1. 352 - Katedra automatizační
techniky a řízení
Technické výpočty
Ing. David Fojtík, Ph.D.
A922, kl. 4193

2. Princip numerické derivace a integrace
• Numerická integrace a derivace se používá v
případě, když požadovaná funkce je zadaná pouze
tabulkou bodů xi,f(xi), i=1..n (nejčastěji změřených)
nebo, pro kterou je analytické řešení příliš
složité, časově a ekonomicky náročné.
• Základní principem numerické derivace a integrace je
nahrazení funkce interpolačním polynomem, popřípadě
jinou aproximací, který lze snadno derivovat či
integrovat.
• Řešení je přibližné, zatížené chybami:
Modelu, Dat, Aproximací, Diskretizací a Zaokrouhlovací chybou.
• V případě funkcí, jejichž hodnoty byly získány např.
experimentálně a jsou zatíženy nezanedbatelnými
chybami, se doporučuje nejprve tyto hodnoty metodou
nejmenších čtverců „vyrovnat a potom teprve funkci
derivovat.

3. Numerická derivace

4. Derivace a její význam
y dy
• Derivace funkce f v bodě x, f’(x) představuje míru lim f ( x)
změny funkce f(x) v bodě x, kterou lze vyjádřit x 0 x dx
jako podíl změny Δy/ Δx. Pro nekonečně malé Δx f ( x h) f ( x)
f ( x) lim
je pak tento podíl vyjádřen derivací dy/dx. h 0 h
• Derivací funkce s(t) podle t, popisující dráhu kde t je čas získáme
funkci rychlosti v(t). Díky tomu můţeme v kaţdém čase t přesně
určit rychlost tělesa.
• Derivací funkce v(t) podle t, popisující rychlost tělesa kde t je čas
získáme funkci zrychlení a(t). Díky tomu můţeme v kaţdém čase t
přesně určit zrychlení tělesa.
• Síla se F se spočte F = m·a (hmotnost krát zrychlení). Známe-li
průběh zrychlení (funkci a(t)) můţeme pro jakýkoliv čas určit
působící sílu F(t) = m·a(t). Respektive stačí znát funkci dráhy s(t)
kde F(t) = m·s’’(t).
• Při chemické reakci dvou a více látek, kdy funkcí c(t) označíme
koncentraci některé látky v čase t pak derivací získáme rychlost
chemické reakce t.
• Hledání lokálních extrémů (lokální minimum a maximu), analýza
chování funkcí (rostoucí, klesající) atd.

5. Geometrický význam derivace
• Derivace funkce f v bodě x, f’(x) geometricky představuje
směrnici tečny ke křivce průběhu funkce f(x) v bodě x.
1 y
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x
0
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.3
f(x) = x³
-0.4
Ax+B = f'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f'(-0,5) ·x]
-0.5
Ax+B = f'(0,3) ·x + [f(0,3)- f'(0,3) ·x]
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1

6. .
Numerická derivace ze dvou bodů
• Dosazení do rovnice derivace
f ( x h) f ( x)
f ( x) lim
h 0 h
reálné h>0, pak dostaneme přibliţnou hodnotu derivace v bodě
x jejíţ přesnost je závislá na velikosti h.
f ( x h) f ( x)
f ( x) d ( x, h )
h
• Odtud dostaneme základní vzorec pro výpočet numerické
derivace v bodě xi:
f ( xi ) f ( xi 1 )
f ( xi )
xi xi 1
• alternativou výpočtu je vztah:
f ( xi 1 ) f ( xi )
f ( xi )
xi 1 xi

7. Geometrický význam numerické
derivace ze dvou bodů a její chyba
• Numerická derivace funkce f v bodě xi, f’(xi) geometricky představuje
směrnici spojnice bodů funkce f(xi-1) a f(x) nebo f(x) a f(xi+1)
1
y
0.9
0.8
0.7 -0.6 -0.5 -0.4
0.6
0.5
0.4
f ( xi 1 ) f ( xi ) 0.3 -0.1
f ( xi ) 0.2
xi 1 xi
0.1
x y
0
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.3 f(x) = x³ f(x) = x³
-0.4 Ax+B = f'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f'(-0,5) ·x] Ax+B = f'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f'(-0,5) ·x]
-0.5 Ax+B = f'(0,3) ·x + [f(0,3)- f'(0,3) ·x]
Ax+B = p'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p'(-0,5) ·x]
-0.6 f'(x)
x
p'(x) -0.2
-0.7
Ax+B = p'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p'(-0,5) ·x]
-0.8
Ax+B = p'(0,3) ·x + [f(0,3)- p'(0,3) ·x]
-0.9
-1

