1. 1
Phần 1
HÌNH HỌA

2. 2
Chương 1
Mở đầu
Cơ sở của biểu diễn

3. 3
1.1 Giới thiệu môn học
Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng
trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế.
Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật
thể đều là các vật thể 3 chiều.
Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt
phẳng 2 chiều?
Hình họa
Gaspard Monge
Đối tượng môn học
- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

4. 4
1.2 - Phép chiếu xuyên tâm
a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc
Π và một điểm A bất kỳ.
- Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt
phẳng Π.
*Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu
+ Điểm S gọi là tâm chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của
điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A
A
A’
Hình 1.1 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm
S
П

5. 5
- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó
là một đoạn thẳng A’B’.
- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình
0.2.a)
- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường
đồng quy. (Hình 0.2.b)
A
A’
Hình 1.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm
S
B’
B
C
D
C’=D’
b) Tính chất phép chiếu
S
C’
A’
B’
D’
F’
E’
T’
a)
b)
A
B
E
F D
C
П
П

6. 6
- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó
là một đoạn thẳng A’B’.
- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình
0.2.a)
- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường
đồng quy. (Hình 0.2.b)
A
A’
Hình 1.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm
S
B’
B
C
D
C’=D’
b) Tính chất phép chiếu
S
C’
A’
B’
D’
F’
E’
T’
a)
b)
A
B
E
F D
C
П
П

7. 7
1.3- Phép chiếu song song
a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s
không song song mặt phẳng Π và một
điểm A bất kỳ trong không gian.
- Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao
của đường thẳng a với mặt phẳng Π.
* Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình
chiếu
+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song
của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
theo phương chiếu s
+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của
điểm A
A
A’
Hình 1.3 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm
s
П
a

8. 8
A
A’
Hình 1.4a,b Tính chất phép chiếu
song song
s
B’
B
C
D
C’=D’
b) Tính chất phép chiếu
- Nếu đường thẳng AB không song song
với phương chiếu s thì hình chiếu song song
của nó là đường thẳng A’B’
- Nếu CD song song với phương chiếu s
thì hình chiếu song song của nó là một điểm
C’=D’
- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’
+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:
- Nếu MN//QP thì:
- Nếu IK// Π thì:
a)
b)
П
M
M’
M
s
N’
N Q
P’
Q’
П
M’
P
K’I’
I K




=
PQ
MN
Q'P'
N'M'
Q'//P'N'M'



=IKK'I'
//IKK'I'
MB
AM
B'M'
M'A'
=

9. 9
1.4- Phép chiếu vuông góc
- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc
biệt của phép chiếu song song khi phương
chiếu vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu.
- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính
chất của phép chiếu song song, ngoài ra
có thêm các tính chất sau:
+ Chỉ có một phương chiếu s duy
nhất
+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:
A’B’=AB.cosφ
A’B’ ≤ AB
- Sau đây là những ứng dụng của phép
chiếu vuông góc mà ta gọi là phương
pháp hình chiếu thẳng góc
A
A’
Hình 1.5a,b. Phép chiếu vuông góc
s
П
a
A
A’
s
П
B
B’
φ
a)
b)

10. 10
Chương 2
Biểu diễn liên thuộc

11. 11
2.1 – Điểm
2.1.1– Xây dựng đồ thức của 1 điểm
a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
- Trong không gian lấy hai mặt phẳng
vuông góc nhau П1 và П2.
- Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng.
- Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang.
- Gọi x là giao điểm của П1 và П2
(x = П1∩П2 )
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2
- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng
П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay
được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2
trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm
A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A1
A2
Axx
AA1
Π1
x Ax
Π1
Π2
A2
Π2

12. 12
* Các định nghĩa và tính chất
- Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng
- Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng
- Đường thẳng x : trục hình chiếu
- A1: hình chiếu đứng của điểm A
- A2: hình chiếu bằng của điểm A
- Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng
(AA1A2)
- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một
đường thẳng vuông góc với trục x gọi là
đường dóng thẳng đứng.
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của
một điểm trên hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A1
A2
Axx
AA1
Π1
x Ax
Π1
Π2
A2
Π2

13. 13
* Độ cao của một điểm
- Ta có: gọi là độ cao của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ cao dương : khi điểm A nằm
phía trên П2
+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía
dưới П2.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên
trục x
+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A1
A2
Axx
AA1
Π1
x Ax
Π1
Π2
A2
Π2
AAAA 21x =

14. 14
* Độ xa của một điểm
- Ta có: gọi là độ xa của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa dương : khi điểm A nằm
phía trước П1
+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía
sau П1.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới
trục x
+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x
*Chú ý: Với một điểm A trong không gian
có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2.
Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể
xây dựng lại điểm A duy nhất trong
không gian. Như vậy đồ thức của một
điểm A có tính phản chuyển
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của
một điểm trên hệ thống hai mặt
phẳng hình chiếu
x Ax
A2
Π2
AAAA 12x =
a)
A
A1
A2
Axx
Π1
Π2
b)
A1

