prof.calazans(Essa simulado 03 comentado)

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EsSA(Matemática)-Simulado 03 comentado

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  1. 1. 1 01.A administração do prédio de uma prefeitura decidiu numerar todas as portas do prédio, começando com 1 e, de 1 em 1, até a última porta. O pintor que fez o serviço cobrou R$0,50 por cada algarismo pintado e, no final do serviço recebeu o total de R$193,50. Nessa situação, o número de portas que o prédio da prefeitura tinha é igual a: a)166 b)165 c)164 d)163 e)162 Solução I: Foram escritos no total: 𝑅$193,50•𝟏𝟎 𝑅$0,50•𝟏𝟎 = 1.935 5 = 387 algarismos =>Compostos de 1 algarismo, foram escritos 9 – 1 + 1 = 9 nos , o que nos dá um total de 9•1 = 9 algarismos. =>Compostos de 2 algarismos ,foram escritos 99 – 10 + 1 = 90 nos , o que nos dá um total de 90•2 = 180 algarismos. Logo, falta escrever 387 – 9 – 180 = 198 algarismos ; o que nos dá um total de 198 3 = 66 números de três algarismos. Portanto, o prédio da prefeitura tinha 9 portas numeradas com um algarismo,90 com 2 algarismos e, 66 com três algarismos, o que nos dá um total de: 9 + 90 + 66 = 165 portas. Solução II: Foram escritos no total: 𝑅$193,50•𝟏𝟎 𝑅$0,50•𝟏𝟎 = 1.935 5 = 387 algarismos Seja Q(x)= 3x – 108 , onde: Q(x) = quantidade de algarismos escritos x = último número escrito Temos: 387 = 3x – 108 387 + 108 = 3x => 495 = 3x (÷3)  165 = x Resposta: Alternativa B 02.A média aritmética dos ângulos internos de um eneágono regular vale: a)40º b)70º c)120º d)135º e)140º Solução: Em um polígono regular, a média aritmética de todos os seus ângulos internos é igual à medida do seu ângulo interno. Sendo assim , temos: ê = 3600 𝑛 => ê = 3600 9  ê = 400
  2. 2. 2 Como em um mesmo vértice de um polígono, a soma de um ângulo interno (î) com a de um ângulo externo (ê) é igual a 1800 ,vem: î + ê = 1800 î + 400 = 1800 => î = 1800 – 400  î = 1400 Resposta: Alternativa E 03.Um ponto Q pertence à região interna de um triângulo DEF, eqüidista dos lados desse triângulo.O ponto Q é: a) O baricentro do triângulo DEF. b) O incentro do triângulo DEF. c) O circuncentro do triângulo DEF. d) O ortocentro do triângulo DEF. e) Um ex-incentro do triângulo DEF. Solução: O incentro(ponto de intersecção das 3 bissetrizes internas do triângulo) é o único ponto notável que eqüidista dos lados do triângulo. Resposta:Alternativa B 04.(EsSA/2010)Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades. Pode-se afirmar que x é um número: a)Irracional. d)Menor que 1 b)Divisor de 8. e)Maior que 4 c)Múltiplo de 3. Solução: Consideremos o número x e seu logaritmo na base 4 igual a um número k. Assim: 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 = k  4k = x Aumentando o número em 75 unidades (x + 75), seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades (k + 2), ou seja: 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥+75) = k + 2 => 4k+2 = x + 75 4k ●42 = x + 75 => x●16 = x + 75 16x – x = 75 => 15x = 75(÷15)  x = 5 Resposta:Alternativa E 05.