03 tópico 2 - regressão multipla

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03 tópico 2 - regressão multipla

  1. 1. Econometria Tópico 2 – Regressão Múltipla O Problema da Estimação Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Adjunto da Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA
  2. 2. Todas as aulas podem ser encontradas no SLIDESHARE: http://www.slideshare.net/RicardoSantos11/03-tpico- 2-regresso-multipla
  3. 3. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação Em situações econômicas do mundo real não é apenas uma variável que explica mudanças em um fenômeno (aqui representado pela variável dependente), mas um conjunto de fatores (variáveis independentes). Antes quando estávamos abordando o modelo de demanda do açaí verificou-se que: 𝑃𝑎ç𝑎𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑄 𝑎ç𝑎𝑖 + 𝑢𝑖 Onde a quantidade do açaí determina o preço, ou vice versa. Mas além dessas duas variáveis existem outras componentes importantes essenciais para determinar a dinâmica do preço da açaí, essas componentes são a renda do consumidor, o preço do bem complementar, e o preço do bem substituto, etc., assim, o modelo de demanda do açaí é melhor representado por:
  4. 4. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação 𝑃𝑎ç𝑎𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑄 𝑎ç𝑎𝑖 + 𝛽2 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 + 𝛽3 𝑃𝑓𝑎𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎 + 𝑢𝑖 Genericamente poderíamos então representar tal modelo por: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
  5. 5. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação Evidente que estamos considerando como hipóteses: 1) O modelo de regressão é linear nos parâmetros; 2) Os valores fixos de X ou os valores de X independentes do termo de erro. Aqui, isso significa que é necessário covariância igual a zero entre 𝑢𝑖 e cada variável X. 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖, 𝑋2𝑖 = 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖, 𝑋3𝑖 = 0 3) O termo de erro 𝑢𝑖 tem valo médio zero. 𝐸 𝑢𝑖 𝑋2𝑖, 𝑋3𝑖) = 0 4) Homocedasticidade ou variância constante de 𝑢𝑖. 𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖 = 𝜎2 5) Ausência de autocorrelação, ou de correlação serial, entre os termos de erro 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖, 𝑢𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 6) O número de observações n deve ser maior que o número de parâmetros a serem estimados, neste caso, 3.
  6. 6. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação 7) Deve haver variação nos valores das variáveis X. 8) Não há colinearidade exata entre as variáveis X Ou seja, não há relação linear exata entre 𝑋2 𝑒 𝑋3. 9) Ausência de viés de especificação Ou seja, o modelo está corretamente especificado.
  7. 7. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação Das hipóteses 1 a 7 já são conhecidas, pois as mesmas se configuram de forma similar ao modelo de regressão linear simples. A novidade fica por conta das hipóteses 8 e 9, que na sua essência, para serem aplicadas, necessitam de mais de duas variáveis independentes para que tais hipóteses tenham aplicabilidade. Uma aplicação fácil de verificação da hipótese 8 é a colinearidade perfeita. Imagine que para o modelo de três variáveis esteja presente a seguinte relação: 𝑋3𝑖 = 2𝑋2𝑖
  8. 8. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação Com isso teríamos o seguinte resultado: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 2𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 + 2𝛽3 𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛼𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖. Ou seja, dada a relação linear uma das variáveis não tem necessidade de estar no modelo. E por esse motivo que não podemos inserir no modelo variáveis com alta colinearidade (ou alta correlação), pois a tendência é que uma anule a outra.
  9. 9. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação Com relação a interpretação da regressão múltipla, temos que ter em mente a média condicional de Y em relação aos valores de X, assim, temos: 𝐸 𝑌𝑖 𝑋2𝑖, 𝑋3𝑖) = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 Agora como devemos fazer a interpretação dos coeficientes da regressão? O principal aspecto é analisar os coeficientes angulares, ou seja, o 𝛽2 e o 𝛽3. No entanto, devemos sempre utilizar um artifício muito utilizado na economia, que é o ceteris paribus. Ou seja, mudanças em uma determinada componente econômica causa impactos em outra componente, desde que tudo permaneça constante, ou seja, que nada mais varie além das componentes de interesse.
  10. 10. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O problema da Estimação Um exemplo para isso seria verificar os efeitos da variável 𝑋2 sobre Y, para isso teríamos que interpretar que o aumento de uma unidades em 𝑋2 provoca um aumento em Y de 𝛽2 unidades, desde que não ocorram alterações em 𝑋3.