8. .
Numerická derivace ze tří bodů
• Jiný vzorec lze také odvodit proloţíme-li trojici bodů yi-1 =f(x-h), yi =
f(x), yi+1 = f(x+h) interpolačním polynomem p(x)=ax2+bx+c, jehoţ
koeficienty lze určit ze tří rovnic. (stačí určit a,b)
pi a xi2 b xi c
2
pi 1 a xi h b xi h c
2
pi 1 a xi h b xi h c
• Derivací polynomu získáme tvar p’(x)=2ax+b (rovnice přímky). Pak
po dosazení koeficientů a,b z výše určených rovnic získáme
vzorec pro numerickou derivaci.
f ( xi 1 ) f ( xi 1 )
f ( xi ) p ( xi )
xi 1 xi 1

9. Geometrický význam numerické
derivace ze tří bodů a její chyba
• Numerická derivace funkce f v bodě xi, f’(xi) geometricky představuje
směrnici sečny procházející sousedními body f(xi-1) a f(xi+1).
1
y
0.9
0.8 -0.6 -0.5 -0.4
0.7
0.6 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )
0.5 f ( xi ) p ( xi )
0.4
xi 1 xi 1
-0.1
0.3
0.2
0.1 y
0 x
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.3 f(x) = x³
-0.4 Ax+B = f'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f'(-0,5) ·x] f(x) = x³
-0.5 Ax+B = f'(0,3) ·x + [f(0,3)- f'(0,3) ·x] Ax+B = f'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- f'(-0,5) ·x]
-0.6 f'(x) Ax+B = p'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p'(-0,5) ·x]
-0.7 p'(x) Sečna
x
-0.8 Ax+B = p'(-0,5) ·x + [f(-0,5)- p'(-0,5) ·x] -0.2
-0.9 Ax+B = p'(0,3) ·x + [f(0,3)- p'(0,3) ·x]
-1

10. Problém volby velikosti kroku
na přesnost řešení
• Z analytického pohledu řešení se jeví, ţe zmenšováním
kroku h lze dosáhnout při numerickém derivování
libovolné přesnosti. Bohuţel se však ukazuje, ţe pří
příliš malém h můţe velmi narůst vliv zaokrouhlovací
chyby.
Pro malé h muţe být f(x0) ≈ f(x1) a tedy v čitateli zlomku
odčítáme dvě sobe velmi blízká čísla, výsledek pak
navíc opět dělíme malým číslem. To jsou operace
vzhledem k zaokrouhlovací chybě velmi riskantní.
Naopak, při velkém kroku h nelze očekávat velkou
přesnost vzhledem k chybě metody. Proto je potřeba
volit kompromis.

11. Numerická Integrace

12. Integrace a její význam
• Neurčitý integrál realizuje výpočet primitivní funkce k funkci f(x)
reverzní operace k derivaci – realizuje se pouze symbolicky.
f ( x) dx f ( x)
• Výpočet rovnice rychlosti v(t) se znalosti rovnice zrychlení a(t)
• Výpočet rovnice dráhy s(t) se znalosti rovnice rychlosti v(t) atd.
• Určitý integrál funkce jedné Plocha pod křivkou v intervalu <a,b>
proměnné f(x) v intervalu <a,b> f(x) = 3x³ + 2x² - x +2
představuje velikost plochy pod 2.5
křivkou v tomto intervalu.
Takzvaná kvadratura. 2 y dy
lim f ( x)
b x 0 x dx
S f ( x) d ( x) 1.5
y
a
• Určitý integrál funkce dvou 1 b
proměnných f(x,y) ohraničené S f ( x) d ( x)
vztahy (intervaly <ax,bx> a <ay,by>) 0.5 a
představuje velikost objemu pod
plochou f(x,y) v daném ohraničení. 0
Takzvaná kubatura. a b
x

