Universidade de Coimbra
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento de Engenharia Electrotécnica
Projecto e Dissertaçã...
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Agradecimentos
Ao concluirmos este trabalho não queremos deixar de lembrar o apoio dado
pelos nos...
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Índice
1 INTRODUÇÃO.................................................................................
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5.2.3 Corrente eléctrica rotórica...................................................................
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7.7 MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO DE ROTOR BOBINADO ...................................................
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1 Introdução
1.1 Motores de Indução
O motor de indução é a forma mais usada para a transformação ...
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O motor de indução trifásico é mais usado na indústria. Tem, na generalidade, potências
mais alta...
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onde n é a velocidade do motor e ns é a velocidade de sincronismo do motor, que depende da
frequê...
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Apesar de tudo, os motores de indução trifásicos de rotor bobinado continuam ainda a ser
usados n...
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estudo de avarias é, então, um dos processos que levam à adopção deste tipo de filosofia de
manu...
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de Park da corrente eléctrica, tensão e fluxo. Este método tem sido aplicado, com sucesso, aos
m...
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2 Análise Espectral da Corrente Eléctrica
Um enrolamento distribuído trifásico equilibrado, quan...
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inversos de corrente eléctrica, como tal, o conjunto de campos girantes de fmm criados por estes...
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Neste último caso, como veremos, o espectro da corrente eléctrica rotórica sofre alterações
rele...
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Para fvkr>0 as tensões e correntes eléctricas, induzidas nos enrolamentos rotóricos,
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Sabemos que:
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3 Análise Teórica do Vector de Park
3.1 Introdução
A transformação de Park é uma transformação d...
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onde θ é o ângulo medido do eixo magnético da fase a para o eixo d. O eixo magnético da fase a
é...
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Esta propriedade é bastante importante porque podemos usar a teoria da decomposição de
sistemas ...
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Sistema inverso de correntes:
id2=i2cos(ωrt+θ0+ωt+α) (2.8)
iq2=−i2sin(ωrt+θ0+ωt+α) (2.9)
Legenda...
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Figura 2.2 – Imagem de figura elíptica do vector de Park com raio maior (M) e raio menor (m) ass...
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onde M é metade do eixo maior e m é metade do eixo menor da forma elíptica. De (2.12) e (2.13)
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indica-nos que a identificação da fase responsável pelo desequilíbrio pode ser feita através do
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Figura 2.7 – Ângulos característicos do vector de Park para diferentes tipos de anomalias.
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Tabela 2.2 – Zonas características para os ângulos da figura do vector de Park
para sistemas tri...
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4 Análise Espectral do Módulo da Transformada
Complexa Espacial
4.1 Introdução
Tal como foi vist...
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para um funcionamento normal do motor de indução. O módulo da Transformada Complexa
Espacial ser...
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4.5 Conclusão
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5 Avarias no Rotor
5.1 Introdução
Nos motores de indução trifásicos de rotor bobinado há acessib...
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5.2.1 Introdução
Neste capítulo iremos estudar a aná...
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Variação de carga:
Se mantivermos o grau de severidade de avaria constante e variarmos o valor d...
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Na figura 1.10, podemos verificar a semelhança entre os espectros de corrente eléctrica
rotórica...
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5.2.4 Diagrama vectorial
A partir das expressões deduzidas nos pontos 1.2.2 e 1.2.3, podemos tra...
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5.3.1 Introdução
Nesta secção apresentamos e analisamos os resulta...
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Teoricamente a figura devia ser uma circunferência, tal não acontece devido à existência do 5º e...
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Assim, para aumentar a precisão no cálculo da espessura e poder utilizá-lo no caso geral
em que ...
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desequilíbrio para o sistema de correntes eléctricas rotóricas. Note-se que neste caso manter o
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Pelos gráficos das figuras 1.20 e 1.21 podemos ver que a evolução da espessura absoluta
da coroa...
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Um facto importante a reter dos resultados apresentados nas tabelas 1.1 e 1.2 é imunidade
que o ...
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  1. 1. Universidade de Coimbra Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Engenharia Electrotécnica Projecto e Dissertação “Diagnóstico de Avarias em Motores de Indução Trifásicos de Rotor Bobinado” Orientador: Prof. Doutor A. J. Marques Cardoso Co-orientador: Engº Manuel A. M. Esteves Alunos: Júlio Fernandes Tomé Pedro Miguel Castanheira Mendes Coimbra, 12 de Outubro de 1998
  2. 2. Projecto e Dissertação 2 Agradecimentos Ao concluirmos este trabalho não queremos deixar de lembrar o apoio dado pelos nossos orientadores, colegas, amigos e família. Agradecemos, por isso, ao nosso orientador, Dr. António Cardoso, co−orientador, Engº Manuel Esteves, ao Engº Sérgio Cruz e Engº André Mendes, pelas ajudas concedidas ao longo de mais de um ano de trabalho. Agradecemos também a camaradagem dos nossos colegas do Laboratório de Máquinas Eléctricas, Amaral, Carlitos, Humberto e J. Mêna. Uma palavra especial aos nossos Pais e restante família, à Helena e à Paula, por tudo. A todos um muito obrigado! Júlio Fernandes Tomé Pedro Miguel Castanheira Mendes Coimbra, 12 de Outubro de 1998
  3. 3. Projecto e Dissertação 3 Índice 1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................6 1.1 MOTORES DE INDUÇÃO....................................................................................................................................6 1.2 DIAGNÓSTICO E ANÁLISE DE AVARIAS EM MOTORES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS DE ROTOR BOBINADO ..............9 2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA..........................................................................12 2.1 CORRENTES ELÉCTRICAS ROTÓRICAS.............................................................................................................13 2.1.1 Funcionamento normal........................................................................................................................14 2.1.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas estatóricas.............................15 2.2 CORRENTES ELÉCTRICAS ESTATÓRICAS .........................................................................................................16 2.2.1 Funcionamento normal........................................................................................................................16 2.2.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas rotóricas................................18 3 ANÁLISE TEÓRICA DO VECTOR DE PARK ..........................................................................................21 3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................21 3.2 VECTOR DE PARK DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS ..........................................................................24 3.3 VECTOR DE PARK DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ....................................................................24 3.3.1 Coeficiente de desequilíbrio ................................................................................................................25 3.3.2 Ângulo do eixo maior da forma elíptica..............................................................................................26 4 ANÁLISE ESPECTRAL DO MÓDULO DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL ...............31 4.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................31 4.2 FUNCIONAMENTO NORMAL............................................................................................................................31 4.2.1 Corrente Eléctrica Estatórica..............................................................................................................31 4.2.2 Corrente Eléctrica Rotórica ................................................................................................................33 4.3 AVARIAS NO ROTOR ......................................................................................................................................34 4.3.1 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................34 4.3.2 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................35 4.4 AVARIAS NO ESTATOR ...................................................................................................................................36 4.4.1 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................36 4.4.2 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................36 4.5 CONCLUSÃO ..................................................................................................................................................37 5 AVARIAS NO ROTOR...................................................................................................................................38 5.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................38 5.2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA............................................................................................42 5.2.1 Introdução ...........................................................................................................................................42 5.2.2 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................42
  4. 4. Projecto e Dissertação 4 5.2.3 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................44 5.2.4 Diagrama vectorial .............................................................................................................................47 5.3 ANÁLISE DO VECTOR DE PARK ......................................................................................................................48 5.3.1 Introdução ...........................................................................................................................................48 5.3.2 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................48 5.3.3 Corrente e tensão eléctrica rotórica....................................................................................................54 5.4 ANÁLISE ESPECTRAL DO MÓDULO DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL DA CORRENTE ELÉCTRICA...64 5.4.1 Introdução ...........................................................................................................................................64 5.4.2 Corrente Eléctrica Estatórica..............................................................................................................64 5.4.3 Corrente Eléctrica Rotórica ................................................................................................................65 6 AVARIAS NO ESTATOR ..............................................................................................................................66 6.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................66 6.2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA ...........................................................................................72 6.2.1 Introdução ...........................................................................................................................................72 6.2.2 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................72 6.2.3 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................74 6.3 ANÁLISE DO VECTOR DE PARK ......................................................................................................................75 6.3.1 Introdução ...........................................................................................................................................75 6.3.2 Corrente e tensão eléctrica de alimentação ........................................................................................75 6.3.3 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................81 6.4 ANÁLISE ESPECTRAL DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL DA CORRENTE ELÉCTRICA........................87 6.4.1 Introdução ...........................................................................................................................................87 6.4.2 Corrente Eléctrica Rotórica ................................................................................................................87 6.4.3 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................88 7 EXCENTRICIDADE.......................................................................................................................................89 7.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................89 7.2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA ............................................................................................90 7.2.1 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................90 7.2.2 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................91 7.3 VECTOR DE PARK ..........................................................................................................................................92 7.3.1 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................92 7.3.2 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................93 7.4 ANÁLISE ESPECTRAL DO MÓDULO DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL DA CORRENTE ELÉCTRICA ....95 7.4.1 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................95 7.4.2 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................96 7.4.3 Conclusão............................................................................................................................................96 7.5 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................97 7.6 MODELO GENÉRICO .......................................................................................................................................97
  5. 5. Projecto e Dissertação 5 7.7 MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO DE ROTOR BOBINADO ..................................................................................99 APÊNDICE 1 – PLATAFORMA DE ENSAIOS LABORATORIAIS...............................................................101 APÊNDICE 2 – ENSAIOS ECONÓMICOS.........................................................................................................104 APÊNDICE 3 - DESEQUILÍBRIO DE SISTEMAS TRIFÁSICOS...................................................................107 APÊNDICE 4 – TRATAMENTO DE SINAIS .....................................................................................................115 REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................................116 BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................................................................116
  6. 6. Projecto e Dissertação 6 1 Introdução 1.1 Motores de Indução O motor de indução é a forma mais usada para a transformação de energia eléctrica em energia mecânica. Tem uma aplicação numa infinidade de domínios e uma clara hegemonia em quase todos eles, pela sua robustez, fiabilidade e baixo preço, operando tanto em fins industriais (motores trifásicos) como em usos domésticos (motores monofásicos). O aparecimento deste novo conceito de motor eléctrico deve-se a Nikola Tesla nos finais do século passado (século XIX). Deu origem, mais tarde, a toda uma filosofia de funcionamento da rede eléctrica mundial, nomeadamente aos sistemas de alimentação trifásicos com corrente alternada trifásica que facilitam, em grande parte, as transformações energéticas mecânica- eléctrica e eléctrica-mecânica. O motor de indução tem permanecido como um invento genial e tem acompanhado as diversas mutações que o mundo tem conhecido, tanto ao nível da indústria como da ciência. Aparece como líder mundial no consumo de energia eléctrica e é, talvez por isso, objecto de grandes estudos de aperfeiçoamento ao nível do seu rendimento, controlo, preço, versatilidade e manutenção. Motores DC e Síncronos Motores de Indução Figura 1.1 – Distribuição do consumo de energia pelos diversos tipos de motores, baseada na venda de motores nos Estados Unidos [1].
