1. PEMROGRAMAN LINEAR
Makalah Yang Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester
Bahasa Indonesia
Dosen : Indrya Mulyaningsih, M.Pd.
IIN ROSITA SARI
(14121520517)
Fakultas/Jurusan : Tarbiyah/Tadris Matematika
Kelas/Semester : C/ 2
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI ( IAIN )
SYEKH NUR JATI CIREBON
2013

2. BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Ilmu ekonomi pada dasarnya mempelajari gejala-gejala dalam masyarakat (variabel-
variabel) yang saling pengaruh mempengaruhi. Gejala-gejala itu kebanyakan dapat dinyatakan
dengan satuan-satuan/ ukuran-ukuran/ kuantitas seperti harga barang-barang, upah pekerja,
jumlah barang yang dibeli dan dijual, pendapatan nasional, konsumsi masyarakat, laba
perusahaan, dan sebagainya. Proses saling pengaruh mempengaruhi dari gejala/ besaran-besaran
itu oleh ilmu ekonomi dipelajari keserasiannya (consistency-nya). Karena sifatnya yang
kuantitatif maka salah satu cara untuk menyelidiki proses saling mempengaruhi itu adalah
dengan penggunaan fungsi. Unsur-unsur yang membentuk suatu fungsi adalah konstan atau
tetapan dan variabel.Sebuah konstan adalah jumlah dan nilainya tetap dalam suatu masalah
tertentu. Bilangan konstan masih dapat dibedakan menjadi konstan absolut (yaitu yang nilainya
tetap untuk segala macam soal) dan konstan parametrik atau parameter (yaitu konstan yang
mempunyai nilai tetap pada suatu soal, tetapi nilainya bisa berubah pada soal lain).
Perbedaan pemrograman matematis dengan optimisasi klasik adalah bahwa
pemrograman matematis mencoba mengatasi permasalahan di mana optimisasinya menghadapi
kendala ketidaksamaan (inequality) – yaitu kendala dalam bentuk, katakanlah g(x, y) ≤ c dan
bukan g(x, y) = c. sebagai suatu gambaran khusus, ketimbang mengharuskan konsumen untuk
membelanjakkan uangnya tepat sebesar $250, kerangka pemrograman matematis memberikan
kebebasan kepadanya untuk memilih apakah membelanjakkan uangnya sebesar $250 atau
kurang. Jadi, dengan memberikan kebebasan persyaratan kendala, kerangka optimal yang baru
akan mengakibatkkan permasalahannya menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Tetapi, ia juga
memerlukkan pengembangan cara penyelesaian dengan metode-metode baru, karena kendala
ketidaksamaan tidak dapat diatasi oleh teknik klasik dari kalkulus.
Pemrograman linear, yaitu jenis yang paling sederhana dari permasalahn pemrograman di
mana fungsi tujuan (objective function) seperti juga kendala ketidaksamaan (constraint
inequality) seluruhnya adalah linear.

3. RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana bentuk sederhana pemrograman linear?
2. Apa saja alogaritma simpleks?
3. Apakah dual itu ?
4. Bagaimana dalil dual?
5. Apa saja keunggulan dual?
TUJUAN
1. Mengetahui bentuk sederhana dari pemrograman linear
2. Mengetahui apa saja alogaritma simpleks
3. Mengetahui tentang dual
4. Mengetahui tentang dalil dual
5. Mengetahui beberapa keunggulan dual

4. BAB II
PEMBAHASAN
PEMROGRAMAN LINEAR
A. Bentuk Sederhana Pemrograman Linear
Inti pemrograman linear dapat disampaikan dengan baik melalui contoh konkrit.
Kita akan menyajikan dua, yang satu menjelaskan peminimuman (minimisasi) dan yang
lainnya menjelaskan pemaksimuman (maksimisasi).1
Perbedaan pemrograman matematis dengan optimisasi klasik adalah bahwa
pemrograman matematis mencoba mengatasi permasalahan di mana optimisasinya
menghadapi kendala ketidaksamaan (inequality) – yaitu kendala dalam bentuk,
katakanlah g(x, y) ≤ c dan bukan g(x, y) = c. sebagai suatu gambaran khusus, ketimbang
mengharuskan konsumen untuk membelanjakkan uangnya tepat sebesar $250, kerangka
pemrograman matematis memberikan kebebasan kepadanya untuk memilih apakah
membelanjakkan uangnya sebesar $250 atau kurang. Jadi, dengan memberikan
kebebasan persyaratan kendala, kerangka optimal yang baru akan mengakibatkkan
permasalahannya menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Tetapi, ia juga memerlukkan
pengembangan cara penyelesaian dengan metode-metode baru, karena kendala
ketidaksamaan tidak dapat diatasi oleh teknik klasik dari kalkulus.
Pemrograman Linear, yaitu jenis yang paling sederhana dari permasalahn
pemrograman di mana fungsi tujuan (objective function) seperti juga kendala
ketidaksamaan (constraint inequality) seluruhnya adalah linear.(Alpha C. Chiang, 1986).
Sebuah variabel adalah sebuah jumlah yang mempunyai nilai yang berubah-ubah
pada suatu soal.
Pada suatu bentuk fungsi yang sederhana y = a + bx, maka x dan y adalah variable
sedang dan b adalah konstan. Dalam contoh ini x disebut variabel tak gayut (independent
variabel atau argument) sedang y adalah variabel yang gayut (dependent variabel) atau
nilai dari fungsi yang nilainya ditentukan oleh nilai x.
1
Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1986), Hal.207.