13. Numerická Integrace
• Numerická integrace slouţí pouze k vyčíslení Určitých integrálů
zadaných rovnicí nebo tabulkami hodnot.
b
S f ( x) d ( x) V f ( x, y) d ( x)d ( y)
a
b
• Integrál se vypočítá přibliţně n
pomocí součtu součinů vah I( f ) f ( x) d ( x) wi f ( xi )
wi s funkčními hodnotami f(xi) a i 0
• Například potřebujeme průběţně měřit bezkontaktně objem hmoty na
pásovém dopravníku. Vyuţijeme laserový skener, který opakovaně
naměří sadu bodů jednoho řezů (osa x), pohybujícího se pásu (osa y).
Objem hmoty je rozdíl objemů pod plochou materiálu sníţen od
objemu pod plochou pásu.
2 1 x
a2,2 a1,2
a2,1 a1,1
ax,2
ax,1
Vc = Vb α - Va α
2,2 Pa2 Pax Pa1
b2
1,2 b1
2,1 1,1
Pb l
l

14. Metody numerické Integrace
Algoritmy jsou založeny na rozdělení intervalu <a,b> sadu
podintervalů, které se aproximují polynomem jehož
integraci snadno vyčíslíme (známe analytické řešení).
Integrál je pak roven součtu těchto dílčích integrálů.
• Newton-Cotesovy vzorce
podintervaly se aproximují polynomy o řádu:
 n=0 Obdélníková metoda,
 n=1 Lichoběžníková metoda,
 n =2 Simpsonova metoda (Simpsonovo 1/3 pravidlo),
 n =3 Simpsonova metoda (Simpsonovo 3/8 pravidlo),

15. Lichoběžníková metoda
• Interval <a, b> je rozdělen na n stejných segmentů (odměřených
bodů v tabulce). Funkční body jsou aproximované přímkou čímž
plocha pod křivkou má tvar lichoběžníku která se vypočte:
x2 x2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) (b a )
f ( x) d ( x) p ( x) d ( x) ( x2 x1 )
x1 x1
2 2 n
Celkový integrálu funkce na intervalu <a, b> je pak dáno součtem
b n n 1
(b a) f ( xi ) f ( xi 1 ) (b a) f (a) f (b)
f ( x) d ( x) f ( xi )
a
n i 0 2 n 2 i 1
• Tzv. složené lichoběžníkové pravidlo

16. Algoritmus
Lichoběžníkové metody
b n 1
(b a) f (a) f (b)
f ( x) d ( x) f ( xi )
a
n 2 i 1

17. Simpsonovo 1/3 pravidlo
• Interval <a, b> je rozdělen na n stejných segmentů (odměřených
bodů v tabulce). Funkční body jsou aproximované polynomem 2.
řádu p(x) = ax2 + bx + c. Plocha pod křivkou je pak dána vztahem:
x2 x2
(b a ) x x
f ( x) d ( x) p ( x) d ( x) f ( x1 ) 4 f ( 1 2 ) f ( x2 )
x1 x1
3n 2
• Máme-li však pouze tabulkové body, kdy nelze vyčíslit f[(x1+x2)/2]
je vzorec následující
x3 x3
(b a)
f ( x) d ( x) p ( x) d ( x) f ( x1 ) 4 f ( x2 ) f ( x3 )
x1 x1
3n
• Celkový integrálu funkce na intervalu <a, b> je pak
dáno součtem – tzv. složené Simpsonovo pravidlo
b n 1 n 1
(b a)
f ( x) d ( x) f (a) f (b) 4 f ( xi ) 2 f ( xi )
a
3n i 1, 3, 5 i 2, 4, 6

18. ??? kontrolní otázky ???
• Kdy se používá numerická derivace?
• Jaký je geometrický význam derivace v bodě xi
• Jak lze zvýšit přesnost numerické derivace a
existují nějaké limity přesnosti?
• Jakou numerickou metodou lze vyřešit neurčitý
integrál (primitivní funkci)?
• Jaký je geometrický význam určitého integrálu?
• Jaký je princip numerické integrace?
• Jaký je rozdíl mezi lichoběžníkovým a
Simpsnovým pravidlem?

19. 352 - Katedra automatizační techniky a řízení
Ing. David Fojtík, Ph.D.
A922, kl. 4193
Použité zdroje
KUČERA, R. Numerické metody skriptum VŠB-TU Ostrava
FAJMON, B. RUŢICKOVÁ, I. Matematika 3 skriptum VUT v Brně
http://suave_skola.varak.net/programky/OT%201/Algoritmizace/