ 0 0entu v v w= = = y x Figura 5.4 – Desenho esquemático mostrando as condições de contorno aplicadas às equações de conservação. .
  70. 70. 59 5.5 Resumo do Modelo 5.5.1 Condições Gerais • Coordenadas cartesianas com geometria serrilhada para representar a forma cilíndrica do casco; • Considerada simetria axial do casco; • Efeitos gravitacionais desprezíveis por se ter resolvido apenas trocadores com diâmetros moderados de casco, ou seja, o vetor força externa por unidade de massa média f (ver Capítulo 3) é considerado nulo; • Viscosidade e massa específica constantes (desprezado efeito do empuxo); • Regime permanente; 5.5.2 Equações Governantes direção x: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 x u u u u u v w t x y z p u u u R u x x y z ηρ ηρ ηρ ηρ µ ηρ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ − + + + −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ U (5.20) direção y: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 y v v v v u v w t x y z p v v v R v y x y z ηρ ηρ ηρ ηρ µ ηρ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ − + + + −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ U (5.21) direção z: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 z w w w w u v w t x y z p w w w R w y x y z ηρ ηρ ηρ ηρ µ ηρ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ − + + + −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ U (5.22)
  71. 71. 60 continuidade: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 u v w t x y z ηρ ηρ ηρ ηρ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (5.23) 5.5.3 Equações Discretizadas Conforme já visto no Capítulo 3, as equações discretizadas via WUDS, agora incluindo a porosidade. 0 0P P P P P e E w W n N s S f F b B P C m m a a a a a a a S V t t φ φ φ φ φ φ φ φ φ+ = + + + + + + + ∆ ∆ ∆ (5.24) onde 0 P P P e w n s f b P m m a a a a a a a S V t t = + + + + + − ∆ − + ∆ ∆ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 e e e e e w w w w w n n n n n s s s s s f f f f f b b b b b a m d x a m d x a m d y a m d y a m d z a m d y β α β α β α β α β α β α ⎛ ⎞ = − − +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − − +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − − +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠ Sujeito a e ee e m u y z d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.25) n nn n m v x z d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.26) f ff f m w x y d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.27) w ww w m u y z d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.28)
  72. 72. 61 s ss s m v x z d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.29) b bb b m w x y d y zηρ= ∆ ∆ = Γ∆ ∆ (5.30) 0 0 P PP P m V m Vηρ ηρ= ∆ = ∆ (5.31) 1 2 1 2 1 2 x x y y z z C x P x C y P y C z P z S R u S R S R v S R S R w S R ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ = = − = = − = = − U U U U U U (5.32) E a discretização para a equação de correção da pressão, ' ' ' ' ' ' ' ' P P E E W W N N S S F F B B Pa p a p a p a p a p a p a p b= + + + + + + (5.33) onde P E W N S F Ba a a a a a a= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' * * * * * * E e W w N n S s F f B b P w e s n b f a Ad a Ad a Ad a Ad a Ad a Ad b u A u A v A v A w A w A ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ ηρ = = = = = = = − + − + − (5.34) No capítulo seguinte são exibidos resultados obtidos do código computacional escrito para o trabalho.