  11. 11. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O MQO para o MRLM Antes visto para o Modelo simples encontrar os estimadores para o Modelo de Regressão Linear Multiplo (MRLM) é uma tarefa relativamente fácil, no entanto, exige certa atenção. O modelo a ser estruturado será: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖. Em termos dos resíduos teremos: 𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2 𝑋2𝑖 − 𝛽3 𝑋3𝑖. E o que buscamos é: 𝑚𝑖𝑚 𝑢𝑖 2 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2 𝑋2𝑖 − 𝛽3 𝑋3𝑖 2
  12. 12. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O MQO para o MRLM O que devemos proceder e estimar são as derivadas parciais da SQR em relação a cada um dos estimadores, Assim: 𝜕 𝑢𝑖 2 𝜕 𝛽1 = 0 𝜕 𝑢𝑖 2 𝜕 𝛽2 = 0 𝜕 𝑢𝑖 2 𝜕 𝛽3 = 0
  13. 13. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O MQO para o MRLM Os resultados para os estimadores serão os seguintes: 𝛽1 = 𝑌 − 𝛽2 𝑋2𝑖 − 𝛽3 𝑋3𝑖 𝛽2 = 𝑦𝑖 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 2 − 𝑦𝑖 𝑥3𝑖 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 𝑥2𝑖 2 𝑥3𝑖 2 − 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 2 𝛽3 = 𝑦𝑖 𝑥3𝑖 𝑥2𝑖 2 − 𝑦𝑖 𝑥2𝑖 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 𝑥2𝑖 2 𝑥3𝑖 2 − 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 2
  14. 14. Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1): O MQO para o MRLM De forma intuitiva já sabemos como ficará o resultado de um estimador se encontrarmos ou o 𝛽2 ou o 𝛽3, o primeiro que for encontrado basta ter a fórmula generalizada em sequência. Outro ponto muito importante é o que trata da variância dos estimadores, para que possamos obter o erro padrão e fazer o cálculo da estatística t calculada. Não vamos aqui nos preocupar em demonstrar como se calcula cada um dos estimadores, temos que ter em mente apenas a fórmula para que possamos obter o cálculo de 𝛽1, 𝛽2 e 𝛽3.
  15. 15. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Assim as variâncias serão: 𝑣𝑎𝑟 𝛽1 = 1 𝑛 + 𝑋2 2 𝑥3𝑖 2 + 𝑋3 2 𝑥2𝑖 2 − 2 𝑋2 𝑋3 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 𝑥2𝑖 2 𝑥3𝑖 2 − 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 2 𝜎2 𝑒𝑝( 𝛽1) = 𝑣𝑎𝑟( 𝛽1) 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥3𝑖 2 𝑥2𝑖 2 𝑥3𝑖 2 − 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 2 𝜎2 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝜎2 𝑥2𝑖 2 1 − 𝑟23 2 𝑒𝑝 𝛽2 = 𝑣𝑎𝑟 𝛽2
  16. 16. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 = 𝑥2𝑖 2 𝑥2𝑖 2 𝑥3𝑖 2 − 𝑥2𝑖 𝑥3𝑖 2 𝜎2 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 = 𝜎2 𝑥3𝑖 2 1 − 𝑟23 2 𝑒𝑝 𝛽3 = 𝑣𝑎𝑟 𝛽3
  17. 17. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Outro importante indicador é a covariância entre os estimadores 𝛽2 e 𝛽3, assim temos: 𝑐𝑜𝑣 𝛽2, 𝛽3 = −𝑟23 𝜎2 1 − 𝑟23 2 𝑥2𝑖 2 𝑥3𝑖 2 Sempre lembrando que o termo 𝜎2 corresponde a variância dos resíduos e o principal pressuposta sobre ela é de que a mesma seja homocedástica. A formula de se estimar a variância para o modelo com três variáveis será: 𝜎2 = 𝑢𝑖 2 𝑛 − 3