5. Contoh 1:
seorang pengusaha mempertimbangkan untuk mengeluarkan sejumlah dana untuk
membiayai advertensi guna memperkenalkan barang hasil produksinya. Dia berpendapat
bahwa degan berbuat demikian penjualan barangnya akan naik. Dalam hal ini pengusaha
ini mempunyai bayangan tentang terdapatnya hubungan fungsional antara pengeluaran
advertensi dengan jumlah penjualan harganya.
Bilamana hubungan semacam itu dapat dirumuskan dalam bentuk fungsi, maka si
pengusaha akan dapat menentukan berapa dana yang harus dikeluarkan untuk advertensi
ini yang akan mendatangkan jumlah penjualan terbanyak baginya.
Contoh 2:
jumlah uang yang beredar dalam suatu Negara adalah salah satu faktor yang
menentukan tingkat harga barang-barang dan jasa pada umumnya. Bila jumlah uang yang
beredar terlalu banyak maka tingkat harga akan cenderung untuk naik. Bilamana
Pemertintah (yang menguasai jumlah uang yang beredar dalam suatu Negara) mengetahui
rangkaian fungsi-fungsi (yang bersama membentuk suatu model) yang menerangkan
hubungan antara jumlah uang yang beredar dengan tingkat harga pada umumnya, maka
pemerintah akan dapat mencegah terjadinya kenaikan harga yang tak terkendali ( yang
biasa dikenal dengan istilah hiperinflasi)
Contoh pertama yang menggambarkan perumusan hubungan fungsional antara
variabel-variabel yang diwakili oleh sebuah fungsi. Contoh kedua memerlukan suatu set
fungsi untuk menerangkan hubungan antara kedua variabel. Baik secara sederhana
maupun dengan cara penyajian yang komplex inti dari pendekatan ilmu ekonomi
semacam ini terletak pada fungsi.
1. Masalah Diet
Untuk memelihara kesehatan yang baik, seseorang harus memenuhi kebutuhan
minimum sehari-hari (minimum daily reqirement) dari beberapa jenis bahan bergizi.
Anggaplah, untuk menyederhanakan permasalahan hanya terdapat tiga macam
kebutuhan yang akan ditinjau: kalsium, protein, dan vitamin A. anggap pula bahwa
diet gizi seseorang hanya terdiri dari dua macam makanan, yakni jenis I dan II,
dimana kita juga merinci kebutuhan minimum sehari-hari untuk setiap jenis gizi.2
2
Ibid, Halaman 208.

6. Permasalahannya: bagaimana kombinasi kedua jenis makanan yang akan
memenuhi kebutuhan sehari-hari dan memerlukan biaya yang paling minimum?
Jika kita menyatakan banyaknya dua jenis makanan yang akan dibeli setiap hari,
sebagai x1dan x2 (dipandang sebagai variabel kontinu), maka masalahnya dapat
dinyatakan secara matematis sebagai berikut:
Minimumkan C = 0,6x1 + x2
dengan syarat 10x1 + 4x2 ≥ 20 [kendala kalsium]
5x1 + 5x2 ≥ 20 [kendala protein]
2x1 + 6x2 ≥ 12 [kendala vitamin A]
dan x1, x2 ≥ 0
persamaan pertama yang merupakan fungsi biaya berdasarkan keterangan harga,
menyatakan fungsi tujuan (objective function) dari program linier, disini fungsinya
adalah meminimumkan. Ketiga ketidaksamaan berikutnya adalah kendala yang
dibutuhkan oleh kebutuhan sehari-hari; ini dengan mudah diterjemahkan dari ketiga
baris terakhir.Perlu anda perhatikan bahwa, meskipun tidak diperkenankan lebih kecil
daripada kebutuhan sehari-hari, optimalnya (jika dilihat dari penggunaan
ketidaksamaan yang lemah ≥) diperkenankan melebihi jumlah minimum yang
ditunjukkan; ciri inilah yang terutama membedakan pemrograman linear dari
permasalahan optimisasi. Akhirnya, melalui dua ketidaksamaan, x1, x2 ≥ 0, yang
merupakan pembatas nonnegatif (nonnegativity restrictions), kita tonjolkan keluar
kebutuhan yang karena keterbatasan kalkulus, harus tetap tinggal dalam optimisasi
klasik, yakni tidak diperkenankan adanya pembelian yang negatif. Juga perlu
diperhatikan bahwa masalah kita sebenarnya berisi lebih banyak kendala daripada
variabel pilihan.Hal ini tidak pernah terdapat dalam masalah optimisasi klasik, tetapi
sekarang dibuat fisibel (layak) karena kendalanya telah diperlemah dari kesamaan
menjadi ketidaksamaan, dan dengan demikian lebih mudah untuk memenuhinya.3
Jadi singkatnya, terdapat tiga bahan utama dalam pemrograman linier: fungsi
tujuan, himpunan kendala, dan himpunan pembatas non-negatif. Perhatikan bahwa
3
Johanes, Pengantar Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal.404.