  73. 73. 62 Capítulo 6 Resultados 6.1 Aspectos Computacionais O código computacional para obter os resultados a seguir fora escrito na linguagem FORTRAN 90, contendo cerca de 3000 linhas de texto. Como já foi dito, ele descreve um problema tridimensional, em coordenadas cartesianas. No entanto, pelo fato de nossa geometria ser cilíndrica, foi necessário aplicar uma representação como a mostrada na figura abaixo: Figura 6.1 – Representação da malha gerada no programa Apesar de não serem plotados na malha, os outros volumes que formariam o paralelepípedo original também são contabilizados na solução do problema, e isto constitui uma desvantagem computacional em relação ao uso de coordenadas cilíndricas. Por outro lado, facilita a implementação e convergência, uma vez que o
  74. 74. 63 problema cilíndrico exige algumas manobras extras no sentido de driblar o problema do ponto central (descontinuidade) do domínio. Apesar de as equações terem sido deduzidas de maneira genérica (incluindo termos transientes), no programa também se teve a liberdade de direcionar a solução diretamente para o regime permanente, ou seja, não necessitar de qualquer tipo de marcha no tempo, ou falso transiente. Pôde-se fazer uso de sub-relaxação das velocidades para facilitar a convergência. Relembrando a equação (5.24), 0 0P P P P P e E w W n N s S f F b B P C m m a a a a a a a S V t t φ φ φ φ φ φ φ φ φ+ = + + + + + + + ∆ ∆ ∆ em regime permanente pode-se eliminar os termos transientes. A sub-relaxação tem um papel similar na equação, que ficaria da seguinte forma ( ) 0 1P P P e E w W n N s S f F b B C P a a a a a a a a S Vφ φ φ φ φ φ φ σ φ σ σ ⎡ ⎤ = + + + + + + ∆ + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (6.1) Nota-se uma clara analogia entre os termos transiente e sub-relaxado, que pode ser escrita como ( ) 0 0 1 P P P a m t σ φ σ − = ∆ (6.2) Para σ adotaram-se valores que varia de 0,4 a 0,8. A vantagem observada da sub-relaxação é que a solução pode ser alcançada com menor número de iterações, já no falso transiente, apesar de necessitar de mais iterações, consegue-se lidar com velocidades mais altas no domínio e efeitos de não- linearidades de maneira mais eficiente, pois o campo inicial estimado é mais realista do que seria para o permanente direto. Nas simulações os dois métodos foram empregados, dependendo do problema. Outra estratégia muito eficiente para melhorar a performance do programa foi o uso da classe de métodos Gradiente Conjugado (ver VAN DER VORST et al. [45]) principalmente na resolução da equação de correção da pressão ( 'p ). Em alguns
  75. 75. 64 problemas resolvidos, pôde-se reduzir o tempo computacional de cerca de horas (usando-se o método de Gauss-Siedel) para alguns minutos. Em relação à convergência, três tolerâncias foram consideradas no programa. Primeiro a tolerância para a convergência dos sistemas lineares, onde se adotou um critério do tipo ( ) ( ) 0 max min i i i erro − = − ∑ v v v v (6.3) O denominador da equação anterior corresponde a um resíduo para evitar que alguns pontos do domínio possam influenciar pouco no valor total do erro. Outra tolerância foi definida para a convergência do método SIMPLEC, onde foi observado a redução do termo ' Pb da equação (4.56), o que equivale a satisfazer a Equação da Continuidade. Ainda, entre cada iteração do SIMPLEC, foi adotada uma convergência interna entre os sistemas lineares das velocidades, o que equivale a recalcular os coeficientes logo após encontrado o novo campo de velocidades até que estes estejam dentro de uma certa tolerância. Isto visa reduzir o efeito das não-linearidades de Navier-Stokes. Por fim, o computador usado para rodar todas os casos descritos foi um Intel® Pentium® M, com um processador de 1.70 GHz e 512 Mb de memória RAM. 6.2 Validação O problema escolhido para validar o código computacional foi o tradicional problema de entrada hidrodinâmica entre placas paralelas. Apesar de ser um caso tipicamente bi-dimensional, foi rodado em três dimensões, fazendo a dimensão fora de interesse suficientemente grande.
