Espa4123 statistika modul 2

Ratzman III
Ratzman IIILecturer em AMC
MODUL 2
UKURAN TENDENSI PUSAT
DAN UKURAN LETAK
Tutor : Derist Touriano
UKURAN TENDENSI PUSAT (CENTRAL TENDENCY)
Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data
pengamatan (Central Tendency). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan
suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan)
dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral). Terdapat tiga ukuran pemusatan data yang
sering digunakan, yaitu : Mean, Median dan Mode.
Pada modul ini akan dibahas mengenai pengertian beberapa ukuran tendensi pusat yang dilengkapi
dengan contoh perhitungan, baik untuk data tunggal ataupun data yang sudah dikelompokkan dalam
tabel distribusi frekuensi. Selain ukuran statistik di atas, akan dibahas juga mengenai beberapa ukuran
statistik lainnya, seperti Rata-rata Ukur (Geometric Mean), Rata-rata Harmonik (H) serta beberapa
karakteristik penting yang perlu dipahami untuk ukuran tendensi sentral yang baik serta bagaimana
memilih atau menggunakan nilai tendensi sentral yang tepat.
Mean (Arithmetic Mean)
Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode
yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan
menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut
dapat di nyatakan dengan persamaan berikut :
Rumus :
Keterangan :
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
n = banyaknya sampel data
N = banyaknya data populasi
= nilai rata-rata sampel
μ = nilai rata-rata populasi
Mean dilambangkan dengan (dibaca "x-bar") jika kumpulan data ini merupakan contoh (sampel) dari
populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan μ (huruf kecil
Yunani mu).
Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris, , sementara parameter-parameter
populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ
Rata-Rata Hitung (Mean) Untuk Data Tunggal
Contoh 1 :
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab :
Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut :
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
n = banyaknya sampel data
= nilai rata-rata sampel
Contoh 2:
Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut ?
Catatan :
Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel
frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi
dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan
selang/kelas tertentu.
Jawab :
Mean Dari Data Distribusi Frekuensi atau Dari Gabungan :
Distribusi Frekuensi : Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi
frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung
nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
= nilai rata-rata sampel
Contoh 3:
Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80
mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel
frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh
ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data
yang sudah dikelompokkan berdasarkan
selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang
kelas = 10).
Jawab :
1. Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi) dan hitung fixi.
2.
Catatan :
Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat
dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya.
Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata-
rata hitung dari sumber data aslinya.
Rata-Rata Gabungan atau Rata-Rata Terboboti (Weighted Mean)
Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat
untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.
Contoh 4:
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-
ratanya?
Jawab:
Median
Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,..., xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah
gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak
tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-
rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan
pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan
50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan dengan (dibaca "x-tilde") apabila sumber
datanya berasal dari sampel (dibaca "μ-tilde") untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh
nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka. Prosedur untuk menentukan nilai
median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:
 Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
 Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus
data
Median Data Tunggal
Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui letak/posisi median
tersebut. Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut :
dimana n = banyaknya data pengamatan.
Median apabila n ganjil:
Contoh 5:
Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
Data : 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Setelah diurutkan : 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10
Banyaknya Data (n) : 11
Posisi Me : ½ (11+1) = 6
Median : 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)
Median apabila n genap :
Contoh 6:
Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
Jawab:
Data : 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
Setelah diurutkan : 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Banyaknya Data (n) : 10
Posisi Me : ½ (10 + 1) = 5,5
Data Tengah : 6 dan 7
Median : ½ (6 + 7) = 6,5
(rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)
Median dalam Distribusi Frekuensi
Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :
Keterangan :
b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel/banyak data
f = frekuensi kelas median
F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑fi)
Contoh 7:
Tentukan nilai median dari tabel distribusi
frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab :
Letak kelas median:
Setengah dari seluruh data = 40, terletak
pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)
b = 70.5, p = 10
n = 80,
f = 24 (frekuensi kelas median)
F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23
Mode
Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data
dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling
besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data
kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu
gugus data:
 Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
 Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan
multimodal.
 Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak
mempunyai modus.
Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data
kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.
 Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.
 Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed) : mean < median < modus
 Untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed) : terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean >
median > modus.
Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun
hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut :
Mean - Mode = 3 (Mean - Median)
Modus Data Tunggal
Contoh 8:
Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas
3 SMU berikut ini:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Jawab :
 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga
Modus (M) = 7
 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3
kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena
mempunyai dua modus. Karenake-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung dengan
menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.
 2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3
kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena
mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak
berurutan.
 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul
2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal
karena modusnya lebih dari dua.
 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing
muncul satu kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya
Modus dalam Distribusi Frekuensi:
Dimana :
Mo = modal = kelas yang memuat modus
b = batas bawah kelas modal
p = panjang kelas modal
bmo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi)
b1 = bmo – bmo - 1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya
b2 = bmo – bmo +1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya
Contoh 9 :
Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab :
Kelas modul = kelas ke-5
b = 71 - 0.5 = 70.5
b1 = 24 -13 = 11
b2 = 24 – 21 = 3
p = 10
Selain tiga ukuran tendensi sentral di atas (mean, median, dan mode), terdapat ukuran tendensi sentral
lainnya, yaitu rata-rata ukur (Geometric Mean) dan rata-rata harmonis (Harmonic Mean).
Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur
datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Dimana:
U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik)
n = banyaknya sampel
Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data.
Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat
perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir
tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.
Rata-Rata Ukur Untuk Data Tunggal
Contoh 10:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?
Jawab :
Distribusi Frekuensi:
xi = tanda kelas (nilai tengah)
fi = frekuensi yang sesuai dengan xi
Contoh 11:
Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab :
Rata-Rata Harmonik (H)
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung
(aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut :
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang
bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk
kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
Rata-Rata Harmonic Untuk Data Tunggal
