Matemática I - Tópico 02 e 03

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Aulas da disciplina Matemática I ministrada pelo professor Ricardo Bruno da Universidade Federal do Pará.

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Matemática I - Tópico 02 e 03

  1. 1. Matemática I Tópico 02 e 03– Radiciação, Potenciação, Polinômios, Fatoração e Frações Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA FACULDADE DE ECONOMIA
  2. 2. Radiciação e Potenciação
  3. 3. Uma revisão sobre radiciação e potenciação Se 𝑏2 = 𝑎 então b é a raiz quadrada de a. Vejamos alguns exemplos: 36 = 6, porque 62 = 36 3 27 8 = 3 2 3 − 27/8 = − 3 2 4 −2=?
  4. 4. Uma revisão sobre radiciação e potenciação Propriedades dos radicais 1) 𝑛 𝑢𝑣 = 𝑛 𝑢 × 𝑛 𝑣 2) 𝑛 𝑢 𝑣 = 𝑛 𝑢 𝑛 𝑣 3) 𝑚 𝑛 𝑢 = 𝑚.𝑛 𝑢 4) 𝑛 𝑢 𝑛 = 𝑢 5) 𝑛 𝑢 𝑚 = 𝑛 𝑢 𝑚 6) 𝑛 𝑢 𝑛 = para par para impar u n u n   
  5. 5. Uma revisão sobre radiciação e potenciação Simplificando os radicais 1) 4 80 = 4 16(5) = 4 24(5) = 4 24 × 4 5 = 2 4 5 2) 18𝑥5 = 9𝑥4 × 2𝑥 = (3𝑥2)2× 2𝑥 = 3𝑥2 2𝑥 Racionalização É o processo de reescrever frações contendo radicais de modo que o denominador fique sem esses radicais. Quando o denominador possui a forma 𝑛 𝑢 𝑛−𝑘 poderemos eliminar o radical do denominador, pois: 𝑛 𝑢 𝑘 × 𝑛 𝑢 𝑛−𝑘 = 𝑛 𝑢 𝑘 × 𝑢 𝑛−𝑘 = 𝑛 𝑢 𝑘+𝑛−𝑘 = 𝑛 𝑢 𝑛 = 𝑢
  6. 6. Uma revisão sobre radiciação Por exemplo teremos: 1 4 𝑋 = 1 4 𝑋 × 4 𝑋3 4 𝑋3 = 4 𝑋3 4 𝑋4 = 4 𝑋3 𝑋 Potenciação com expoentes racionais Seja u um número real, variável ou expressão algébrica e n um inteiro maior que 1. então 𝑢 1 𝑛 = 𝑛 𝑢 Seja m um inteiro positivo, m/n está na forma reduzida e todas as raízes são número reais, então 𝑢 𝑚 𝑛 = 𝑢 1 𝑛 𝑚 = 𝑛 𝑢 𝑚 ou 𝑢 𝑚 𝑛 = 𝑢 𝑚 1 𝑛 = 𝑛 𝑢 𝑚
  7. 7. Uma revisão sobre radiciação e potenciação Alguns exemplos: 𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦 3 2 𝑥 2 3 𝑦 1 3 = 𝑥2 𝑦 1 3 = 3 𝑥2 𝑦 3𝑥 5 𝑥2 = (3𝑥)𝑥 2 5 = 3𝑥 7 5 𝑧− 2 3 = 1 𝑧 2 3 = 1 3 𝑧2
  8. 8. Uma revisão sobre polinômios e fatoração Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma: 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Vejamos dois exemplos de adição e subtração polinomial: (a) 2𝑥2 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 1 + (𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 3) (b) 4𝑥2 + 3𝑥 − 4 − (2𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 2) Agora os exemplos sobre multiplicação (expansão) polinomial|: 3𝑥 + 2 4𝑥 − 5 = Qual o resultado??
