06 tópico 5 - heterocedasticidade

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Aulas sobre Quebra de Pressupostos, Presença de Heterocedasticidade no Modelo de Regressão Linear Clássico.

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06 tópico 5 - heterocedasticidade

  1. 1. Econometria Tópico 4 – Regressão Múltipla Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Adjunto da Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA
  2. 2. Lembre-se que os vídeos necessários para o acompanhamento dessa apresentação são todos os vídeos que iniciam por 07, e encontram-se dentro da pasta Vídeos no mediafire. Link do mediafire: http://www.mediafire.com/?q1dbpxh1b4uxo No Slideshare:
  3. 3. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Natureza da Heterocedasticidade A heterocedasticidade quebra uma das mais relevantes e importantes hipóteses do MRLC, trata-se da homocedasticidade dos resíduos onde: 𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎2 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 A variância condicional de 𝑌𝑖 aumenta a medida que uma determinada variável independente aumenta. Ou seja, a variância de 𝑌𝑖 não são as mesmas. Como a variância do resíduo está condicionada a 𝑌𝑖 então existe a presença da heterocedasticidade, onde 𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎𝑖 2 Suponha que o seguinte modelo esteja sendo analisado, onde 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖, e Y seja a poupança e X a renda, assim podemos verificar os dois seguintes gráficos:
  4. 4. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade HOMOCEDASTICIDADE
  5. 5. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade HETEROCEDASTICIDADE
  6. 6. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade As seguintes razões podem constituir-se como elementos de variabilidade de 𝑢𝑖, como: 1) Seguindo os modelos de erro-aprendizagem, comportamentos incorretos das pessoas diminuem com o tempo ou o número de erros torna-se mais consistente. Neste caso, espera-se que 𝜎𝑖 2 diminua. Como exemplo o autor cita a Figura 11.3, que relaciona o número de erros de digitação cometidos em um dado período de tempo em um teste com as horas de prática de digitação. Percebe-se que o erro de digitação diminui a medida que temos mais prática.
  7. 7. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade
  8. 8. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 2) A medida que a renda aumenta, as pessoas têm mais renda discricionária e, portanto, mais opções para escolher como aplicarão sua renda. Por isso, é provável que 𝜎𝑖 2 aumente com a renda. Assim, na regressão de poupanças contra a renda é provável que se verifique que 𝜎𝑖 2 aumenta com a renda, pois as pessoas têm maior opção sobre como irão dispor de suas poupanças. Do mesmo modo, em geral se espera que a empresas com lucros maiores mostrem maior variabilidade em suas políticas de dividendos que aquelas com lucros mais baixos.
  9. 9. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 3) A medida que as técnicas de coleta de dados aprimoram- se, é provável que 𝜎𝑖 2 diminua. Assim, os bancos que têm equipamentos sofisticados de processamento de dados provavelmente cometem menos erros nos demonstrativos periódicos de seus clientes do que bancos sem esses recursos. 4) A hetero também ocorre com a presença de dados discrepantes (outliers)
  10. 10. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 5) Violação da hipótese 9, onde o modelo de regressão deve ser especificado corretamente. 6) A assimetria é outra fonte de heterocedasticidade. Renda e riqueza são variáveis que geralmente são desiguais, onde a maior parte da renda encontra-se na menor parte da população. Isso gera uma assimetria no dado. 7) Transformação incorreta de dados. É mais comum em dados de corte transversal do que nas séries temporais. A diferença é que no primeiro temos um nível de desagregação maior da informação, ou seja, estamos avaliando-a em vários níveis (como os diferentes níveis de renda municipal). Já a série temporal é um dado mais agregado, que não sofre grandes variações.
  11. 11. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Resíduos da regressão de (a) percepções sobre despesas com publicidade e (b) percepções sobre despesas de publicidade e o quadrado de despesas com publicidade.