Contoh 12:
Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam,
sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?
Jawab :
Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5
km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:
Formula :
Contoh 13:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab :
Perbandingan Ketiga Rata-Rata (Mean):
Karakteristik Penting Untuk Ukuran Tendensi Sentral Yang Baik
 Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi data,
sehingga harus memiliki sifat-sifat berikut:
 Harus mempertimbangkan semua gugus data
 Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim.
 Harus stabil dari sampel ke sampel.
 Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.
Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi semua persyaratan tersebut, kecuali syarat
pada point kedua, rata-rata dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6;
6; 7; 7; 8; 9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir adalah 90
bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median dan modus tidak berubah. Meskipun dalam hal
ini median dan modus lebih baik, namun tidak memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean
merupakan ukuran nilai pusat yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik.
Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang berbeda?
Nilai ukuran pusat yang tepat untuk digunakan tergantung pada sifat data, sifat distribusi frekuensi dan
tujuan. Jika data bersifat kualitatif, hanya modus yang dapat digunakan. Sebagai contoh, apabila kita
tertarik untuk mengetahui jenis tanah yang khas di suatu lokasi, atau pola tanam di suatu daerah, kita
hanya dapat menggunakan modus. Di sisi lain, jika data bersifat kuantitatif, kita dapat menggunakan salah
satu dari ukuran nilai pusat tersebut, mean atau median atau modus. Meskipun pada jenis data kuantitatif
kita dapat menggunakan ketiga ukuran tendensi sentral, namun kita harus mempertimbangkan sifat
distribusi frekuensi dari gugus data tersebut.
 Bila distribusi frekuensi data tidak normal (tidak simetris), median atau modus merupakan ukuran
pusat yang tepat.
 Apabila terdapat nilai-nilai ekstrim, baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau
modus.
 Apabila distribusi data normal (simetris), semua ukuran nilai pusat, baik mean, median, atau modus
dapat digunakan. Namun, mean lebih sering digunakan dibanding yang lainnya karena lebih
memenuhi persyaratan untuk ukuran pusat yang baik.
 Ketika kita berhadapan dengan laju, kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata
harmonik.
 Jika kita tertarik pada perubahan relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel
dan sebagainya, rata-rata geometrik adalah rata-rata yang paling tepat.
UKURAN LETAK
Dengan menggunakan dasar-dasar median, kita dapat meneruskan kepada perhitungan-perhitungan
statistik yang dimaksudkan untuk membuat suatu ukuran atau norma yang digunakan sebagai pedoman
untuk membuat kategori-kategori kualitas sekelompok individu. Berdasarkan suatu norma tertentu,
seorang peneliti dapat memisahkan individu menjadi bermacam-macam kategori sesuai dengan
keperluannya. Misalnya dengan membagi distribusi menjadi 2 kategori yaitu individu yang diterima dan
ditolak dalam seleksi suatu pekerjaan. Dengan 4 kategori didapatkan kategori-kategori seperti baik sekali,
baik, sedang dan tidak baik. Peneliti bisa mengembangkan sampai menjadi 10 bahkan 100 kategori.
Pembuatan kategori ini penting terutama apabila peneliti akan membuat suatu kualifikasi, mengenai
subyek penelitian. Misalnya subyek penelitian akan dibagi menjadi 4 bagian yang setiap bagiannya
memiliki jumlah individu yang sama, dimana dasar pembagiannya adalah nilai yang dapat menjadi batas
dari kelompok yang terdapat dalam distribusi.
Tatacara yang digunakan untuk membuat norma dengan kategori disebut median (Me) dengan 4 kategori
disebut Kuartil (K) dengan 10 kategori disebut desil (D) dan dengan 100 kategori disebut persentil (P).
Apabila menghendaki pembagian jumlah kategori diluar macam-macam jumlah kategori tersebut,
misalnya menginginkan pembagian kategori menjadi 3, 5, 9, 20 atau yang lainnya, maka dapat
menggunakan rumus persentil. Cara perhitungan median tidak akan dibahas lagi dalam pembagian ini
karena sudah dikaji panjang lebar pada bagian sebelumnya.
Quartil (Q)
Konsep median dapat diperluas, yaitu kelompok data yang telah diurutkan (membesar atau mengecil)
dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak. Bilangan pembagian ada tiga, masing-masing disebut
kuartil. Kuartil adalah suatu indeks yang dapat membagi suatu distribusi data menjadi 4 bagian atau
kategori. Untuk membagi 4 bagian tersebut dibutuhkan 3 titik kuartil (K), dimana masing-masing titik
kuartil diberi nama kuartil satu (K1), Kuartil dua (K2) dan kuartil tiga (K3). Kuartil pertama disebut juga
kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah, dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas.
Keterangan :
Xmin = data terkecil
Xmaks = data terbesar
Q1 = kuartil ke-1
Q2 = kuartil ke-2
Q3 = kuartil ke-3
Kuartil Data Tunggal
Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data yang disajikan lebih banyak. Letak
dari Qi dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan :
Qi = kuartil ke-i
n = banyaknya data
Contoh 1
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Jawab :
Letak Q1adalah
1 (14+1)
4
=
15
4
= 3
3
4
sehingga :
Q1 = 𝑥3 +
3
4
(𝑥4 − 𝑥3)
Q1 = 4 +
3
4
(4 − 4) = 4
Letak Q2adalah
2 (14+1)
4
=
15
4
= 7
1
2
sehingga :
Q2 = 𝑥7 +
1
2
(𝑥7 − 𝑥6)
Q2 = 7 +
1
2
(7 − 7) = 7
Letak Q3adalah
3 (14+1)
4
=
45
4
= 11
1
4
sehingga :
Q3 = 𝑥11 +
1
4
(𝑥12 − 𝑥11)
Q1 = 8 +
3
4
(9 − 8) = 8
1
4
= 8,25
Jadi Q1 = 4 ; Q2 = 7 ; Q3 = 8,25
Contoh 2
Dalam suatu test 50 mahasiswa baru didapat tabel frekuensi tunggal sebagai berikut :
Berdasarkan data di atas, tentukan Q2 (Kuartal ke-2)
Jawab :
Banyaknya data 50.
Letak Q2 = 𝑥25 +
1
2
(𝑥25 − 𝑥24)
Q2 = 6 +
1
2
(6 − 6) = 6
Jadi Q2 (kuartil ke-2) adalah 6
Kuartil Data Berkelompok
Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok, caranya sama dengan data tunggal.
Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil
Contoh 3
Tentukan Q1 (kuartil bawah), Q2 (median), dan Q3
(kuartil atas) dari data tes Matematika terhadap
40 siswa kelas XI IPA berikut ini.
Jawab :
Desil (D)
Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi suatu distribusi data menjadi 10 bagian atau kategori. Jika
suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil,
Desil Data Tunggal
Desil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar.
Sehingga letak dari Di (Desil ke-i) diringkas
Keterangan:
Di = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data
Contoh 4
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan D2 dan D4:
Jawab :
Data diurutkan : 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak D2 diurutkan data ke-
2 (10+1)
10
=
22
10
= 2,2
D2 terletak pada urutan ke-2,2, sehingga :
D2 = X2 + 0,2 (X3 – X2)
D2 = 5 + 0,2 (5 – 5) = 5 + 0 = 5
Letak D4 diurutkan data ke-
4 (10+1)
10
=
44
10
= 4,4
D4 terletak pada urutan ke-2,2, sehingga :
D4 = X4 + 0,4 (X5 – X4)
D4 = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4
Desil Data Berkelompok
Nilai desil ke-i dari data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :
Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas
Contoh 5
Diketahui data pada tabel bergolong di bawah. Dari data tersebut tentukan :
a. Desil ke-1
b. Desil ke-9
Jawab :
a. Letak D1 = 4 yaitu pada data ke-4 dan kelas D1 = 46 – 50 sehingga diperoleh:
b. Letak D9 = (9* 40)/10= 36 yaitu data ke-36 dan kelas D9 = 61 – 65 sehingga diperoleh:
Persentil (P)
Melalui persentil seorang peneliti dapat dengan leluasa membagi distribusi data yang dimilikinya kedalam
jumlah-jumlah kategori yang dikehendakinya. Misalnya jika penelitian ingin membagi distribusi data
tentang skor-skor stress kerja (yang masih berupa data interval) menjadi 5 kategori data ordinal (misalnya
tinggi sekali, tinggi, sedang, rendah dan rendah sekali) maka peneliti harus menemukan 4 titik persentil
dengan jalan melakukan pembagian, 100/5 = 20. Angka 20 ini nanti akan berfungsi sebagai kelipatan yang
digunakan untuk menentukan dasar pembuatan kategori.
Persentil Data Tunggal
Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut Persentil (P). Letak persentil
dirumuskan dengan:
Keterangan:
Pi = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data
Contoh 6
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Jawab :
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak Persentil ke-30 diurutkan data ke-
30 (10+1)
100
=
333
100
= 3,3
Letak P30 = 𝑥3 + 0,3 (𝑥4 − 𝑥3)
P30 = 5 + 0,3 (6 − 5) = 5,3
Jadi P30 (Persentil ke-30) adalah 5,3
Letak Persentil ke-75 diurutkan data ke-
75 (10+1)
100
=
825
100
= 8,25
Letak P75 = 𝑥8 + 0,25 (𝑥9 − 𝑥8)
P75 = 9 + 0,25 (10 − 9) = 9,25
Jadi P30 (Persentil ke-75) adalah 9,25
Persentil Data Berkelompok
Bila data dibagi menjadi 100 bagian yang sama maka ukuran itu disebut persentil. Letak dari persentil
dapat dirumuskan dengan: P1 =
Sedangkan nilai persentil ke-i dari data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :
Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas
sebelum
kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas
Contoh 7
Diketahui data pada tabel bergolong di bawah.
Dari data tersebut tentukan:
a. persentil ke-25
b. persentil ke-60
Jawab :
Letak Persentil ke-25 diurutkan data ke-
40 (25)
100
=
1000
100
= 10, kelas P25 = 51 – 50,
sehingga diperoleh :
Jadi P25 (Persentil ke-25) adalah 50,81
Letak P60 =
60 (40)
100
=
2400
100
= 24, kelas P25 = 56 – 60,
sehingga diperoleh:
LATIHAN