7. Harga
Makanan I (per Ib) Makanan II (per Ib) Kebutuhan
minuman
sehari-hari
$0,60 $1,00
Kalsium
(unit*)
10 4 20
Protein
(unit*)
5 5 20
Vitamin
A
(unit*)
2 6 12
Kelinieran berlaku secara keseluruhan, karena tidak ada variabel yang
dipangkatkan lebih dari 1, atau yang dikalikan oleh Variabel lainnya. Tentu saja,
kenyataan inilah yang mengangkat nama pemrograman linier ke permukaan.4
2. Pengaruh Perubahan Harga
Sekarang marilah kita mengajukan pertanyaan komparatif-statis (comparative-
static): apa yang akan terjadi terhadap penyelesaian optimal bila harga makanan P1/P2
(dalam contoh: -0,60/1,00 = -0,60), pengaruh langsung dari perubahan harga adalah
terhadap isocost. Tetapi beberapa kemungkianan dapat timbul.
Pertama, bila kedua harga berubah dalam perbandingan yang tepat sama, maka
kemiringan (slope) isocost tetap tidak berubah. Dalam hal demikian, penyelesaian
optimal yang semula harus berlaku, meskipun gambaran biaya C tentu saja akan
meningkat atau menurun secara pari passu (dengan tingkat yang sama) dengan P1 dan
P2.
Kedua, kedua harga dapat berubah dengan proporsi yang berbeda, tetapi
perbedaan secara relativ kecil. Dalam kasus seperti itu, kemiringan isocost akan
mengalami perubahan yang kecil, katakanlah dari -0,6 ke -0,4 atau ke -0,8. Seperti
dapat anda buktikan – dengan menggambarkan kelompok isocost dengan kemiringan
-0,8, perubahan kemiringan yang sebesar ini tidak akan mempengaruhi penyelesaian
optimal yang semula. Jadi, tidak seperti titik singgung dalam kalkulus
diferensial.Titik temu/kontak yaitu (susut optimal) tidak sensitiv terhadap perubahan
yang kecil dalam parameter-parameter harga.
4
Ibid, Halaman 209

8. Kemungkianan yang lain, anggaplah bahwa sekarang kedua harga menjadi sama,
katakanlah pada P1 = P2 = 1. Maka isocost tersebut, yang sekarang mempunyai
kemiringan sebesar -1, akan sejajar dengan garis pembatas protein. Isocost baru yang
kemungkinan paling rendah kemudian akan menyinggung daerah fisibel bukan pada
satu titik, tetapi pada sepanjang seluruh pinggir garis pembatas, dengan akibatnya
bahwa setiap titik pada ruas garis yang diperluas dari (3,1) ke ( , 3 ) akan optimal.
Sepanjang menyangkut optimisasi individual, gejala optimisasi ganda, (multiple
optimum) bukan merupakan masalah;sebaliknya ia dianggap sebagai suatu
keuntungan karena dapat membuat beberapa macam kemungkinan dalam daftar
makanan. Namun, untuk kita, gejala ini nampak memundurkan kembali pernyataan
kita yang rerdahulu bahwa penyelesaian optimal selalu diperoleh pada titik-titik
ekstrem. Namun, bila kita renungkan sesaat, hal ini akan menunjukkan bahwa kita
tetap pada landasan yang aman, karena walau dalam kasus optimum ganda ini,
penyelesaian optimal muncul pada satu sudut – bukan, pada dua titik sudut! Pada
kenyataannya, bila kita membatasi pembatasan kita hanya pada titik ekstrem, tidak
ada risiko kita bahwa mungkin ada penyelesaian yang lebih baik. Kita akan
menemukan bahwa gagasan inilah yang mendasari apa yang disebut penyelesaian
metode simpleks yang akan dijelaskan di bawah ini.
3. Masalah Produksi
Asumsinya sebagai berikut. Suatu perusahaan memproduksi dua barang I, dan II,
dengan satu pabrik yang terdiri dari tiga departemen produksi: pemotongan,
pencampuran, dan pengemasan. Peralatan dalam setiap departemen dapat digunakan
8 jam sehari, jadi kita menganggap 8 jam sebagai kapasitas harian dalam setiap
departemen.5
Proses produksi dapat diringkas sebagai berikut: (1) produksi I dipotong
terlebih dahulu kemudian dikemas. Setiap ton dalam produksi ini menghabiskan
waktu kapasitas pemotongan jam dan kapsitas pengemasan jam; (2) produk II
dicampur terlebih dahulu kemudian dikemas. Setiap ton produk ini menghabiskan
waktu kapasitas pencampur 1 jam dan kapasitas pembungkus jam. Akhirnya,
produk I dan II dapat dijual dengan harga masing-masing $80 dan $60 per ton, tetapi
setelah dikurangi dengan biaya variabel, produk tersebut menghasilka keuntungan
bersih $40 dan $30 per ton.
5
Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1993), Hal. 45.