  12. 12. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Estimativa dos MQO na presença da Heterocedasticidade A pergunta que se faz é: o que acontece com o MQO e suas variâncias se introduzirmos a heterocedasticidade fazendo 𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎𝑖 2 , mas mantivermos todas as demais hipóteses do modelo clássico? Vamos analisar o modelo com duas variáveis: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 Verificamos que: 𝛽2 = 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 = 𝑛 𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑛 𝑋𝑖 2 − 𝑋𝑖 2
  13. 13. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Bem como a variância do beta 2 estimado é dada por: 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖 2 𝜎𝑖 2 𝑥𝑖 2 2 𝑣𝑎𝑟( 𝛽2) = 𝜎2 𝑥𝑖 2 O que mantém o modelo aderente ao MELNT é a variância constante 𝜎2, mas, o que acontece que ela não for constante? Para verificar isso temos que analisar os resultados para dois aspectos um considerando a tendenciosidade e outro considerando a eficiência do modelo.
  14. 14. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade O fato de ser homocedástica ou heterocedástica não influencia na tendenciosidade do estimador 𝛽2 (ver apêndice 3A do capítulo 3), onde 𝐸 𝛽2 = 𝛽2 , onde mesmo na presença de heterocedasticidade, em amostras grandes o estimador continua consistente, e portanto, não tendencioso. Porém a eficiência é algo que não pode ser mantido. Pois dada a presença de heterocedasticidade ele deixa de apresentar a variância mínima, ou seja, ele deixa de ser MELNT. Isso porque: 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖 2 𝜎𝑖 2 𝑥𝑖 2 2 Aumenta conforme 𝜎𝑖 2
  15. 15. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade O Método do Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) Pelo fato de o estimador deixar de ser MELNT temos que encontrar uma forma de tornar o estimador MELNT, para tanto, é utilizado o MQG. Basicamente tal método incorpora pesos ou importâncias que ajudam a explicar o comportamento da variância, ou seja, considerar o seu efeito na hora do cálculo do estimador. Considerando a fórmula para o modelo simples: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 Para facilitar o entendimento da operação algébrica vamos inserir a variável X0 que representa uma matriz vetor de 1, assim 𝑌𝑖 = 𝛽1 𝑋0𝑖 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 𝑋0𝑖 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑖
  16. 16. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Se conhecermos as variâncias 𝜎𝑖 2 poderemos inseri-las na equação como um peso, ou seja: 𝑌𝑖 𝜎𝑖 2 = 𝛽1 𝑋0𝑖 𝜎𝑖 2 + 𝛽2 𝑋𝑖 𝜎𝑖 2 + 𝑢𝑖 𝜎𝑖 2 𝑌𝑖 𝜎𝑖 = 𝛽1 𝑋0𝑖 𝜎𝑖 + 𝛽2 𝑋𝑖 𝜎𝑖 + 𝑢𝑖 𝜎𝑖 𝑌𝑖 ∗ = 𝛽1 ∗ 𝑋0𝑖 ∗ + 𝛽2 ∗ 𝑋𝑖 ∗ + 𝑢𝑖 ∗ Onde o sobrescrito com asteriscos nos parâmetros indicam os estimadores do modelo transformado, para podermos distingui-los dos parâmetros do modelo do MQO.
  17. 17. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade O que vai chamar a atenção é o erro transformado, vamos verificar como ficam sua variância após a transformação: 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖 ∗ = 𝐸 𝑢𝑖 ∗ = 𝐸 𝑢𝑖 𝜎𝑖 2 𝑝𝑜𝑟 𝐸 𝑢𝑖 ∗ = 0 = 1 𝜎𝑖 2 𝐸 𝑢𝑖 2 𝑗á 𝑞𝑢𝑒 𝜎𝑖 2 é 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 = 1 𝜎𝑖 2 𝜎𝑖 2 𝑗á 𝑞𝑢𝑒 𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎𝑖 2 = 1 Ou seja, passamos a provar que a variância do modelo do MQG é uma constante, ou seja, torna-se homocedástico. Conservando as hipóteses do modelo clássico de regressão linear, assim, se aplicarmos o MQO no modelo transformado, ele irá gerar os MELNT.
