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La Transformada
De
Fourier
Randy Guerrero
CI:24.778.102
Ing. Civil
 La transformadadeFourier :es básicamenteelespectro defrecuenciasdeuna
función.Un buen ejemplo deesoes lo quehaceel oídohumano,yaquerecibe
unaondaauditivayla transformaen unadescomposición en distintas
frecuencias(que es loque finalmenteseescucha).El oídohumanova
percibiendodistintasfrecuenciasamedida que pasael tiempo,sin embargo,la
transformadadeFouriercontiene todaslas frecuenciasdeltiempo duranteel
cualexistió la señal;es decir, en la transformadadeFourierseobtieneunsólo
espectrodefrecuencias paratodala función.
 Definiciónformal:
Seaf unafunciónLebesgue integrable:
LatransformadadeFourierde fesla función
Estaintegral tienesentido,puesel integrandoesuna
funciónintegrable.Una estimativasimple demuestraquela
transformadadeFourierF(f) esunafunciónacotada.
Ademáspormedio del teoremade convergenciadominada
puededemostrarsequeF(f) escontinua.
 La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
Nótesequela únicadiferencia entrela transformada
deFourieryla transformadadeFourierinversa esel
signo negativo en el exponentedel integrando.El
teoremadeinversión de Fourier formuladoabajo
justificael nombredetransformadadeFourierinversa
dadoa estatransformada.Elsigno negativoen el
exponentedelintegradoindicala traspolaciónde
complementosyuxtapuestos.Estoscomplementos pueden
seranalizadosatravésdela aplicacióndela varianzapara
cadafunción.
 Suspropiedadesbasicas:
LatransformadadeFourieresunaaplicaciónlineal:
Valen lassiguientes propiedadesparaunafunciónabsolutamenteintegrable f:
Cambiodeescala:
Traslación:
Traslaciónen la variabletransformada:
Transformadadeladerivada:
Sify suderivadasonintegrables
Derivada dela transformada: Si f y t → f(t)} f(t) son integrables, la transformada
deFourier F(f) es diferenciable
Estasidentidadessedemuestranporuncambio de variableso integraciónpor
partes.
Enlo que sigue, definimosla convoluciónde dos funcionesfy gen la rectadela
manerasiguiente:
Nuevamente lapresencia del factordelantedela integral simplificael enunciadodelosresultados
como el que sigue: Si fyg sonfuncionesabsolutamenteintegrables,laconvolución tambiénes
integrable,yvalela igualdad:
Tambiénpuedeenunciarseun teoremaanálogoparala convoluciónen lavariable transformada,
peroeste exige ciertocuidadoconel dominiodedefinición de latransformadadeFourier.
Algunos ejercicios deFourier:
CalcularF(w) para el pulso rectangularf(t) siguientes
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Randy fourier1

  • 2.  La transformadadeFourier :es básicamenteelespectro defrecuenciasdeuna función.Un buen ejemplo deesoes lo quehaceel oídohumano,yaquerecibe unaondaauditivayla transformaen unadescomposición en distintas frecuencias(que es loque finalmenteseescucha).El oídohumanova percibiendodistintasfrecuenciasamedida que pasael tiempo,sin embargo,la transformadadeFouriercontiene todaslas frecuenciasdeltiempo duranteel cualexistió la señal;es decir, en la transformadadeFourierseobtieneunsólo espectrodefrecuencias paratodala función.
  • 3.  Definiciónformal: Seaf unafunciónLebesgue integrable: LatransformadadeFourierde fesla función Estaintegral tienesentido,puesel integrandoesuna funciónintegrable.Una estimativasimple demuestraquela transformadadeFourierF(f) esunafunciónacotada. Ademáspormedio del teoremade convergenciadominada puededemostrarsequeF(f) escontinua.
  • 4.  La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por: Nótesequela únicadiferencia entrela transformada deFourieryla transformadadeFourierinversa esel signo negativo en el exponentedel integrando.El teoremadeinversión de Fourier formuladoabajo justificael nombredetransformadadeFourierinversa dadoa estatransformada.Elsigno negativoen el exponentedelintegradoindicala traspolaciónde complementosyuxtapuestos.Estoscomplementos pueden seranalizadosatravésdela aplicacióndela varianzapara cadafunción.
  • 5.  Suspropiedadesbasicas: LatransformadadeFourieresunaaplicaciónlineal: Valen lassiguientes propiedadesparaunafunciónabsolutamenteintegrable f: Cambiodeescala: Traslación: Traslaciónen la variabletransformada:
  • 6. Transformadadeladerivada: Sify suderivadasonintegrables Derivada dela transformada: Si f y t → f(t)} f(t) son integrables, la transformada deFourier F(f) es diferenciable Estasidentidadessedemuestranporuncambio de variableso integraciónpor partes. Enlo que sigue, definimosla convoluciónde dos funcionesfy gen la rectadela manerasiguiente:
  • 7. Nuevamente lapresencia del factordelantedela integral simplificael enunciadodelosresultados como el que sigue: Si fyg sonfuncionesabsolutamenteintegrables,laconvolución tambiénes integrable,yvalela igualdad: Tambiénpuedeenunciarseun teoremaanálogoparala convoluciónen lavariable transformada, peroeste exige ciertocuidadoconel dominiodedefinición de latransformadadeFourier.
  • 8. Algunos ejercicios deFourier: CalcularF(w) para el pulso rectangularf(t) siguientes