  9. 9. Uma revisão sobre polinômios e fatoração Produtos Notáveis: Vejamos alguns produtos notáveis 1. Produto de uma soma e uma diferença: 𝑢 + 𝑣 𝑢 − 𝑣 = 𝑢2 − 𝑣2 2. Quadrado de uma soma de dois termos: 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢2 + 2𝑢𝑣 + 𝑣2 3. Quadrado de uma diferença de dois termos: 𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢2 − 2𝑢𝑣 + 𝑣2 4. Cubo de uma soma de dois termos: 𝑢 + 𝑣 3 = 𝑢3 + 3𝑢2 𝑣 + 3𝑢𝑣2 + 𝑣3 5. Cubo de uma diferença de dois termos: 𝑢 − 𝑣 3 = 𝑢3 − 3𝑢2 𝑣 + 3𝑢𝑣3 − 𝑣3
  10. 10. Uma revisão sobre polinômios e fatoração Fatorando polinômios: é uma forma de reduzir a expressão do polinômio para “termos” de menor grau. A fatoração encerra-se quando, usando coeficientes inteiros, não é possível mais reduzi-lo, essa forma é conhecida como polinômio irredutível. Ex: 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟒 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 𝟐 + 𝟏) Como podemos observar x+1 é irredutível, porém vejamos a próxima expressão: 𝒙 𝟑 − 𝟗𝒙 𝒙(𝒙 𝟐 − 𝟗) 𝒙 𝟐 − 𝟗 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑) 𝒙 𝟑 − 𝟗𝒙 𝒙(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
  11. 11. Uma revisão sobre polinômios e fatoração O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover e colocar em evidência os fatores comuns de seus termos usando a propriedade distributiva, vejamos o exemplo abaixo: 2𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥 = 2𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 3) Outro exemplo seria: 𝑢3 𝑣 + 𝑢𝑣3 = 𝑢𝑣(𝑢2 + 𝑣2 )
  12. 12. Uma revisão sobre polinômios e fatoração Ter conhecimento da forma expandida dos cinco produtos notáveis ajudará a fatorar uma expressão algébrica. A forma mais fácil de identificar é a diferença de dois quadrados: 25𝑥2 − 36 = 5𝑥 2 − 62 = 5𝑥 + 6 5𝑥 − 6 4𝑥2 − 𝑦 + 3 2 = 2𝑥 2 − 𝑦 + 3 2 = 2𝑥 + 𝑦 + 3 [2𝑥 − 𝑦 + 3 ] = (2𝑥 + 𝑦 + 3)(2𝑥 − 𝑦 − 3)
  13. 13. Uma revisão sobre expressões fracionárias Antes de levar adiante essa discussão, temos que adiantar o conceito de domínio de uma função Vejamos a seguinte expressão que envolve o quociente de dois polinômios: 2𝑥3 − 𝑥2 + 1 5𝑥2 − 𝑥 − 3 Qual seria o domínio das expressões abaixo: (a) 3𝑥2 − 𝑥 + 5 - Todos os reais (R) (b) 𝑥 − 1 - Todos os reais maiores que 1 (c) 𝑥 𝑥−2 - Todos os reais com exceção do 2
  14. 14. Uma revisão sobre expressões fracionárias As expressões fracionadas podem ser simplificadas, para realizar tal tarefa temos que ter em mente a seguinte propriedade: 𝑢𝑧 𝑣𝑧 = 𝑢 𝑣 Contanto que z seja diferente de zero. Isto requer uma fatoração do numerador e denominador em fatores primos. Quando todos os fatores comuns do numerador e denominador forem removidos, a expressão racional (ou número racional) está na forma reduzida.