  18. 18. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Assim 𝛽1 ∗ e 𝛽2 ∗ são MELNT e não se tratam dos estimadores de MQO 𝛽1 e 𝛽2. Podemos verificar, portanto, que o MQG são os MQO nas variáveis transformadas que satisfazem as hipóteses padrão de Mínimos Quadrados. Podemos, assim como realizado o procedimento para MQO, encontrar o resíduo mínimo para a função transformada, considerando, portanto: 𝑌𝑖 ∗ = 𝛽1 ∗ 𝑋0𝑖 ∗ + 𝛽2 ∗ 𝑋𝑖 ∗ + 𝑢𝑖 ∗ Para obter o MQG temos que minimizar os resíduos, logo
  19. 19. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 𝑢𝑖 2∗ = 𝑌𝑖 ∗ − 𝛽1 ∗ 𝑋0𝑖 ∗ − 𝛽2 ∗ 𝑋𝑖 ∗ 2 𝑢𝑖 𝜎𝑖 2 = 𝑌𝑖 𝜎𝑖 − 𝛽1 ∗ 𝑋0𝑖 𝜎𝑖 − 𝛽2 ∗ 𝑋𝑖 𝜎𝑖 2 Para o 𝛽2 ∗ o estimador de MQG será: 𝛽2 ∗ = 𝑤𝑖 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑤𝑖 𝑋𝑖 𝑤𝑖 𝑌𝑖 𝑤𝑖 𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 − 𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 E a variância será: 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 ∗ = 𝑤𝑖 𝑤𝑖 𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 − 𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 Onde 𝑤𝑖 = 1 𝜎𝑖 2
  20. 20. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Podemos então verificar que a diferença entre o MQO e o MQG é dada pela presença de um termo ponderado visualizado pela soma ponderada dos quadrados dos resíduos 𝑤𝑖 = 1/𝜎𝑖 2 , que tem um papel de peso, no entanto, os resultados de ambos (MQO e MQG) chegam a mesma conclusão de que os resíduos são homocedásticos. A diferença entre o uso das duas situações pode ser observado no próximo diagrama de dispersão. Nos MQO, cada 𝑢𝑖 2 associado aos pontos A, B e C receberá o mesmo peso quando da SQR for minimizada. É claro que, nesse caso, a 𝑢𝑖 2 associada ao ponto C dominará a SQR. Já nos MQG, a observação extrema C receberá um peso relativamente menor que as outras duas observações.
  21. 21. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Consequências de usar MQO na presença de heterocedasticidade A regra aqui é verificar e responder o que acontece quando os nossos estimadores não são eficientes. Vamos para essa dinâmica, continuar utilizando o 𝛽2 e a sua respectiva fórmula da variância (sabendo da existência da hetero), que considera a presença da heterocedasticidade. O grande problema é que mesmo conhecendo a variância 𝜎𝑖 2 não podemos estabelecer um intervalo de confiança e muito menos realizar os testes t e F, pois os intervalos de confiança baseados na estimativa do 𝛽2 são menores, isso porque é possível mostrar que var( 𝛽2 ∗ ) ≤ 𝑣𝑎𝑟( 𝛽2 ).
  22. 22. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade O grande problema é considerar a estimação por MQO e desconsiderar a heterocedasticidade. Em primeiro lugar, 𝑣𝑎𝑟( 𝛽2 ) = σ2/ 𝑥𝑖 2 é um estimador TENDENCIOSO da 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖 2 𝜎𝑖 2 / 𝑥𝑖 2 2 , isso porque na média ele sobrestima ou subestima a variância, e, em geral, não podemos dizer se o viés é positivo (sobreestimação) ou negativo (subestimação), pelo fato de isso depender da natureza da relação entre 𝜎𝑖 2 e os valores assumidos pela variável explanatória X, como observado pelo termo 𝑥𝑖 2 do denominador da fórmula da variância. O viés surge do fato de o valor de 𝜎2 dado por 𝑢𝑖 2 /(𝑛 − 2), não ser mais um estimador NÃO TENDENCIOSO deste último quando a heterocedasticidade está presente.
  23. 23. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Caso persistamos no uso dos procedimentos comuns de teste apesar da hetero, quaisquer que sejam as conclusões a que chegamos ou as inferências que fizermos poderão ser equivocadas. Para termos um entendimento melhor do que ocorre, vamos verificar um estudo de Monte Carlo conduzido por Davidson e MacKinnon, eles consideram o seguinte modelo simples, que em nossa notação é: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 Os autores pressupõem que 𝛽1 = 1 e 𝛽2 = 1 e 𝑢𝑖~𝑁(0, 𝑋𝑖 𝛼 ). Como mostra a última expressão, os autores supõem que a variância de erro seja heterocedástica e relacionada ao valor do regressor X com poder . Se por exemplo, =1, a variância do erro é proporcional ao valor de X, caso seja =2, a variância do resíduo será proporcional ao quadrado do valor de X e assim por diante.