Recomendados

ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 2 : Ukuran Tendensi Pusat dan Ukuran Letak por
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 2 : Ukuran Tendensi Pusat dan Ukuran LetakESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 2 : Ukuran Tendensi Pusat dan Ukuran Letak
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 2 : Ukuran Tendensi Pusat dan Ukuran LetakAncilla Kustedjo
5.2K visualizações19 slides
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 4 : Konsep Probabilitas, Distribusi Prob... por
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 4 : Konsep Probabilitas, Distribusi Prob...ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 4 : Konsep Probabilitas, Distribusi Prob...
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 4 : Konsep Probabilitas, Distribusi Prob...Ancilla Kustedjo
8.6K visualizações31 slides
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 3 : Ukuran Penyimpangan por
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 3 : Ukuran PenyimpanganESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 3 : Ukuran Penyimpangan
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 3 : Ukuran PenyimpanganAncilla Kustedjo
4.4K visualizações29 slides
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 1: Konsep Dasar Statistika por
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 1: Konsep Dasar StatistikaESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 1: Konsep Dasar Statistika
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 1: Konsep Dasar StatistikaAncilla Kustedjo
24.7K visualizações26 slides
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 6 : Estimasi (Pendugaan Statistik) por
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 6 : Estimasi (Pendugaan Statistik)ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 6 : Estimasi (Pendugaan Statistik)
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 6 : Estimasi (Pendugaan Statistik)Ancilla Kustedjo
8.8K visualizações37 slides
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 7 : Uji Hipotesis por
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 7 : Uji HipotesisESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 7 : Uji Hipotesis
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 7 : Uji HipotesisAncilla Kustedjo
6.8K visualizações31 slides