  18. 18. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Propriedades dos estimadores de MQO As propriedades dos estimadores de MQO para o MRLM são muito semelhante aos do MRLS, vamos a elas: 1) A linha de regressão de três variáveis passa pelas médias 𝑌, 𝑋2 e 𝑋3 o que fica evidente por meio da equação para obter o 𝛽1. No modelo de regressão linear com K variáveis teremos: 𝛽1 = 𝑌 − 𝛽2 𝑋2 − 𝛽3 𝑋3 − ⋯ − − 𝛽 𝑘 𝑋 𝑘
  19. 19. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação 2) O valor médio estimado de 𝑌𝑖(= 𝑌𝑖) é igual à média do 𝑌𝑖 efetivo, oque é fácil de verificar: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 = 𝑌 − 𝛽2 𝑋2 − 𝛽3 𝑋3 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 = 𝑌 + 𝛽2 𝑋2𝑖 − 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3𝑖 − 𝑋3 = 𝑌 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑥3𝑖 Aplicando o somatório em ambos os lados e dividindo por n teremos: 𝑌𝑖 𝑛 = 𝑛 𝑌 𝑛 + 𝛽2 𝑥2𝑖 𝑛 + 𝛽3 𝑥3𝑖 𝑛 Como a soma dos valores reduzidos é zero então: 𝑌𝑖 = 𝑌
  20. 20. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação 3) 𝑢𝑖 = 𝑢 = 0 4) Os resíduos 𝑢𝑖 não estão correlacionados com 𝑋2𝑖 𝑒 𝑋3𝑖, isto é, 𝑢𝑖 𝑋2𝑖 = 𝑢𝑖 𝑋3𝑖 = 0 5) Os resíduos não estão correlacionados com 𝑌𝑖, isto é, 𝑢𝑖 𝑌𝑖 = 0.
  21. 21. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação 6) Das equações 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 = 𝜎2 𝑥3𝑖 2 1−𝑟23 2 e 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝜎2 𝑥2𝑖 2 1−𝑟23 2 , fica evidente que, quando 𝑟23, o coeficiente de correlação entre 𝑋2𝑖 𝑒 𝑋3𝑖 , aumenta aproximando-se de 1 (colinearidade perfeita), essas variâncias tornam-se infinitas. As implicações disso serão mais exploradas na quebra dos pressupostos (heterocedasticidade), porém, já é possível perceber que a medida que 𝑟23 aumenta, fica cada vez mais difícil saber quis são os valores verdadeiros de 𝛽2 e 𝛽3.
  22. 22. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação 7) Também fica claro pelas duas equações observadas em (6), que, para valores dados de 𝑟23 e 𝑥2𝑖 2 ou 𝑥3𝑖 2 , as variâncias dos estimadores de MQO são diretamente proporcionais a 𝜎2; ou seja, eles aumentam à medida que 𝜎2 aumenta. Do mesmo modo, para valores dados de 𝜎2 e 𝑟23, a variância de 𝛽2 é inversamente proporcional a 𝑥2𝑖 2 , isto é, quanto maior a variância dos valores amostrais de 𝑋2, menor a variância de 𝛽2 e, portanto, de 𝛽2. Pode-se dizer o mesmo da variância de 𝛽3.
  23. 23. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação 8) Dadas as hipóteses do modelo clássico de regressão linear, pode-se demonstrar que os estimadores de MQO dos coeficientes parciais de regressão não são apenas lineares e não viesados (ou não tendenciosos). Em resumo, são MELNT ou BLUE. Dito de outra maneira, eles atendem ao teorema de Gauss-Markov.