  24. 24. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Baseado em 20 mil réplicas e permitindo vários valores para , eles obtêm erros padrão dos dois coeficientes de regressão usando os MQO (com 𝑣𝑎𝑟( 𝛽2 ) = σ2/ 𝑥𝑖 2 ), MQO permitindo a heterocedásticidade (onde 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖 2 𝜎𝑖 2 / 𝑥𝑖 2 2 ), e o MQG ( com 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 ∗ = 𝑤𝑖 / [ 𝑤𝑖 𝑤𝑖 𝑋𝑖 2 − 𝑤𝑖 𝑋𝑖 2]) Os resultados foram obtidos por cada peso de .
  25. 25. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Os autores observaram que sempre o MQO sobrestima o MQG (ou seja, sempre suas variâncias serão maiores que o MQO), tanto para o intercepto quanto para o coeficiente angular. Com isso a conclusão é que e na presença da heterocedasticidade são os MQG e não os MQO os MELNT.
  26. 26. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Detecção da Heterocedasticidade Vamos observa alguns procedimentos práticos que ajudam na detecção da heterocedasticidade. Para dados socioeconômicos é mais difícil a detecção pois não temos controle da amostra, dessa forma temos muitas vezes que fazer uso da intuição, informações preexistentes, experiência empírica e muitas vezes mera especulação. Tendo em vista esses pontos, vamos observar alguns métodos informais e formais para a detecção da hetero.
  27. 27. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Os métodos informais: consistem basicamente verificar o comportamento dos resíduos ao quadrado 𝑢𝑖 2 contra o valor estimado de Y 𝑌𝑖. Algum comportamento sistemático entre essas duas relações pode nos ajudar a concluir pela existência da heterocedasticidade na regressão. A seguir podemos observar algumas situações gráficas que indicam a existência ou não de um comportamento sistemático entre essas duas variáveis.
  28. 28. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade
  29. 29. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Esse comportamento pode ser observado também entre os resíduos e as variáveis independentes X. Caso o resíduo ao quadrado tiver alguma relação sistemática com alguma variável independente, é um indicativo forte da presença de heterocedasticidade na regressão.
  30. 30. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade
  31. 31. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Métodos formais: Tratam-se dos testes para verificação da existência ou não da heterocedasticidade. São testes que são realizados com base nos resíduos da regressão. A grande maioria parte do pressuposto que na regressão existe homocedasticidade, portanto, a hipótese nula do teste consiste em: 𝐻0: 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐻1: 𝐻𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 Aqui será abordado apenas 3 testes, a ideia é entender a dinâmica de cada um deles.
  32. 32. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Teste de Glejser: Trata-se de um método que procura verificar a relação entre resíduos e o comportamento da variável independente X. O teste consiste em duas etapas, onde: 1ª Estimar a regressão: Devemos primeiramente estimar a nossa regressão de interesse em que supõe-se ter a presenta da hetero: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 2ª Etapa: Depois de estimada a regressão, pegamos o resíduo estimado na sua forma absoluta | 𝑢𝑖| e usamos ele como variável dependente do modelo contra a variável independente do modelo anterior, no entanto, essa variável pode ser transformada conforme o comportamento dos resíduos, os modelos podem ser os seguintes:
  33. 33. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑣𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑣𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 1 𝑋 𝑖 + 𝑣𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 1 𝑋 𝑖 + 𝑣𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑣𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 2 + 𝑣𝑖 O grande problema nesse teste são os resíduos 𝑣𝑖 que podem ter comportamento heterocedástico também.
  34. 34. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade As regressões com o comportamento 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑣𝑖 são mais difíceis de serem estimadas por serem modelos de regressão não linear. O que inviabiliza sua estimação por MQO. O exemplo a seguir irá fazer uso das informações sobre remuneração e produtividade e será utilizados os dados da tabela 11.1.