  15. 15. Vejamos um exemplo 2 do capítulo 4: Escreva 𝑥2−3𝑥 𝑥2−9 na forma reduzida. Verifique o domínio 𝑥2 − 3𝑥 𝑥2 − 9 = 𝑥 𝑥 − 3 𝑥 + 3 𝑥 − 3 = 𝑥 𝑥 + 3 Logo 𝑥 ≠ 3 𝑒 𝑥 ≠ −3 Importante: Duas expressões racionais são equivalentes se elas têm o mesmo domínio e os mesmos valores para todos os números no domínio. A forma reduzida de uma expressão racional precisa ter o mesmo domínio que a expressão racional original. Esta é a razão que nos levou a adicionar a restrição x3 para a forma reduzida no Exemplo 2. Uma revisão sobre expressões fracionárias
  16. 16. Operações com expressões racionais Considerando duas frações iguais, (u/v)=(z/w) se, e somente se, uw=vz. Uma revisão sobre expressões fracionárias Operação Exemplo 𝒖 𝒗 + 𝒘 𝒗 = 𝒖 + 𝒘 𝒗 𝟐 𝟑 + 𝟓 𝟑 = 𝟐 + 𝟓 𝟑 = 𝟕 𝟑 𝒖 𝒗 + 𝒘 𝒛 = 𝒖𝒛 + 𝒘𝒗 𝒗𝒛 𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟓 = 𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑 𝟏𝟓 = 𝟐𝟐 𝟏𝟓 𝒖 𝒗 𝒘 𝒛 = 𝒖𝒘 𝒗𝒛 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 = 𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑 𝟑 𝟓 = 𝟖 𝟏𝟓 𝒖 𝒗 ÷ 𝒘 𝒛 = 𝒖𝒛 𝒘𝒗 𝟐 𝟑 ÷ 𝟒 𝟓 = 𝟏𝟎 𝟏𝟐 = 𝟓 𝟔
  17. 17. Vejamos a questão a e b do exemplo 3 do livro: (a) 2𝑥2+11𝑥−21 𝑥3+2𝑥2+4𝑥 × 𝑥3−8 𝑥2+5𝑥−14 = 2𝑥 − 3 𝑥 + 7 𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 4 × 𝑥 − 2 𝑥2 + 2𝑥 + 4 𝑥 − 2 𝑥 + 7 = 2𝑥 − 3 𝑥 Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ −7; 𝑥 ≠ 2 (b) 𝑥3+1 𝑥2−𝑥−2 ÷ 𝑥2−𝑥+1 𝑥2−4𝑥+4 Uma revisão sobre expressões fracionárias
  18. 18. Já para o exemplo da soma teríamos: 𝑥 3𝑥−2 + 3 𝑥−5 = 𝑥 𝑥−5 +3 3𝑥−2 3𝑥−2 𝑥−5 = 𝑥2+4𝑥−6 3𝑥−2 𝑥−5 Uma revisão sobre expressões fracionárias
  19. 19. Imagine agora que tenhamos a seguinte expressão: 2 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑥 − 3 𝑥2 − 4 Nesse caso temos que fazer uso do artifício do mínimo múltiplo comum (mmc), observe que podemos fatorar todos os denominadores (com exceção de x), assim teremos as seguintes expressões: x(x-2); x; e (x-2)(x+2) Com isso o menor denominador comum será: x(x-2)(x+2) Uma revisão sobre expressões fracionárias
  20. 20. Com isso a solução será: 2 𝑥2−2𝑥 + 1 𝑥 − 3 𝑥2−4 = 2 𝑥 𝑥−2 + 1 𝑥 + 3 𝑥−2 𝑥+2 = 2 𝑥+2 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 + 𝑥−2 𝑥+2 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 − 3𝑥 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 = 2 𝑥 + 2 + 𝑥 − 2 𝑥 + 2 − 3𝑥 𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2 Uma revisão sobre expressões fracionárias
  21. 21. = 2𝑥 + 4 + 𝑥2 − 4 − 3𝑥 𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 𝑥2 − 𝑥 𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥 + 2 , Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ 2; 𝑒 𝑥 ≠ −2 Uma revisão sobre expressões fracionárias
  22. 22. Operações com raízes e polinômios no Octave Operações básicas no Calc (LibreOffice)

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