  24. 24. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação O coeficiente de determinação Múltiplo, 𝑹 𝟐 , e o coeficiente de correlação múltiplo, R. Diferente o termo 𝑟2 que obtivemos para o modelo linear simples, agora teremos a interação de mais de duas variáveis na correlação. Por esse motivo que ele é denominado de múltiplo. Para o cálculo do mesmo partimos do próprio modelo de regressão linear: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝑢𝑖
  25. 25. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Considerando a forma reduzida do modelo temos: 𝑦𝑖 = 𝛽2 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑥3𝑖 + 𝑢𝑖 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 + 𝑢𝑖 Elevando ao quadrado os dois lados da expressão, solucionando o problema e depois aplicando o somatório teremos: 𝑦𝑖 2 = 𝑦𝑖 2 + 𝑢𝑖 2 + 2 𝑦𝑖 𝑢𝑖 𝑦𝑖 2 = 𝑦𝑖 2 + 𝑢𝑖 2 Que são (SQT) = (SQE) + (SQR)
  26. 26. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação No entanto, devemos lembrar agora que a SQE tem duas componentes, uma dada pela variável 𝑋2 e outra por 𝑋3. 𝑦𝑖 2 = 𝑦𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 − 𝛽2 𝑦𝑖 𝑥2𝑖 − 𝛽3 𝑦𝑖 𝑥3𝑖 Onde o SQE será: 𝑆𝑄𝐸 = 𝑦𝑖 2 = 𝛽2 𝑦𝑖 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖 𝑥3𝑖 Como 𝑅2 = 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝑇 , então: 𝑅2 = 𝛽2 𝑦𝑖 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖 𝑥3𝑖 𝑦𝑖 2
  27. 27. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Outra forma seria: 𝑅2 = 1 − 𝑆𝑄𝑅 𝑆𝑄𝑇 = 1 − 𝑢𝑖 2 𝑦𝑖 2 = 1 − 𝑛 − 3 𝜎2 𝑛 − 1 𝑆 𝑦 2 Tal valor irá se encontrar dentro do intervalo de 0 a 1. Outra elemento que devemos considerar, é a possibilidade de relacionar o R2 com a variância dos estimadores, dessa forma: 𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 = 𝜎2 𝑥𝑗 2 1 1 − 𝑅𝑗 2
  28. 28. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Uma breve aplicação. Vamos verificar para o exemplo 7.1 do capítulo 7 que aborda sobre os impactos do Produto Nacional Bruto per capita (PNBpc) e da Taxa de Alfabetização feminina (TAF) na Mortalidade Infantil (MI). Esse exemplo se encontra na tabela 6.4 e pode ser puxada no Gretl. No caso o Gretl trabalha com os dados americanos, mudando a abreviação das variáveis, então temos no exemplo: MI = CM PNBpc = PGNP TAF = FLR
  29. 29. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Então o modelo a ser estimado com base nas informações será: 𝑀𝐼𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑃𝑁𝑏𝑝𝑐𝑖 + 𝛽3 𝑇𝐴𝐹𝑖 + 𝑢𝑖 No vídeo será demonstrado todos os testes realizados e estimações calculadas, os resultados serão inseridos nos próximos Slides.
  30. 30. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação
  31. 31. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação
  32. 32. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação
  33. 33. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação
  34. 34. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação ** R2 e R2 ajustado Apesar de o R2 ser uma medida interessante, ela apresenta um problema, independente do tipo de variável que tenhamos em um MRLM, quando o número de variáveis crescem indefinidamente o R2 também aumenta. Isso pode ser melhor visualizado observando cuidadosamente a fórmula do R2: 𝑅2 = 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝑇 = 1 − 𝑆𝑄𝑅 𝑆𝑄𝑇 = 1 − 𝑢𝑖 2 𝑦𝑖 2 A medida que o número de variáveis no modelo aumentam a SQR irá diminuir, permitindo que o R2 aumente.
  35. 35. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Uma forma de medir o R2 é a sua forma ajustada. Nela são inseridos na fórmula o grau de liberdade associados ao resíduo (n-k) e ao valor da SQT (n-1). Assim a equação do coeficiente de determinação ajustado fica: 𝑅2 = 1 − 𝑢𝑖 2 𝑛 − 𝑘 𝑦𝑖 2 𝑛 − 1 O que podemos notar é que a SQR dividida pelo o seu grau de liberdade passa a ser a variância do resíduo, bem como a soma do valor reduzido de Y dividido pelo grau de liberdade (n-1) nos fornece a variância de Y, assim temos:
  36. 36. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação 𝑅2 = 1 − 𝜎2 𝑆 𝑌 2 Também podemos estabelecer uma relação entre o 𝑅2 𝑒 𝑜 𝑅2 , assim: 𝑅2 = 1 − 𝑢𝑖 2 𝑛 − 1 𝑦𝑖 2 𝑛 − 𝑘 = 1 − 1 − 𝑅2 𝑛 − 1 𝑛 − 𝑘
  37. 37. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Comparação entre dois valores de R2. O 𝑅2 muitas das vezes é uma medida para se escolher qual o melhor modelo, ou seja, qual modelo representa melhor uma realidade. No entanto, ele só pode ser comparado diretamente se ambos os modelos (que forem comparados) tiverem a mesma variável dependente. No caso vejas os dois modelos abaixo: ln 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 𝑌𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 + 𝛼3 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 Pode comparar os dois modelos acima?