  7. 7. Projecto e Dissertação 7 O motor de indução trifásico é mais usado na indústria. Tem, na generalidade, potências mais altas que o motor de indução monofásico e uma maior importância no ponto de vista de estudos de rendimento e manutenção. É sobre ele que recai o nosso estudo. Figura 1.2 – Distribuíção do tipo de motores consoante a área de aplicação [1] O princípio de funcionamento do motor de indução trifásico, baseia-se no desfasamento do sistema de alimentação composto por três fases com tensões desfasadas de 120°. Aplicando esta alimentação aos enrolamentos do estator do motor, cria-se um campo girante no entreferro que vai, nos enrolamentos ou barras no rotor, induzir uma tensão eléctrica. Como o rotor está curto-circuitado, circula corrente eléctrica no circuito eléctrico rotórico. Essa corrente eléctrica rotórica cria um fluxo que se opõe ao fluxo que lhe deu origem (lei de Lenz), aparecendo no entreferro um outro campo girante, ligeiramente mais “lento” do que o campo girante criado pelo estator. Da interacção destes dois campos girantes surge o binário electromecânico do motor de indução. A velocidade do motor de indução é, então, inferior à velocidade de sincronísmo. A essa diferença de velocidades chama-se deslizamento do motor de indução, s, que é dado pela expressão: s s n nn s − = (1.1) Motores de Indução Motores de Indução ou Motores síncronos Motores síncronos 1500 1000 500 P(kW) 3600 1800 1200 450 (rpm)
  8. 8. Projecto e Dissertação 8 onde n é a velocidade do motor e ns é a velocidade de sincronismo do motor, que depende da frequência da tensão de alimentação e do número de pares de pólos (p) da forma: (rpm) 60 p f ns = (2.2) A velocidade depende da carga a que o motor de indução está sujeito, não se conseguindo uma velocidade constante ao longo do tempo. Isto é uma das poucas desvantagens que encontramos neste tipo de motores. O motor de indução é constituído, basicamente, por uma carcaça metálica, um enrolamento estatórico composto por bobinas trifásicas no caso de motores trifásicos, chumaceiras e um sistema de refrigeração e um rotor. É no tipo de rotor que reside a diferença entre os dois tipos de motores de indução mais conhecidos:  Motor de indução trifásico de rotor em gaiola de esquilo.  Motor de indução trifásico de rotor bobinado. O rotor em gaiola de esquilo, tal como o nome indica, tem uma configuração idêntica a uma gaiola que é usada para alguns animais de estimação (ratos, esquilos,...) em cativeiro correrem dentro delas e, assim, aliviarem o stress. São constituídos por barras de alumínio curto- cicuitadas nas extremidades, um núcleo ferromagnético laminado e um veio. A principal característica deste rotor é a inexistência de qualquer ligação ao exterior, o que se torna numa grande vantagem em termos de fiabilidade e durabilidade. Já o rotor bobinado tem enrolamentos idênticos aos do estator, o que o torna, à partida mais pesado e caro. Além disso, possui uma ligação ao exterior feita por um conjunto colector−escova de onde advém uma menor fiabilidade pelo aparecimento de mecanismos específicos de avarias. O motor de indução trifásico de rotor bobinado é, normalmente, usado em aplicações de grandes potências (>20 KW) e onde seja necessário o controlo de variáveis como o binário de arranque e velocidade. A variação da resistência rotórica permite uma manipulação da curva de binário, controlando essas variáveis. Esta é uma vantagem que o destaca do motor de indução trifásico de rotor em gaiola de esquilo mas, até na facilidade de controlo, o motor de indução trifásico de rotor bobinado tem vindo a perder terreno. Hoje em dia, através da electrónica de potência, consegue-se um fácil controlo das variáveis anteriormente descritas também no motor de indução de rotor em gaiola de esquilo.
  9. 9. Projecto e Dissertação 9 Apesar de tudo, os motores de indução trifásicos de rotor bobinado continuam ainda a ser usados nas aplicações de funcionamento de grande desgaste e onde a electrónica de potência não oferece ainda a fiabilidade desejada. O uso destes motores está associado a locais vitais para o funcionamento de uma actividade, como são os exemplos de linhas de produção continua (cimenteiras, exploração de minérios, etc…). Acoplados a eles estão grupos de resistências trifásicas de controlo. Esses grupos têm, normalmente, enormes dimensões e dissipam grandes potências. 1.2 Diagnóstico e análise de avarias em motores de indução trifásicos de rotor bobinado Este tipo de procedimento, diagnóstico e análise de avarias, enquadra-se numa estratégia de manutenção condicionada, sendo levado a cabo uma manutenção preventiva a um tipo de acontecimento predeterminado. Há, então, que conhecer qual o tipo de avaria que está a acontecer tendo dela um conhecimento prévio. Uma leitura detalhada e contínua do comportamento de um dado equipamento, pela análise de variáveis como corrente eléctrica, tensão de alimentação, ruído, vibrações, factor de potência, e outros, possibilita o seguimento da sua evolução histórica. Desse modo facilmente se prevêem falhas e, antecipadamente, pode-se proceder à remoção para reparação, ou substituição, do equipamento em causa. A este procedimento emprega-se o termo de manutenção predita, uma vez que, como vimos, conseguimos prever anomalias do tipo evolutivas que, sem uma acção rápida poderão levar à paragem súbita do equipamento e acarretando, com isso, enormes prejuízos. A manutenção condicionada traz, portanto, associada um investimento mais ou menos constante no sector da manutenção com vantagens claras numa laboração industrial contínua. Antes da ocorrência de avarias poder-se-ão assim tomar medidas correctivas, podendo as acções de reparação ser planeadas. As avarias poderão ser eliminadas num fase inicial. Consegue-se, com isso, uma maior fiabilidade nas instalações e um controlo permanente que permite, em qualquer altura, o conhecimento do estado actual dos equipamentos. Para que tudo isto funcione de uma forma fidedigna, respeitando uma boa relação custo benefício, há que ter métodos de diagnóstico de avarias adequados, tendo em atenção o equipamento e o tipo de avarias a ele associadas, bem como as causas que lhe dão origem. O
  10. 10. Projecto e Dissertação 10 estudo de avarias é, então, um dos processos que levam à adopção deste tipo de filosofia de manutenção. Há que conhecer o comportamento do equipamento em causa para todos os tipos de anomalias de que possa ser alvo. São, para isso, estudados de uma forma intensiva vários métodos de detecção de avarias associadas a grandezas que permitam uma permanente leitura sem interrupção do funcionamento da máquina. Em laboratório são feitos, com equipamento de teste, ensaios parecidos, o mais possível, com situações de funcionamento reais, de forma a simular todo o tipo de avarias, com diversos graus de severidade, bem como com diferentes níveis de carga. A partir daí há um longo processo de estudo e comparação de resultados. Existem, para isso, um conjunto de métodos, uns mais explorados do que outros, que são:  Análise espectral da corrente eléctrica;  Vector de Park;  Análise do fluxo axial;  Análise de vibrações;  Análise de temperatura; Existem, no entanto, outros métodos de diagnóstico e análise de avaria, muitos deles puramente académicos e ainda em fase de estudo. No trabalho por nós realizado, no âmbito da cadeira de projecto e dissertação, estudámos o motor de indução trifásico de rotor bobinado por forma a obter uma estratégia de diagnóstico capaz de detectar, com alguma fiabilidade, o aparecimento de avarias no motor, bem como a sua quantificação. Usámos, para isso, os métodos nucleares do grupo de investigação ao qual estamos associados, grupo DIANA (Diagnóstico e Análise de Avarias em sistemas electromecatrónicos), que são a análise espectral da corrente eléctrica, análise de Vector de Park da tensão e corrente eléctrica e análise espectral do módulo do Vector de Park da corrente eléctrica ou também denominado por Transformada Complexa espacial. Os trabalhos já realizados no motor de indução trifásico de rotor em gaiola de esquilo, baseiam-se no estudo da corrente eléctrica estatórica e destinam-se, em grande parte, à detecção de anomalias na gaiola rotórica (fractura de barras e de anéis). Com o presente trabalho alarga-se o estudo dos motores de indução trifásicos. Universalmente o método de análise e diagnóstico de avarias mais referido é a análise espectral da corrente eléctrica. O grupo DIANA tem vindo a desenvolver, desde os anos 80, uma nova estratégia de diagnóstico e análise de avarias baseada essencialmente na análise do Vector
  11. 11. Projecto e Dissertação 11 de Park da corrente eléctrica, tensão e fluxo. Este método tem sido aplicado, com sucesso, aos motores de indução trifásicos. Com ele, consegue-se uma melhor visualização dos resultados, tal como iremos ver nos capítulos posteriores. O objectivo deste projecto é, então, fazer uma análise detalhada das correntes eléctricas estatórica e rotórica do motor de indução trifásico de rotor bobinado e, com isso, chegar a uma estratégia que permita uma fácil identificação e quantificação de avarias. Além disso pretende-se realizar um estudo teórico da corrente eléctrica rotórica e generalizá-lo a toda a família dos motores de indução.
  12. 12. Projecto e Dissertação 12 2 Análise Espectral da Corrente Eléctrica Um enrolamento distribuído trifásico equilibrado, quando sujeito a um sistema directo e equilibrado de tensões eléctricas, dá origem a um sistema directo e equilibrado de correntes eléctricas à frequência fundamental, no caso de não haver saturação do circuito magnético. Este sistema de correntes eléctricas cria no entreferro, por decomposição em série de Fourier, campos girantes de força magnetomotriz (fmm) devidos à distribuição espacial dos enrolamentos. A velocidade angular mecânica (Ωk) destes campos está relacionada com a velocidade angular eléctrica do sistema de alimentação dos enrolamentos (ω) da seguinte forma [2]: ,...2,1,0,1.6, . =±==Ω qqk pk k ω m (1.1) onde k é a ordem do harmónico espacial considerado. O sinal negativo e positivo de Ωk significa que o campo girante de fmm roda em sentido directo e inverso, respectivamente. As expressões gerais da fmm para um enrolamento trifásico distribuído são dadas por [2]: a) para v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13... ,..)2,1,0(1.6com,... .. .. 2 3 ),( 1 =±=         ℑ=ℑ ∑ ∞ = qqktv xk sintx k p k ω τ π m (1.2) b) para v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11... ,..)2,1,0(1.6com,... .. .. 2 3 ),( 1 =±=         ±ℑ=ℑ ∑ ∞ = qqktv xk sintx k p k ω τ π (1.3) onde v é o harmónico da corrente eléctrica do enrolamento e k é o harmónico espacial da fmm. A tensão eléctrica induzida nos enrolamentos estatóricos por cada um destes campos girantes de fmm tem a frequência da corrente eléctrica que lhes dá origem, logo a corrente não têm componentes harmónicas provocadas pela distribuição espacial dos enrolamentos. Os motores de indução operam com o circuito magnético no início da saturação magnética o que provoca o aparecimento de harmónicos na corrente eléctrica estatórica, quando alimentados por um sistema trifásico equilibrado de tensões eléctricas. Os harmónicos de ordem v=6q+1; q=0,1,2,… são sistemas trifásicos directos de corrente eléctrica, como tal provocam, de acordo com a expressão (1.2), o aparecimento de uma série de campos girantes de fmm. Os harmónicos de ordem v=6q-1; q=0,1,2,… são sistemas trifásicos
  13. 13. Projecto e Dissertação 13 inversos de corrente eléctrica, como tal, o conjunto de campos girantes de fmm criados por estes sistemas de correntes eléctricas são dados pela expressão (1.3). Na prática, e no motor usado no laboratório, os harmónicos da corrente eléctrica estatórica relevantes são os de 1ª (50 Hz), 5ª (250 Hz) e 7ª (350 Hz) ordem, como se pode confirmar pelo espectro da figura 1.1. Em motores trifásicos de entreferros reduzidos com níveis mais elevados de saturação magnética existem 11º e 13º harmónicos de valor relevante. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Frequência (Hz) Tensão(V) Figura 1.1 - Espectro da corrente eléctrica estatórica em funcionamento normal. Nos parágrafos anteriores considerámos o entreferro constante. Sendo a relação entre o fluxo magnético e a fmm constante em todo o entreferro (ausência do efeito das ranhuras). Na realidade o entreferro não é constante, existe o efeito das ranhuras sob a forma de uma variação na permeância magnética do circuito electromagnético. A permeância magnética (P) varia com a posição do rotor, logo, depende da variável tempo (t) e da posição relativa no estator (x). Assim, a relação entre o fluxo magnético (ψ ) e a fmm (ℑ) é dada por [3]: ),().,(),( txtxtx ℑΡ=ψ (1.4) No nosso estudo consideramos P(x,t) constante, ou seja, desprezamos o efeito das ranhuras. 2.1 Correntes eléctricas rotóricas Convêm fazer uma análise geral do espectro das correntes eléctricas rotóricas para dois casos distintos: funcionamento normal e funcionamento com o circuito estatórico desequilibrado.