15. 15
b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng
П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một.
+ Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2)
+ Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3)
+ Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3)
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П1, П2 và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 ,
A2 và A3
- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng
П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3
quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên
Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng
với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A
trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)
Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
b)
A
A1
x Ax
A2
a)
A2
Π2
x
A
A1
Ax
A3
A2
Ay
Az
Π1
Π3
z
y
Π1
Π3
Π2
A3
z
y
y
O
Az
Ay
Ay
O

16. 16
b) Các định nghĩa và tính chất
Bổ xung thêm các định nghĩa
và tính chất sau:
- Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh
- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu
- A3: hình chiếu cạnh của điểm A
- Gọi
- Trên đồ thức:
+ A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường
thẳng vuông góc với trục x gọi là đường
dóng thẳng đứng
+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường
thẳng song song với trục x gọi là đường
dóng nằm ngang.
Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
b)
A
A1
x Ax
A2
a)
A2
Π2
x
A
A1
Ax
A3
A2
Ay
Az
Π1
Π3
z
y
Π1
Π3
Π2
A3
z
y
y
O
Az
Ay
Ay
O
)AA(AzAz
)AA(AyAy
)AA(AxAx
31
32
21
∩=
∩=
∩=

17. 17
b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)
* Độ xa cạnh của một điểm
- Ta có:
gọi là độ xa cạnh của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm
phía bên trái П3
+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm
phía bên phải П3.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên
phải trục z
+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái
trục z
Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
b)
A
A1
x Ax
A2
a)
A2
Π2
x
A
A1
Ax
A3
Ay
Az
Π1
Π3
z
y
Π1
Π3
Π2
A3
z
y
y
O
Az
Ay
Ay
O
AAOAAAAA 3x2y1z ===
A2

18. 18
2.1.2 – Một số định nghĩa khác
a) Góc phần tư
- Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn
phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.
+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I)
+ Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II)
+ Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III)
+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)
Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV
Hình 2.3. Góc phần tư I, II, III, IV
A2
Π1
Π2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A2
A1
Π2
Π1
Hình 2.4. Các điểm A,B,C,D thuộc
các góc phần tư I, II, III, IV
B2
B1
C1
C2
D2
D1

19. 19
b) – Mặt phẳng phân giác
- Có hai mặt phẳng phân giác
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1)
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)
Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng
phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)
Hình 2.5. Mặt phẳng phân giác I và II
A2
Π1
Π2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A2
A1
Π2
Π1
Hình 2.6. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc
mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)
(Pg1)
(Pg2)
B1
B2
C1
=D2D1
=C2
x
Ax Bx Cx Dx

20. 20
2.1.3 Bài toán: Tìm hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức
Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu
cạnh của điểm đó trên đồ thức.
Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức
x(+) Ax
A2
A3
z(+)
y(+)
O
Az
Ay
Ay
A1 Δ
Δ’
y(+)
x(+) Bx
B2
B3
z(+)
y(+)
O
Bz
By
By
B1 Δ
Δ’
x(+) Cx
C1
C3
z(+)
y(+)
O
Cz
Cy
Cy
C2
Δ
Δ’
x(+) Dx
D2
D3
z(+)
y(+)
O
Dz
Dy
Dy
D1 Δ
Δ’
y(+)
x(+) Ex
=E2
E3
z(+)
y(+)
O
Ez
=Ey
E1
Δ
Δ’
a)
d)
c)
e)
b)
y(+)
y(+)
y(+)
By
Ey

21. 21
2.2 Đường thẳng
2.2.1 Biểu diễn đường thẳng
Vì một đường thẳng đươc xác định bởi
hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;
- l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng
của đường thẳng l
- l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng
của đường thẳng l
Hình 2.7. Đồ thức của một đường thẳng
A1
B1
l1
l2
B2
A2
)B,B(B
)A,A(A
BAAB
21
21
≠∈ ,l
BA1
B2
Π1
Π2
A
x
A2
B1
l1
l2
l
Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường
thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất
trong không gian thì đồ thức đường thẳng có
tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần
cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l

22. 22
2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng
a)- Trường hợp tổng quát
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh
là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu
bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.
Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng
A1
l1
l2
A2
A1
Π1
Π2
Ax
A2
l1
l2
l
x



∈
∈
⇔



∏
∈
22
11
3 A
A
)//(
A
l
l
l
l

23. 23
b)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П3 )
Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3 được gọi là đường cạnh
A2
x
F3
E3
Π1
Π3
z
y
O
F
x
F2
E3
z
y
F3
E1
y
Ax
O
F1
p1
p2
E21
α
β
p3
p3
Π2
E
F2
F1
p1
p
p2
E2
E1
Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường
thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.
α

24. 24
PQIQPI
PQIQPI
333
333
∉⇔∉
∈⇔∈
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện
Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)
Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:
Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh
y
x
Q2
P3
z
y
Q3
P1
O
P2