  38. 38. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Toda variável que passa por algum tipo de transformação como aplicação do logaritmo, elevá-la a uma potência qualquer ou tirar a raiz implicam em mudança de variável, ou seja, ela perde a sua característica original e passa a ser uma nova variável. É por esse motivo que os dois modelos anteriormente vistos não podem ser comparados em seu R2, por ser tratarem de duas variáveis totalmente diferentes. No entanto, existe uma foram de torná-las comparáveis.
  39. 39. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Para tornar o R2’s comparáveis, quando temos variáveis diferentes, temos que fazer algumas conversões e usar uma fórmula que faça o cálculo do coeficiente de correlação parcial com apenas uma variável. Essa fórmula seria: 𝑟2 = 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑌𝑖 − 𝑌 2 𝑌𝑖 − 𝑌 2 𝑌𝑖 − 𝑌 2 Ou seja, 𝑟2 = 𝑦𝑖 𝑦𝑖 2 𝑦𝑖 2 𝑦𝑖 2
  40. 40. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Aproveitaremos para abordar o assunto da elasticidade nos modelos de regressão linear. O modelo remeterá a duas situações, uma em que: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 (a) e ln 𝑌𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2ln(𝑋2𝑖) (b) Podemos notar que as variáveis dependentes de ambos os modelos são diferentes, portanto, se formos comparar ambos não podemos usar o critério do R2 para compara-los diretamente, porém, podemos fazer uma transformação que viabilizará a comparação desse indicador.
  41. 41. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Os passos a serem seguidos serão: 1. Transformar o ln em valor normal: depois de estimado o modelo (b) vamos encontrar os valores de ln(𝑌𝑖), para transformá-los em uma aproximação de 𝑌𝑖 tiramos o antilogaritmo de ln(𝑌𝑖), com esse valor podemos aplicar na fórmula do R2 com o valor efetivo de 𝑌𝑖. 2. Como alternativa, supondo que todos os valores de Y sejam positivos, podemos obter o logaritmo dos valores de Y, ln(Y). Obter os valores estimados de Y (isto é, ln( 𝑌) e em seguida calcular o R2. Para o exemplo da tabela 7.1 da relação preço médio (X) e consumo de café (Y) dos EUA, temos
  42. 42. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação A Função de Produção Cobb-Douglas Trata-se de uma das mais famosas relações da teoria da produção. Na forma estocástica a função Cobb-Douglas pode ser especificada como: 𝑌𝑖 = 𝛽1 𝑋2𝑖 𝛽2 𝑋3𝑖 𝛽3 𝑒 𝑢 𝑖 Onde: 𝑌 – produção 𝑋2 - insumo trabalho 𝑋3 - insumo capital 𝑢 – termo de erro e – logaritmo na base natural
  43. 43. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Note que a relação observada pela função de produção não é linear nos parâmetros, portanto, temos que encontrar uma forma de transformar a função Cobb-Douglas objetivando sua linearização, para isso, basta aplicarmos o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação transformando-a em: ln 𝑌𝑖 = ln 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑋2𝑖 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 = 𝛽0 + 𝛽2 ln 𝑋2𝑖 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 Em que 𝛽0 = ln 𝛽1
  44. 44. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Algumas considerações importantes acerca dessa função transformada podem ser feitas: a) 𝛽2 é a elasticidade parcial do produto em relação ao insumo trabalho; mede a variação percentual da produção quando se verifica, por exemplo, uma variação de 1% no insumo trabalho, enquanto o capital é mantido constante. b) Da mesma forma, 𝛽3 é a elasticidade (parcial) do produto em relação ao insumo capital, mantido constante o trabalho. c) A soma (𝛽2+ 𝛽3) informa a respeito dos retornos de escala, a resposta do produto a uma variação proporcional nos insumos. Se essa soma for igual a 1, haverá retornos constantes de escala, isto é, se dobrarmos os insumos, a produção dobrará, se o triplicarmos, a produção triplicará. Caso a soma seja menor que 1 teremos então retornos decrescentes e caso a mesma seja maior que 1 teremos retornos crescentes.
  45. 45. Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação Estimação e interpretação da função Cobb-Douglas será usado o exemplo da tabela 7.3. Y – Produto Bruto Real (Milhões US$) X2 – Dias trabalhados (insumo trabalho) X3 – Insumo de capital real. Na sequência temos o exemplo da função polinomial, para uma melhor visualização da mesma trabalharemos com o exemplo 7.4 usando a tabela 7.4. Y – Produção X – Custo Total
  46. 46. FIM DO TÓPICO 1

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