9. Jumlah yang terakhir ini dapat dianggap sebagai gambaran penerimaan bersih
(setelah dikurangi biaya variabel) atau sebagai gambaran keuntungan bruto (setelah
dikurangi biaya tetap). Untuk mudahnya, di sisni kita akan menganggapnya sebagai
“laba per ton” permasalahannya: bagaimana kombinasi output yang harus dipilih oleh
perusahaan agar labanya mencapai maksimum?
Untuk menjawab ini, terlebih dahulu kita akan menyusun informasi yang telah
diberikan dalam bentuk tabel, dan keudian menerjemahkan permasalahannya ke
dalam program linier dalam dua variabel pilihan kontinu x1 dan x2 berikut ini:
Maksimumkan π = 40x1 + 30x2
Dengan syarat x1 ≤ 16 [kendala pemotongan]
x2≤ 8 [kendala pencampuran]
x1+ 2x2 ≤ 24 [kendala pengemasan]
dan x1, x2 ≥ 0
perhatikan bahwa meskipun kendala adalah x1 ≤ 8, kita telah mengalikan kedua ruas
dengan 2 untuk menghindari adanya pecahan. Secara serupa, kita mengubah kendala
pengemasan dengan pengali 3.Sekarang, kita menemukan satu permasalahan
pemaksimuman. Juga, sekarang kendala dalam bentuk ≤, meskipun kita tidak pernah
melebihi kapasitas, kita bebas untuk meningkatkan bagian kapasitas yang
menganggur (idle). Namun, pembatas non-negatif masih tetap muncul dalam bentuk
yang sama seperti dalam permasalahan peminimuman.6
Untuk model dengan satu produk, pemecahan P dan Q adalah relatif sederhana,
meskipun telah dimasukkan sejumlah parameter.Bila semakin banyak barang
dimasukkan ke dalam model, maka penyelesaian degan rumus tersebut tidak praktis
dan sulit dipakai.Itulah sebabnya mengapa kita harus mengambil jalan pendek,
walaupun untuk kasus dengan dua barang.7
6
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 83.
7
Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1993), Hal. 57.

10. Agar penyelesaian dapat ditulis relatif ringkas. Kita tidak berusaha untuk
membahas model dengan tiga atau empat barang, walaupun dalam bentuk linear, hal
ini terutama karena sampai saat ini kita belum memiliki suatu metode yang cukup
untuk menangani suatu sistem persamaan simultan yang luas. Metode seperti itu
ditemukan dalam aljabar matriks.
Aljabar matriks dapat membantu kita dalam melakukan banyak hal. Pertama,
memberikan suatu cara penulisan sistem persamaan yang ringkas, walaupun
persamaannya luas sekali. Kedua, memberikan petunjuk mengenai cara pengujian
suatu pemecahan yang ada melalui penaksiran determinan – suatu konsep yang erat
hubungannya dengan matriks. Ketiga, memberikan suatu cara untuk mendapatkan
pemecahan tersebut (jika ada). Karena sistem persamaan tidak saja menghadapi
permasalahan dalam analisa statis (static analysis), tetapi juga dalam komparatif-statis
(comparative-static) dan analisa dinamis (dynamic analysis) dan dalam permasalahan
optimisasi ( optimization problems).8
Tetapi, pertama-tama perlu dijelaskan secara khusus bahwa aljabarmatriks hanya
dapat diterapkan pada sistem persamaan linear.Bagaimana suatu persamaan linear
secara realistis dapat menggambarkan hubungan ekonomi yang sebenarnya, tentu saja
tergantung pada sifat hubungan tersebut.Dalam berbagai kasus, sekalipun realitas
dibatasi dengan mengasumsikan linearitas, suatu hubungan linear yang diasumsikan
dapat menghasilkan suatu perkiraan yang cukup mendekati kenyataan terhadap
hubungan yang non-linear. Dalam kasus lain, aproksimasi suatu perkiraan dapat
diperbaiki dengan memisahkan aproksimasi linear menjadi beberapa bagian dari
suatu hubungan yang non- linear.9
Namun dalam kasus yang lain, sementara tetap menggunakan model yang non-
linear, kita dapat mengadakan perubahan variabel agar mendapatkan hubungan yang
linear. Sebagia contoh, fungsi non-linear
y = axb
dapat diubah dengan mengalikan logaritma di dalam kedua bagian fungsi, menjadi
8
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal. 320.
9
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 92.

11. logy = log a + b log x
yang merupakan fungsi linear untuk kedua variabel (log y) dan (log x).
Singkatnya, asumsi linearitas sering digunakan dalam ilmu ekonomi dan dalam
kasus tertentu cukup masuk akal dan dibenarkan.
4. Penyelesaian dengan Garafik
Tujuan linear programming adalah untuk menetapkan alokasi sumber daya yang
langka secara optimal di antara produk atau aktivitas yang saling bersaing.Situasi
perekonomian seringkali mengharuskan pengoptimuman suatu fungsi di bawah
beberappa kendala seperti di bawah beberapa kendala pertidaksamaan.Untuk
optimisasi di bawah satu kendala pertidaksamaan, metode Lagrangian relatif
sederhana.Apabila kendala pertidaksaaan yang dilibatka lebih dari satu maka linear
programming adalah lebih mudah.Jika kendala-kendalanya tersebut, betapa pun
banyaknya, terbatas variabel, betapa pun banyaknya penyelesaian yang termudah
adalah dengan pendekatan grafik.10
Contoh:
sebuah pabrik memproduksi meja (x1) dan bangku (x2). Setiap meja memerlukan
2,5 jam untuk perakitan (A), 3jam untuk pemolesan (B), dan 1 jam untuk pengepakan
(C). setiap bangku memerlukan 1 jam untuk perakitan, 3 jam untuk pemolesan, dan 2
jam untuk pengepakan. Perusahaan tersebut tidak dapat menggunakan lebih dari 20
jam untuk perakitan, 30 jam untuk pemolesan, dan 16 jam untuk pengepakan setiap
minggu. Margin laba adalah Rp 3,- per meja dan Rp 4 per bangku.
Pendekatan grafik digunakan di bawah ini untuk mencari bauran output (output
mix) yang akan memaksimumkan laba mingguan perusahaan tersebut. Pendekatan ini
diperagakan dalam empat langkah yang mudah.
a. Nyatakan data tersebut dalam persamaan atau pertidaksamaan. Fungsi yang akan
dioptimumkan, fugsi obyektifnya, menjadi
II = 3x1 + 4x2
10
Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1986), Hal. 87.