  14. 14. Projecto e Dissertação 14 Neste último caso, como veremos, o espectro da corrente eléctrica rotórica sofre alterações relevantes. 2.1.1 Funcionamento normal Neste caso, para cada harmónico de corrente eléctrica estatórica, só existe o sistema trifásico correspondente ao harmónico directo, se v=6q+1 (q=0,1,2,…), e inverso, se v=6q-1 (q=0,1,2,…). Em módulo temos [2]: pk v e p ss vkssr s rs . . ,).1( ωω =Ω=ΩΩ−=Ω⇒ Ω Ω−Ω = , sendo as velocidades angulares todas em módulo. Como cada harmónico da fmm, com k.p pólos, está a rodar a uma velocidade mecânica Ωvk e o rotor está a rodar a uma velocidade Ωr, logo, a velocidade mecânica da onda harmónica, relativamente ao rotor, é dada por: a) para v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13..., [ ] )5.1(...)2,1,0(1.6,.).1( .).1(.. ).1( . . ).1()( =±=−+=⇔ ⇔−+=Ω ⇔−+=Ω⇔Ω−+Ω=Ω⇔Ω−−Ω=Ω qqkksv kspk p s pk v s vkr vkr vkrsvkkrrvkvkr ωω ωω ωω m m mmm b) para v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11..., [ ] )6.1(...)2,1,0(1.6,.).1( .).1(.. ).1( . . ).1()( =±=−+±= ⇔−+±=Ω ⇔−+±=Ω⇔Ω−+Ω±=Ω⇔Ω−−Ω±=Ω qqkksv kspk p s pk v s vkr vkr vkrsvkkrrvkvkr ωω ωω ωω O sinal negativo precede Ωr , pois, o rotor está a rodar em sentido directo e, na convenção usada, as velocidades angulares em sentido directo são negativas. Dividindo as expressões (1.5) e (1.6) por 2π e multiplicando por –1 obtemos as frequências das tensões e correntes eléctricas induzidas no rotor: a) para v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13..., [ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+±= qqkksvffvkr (1.7) b) para v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...,
  15. 15. Projecto e Dissertação 15 [ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+= qqkksvffvkr m (1.8) Para fvkr>0 as tensões e correntes eléctricas induzidas nos enrolamentos rotóricos formam sistemas trifásicos directos e para fvkr<0 sistemas trifásicos inversos. 2.1.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas estatóricas Qualquer sistema trifásico desequilibrado de tensões eléctricas ou correntes eléctricas, de acordo com o teorema de Charles L. Fortescue1 , pode ser decomposto num sistema de sequência directa, num sistema de sequência inversa e num sistema de sequência homopolar. No caso mais geral, em que não existe condutor de retorno, o sistema de sequência homopolar é nulo. É este caso que iremos analisar. Os desequilíbrios no sistema de correntes eléctricas estatóricas podem ter duas causas de base distintas: desequilíbrios no circuito electromagnético estatórico e desequilíbrios no sistema de tensões eléctricas de alimentação. Qualquer que seja a causa o resultado será sempre um desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas estatóricas. Assim, iremos fazer um estudo das consequências do desequilíbrio referido, no espectro das correntes eléctricas rotóricas. O procedimento, neste caso, é idêntico ao do ponto anterior, mas aplicado aos sistemas de sequência inversa dos harmónicos das correntes eléctricas estatóricas. As expressões resultantes são iguais às do ponto anterior mas com os índices v adaptados, porque os sistemas de ordem 5,11,... são originalmente de sequência inversa e os de ordem 1,7,13,... de sequência directa. As expressões de funcionamento normal para v=5,11,... são as mesma que para os sistemas de sequência inversa, devido ao desequilíbrio, para v=1,7,13,... . As expressões de funcionamento normal, para v=1,7,13,...., são as mesmas que para v=5,11,... em funcionamento desequilibrado. Assim temos: a) para v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13..., [ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+= qqkksvffvkr m (1.9) b) para v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11..., [ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+±= qqkksvffvkr (1.10) 1 Pioneiro no estudo de componentes simétricas. O teorema por ele enunciado é: “Um sistema não equilibrado de n vectores coplanares, concorrentes e da mesma natureza, pode ser reduzido a n sistemas de n vectores coplanares”.
  16. 16. Projecto e Dissertação 16 Para fvkr>0 as tensões e correntes eléctricas, induzidas nos enrolamentos rotóricos, formam sistemas trifásicos directos. Para fvkr<0 formam sistemas trifásicos inversos. As expressões 1.8 a 1.10 permitem calcular as frequências das correntes eléctricas rotóricas devido à saturação magnética e distribuição espacial, não sinusoidal, da fmm criada pelas correntes eléctricas estatóricas. Devido ao factor de enrolamento do rotor e fraca amplitude dos harmónicos de ordem elevada, os valores relevantes para v são v =1, v =5 e eventualmente v =7 e os valores relevantes para k são k =1 e k =5. 2.2 Correntes eléctricas estatóricas Os harmónicos espaciais da fmm, criados pelas correntes eléctricas do estator, induzem, nos enrolamentos estatóricos tensões eléctricas à frequência que lhes deram origem. Assim, as correntes eléctricas de diferentes frequências que as causadas pela saturação magnética têm origem nos campos girantes de fmm criados pelos sistemas trifásicos de correntes eléctricas rotóricas, em funcionamento normal ou desequilibrado. Apresentamos, a seguir, o estudo das frequências para a corrente eléctrica estatórica induzidas pelas corrente eléctrica rotórica, no caso de funcionamento normal e no caso de funcionamento desequilibrado do rotor. Cada sistema de tensões eléctricas de frequência fvkr, induzida no rotor, cria correntes eléctricas da mesma frequência e, cada uma delas, cria uma distribuição espacial de fmm dada pela expressão genérica seguinte: ,..)2,1,0(1.6com,. .. .. 2 3 ),( 1 =±=         ℑ=ℑ ∑ ∞ = qqjt xj sintx j vkr p vkjvkr ω τ π m (1.11) onde j é a ordem do harmónico espacial, para cada corrente eléctrica de velocidade angular ωvkr, v é a ordem do harmónico da corrente eléctrica estatórica e k é a ordem dos respectivos harmónicos da fmm. 2.2.1 Funcionamento normal Podemos agora calcular as frequências das tensões induzidas no enrolamento estatórico devido aos campos girantes de fmm (1.11), criados pelas correntes eléctricas rotóricas, para funcionamento normal. Para isso, usamos um raciocínio idêntico ao utilizado no cálculo das frequências das correntes eléctricas rotóricas.
  17. 17. Projecto e Dissertação 17 Sabemos que: rvkjrvkjs Ω+Ω=Ω , e em módulo temos: .).1( . p se pj r vkr vkjr ωω −=Ω=Ω O sinal de Ωvkjr irá depender dos valores de v, k e j; este será negativo se o campo girante de fmm rodar em sentido directo, e positivo se rodar em sentido inverso, em conformidade com a convenção usada ao longo deste trabalho. O rotor roda em sentido directo logo é precedido de sinal negativo. Assim, temos: 0,1,2...)(q16,).1( . =±=−−±=Ω+Ω=Ω .qj p s pj vkr rvkjrvkjs ωω (1.12) Substituindo as expressões (1.5) e (1.6) na expressão (1.12) obtemos os seguintes: a) para j=6.q+1 (q=0,1,2...),ou seja, j=1,7,13..., temos: a1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13,... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )13.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=−−+±=⇒ −−+=−+−+=⇔ −+−+=Ω⇔ ⇔−+ −+ =−+=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs mm m m ωωω ωω ωωωω a2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )14.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=−−+=⇒ −−+±=−+−+±=⇔ −+−+±=Ω⇔ ⇔−+ −+± =−+=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs m ωωω ωω ωωωω b) para j=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, j=5,11..., temos: b1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), v=1,7,13,...
  18. 18. Projecto e Dissertação 18 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )15.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=+−+=⇒ +−+±=−+−+±=⇔ −+−+±=Ω⇔ ⇔−+ −+± =−+−=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs m ωωω ωω ωωωω b2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )16.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=+−+±=⇒ +−+=−+−+=⇔ −+−+=Ω⇔ ⇔−+ −+ =−+−=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs mm m m ωωω ωω ωωωω As expressões (1.13) a (1.16) permitem-nos calcular todas as frequências das correntes eléctricas estatóricas devido aos harmónicos da corrente eléctrica, e fmm, em funcionamento normal. Valores positivos e negativos de fvkjs indicam, respectivamente, sistemas de correntes eléctricas de sequência directa e inversa. 2.2.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas rotóricas As consequências de um desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas rotóricas pode ser analisado através das suas componentes simétricas. Como referido anteriormente, um sistema trifásico sem neutro pode ser decomposto num sistema de sequência directa e outro de sequência inversa. O caso de funcionamento normal, analisado no ponto anterior, serve de referência, porque os sistemas inversos, causados pelo desequilíbrio, são sistemas de sequência simétrica à do caso de funcionamento normal para cada harmónico de fmm das correntes eléctricas rotóricas. Então, para o caso de funcionamento desequilibrado no circuito eléctrico rotórico, consideramos as expressões (1.13) a (1.16) com os índices j trocados. Assim, temos um conjunto adicional de correntes eléctricas estatóricas a frequências dadas pelas expressões a seguir indicadas:
  19. 19. Projecto e Dissertação 19 a) para j=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, j=1,7,13..., temos: a1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), v=1,7,13,... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )17.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=+−+=⇒ +−+±=−+−+±=⇔ −+−+±=Ω⇔ ⇔−+ −+± =−+−=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs m ωωω ωω ωωωω a2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )18.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=+−+±=⇒ +−+=−+−+=⇔ −+−+=Ω⇔ ⇔−+ −+ =−+−=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs mm m m ωωω ωω ωωωω b) para j=6.q-1 (q=1,2...),ou seja, j=5,11..., temos b1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13,... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )19.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=−−+±=⇒ −−+=−+−+=⇔ −+−+=Ω⇔ ⇔−+ −+ =−+=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs mm m m ωωω ωω ωωωω b2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...
  20. 20. Projecto e Dissertação 20 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )20.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1( )).(1(.)1().1(. ).1().1(... ).1( . ).1( ).1( . =±=−−+=⇒ −−+±=−+−+±=⇔ −+−+±=Ω⇔ ⇔−+ −+± =−+=Ω qqkfjksvf jksvsjksv sjksvpj p s pj ksv p s pj vkjs vkjs vkjs vkr vkjs m ωωω ωω ωωωω Mais uma vez, temos sistemas de sequência directa, para fvkjs>0, e sistemas de sequência inversa, para fvkjs<0. Apesar de termos calculado as expressões para os casos gerais, as frequências relevantes são calculadas para valores baixos dos índices v, k e j. A estes valores dos índices correspondem ondas harmónicas de maior amplitude, logo, componentes espectrais mais visíveis.
