Aulas Cap 3

2.944 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.944
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
36
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
89
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Aulas Cap 3

  1. 1. 1 Relações Integrais Aplicadas a Volumes de Controlo Departamento de Engenharia Mecânica Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Luis Adriano Oliveira
  2. 2. 2 Relações Integrais Aplicadas a Volumes de Controlo Leis básicas: vocacionadas para sistemas (Lagrange) Mec. dos Fluidos: Euler dominante (volumes de controlo - VC) Fund.tal associar leis básicas a VC Basta relacionar as propriedades de um sistema com as de um fluido contido num VC que, instantaneamente, coincide com o sistema. Extensivas (dependem da massa: m, mV, E, volume,…) Propried. Intensivas (não dependem: T, p, propr. específicas) Seja N : Propriedade extensiva de densidade mássica η: Nsist. = ∫∫∫ ηρ dv sist.
  3. 3. 3 Relação entre Sistema e VC VC (ligado, portanto, ao sistema de referência oxyz) ALBR : sistema que, no instante t, coincide com o VC Em t+∆t : sistema moveu-se ; VC permaneceu imóvel Balanço de matéria: III : matéria que saiu do VC entre t e t+∆t I : matéria que entrou no VC entre t e t+∆t II : matéria que, entre t e t+∆t, não deixou de pertencer ao VC
  4. 4. 4 Nsist. = ∫∫∫ ηρ dv sist. Balanço de N :  DN  DN ( Nsist )t +∆t − ( Nsist )t   = = lim =  Dt sist. Dt ∆t →0 ∆t = lim ( ∫∫∫ III ηρdv + ∫∫∫ ηρdv II ) t +∆t − ( ∫∫∫ ηρdv + ∫∫∫ ηρdv ) II I t = ∆t →0 ∆t = lim    ( ∫∫∫ ηρdv ) II t +∆t − ( ∫∫∫ ηρdv ) + ( ∫∫∫ II t III ηρdv ) t +∆t − ( ∫∫∫ ηρdv )  I t ∆t →0 ∆t ∆t ∆t      taxa média de variação de N taxa média de saída de N, taxa média de entrada de N, em II, entre t e t+∆t do VC, entre t e t+∆t no VC, entre t e t+∆t
  5. 5. 5 ∆t 0: II VC ( ∫∫∫ ηρdv ) II t +∆t − ( ∫∫∫ ηρdv ) II ∂ ∆t t → ∂t ∫∫∫VC ηρdv ( ∫∫∫ ηρdv ) ( ∫∫∫ ηρdv ) ∫∫SC ηρ ( V.n )dA III t +∆t I t − → ˆ ∆t ∆t DN ∂ Dt = ∂t ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA ˆ ( ) 1.º membro: Lagrange 2.º membro: Euler
  6. 6. DN ∂ 6 Dt = ∂t ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA ˆ ( ) Equação válida num instante t ∂ ∂t ∫∫∫VC ηρdv : taxa de variação de N no interior do VC, no instante t ∫∫SC ( ) ηρ V.n dA : ˆ fluxo líquido de N através da superfície de controlo, no instante t DN : taxa de variação de N no interior do sistema que, Dt no instante t, coincide com o VC ∫∫SC > 0 ⇒ Efluxo resultante Convenção : normal unitária exterior : ∫∫SC < 0 ⇒ Influxo resultante
