1.
Introducción
Esta presentación tiene como tema principal las ecuaciones
paramétricas, las cuales permiten representar una curva o
superficie en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo
de números reales, mediante una variable llamada parámetro,
considerando cada coordenada de un punto como una función
dependiente del mismo. Mediante este tema nos desglosaremos
para hablar sobre las generalidades del algebra vectorial, que se
encargan de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales, vectores,
matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales
donde se puede reflejar una presentación de su grafica utilizando
las generalidades del algebra vectorial. También es importante
mencionar la longitud de un arco o rectificación de una curva, que
es la medida de la distancia o cambio recorrido a lo largo de una
curva o dimensión lineal. Todos estos puntos son fundamentales
para la realización de una ecuación.

2.
Generalidades
del álgebra
vectorial
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas que se
encargada de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales, vectores,
matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. El
algebra vectorial también se relaciona con áreas como ingeniería,
resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional,
investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
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3.
Fundamentos
4
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones
1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana
promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de
que los vectores servirían de instrumento para representar
varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres
fundamentos:
• Geométricamente: Los vectores son representados por rectas
que tienen una orientación, y las operaciones como suma,
resta y multiplicación por números reales son definidas a
través de métodos geométricos
• Analíticamente La descripción de los vectores y sus
operaciones es realizada con números, llamados
componentes. Este tipo de descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza un sistema de
coordenadas
• Axiomáticamente Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de coordenadas o de
cualquier tipo de representación geométrica.

4.
Ecuaciones
paramétricas
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas
permite representar una curva o superficie en el plano o en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números
reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel
puede ser determinada analíticamente por medio de punto A que
forme parte de dicha recta y una dirección que se puede expresar
mediante un vector no nulo.
En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por
un sistema de tres ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).

5.
Representación
paramétrica de una
curva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n
dimensional consiste en n funciones de una variable t que en
este caso es la variable independiente o parámetro de la forma
𝑥𝑖 = 𝑓𝑖 𝑡 , 𝑓𝑖 ∶ 𝑎, 𝑏 𝑅 donde 𝑥𝑖 representa la i-ésima
coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo
[a, b] a t.
Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se
usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Si X y Y están expresadas como funciones: x = f(t), y = g(t), en
un intervalo I de valores t, entonces, el conjunto de puntos (x, y)
= (f(t), g(t)) definido por estas ecuaciones es una curva
paramétrica.
Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva. La
variable t es un parámetro de la curva y su dominio I es el
intervalo del parámetro. Si I es un intervalo cerrado, a t b, el
punto (f(a), g(a)) es el punto inicial de la curva, y (f(b), g(b)) es el
punto final.
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6.
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Ejemplo 1: Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas
Solución:
Elaboramos una pequeña tabla de valores (tabla 11.1), graficamos los puntos (x, y) y trazamos una curva
suave que pase por ellos (figura 11.2). A cada valor de t corresponde un punto (x, y) sobre la curva; por
ejemplo, a t = 1 le corresponde el punto (1, 2) registrado en la tabla 11.1. Si pensamos que la curva es la
trayectoria de una partícula en movimiento, entonces, la partícula se desplaza a lo largo de la curva en la
dirección de las echas que se muestran en la figura 11.2. Si bien los intervalos de tiempo son iguales en la
tabla, los puntos consecutivos trazados a lo largo de la curva no están a las mismas distancias sobre el arco
de la curva. La razón es que la partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la
rama inferior de la curva conforme t aumenta, y luego acelera después de alcanzar el eje y en (0, 1)
desplazándose a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de valores para t está compuesto por
números reales, no existe un punto inicial ni uno final de la curva.

7.
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Ejemplo 2: Grafique las curvas paramétricas
Solución:
Puesto que 𝑥2
+𝑦2
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 = 1, la curva paramétrica se encuentra en la circunferencia unitaria 𝑥2
+
𝑦2
= 1. Conforme t aumenta de 0 a 2𝜋, el punto (x , y)= (cos t, sent t) inicia su recorrido en (1,0) y traza
la circunferencia completa una sola vez en sentido opuesto al de las manecillas del reloj.

8.
Grafica de
ecuaciones
paramétricas.
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Las ecuaciones paramétricas son aquellas ecuaciones en que
las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en
función de la misma tercera variable. Según esto, designando por
la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable
paramétrica.
Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas
coordenadas están dadas por las ecuaciones paramétricas.
𝑥 = 𝑓( 𝑡 ), 𝑦 = 𝑔 ( 𝑡 ).
En donde f y g son funciones continuas en un intervalo [a,b].

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Graficación de ecuaciones paramétricas:
Ejemplo:
Considera las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑡 𝑦 𝑦 = ⃓ 𝑡⃓ para −3 ≤ 𝑡 ≤ 2.
a) Grafica las ecuaciones en papel cuadriculado.
Solución:
Usar las ecuaciones para calcular los valores x y y que corresponden a los valores t en el intervalo.
b) Después grafica los puntos a medida que t aumenta, conectando cada punto con el anterior.