  21. 21. Projecto e Dissertação 21 3 Análise Teórica do Vector de Park 3.1 Introdução A transformação de Park é uma transformação de natureza espacial. Tem por objectivo transformar os três eixos magnéticos reais, do motor de indução trifásico real, em três eixos magnéticos ortogonais e, assim, simplificar as equações que descrevem o funcionamento da máquina. Os eixos directo (d) e transversal (q) formam o plano radial da máquina, o eixo homopolar (o) tem a direcção axial. Figura 2.1 – Diagrama fasorial da transformação de Park de um sistema trifásico em dois eixos d-q. A matriz de Park genérica é definida da seguinte forma [2]: [ ] )1.2( 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 cos 3 2 coscos 3 2                         +−      −−−       +      − ⋅= π θ π θθ π θ π θθ sinsinsinP
  22. 22. Projecto e Dissertação 22 onde θ é o ângulo medido do eixo magnético da fase a para o eixo d. O eixo magnético da fase a é tomado como origem na medida dos ângulos. O ângulo genérico θ pode ter qualquer valor, inclusive um valor variável no tempo, θ=ωt+θ0, onde θ0 é o ângulo inicial do sistema de eixos d−q. A escolha de θ resulta da aplicação a que se destina a transformada de Park. Em funcionamento normal do motor de indução esta transformação, aplicada às tensões e correntes eléctricas dos enrolamentos da máquina real, mantêm os valores das referidas grandezas nas equivalentes dos eixos d e q. No presente estudo o valor de θ usado é zero, ou seja, o referencial da transformação de Park é solidário com o referencial do motor a que pertencem a grandezas a transformar. Assim, temos: [ ] )2.2( 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 3 2                 − −− ⋅=P A componente homopolar das correntes eléctricas e tensões eléctricas compostas de alimentação é, em funcionamento normal e na maioria das avarias, nula, pois, o motor é alimentado apenas por três condutores. O mesmo acontece no rotor, pois, o ponto neutro não está acessível. O facto de a componente homopolar ser nula permite-nos representar as componentes id e iq, da transformada de Park das correntes eléctricas em estudo, no plano, ou seja, o Vector de Park. Nesta condições o vector de Park e a transformada complexa espacial são equivalentes, bastando atribuir a id a parte real e a iq a parte complexa de i, i=id+jiq 2 . Com a informação das correntes (ou tensões) eléctricas concentradas no plano (i=id+jiq), podemos então esperar identificar graficamente e, de forma pouco complexa, algumas das avarias dos motores de indução trifásicos. Fazemos, agora, o estudo de algumas propriedades do vector de Park que nos permitem analisar, de uma forma mais fácil e precisa, as causas para as diferentes figuras resultantes da sua aplicação. O vector de Park tem a propriedade de ser linear, ou seja, o vector de Park resultante de um somatório de sistemas trifásicos de correntes (ou tensões) eléctricas é igual ao somatório dos vectores de Park de cada sistema de correntes (ou tensões) eléctricas, no mesmo referencial. 2 A notação usada é pa a corrente eléctrica, mas o mesmo é válido para a tensão eléctrica.
  23. 23. Projecto e Dissertação 23 Esta propriedade é bastante importante porque podemos usar a teoria da decomposição de sistemas trifásicos desequilibrados, em sistemas equilibrados directos e inversos, no vector de Park e, assim, separar e identificar as consequências de cada um na sua forma final. De seguida apresenta-se a propriedade linear do Vector de Park com o ângulo θ na forma mais geral. Se ( ) ( ) i i t t t t t t i i i d q r r r r r r ak k n bk k n ck k n           = ⋅ + + −       + +       − + − + −       − + +                     ⋅                   = = = ∑ ∑ ∑ 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 cos cos cos sin sin sin ω θ ω θ π ω θ π ω θ ω θ π ω θ π (2.3) então i i i i d q dk k n qk k n           =               = = ∑ ∑ 1 1 (2.4) onde ( ) ( ) i i t t t t t t i i i dk qk r r r r r r ak bk ck           = ⋅ + + −       + +       − + − + −       − + +                     ⋅           2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 cos cos cos sin sin sin ω θ ω θ π ω θ π ω θ ω θ π ω θ π (2.5) As avarias que afectam os enrolamentos do motor de indução trifásico têm, geralmente, como consequência o desequilíbrio do sistema de correntes eléctricas estatóricas ou rotóricas. Importa conhecer as expressões que definem o vector de Park para sistemas directos e inversos de correntes (ou tensões) eléctricas. As expressões que a seguir se apresentam foram deduzidas aplicando a matriz de Park aos sistemas directo e inverso equilibrados de correntes eléctricas, e simplificando as expressões através das equivalências trigonométricas usuais. Sistema directo de correntes: id1=i1cos(−ωrt−θ0+ωt+α) (2.6) iq1=i1sin(−ωrt-θ0+ωt+α) (2.7)
  24. 24. Projecto e Dissertação 24 Sistema inverso de correntes: id2=i2cos(ωrt+θ0+ωt+α) (2.8) iq2=−i2sin(ωrt+θ0+ωt+α) (2.9) Legenda: α - angulo inicial do sistema trifásico de correntes eléctricas; θ0 - angulo inicial do referencial relativamente ao eixo da fase a; ωr - velocidade angular do referencial; ω - velocidade angular da corrente eléctrica; t - tempo. 3.2 Vector de Park de sistemas trifásicos equilibrados Pelas expressões (2.6) a (2.9) verificamos que a figura descrita pelo vector de Park de um sistema trifásico equilibrado de correntes (ou tensões) eléctricas é uma circunferência. A velocidade com que o vector de Park descreve a circunferência é ω−ωr, para sistemas directos, e ω+ωr, para sistemas inversos. No nosso caso ωr é nulo, logo, o vector de Park descreve a circunferência no sentido directo, para sistemas directos, e no sentido inverso, para sistemas inversos, com velocidade angular ω. O módulo do vector de Park de cada sistema, directo ou inverso, é sempre igual à amplitude das grandezas (tensão ou corrente eléctrica) do respectivo sistema. 3.3 Vector de Park de sistemas trifásicos desequilibrados Em situação de desequilíbrio do sistema de correntes (ou tensões) eléctricas o vector de Park resultante tem uma forma elíptica. De seguida apresentamos a justificação dessa forma particular e mostramos a informação que podemos obter a partir das suas características.
  25. 25. Projecto e Dissertação 25 Figura 2.2 – Imagem de figura elíptica do vector de Park com raio maior (M) e raio menor (m) assinalados. 3.3.1 Coeficiente de desequilíbrio Um sistema trifásico desequilibrado de correntes eléctricas pode ser decomposto num sistema directo e num sistema inverso. Seja Ia, Ib e Ic os fasores eléctricos do sistema desequilibrado de correntes eléctricas, pelo teorema das componentes simétricas [4]: ( )I I aI a Ia b c1 21 3 = + + (2.10) ( )I I a I aIa b c2 21 3 = + + (2.11) onde I1 é o fasor eléctrico do sistema directo e I2 é o fasor eléctrico do sistema inverso. Aplicando a transformada de Park a cada um destes sistemas, obtemos dois vectores de Park a rodarem com velocidades iguais em módulo (ω), mas de sentido oposto. Seja Id e Ii os vectores de Park do sistema directo e inverso, respectivamente. As figuras geradas por cada um destes vectores de Park são circunferências, como referido anteriormente, mas, em conjunto dão origem à forma elíptica referida. Isto acontece porque os módulos dos vectores de Park, directo e inverso, somam-se e subtraem-se periodicamente à frequência 2f1 (vector de Park rodam em sentidos opostos). No instante em que Id e Ii têm a mesma fase os seus módulos somam-se, no instante em que têm fases opostas os seus módulos subtraem-se. Assim temos, M I I M I Id i d i= + ⇔ = + (2.12) m I I m I Id i d i= − ⇔ = − (2.13)
  26. 26. Projecto e Dissertação 26 onde M é metade do eixo maior e m é metade do eixo menor da forma elíptica. De (2.12) e (2.13) podemos calcular o coeficiente de desequilíbrio do sistema de correntes (ou tensões) eléctricas com base, apenas, nas propriedades da figura descrita pelo vector de Park. Assim temos, ).14.2( 2 2       = + = ⇔      −= += M-m I mM I IIm IIM i d id id Podemos, agora, calcular o coeficiente de desequilíbrio do vector de Park, ).15.2( mM mM cdp I I cdp d i + − =⇔= O coeficiente de desequilíbrio do sistema de correntes (ou tensões) pode ser definido pelo coeficiente calculado anteriormente, expressão (2.15), pois, ).16.2(2222 iqididqddd IIIeIII +=+= Das expressões (2.6) a (2.9), com ωr=0 e θ0=0, temos: )17.2( ).sen(. ).cos(. 1 1    += += ddq ddd tII tII αω αω e ).18.2( ).sen(. ).cos(. 2 2    +−= += iiq iid tII tII αω αω Pelas propriedades trigonométricas facilmente concluí-mos que Id=I1 e Ii=I2, logo, pela expressão 2.15 temos o coeficiente de desequilíbrio do sistema trifásico dado por: ).19.2( mM mM cd + − = 3.3.2 Ângulo do eixo maior da forma elíptica Com a expressão (2.19) podemos calcular o desequilíbrio do sistema trifásico, interessa agora localizar a fase que provoca o desequilíbrio. A experiência adquirida em laboratório
  27. 27. Projecto e Dissertação 27 indica-nos que a identificação da fase responsável pelo desequilíbrio pode ser feita através do conhecimento do ângulo do eixo maior da figura elíptica do vector de Park. Das expressões (2.6) a (2.9), podemos concluir que a fase na origem do vector de Park (θ0+α) dos sistemas directo e inverso depende do ângulo de fase dos fasores eléctricos respectivos e do ângulo θ0, mas no nosso caso este é nulo. De acordo com o exposto no 2.3.1, podemos concluir que o ângulo do eixo maior da figura elíptica do vector de Park de sistemas desequilibrados é o ângulo médio entre o vector de Park do sistema directo e o vector de Park do sistema inverso, em qualquer instante. Tentamos fazer um estudo analítico que relaciona-se o ângulo do eixo maior com a fase que provoca o desequilíbrio, mas tal estudo revelou-se bastante complexo. Assim, optamos pela simulação de um circuito trifásico básico no qual variamos o desequilíbrio e a fase em que este ocorre, analisando o ângulo do eixo maior da figura elíptica do vector de Park. Figura 2.3 – Esquema do circuito rotórico com uma resistência adicional de simulação de desequilíbrio resistivo. A simulação do circuito da figura 2.3 é particularmente útil para analisar o que acontece em desequilíbrios no circuito rotórico do motor de indução de rotor bobinado. Sob o ponto de vista da análise do desequilíbrio das correntes eléctricas aos terminais do rotor, este pode ser encarado como um sistema de alimentação de tensão trifásico de frequência variável ao qual está ligado uma carga trifásica resistiva exterior. Assim, podemos analisar o que acontece para o caso em que existe desequilíbrio no circuito resistivo exterior ou nos contactos anel-escova do rotor. Na simulação mantemos o sistema de tensões alimentação equilibrado e aumentamos progressivamente cada uma das resistências da carga trifásica exterior. As figuras seguintes mostram os resultados obtidos. Eu Rui u R Iu Ev Rvi v R Iv Rad Ew Rwi w R Iw
  28. 28. Projecto e Dissertação 28 0 20 40 60 80 100 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Desequilibrio(%) Ângulodoeixomaior(graus) Aumento de Ru Figura 2.4 – Evolução ângulo do eixo maior da figura do vector de Park das correntes eléctricas, para aumento de Ru. Ângulo igual a 90º. 0 20 40 60 80 100 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Desequilibrio(%) Ângulodoeixomaior(graus) Aumento de Rv Figura 2.5 – Evolução do ângulo do eixo maior da figura do vector de Park das correntes eléctricas, para aumento de Rv. Ângulo igual a 30º. 0 20 40 60 80 100 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Desequilibrio(%) Ângulodoeixomaior(graus) Aumento de Rw Figura 2.6 – Evolução ângulo do eixo maior da figura do vector de Park das correntes eléctricas, para aumento de Rw. Ângulo igual a –30º. Com base nos resultados obtidos podemos identificar a fase em que ocorre o aumento de resistência através do ângulo do eixo maior da figura elíptica. Teoricamente este ângulo, para cada fase, não varia com o coeficiente de desequilíbrio. Importa referir que estes resultados foram obtidos apenas para um sistema de correntes e tensões eléctricas de frequência única. No motor de indução de rotor bobinado os sistemas de correntes eléctricas do rotor resultam da sobreposição de sistemas a várias frequências, logo, teremos que recorrer à filtragem dos sinais obtidos afim de aplicar com sucesso os resultados desenvolvidos neste capítulo. Recorrendo ao mesmo circuito simulamos outras situações para as correntes e tensões eléctricas com resultados idênticos, ou seja, teoricamente o ângulo da figura elíptica do vector de Park de sistemas desequilibrados não varia com coeficiente de desequilíbrio, para cada fase. Os resultados obtidos são apresentados na tabela e figura seguintes, onde A, B e C representam as grandezas eléctricas em análise (tensões ou correntes eléctricas) das respectivas fases. Tabela 2.1 – Ângulos característicos da figura do vector de Park para sistemas trifásicos desequilibrados de grandezas eléctricas. Aumento de A Aumento de B Aumento de C 0º -60º 60º Diminuição de A Diminuição de B Diminuição de C -90º ou 90º 30º -30º
  29. 29. Projecto e Dissertação 29 Figura 2.7 – Ângulos característicos do vector de Park para diferentes tipos de anomalias. Antecipando, um pouco, o que iremos encontrar nos resultados práticos, convém definir zonas características do plano d-q para o valor do ângulo. Para que possamos localizar eficazmente as fases causadoras de desequilíbrio, estas zonas têm que estar absolutamente separadas. A seguir mostramos a tabela com os valores que nos parecem convenientes.