  7. 7. 7 Equação integral de conservação de uma propriedade N : DN ∂ Dt = ∂t ( ) ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA ˆ Exemplo :conservação de massa (Eq. Integral da Continuidade) η = 1 ⇒ Nsist. = ∫∫∫ ρ dv = massa do sistema (M) sist. DM =0 Por definição de sistema Dt ∂ ∂t ( ) ∫∫∫VC ρdv = −∫∫SC ρ V.n dA ˆ
  8. 8. 8 Escoamentos Tri-, Bi- e Unidimensionais (3-D, 2-D, 1-D) Em rigor, qualquer escoamento é 3-D [ex. : u=u(x,y,z)] Porém, casos há em que é legítimo admitir simplificações (2-D, 1-D) Equação Integral da Continuidade (ex. 1-D, ∂ = 0 ) ∂t ∂ ∂t ( ) ∫∫∫VC ρdv = −∫∫SC ρ V.n dA ˆ −ρ1V1A1 + ρ2 V2 A 2 + ρ3V3A3 = 0 ⇒ m1 = m 2 + m3
  9. 9. 9 Eq. Integral de Conservação de Quantidade de Movimento Linear de campo (sem contacto, via densid. mássica) Forças exercidas sobre um sistema de superfície (ou de contacto) DN ∂ Dt = ∂t ( ) ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA ˆ Quant. mov.to : ( )sist = ∫∫∫VC ρVdv P = mV VC ≡ sist, em t η≡V⇒ N≡P F = Fc + Fs = ma = m DV D mV = ( ) = DP Dt Dt Dt ∂ Fc + Fs = ∫∫∫ ρVdv + ∫∫ ρV V.n dA ∂t VC SC ˆ ( ) Eq. vectorial (3 eq. escalares)
  10. 10. Exemplo: (1 − D, ∂ / ∂t = 0, ρ = c.te , atrito e peso ≅ 0 10 V2 = ?, F = ?) Cont.: ∫∫SC ρ ( V.dA ) = 0 ⇒ ⇒ ∫∫ SC ( ) V.dA = 0 ⇒ V2 A 2 − V1A1 = 0 ⇒ V2 = V1 A1 A2 Quant. de Mov.to: Fs = ∫∫ SC ( ) ρV V.n dA ˆ p1A1 − p 2 A 2 cos θ + Fx = ρV2 cos θ.V2 A 2 − ρV1.V1A1 − p 2 A 2 sin θ + Fy = ρV2 sin θ.V2 A 2 - Forças via pa neutralizam-se entre si - Força que o fluido exerce sobre o suporte: −F
  11. 11. 11 Eq. Integral de Conservação de Quantidade de Movimento Angular Analogamente: ∂ ( ) M c + M s = ∫∫∫ ρ rΛV dv + ∫∫ ρ rΛV V.n dA ∂t VC SC ˆ( )( ) Eq. vectorial (3 eq. escalares) M c , M s : Momentos resultantes das forças exercidas sobre o sistema Eq. Integral de Conservação de Energia dQ : calor recebido pelo sistema ; dW : trabalho executado pelo sist. 1.ª lei da Termodinâmica : dE=dQ-dW DE Taxas de variação : =Q−W Dt
  12. 12. 12 Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.) ( E )sist = ∫∫∫sist eρdv ↔ N = ∫∫∫ sist ηρdv ∴ η ≡ e DN ∂ Dt = ∂t ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA ˆ ( ) ∂ Q−W = ∂t ∫∫∫VC eρdv + ∫∫SC eρ V.n dA ˆ ( ) Eq. escalar W : trab. executado pelo sist. / tempo p1 u2 u1 p2 Ws : trab. de veio (shaft) W ∫∫SC p ( V.dA ) : trab. líquido que sai para vencer pressão Wf − ∫∫ SC ( τ.V )dA = Wv : trab. realizado para vencer a viscos.
