Vectores en el plano y el espacio

• Un vector es la representación gráfica de una magnitud física llamada
magnitud vectorial, inscrito dentro de un formato de plano cartesiano. Las
magnitudes vectoriales tienen tres componentes: la cantidad, la dirección y
el sentido. Algunas de estas magnitudes, son el desplazamiento (recorrido o
distancia), la velocidad y la fuerza. Con vectores también se representa la
interacción de dos o más magnitudes vectoriales, para obtener y representar
el resultado final de esa interacción.

Caracterisiticas de Vector en el plano
• Magnitud. La magnitud es el fenómeno físico medible que se representa con el vector.
• Cantidad. La cantidad, también conocida como intensidad o módulo, son las unidades de
medidas representadas mediante la longitud del vector desde el punto de origen hasta la
punta.
• Espacio vectorial. También llamado espacio euclideo, es el tipo de plano cartesiano
sobre el que se traza el vector y en el que se indica su dirección. Puede ser
unidimensional (Eje X, recta numérica), bidimensional (Ejes XY, coordenadas
cartesianas) y tridimensional (Ejes XYZ, trazo espacial).

Vectores en el plano
• El plano cartesiano permite asociar a cada
punto del plano, un par ordenado de números
• Un vector es un segmento orientado que tiene
una dirección determinada, un sentido y un
módulo.

• Dirección. La dirección es la característica del vector que indica el plano sobre el que
actúa la magnitud de la cual se está tratando. Puede ser en cualquiera de los planos
Euclidianos tridimensionales (Ejes XYZ). Cuando se trata de magnitudes que actúan en
una misma dirección, generalmente se representan sobre el eje horizontal del plano
cartesiano (Eje X), usualmente representado como un segmento de recta numérica, y
sobre el que se representan unos sobre otros, cada uno de los vectores.
• Sentido. Como en la recta numérica, el sentido es determinado desde el punto de origen
indicando en qué dirección se está aplicando la magnitud de que se trate. Cuando actúa
en una sola dirección, (Eje X) el sentido se expresa en sentido positivo o negativo.
Cuando actúa en dos planos (ejes X y Y), su sentido puede expresarse en forma de
coordenadas de un plano cartesiano (XY), o bien, como movimientos en un sistema de
coordenadas de puntos cardinales (norte, sur, nororiente), o bien, una combinación de
ambos. En los casos de vectores tridimensionales, la dirección se indica del punto de
origen al punto de llegada, con una representación de coordenada espacial (XYZ).

Ejemplo Vector fijo o ligado
• Si sobre la recta R hay dos puntos (a y b)
podemos ir desde a hasta b o desde b hasta a.
• Para indicar a cual de los dos casos nos
estamos refiriendo colocamos una flecha en
uno de los extremos.
A)

B)
C)
En la figura b) indicamos que vamos desde a hasta b. y en la figura c) vamos desde b
hasta a.

Vector en el espacio
• Esta formado por todas las ternas
• En Matemáticas se define un vector como un elemento
de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y
para muchos espacios vectoriales no es posible
representar sus vectores mediante el módulo y la
dirección. En particular los espacios de dimensión
infinita sin producto escalar no son representables de
ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se
pueden representar geométricamente como
segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o
en el espacio .

Vectores en el espacio
• Un sistema de coordenadas tridimensional se
construye trazando un eje Z, perpendicular en el
origen de coordenadas a los ejes X e Y.
• Cada punto viene determinado por tres
coordenadas P(x, y, z).
• Los ejes de coordenadas determinan tres planos
coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos
coordenados dividen al espacio en ocho regiones
llamadas octantes, en el primer octante las tres
coordenadas son positivas.

• Un vector en el espacio es cualquier
segmento orientado que tiene su origen en
un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el
espacio
• Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y
B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes
del vector AB son las coordenadas del extremo
menos las coordenadas del origen.

Módulo de un vector
• El módulo de un vector es la longitud del
segmento orientado que lo define.
• El módulo de un vector es un número siempre
positivo y solamente el vector nulo tiene
módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus
componentes

ejemplo
• Dados los vectores
hallar los modulos de u y v

Distancia entre dos puntos
• La distancia entre dos puntos es igual al
módulo del vector que tiene de extremos
dichos puntos.

Ejemplo
• Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y
B(−1, 2, 0).