  30. 30. Projecto e Dissertação 30 Tabela 2.2 – Zonas características para os ângulos da figura do vector de Park para sistemas trifásicos desequilibrados de grandezas eléctricas. Aumento de A Aumento de B Aumento de C -13º a 13º -73º a -47º 47º a 73º Diminuição de A Diminuição de B Diminuição de C -90º a -77 ou 77 a 90º 17º a 43º -43º a -17º
  31. 31. Projecto e Dissertação 31 4 Análise Espectral do Módulo da Transformada Complexa Espacial 4.1 Introdução Tal como foi visto no ponto anterior, na análise de Vector de Park da corrente eléctrica estatórica e rotórica, temos uma expressão que se pode definir como Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica: i=id+jiq (3.1) sendo, de acordo com a expressão (2.4): i i i i d dk k q qk k = =      ∑ ∑ , k=6q±1 (3.2) onde k é a ordem do harmónico da corrente eléctrica. A transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica é então um vector bidimensional com uma componente segundo o eixo d e outra segundo o eixo imaginário q. O seu módulo é, por definição, dado por: i i id q= +2 2 (3.3) 4.2 Funcionamento normal 4.2.1 Corrente Eléctrica Estatórica Considerando a corrente eléctrica estatórica, e com um referencial solidário com o estator (nas expressões (2.6-2.9), θ0=0 e α=0), temos: ( ) ( ) i I t i I t dk k k qk k k = =     $ cos $ sin ω ω , k=6q±1 (3.4) onde o índice ωk refere-se à velocidade angular de cada harmónico da corrente eléctrica e $Ik ao valor máximo de cada componente harmónica da corrente eléctrica. Na corrente eléctrica estatórica sabemos que f1=50 Hz, f5=250 Hz, f7=350 Hz, respectivamente, 1º, 5º e 7º harmónicos. Considerando apenas estas componentes espectrais, tal como tem vindo a ser feito até aqui, e substituindo as expressões de (3.4) em (3.2), temos id e iq
  32. 32. Projecto e Dissertação 32 para um funcionamento normal do motor de indução. O módulo da Transformada Complexa Espacial será então: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tIItIItIIIII ttIIttIIttIIIII ttIIttIIttIItI tItIttIIttII ttIItItItI tItItItItItIis 575771715151 2 7 2 5 2 1 575771715151 2 7 2 5 2 1 5757717151517 22 7 5 22 51 22 157577171 51517 22 75 22 51 22 1 2 775511 2 775511 cosˆˆ2cosˆˆ2cosˆˆ2ˆˆˆ cosˆˆ2cosˆˆ2cosˆˆ2ˆˆˆ sinsinˆˆ2sinsinˆˆ2sinsinˆˆ2sinˆ sinˆsinˆcoscosˆˆ2coscosˆˆ2 coscosˆˆ2cosˆcosˆcosˆ sinˆsinˆsinˆcosˆcosˆcosˆ ωωωωωω ωωωωωω ωωωωωωω ωωωωωω ωωωωω ωωωωωω ++−+++++= ++−+++++= −+−+ ++++ ++++= +−+++−+= Atribuindo valores numéricos às velocidades angulares (f1=50 Hz, f5=250 Hz, f7=350 Hz), obtemos: [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] i I I I I I t I I t I I t I I I I I I t I I t s = + + + × + × + × = + + + + × + × $ $ $ $ $ cos $ $ cos $ $ cos $ $ $ $ $ $ cos $ $ cos ( . ) 1 2 5 2 7 2 1 5 1 7 7 5 1 2 5 2 7 2 1 5 7 7 5 2 2 300 2 2 300 2 2 600 2 2 300 2 2 600 35 π π π π π Da expressão (3.5), concluímos facilmente que no espectro do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica teremos uma componente espectral aos 300Hz e 600Hz. A segunda é quase desprezável em relação à primeira dado que a sua amplitude depende apenas das amplitudes do 5º e 7º harmónico. Estes resultados foram rectificados por simulação computacional, figura 3.1, e experimentalmente em laboratório, figura 3.2. 0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Hz % Figura 3.1 – Espectro do módulo do Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica, simulado em MATLAB a partir da expressão (3.5). 0 100 200 300 400 500 600 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequência (Hz) Tensão(V) Figura 3.2 – Espectro do módulo do Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica (s=0,04), experi- mental, com funcionamento normal do motor de indução.
  33. 33. Projecto e Dissertação 33 O espectro obtido a partir do funcionamento normal de um motor de indução, experimentalmente (figura 3.2), apresenta maior número de bandas espectrais do que o da simulação. Tal seria de esperar dado que na simulação foram apenas considerados os três mais importantes harmónicos de corrente eléctrica do estator. Além disso existem, no funcionamento do motor, pequenas assimetrias mesmo em condições normais. 4.2.2 Corrente Eléctrica Rotórica O estudo da transformada complexa espacial da corrente eléctrica rotórica é idêntico ao realizado para a corrente eléctrica estatórica. Neste caso, sabemos que o ângulo entre o referencial rotórico ,θr , e o eixo d é dado por: θr=θ0+(ωm-ωa)t, (3.6) onde ωm é a velocidade angular mecânica no veio do motor e ωa a velocidade angular do sistema ortogonal d-q dado pela transformada de Park. Para facilidade de cálculo, considera-se, no estudo das correntes eléctricas rotóricas, um referencial solidário com o rotor, ωm=ωa , θr=0 rad, com θ0=0 rad. Pela análise espectral da corrente eléctrica em funcionamento normal, sabemos, em concordância com as expressões (1.7) e (1.8), que o 1º (fundamental), 5º e 7º harmónicos da corrente eléctrica estatórica induzem no rotor correntes eléctricas de frequências, respectivamente, a sf1, (−6+s)f1 , e (6+s)f1 Hertz. Assim, pelas expressões (3.3) e (3.4), o módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica rotórica, é dado por: [ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] i i i I s t I s t I s t I s t I s t I s t I s t I s t I s t I I s t s t I r dr qr r r r r r r r r r r r = + = = + − + + + + + − + + + = + − + + + + − + + + 2 2 1 1 5 1 7 1 2 1 1 5 1 7 1 2 1 2 2 1 5 2 2 1 7 2 2 1 1 5 1 1 6 6 6 6 6 6 2 6 2 $ cos $ cos $ cos $ sin $ sin $ sin $ cos $ cos $ cos $ $ cos cos $ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] 1 7 1 1 5 7 1 1 1 2 2 1 5 2 2 1 7 2 2 1 1 5 1 1 1 7 1 1 5 7 1 6 2 6 6 6 6 2 6 2 6 2 6 6 r r r r r r r r r r r r r I s t s t I I s t s t I s t I s t I s t I I s t s t I I s t s t I I s t $ cos cos $ $ cos cos $ sin $ sin $ sin $ $ sin sin $ $ sin sin $ $ sin sin ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + + − + + + + + − + + + + − + + + + + − + ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ] + = + + + − − + + − + + − + − + = + + + + − + s t I I I I I s t s t I I s t s t I I s s t I I I I I t I I t I I r r r r r r r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω ω ω ω ω ω 1 1 2 5 2 7 2 1 5 1 1 1 7 1 1 5 7 1 1 1 2 5 2 7 2 1 5 1 1 7 1 5 7 2 6 2 6 2 6 6 2 6 2 6 2 $ $ $ $ $ cos $ $ cos $ $ cos $ $ $ $ $ cos $ $ cos $ $ cos[ ] ( ) [ ] [ ] − = + + + + + 12 2 6 2 12 37 1 1 2 5 2 7 2 1 5 7 1 5 7 1 ω ω ω t I I I I I I t I I tr r r r r r r r $ $ $ $ $ $ cos $ $ cos ( . )
  34. 34. Projecto e Dissertação 34 Neste caso, e tal como acontecera para o caso da corrente eléctrica estatórica, iremos ter no espectro do módulo da Transformada Complexa Espacial uma componente espectral fundamental aos 300 Hz e outra, quase insignificante, aos 600 Hz. De salientar que as componentes espectrais enunciadas não dependem da velocidade do motor. Na figura 1.3 podemos verificar, então, a predominância da componente espectral aos 300 Hz tal como indicia a expressão (3.7). Menos significativa é a componente espectral aos 600 Hz dado que depende apenas dos valores máximos do 5º e 7º harmónico da corrente eléctrica estatórica. As restantes componentes espectrais da figura 3.3 estão associadas a assimetrias existentes no funcionamento normal do motor de indução. 0 100 200 300 400 500 600 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Frequência (Hz) Tensão(V) Figura 3.3 – Espectro do módulo do Transformada Complexa Espacialda corrente eléctrica rotórica (s=0,04), em laboratório, com funcionamento normal do motor de indução. 4.3 Avarias no Rotor 4.3.1 Corrente eléctrica estatórica Com o aparecimento de uma assimetria no circuito electromagnético rotórico, surge no espectro da corrente eléctrica estatórica, tal como foi visto na análise espectral da corrente, e considerando, na expressão (1.7), apenas o harmónico fundamental, uma banda lateral inferior, (1-2s)f1, indiciadora da avaria. No módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica, desprezando também todas as componentes espectrais acima dos 50 Hz2 teremos: 2 Esta exclusão pode ser conseguida, na prática, pela filtragem do sinal de corrente eléctrica por um filtro passa-baixo com uma largura de banda superior a 100 Hz por forma a captar a componente fundamental e as suas bandas laterais.
  35. 35. Projecto e Dissertação 35 ( ) [ ]( )[ ] ( ) [ ]( )[ ] ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) i I t I s t I t I s t I t I s t I I t s t I t I s t I I t s t I I I s = + − + + − = + − + − + + + − + − = + + $ cos $ cos $ sin $ sin $ cos $ cos $ $ cos cos $ sin $ sin $ $ sin sin $ $ $ $ 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω [ ]( ) ( ) I t s t I I I I s t 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 38 cos $ $ $ $ cos ( . ) ω ω ω − − = + + Ou seja, teremos uma componente espectral aos 2sf1 (Hz), cuja amplitude varia com o grau de severidade da avaria. Esta componente espectral depende directamente do deslizamento a que o motor opera. 4.3.2 Corrente eléctrica rotórica Na corrente eléctrica rotórica, do mesmo referencial da avaria, não é induzida nenhuma componente espectral, de corrente eléctrica, indiciadora da avaria. Na análise do Vector de Park, abordada no ponto anterior (II-2), verificámos que a figura, neste caso, não era uma circunferência perfeita. À medida que aumentamos a severidade da avaria a figura geométrica do vector de Park passa a ser uma forma elíptica deixando, o módulo da Transformada Complexa Espacial, de ser constante. -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 id iq Figura 3.4 – Figura do Vector de Park com uma fase desquilibrada (fase S) obtido por simulação computacional (f1=50 Hz). 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 t(s) mtce Figura 3.5 – Módulo da Transformada Complexa espacial correspondente ao caso representado na figura anterior, também obtido por simulação. Como vemos, pelas figuras 3.4 e 3.5, a uma figura geométrica, não circular, no vector de Park corresponde um módulo da Trasnformada Complexa Espacial sinusoídal com uma frequência dupla da frequência fundamental da grandeza em estudo (tensão ou corrente eléctrica). Esta conclusão pode ser generalizada a todos os casos em que o módulo da Transformada Complexa Espacial seja aplicado.