  76. 76. 65 Figura 6.2 – Desenvolvimento hidrodinâmico entre placas paralelas Segundo [45] , o desenvolvimento hidrodinâmico neste problema (ver figura 6.2) se dá num comprimento de duto calculado pela equação 0,011 Rehy hL D= × × (6.4) Onde Re é o número de Reynolds calculado com respeito a hD , o diâmetro hidráulico de um duto retangular, que no caso é 4hD b= (6.5) Os dados de entrada da simulação são mostrados abaixo Abertura do canal (m): 0,2 Comprimento do canal (m): 2,0 Diâmetro Hidráulico (m): 0,4 Desenvolvimento Hidrodinâmico (m): 0,44 Fluido: Água Massa Específica (kg/m3 ): 996,0 Viscosidade (Pa.s): 8,54 x 10-4 Número de Reynolds 100 Velocidade de entrada (m/s): 2,14 x 10-4 Tolerância sistemas lineares 10-4 Tolerância SIMPLEC 10-4 Falso transiente/sub-relaxação Sub-relaxação
  77. 77. 66 6.2.1 Entrada Hidrodinâmica – Resultados (Re =100) Abaixo são mostrados os perfis de velocidades em quatro seções do domínio comparando a solução analítica, extraída de KAKAÇ [46], com o resultado numérico do código computacional, onde z é a coordenada axial do duto. Perfil z=0.02 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0 0,05 0,1 0,15 0,2 Numérica Analítica Figura 6.3 – Perfil hidrodinâmico na seção z=0,02 m Perfil z=0.1 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Numérica Analítica Figura 6.4 – Perfil hidrodinâmico na seção z=0,1 m
  78. 78. 67 Perfil z=0.2 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Numérica Analítica Figura 6.5 – Perfil hidrodinâmico na seção z=0,2 m Perfil z=0.5 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Numérica Analítica Figura 6.6 – Perfil hidrodinâmico na seção z=0,5
  79. 79. 68 Para o problema foram testadas três malhas: 10x40x40, 10x50x100 e 10x75x150. Na tabela abaixo são mostrados os erros máximos encontrados em cada perfil de velocidade para cada malha utilizada: Tabela 6.1 – Erros máximos no campo de velocidades Seção do domínio Erro máximo(%) Malha 10x40x40 Erro máximo(%) Malha 10x50x100 Erro máximo(%) Malha 10x75x150 0,02 6,22 3,81 3,82 0,1 6,04 4,51 3,72 0,2 6,11 3,34 3,00 0,5 5,74 4,26 3,89 Além do perfil de velocidade, foi verificada a conformidade entre perda de carga calculada numericamente e a analítica no canal. O gráfico abaixo mostra a perda de carga ao longo do canal. Perda de Carga - Malhas 0,8 0,82 0,84 0,86 0,88 0,9 0,92 0,94 0,96 0,98 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 z P/P0 Analítica 10x40x40 10x50x100 10x75x150 Figura 6.7 – Perda de carga ao longo do canal
  80. 80. 69 Tabela 6.2 – Erros máximos para perda de carga em relação à solução analítica Erro máximo(%) Malha 10x40x40 Erro máximo(%) Malha 10x50x100 Erro máximo(%) Malha 10x75x150 6,90 5,77 4,74 Comparando pontualmente os valores de pressão para as malhas utilizadas, observou-se um erro menor que 3% já entre a 1ª e 2ª malhas (ver tabela 6.3), o que eliminaria a necessidade de investir em malhas mais finas, a menos que se quisesse resultados muito precisos. É preciso atentar para a direção x do domínio, nela foram usados apenas 10 volumes pois não se tinha interesse em gradientes nesta direção, porém, ela pode influenciar nos resultados nas outras direções. A discrepância notada próximo à entrada do domínio, em comparação com a solução analítica, pode ser devido a refino de malha ou uso de tolerâncias mais apertadas na solução do SIMPLEC e dos sistemas lineares. Tabela 6.3 – Comparação entre as malhas z Erro entre as 1ª e 2ª malhas (%) Erro entre as 2ª e 3ª malhas (%) 0,0025 0,00 0,00 0,005 0,00 0,00 0,01 0,02 0,00 0,015 0,04 0,00 0,02 0,06 0,00 0,025 0,07 0,06 0,03 0,09 0,11 0,04 0,33 0,08 0,05 0,58 0,12 0,06 1,01 0,02 0,07 1,44 0,03 0,08 1,62 0,05 0,1 1,58 0,04 0,125 1,50 0,10 0,15 1,39 0,31 0,2 1,29 0,76 0,25 1,31 1,23 0,5 1,20 2,45