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Grafica Cartesiana:
Obtenga la parametrización de la recta que pasa por el punto (a,b) y que tiene una pendiente m.
Solución:
La ecuación cartesiana de la recta es y-b=m(x-a). Si establecemos el parámetro t= x-a, encontramos
que x= a+t y y –b = mt. Es decir:
Observe que una parametrización también especifica (mediante el valor del parámetro) cuando la
partícula que se mueve a lo largo de la curva se ubica en un punto específico de esta manea se llega
al punto (2,4) cuando t = 4, el punto se alcanza “antes”, cuando t = 2.

11.
Comparación
grafica de ecuación
paramétrica y de
Cartesiano
En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e
y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama
ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos
de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’. Una curva
que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello,
las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin
de representar el parámetro ‘t’ como:
𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡
Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas
diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos
valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es
decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas
Cartesianas.
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12.
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Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación
de las características cinemáticas de una partícula en movimiento:
Ejercicio 1: El movimiento de una partícula viene dado por la ecuación: x = -8 + 2t en el S.I.
A. ¿Donde se encuentra inicialmente?.
B. ¿En qué dirección se mueve y hacia donde se dirige?
C. ¿Cual es la posición de la partícula a los 5 s?
D. ¿Qué espacio ha recorrido en 5 s?
Respuesta: (-8,0), dirección del eje X, en sentido positivo, (2,0) m, 10m
Ejercicio 2: Una partícula efectúa un movimiento cuya ecuación vectorial esta determinada por
r(t)=3ti+(2t2+3)j, expresada en unidades del Sistema Internacional. Determinar:
A. El vector de posición en el instante inicial.
B. La posición en el instante t = 5 s.
C. La ecuación de la trayectoria.
D. El vector desplazamiento que corresponde al intervalo entre 0 y 5 s.

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Respuesta:
A. 3jm
B. r5 = 15 i + 53 j (m)
C. y= 2x2/9 +3
D. ∆r = 15 i + 50 j (m)

14.
Transformar
las
ecuaciones
paramétricas
a las
cartesianas
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Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio
(x, y, z) que satisfacen la ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está
escrita en ecuación paramétrica:
1. Se igualan las coordenadas.
2. Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
3. Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación
lineal en variables (x,y,z).
Ecuación paramétrica: Función que asocia un punto de la recta a
cada valor del parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp
+ μq z= z + λp + μq c) λ=0, μ=0 d) λ=0, μ=1 e) λ=2, μ=2
• λ=0, μ=0
• λ=0, μ=1
• λ=2, μ=2

15.
Ejemplos
Dado el plano de ecuación vectorial determinar su ecuación
cartesiana:
• Escribir la representación paramétrica del plano
• Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación
• Eliminar parámetros para determinar la relación entre x, y, z.

16.
Continuación
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• Restando a la segunda ecuación la primera quedaría
• El sistema se reduce a:
• Por lo tanto, la ecuación cartesiana del plano es:

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Longitud de arco en ecuaciones paramétricas:
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la
distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma:
Cuando (X y Y) son funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para poder usar la integral de
longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en
términos de dt.
Se sustituye estas expresiones en la integral y factoría el término fuera del radical.

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Longitud de una curva paramétrica:
Considera la curva parametrizada por las siguientes ecuaciones:
Si dejamos que t varíe de -1,5 a 1,5 la curva resultante se ve así:

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Determinar la longitud de arco de una curva a través de sus
ecuaciones paramétricas:
Ejercicio:
Procedimiento: Obtener las derivadas de las funciones x y y.
Grafica:

20.
21
Procedimiento: Aplicar y resolver la integral para la longitud de arco
Evaluación de F:
Grafica:

21.
Conclusión
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Concluimos, que las ecuaciones paramétricas nos permiten
representar una curva o superficie en el plano o en el espacio. Que las
generalidades del algebra vectorial se relacionan también con áreas
como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis
funcional, investigación de operaciones y gráficas computacionales.
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra es la física, ya que a
través de esta se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos
físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores

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Anexos
• Ecuaciones Paramétricas:
https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo&app=des
ktop
• Generalidades del Algebra Vectorial:
https://www.youtube.com/watch?v=SBc7Je9WQv0&app=desk
top
• Longitud de arco en ecuaciones paramétricas:
https://www.youtube.com/watch?v=LSsrD-gU-AE
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Bibliografia
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Para la realización de ésta presentación se utilizaron las
siguientes paginas:
• https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-
vectores/
• https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_ param%C3%A9trica#:~:te
xt=En%20matem%C3%A1ticas%2C%20un%20sistema%20de,una%20fun
ci%C3%B3n%20dependiente%20del%20par%C3%A1metro.
• https://image.slidesharecdn.com/mate3-191110070251/95/ecuaciones-
parametricas-25-638.jpg?cb=1573369527
• https://image.slidesharecdn.com/mate3-191110070251/95/ecuaciones-
parametricas-25-638.jpg?cb=1573369527
• https://image.slidesharecdn.com/diapositivasmatematicawecompress-
201020010644/95/ecuaciones-paramtricas-29-638.jpg?cb=1603156149
• https://image.slidesharecdn.com/diapositivasmatematicawecompress-
201020010644/95/ecuaciones-paramtricas-29-638.jpg?cb=1603156149