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis Varian por
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis VarianESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis Varian
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis VarianAncilla Kustedjo
9.4K visualizações25 slides
Ukuran pemusatan data por
Ukuran pemusatan dataUkuran pemusatan data
Ukuran pemusatan dataAndri Pradinata
15K visualizações38 slides
Modul 1 statistika deskriptif por
Modul 1 statistika deskriptifModul 1 statistika deskriptif
Modul 1 statistika deskriptifDanu Kusumo Kusumo
19.1K visualizações17 slides
Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran) por
Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)
Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)eyepaste
74.5K visualizações48 slides
pendugaan titik dan pendugaan interval por
 pendugaan titik dan pendugaan interval pendugaan titik dan pendugaan interval
pendugaan titik dan pendugaan intervalYesica Adicondro
10.8K visualizações15 slides
Bab iv pemusatan dan penyebaran data por
Bab iv pemusatan dan penyebaran dataBab iv pemusatan dan penyebaran data
Bab iv pemusatan dan penyebaran datalinda_rosalina
3.3K visualizações32 slides

Mais procurados(20)

ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis Varian por Ancilla Kustedjo
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis VarianESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis Varian
ESPA 4123 - Statistika Ekonomi Modul 8 : Analisis Varian
Ancilla Kustedjo9.4K visualizações
Ukuran pemusatan data por Andri Pradinata
Ukuran pemusatan dataUkuran pemusatan data
Ukuran pemusatan data
Andri Pradinata15K visualizações
Modul 1 statistika deskriptif por Danu Kusumo Kusumo
Modul 1 statistika deskriptifModul 1 statistika deskriptif
Modul 1 statistika deskriptif
Danu Kusumo Kusumo19.1K visualizações
Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran) por eyepaste
Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)
Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)
eyepaste74.5K visualizações
pendugaan titik dan pendugaan interval por Yesica Adicondro
 pendugaan titik dan pendugaan interval pendugaan titik dan pendugaan interval
pendugaan titik dan pendugaan interval
Yesica Adicondro10.8K visualizações
Bab iv pemusatan dan penyebaran data por linda_rosalina
Bab iv pemusatan dan penyebaran dataBab iv pemusatan dan penyebaran data
Bab iv pemusatan dan penyebaran data
linda_rosalina3.3K visualizações
Bab 1 Mengenal Stata por NajMah Usman
Bab 1 Mengenal StataBab 1 Mengenal Stata
Bab 1 Mengenal Stata
NajMah Usman9.8K visualizações
Kurva Normal por Tri Sulistiono
Kurva NormalKurva Normal
Kurva Normal
Tri Sulistiono56.5K visualizações
Keuntungan maksimum por Kristalina Dewi
Keuntungan maksimumKeuntungan maksimum
Keuntungan maksimum
Kristalina Dewi22.5K visualizações
Bab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik Deskriptif por Cabii
Bab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik DeskriptifBab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik Deskriptif
Bab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik Deskriptif
Cabii10.4K visualizações
Revisi tendensi sentral dan variabilitas por istiqma
Revisi tendensi sentral dan variabilitasRevisi tendensi sentral dan variabilitas
Revisi tendensi sentral dan variabilitas
istiqma11.1K visualizações
Matematika bisnis-kel-8 por Haidar Bashofi
Matematika bisnis-kel-8Matematika bisnis-kel-8
Matematika bisnis-kel-8
Haidar Bashofi34K visualizações
Metode sampling por Eko Mardianto
Metode sampling Metode sampling
Metode sampling
Eko Mardianto3K visualizações
Momen kemiringan dan_keruncingan(7) por rizka_safa
Momen kemiringan dan_keruncingan(7)Momen kemiringan dan_keruncingan(7)
Momen kemiringan dan_keruncingan(7)
rizka_safa107.2K visualizações
Bab 03 statistika por Niken Halimy
Bab 03   statistikaBab 03   statistika
Bab 03 statistika
Niken Halimy2.6K visualizações
Distribusi hipergeometrik por Elias Setiawan
Distribusi hipergeometrikDistribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik
Elias Setiawan13.7K visualizações
Uji hipotesis 1 & 2 rata rata por yositria
Uji hipotesis 1 & 2 rata rataUji hipotesis 1 & 2 rata rata
Uji hipotesis 1 & 2 rata rata
yositria71.1K visualizações
Uji hipotesis 2 rata rata por Annisa Nurzalena
Uji hipotesis 2 rata rataUji hipotesis 2 rata rata
Uji hipotesis 2 rata rata
Annisa Nurzalena4.1K visualizações
PENDUGAAN PARAMETER por Repository Ipb
PENDUGAAN PARAMETERPENDUGAAN PARAMETER
PENDUGAAN PARAMETER
Repository Ipb8.8K visualizações

Similar a Espa4123 statistika modul 2

Tugas mata kuliahstatistik por
Tugas mata kuliahstatistikTugas mata kuliahstatistik
Tugas mata kuliahstatistikfeby safitri
189 visualizações9 slides
( Putri). ukuran pemusatan data. por
( Putri). ukuran pemusatan data.( Putri). ukuran pemusatan data.
( Putri). ukuran pemusatan data.Putri Indah Ramadhani
2.1K visualizações17 slides
Ukuran pemusatan por
Ukuran pemusatanUkuran pemusatan
Ukuran pemusatanprofkhafifa
318 visualizações17 slides
Tugas ke 3 statistik pendidikan por
Tugas ke 3 statistik pendidikanTugas ke 3 statistik pendidikan
Tugas ke 3 statistik pendidikanyuliana0189
18.3K visualizações27 slides
Statistika Dasar por
Statistika DasarStatistika Dasar
Statistika DasarRhesa Theodore
9.8K visualizações65 slides
ukuran pemusatan data por
ukuran pemusatan dataukuran pemusatan data
ukuran pemusatan datarennijuliyanna
683 visualizações13 slides

Similar a Espa4123 statistika modul 2(20)