  35. 35. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Teste de Breusch-Pagan-Godfrey (BPG): É um dos testes de heterocedasticidade mais conhecidos e utilizados. Para entende-lo é necessária a construção de cinco etapas que culminará numa análise da estatística 2. Para iniciar o teste vamos recorrer ao modelo de regressão com k variáveis. 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑘𝑖 + 𝑢𝑖 Suponha que variância do erro, 𝜎𝑖 2 , seja descrita como: 𝜎𝑖 2 = 𝑓(𝛼1 + 𝛼2 𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼 𝑚 𝑍 𝑚𝑖) Ou seja, 𝜎𝑖 2 é uma função das variáveis não estocásticas Z; alguns ou todos os X podem servir de Z. Suponha que 𝜎𝑖 2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼 𝑚 𝑍 𝑚𝑖
  36. 36. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Onde 𝜎𝑖 2 passa a ser uma função linear de Z. Caso 𝛼2 = 𝛼3 = ⋯ = 𝛼 𝑚 = 0, e 𝜎𝑖 2 = 𝛼1, que é uma constante. Dessa forma, para testar se 𝜎𝑖 2 é homocedástico, podemos testar a hipótese de que 𝛼2 = 𝛼3 = ⋯ = 𝛼 𝑚 = 0, esta é a ideia básica por trás do teste de BPG. Os procedimentos para a realização do teste são os seguintes: 1ª Etapa: Estime 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑘𝑖 + 𝑢𝑖 por MQO e obtenha os resíduos 𝑢𝑖. 2ª Etapa: Devemos obter o 𝜎2 = 𝑢𝑖 2 /𝑛. Que é o estimador de máxima verossimilhança de 𝜎2 . Essa fórmula é diferente do estimador de MQO que é 𝜎2 = 𝑢𝑖 2 /(𝑛 − 𝑘). 3ª Etapa: Construir as variáveis 𝑝𝑖 que são definidas como: 𝑝𝑖 = 𝑢𝑖 2 / 𝜎2
  37. 37. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 4ª Etapa: Faça a regressão 𝑝𝑖 construída sobre os Z como 𝑝𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼 𝑚 𝑍 𝑚𝑖 + 𝑣𝑖 5ª Etapa: Obtenha a SQE (Soma dos Quadrados Explicada) e defina:  = 1 2 𝑆𝑄𝐸 Pressupondo que os resíduos se distribuem normalmente, podemos demostrar que, se há homocedasticidade e se o tamanho da amostra n aumenta indefinidamente, então:  𝑎𝑠𝑦~ 𝑚−1 2
  38. 38. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Para prática do teste BPG vamos utilizar os dados da Tabela 11.3. Teste GERAL de Heterocedasticidade de White: É o mais dinamizado dos testes, diante dos demais testes já vistos é o que possui menos problemas, isso porque ele não necessita que o pressuposto de normalidade seja atendido (conforme ocorre com o teste BPG) e não possui nenhuma restrição quanto aos resíduos de sua regressão auxiliar tiver algum problema de heterocedasticidade. Tanto, que é baseado no teste de White que são feitas a maior parte das correções da hetero em modelos de regressão linear.
  39. 39. Quebra dos pressupostos: HeterocedasticidadeO teste para ser visualizado necessita passar por quatro etapas, sempre partindo do modelo de regressão onde: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 1ª Etapa: Estimar a regressão acima e encontrar os resíduos estimados 𝑢𝑖. 2ª Etapa: De porte dos resíduos calculamos a seguinte regressão auxiliar: 𝑢𝑖 2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 + 𝛼3 𝑋3𝑖 + 𝛼4 𝑋2𝑖 2 + 𝛼5 𝑋3𝑖 2 + 𝛼6 𝑋2𝑖 𝑋3𝑖 + 𝑣𝑖 Em seguida será obtido o R2 da regressão auxiliar. 3ª Etapa: Sob a hipótese nula de que não há heterocedasticidade, pode-se mostrar que o tamanho da amostra (n) multiplicado pelo R2 da regressão auxiliar segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade iguais ao número de regressores (excluindo-se o intercepto – constante) na regressão auxiliar. Ou seja,
  40. 40. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 𝑛𝑅 𝑎𝑠𝑠 2 ~ 𝑔𝑙 2 Com caso do modelo com três variáveis irá gerar na regressão auxiliar outras três variáveis, com isso teremos 5 graus de liberdade uma vez que (n-1) = (6-1) 4ª Etapa: Comparamos o valor do Qui-quadrado calculado com o valor tabelado, caso o calculado seja maior que o tabelado, teremos então a rejeição da hipótese nula, ou seja, rejeição da homocedasticidade, logo a conclui-se pela presença da heterocedasticidade. Caso ele não seja significativo, estaremos concluindo que 𝛼2 = 𝛼3 = 𝛼4 = 𝛼5 = 𝛼6 = 0 Ou seja, de que os resíduos são homocedásticos.