∈
∈
222
111
QPI
QPI
I1
I3
I2
Q1

25. 25
PQI
QI
PI
QI
PI
PQI
QI
PI
QI
PI
22
22
11
11
22
22
11
11
∉⇔≠
∈⇔=
Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Nếu:
Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh
- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với
P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o
).
- Trên t lấy:
- Vẽ
22
221
QPQI
IPIP
=
=
I
Q
x
Q2
P1
P2
I1
I2
I’1
Q1
t
α
11 QQ//I'I
PQI∉⇔- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau11 I'I ≠
PQI∈⇔- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau11 I'I ≡

26. 26
c- Áp dụng. Tìm vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu
(Hình 2.12)
- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 ⇒ M1∈l1 , M2∈x
- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 ⇒ N1∈x, N2∈l2
Hình 2.12. Vết của đường thẳng
N1
M2
Π1
Π2
x
N2
M1
l1
l2
l N1
l1
l2
x
M1
N2
M2

27. 27
2.3- Mặt phẳng
2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng
a) Các cách xác định 1 mặt phẳng
Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng
A1 l1
l2
A2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng
I1
b1
b2
I2
a1
a2
d1
d2
c1
c2
1)
4)
3)
2)
Chú ý:
Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành
cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không
phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

28. 28
b) Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng
không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức:
các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình
chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng
nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14)
Hình 2.14. Hai đường thẳng không
phải là đường cạnh cắt nhau
I1
a1
a2
I2
x
b1
b2





⊥
≡
≡
⇔



∏
≡
xII
Iba
Iba
)//b,a(
Iba
21
222
111
3




29. 29
Trường hợp đặc biệt
Một trong hai đường thẳng là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và
đường thẳng l thỏa mãn:
l1∩P1Q1 ≡ I1
l2∩P2Q2 ≡ I2
Xét xem l và PQ có cắt nhau không?
(Hình 2.15)
Giải:
Ta có: I∈l ⇒ PQ∩l ⇔ I∈PQ
Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay
không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường
cạnh đã xét ở trên
Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau
(một trong hai đường thẳng là đường cạnh)
I
x
Q2
P1
P2
I1
I2
I’1
Q1
t
Q
α
l1
l2

30. 30



⇔



∏ 22
11
3 b//a
b//a
)//b,a(
b//a
c) Điều kiện để hai đường thẳng song song
* Định nghĩa:
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng
cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm
chung nào.
* Điều kiện song song của hai đường thẳng trên
đồ thức
- Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không
phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ
thức các hình chiếu đứng của chúng song song và
các hình chiếu bằng của chúng cũng song song.
(Hình 2.16)
Hình 2.16. Hai đường thẳng song
song không phải là đường cạnh
a1
a2
x
b1
b2

31. 31
* Trường hợp đặc biệt
Cả hai đường thẳng là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường
cạnh RS. Ta có: P1Q1//R1S1
P2Q2//R2S2
Xét xem PQ có song song với RS không?
(Hình 2.17)
Giải:
- Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh.
Nếu:
- Cách 2: Dùng định nghĩa.
Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không?
Hình 2.17. Xét xem hai đường cạnh có
song song hay không?
RS//PQ
xII
IRQSP
IRQSP
21
22222
11111
⇔





⊥
≡
≡


RS//PQSR//QP 3333 ⇒
x
Q2
P1
P2
I1
I2
Q1
S2
R2
S1
R1

32. 32
d) Vết của mặt phẳng
Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu
Cho mặt phẳng (α):
* Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1
* Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2
* Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3
Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó.
Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα
-Vết bằng : nα
-Vết cạch : pα
x
Π1
Π3
y
Π2
p
m
n
z
x
z
y
O
m=m 1
p=p3
n=n2
m2=n1=p2
p1
Hình 3.2. Vết của mặt phẳng
O
y
m α
n
α
pα
α

33. 33
- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại
αx∈x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)
- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng
- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2
và n1,n2 (Hình 3.3a)
- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó
ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c)
x
m1
n2
x
mα
nα
αx x
mα
nα
a) c)b)
Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức
αx m2=n1=x

34. 34
2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)
a) Bài toán cơ bản 1
Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó.
Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11)
Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1
I1
b1
b2
I2
a1
12
l1
l2
11
21
a2
22
b1
b2
I2
a1
12
l’1
l’2
21
a2
22
a) l1 cắt cả hai đường a1 b1
- Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22)
b1
b2
I2
a1
12
l1
l2
11
a2
I1
I1
11
K2
K1
b) l1 đi qua I1
- Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2)
K∈ l’→l qua IK
c) l1 song song với một trong
hai đường a1 b1
- VD: l1//b1
- Dựa vào điểm 1(11,12)
l2 đi qua 12, l2//b2
l1
l2

35. 35
Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2
(Hình 3.12)
Giải:
- Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2∈ x
- Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2∈ nα
- l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm
Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1
M2
l1
l2
M1
N1
N2
mα
nα
x
Chú ý:
- Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng
- Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết

36. 36
b) Bài toán cơ bản 2
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,
điểm K thuộc mặt phẳng α đó.
Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình
chiếu bằng K2 . (Hình 3.13)
Giải:
- Gắn điểm K vào một đường thẳng l∈(α)
- Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ?
(bài toán cơ bản 1)
- K2 ∈ l2 (Điểm thuộc đường thẳng)
Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2
b1
b2
I2
a1
12
l1
l2
21
a2
22
I1
11
K2
K1