Tugas mata kuliahstatistik por feby safitri
Tugas mata kuliahstatistikTugas mata kuliahstatistik
Tugas mata kuliahstatistik
feby safitri189 visualizações
( Putri). ukuran pemusatan data. por Putri Indah Ramadhani
( Putri). ukuran pemusatan data.( Putri). ukuran pemusatan data.
( Putri). ukuran pemusatan data.
Putri Indah Ramadhani2.1K visualizações
Ukuran pemusatan por profkhafifa
Ukuran pemusatanUkuran pemusatan
Ukuran pemusatan
profkhafifa318 visualizações
Tugas ke 3 statistik pendidikan por yuliana0189
Tugas ke 3 statistik pendidikanTugas ke 3 statistik pendidikan
Tugas ke 3 statistik pendidikan
yuliana018918.3K visualizações
Statistika Dasar por Rhesa Theodore
Statistika DasarStatistika Dasar
Statistika Dasar
Rhesa Theodore9.8K visualizações
ukuran pemusatan data por rennijuliyanna
ukuran pemusatan dataukuran pemusatan data
ukuran pemusatan data
rennijuliyanna683 visualizações
Statistika deskriptif por Tiara Anggraini
 Statistika deskriptif Statistika deskriptif
Statistika deskriptif
Tiara Anggraini25.9K visualizações
Ukuran pemusatan data por feby safitri
Ukuran pemusatan dataUkuran pemusatan data
Ukuran pemusatan data
feby safitri3.1K visualizações
Ukuran pemusatan data haniful muttaqin por hanifulmuttaqin87
Ukuran pemusatan data haniful muttaqinUkuran pemusatan data haniful muttaqin
Ukuran pemusatan data haniful muttaqin
hanifulmuttaqin871.1K visualizações
Median, Modus dan mean data berkelompok.ppt por ZuLfiyahArdiansyah
Median, Modus dan mean data berkelompok.pptMedian, Modus dan mean data berkelompok.ppt
Median, Modus dan mean data berkelompok.ppt
ZuLfiyahArdiansyah1.4K visualizações
statistik_cek1.pptx por AnggunRusyantia
statistik_cek1.pptxstatistik_cek1.pptx
statistik_cek1.pptx
AnggunRusyantia5 visualizações
Statistika Ekonomi I : Nilai Pusat Dan Ukuran Penyimpangan por Arie Khurniawan
Statistika Ekonomi I : Nilai Pusat Dan Ukuran PenyimpanganStatistika Ekonomi I : Nilai Pusat Dan Ukuran Penyimpangan
Statistika Ekonomi I : Nilai Pusat Dan Ukuran Penyimpangan
Arie Khurniawan11.7K visualizações
BAB 2 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK.pptx por azizahsiti6
BAB 2 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK.pptxBAB 2 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK.pptx
BAB 2 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK.pptx
azizahsiti628 visualizações
Ukuran tendensi sentral(4) por rizka_safa
Ukuran tendensi sentral(4)Ukuran tendensi sentral(4)
Ukuran tendensi sentral(4)
rizka_safa36.5K visualizações
02. PPT MTK (Wajib) XII - www.ilmuguru.org.pptx por AyuDinaAdniaty
02. PPT MTK (Wajib) XII - www.ilmuguru.org.pptx02. PPT MTK (Wajib) XII - www.ilmuguru.org.pptx
02. PPT MTK (Wajib) XII - www.ilmuguru.org.pptx
AyuDinaAdniaty8 visualizações
Statistik dan Statistika por Siti Sahati
Statistik dan StatistikaStatistik dan Statistika
Statistik dan Statistika
Siti Sahati330 visualizações
Ukuran pemusatan por rkhmtk11
Ukuran pemusatanUkuran pemusatan
Ukuran pemusatan
rkhmtk1125 visualizações
1 por bolink
11
1
bolink28 visualizações
1 por bolink
11
1
bolink36 visualizações

Mais de Ratzman III

Tugas Tutorial EKSI4202 Hukum Pajak por
Tugas Tutorial EKSI4202 Hukum PajakTugas Tutorial EKSI4202 Hukum Pajak
Tugas Tutorial EKSI4202 Hukum PajakRatzman III
2.8K visualizações2 slides
Tugas Wajib Tutorial I - EKSI4202 - Hukum Pajak por
Tugas Wajib Tutorial I  -  EKSI4202 - Hukum PajakTugas Wajib Tutorial I  -  EKSI4202 - Hukum Pajak
Tugas Wajib Tutorial I - EKSI4202 - Hukum PajakRatzman III
677 visualizações2 slides
Review Artikel Tinjauan Pustaka por
Review Artikel Tinjauan PustakaReview Artikel Tinjauan Pustaka
Review Artikel Tinjauan PustakaRatzman III
4.7K visualizações32 slides
MICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya Ilmiah por
MICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya IlmiahMICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya Ilmiah
MICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya IlmiahRatzman III
4K visualizações11 slides
Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014 por
Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014
Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014Ratzman III
10.1K visualizações14 slides
Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller por
Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller
Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller Ratzman III
2.4K visualizações11 slides

Mais de Ratzman III(20)