  41. 41. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Para ilustrar o exemplo do teste de White, será feito o exemplo conforme o exercício 11.15 (pág. 349). Fazendo uso da Tabela 11.7. Também iremos executar os testes de heterocedasticidade de White e o BPG pelo Gretl. Qual o melhor teste? Não se trata de uma decisão fácil, uma vez que tais testes baseiam-se em vários pressupostos. Ao compararmos os testes, precisamos prestar atenção ao seu tamanho (ou nível de significância), potência (a probabilidade de rejeitarmos a hipótese falsa) e a sensibilidade a discrepância (Outliers). O teste de White por exemplo é um teste que tem baixa potência contra outros testes. Já o BPG é sensível a presença da normalidade dos resíduos.
  42. 42. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Medidas corretivas Verificamos que a presença da hetero irá afetar a eficiência de nossos estimadores. Podemos aplicar medidas corretivas levando em conta dois aspectos, quando conhecemos a variância (𝜎𝑖 2 ) e quando não a conhecemos. 𝝈𝒊 𝟐 Conhecido: uso dos Mínimos Quadrados Ponderados. Quando aplicamos o MQP corrigimos a heterocedasticidade, tornando os estimadores MELNT. A melhor forma de verificar o procedimento (que já foi utilizado em outra oportunidade) e verificá-lo na prática. Para tanto, será usado o exemplo da Tabela 11.1 conforme exemplo 11.7 da página 336.
  43. 43. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade 𝝈𝒊 𝟐 Desonhecido Quando o valor da variância do erro é desconhecida é possível fazer uma correção através de mudanças das matrizes de variância e covariância (var-cov). O processo mais conhecido é a correção de White. Mas antes é interessante falar em como se da essa correção, e mostrar no Gretl como essa correção procede. A correção de White na verdade ocorre com a inserção da matriz de pesos de White no cálculo da variância do estimador, onde: 𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 = 𝑤𝑗𝑖 𝑢𝑖 2 𝑤𝑗𝑖 2 2
  44. 44. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade O termo 𝑤𝑗 são os resíduos da regressão auxiliar de White, como antes verificado para o modelo de três variáveis: 𝑢𝑖 2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 + 𝛼3 𝑋3𝑖 + 𝛼4 𝑋2𝑖 2 + 𝛼5 𝑋3𝑖 2 + 𝛼6 𝑋2𝑖 𝑋3𝑖 + 𝑣𝑖 A forma matricial de se mostrar esse regressor é: 𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 = 𝑋′ 𝑋 −1 𝑋′𝑋 𝑋′ 𝑋 −1 = 𝐻𝐶0 Essa primeira matriz é o termo do Gretl usado para a correção de White. Para o HC1 teremos uma correção na matriz de White pelo grau de liberdade onde: 𝑢𝑖 2 × 𝑛 𝑛 − 𝑘
  45. 45. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Para o termo HC2 teremos será feita uma correção ortogonal cuja expectativa dos resíduos será dada por: 𝑢𝑖 2 1 − ℎ𝑖 onde ℎ𝑖 = 𝑋𝑖 𝑋′ 𝑋 −1 𝑋𝑖 O HC3 é uma versão com a correção Jackknife, onde na verdade há uma sobrecorreção dada por: 𝑢𝑖 2 1 − ℎ𝑖 2
  46. 46. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Vamos verificar o processo de correção de White no Gretl utilizando o exemplo da Tabela 11.5 sobre dados de inovações na América Latina, que encontra-se dentro do exemplo 11.10 da página 342.
  47. 47. Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade Uma Advertência: Segundo John Fox “Só vale a pena corrigir variâncias desiguais do erro somente quando o problema for grave. O impacto da variância do erro não constante sobre a eficiência do estimador de MQO e na validade da eficiência dos MQO depende de vários fatores, inclusive do tamanho da amostra, do grau de variação no 𝜎𝑖 2 , da configuração dos valores de X [regressor – ou variáveis independentes] e da relação entre a variância dos erros e os X. Portanto, não é possível chegar a conclusões gerais a respeito dos danos produzidos pela heterocedásticidade.”
  48. 48. FIM DO TÓPICO 4

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