(EsSA/2010)Em uma escola com 500 alunos, foi realizada uma pesquisa para determinar a tipagem sanguínea destes. Observou-se que 115 tinham o antígeno A, 235 tinham o antígeno B e 225 não possuíam nenhum dos dois. Escolhendo ao acaso um destes alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo AB, isto é, possua os dois antígenos, é a)15% b)23% c)30% d)45% e)47% Solução: Do enunciado temos: ►Total de alunos = 500 ►n0 de alunos com o antígeno A = 115 ►n0 de alunos com o antígeno B = 235
  3. 3. 3 ►n0 de alunos que não tem nenhum dos antígenos = 225 Sendo x o número de alunos que possuem os dois antígenos, ou seja, possuem o antígeno AB, temos: A B 115-X X 235 - X 225 Onde: 115 – x + x + 235 – x + 225 = 500 575 – x = 500 => 575 – 500 = x  75 = x Portanto, escolhendo ao acaso um destes alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo AB é de: 75 500 = 𝟕𝟓 𝟓●100 = 15 100 = 15% Resposta:Alternativa A 06.(EsSA-2012/2013)Se f(x) = 𝑙𝑜𝑔√5 𝑥2 , com x real e maior que zero,então o valor de f(f(5)) é a) 2𝑙𝑜𝑔2 1+𝑙𝑜𝑔2 d) 8𝑙𝑜𝑔2 1− 𝑙𝑜𝑔2 b) 𝑙𝑜𝑔2 𝑙𝑜𝑔2+2 e) 5𝑙𝑜𝑔2 1− 𝑙𝑜𝑔2 c) 5𝑙𝑜𝑔2 𝑙𝑜𝑔2+1 Solução: Temos: f(x) = 𝑙𝑜𝑔√5 𝑥2 Para x = 5, vem: f(5) = 𝑙𝑜𝑔√5 52 f(5) = 2● 𝑙𝑜𝑔 5 1 2 5 => f(5) = 2●2● 𝑙𝑜𝑔5 5 f(5) = 4●1  f(5) = 4 Logo, vem: f(f(5)) = 𝑙𝑜𝑔 √5 (𝑓(5)2 f(f(5)) = 𝑙𝑜𝑔√5 42 fazendo f(f(5)) = m, vem: m = 𝑙𝑜𝑔 5 1 2 16 => ( 5 1 2 )m = 16 => 5 𝑚 2 = 16 𝑙𝑜𝑔10 5 𝑚 2 = 𝑙𝑜𝑔10 16 => 𝑚 2 ● 𝑙𝑜𝑔10 5 = 𝑙𝑜𝑔10 24 𝑚 2 ● 𝑙𝑜𝑔10 ( 10 2 ) = 4● 𝑙𝑜𝑔10 2
  4. 4. 4 m● ( 𝑙𝑜𝑔10 10 - 𝑙𝑜𝑔10 2 ) = 8● 𝑙𝑜𝑔10 2 m●(1 - 𝑙𝑜𝑔10 2 ) = 8 𝑙𝑜𝑔10 2 m = 8𝑙𝑜𝑔10 2 1− 𝑙𝑜𝑔10 2  m = 𝟖𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏−𝒍𝒐𝒈𝟐 Resposta:Alternativa D 07.(EsSA-2013/2014)Em uma progresssão aritmética,o primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45.Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a: a)15 b)21 c)25 d)29 e)35 Dados: a1 = 5 a11 = 45 a6 = ? Solução I: Sabemos que em toda P.A. , a diferença de dois termos é igual ao produto da diferença dos seus índices pela razão.Sendo assim, temos: am – an = (m-n)●r Logo , vem: a11 – a1 = (11 – 1)●r 45 – 5 = 10r => 40 = 10r (÷10)  4 = r Sendo assim, temos: a6 = a1 + 5r a6 = 5 + 5●4 => a6 = 5 + 20  a6 = 25 Solução II: Sabemos que em toda P.A. com um número ímpar de termos, o termo central é igual à média aritmética dos termos extremos.Como esta P.A. tem 11 termos, o seu termo central é o 11+1 2 = 12 2 = 60 termo.Sendo assim, temos: a6 = 𝒂 𝟏+𝒂 𝟏𝟏 𝟐 a6 = 5+45 2 => a6 = 50 2  a6 = 25 Resposta:Alternativa C 08.(EsSA-2011/2012)O capital de R$ 360,00 foi dividido em duas partes, A e B. A quantia A rendeu em 6 meses o mesmo que a quantia B rendeu em 3 meses, ambos aplicados à mesma taxa no regime de juros simples. Nessas condições, pode-se afirmar que: a)A = B d)A = 3B b)A = 2B e)B = 3A c)B = 2A Solução: Sabemos que J= C●i●t, onde: J = juros C = capital i = taxa t = tempo Conforme o enunciado, aplicadas a mesma taxa ,quantia A rendeu em 6 meses o mesmo que a quantia B rendeu em 3 meses . Sendo assim, temos:
  5. 5. 5 JA = JB A●i●6 = B●i●3 => 6A = 3B(÷3)  2A = B Resposta:Alternativa C 09.(EsSA/2008)Uma loja de eletrodomésticos paga, pela aquisição de certo produto, o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5% de imposto mais 3% de frete, ambos os percentuais calculados sobre o preço x. Vende esse produto ao consumidor por R$54,00, com lucro de 25%. Então, o valor de x é: a)R$40,00 d)R$36,00 b)R$41,0 e)R$42,40 c)R38,00 Solução: Temos : Imposto + frete = 5% + 3% = 8% Sabemos que dar um aumento de 8%, é o mesmo que multiplicar por 100% + 8% = 108% = 108 100 = 1,08, e um de 25%, por 100% + 25% = 125% = 125 100 = 1,25. Sendo assim, do enunciado, temos: x ● 1,08 ● 1,25 = 54 x ● 1,35 = 54(●100) x ● 135 = 5400 (÷135)  x = 40 Resposta: Alternativa A 10.Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos é igual a 1900 .O maior dos ângulos formados pelas bissetrizes internas dos outros dois ângulos mede: a)1050 b)1000 c)900 d)950 e)850 Solução: Em todo quadrilátero convexo, a medida do maior ângulo  formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos, é igual à média aritmética das medidas dos outros dois ângulos internos. Sendo assim , temos:  = 𝟏𝟗𝟎 𝟎 𝟐  = 950 Resposta: Alternativa D 11.Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética.Sabendo- se que o seu perímetro mede 57cm,podemos afirmar que o maior cateto mede: a)17cm b)19cm c)20cm d)23cm e)27cm Solução: Se os lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão r,a hipotenusa e os catetos medem, respectivamente,5r , 4r e 3r.Logo, o seu perímetro mede 12r.Sendo assim, temos:
  6. 6. 6 12r = 57  r = 57 12 Portanto, o maior cateto desse triângulo mede: 4r = 4• 57 𝟏𝟐 = 57 3 = 19cm Resposta: Alternativa D 12.Em um quadrilátero ABCD convexo e de diagonais perpendiculares ,os lados opostos AB e CD medem, respectivamente,4cm e 6cm; e os lados opostos BC e AD medem, respectivamente, 5cm e xcm.A medida x é , em cm,igual a: a)7cm b)3cm c)3√2cm d)3√5cm e)3√3cm Solução: Em todo quadrilátero convexo de diagonais perpendiculares, as somas dos quadrados das medidas dos lados opostos são iguais. Sendo assim, temos: (AB)2 + (CD)2 = (BC)2 + (AD)2 42 + 62 = 52 + x2 16 + 36 = 25 + x2 => 52 – 25 = x2 27 = x2 => x = √𝟐𝟕 => x = √𝟗 • 𝟑  x = 𝟑√𝟑cm Resposta:Alternativa E 13.As medianas de um triângulo de área igual a 24cm2 divide o mesmo em seis triângulos.Qual a área de um desses triângulos? a)4cm2 b)5cm2 c)6cm2 d)7cm2 e)8cm2 Solução: As medianas de um triângulo qualquer dividem o mesmo em seis triângulos equivalentes (de mesma área). Sendo assim ,temos que a área de qualquer um desses triângulos é igual a 24𝑐𝑚2 6 = 4cm2 Resposta: Alternativa A 14.O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é: a)142° 30' d)141° 30' b)142° 40' e)141° 40' c)142° Solução: 11 12 10 1 2 3 Se em 1 hora = 60 minutos o ponteiro das horas anda 300 , em 15 minutos ele andará: 𝟏𝟓𝒎𝒊𝒏.•300 𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏. = 300 4 = 70 30min. Logo, às 10 horas e 15 minutos o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é : 5●300 – 70 30’ 1500 - 70 30’