Tugas Tutorial EKSI4202 Hukum Pajak por Ratzman III
Tugas Tutorial EKSI4202 Hukum PajakTugas Tutorial EKSI4202 Hukum Pajak
Tugas Tutorial EKSI4202 Hukum Pajak
Ratzman III2.8K visualizações
Tugas Wajib Tutorial I - EKSI4202 - Hukum Pajak por Ratzman III
Tugas Wajib Tutorial I  -  EKSI4202 - Hukum PajakTugas Wajib Tutorial I  -  EKSI4202 - Hukum Pajak
Tugas Wajib Tutorial I - EKSI4202 - Hukum Pajak
Ratzman III677 visualizações
Review Artikel Tinjauan Pustaka por Ratzman III
Review Artikel Tinjauan PustakaReview Artikel Tinjauan Pustaka
Review Artikel Tinjauan Pustaka
Ratzman III4.7K visualizações
MICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya Ilmiah por Ratzman III
MICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya IlmiahMICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya Ilmiah
MICRO TEACHING IDIK4013-Memanfaatkan Pustaka dalam Penulisan Karya Ilmiah
Ratzman III4K visualizações
Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014 por Ratzman III
Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014
Format laporan Tutor Universitas Terbuka 2014
Ratzman III10.1K visualizações
Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller por Ratzman III
Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller
Arduino Ch3 : Tilt Sensing Servo Motor Controller
Ratzman III2.4K visualizações
Arduino - Ch 2: Sunrise-Sunset Light Switch por Ratzman III
Arduino - Ch 2: Sunrise-Sunset Light SwitchArduino - Ch 2: Sunrise-Sunset Light Switch
Arduino - Ch 2: Sunrise-Sunset Light Switch
Ratzman III4K visualizações
Arduino - CH 1: The Trick Switch por Ratzman III
Arduino - CH 1: The Trick SwitchArduino - CH 1: The Trick Switch
Arduino - CH 1: The Trick Switch
Ratzman III3K visualizações
Bab 3 - Kalkulus Relasional por Ratzman III
Bab 3 -  Kalkulus RelasionalBab 3 -  Kalkulus Relasional
Bab 3 - Kalkulus Relasional
Ratzman III3.3K visualizações
Bab 2 Aljabar Relasional por Ratzman III
Bab 2   Aljabar RelasionalBab 2   Aljabar Relasional
Bab 2 Aljabar Relasional
Ratzman III14.3K visualizações
Bab 1 RDBMS Review por Ratzman III
Bab 1   RDBMS ReviewBab 1   RDBMS Review
Bab 1 RDBMS Review
Ratzman III3.3K visualizações
Kisi kisi basis data uts por Ratzman III
Kisi kisi basis data utsKisi kisi basis data uts
Kisi kisi basis data uts
Ratzman III3.3K visualizações
Kisi kisi basis data uts por Ratzman III
Kisi kisi basis data utsKisi kisi basis data uts
Kisi kisi basis data uts
Ratzman III608 visualizações
Modul my sql tutorial part 6 por Ratzman III
Modul my sql tutorial part 6Modul my sql tutorial part 6
Modul my sql tutorial part 6
Ratzman III1.2K visualizações
Nilai lab 01pt3 por Ratzman III
Nilai lab 01pt3Nilai lab 01pt3
Nilai lab 01pt3
Ratzman III1.2K visualizações
Format sap por Ratzman III
Format sapFormat sap
Format sap
Ratzman III433 visualizações
Tugas i por Ratzman III
Tugas iTugas i
Tugas i
Ratzman III1K visualizações
Modul my sql tutorial part 5 por Ratzman III
Modul my sql tutorial part 5Modul my sql tutorial part 5
Modul my sql tutorial part 5
Ratzman III1.1K visualizações
1088 por Ratzman III
10881088
1088
Ratzman III525 visualizações
1152 por Ratzman III
11521152
1152
Ratzman III503 visualizações