  13. 13. 13 Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.) ∂ Q − Ws − Wv − ∫∫ SC ( ) p V.dA = ∂t ( ) ∫∫∫VC eρdv + ∫∫SC eρ V.n dA ˆ p 1 ˆ ˆ p p= ρ e = u + V 2 + gz ˆ h =u+ ρ 2 ρ ∂  V2   V2  Q − Ws − Wv = ∫∫∫  u + ∂t VC  ˆ 2 + gz  ρdv + ∫∫  h  SC  ˆ+ 2 + gz  ρ V.n dA  ( )ˆ    
  14. 14. 14 Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.) ∂  V2   V2  Q − Ws − Wv = ∫∫∫  u + ∂t VC  ˆ 2 + gz  ρdv + ∫∫  h  SC  ˆ+ 2 + gz  ρ V.n dA  ( ) ˆ     Exemplo : Ar (ρ = p / RT), Wv 0, ∂ / ∂t = 0,1 − D  V2 2  ˆ Q = Ws +  h 2 + + gz 2  .m 2 +  2    ˆ h i = cp Ti + C.te  V32   V12  ˆ + +  h3 ˆ + + gz3  .m3 −  h1 + gz1  .m1  2   2     
  15. 15. 15 Escoamento de Fluidos Invíscidos Equação de Bernoulli ∂V ∂t ( ) 1 + V.grad V = − grad p − g.grad z + ν.∇ 2 V ρ (Eq. Euler) Projecção sobre uma linha de corrente: ds = ds s ⇒ grad ≡ ∂ s ˆ ˆ ∂ ( = 0) ∂s ∂t  ∂ ˆ 1 ∂p ∂z  V.  Vs = − s−g s ˆ ˆ , a multiplicar escalarmente por ds  ∂s  ρ ∂s ∂s ∂V 1 ∂p ∂z 1 V. ds = − ds − g. ds ⇒ d(p + ρV 2 + ρgz) = 0 ∂s ρ ∂s ∂s 2 1 p + ρV 2 + ρgz = C.te Bernoulli (válida para uma dada l.c.) 2
  16. 16. 16 Equação de Bernoulli - Domínios de validade Equação de Bernoulli vs 1.ª lei da Termodinâmica 1 1 − D, ρ = c.te , ∂ / ∂t = 0 (∴ m1 = m 2 = m) 2  V2 2   V12  ˆ + Q − Ws − Wv =  h 2 ˆ + + gz 2  .m 2 −  h1 + gz1  .m1  2   2      p1 V12 p 2 V2 2  Ws Wv  Q  + + gz1 = + + gz 2 +  + +  u 2 − u1 −   ˆ ˆ ρ 2 ρ 2 m m  m 
  17. 17. 17 Equação de Bernoulli - Aplicações - Tubo de Pitot Medição da velocidade (já visto) - Medidor de Venturi - Medidor de Diafragma - Medidor de Bocal Medição directa do caudal - Descarregador Rectangular - Descarregador Triangular Medidor de Venturi A2 Continuidade : V1 = V2 A1 1 1 Bernoulli : p1 + ρV1 + ρgz1 = p 2 + ρV2 2 + ρgz 2 2 2 2   A 2  V2 = 2 ( p1 − p 2 ) / ρ 1 −  2   ⇒ Q = A 2 V2 .Cd 0.95 ≤ Cd < 1   A1     (Calibração)
  18. 18. 18 Equação de Bernoulli - Aplicações Medidor de Diafragma Vena Contracta : A2 = ? A 2 = C 'A 0 2 Q = C.A 2 V2 = Cd .A 0 2 / ρ ( p1 − p 2 ) / 1 − ( A 0 / A1 ) 2 2 Cd = CC ' 1 − ( A 0 / A1 ) / 1 − C '2 ( A 0 / A1 ) ≈ 0.6, via calibraçao Reservatório aberto para a atmosfera Cd ≅ C.C ' , Q ≅ Cd A 0 2 / ρ ( p1 − p 2 ) A1 >> A 0 ⇒ p1 = ρgh , p 2 = 0 ⇒ V2 = 2gh Q = Cd A 0 2gh
  19. 19. 19 Equação de Bernoulli - Aplicações Medidor de Bocal Em tudo análogo ao medidor de diafragma Descarregadores (Rectangular, triangular) 2 dQ = Cd . 2gh.L.dh ⇒ Q = 2g.Cd .L.H3 / 2 3 θ 8 θ 5/ 2 Triangular : dA = 2 ( H − h ) tg dh ⇒ Q = 2gCd tg H 2 15 2

×