37. 37
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα).
Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2
(Hình 3.14)
Giải:
- Gắn K vào đường thẳng a∈(α)
→ a1 qua K1. Tìm K2?
- K2 ∈ a2
Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2
αx
a1
a2
M1
M2
N1
N2
x
K1
K2
Chú ý:
Trong hai bài toán cơ bản trên,
nếu cho hình chiếu bằng của đường
thẳng và của điểm, tìm hình chiếu
đứng của chúng, ta cũng làm tương tự
mα
nα

38. 38
2.4 Mặt
2.4.1 Mặt kẻ
a) Biểu diễn mặt kẻ
Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó.
Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a)
- Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)
Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh
và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.
B1
A1
C1
S1
A2
B2
C2
S2
B1
A1
C1
l1
A2
B2
C2
l2
Hình 5.1. Biểu diễn đa diện

39. 39
Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó.
Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)
- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh.
Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường
bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.
O1
S1
S2
O1
l1
l2
O2
O2
Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong

40. 40
b) Bài toán điểm thuộc mặt
Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt
của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm
hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2)
Giải:
* Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi
qua đỉnh S, đó là SE và SE’.
* Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA
* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với
cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2
* Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường
thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường
thẳng song song cạnh đáy hình chóp.
Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp.
B1A1 C1
A2
C2
S1
B2
E≡E’1
N1
N2
J2
J1
Q2
P2
P1
M’2
M2
E’2
E2
Q1
Q’1
I2
I1
M1
P’2
S2
Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1

41. 41
Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón.
Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các
điểm đó. (Hình 6.2)
Giải:
- Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M
- Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ
- Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa
điểm P
- Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q.
Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón
O1J1
S1
O2
E1≡E’1
N1
N2
J2
K1
Q2
P2
P1
M’2
M2
E’2
E2
Q1
Q’1
I2
I1
M1
P’2
S2 ≡
Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón.
Tìm M2 , N2, P2, Q1
K2

42. 42
Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc
các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2,
Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.
(Hình 5.3)
Giải:
* Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng
t song song với cạch bên của lăng trụ.
* Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1
* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b).
P∈b ⇒P1∈b1
* Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường
thẳng k (k//a,b)
B1
A1
C1
A2
B2
C2
N1
N2
P2
P1
P’2
M2
M’2
M1
G2
G1
H1
H2
Q2
Q1
Q’1
E1≡E’1
E’2
E2
B’2
Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu
các điểm bằng cách gắn các điểm vào
đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ
Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1
a1
b1
k1
k’1
c1
t1
k2
t’2
t2
s’2
≡ s1
b2
c2
a2
≡ s2

43. 43
Ví dụ 4: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1,
N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3)
O1
J1
T1
J2
T’2
N1
P2
P1
M2
M’2
M1
G2
G1
H1
H2
Q2
Q1
E’2
E2
T2
Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ.
Tìm M2 , N2, P1, Q1
Giải:
- Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1.
Chân đường sinh: E1, E’1.
Trên hình chiếu bằng có E2, E’2.
Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2.
M2 ∈ a2, M’2 ∈ a’2
- Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s.
N1 ∈ s1, N2 ∈ s2 .
- Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2
- Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2
O2T2 ⊥ l2.
Từ T1 vẽ đường sinh l1 ⇒ Q1 ∈ l1
Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ
là hình tròn, ta có thể gắn các điểm
vào đường tròn song song đáy trụ
N2
P’1
E1≡E’1
s1
s2
a1
a’2
a2
k’1
k1
k2
l1
l2
O2

44. 44
2.4.2 Mặt tròn xoay
Ví dụ : Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu.
Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các
điểm đó. (Hình 6.4)
Giải:
- Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu
sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song
song với П2
- Tìm N2 , P2:
Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu:
N1 ∈ (u1) ⇒ N2 ∈ (u2)
P1 ∈ (v1) ⇒ P2 ∈ (v2)
* Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm
tương tự.
O1
O2
N1
N2
E1
P2
P1
(u1)
M’2
M2
E2
M1
P’2
(u2)
(v1)
(v2)
Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ?

45. 45
2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)
2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu
a) Đường bằng
* Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
B
A1
Π1
A
x
B1
B2
x
A1
B1
h1
h
A2
h1
h2
α
α
* Tính chất :
- Hình chiếu đứng h1//x
- Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB
- Góc h2,x = h, П1= α
Hình 2.2. Đường bằng
Π2
A2
h2
α
B2

46. 46
b) Đường mặt
* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ: CD// П1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng f2//x
- Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD
- Góc f1,x = f, П2= β
Hình 2.3. Đường mặt
D
C1
Π1
x
D1
D2
x
C1
D1
f1
f
C2
f1
f2
β
Π2
C2
f2
β
D2
β
C

47. 47
c)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П3 )
Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3 được gọi là đường cạnh
A2
x
F3
E3
Π1
Π3
z
y
O
F
x
F2
E3
z
y
F3
E1
y
Ax
O
F1
p1
p2
E21
α
β
p3
p3
Π2
E
F2
F1
p1
p
p2
E2
E1
Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường
thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.
α
* Tính chất :
- p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x
- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF
- Góc p3,z = p, П1= α
- Góc p3,y = p, П2= β

48. 48
x//mα−
d) Mặt phẳng bằng
* Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2
*Tính chất :
Π1
x
B1
B2
x
A1
A2C2
Hình 3.8. Mặt phẳng bằng
B
A1
A
B1
α
Π2
A2
C
B2
C1mα
mα C1
C2
Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng
ABCCBA)(ABC 222 =⇔α∈−
⊥
α1

49. 49
ABCCBA)(ABC 111 =⇔∈− β
e) Mặt phẳng mặt
* Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1
*Tính chất :
Hình 3.9. Mặt phẳng mặt
Π1
x
C1
C2
x
A1
A2
CA1
C1
Π2
A2
β
B2
A
B
B1
C2
B1
B2
nβ
nβ
Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng⊥
x//nβ−
β2

50. 50
ABCCBA)(ABC 333 =⇔∈− γ
.xnxm , ⊥⊥− γγ
f) Mặt phẳng cạnh
* Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.
Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3
*Tính chất :
Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh
x
Π1
Π3
y
A3
B3
z
O
p3
Π2
B
C2
A1
p
B2
B1
A
A2
C
C1
C3
γmγ
nγ
mγ
nγ
x
A2
B3
y
A3
B1
O
A1
C2
E2
C3C1
y
z
(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng⇒



∏⊥
∏⊥
⇒∏
2
1
3
)(
)(
//)(
γ
γ
γ
Chú ý:

51. 51
xBA 22 ⊥
2.5.2- Các đối tượng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)
a) Đường thẳng chiếu đứng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ:
B
A1
Π1
A
x
≡ B1
B2
x
A1
=B1
A2
* Tính chất :
- Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1
- Hình chiếu bằng
- A2B2=AB
Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng
Π2
A2
B2
xBA 22 ⊥
1AB ∏⊥

52. 52
xDC 11 ⊥
2CD ∏⊥
b) Đường thẳng chiếu bằng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
Ví dụ:
D
C1
Π1
C
x
≡D2
D1
x
C2
D1
C1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng của CD là một điểm C2≡ D2
- Hình chiếu đứng
- C1D1=CD
Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng
Π2
C2≡D2
xDC 11 ⊥

53. 53
c) Đường thẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.
* Tính chất :
- Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E3 ≡ F3
- E2F2//E1F1//x
- E1F1=E2F2=EF
Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh
Π2
x
E
F2
F1
≡F3E3
Π1
Π3
z
y
O
F
x
F2
E3
z
y
≡F3E1
E2
E1
O
F1
E2

54. 54
*Tính chất :
-Vết bằng
-
- mα , x = (α) , П2 = φ (Hình 3.5)
α∈⇔α∈ mCBA)(ABC 111
xn ⊥α
d) Mặt phẳng chiếu đứng
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ: Mặt phẳng
Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng
xn ⊥α
Π1
x
C1
C2
x
A1
A2
φ
C
A1
C1
mα
Π2
φ
A
B
nα
B1
B2
B1
mα
nα
1)( ∏⊥α
α
x
α1
Chú ý:
mα là hình chiếu đứng của mặt
phẳng chiếu đứng (α) nên
thường thay mα bởi α1

55. 55
xm ⊥β
e) Mặt phẳng chiếu bằng
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
Ví dụ: Mặt phẳng
Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng
*Tính chất :
-Vết đứng
-
- nβ , x = (β) , П1 = φ (Hình 3.6)
β∈⇔β∈ nCBA)(ABC 222
Π1
x
C1
C2
x
A1
A2
C
A
Bh1
Π2
A2
nβ
φ
C2
B2
mβ
B1
B2 nβ
φ
mβ
2)( ∏⊥β
β
x
β2
Chú ý: nβ là hình chiếu bằng
của mặt phẳng chiếu bằng (β)
nên thường thay nβ bởi β2

56. 56
3)( ∏⊥γ
γ∈⇔γ∈− pCBA)(ABC 333
f) Mặt phẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu cạnh П3.
Ví dụ: Mặt phẳng
*Tính chất :
x
C3
Π1
Π3
z
y
x
A3
z
C3
A1
C1 O
B1
α
β
pγ
A3
O
B3
α
β
pγ
Π2
A
C
B
mγ
nγ
mγ
nγ
B3
y
y
Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh
α=∏γ=− γ 1,z,p
x//n,x//m γγ−
β=∏γ=− γ 2,y,p
γ

57. 57
2.5.3- Sự vuông góc với các đường đồng mức
a) Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu
thành một góc vuông (Hình 2.20)
- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình
chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П.
- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa
mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:
Hình 2.20. Định lý về điều kiện một
góc vuông được chiếu thành một
góc vuông
∏∏⊥/
°=
°=
Oy//,Ox3)
90y'O'x'2)
90xOy)1
O’
y’
O
x’
x
y
a)
П

58. 58
b)- Chuyển sang đồ thức
- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì
một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt,
đường cạnh)
Hình 2.21. Ví dụ 1
I1
a1
a2
I2
x
h1
h2
I1
b1
b2
I2
x
f1
f2
Hình 2.22. Ví dụ 2
Ví dụ 1: (Hình 2.21) Ví dụ 2: (Hình 2.22)
°=⇔



