Funçao quadratica-revisao 10º Ano

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Revisões sobre a função quadrática.
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Funçao quadratica-revisao 10º Ano

  1. 1. Apoio Escolar – Explicações – Ana Tapadinhas Matemática 10º AnoFunção QuadráticaDefinição de Função QuadráticaUma função f: chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, coma 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x . f: x  ax² + bx + cAlguns exemplos:* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0Observe que não são funções quadráticas:* f(x) = 3x* f(x) = 2 x* f(x) = x³ + 2x² + x + 1Gráfico da Função QuadráticaO gráfico de uma função quadrática é uma parábola.Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3Observe a tabela abaixo: x Y = f(x) = x² -4x + 3 (x, y) 0 3 (0, 3) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, -1) 3 0 (3, 0) 4 3 (4, 3)
  2. 2. Gráfico:Zeros da Função QuadráticaOs zeros de f(x) = ax² +bx + c são os números x tais que f(x) = 0, ou seja, os zerosda f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta.Determinação dos Zeros da Função QuadráticaA fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau bax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x = com = b² - 4.a.c 2.a(discriminante).Observações:1) Quando > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábolaintersecta o eixo x em dois pontos distintos).
  3. 3. 2) Quando = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábolaintersecta o eixo x em um só ponto).3) Quando < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola nãointersecta o eixo x).4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a 0.Existindo zeros reais tal que: b bx1 = e x2 = , obtemos: 2.a 2.a b b 2b bx 1 +x 2 = + = = 2.a 2.a 2.a a bLogo, x 1 +x 2 = . a b b b² ( ) 2 b² b² 4ac cx1. x 2 = . = = = 2.a 2.a 4a ² 4a ² a cLogo, x 1 .x 2 = . a
  4. 4. Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + cVamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a funçãoquadrática f(x) = ax² + bx + c.Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola(parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.
  5. 5. Parâmetro b:Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo dasordenadas poderá estar subindo ou descendo.Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábolaestá no eixo das ordenadas.Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.
  6. 6. Imagem da Função QuadráticaA determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permitedeterminar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem sercalculadas de duas maneiras:1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas: b xv= e yv = 2a 4a2ª Maneira:* Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos oponto médio das mesmas. Assim: x x2 xv= 1 2* Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter acoordenada y v .Examine os exemplos:1º) f(x) = 2x² - 8x x1 x2 0 4Obtendo as raízes, teremos x 1 = 0 e x 2 = 4. Portanto, x v = = =2 2 2Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice: y v = f(x v ) = 2 (x v )² - 8(x v ) y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8 * O vértice é o ponto (2, 8). * A função assume valor mínimo -8 quando x = 2 * Im(f) = {y │y 0} * Essa função não tem valor máximo.2º) f(x) = -4x² + 4x + 5
  7. 7. Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a 0, também bpode ser calculado assim: V = (x v , y v ) = , . 2a 4aNeste caso, temos:f(x) = -4x + 4x + 5 b 4 1xv= = = 2a 8 2 (16 80) 96yv= = =6 4a 16 16V = (1/2, 6) * O vértice é o ponto (1/2, 6). * A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2 * Im(f) = {y │y 6} * Essa função não tem valor mínimo.De modo geral, dada a função f: tal que f(x) = ax² + bx + c, com a 0, seV (x v , y v ) é o vértice da parábola correspondente, temos então:a>0 y v é o valor mínimo de f Im(f) = {y │y yv }a<0 y v é o valor máximo de f Im(f) = {y │y yv }
  8. 8. Estudo do sinal da função quadráticaEstudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a 0, significa determinar osvalores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) énegativa (f(x) < 0).O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante = b² - 4ac daequação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a.Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo como coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos.Acompanhe:1º Caso: > 0Neste caso:* A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x 2 ;* A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos. a>0 a<0 f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2 f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2 f(x) > 0 para x < x 1 ou x > x 2 f(x) > 0 para x 1 < x < x 2 f(x) < 0 para x 2 < x < x 1 f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x 22º Caso: =0Neste caso:* A função admite um zero real duplo x 1 = x 2* A parábola que representa a função tangencia o eixo x. a>0 a<0f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 f(x) > 0 para x x 1 f(x) < 0 para x x 1
  9. 9. 3º Caso: <0Neste caso:* A função não admite zeros reais;* A parábola que representa a função não intersecta o eixo x. a>0 a<0 f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x realExemplos:1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções:a) f(x) = x² - 7x + 6 b) f(x) = 9x² + 6x + 1 c) f(x) = -2x² +3x – 4a) f(x) = x² - 7x + 6a=1>0 = (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0Zeros da função: x 1 = 6 e x 2 = 1Então:* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6* f(x)< 0 para x < 1 ou x > 6* f(x) < 0 para 1 < x < 6Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 enegativa para x entre 1 e 6.b) f(x) = 9x² + 6x + 1a=9>0 = (6)² - 4 (9) (1) = 0Zeros da função: x = -1/3
  10. 10. Então:* f(x) = 0 para x = -1/3* f(x) > 0 para todo x -1/3c) f(x) = -2x² +3x – 4a = -2 < 0 = (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0Portanto, < 0 e a função não tem zeros reais.Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva paratodo x real?Condições:* a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0)* <0Cálculo de : = (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4kDaí:4 – 4k < 0 -4k < -4 4k > 4 k >4/4 k>1Logo, k │k > 1.

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