libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
Clase3. 1era. parte. la derivada
1. LA DERIVADA
CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA I
Profesor: Ing. José A. Rodríguez
Unidad # 3
Clase # 3
1era. Parte
2. objetivos
• Interpretar la derivada geométricamente.
• Calcular la derivada de funciones algebraicas.
• Resolver problemas aplicando derivadas.
• Analizar y representar curvas de funciones.
• Resolver problemas de optimización.
3. contenido:
• Interpretación geométrica de derivada
como pendiente de una recta tangente a
la curva.
• Interpretación de la derivada como una razón de cambio.
• Derivadas de funciones algebraicas.
• Reglas de derivación.
Derivada del producto.
Derivada del cociente.
• Derivada de funciones trascendentes:
Exponenciales.
Logarítmicas:
Logaritmo natural.
Logaritmo decimal.
Trigonométricas.
4. Contenido Cont. …
• Derivadas de orden superior
• Diferenciabilidad y continuidad
• Derivada de funciones compuestas:
Regla de la cadena.
• Derivación implícita.
• Problemas de ritmo de cambio. (tasa relacionada)
• El teorema de rolle
• El teorema de valor medio
• Aplicaciones de la derivada de una función:
Valores críticos
Aplicación de la 1era derivada:
Intervalos donde crece y decrece la
función.
5. Contenido Cont.…
• Aplicación de la segunda derivada:
Concavidad
Punto de inflexión
• Problemas de optimización:
Problemas de máximos.
Problemas de mínimos.
6. Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
• Continuidad
• Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
8. Introducción a la Derivada
Dónde estoy, y a dónde voy?
Posición actual
Dónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidad
distracciones, etc.
Fuerzas externas
que atacan
Antes de iniciar, es importante reflexionar…
9. Recordemos el camino trazado…
Unidad 1. Funciones de una variable
Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
Introducción a la Derivada
Ya analizamos
funciones…
También limites
de funciones…
Y el tema que
iniciamos hoy
es….
10. “La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)
Introducción a la Derivada
11. “La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por
2
xy
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Introducción a la Derivada
xy 2
12. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en
común con un circulo”
16. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y y
m
x x
Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!
17. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x
1 1( , )x y
2 2( , )x y
18. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x
19. Algo de historia.
Introducción a la Derivada
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.
20. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la
Pendiente de la recta tangente
tanm
21. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
22. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
23. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
24. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
25. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
26. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
27. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
28. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
29. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
30. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
31. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Atajo
Volver a
mostrar
Continuar
tanm
32. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
33. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.
tanm secm Procedemos
a sustituir:
12
12
sec
xx
yy
m
2 1
2 1
y y
x x
tanm
34. 12
12
sec
xx
yy
m
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
y y
x x
Considerando: ( )y f xtanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemos
a sustituir:
35. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x 2 1x x xAhora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x
2 1x x x
tanm
36. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x
tanm
37. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x
tanm
38. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
2 1x x x
2 1( ) ( )f x f x
x
Podemos expresar lo anterior así:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x
0x
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observar
que el punto
cada vez se aproxima
más al punto
pero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm
39. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Finalmente considerando lo siguiente:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x
2 1x x x
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
2 1x x x
tanm
40. 1 1( ) ( )f x x f x
x
La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x
2 1x x x
La expresión nos queda así:
2 1x x x
tanm
41. La derivada.
Introducción a la Derivada
tanm lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos
=
42. La derivada.
Introducción a la Derivada
lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
xdx
dy
=
Y precisamente por esta
fórmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por
2
xy
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
43. Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
2
)( xxfy
x
xfxxf
dx
dy
x
)()(
lim
0
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
)( xxf
se puede observar que:
2
)()( xxxxfy
Al sustituirlo obtenemos:
44. Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
x
xxx
dx
dy
x
22
0
)(
lim
)( xxf )(xf
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
x
xxxxx
dx
dy
x
222
0
))()(2(
lim Reduciendo
términos:
x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:
45. Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim xx
xx 00
lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por
2
xy
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2
47. Representación
gráfica de:
2
xy
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
1x
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
2)1(2tan
dx
dy
m
Observe que:
2tanm ?tanm
50. Otra forma de la Interpretación geométrica de derivada
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx0
h
0
h
hx
)( 0 hxf
51. 51
se llama
razón de cambio promedio de y con respecto a x.
Razón de cambio
El cociente de diferencias
x
y
2
1.5
5
5
Número de
operarios.
Número de docenas de
pantalones producidos
diariamente.
Si en cada uno de los
casos aumentamos un
operario, ¿en cuánto
aumenta la producción
diaria de pantalones
por operario?
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y
52. 52
Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea
de y con respecto a x en x = x0.
x
y
x0
f(x0)
x1
f(x1)
h
xfhxf
x
y )()( 00
Note que si
x1 = x0 + h
entonces
h
xfhxf
lím
h
)()( 00
0
53. 53
La derivada de la función f respecto de la variable x, en
x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
La Derivada
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al
proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.
0 0
0
0
lim
h
f x h f x
f x
h
y
dx
d
´yxf
dx
d
x´f )()(Notación:
54. 54
La derivada de
una función f en
x0 es:
Pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la
función f en x0
La razón de cambio
instantánea de la función f
en x0
0 0
0
lim
h
f x h f x
h
Conclusiones de la Derivada
55. Función derivada
MT = f '(3) =
h 0
lim
f(3 + h) – f(3)
h
=
h 0
lim
(3 + h)2
– 32
h
=
h 0
lim
h (h + 6)
h
= 6
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
f '(x) =
h 0
lim
f(x + h) – f(x)
h =
h 0
lim
(x + h)2
– x2
h =
h 0
lim
h (h + 2x)
h = 2x
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
MT = f '(2) =
h 0
lim
f(2 + h) – f(2)
h =
h 0
lim
(2 + h)2
– 22
h =
h 0
lim
h (h + 4)
h = 4
Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a
cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.
Para obtener la derivada en x
58. Reglas de derivación
Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es cero
Es decir:
0c
dx
d
59. 59
La recta tangente a la gráfica de una recta, es la misma
recta, esto quiere decir que la pendiente de la recta, es
también su razón de cambio (su derivada).
Ejemplos: halle dy/dx de
2
3
5
y x 2 8y xb)a)
Esto es: d
mx b m
dx
Reglas de derivación
Derivada de una función lineal
63. Reglas de derivación
Regla del múltiplo constante
La derivada de una constante por una función
es igual a la constante multiplicada por la
derivada de la función.
Esto se puede escribir así:
)()( xf
dx
d
cxfc
dx
d
64. Reglas de derivación
Derivada de una suma o diferencia de funciones
La derivada de una suma o diferencia de
funciones, es igual a la suma o diferencia
de las derivadas de dichas funciones.
)()()()( xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
65. Reglas de derivación
',4)1 3
yencuentrexySi
58
7
)2 aa
da
d
Calcule
185
5
4
5)4 34 34
xxxDCalcule x
1359)3 23
xxxDCalcule x
Ejemplos:
67. Reglas de derivación
Derivada de las funciones logarítmicas
ax
x
dx
d
x
x
dx
d
a
ln
1
log
1
ln
La derivada de una función algebraica es siempre
algebraica, pero la derivada de una función
trascendental no siempre es trascendental.
72. Reglas de derivación
Ejemplos:
Encuentre las ecuaciones de la rectas
tangentes a la curvas en los puntos dados:
2
;1;
1
)6
2
1
;1;
1
1
)5
2
2
e
puntoelen
x
e
y
puntoelen
x
y
x
73. Tabla de derivación de funciones elementales
Función Derivada
f(x) = sen x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) =– sen x
f(x) = tan x f '(x) =
1
Cos 2x
f(x) = arcsen x f '(x) =
1
1 – x2
f(x) = arccos x f '(x) =
–1
1 – x 2
f(x) = arctan x f '(x) =
1
1 + x 2
Función Derivada
f(x) = c (constante) f '(x) = 0
f(x) = x n
f '(x) = n x n – 1
f(x) = e x f '(x) = e x
f(x) = ax
(a > 0) f '(x) = ax
ln a
f(x) = ln x f '(x) =
1
x
f(x) = logax, (a > 0) f '(x) =
1
x ln a
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Ofrezca una breve descripción general de la presentación. Describa el enfoque principal de la presentación y por qué es importante.Introduzca cada uno de los principales temas.Si desea proporcionar al público una guía, puede repetir esta diapositiva de información general a lo largo de toda la presentación, resaltando el tema particular que va a discutir a continuación.
Ésta es otra opción para una diapositiva Información general que usa transiciones.
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Agregue diapositivas a cada sección del tema según sea necesario, incluidas diapositivas con tablas, gráficos e imágenes. Consulte la siguiente sección para ver una muestradiseños de vídeo, imagen, gráfico y tabla de muestra.
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Sea breve. Haga su texto lo más breve posible para mantener un tamaño de fuente grande.