∏
°=
90hIa
//h
90aIh
222
2
°=⇔



∏
°=
90fKb
//f
90bKf
111
1

59. 59
Hình 2.23. Ví dụ 3
a1
a2
x
h1
h2
b1
b2
x
f1
f2
Hình 2.24. Ví dụ 4
Ví dụ 3: (Hình 2.23)
(a và h chéo nhau)
Ví dụ 4: (Hình 2.24)
(b và f chéo nhau)
22
2
ha
//h
ha
⊥⇔



∏
⊥
11
1
fb
//f
fb
⊥⇔



∏
⊥

60. 60
c) Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
*- Định nghĩa
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một
mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả
các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a)
*- Định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng
đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b)
*- Chuyển sang đồ thức
- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau
của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường
mặt, đường cạnh)
- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà
cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt
nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.
)(a)( α∈∀⊥⇔α⊥ ll
Hình 3.38. Đường thẳng và
mặt phẳng vuông góc
α
β
a
a
l
b O
l
a)
b)

61. 61
4- Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2).
Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm
I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39)
Giải:
- Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2)
- Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2)
- Qua I vẽ l ⊥ α(ABC):
+Vẽ I1l1 ⊥ C1f1
+ Vẽ I2l2 ⊥ A2h2
- Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC)
(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng)
Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên
mặt phẳng α(ABC)
h1
A1
B1
A2
C2
B2
C1
11
≡ φ1l1
I1
I2
l2
g2
≡ g1
h2
D1
D2
E2
E1
H1
H2
21
22
12
f1
f2
Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2)
của điểm I lên mặt phẳng (α).

62. 62
Chương 3
Thay mặt phẳng
hình chiếu

63. 63
Đặt vấn đề:
Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị
trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán.
Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.

64. 64
3.1- Thay một mặt phẳng hình chiếu
3.1.1 Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1
Điều kiện:
* Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:
- Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới.
- Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu
là (A1 , A2).
- Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1.
Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2.
( Chiều quay xác định như trên hình 4.1).
- Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống
(П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A.
*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2):
Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’
+ A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc với x’
+ A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)
21' ∏⊥∏
A1
x Ax
A2
x’
A’1
A’x
Π1
Π2
Π
2
Π’1
Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1
a)
b)
x
Π1
Π2
A1
A’1
A2
Π’1
A A’1
A’x
x’
Ax

65. 65
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2).
Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng
AB đối với П2
Giải:
Dựa vào tính chất của đường mặt
- AB đã cho ở vị trí bất kỳ.
- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới
(П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt .
Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn
thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2.
- Để thực hiện:
+Chọn x’//A2B2
+Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)
- Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1
A1
x Ax
A2
x’
A’1
A’x
Π1
Π2
Π2
Π’1
B1
B2
B’1
B’x
Bx
φ
ĐLT: AB
Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc
nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2

66. 66
3.1.2 Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2
Điều kiện:
Cách xây dựng như thay П1 thành П’1
* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong
phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2
biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3)
*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2)
+ A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc với x’
+ A’xA’2 =AxA2
12' ∏⊥∏
A1
x Ax
A2
Π1
Π2
x’
A’2
A’x
Π
1
Π’2
Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2

67. 67
Ví dụ 2:
Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC
được cho trên đồ thức. (Hình 4.4)
Giải:
Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức
- (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng.
- Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC)
Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1.
Tìm A’2B’2C’2?
- Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật
của ΔABC.
Π1
Π2
C1
C2
x
A2
B2
B1
A1
x’
A’2
A’x
Π
1
Π’2
B’2
B’x
C’2
C’x
Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC
Ax Bx
Cx

68. 68
3.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu
3.2.1 Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng
П’1
rồi thay П2 thành П’2
Điều kiện:
Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm
A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu
П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước
trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là
giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5)
Giải:
- Tìm A’1: A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1
- Tìm A’2: A’2A’1 ⊥ x” ; A’xA”2=AxA’2
12
21
''
'
∏⊥∏
∏⊥∏
A
Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1
rồi thay П2 thành П’2
Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2
A1
x Ax
A2
x’
A’1
A’x
Π1
Π2
Π2
Π’1
x’’
A’2
A”x
Π’2Π’1

69. 69
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2).
Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình
chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là
đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống
mới.(Hình 4.6)
Giải:
- Thay П1thành П’1 để trong hệ thống
(П’1,П2), AB là đường mặt.
+ Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2.
+ Tìm A’1B’1?
(Độ cao điểm A âm)
- Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống
(П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng.
+ Muốn vậy, chọn trục x”⊥A’1B’1.
+ Tìm A’2B’2?
(A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)
A1
x Ax
A2
x’ A’x
Π1
Π2
Π2
Π’1
B1
B2
B’1
B’x
Bx
Π’1
Π’2
x’’
A”x ≡ B”x
A’2 ≡ B’2
Hình 4.6. Ví dụ 3
Độ cao âm
A’1

70. 70
3.2.2 Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2
rồi thay П1 thành П’1
Điều kiện:
Thực hiện phép thay tương tự như mục a)
Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A
trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành
П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao
của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.
(Hình 4.7).
Giải:
Tìm A’2: A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2
Tìm A’1: A’1A’2 ⊥ x” ; A’’xA’1=A’xA1
21
12
''
'
∏⊥∏
∏⊥∏
A1
xAx
A2
Π1
Π2
x’
A’2
A’x
Π
1
Π’2
x’’
A’1
A’’x
Π’1Π’2
Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax
Hình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2
rồi thay П1 thành П’1

71. 71
Ví dụ 4:
Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác
ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)
Giải:
- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ
thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng
chiếu bằng.
Muốn vậy, vẽ đường mặt Af.
Chọn trục x’⊥A1f1.
Tìm A’2B’2C’2?
- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ
thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt
phẳng mặt.
Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.
Tìm A’1B’1C’1?
- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn
thật của tam giác ABC.
Π1
Π2
C1
C2
x
A2
B1
A1
A’2
A’x Π’2
Π’1
B’2
B’x
C’2
C’x
B2
C’1
A’1
B’1
x’’
x’
Bx CxAx
B”x
A”x
C”x
Π’2
Π1
Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật
của tam giác ABC
f2
f1
11
12

72. 72
Chương 4
Giao của các
đối tượng

73. 73
4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng
4.1.1 Trường hợp đặc biệt
a) Hai mặt phẳng cắt nhau
Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡α1
- (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1
β2
α1
g1
g2
x
Hình 3.24. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) , β(β2)

74. 74
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1
- (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡β1
- Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng:
+ g1≡ α1∩ β1
+ g2 ⊥ x
β1
α1
g1
g2
x
1
1
1
g
)(
)(
∏⊥⇒



∏⊥β
∏⊥α
Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) , β(β1)

75. 75
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 3: Cho α(α1) , β(ABC) (Hình 3.26)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡α1
- Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng
thuộc mặt phẳng
A1
B1
A2
C2
B2
C1
12
11
21
22
g 1
≡
g2
Hình 3.26. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) ,β(ABC)
α 1

76. 76
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 4: Cho α(α2) , β(mβ,nβ) .(Hình 3.27)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ α2
- Để tìm g1 quy về bài toán đường thẳng
thuộc mặt phẳng
x
Hình 3.27. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) , β(mβ,nβ)
mβ
α2
N1
N2
M1
M2
g1
g2
≡
nβ

77. 77
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 5: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28)
Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào
của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt
của hai mặt phẳng đó
Giải:
- Tìm hai điểm chung M, N của
mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β):
+ M1≡ mα∩mβ ⇒ Μ2∈x
+ N2≡ nα∩nβ ⇒ Ν1∈x
- g1 đi qua các điểm M1 và N1
- g2 đi qua các điểm M2 và N2
Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ)
x
mα
N1
N2
M1
M2
g1
g2
nα
mβ
nβ
Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ)

78. 78
4.1.2 Trường hợp tổng quát
Ví dụ 3: Tìm giao của l(l1,l2) và mặt phẳng α(ABC).
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: (Hình 3.35)
+ Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l
+ Tìm giao tuyến g của (φ) và (α)
+ Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α)
Hình 3.35. Phương pháp mặt phẳng phụ
g
l
K
α
φ
Chú ý:
Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt
phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để
dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g

79. 79
Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l
và mặt phẳng (α)
Ví dụ 4: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC).
(Hình 3.36)
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ
Tìm được K ≡ l ∩ (α)
* Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt
phẳng (ABC)
-Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1
l
,P2
l
) và
(P1
BC
, P2
BC
): P1
l
∈ l1 ; P1
BC
∈ B1C1 ; P2
l
≡ P2
BC
Trên hình chiếu đứng P1
l
cao hơn P1
BC
⇒
trên hình chiếu bằng P2
l
thấy, P2
BC
khuất
⇒ P2
l
K2 thấy.
- Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11
l
,12
l
)
Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12
l
⇒
trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11
l
khuất ⇒
11
l
K1 khuất.
A1
B1
A2
C2
B2
C1
12
11
21
22
φ 1
≡
l1
K1
K2
l2
PP
BC
2
l
2
≡
P
l
1
P
BC
1
g2
≡
g 1
Hình 3.36. Ví dụ tìm giao điểm của
đường thẳng l(l1,l2) và mặt phẳng α(ABC).
≡ 11
l
12
l

80. 80
Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)
Ví dụ 5: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα).
(Hình 3.37)
Giải:
Dùng phương pháp mặt phẳng phụ:
- Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1)
- (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1
- Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1)
- Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1∈ l1
⇒ K(K1,K2) ≡ l ∩(α)
x
l1
N1
N2
M2
M1
g2
K1
K2
l2
mα
nα
Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của
đường thẳng và mặt phẳng
Cho l(l1,l2), α(mα,nα).
Chú ý:
Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng
(φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự.
φ1 ≡
≡ g1