Espa4123 statistika modul 2

  • 1. MODUL 2 UKURAN TENDENSI PUSAT DAN UKURAN LETAK Tutor : Derist Touriano UKURAN TENDENSI PUSAT (CENTRAL TENDENCY) Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (Central Tendency). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral). Terdapat tiga ukuran pemusatan data yang sering digunakan, yaitu : Mean, Median dan Mode. Pada modul ini akan dibahas mengenai pengertian beberapa ukuran tendensi pusat yang dilengkapi dengan contoh perhitungan, baik untuk data tunggal ataupun data yang sudah dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi. Selain ukuran statistik di atas, akan dibahas juga mengenai beberapa ukuran statistik lainnya, seperti Rata-rata Ukur (Geometric Mean), Rata-rata Harmonik (H) serta beberapa karakteristik penting yang perlu dipahami untuk ukuran tendensi sentral yang baik serta bagaimana memilih atau menggunakan nilai tendensi sentral yang tepat. Mean (Arithmetic Mean) Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut : Rumus : Keterangan : ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan n = banyaknya sampel data N = banyaknya data populasi = nilai rata-rata sampel μ = nilai rata-rata populasi
  • 2. Mean dilambangkan dengan (dibaca "x-bar") jika kumpulan data ini merupakan contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu). Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris, , sementara parameter-parameter populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ Rata-Rata Hitung (Mean) Untuk Data Tunggal Contoh 1 : Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9 Jawab : Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut : Keterangan: ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data ke-i n = banyaknya sampel data = nilai rata-rata sampel Contoh 2: Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut ? Catatan : Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.
  • 3. Jawab : Mean Dari Data Distribusi Frekuensi atau Dari Gabungan : Distribusi Frekuensi : Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu: Keterangan: ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data ke-i = nilai rata-rata sampel Contoh 3: Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).
  • 4. Jawab : 1. Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi) dan hitung fixi. 2. Catatan : Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata- rata hitung dari sumber data aslinya. Rata-Rata Gabungan atau Rata-Rata Terboboti (Weighted Mean) Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel. Contoh 4: Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata- ratanya? Jawab:
  • 5. Median Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,..., xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata- rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan 50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan dengan (dibaca "x-tilde") apabila sumber datanya berasal dari sampel (dibaca "μ-tilde") untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka. Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:  Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data  Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data Median Data Tunggal Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut : dimana n = banyaknya data pengamatan. Median apabila n ganjil: Contoh 5: Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10 Jawab: Data : 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10 Setelah diurutkan : 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10 Banyaknya Data (n) : 11 Posisi Me : ½ (11+1) = 6 Median : 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)
  • 6. Median apabila n genap : Contoh 6: Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9 Jawab: Data : 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9 Setelah diurutkan : 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9 Banyaknya Data (n) : 10 Posisi Me : ½ (10 + 1) = 5,5 Data Tengah : 6 dan 7 Median : ½ (6 + 7) = 6,5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6) Median dalam Distribusi Frekuensi Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut : Keterangan : b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median p = panjang kelas median n = ukuran sampel/banyak data f = frekuensi kelas median F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑fi) Contoh 7: Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas! Jawab : Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80) b = 70.5, p = 10 n = 80, f = 24 (frekuensi kelas median) F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23
  • 7. Mode Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data:  Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.  Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.  Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus. Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.  Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.  Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed) : mean < median < modus  Untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed) : terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus. Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut : Mean - Mode = 3 (Mean - Median)
  • 8. Modus Data Tunggal Contoh 8: Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Jawab :  2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7  2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Karenake-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.  2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak berurutan.  2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal karena modusnya lebih dari dua.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya Modus dalam Distribusi Frekuensi: Dimana : Mo = modal = kelas yang memuat modus b = batas bawah kelas modal p = panjang kelas modal bmo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi) b1 = bmo – bmo - 1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya b2 = bmo – bmo +1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya
  • 9. Contoh 9 : Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas! Jawab : Kelas modul = kelas ke-5 b = 71 - 0.5 = 70.5 b1 = 24 -13 = 11 b2 = 24 – 21 = 3 p = 10 Selain tiga ukuran tendensi sentral di atas (mean, median, dan mode), terdapat ukuran tendensi sentral lainnya, yaitu rata-rata ukur (Geometric Mean) dan rata-rata harmonis (Harmonic Mean).
  • 10. Rata-Rata Ukur (Geometric Mean) Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut: Dimana: U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase. Rata-Rata Ukur Untuk Data Tunggal Contoh 10: Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8? Jawab : Distribusi Frekuensi: xi = tanda kelas (nilai tengah) fi = frekuensi yang sesuai dengan xi
  • 11. Contoh 11: Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas! Jawab : Rata-Rata Harmonik (H) Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut : Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan. Rata-Rata Harmonic Untuk Data Tunggal Contoh 12: Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?
  • 12. Jawab : Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat! Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik: Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi: Formula : Contoh 13: Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas! Jawab :