  81. 81. 70 6.3 Trocador do Projeto Delaware Em BELL [9], algumas correlações são propostas para se estimar o coeficiente de transferência de calor em um casco-e-tubos. Em anexo, o autor apresenta uma série de tabelas com as informações experimentais de perda de carga e troca térmica para validar seus modelos. Um dos trocadores ensaiados é denominado 10C-TL5-1, o qual se escolheu para a simulação apresentada a seguir. Na tabela abaixo é possível encontrar as dimensões principais do equipamento. Tabela 6.4 – Dimensões do trocador testado Diâmetro interno do casco (mm) 234 Comprimento do casco (mm) 410 Diâmetro dos tubos (mm) 6,35 Número de tubos 424 Número de chicanas 5 Corte das chicanas (%) 20,4 Os fluidos originalmente usados para os experimentos foram água no lado dos tubos e petróleo (Gulf 896 Oil) no lado do casco. Sendo este último o de interesse no caso estudado. Foram adotados nas simulações valores constantes para as propriedades, optou-se por utilizar um valor médio, uma vez que o ideal seria considerar a variação da viscosidade, como no próprio trabalho [9], que remete inclusive a referências passadas, como [5,6,7]. Nos experimentos foram tomadas medidas de pressão em 12 pontos do equipamento, para vazões e situações de aquecimento e refriamento diferentes. Os pontos são mostrados na figura 6.8.
  82. 82. 71 Figura 6.8 – Pontos no permutador em análise onde foram tomas medidas de pressão Nas simulações realizadas, foram extraídos resultados dos mesmos pontos para se comparar. Além da simulação, um benchmark foi obtido com o uso do software Xchanger Suite® do Heat Transfer Research Institute (HTRI) para projeto térmico de permutadores casco-e-tubos. Uma das saídas desse software é justamente a variação da pressão ao longo do equipamento. Nos tópicos abaixo são mostrados a comparação entre a solução numérica, os resultados experimentais do projeto Delaware e aqueles obtidos do software do HTRI para quatro vazões de entrada m diferentes no trocador. Para cada item são mostrados dois gráficos, um com a variação de pressão ao longo do equipamento e outro com as perdas de cargas locais (entre os 12 pontos mostrados na Figura 6.8). Outros dados de entrada da simulação são mostrados abaixo: Viscosidade: 2,35 x 10-3 Pa.s Massa Específica: 788 kg/m3 Tolerância sistemas lineares 10-4 Tolerância SIMPLEC 10-6 Falso transiente/sub-relaxação Falso transiente Tolerância Falso transiente 10-8
  83. 83. 72 6.3.1 Resultados, =m 11,13 kg/s Variação da pressão Vazão Entrada: 11,13 kg/s 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pontos Pressao,kPa DELAWARE HTRI NUMÉRICO Figura 6.9 – Resultados para a variação de pressão na vazão de 11,13 kg/s Perda de Carga Local Vazão Entrada: 11,13 kg/s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Pontos Pressão,kPa DELAWARE NUMÉRICO Figura 6.10 – Resultados para a perda de carga local na vazão de 11,13 kg/s
  84. 84. 73 6.3.2 Resultados, =m 6,03 kg/s Variação da pressão Vazão Entrada: 6,03 kg/s 60 80 100 120 140 160 180 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pontos Pressão,kPa DELAWARE HTRI NUMÉRICO Figura 6.11 – Resultados para a variação de pressão na vazão de 6,03 kg/s Perda de Carga Local Vazão Entrada: 6,03 kg/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Pontos PerdadeCarga,kPa DELAWARE NUMÉRICO Figura 6.12 – Resultados para a perda de carga local na vazão de 6,03 kg/s

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