  7. 7. 7 1490 60’ - 70 30’ 1420 30’ Resposta:Alternativa A 15.A medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes que medem, respectivamente, 24º30’ e 105º30’ é igual a: a)760 b)650 c)580 d)860 e)590 Solução: A medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes é igual a semi-soma das medidas dos mesmos.Sendo x o ângulo em questão, temos: x = 24030′+105030′ 2 => x = 129060′ 2 x = 1300 2  x = 650 Resposta:Alternativa B 16.(EsSA-2011/2012)O número mínimo de termos que deve ter a P.A. (73, 69, 65, …) para que a soma de seus termos seja negativa é a)18 b)19 c)20 d)37 e)38 Solução: Sabemos que: a1 = 73 r = 69 – 73 = - 4 n = ? Logo, vem: Sn < 0 [2𝑎1+( 𝑛−1) 𝑟] 2 < 0 [2•73+( 𝑛−1)(−4)] 2 < 0 146 - 4n + 4 < 0 150 – 4n < 0 => -4n < - 150[÷(-4)] n > 37,5  n = 38 Resposta:Alternativa E 17.(EsSA-2011/2012)Se, p = 𝑞 1 3 + 1 5 2 , sendo pe q números inteiros positivos primos entre si, calcule p. a)415 b)154 c)158 d)815 e)1615 Solução: Temos: p = 𝑞 1 3+ 1 5 2 p = 2𝑞 1 3 + 1 5 => p = 2𝑞 5.1+3.1 3.5 => p = 2𝑞 5+3 15 p = 2𝑞 8 15 => p = 30𝑞 8 => p = 15𝑞 4  𝑝 𝑞 = 15 4
  8. 8. 8 Como p e q são números inteiros positivos primos entre si, o seu máximo divisor comum é 1.Sendo assim, temos p = 15 e q = 4. Portanto,vem: pq = 154 . Resposta:Alternativa B 18.(EsSA/2013)Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 anos e 5 pessoas de 16 anos ? a)17,2 anos d)17,5 anos b)18,1 anos e)19,4 anos c)17,0 anos Solução: MPonderada = 14•6+20•9+16●5 6+9+5 MPonderada = 84+180+80 20 MPonderada = 344 20  MPonderada = 17,2 Resposta:Alternativa A 19.(EsSA-2014/2015)Os números naturais eram inicialmente utilizados para facilitar a contagem. Identifique a alternativa que apresenta um número natural. a)4 b)8 c) √−7 d )- 8 3 e)√5 Solução: Sabemos que: IN={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} Resposta:Alternativa B 20.(EsSA-2014/2015)Jogando-se um dado comum de seis faces e não – viciado, a probabilidade de ocorrer um número primo e maior que 4 é de : a) 1 4 b) 1 2 c) 1 6 d) 2 3 e) 5 6 Solução: Sabemos que um dado tem 6 faces,numeradas, respectivamente com os números 1,2,3,4,5 e 6.Sabemos também que um número natural é primo quando possui apenas dois divisores:1 e ele mesmo.Logo, o único número primo e maior que 4 é o 5.Portanto, jogando um dado de seis faces e não – viciado, a probabilidade de ocorrer um número primo é de uma em seis ( 1 6 ). Resposta:Alternativa C prof.: Roberto Calazans(Matemática) fones:(81)988371718 – (81)998803263 e-mail:robertocalazans@hotmail.com blog:www.cantinhodocalazans.blogspot.com A vida não é medida pela quantidade de vezes que respiramos, mas pelos momentos que nos tiram a respiração.(George Carlin)

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