12. di bawah kendala,
kendala dari A: 2,5x1 + x2 ≤ 20
kendala dari B : 3x1 + 3x2≤ 30
kendala dari C : x1 + 2x2≤ 16
kendala ketidaknegatifan: x1, x2 ≥ 0
tiga pertidaksamaan pertama merupakan kendala-kendalateknis (technical
constrains) yang ditentukan oleh keadaan teknologi dan tersedianya input;
pertidaksamaan yang keempat merupakan suatu kendala ketidaknegatifan
(nonnegativity constraint) yang ditentukan pada setiap soal untuk menghindarkan
nilai negatif ( karena itu tidak dapat diterima) dari penyelesaian.
b. Perlakuan ketiga kendala pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, selesaikan
masing-masing untuk x2 dalam kaitannya dengan x1.
Dari A x2 = 20- 2,5x1
Dari B, x2 = 10- x1
Dari C, x2 = 8- 0,5x1
c. Untuk memperoleh pemecahan yang optimal dalam daerah yang memungkinkan.
x2= - x1
d. Laba dimaksimalkan pada pemotongan kedua kendala tersebut, yang disebut titik
ekstrim (ekstreme point)
5. Dalil Dasar
Untuk suatu sistem persamaan m yang konsisten dan variabel n, di mana n >m,
akan terdapat sejumlah penyelesaian yang tak terhingga.11
Akan tetapi, banyaknya titik ekstrim adalah terhingga.Dalil dasar menyatakan
bahwa untuk suatu sistem m persamaan dan n variabel, di mana n >m, suatu
penyelesaian di mana n - m variabel sama dengan nol merupakan titik ekstrim.12
11
Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1993), Hal. 84.
12
Ibid, Halaman 86.

13. Jadi dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol dan menyelesaikan m
variabel yang tersisa, suatu titik ekstrim, atau penyelesaian dasar dapat diperoleh.
Besarnya penyelesaian dasar diberikan denganrumus
Di mana n !dibacanfactorial.
Contoh: dengan mereduksi pertidaksamaan menjadi persamaan, menghasilkan
tiga persamaan dan lima variabel. Perhitungan untuk menentukan (1) banyaknya
variabel yang harus ditetapkan sama dengan nol untuk memperoleh suatu
penyelesaian dasar dan (2) besarnya penyelesaian dassar yang ada, diperlihatkan di
bawah ini.
a. Karena terdapat 3 persamaan dan 5 variabel, dan n – m variabel harus sama
dengan nol untuk penyelsaian dasar 5-3 atau 2 variabel harus sama dengan nol
untuk suatu penyelesaian dasar atau titik ekstrim.
b. Dengan menggunakan rumus untuk besarnya penyelesaian dasar,
n !/ [m! (n – m)!] dan dengan mensubstitusikan parameter-parameter yang
diketahui,
Di mana 5! = 5(4) (3) (2) (1). Jadi,
= 10
B. Alogaritma Simpleks
Alogaritma adalah suatu himpunan kaidah atau suatu prosedur sistematis untuk
mendapatkan penyelesaian suatu soal.13
Alogaritma simpleks adalah suatu metode (atau
prosedur perhitungan) untuk menentukan penyelesaian dasar yang memungkinkan atas
suatu sistem persamaan dan pengujian keoptimalan penyelesaian tersebut. Kerena paling
sedikit n-m variabel harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar, n-m variabel
ditetapkan sama dengan nol dalam setiap langkah dari prosedur tersebut dan penyelesaian
diperoleh dengan meyelesaikan m persamaan untuk m variabel sisanya.
13
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal. 345.