81. 81
A1
B1
C1
B2 C2
A2
K1
K2
I1
I2
D2
D1
Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của
đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng
4.2 Đường thẳng cắt mặt
4.2.1 Đường thẳng cắt nón, chóp
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với
lăng trụ chiếu đứng được cho như trên hình 5.7.
( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1)
Giải:
Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng,
do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của
giao điểm.
Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng :
I2 , K2 thuộc l2.
Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.
l1
l2

82. 82
Ví dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l
với mặt nón được cho như trên hình 6.10.
Giải:
- Vì l là đường thẳng chiếu bằng ,
do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2
- Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nón
l1
O1
S1
S2
O2
T1
T’1
H2 ≡ G2
l2
H1
G1
I1
Hình 6.10. Ví dụ 2: Vẽ giao của đường
thẳng chiếu bắng l với mặt nón
K1
≡I2≡K2

83. 83
4.3
4.3.1- Giao của hai đa diện
Giao của hai đa diện lồi là một hoặc hai đường gấp khúc khép kín.
- Giao của hai đa diện là một đường gấp khúc khi đa diện này
không xuyên qua hết đa diện kia.
- Giao của hai đa diện là hai đường gấp khúc khi đa diện này
xuyên qua hết đa diện kia.
Chú ý: Các đường gấp khúc này có thể thuộc một mặt phẳng
hay không thuộc một mặt phẳng.

84. 84
Ví dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng .
(Hình 5.11)
Giải:
- Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó
giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín.
- Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của
hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51.
- Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt
của hình chóp.
- Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai
triển như hình 5.12
Hình 5.12.
Bảng nối và xét thấy
khuất giao tuyến trên
hình chiếu bằng
Hình 5.11. Tìm giao của hình chóp
với lăng trụ chiếu đứng
BA
S S
D
E
F
D
C A
S S
1
1
5
4
3
2
1’
5’
3’
1’
B1
A1
S1
41
21
B2
C1
A2
C2
11=1’1
22
12
32
S2
1’2
31 ≡3’1
3’2
42
51 ≡5’1
52
5’2
D1
E1
F1
D2 F2E2
(-)

85. 85
Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một
lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13)
Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất
giao tuyến trên hình chiếu đứng
E F
C
B
A
C
D E
5
6
4
2
4’
3
1
3’
Hình 5.13. Tìm giao của lăng trụ
với lăng trụ chiếu đứng
(-)
(-)
B1
A1
B2
C1
A2
C2
D1
E1
F1
D2
E2
F2
4’1
21
42≡4’2
12
31
11
32≡3’2
41
62
51
52
3’1
61
H2
G2
H1
G1
22

86. 86
4.3.2- Giao của đa diện với mặt cong
Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc
2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các
đường bậc 2.
Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình
nón tròn xoay được cho trên hình 6.16.
Giải:
- Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình
chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón.
Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác.
- Nhận xét:
+ Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt
phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2
+ Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình
nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3
+ Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón,
do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4.
Hình 6.16. Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng
với nón tròn xoay
S1
61
A1 ≡A’1
B2
32
3’2
A2
S2
C2
12
22
11
21
≡31
2’2
41
42
62
6’2
52
5’2
51
B1 ≡B’1
C1 ≡C’1
A’2 C’2
B’2

87. 87
Hình 6.17. Tìm giao tuyến của đa diện
với trụ chiếu đứng
Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của đa diện với
trụ chiếu đứng (Hình 6.17)
Giải:
- Vì mặt trụ đã cho là mặt trụ chiếu đứng,
do đó hình chiếu đứng của giao tuyến đã
biết, đó là cung elíp 1-2-3-4.
- Có 2 mặt (SAB) và (SAC) cắt trụ.
- Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm
thuộc đa diện.
Chú ý: Điểm giới hạn thấy khuất 2 ; 2’
11
21
31
41
32
12
22
2’2
42
3’2
S1
B1
A1
B2
A2
S2
≡ C1
C2

88. 88
4.3.3- Giao của trụ chiếu và mặt cong
Ví dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay
(Hình )
Giải:
- Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là
đường cong ghềnh bậc 4.
- Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu
đứng của giao tuyến.
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau:
+ Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ.
+ Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất.
+ Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất.
- Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm
thêm các điểm X, Y...
Hình 6.18
Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay
S1
S2
11
41
31
21
32
22
2’2
42
3’2
12
X1
Y1
X2
X’2
Y2
Y’2

89. 89
Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với
mặt cầu (Hình )
Giải:
- Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường
cong ghềnh bậc 4.
- Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu
đứng của giao tuyến.
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau:
+ Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất.
+ Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất
của trụ.
+ Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất
của trụ
+ Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu.
Hình 6.19
Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu
61
31
21
71
51
32
22
62
52
72
2’2
3’2
5’2
6’2

90. 90Hình 6.20. Giao của mặt trụ tiếp xúc với mặt cầu
Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong
ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.

91. 91
Hình 6.21. Minh họa định lý 1
Định lý 1:
Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo
một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo
một đường bậc hai thứ hai.
S1
S2
11
31
21
32
22
2’2
3’2
12

92. 92
Hình 6.22. Minh họa định lý 2
Định lý 2:
Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau
tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường
cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.
S1
S2
61
31
21
71
51
81
32
2262
52
6’2
72
2’2
3’2
5’2
82