  36. 36. Projecto e Dissertação 36 Neste ponto, o espectro do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica rotórica tem uma componente espectral aos 2sfs. 4.4 Avarias no estator 4.4.1 Corrente eléctrica estatórica A análise do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica, com uma assimetria no estator, é igual à realizada no ponto (II-3.3.2). A componente espectral associada à avaria é, como vimos, dupla da componente fundamental do sinal estudado. Assim, teremos no espectro do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica uma componente espectral fixa aos 100 Hz. 4.4.2 Corrente eléctrica rotórica Qualquer assimetria existente no circuito electromagnético estatórico induzirá, segundo a expressão (II-1.9), no circuito eléctrico rotórico uma corrente eléctrica de frequência (−2+s)f1. Consideramos novamente apenas a componente fundamental da corrente eléctrica estatórica. Assim como nos pontos anteriores, o módulo da Transformada Complexa Espacial será dado por: [ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] i I s t I s t I s t I s t I s t I s t I I s t s t I s t I s t I I s t s t I r r r r r r r r r r r r r = + − + + + − + = + − + + − + + + + − + + − + = $ cos $ cos $ sin $ sin $ cos $ cos $ $ cos cos $ sin $ sin $ $ sin sin $ 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ( )[ ] [ ] 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 9 r r r r r r r r I I I s t s t I I I I t + + − − + = + + $ $ $ cos $ $ $ $ cos ( . ) ω ω ω A componente espectral, no espectro da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica rotórica associada a uma assimetria no circuito electromagnético estatórico é, então, aos 100 Hz (f1=50 Hz). Esta componente espectral, tal como verifica a expressão (3.9), não depende da carga do motor de indução.
  37. 37. Projecto e Dissertação 37 4.5 Conclusão Verificamos que quando há um desequilíbrio na corrente eléctrica rotórica, os espectros do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica rotórica e estatórica, apresentam ambos a mesma banda espectral, 2sf1, associada a esse desequilíbrio. O mesmo acontece aquando de uma assímetria no estator. Aí a componente espectral é aos 100 Hz.
  38. 38. Projecto e Dissertação 38 5 Avarias no Rotor 5.1 Introdução Nos motores de indução trifásicos de rotor bobinado há acessibilidade às correntes eléctricas rotóricas. Essa característica, neste tipo de motores, é usada para controlo da curva de binário do motor pelo uso de resistências no circuito eléctrico trifásico. É uma vantagem, mas também um ponto de possíveis problemas. O circuito eléctrico rotórico é composto pelos enrolamentos do rotor, pelos contactos anel-escova, pelos terminais de ligação ao exterior, e pelo grupo de resistências de controlo. São muitos os ponto vulneráveis à ocorrência de avarias. Ao contrário do que acontece com os motores de indução com rotor de gaiola de esquilo, nos motores de indução de rotor bobinado é mais provável a ocorrência de avarias no circuito eléctrico do rotor. Figura 1.1 – Motor de indução trifásico de rotor bobinado com grupo de resistências trifásico associado ao circuito eléctrico rotórico. Para a simulação de assimetrias na corrente eléctrica rotórica, usando a plataforma de ensaios descrita no apêndice 1, provocou-se um desequilíbrio resistivo variável numa fase rotórica, possibilitando diferentes severidades de avaria no circuito eléctrico do rotor. Para cada grau de severidade de avaria, e para vários valores de carga, foram adquiridas correntes eléctricas no estator (fases R e T) e no rotor (fases u e w). Foram, a partir daí, usados os três métodos de análise e diagnóstico descritos no capítulo II: análise espectral da corrente eléctrica, Vector de Park da tensão e corrente eléctrica, e análise espectral do módulo do Vector de Park da corrente eléctrica. O circuito trifásico da figura 1.2 representa o circuito eléctrico rotórico. A resistência variável, Rad , provoca as assimetrias de teste desejadas. R T M u v w
  39. 39. Projecto e Dissertação 39 Figura 1.2 – Esquema do circuito rotórico com uma resistência adicional de simulação de desequilíbrio resistivo. Assumindo que é induzido em cada fase do rotor um sistema de tensões trifásico, simétrico e equilibrado, Euv=U, Evw=a2 U, Evw=a.U (sendo a=exp(jωt)), surge no circuito eléctrico da figura 1.2, um sistema assimétrico de corrente eléctrica que se pode decompor, pelo teorema de Charles L. Fortescue3 , em dois sistemas simétricos, um directo e outro inverso, uma vez que não existirá, como foi referido no capítulo II, qualquer componente homopolar de corrente eléctrica. ( ) ( ) I I a I a I I I a I a I ud u v w ui u v w = + + = + +       1 3 1 3 2 2 . . . . (1.1) A partir do esquema da figura 1.2 podemos determinar a corrente eléctrica em cada fase do sistema trifásico do rotórico. ( ) ( ) uwwvvu vwuwuv uwwvvu vwuwvu u RRRRRR RERE RRRRRR REEREE I ++ − = ++ −+− = (1.2) ( ) ( ) uwwvvu wuvuvw uwwvvu wuvuwv v RRRRRR RERE RRRRRR REEREE I ++ − = ++ −+− = (1.3) ( ) ( ) uwwvvu uvwvwu uwwvvu uvwvuw w RRRRRR RERE RRRRRR REEREE I ++ − = ++ −+− = (1.4) sendo, Ru=R+Rui ; Rv= R+Rvi+Rad ; Rw= R+Rwi . Substituindo as expressões (1.2 a 1.4) no sistema de equações (1.1), obtemos as expressões das componentes directa e inversa da corrente eléctrica da fase u. Eu Rui u R Iu Ev Rvi v R Iv Rad Ew Rwi w R Iw
  40. 40. Projecto e Dissertação 40 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]        ++ −+−+− = − ++ ++ = uwwvvu wvu ui uwwvvu wvu ud RRRRRR aRaaRaRU I a RRRRRR RRRU I 22 11 3 1 3 (1.5) A percentagem de desequilíbrio de um sistema trifásico é dada pelo quociente do módulo da componente inversa com o módulo da componente directa da corrente eléctrica. Des (%) = I I ui ud × 100 (1.6) A partir do sistema de equações (1.5), podemos determinar a componente directa e inversa da corrente eléctrica e, assim, obter o valor do desequilíbrio do sistema trifásico em função da resistência Rad. Teremos então a curva de evolução do desequilíbrio rotórico mediante o aumento linear da resistência adicional colocada em série com uma das fases do circuito eléctrico rotórico (figura 1.3). Este procedimento é válido para todas as fases rotóricas já que o desequilíbrio de apenas uma das fases, provoca um desequilíbrio em todo o sistema trifásico. 0 5 10 15 20 25 30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Resistência Adicional (Ohm) (%) Percentagem de desequilibrio Figura 1.3 – Percentagem de desequilíbrio rotórico em função de Rad. O desequilíbrio de um sistema trifásico não aumenta linearmente com o aumento da avaria. Um ligeiro incremento da resistência Rad provoca imediatamente uma ascensão acentuada da percentagem de desequilíbrio. O motor de indução de rotor bobinado é, assim, bastante vulnerável ao aparecimento de assimetrias rotóricas, sendo os, contactos anel-escova existentes em cada fase rotórica os, potenciais focos de avaria. Considerámos, para a obtenção do sistema de equações (1.5), apenas assimetrias resistivas no circuito eléctrico rotórico. No caso da ocorrência de avarias nos enrolamentos do rotor (curtos-circuitos entre espiras), teríamos um sistema de tensões, induzido no rotor, 3 Pioneiro no estudo de componentes simétricas. O teorema por ele enunciado é: Um sistema não equilibrado de n vectores coplanares, concorrentes e da mesma natureza, pode ser reduzido a n sistemas de n vectores simétricos.
  41. 41. Projecto e Dissertação 41 assimétrico. Assim, mesmo que circuito eléctrico fosse totalmente equilibrado, teríamos também um sistema inverso de corrente eléctrica e, assim, uma percentagem de desequilíbrio. Temos, para além do grau de severidade da avaria, a necessidade de usar outro grau de severidade associado à carga a que o motor de indução está sujeito. Este é de grande importância dado que em ambientes industriais as situações são de carga variável. Assim a estratégia de ensaios laboratoriais é dotada de duas vertentes: • Variação de avaria  do funcionamento normal até à falha limite. O funcionamento normal não significa necessariamente um grau de avaria nulo. A falha limite é a falta de fase. A carga mantêm-se constante, a uma velocidade de 1440 rpm (s=0,04). • Variação da carga  do vazio até à carga máxima. Os valores da velocidade à carga máxima e no vazio dependem da avaria experimentada. A severidade da avaria é, aqui, mantida constante em vário patamares de velocidade.
  42. 42. Projecto e Dissertação 42 5.2 Análise Espectral da corrente eléctrica 5.2.1 Introdução Neste capítulo iremos estudar a análise espectral das correntes eléctricas que circulam, de uma forma acessível, no motor de indução trifásico de rotor bobinado, ou seja, a corrente eléctrica estatórica, e a corrente eléctrica rotórica. Para isso, reportamo-nos ao ponto 1 do capítulo II, onde apresentamos um estudo teórico sobre este assunto. 5.2.2 Corrente eléctrica estatórica Das expressões (II-1.17 e II-1.18) do capítulo anterior, considerando apenas o fundamental, o 3º e 5º harmónico da corrente eléctrica estatórica (j=1, j=5 e j=7), bem como os fundamentais das componentes induzidas na corrente eléctrica rotórica (k=1), obtemos, para s=0,04, as seguintes frequências: de (II–1.17): ( ) Hzfsf ss 465004,021)21(111 =××−=−= (1.7) ( ) Hzfsf sr 2545004,025)25(117 −=××−−=⋅+−= (1.8) de (II–1.18): ( ) Hzfsf sr 3465004,027)27(115 =××−=⋅−= (1.9) ou seja, teremos, em caso de assimetria no circuito electromagnético rotórico, o aparecimento de bandas laterais em torno dos harmónicos de ordem k=6q±1; q=0,1,2,…, sendo bandas laterais inferiores para harmónicos de sentido directo a frequências de 50 Hz, 350 Hz, 550 Hz,.. (k=6q+1; q=0,1,2,…), e bandas laterais superiores em torno dos harmónicos de sentido inverso a frequências de 250 Hz, 650 Hz,.. (k=6q-1; q=0,1,2,…). Para a detecção da avaria em estudo, usando a análise espectral da corrente eléctrica estatórica, estudaremos com especial atenção as bandas laterais calculadas em (1.7, 1.8 e 1.9). Obviamente que a que apresentará uma maior importância será a banda lateral inferior ao primeiro harmónico da corrente eléctrica estatórica (1-2s)fs , uma vez que será de uma ordem de grandeza superior às outras duas bandas laterais calculadas. Nas figuras 1.4, 1.5 e 1.6 podemos ver a evolução desta banda lateral inferior com o aumento da severidade da avaria.
  43. 43. Projecto e Dissertação 43 40 45 50 55 60 0 5 10 15 20 25 30 35 Frequência (Hz) Nível(dB) Figura 1.4 – Harmónico fundamental do espectro da corrente eléctrica estatórica, motor em estrela e em funcionamento normal (s=0,04). 40 45 50 55 60 10 15 20 25 30 35 Frequência (Hz) Nível(dB) Figura 1.5 – Harmónico fundamental e bandas laterais do espectro de corrente eléctrica estatórica, desequilibrio de 100% - falta de fase (s=0,04). 0 20 40 60 80 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Desequilíbrio (%) amplitude Figura 1.6 – Evolução da amplitude, em escala linear, da banda lateral inferior com o aumento da percentagem de desequilibrio (s=0,04). É notório (figura 1.6) o crescimento da banda lateral aos 46 Hz, (1-2s) fs, perante o aumento da severidade da avaria no rotor. Facilmente se poderá dizer que o motor de indução se encontra com um qualquer defeito no circuito rotórico, quer se trate de rotor bobinado ou em gaiola de esquilo, perante o aparecimento da banda lareal inferior. Pela figura 1.5, verificamos outras duas bandas laterais. Uma aos 42 Hz, múltipla da primeira e dada pela expressão (1-4s)f1, e outra aos 54 Hz, banda lateral superior, dada pela expressão (1+2s)fs . Ambas resultam de flutuações de binário [4]. Essas flutuações tanto podem ser consequência da existência de uma avaria com da inércia da carga que está acoplada ao motor. No quadro 1.1, verificamos a relação entre as várias componentes espectrais tanto de corrente eléctrica como de velocidade. Quadro 1.1 – Fenómeno electromagnético e mecânico Estator: f (1-s)f1 (1+2s)f1 (1-4s)f1 Rotor: ±sf1 2sf1 ±3sf1 As outras bandas laterais ao 5º e 7º harmónico não têm uma grande importância neste tipo de análise dado não terem uma ordem de grandeza suficientemente grande para justificar um estudo mais profundo. Toda a informação que cada uma delas poderia dar pode ser, muito mais facilmente, recolhida na banda lateral inferior ao harmónico fundamental (1-2s)fs . Harmónicos de corrente eléctrica 1º Harmónico de velocidade
  44. 44. Projecto e Dissertação 44 Variação de carga: Se mantivermos o grau de severidade de avaria constante e variarmos o valor da carga desde o motor de indução em vazio até uma situação de carga máxima, com corrente eléctrica nominal (Imax=6.8 A/enrolamento), verficamos também o crescimento da banda lateral inferior, (1-2s)fs (figuras 1.7, 1.8 e 1.9), de forma idêntica ao que aconteceu no caso da variação do grau de severidade da avaria, com carga constante. 30 35 40 45 50 55 60 65 70 0 5 10 15 20 25 Frequência (Hz) Tensão(V) Figura 1.7 – Componente fundamental da corrente eléctrica estatórica, desequilíbrio de 75%, motor em estrela e em vazio (s=1,3%). 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 Frequência (Hz) Tensão(V) Figura 1.8 – Componente fundamental e banda lateral da corrente eléctrica estatórica, desequilíbrio de 75%, motor em estrela e à plena carga (s=13,1%). 2 4 6 8 10 12 14 5 10 15 20 25 30 35 40 s (%) amplitude Figura 1.9 – Variação da amplitude da banda lateral (1-2s)f1 da corrente eléctrica estatórica, com a carga, e com um desequilibrio rotórico de 75%. A diferença entre as variações observadas para os dois tipos de severidade, é a localização, no espectro da corrente eléctrica estatórica, das bandas laterais. Por exemplo, (1−2s)f1, na experiência de carga constante, sabemos que se situa sempre, independentemente do grau de severidade, aos 46 Hz já que a velocidade é constante, 1440 rpm, s=4%. No segundo caso, com variação de carga, o deslizamento é variável e, com ele, a localização da banda lateral. Para um nível de carga minimo, s=0,013, substituindo na equação (1.7), f111s=48,7 Hz , e para uma carga máxima, s=0.131, também pela equação (1.7), f111s=36.9 Hz. 5.2.3 Corrente eléctrica rotórica Para o funcionamento normal do motor, a corrente eléctrica rotórica tem componentes espectrais induzidas pelas componentes harmónicas da corrente eléctrica estatórica. Assim, considerando apenas a componente fundamental, o 5º e o 7º harmónicos da corrente eléctrica estatórica, usando as equações (II–1.7 e II–1.8) deduzidas no capítulo anterior, e com o motor de indução a uma velocidade constante (s=0,04), teremos: de (II–1.7):
  45. 45. Projecto e Dissertação 45 Hzsffsff r 25004,0)1( 11111 =×==−−= (1.10) ( ) ( ) Hzfsfsff r 3025004,066)1(7 11171 =×+=+=−−= (1.11) de (II–1.8): ( ) ( ) Hzfsfsff r 2985004,066)1(5 11151 −=×+−=+−=−−−= (1.12) A figura 1.10-a) mostra o espectro da corrente eléctrica rotórica com o motor de indução em funcionamento normal. 0 50 100 150 200 250 300 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Frequência (Hz) Tensão(V) 0 50 100 150 200 250 300 0 10 20 30 40 50 60 Frequência (Hz) Tensão(V) a) b) Figura 1.10 – Espectro da corrente eléctrica rotórica, com carga constante (s=0,04). a) Funcionamento normal; b) Falta de fase rotórica. Tal como foi referido na análise teórica, capítulo II, a análise espectral da corrente eléctrica rotórica não será a melhor solução para o diagnóstico e análise de avarias no circuito rotórico do motor de indução trifásico de rotor bobinado. Qualquer tipo de assimetria provocada neste referencial acrescentará primeiramente componentes espectrais no espectro da corrente eléctrica estatórica. Essa componente espectral induzirá, na corrente eléctrica rotórica, uma componente igual à que lhe deu origem. Por exemplo, para uma carga constante (s=0,04), a banda lateral ao harmónico fundamental irá induzir no rotor uma corrente com uma frequência de: f f f f s f s f sf r s m r s s s = − ⇒ = − − − = −11 1 2 1( ) ( ) que, facilmente se sobrepõe à componente espectral induzida pelo harmónico fundamental da corrente eléctrica estatórica f1r=sf1.
  46. 46. Projecto e Dissertação 46 Na figura 1.10, podemos verificar a semelhança entre os espectros de corrente eléctrica rotórica, para motor em funcionamento normal e para o motor com falha de fase no rotor. No entanto, ampliando o espectro da figura 1.10-b) de 0Hz até 12Hz, e usando uma escala em dB, verificamos uma componente espectral aos 6 Hz, que acompanha o aumento do grau de severidade da avaria. Tal, indicaria uma detecção da avaria também pela análise das correntes eléctrica rotóricas pelo aparecimento de uma componente espectral de frequência 3sf (figura 1.11). 0 2 4 6 8 10 12 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 YRR0.ASC Frequência (Hz) Nível(dB) 2 4 6 8 10 12 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 YRR5.ASC Frequência (Hz) Nível(dB) 0 2 4 6 8 10 12 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 YRR11.ASC Frequência (Hz) Nível(dB) Figura 1.11 - Evolução da componente espectral aos 6Hz , em dB, corrente eléctrica rotórica, para um grau de severidade de avaria mínimo, médio, e máximo. No espectro da corrente eléctrica estatórica, numa situação de desequilíbrio (figura 1.5), verificámos a existência de uma banda lateral superior (1+2s)fs que, como foi referido, se deve à inércia da carga e às oscilações do binário do motor. Reportando essa componente espectral ao referencial rotórico, concluímos que: 111 3)1()21( sffsfsfff msr =−−+=−= (1.13) A componente espectral referida, 3sf1, é, então, induzida pela componente espectral associada à oscilação de carga e inércia do conjunto motor – carga que, como foi dito no ponto anterior, não é somente indiciador da existência de assimetrias no circuito rotórico. Não serve, assim, para a detecção e análise de avarias no rotor do motor de indução trifásico de rotor bobinado.
  47. 47. Projecto e Dissertação 47 5.2.4 Diagrama vectorial A partir das expressões deduzidas nos pontos 1.2.2 e 1.2.3, podemos traçar um diagrama onde podemos, facilmente, visualizar as componentes espectrais induzidas no rotor e no estator aquando de uma assimetria no circuito electromagnético rotórico. Figura 1.12 – Diagrama das frequências induzidas tanto no estator como no rotor (rotor avariado) Consideramos (figura 1.12) o sentido directo como o sentido positivo e o sentido inverso como negativo. A primeira linha da figura refere-se ao referencial estatórico e aí estão representados o 1º, 5º e 7º harmónicos. De salientar que o 5º harmónico tem o sentido inverso. Na segunda linha, referente ao rotor, estão representadas as componentes espectrais induzidas por cada uma das componentes representadas para o estator (1ª linha). Como podemos verificar, a todas elas foi subtraída a frequência referente à velocidade do motor, representada na parte superior da figura. Na terceira linha, voltamos a ter o referencial estatórico, mas somente aí estão representadas as componentes espectrais resultantes da assimetria no circuito eléctrico rotórico. Concluímos, pela diagrama da figura 1.12, que existe uma troca de informação entre os dois referenciais do motor. Quando estamos no caso de uma avaria provocada no rotor, é no rotor que aparece um sistema assimétrico, mas é no estator que irão, primeiramente, ser induzidas correntes eléctricas a frequências que se vão diferenciar em relação ao espectro obtido para funcionamento normal. Essas componentes espectrais reflectem-se, outra vez, para o referencial rotórico às mesmas frequências que lhes deram origem. Para a análise e diagnóstico de avarias no circuito electromagnético rotórico, salientam-se a expressão (1.7) que é consequência directa dos campos inversos criados no rotor, aquando da existência de uma qualquer avaria. ← Sentido Inverso fm=(1-s).fs Sentido Directo → f5=5fs f1= fs f7=7fs f5r= (−6+s) fs f1r=s fs f7r= (6+s) fs f15r= (7−2s) fs f17r=−(5+2s) fs f11r= (1−2s) fs
  48. 48. Projecto e Dissertação 48 5.3 Análise do Vector de Park 5.3.1 Introdução Nesta secção apresentamos e analisamos os resultados relativos ao vector de Park da corrente eléctrica rotórica e estatórica e da tensão eléctrica composta aos terminais do rotor, quando este possui carga trifásica resistiva exterior. A análise do vector de Park da tensão eléctrica aos terminais do rotor é de extrema importância para determinar se o desequilíbrio é interno ou externo ao motor de indução (carga resistiva trifásica). Todas as figuras apresentadas nesta secção referem-se a resultados obtidos para a ligação do estator em estrela. Para a ligação em triângulo os resultados são em tudo idênticos aos apresentados. 5.3.2 Corrente eléctrica estatórica Os desequilíbrios no sistema de correntes eléctricas rotóricas têm como consequência relevante no estator o aparecimento de um sistema directo de correntes eléctricas estatóricas à frequência (1-2s)f (expressão (1.7)). Pela propriedade linear do vector de Park a consequência deste sistema de correntes eléctricas é o aparecimento de uma coroa na figura do vector de Park da corrente eléctrica estatórica, cuja a espessura é o dobro do módulo do vector de Park do sistema de correntes eléctricas devido à avaria, quando não existe desequilíbrio no estator. Na figura seguinte apresentamos o vector de Park para o caso em que existe o desequilíbrio normal no rotor, 4 %, e para um desequilíbrio de 66 %, ambas as figuras resultam do sinal não filtrado da corrente eléctrica. -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Id (v) Iq(v) Figura 1.13 – Vector de Park da corrente eléctrica estatórica com desequilíbrio de 4% no rotor, sem filtragem, a 1440 rpm. -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Id (v) Iq(v) Figura 1.14 – Vector de Park da corrente eléctrica estatórica com desequilíbrio de 66% no rotor, sem filtragem, a 1440 rpm.
  49. 49. Projecto e Dissertação 49 Teoricamente a figura devia ser uma circunferência, tal não acontece devido à existência do 5º e 7º harmónicos na corrente de alimentação, estes são consequência da saturação magnética do circuito magnético do motor e também da presença do 5º e 7º harmónicos na tensão de alimentação. As figuras 1.13 e 1.14 mostram claramente a influência do desequilíbrio rotórico na espessura da coroa. Importa, então, fazer o estudo da variação da espessura da coroa com o desequilíbrio para deslizamento constante e com o deslizamento a desequilíbrio constante. O estudo da variação da espessura é feito para o valor absoluto e para o valor relativo ao módulo do vector de Park do sistema fundamental das correntes eléctricas de alimentação. Como estas variam com a carga, o valor relativo da espessura é uma tentativa de atenuar o efeito da carga na avaliação da espessura da coroa. No método prático de cálculo da espessura da coroa temos que ter presente o facto de existir sempre um pequeno desequilíbrio no circuito estatórico, como tal, o sistema de correntes eléctricas induzidas no estator, devido à avaria rotórica, surge também desequilibrado. Adicionalmente existe o problema de a frequência do sistema de correntes eléctricas, devido à avaria ter uma frequência, (1-2s)f1, muito próxima da frequência de alimentação para valores de deslizamento habituais, o que impossibilita a técnica da filtragem para a isolar. No entanto, podemos usar filtros para anular o 5º e 7º harmónicos. A filtragem é feita aos 100 Hz no Matlab por um filtro passa-baixo Butterworth de 5º ordem. Nas figuras 1.15 e 1.16 podemos o ver efeito da filtragem e consequente ausência dos 5º e 7º harmónicos no vector de Park da corrente eléctrica estatórica. -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Id (v) Iq(v) Figura 1.15 – Vector de Park da corrente eléctrica estatórica com desequilíbrio de 4% no rotor, com filtragem aos 100 Hz, a 1440 rpm. -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Id (v) Iq(v) Figura 1.16 – Vector de Park da corrente eléctrica estatórica com desequilíbrio de 66% no rotor, com filtragem aos 100 Hz, a 1440 rpm.
  50. 50. Projecto e Dissertação 50 Assim, para aumentar a precisão no cálculo da espessura e poder utilizá-lo no caso geral em que pode existir desequilíbrio nas correntes eléctricas de alimentação, usa-se o resultado das expressões (II-2.14), ).14.2( 2 2       = + = M-m I mM I i d A importância das expressões (II-2.14) reside no facto de podermos calcular o módulo do vector de Park do sistema directo e do sistema inverso de correntes recorrendo directamente às características da figura do vector de Park do sistema desequilibrado. As expressões (II-2.14) são válidas tanto para o vector de Park do sistema de correntes eléctricas de alimentação como para o sistema de correntes eléctricas, induzido no estator, devido à avaria no rotor. É importante referir que as expressões (II-2.14) aplica-se também ao caso de não haver desequilíbrio, pois, neste caso, M é igual a m , logo, Ii é zero, só existe sistema directo. Pela linearidade do vector de Park facilmente se conclui que a espessura máxima da figura do vector de Park é igual a 2Ma e a espessura mínima é igual a 2ma, onde Ma e ma são o semi-eixo maior e menor do vector de Park do sistema de correntes eléctricas devido ao desequilíbrio rotórico, respectivamente. Para o cálculo ser preciso temos que conhecer com exactidão os valores de M, m, Ma e ma. O método de calcular os valores de M, m, Ma e ma, a partir da figura filtrada do vector de Park das correntes eléctricas estatóricas, é descrito em pormenor no apêndice 4. Aplicando as expressões (II-2.14) podemos calcular a espessura em valor absoluto e a espessura relativa da coroa pelas seguintes expressões, 2 aa ad mM IEsp + == (1.14) mM mM I I EspR aa d ad + + == (1.15). Convêm notar que quando nos referimos à espessura da coroa estamo-nos a referir ao módulo do vector de Park do sistema directo das correntes eléctricas devido à avaria, Iad, e não ao que visualmente interpretamos como espessura. Nos ensaios de severidade da avaria mantivemos o deslizamento constante e igual a 4%, ou seja, uma velocidade do motor de 1440 rpm, e aumentamos a severidade da avaria, aumentando a resistência exterior ligada à fase v do rotor de modo a conseguirmos 6 níveis de
  51. 51. Projecto e Dissertação 51 desequilíbrio para o sistema de correntes eléctricas rotóricas. Note-se que neste caso manter o deslizamento não é equivalente a manter a carga mecânica acoplada ao veio, pois, como consequência do aumento da severidade da avaria, os binários negativos do motor aumentam. Assim, para o mesmo deslizamento, o binário positivo resultante decresce com o aumento da severidade da avaria. É importante referir que o desequilíbrio das fases u e w produz os mesmos resultados nas correntes eléctricas estatóricas, como se esperava, assim, apenas são apresentados resultados para desequilíbrio na fase v. O vector de Park das correntes eléctricas estatóricas, com filtragem, para 4%, 52% e 100% de desequilíbrio são mostrados na figura seguinte. -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Id (v) Iq(v) Figura 1.17 - Vector de Park da corrente eléctrica estatórica, com filtragem, para 4% de desequilíbrio no rotor. -0.01 0 0.01 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 Id (v) Iq(v) Figura 1.18 - Vector de Park da corrente eléctrica estatórica, com filtragem, para 52% de desequilíbrio no rotor. -0.01 0 0.01 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 Id (v) Iq(v) Figura 1.19 - Vector de Park da corrente eléctrica estatórica, com filtragem, para 100% de desequilíbrio no rotor. A evolução da espessura e da espessura relativa da coroa com o desequilíbrio é mostrada nas figuras seguintes. 0 20 40 60 80 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Desequilíbrio (%) Espessuradacoroa(mV) Figura 1.20 – Variação da espessura absoluta da coroa com o desequilíbrio no rotor, deslizamento igual a 4%. 0 20 40 60 80 100 0 5 10 15 20 25 30 Desequilíbrio (%) Espessurarelativadacoroa(%) Figura 1.21-Variação da espessura relativa da coroa com o desequilíbrio no rotor, deslizamento igual a 4%.
  52. 52. Projecto e Dissertação 52 Pelos gráficos das figuras 1.20 e 1.21 podemos ver que a evolução da espessura absoluta da coroa é idêntica à evolução relativa da mesma. Apesar disso, a importância de cada uma evoluções é bastante diferente. Consideramos que o gráfico da evolução da espessura relativa da coroa bastante mais importante, pois, dá-nos a relação entre o módulo do sistema directo de correntes eléctricas, devido à avaria, e o módulo do sistema de correntes eléctricas do fundamental da alimentação. Embora não seja possível uma relação precisa entre o coeficiente de desequilíbrio das correntes eléctricas rotóricas e a espessura relativa da coroa, podemos observar que a espessura relativa varia de 3% a 30 %, para uma variação de 4% a 100% do desequilíbrio rotórico, isto de uma forma quase linear. Sem querer-mos generalizar, e fazendo uma aproximação linear à variação da espessura relativa com o desequilíbrio, podemos dizer que, no nosso caso, o desequilíbrio das correntes eléctricas rotóricas é aproximadamente igual a 3 vezes a espessura relativa da coroa, para desequilíbrios inferiores a 50%, e 5 vezes, para desequilíbrios superiores a 50%. Na tabela 1.1 apresentamos os resultados usados na construção dos gráficos das figuras 1.20 e 1.21 e também o coeficiente de desequilíbrio (cd) do sistema de correntes eléctricas do estator: Tabela 1.1 – Resultados do ensaio de variação da severidade do desequilíbrio rotórico com deslizamento a 4%. Cd do rotor (%) Espessura da coroa (mV) Espessura relativa da coroa (%) Cd do estator (%) 4 0.6 2.9 1 20 1.8 9.9 2 44 2.9 17.3 1 52 3 18.5 2 66 3.6 21 1 96 4.1 26 3 100 4.3 28.2 2 Os resultados anteriores são para deslizamento constante e severidade da avaria variável. É, também, importante conhecer a variação da espessura absoluta e espessura relativa da coroa para o caso em que mantemos a severidade e variamos o deslizamento. O desequilíbrio foi mantido aproximadamente a 75% e o deslizamento foi variado desde o vazio, 1483 rpm, até às 1360 rpm, valor em que se atingiu a corrente máxima na alimentação, 6,8 A. Os gráficos seguintes mostram a variação da espessura absoluta e relativa da coroa com o deslizamento.
  53. 53. Projecto e Dissertação 53 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Deslizamento (%) Espessuradacoroa(mV) Figura 1.22 –Variação da espessura absoluta da coroa com o deslizamento, desequilíbrio rotórico igual a 75%. 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Deslizamento (%) Espessurarelativadacoroa(%) Figura 1.23-Variação da espessura relativa da coroa com o deslizamento, desequilíbrio rotórico igual a 75%. Comparando os gráficos das figuras 1.22 a 1.23 verificamos a dificuldade que existe em precisar o coeficiente de desequilíbrio do sistema correntes eléctricas do rotor, através da análise da espessura da coroa, absoluta ou relativa, pois, ambas dependem fortemente do deslizamento da máquina. À semelhança do que acontece no gráfico da figura 1.21, também no gráfico da figura 1.23 podemos distinguir duas zonas, abaixo de 5% de deslizamento e acima de 5%. Na primeira zona a espessura relativa da coroa varia mais rapidamente com o deslizamento do que na segunda zona. A impossibilidade de estabelecer uma relação matemática precisa entre o desequilíbrio rotórico e a espessura relativa (ou absoluta) força este método a ser usado apenas para estimar grosseiramente a percentagem de desequilíbrio do sistema de correntes eléctricas rotóricas. Na tabela 1.2 apresentamos os resultados usados na construção dos gráficos das figuras 1.22 e 1.23, e também o coeficiente de desequilíbrio (cd) do sistema de correntes eléctricas do estator: Tabela 1.2 – Resultados do ensaio de variação do deslizamento e severidade do desequilíbrio rotórico cerca 75%. Deslizamento (%) Cd do rotor (%) Espessura da coroa (mV) Espessura relativa da coroa (%) Cd do estator (%) 1.1 - 1 7 0.8 2.8 71 2.3 15 1.3 5.3 74 6.5 35 1.2 6.5 76 9.1 41 1 8 75 12.1 47 1 9.3 75 14.7 51 1.2
  54. 54. Projecto e Dissertação 54 Um facto importante a reter dos resultados apresentados nas tabelas 1.1 e 1.2 é imunidade que o sistema de correntes eléctricas do estator tem relativamente a desequilíbrios nas correntes eléctricas rotóricas. O desequilíbrio do sistema de correntes eléctricas do estator é praticamente constante e bastante baixo para qualquer condição de carga e desequilíbrio no rotor. Tal comportamento era teoricamente previsível devido ao princípio de funcionamento do motor de indução e pode, em princípio, ser usado para diagnóstico de desequilíbrios simultâneos nas correntes eléctricas do estator e rotor. 5.3.3 Corrente e tensão eléctrica rotórica Em oposição ao que se passa para a análise espectral das correntes eléctricas rotóricas em que é impossível detectar a existência de desequilíbrio rotórico, a análise do vector de Park das correntes eléctricas rotóricas permite detectar, e quantificar, esse desequilíbrio. Adicionalmente o vector de Park da tensão eléctrica aos terminais do rotor permite distinguir entre avarias internas do rotor (contactos anel-escova deficientes e curto-circuito entre espiras) e externa (desequilíbrio da carga resistiva trifásica). A frequência fundamental das correntes rotóricas é sf, o que para deslizamentos habituais representa valores bastante baixos (<10 Hz). No caso da existência de desequilíbrio nas correntes eléctricas do estator resulta adicionalmente um sistema de correntes eléctricas rotóricas à frequência (2-s)f1, ou seja, frequências próximas dos 100 Hz para deslizamentos habituais. Assim, podemos usar eficazmente a filtragem dos sinais das correntes eléctricas rotóricas para isolar o sistema de correntes eléctricas à frequência fundamental do eventual sistema causado pelo desequilíbrio estatórico. O filtro usado é o passa-baixo Butterworth de 5º ordem do Matlab. -0.02 0 0.02 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 Id (v) Iq(v) Figura 1.24 – Vector de Park das correntes eléctricas rotóricas com 66% de desequilíbrio, sinal não filtrado. -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 Id (v) Iq(v) Figura 1.25 - Vector de Park das correntes eléctricas rotóricas com 66% de desequilíbrio, sinal filtrado a 3 Hz.

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