14. Alogaritma bergerak dari satu penyelesaian dasar yang mungkin ke penyelesaian
dasar yang lain, sembari selalu menyempurnakan penyelesaian sebelumnya, sampai
penyelesaian optimal dicapai. Variabel-variabel yang disamakan dengan nol pada
langkah tertentu disebut tidak dalam basis atau tidak dalam penyelesaian. Variabel-
variabel yang tidak ditetapkan sama dengan nol disebut dalam basis, dalam penyelesaian,
atau lebih sederhan variabel-variabel dasar. Metode simpleks diilustrasikan dalam
contoh 1 untuk maksimisasi dan dalam contoh 3 minimisasi.
Contoh 1. Alogaritma simpleks digunakan sebagai berikut untuk memaksimumkan laba,
apabila ditentukan
∏ = 5x1 + 3x2
Di bawah kendala,
6x1 + 2x2 ≤ 36 2x1 + 4x2 ≤ 28
5x1 + 5x2 ≤ 40 x1x2 ≥ 0
1. Tabel simpleks awal
a. Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan variabel-
variabel slack
6x1 + 2x2 + s1 = 36
5x1 + 5x2 + s2 = 40
2x1 + 4x2 + s3 = 28
2. Elemen pivot dan perubahan dasar (basis)
Untuk menaikan nilai fungsi objektif, suatu penyelesaian mendatar yang baru
diperiksa.Untuk bergerak ke suatu penyelesaian mendatar baru yang mungkin, suatu
variabel baru dimasukkan ke dalam basis dan salah satu variabel yang sebelumnya
berada dalam basis harus dikeluarkan. Proses pemilihan variabel yang dimasukkan
dan variabel yang dikeluarkan tersebut dinamakan perubahan basis (change of
basis).14
3. Pivoting
Pivoting adalah proses penyelesaian m persamaan dalam bentuk m variabel yang
sekarang berada dalam basis. Karena hanya satu variabel baru yang memasuki basis
pada setiap langkah proses, dan langkah sebelumnya selalu melibatkan suatu matriks
identitas, pivoting hanya meliputi perubahan elemen pivot menjadi 1 dan semua
elemen lainnya dalam kolom pivot menjadi nol. Seperti dalam metode eliminasi
Gauss. (Edward T. Dowling, 1996)
14
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 89.

15. 4. Optimisasi
Fungsi objektif dimaksimumkan kalau tidak terdapat indikator negative dalam
basis terakhir.15
C. Dual
Setiap awal maksimisasi (minimisasi) dalam (linear programming) selalu dihadapkan
pada soal minimisasi (maksimisasi) yang terkait.Soal asal (mula-mula) disebut primal;
soal yang terkait disebut dual.Hubungan antara keduanya dapat dinyatakan secara
gambling melalui penggunaan parameter-parameter yang terkandung dalam
keduanya.Untuk sifat-sifat yang serupa dalam fungsi lagrangian.16
Contoh 1. Dengan mengetahui soal asal atau primal,
Maksimumkan ∏ = g1x1 + g2x2 + g3x3
a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 ≤ b3
x1, x2, x, ≤ 0
dual yang terkait adalah
minimumkan c = b1z1 + b2z2 + b3z3
a11z1 + a21z2 + a31z3 ≥ g1
a12z1 + a22z2 + a32z3 ≥ g2
a12z1 + a23z2 + a33z3 ≥ g3
z1, z2, z3 ≥ 0
Kaidah Transformasi untuk Memperoleh Dual
Dalam perumusan dual dari suatu soal primal
1. Arah optimisasi adalah terbalik. Maksimisasi dalam primal menjadi minimisasi dalam
dual dan sebaliknya.
15
Ibid, Halaman 89.
16
Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1986), Hal. 103.

16. 2. Tanda pertidaksamaan dari kendala teknis adalah terbalik, tetapi ketidaknegatifan
pada variabel-variabel keputusan (decision variables ) selalu dipertahankan.
3. Baris matriks koefisien dari kendala dalam primal berganti tempat ( transpose )
menjadi kolom untuk matriks koefisien dari kendala dalam dual.
4. Vektor baris dari keofisien dalam fungsi obyektif dalam primal berganti tempat
menjadi vektor kolom konstan untuk kendala dalam dual.
5. Vektor kolom konstan dari kendala primal berganti tempat menjadi vektor basis dari
koefisien-koefisien untuk fungsi obyektif dalam dual.
6. Variabel keputusan primal ( xj ) digantikan oleh variabel keputusan dual ( zi ).
Contoh 2. Dual dual dari soal linear programming,17
Maksimum ∏ = 5x1 + 3x2
6x1 + 2x2 ≤ 36
5x1 + 5x2 ≤ 40
2x1 + 4x2 ≤ 28
adalah x1, x2 ≤ 0
minimumkan c = 36z1 + 40z2 + 28z3
dengan kendala 6z1 + 5z2 + 2z3 ≥ 5 2z1 + 5z2 + 4z3 ≥ 3
z1, z2, z3 ≥ 0
contoh 3. Dual dari soal linear programming,
minimumkan c = 20z1 + 30z2 + 16z3
dengan kendala 2,5z1 + 3z2 + z3 ≥ 3
adalah z1 + 3z2 + 2z3 ≥ 4
z1, z2, z3 ≥ 0
17
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 90.

17. maksimumkan ∏ = 3x1 + 4x2
dengan kendala 2.5x1 + x2 ≤ 20 x1 + 2x2 ≤ 16
3x1 + 3x2 ≤ 30 x1, x2 ≥ 0
Perhatikan bahwa jika dual dari dual diambil di sini atau dalam contoh-contoh di
atas, primal yang berkaitan akan diperoleh.
D. Dalil Dual
Dua dalil dual bersifat sangat penting untuk linear programming. Dalil tersebut berbunyi:
1. Nilai optimal dari fungsi obyektif primal selalu sama dengan nilai optimal dari fungsi
obyektif dual, asalkan terdapat suatu penyelesaian optimal yang memungkinkan.
2. Jika dalam penyelesaian optimal yang mungkin tersebut.
Suatu variabel keputusan dengan program primal mempunyai nilai bukan nol,
variabel slack (atau surplus) yang berkaitan dengan program dual harus mempunyao
nilai optimal nol.18
Suatu variabel slack (atau surplus) dalam primal mempunyai nilai bukan nol,
variabel keputusan yang berkaitan dalam program dual harus mempunyai nilai
optimal nol.19
Contoh 4. Diketahui soal linear programming berikut,
Minimumkan: ∏ = 14x1 + 12x2 + 18x3
Dengan kendala 2x1 + x2 + x3 ≤ 2
x1 + x2 + 3x3 ≤ 4 x1, x2, x3 ≥ 0
dalil dual digunakan sebagai berikut untuk mencari nilai optimal dari (1) fungsi
obyektif primal dan (2) variabel keputusan primal. Program dualnya adalah:
18
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal. 306.
19
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 112.

18. minimumkan c = 2z1 + 4z2
dengan kendala 2x1 + z2 ≥ 14
z1 + z2 ≥ 12
z1 + 3z2 ≥ 18 z1, z2 ≥ 0
Nilai optimal dari program dual diperoleh dengan grafik.
Untuk memperoleh nilai optimal dari variabel keputusan primal, ubahlah kendala
pertidaksamaan menjadi persamaan dengan penambahan variabel slack pada primal (I)
dan dengan mengurangkan variabel surplus dari dual (II). Untuk membedakan variabel
slack dalam primal dengan variabel surplus dalam dual, si digunakan untuk primal dan ti
untuk dual.
I. 2x1 + x2 + x3 + s1 = 2
x1+ x2 + 3x3 + s2 = 4
II. 2z1 + z2 – t1 = 14
z1 + z2 – t2 = 12
z1 + 3z2 + t3 = 18
substitusikan 1 = 9, 2 = 3 utuk mendapatkan 1, 2, 3 sebagai berikut:
2(9) + 3 – t1 = 14 1 = 7
9 + 3 – t2 = 12 2 = 0
9 + 3(3) – t3 = 18 3 = 0
Dengan variabel surplus ( 2, 3) untuk kendala dual kedua yang kedua dan ketiga
yang sama dengan nol, menurut dalil dual yang kedua, variabel-variabel keputusan
primal yang berkaitan ( 1, 2) harus bukan nol. Dengan 1 ≠ 0, variabel keputusan yang
berkaitan 1 harus sama dengan nol. Oleh karena itu 1 = 0.20
Dalil dual kedua juga menyatakan bahwa jika variabel keputusan dual yang
optimal ( 1, 2) dalam dual tidak sama dengan nol, maka variabel-variabel primal yang
berkaitan ( 1, 2) dalm primal harus sama dengan nol.
20
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal. 307.

19. Dengan substitusi 1 = 2 = 0, dan mengingat bahwa 1 = 0. Disederhanakan
menjadi
x2+ x3 = 2 x2 + 3x3 = 4
penyelesaian secara simultan dengan menggunakan kaidah Cramer, 2 = 1 dan 3
=1. Jadi keputusan variabel yang optimal adalah 1 = 0, 2 = 1, dan 3 = 1, yang dengan
mudah dapat dicek dengan substitusi kedalam fungsi oyektif: ∏ = 14(0) + 12(1) + 18(1)
= 30.
E. Keunggulan Dual
Dari hubungan antara primal dan dual, seperti diuraikan di atas jelas bahwa nilai
optimal fungsi obyektif dapat diperoleh baik melalui primal maupun dual.Karena
hubungan komplementer antara variabel-variabel keputusan dalam satu program dan
variabel-variabel slack (atau surplus) di dalam program lainnya,21
penyelesaian untuk
program yang satu memberikan penyelesaian penuh untuk program lainnya. Ini
bermanfaat karena:
1. Hal ini memugkinkan penyelesaian soal minimisasi menurut maksimisasi, yang
seringkali lebih mudah .
2. Untuk primal denga tiga variabel keputusan, dual menyederhanakan program tersebut
menjadi dual variabel keputusan, yang kemudian dapat digambarkan secara grafis.
Contoh 5.Dual digunakan dibawah ini untuk menemukan nilai optimal dari soal
minimisasi dalam contoh 3.
Dual dari soal minimisasi dalam contoh 3 digambarkan secara grafis.
Harga Bayangan (Shadow Price) dalam Dual22
Bila menggunakan dual untuk menyelesaikan primal, nilai marginal atau harga
bayangan dari sumber daya ke i dalam primal tersebut ditunjukkan secara langsung oleh
variabel keputusan yang berkaitan dengan fungsi obyektif dual.Jadi, zi dalam dual
memberikan harga bayangan dari sumber daya ke i dalam primal tersebut. Nilai optimal
dari fungsi obyektif akan selalu sama dengan jumlah sumber daya di kalikan dengan
harga bayangannya masing-masing. Dalam bentuk parameter-parameter dari contoh 1 ,
21
Ibid, Halaman 316.
22
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 404.

20. ∏ = izi = b1z1 + b2z2 + b3z3
Contoh 6. Tabel final untuk dual dipakai untuk menentukan harha bayangan dari
sumberdaya, sebagai berikut: dengan mengoreksi urutan dari vektor-vektor unit dalam
“porsi” matriks identitas dari tabel dual final, 1 = 9 dan 2 = 3. Karena z1 dan z2 adalah
variabel-variabel keputusan dual yang berkaitan dengan dua sumberdaya dalam kendala-
kendala primal, maka harga bayangan dari sumberdaya pertama adalah 9; harga bayangan
dari sumberdaya kedua adalah 3.
Harga-harga bayangan ini dapat digunakan utuk menentukan nilai optimal fungsi
obyektif primal.Dari kendala-kendala primal.23
Harga Bayangan dan Aneka Pengganda (Multiplier) Lagrangin
Harga bayangan memiliki fungsi yang sama seperti angka pengganda (multiplier)
lagrangin. Harga bayangan memprakirakan perubahan dalam fungsi obyektif yang
ditimbulkan oleh suatui perubahan kecik dalam kendala.Ini dengan mudah diperlihatkan
dengan mengambil turunan parsial dari (15.3) dengan memperhatikan kendala-kendala
b1, b2, dan b3.
23
Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal. 383.

21. BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Inti pemrograman linear dapat disampaikan dengan baik melalui contoh konkrit. Kita akan
menyajikan dua, yang satu menjelaskan peminimuman (minimisasi) dan yang lainnya
menjelaskan pemaksimuman (maksimisasi).
Perbedaan pemrograman matematis dengan optimisasi klasik adalah bahwa
pemrograman matematis mencoba mengatasi permasalahan di mana optimisasinya menghadapi
kendala ketidaksamaan (inequality) – yaitu kendala dalam bentuk, katakanlah g(x, y) ≤ c dan
bukan g(x, y) = c. sebagai suatu gambaran khusus, ketimbang mengharuskan konsumen untuk
membelanjakkan uangnya tepat sebesar $250, kerangka pemrograman matematis memberikan
kebebasan kepadanya untuk memilih apakah membelanjakkan uangnya sebesar $250 atau
kurang. Jadi, dengan memberikan kebebasan persyaratan kendala, kerangka optimal yang baru
akan mengakibatkkan permasalahannya menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Tetapi, ia juga
memerlukkan pengembangan cara penyelesaian dengan metode-metode baru, karena kendala
ketidaksamaan tidak dapat diatasi oleh teknik klasik dari kalkulus.
Alogaritma adalah suatu himpunan kaidah atau suatu prosedur sistematis untuk
mendapatkan penyelesaian suatu soal.Alogaritma simpleks adalah suatu metode (atau prosedur
perhitungan) untuk menentukan penyelesaian dasar yang memungkinkan atas suatu sistem
persamaan dan pengujian keoptimalan penyelesaian tersebut. Kerena paling sedikit n-m variabel
harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar, n-m variabel ditetapkan sama dengan nol
dalam setiap langkah dari prosedur tersebut dan penyelesaian diperoleh dengan meyelesaikan m
persamaan untuk m variabel sisanya.
Alogaritma bergerak dari satu penyelesaian dasar yang mungkin ke penyelesaian dasar
yang lain, sembari selalu menyempurnakan penyelesaian sebelumnya, sampai penyelesaian
optimal dicapai. Variabel-variabel yang disamakan dengan nol pada langkah tertentu disebut
tidak dalam basis atau tidak dalam penyelesaian. Variabel-variabel yang tidak ditetapkan sama
dengan nol disebut dalam basis, dalam penyelesaian, atau lebih sederhan variabel-variabel
dasar. Metode simpleks diilustrasikan dalam contoh 1 untuk maksimisasi dan dalam contoh 3
minimisasi.
Setiap awal maksimisasi (minimisasi) dalam (linear programming) selalu dihadapkan
pada soal minimisasi (maksimisasi) yang terkait.Soal asal (mula-mula) disebut primal; soal yang
terkait disebut dual.Hubungan antara keduanya dapat dinyatakan secara gambling melalui

22. penggunaan parameter-parameter yang terkandung dalam keduanya.Untuk sifat-sifat yang serupa
dalam fungsi lagrangian.
Suatu variabel keputusan dengan program primal mempunyai nilai bukan nol, variabel
slack (atau surplus) yang berkaitan dengan program dual harus mempunyao nilai optimal nol.
Suatu variabel slack (atau surplus) dalam primal mempunyai nilai bukan nol, variabel
keputusan yang berkaitan dalam program dual harus mempunyai nilai optimal nol.
Dari hubungan antara primal dan dual, seperti diuraikan di atas jelas bahwa nilai optimal
fungsi obyektif dapat diperoleh baik melalui primal maupun dual.Karena hubungan
komplementer antara variabel-variabel keputusan dalam satu program dan variabel-variabel
slack (atau surplus) di dalam program lainnya, penyelesaian untuk program yang satu
memberikan penyelesaian penuh untuk program lainnya.

23. DAFTAR PUSTAKA
Alpha C. Chiang, 1986.Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jakarta: Erlangga.
Alpha C. Chiang, 1993.Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jakarta: Erlangga.
Edward T. Dowling, 1994. Matematika untuk Ekonomi. Jakarta: Erlangga.
Edward T. Dowling, 1996. Matematika untuk Ekonomi. Jakarta: Erlangga.
Johanes, Sri Handoko, Budianto, 1994. Pengantar matematika untuk ekonomi. Jakarta: PT.
Pustaka LP3ES Indonesia.