  • 13. Perbandingan Ketiga Rata-Rata (Mean): Karakteristik Penting Untuk Ukuran Tendensi Sentral Yang Baik  Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki sifat-sifat berikut:  Harus mempertimbangkan semua gugus data  Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim.  Harus stabil dari sampel ke sampel.  Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut. Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi semua persyaratan tersebut, kecuali syarat pada point kedua, rata-rata dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir adalah 90 bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median dan modus tidak berubah. Meskipun dalam hal ini median dan modus lebih baik, namun tidak memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean merupakan ukuran nilai pusat yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik. Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang berbeda? Nilai ukuran pusat yang tepat untuk digunakan tergantung pada sifat data, sifat distribusi frekuensi dan tujuan. Jika data bersifat kualitatif, hanya modus yang dapat digunakan. Sebagai contoh, apabila kita tertarik untuk mengetahui jenis tanah yang khas di suatu lokasi, atau pola tanam di suatu daerah, kita hanya dapat menggunakan modus. Di sisi lain, jika data bersifat kuantitatif, kita dapat menggunakan salah satu dari ukuran nilai pusat tersebut, mean atau median atau modus. Meskipun pada jenis data kuantitatif kita dapat menggunakan ketiga ukuran tendensi sentral, namun kita harus mempertimbangkan sifat distribusi frekuensi dari gugus data tersebut.  Bila distribusi frekuensi data tidak normal (tidak simetris), median atau modus merupakan ukuran pusat yang tepat.  Apabila terdapat nilai-nilai ekstrim, baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau modus.  Apabila distribusi data normal (simetris), semua ukuran nilai pusat, baik mean, median, atau modus dapat digunakan. Namun, mean lebih sering digunakan dibanding yang lainnya karena lebih memenuhi persyaratan untuk ukuran pusat yang baik.  Ketika kita berhadapan dengan laju, kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik.  Jika kita tertarik pada perubahan relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel dan sebagainya, rata-rata geometrik adalah rata-rata yang paling tepat.
  • 14. UKURAN LETAK Dengan menggunakan dasar-dasar median, kita dapat meneruskan kepada perhitungan-perhitungan statistik yang dimaksudkan untuk membuat suatu ukuran atau norma yang digunakan sebagai pedoman untuk membuat kategori-kategori kualitas sekelompok individu. Berdasarkan suatu norma tertentu, seorang peneliti dapat memisahkan individu menjadi bermacam-macam kategori sesuai dengan keperluannya. Misalnya dengan membagi distribusi menjadi 2 kategori yaitu individu yang diterima dan ditolak dalam seleksi suatu pekerjaan. Dengan 4 kategori didapatkan kategori-kategori seperti baik sekali, baik, sedang dan tidak baik. Peneliti bisa mengembangkan sampai menjadi 10 bahkan 100 kategori. Pembuatan kategori ini penting terutama apabila peneliti akan membuat suatu kualifikasi, mengenai subyek penelitian. Misalnya subyek penelitian akan dibagi menjadi 4 bagian yang setiap bagiannya memiliki jumlah individu yang sama, dimana dasar pembagiannya adalah nilai yang dapat menjadi batas dari kelompok yang terdapat dalam distribusi. Tatacara yang digunakan untuk membuat norma dengan kategori disebut median (Me) dengan 4 kategori disebut Kuartil (K) dengan 10 kategori disebut desil (D) dan dengan 100 kategori disebut persentil (P). Apabila menghendaki pembagian jumlah kategori diluar macam-macam jumlah kategori tersebut, misalnya menginginkan pembagian kategori menjadi 3, 5, 9, 20 atau yang lainnya, maka dapat menggunakan rumus persentil. Cara perhitungan median tidak akan dibahas lagi dalam pembagian ini karena sudah dikaji panjang lebar pada bagian sebelumnya. Quartil (Q) Konsep median dapat diperluas, yaitu kelompok data yang telah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak. Bilangan pembagian ada tiga, masing-masing disebut kuartil. Kuartil adalah suatu indeks yang dapat membagi suatu distribusi data menjadi 4 bagian atau kategori. Untuk membagi 4 bagian tersebut dibutuhkan 3 titik kuartil (K), dimana masing-masing titik kuartil diberi nama kuartil satu (K1), Kuartil dua (K2) dan kuartil tiga (K3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah, dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas. Keterangan : Xmin = data terkecil Xmaks = data terbesar Q1 = kuartil ke-1 Q2 = kuartil ke-2 Q3 = kuartil ke-3 Kuartil Data Tunggal Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data yang disajikan lebih banyak. Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut. Keterangan : Qi = kuartil ke-i n = banyaknya data
  • 15. Contoh 1 Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12. Jawab : Letak Q1adalah 1 (14+1) 4 = 15 4 = 3 3 4 sehingga : Q1 = 𝑥3 + 3 4 (𝑥4 − 𝑥3) Q1 = 4 + 3 4 (4 − 4) = 4 Letak Q2adalah 2 (14+1) 4 = 15 4 = 7 1 2 sehingga : Q2 = 𝑥7 + 1 2 (𝑥7 − 𝑥6) Q2 = 7 + 1 2 (7 − 7) = 7 Letak Q3adalah 3 (14+1) 4 = 45 4 = 11 1 4 sehingga : Q3 = 𝑥11 + 1 4 (𝑥12 − 𝑥11) Q1 = 8 + 3 4 (9 − 8) = 8 1 4 = 8,25 Jadi Q1 = 4 ; Q2 = 7 ; Q3 = 8,25 Contoh 2 Dalam suatu test 50 mahasiswa baru didapat tabel frekuensi tunggal sebagai berikut : Berdasarkan data di atas, tentukan Q2 (Kuartal ke-2) Jawab : Banyaknya data 50. Letak Q2 = 𝑥25 + 1 2 (𝑥25 − 𝑥24) Q2 = 6 + 1 2 (6 − 6) = 6 Jadi Q2 (kuartil ke-2) adalah 6 Kuartil Data Berkelompok Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok, caranya sama dengan data tunggal.
  • 16. Keterangan: Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3) bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i N = banyaknya data F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil l = lebar kelas f = frekuensi kelas kuartil Contoh 3 Tentukan Q1 (kuartil bawah), Q2 (median), dan Q3 (kuartil atas) dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini. Jawab :
  • 17. Desil (D) Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi suatu distribusi data menjadi 10 bagian atau kategori. Jika suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, Desil Data Tunggal Desil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar. Sehingga letak dari Di (Desil ke-i) diringkas Keterangan: Di = desil ke-i i = 1, 2, 3, . . ., 9 n = banyaknya data Contoh 4 Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan D2 dan D4: Jawab : Data diurutkan : 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11 Letak D2 diurutkan data ke- 2 (10+1) 10 = 22 10 = 2,2 D2 terletak pada urutan ke-2,2, sehingga : D2 = X2 + 0,2 (X3 – X2) D2 = 5 + 0,2 (5 – 5) = 5 + 0 = 5 Letak D4 diurutkan data ke- 4 (10+1) 10 = 44 10 = 4,4 D4 terletak pada urutan ke-2,2, sehingga : D4 = X4 + 0,4 (X5 – X4) D4 = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4 Desil Data Berkelompok Nilai desil ke-i dari data berkelompok dirumuskan sebagai berikut : Keterangan: D = desil ke-i n = banyak data F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil f = frekuensi kelas desil b = tepi bawah kelas l = lebar kelas
  • 18. Contoh 5 Diketahui data pada tabel bergolong di bawah. Dari data tersebut tentukan : a. Desil ke-1 b. Desil ke-9 Jawab : a. Letak D1 = 4 yaitu pada data ke-4 dan kelas D1 = 46 – 50 sehingga diperoleh: b. Letak D9 = (9* 40)/10= 36 yaitu data ke-36 dan kelas D9 = 61 – 65 sehingga diperoleh: Persentil (P) Melalui persentil seorang peneliti dapat dengan leluasa membagi distribusi data yang dimilikinya kedalam jumlah-jumlah kategori yang dikehendakinya. Misalnya jika penelitian ingin membagi distribusi data tentang skor-skor stress kerja (yang masih berupa data interval) menjadi 5 kategori data ordinal (misalnya tinggi sekali, tinggi, sedang, rendah dan rendah sekali) maka peneliti harus menemukan 4 titik persentil dengan jalan melakukan pembagian, 100/5 = 20. Angka 20 ini nanti akan berfungsi sebagai kelipatan yang digunakan untuk menentukan dasar pembuatan kategori.
  • 19. Persentil Data Tunggal Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut Persentil (P). Letak persentil dirumuskan dengan: Keterangan: Pi = persentil ke-i i = 1, 2, 3, . . ., 99 n = banyaknya data Contoh 6 Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75. Jawab : Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11 Letak Persentil ke-30 diurutkan data ke- 30 (10+1) 100 = 333 100 = 3,3 Letak P30 = 𝑥3 + 0,3 (𝑥4 − 𝑥3) P30 = 5 + 0,3 (6 − 5) = 5,3 Jadi P30 (Persentil ke-30) adalah 5,3 Letak Persentil ke-75 diurutkan data ke- 75 (10+1) 100 = 825 100 = 8,25 Letak P75 = 𝑥8 + 0,25 (𝑥9 − 𝑥8) P75 = 9 + 0,25 (10 − 9) = 9,25 Jadi P30 (Persentil ke-75) adalah 9,25 Persentil Data Berkelompok Bila data dibagi menjadi 100 bagian yang sama maka ukuran itu disebut persentil. Letak dari persentil dapat dirumuskan dengan: P1 = Sedangkan nilai persentil ke-i dari data berkelompok dirumuskan sebagai berikut : Keterangan: Pi = persentil ke-i b = tepi bawah n = banyaknya data F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil f = frekuensi kelas persentil l = lebar kelas
  • 20. Contoh 7 Diketahui data pada tabel bergolong di bawah. Dari data tersebut tentukan: a. persentil ke-25 b. persentil ke-60 Jawab : Letak Persentil ke-25 diurutkan data ke- 40 (25) 100 = 1000 100 = 10, kelas P25 = 51 – 50, sehingga diperoleh : Jadi P25 (Persentil ke-25) adalah 50,81 Letak P60 = 60 (40) 100 = 2400 100 = 24, kelas P25 = 56 – 60, sehingga diperoleh: