Este documento presenta un libro sobre topología de espacios métricos. En la introducción, habla brevemente sobre los orígenes de la topología en el siglo XVIII y su desarrollo formal en el siglo XX. El libro contiene seis capítulos que cubren temas como espacios métricos, subconjuntos topológicos, funciones continuas, espacios compactos y completos, y espacios conexos. También incluye apéndices sobre completar espacios métricos y la construcción de los números reales.
4. Foto de portada
“Banda de M¨obius con tanques y excavadoras en la calle Narodni de Praga”.
Obtenida en
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Praha Narodni trida Moebiova paska s tanky a buldozery.jpg
Fotos de la secci´on ”Algunos nombres propios de la Topolog´ıa“ Cap.-1
Obtenidas en
The MacTutor History of Mathematics archive.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
Foto de la secci´on ”El problema de los puentes de K¨onigsberg“ Cap.-1
”Mapa de K¨onigsberg por Merian-Erben, a˜no 1652”
Obtenida en
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Image-Koenigsberg, Map by Merian-Erben 1652.jpg
9. -1
Un poco de historia
La Topolog´ıa es b´asica en la formaci´on de cualquier matem´atico actual; no en
vano, forma parte de las materias troncales (fundamentales) de los primeros cursos
de la titulaci´on en Matem´aticas en cualquier facultad. La Topolog´ıa se encuentra
presente en casi todas las ´areas de las Matem´aticas: el ´Algebra, la Geometr´ıa, el
An´alisis, etc. (y ´estas, como no, tambi´en en la Topolog´ıa). Sus m´etodos y sus
resultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permiten
abordar otros que no tienen un origen estrictamente topol´ogico.
La Topolog´ıa ha alcanzado, digamos su madurez, recientemente. La mayor´ıa de
los estudiosos de la historia de las Matem´aticas sit´uan su puesta de largo en las
primeras d´ecadas del s. XX, a partir de los trabajos de F. Hausdorff (), P.
Alexandroff () y W. Sierpinski (). Cuando decimos madurez o puesta
de largo, queremos decir que es en esos a˜nos, y despu´es de bastantes aproxima-
ciones (como m´as adelante veremos), cuando se fijan las definiciones fundamen-
tales, cuando el perfil de su actuaci´on, de los problemas de los que se ocupa, etc.,
quedan dibujados de manera suficientemente clara. A partir de ese momento, la
Topolog´ıa inicia (o contin´ua) un r´apido desarrollo hasta convertirse en un ´area
imprescindible.
Los inicios pueden situarse, sin embargo, un poco m´as lejos, retrocediendo al
siglo XVIII. Hasta entonces los problemas matem´aticos hab´ıan estado vinculados,
en mayor o menor grado, a la idea de medida, magnitud o distancia, y en esa
´epoca se empiezan a plantear problemas en los que estos aspectos dejan de tener
importancia. Son problemas que no dependen de la distancia o el tama˜no, sino del
lugar, de las conexiones, etc. De hecho, los primeros matem´aticos que los abordan
dan al estudio de estos problemas el nombre de Geometria situs o Analysis situs
9
10. 10
cuya traducci´on viene a ser Geometr´ıa o An´alisis de la situaci´on o de la posici´on.
Fue G. Leibniz (–) el primero que parece referirse a este tipo de prob-
lemas y con el nombre anterior Geometria situs, como atestigua L. Euler (–
) en Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis publicado en ,
que constituye lo que podr´ıamos llamar el origen de la Topolog´ıa y en cuyo
comienzo, Euler escribe lo siguiente.
Adem´as de esta parte de la geometr´ıa que trata de las mag-
nitudes y que desde siempre ha sido cultivada con mucho
celo, existe otra completamente desconocida hasta nues-
tros d´ıas, de la que Leibniz habl´o por primera vez y que
llama “Geometria Situs”. Seg´un ´el, esta parte de la geo-
metr´ıa se ocupa de determinar solamente la posici´on y
buscar las propiedades que resulten de esta posici´on; en
este trabajo no es necesario considerar las magnitudes por
s´ı mismas, ni calcular; pero a´un no est´a muy bien estable-
cido cu´ales son los problemas de este tipo que pertenecen
a la “Geometria Situs” y cu´al es el m´etodo que hay que
utilizar para resolverlos; es por lo que, cuando reciente-
mente se me present´o un problema que parec´ıa ligado a
la geometr´ıa ordinaria, pero cuya soluci´on no depend´ıa de
la determinaci´on de las magnitudes ni del c´alculo de las
cantidades, no he dudado en relacionarlo con la “Geome-
tria Situs”, tanto por las consideraciones de posici´on que
´unicamente entran en la soluci´on, como porque el c´alculo
no interviene para nada. Por tanto, he cre´ıdo ´util expresar
aqu´ı, como un ejemplo de la “Geometria Situs”, el m´eto-
do que he encontrado para resolver los problemas de este
g´enero.
El problema al que se refiere Euler es ...
El problema de los puentes de K¨onigsberg
El r´ıo Pregel atraviesa la ciudad de K¨onigsberg formando una isla a partir de la
cual el r´ıo continua con dos brazos como se puede apreciar en el plano de la ciudad
en la ´epoca de Euler.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
11. -1. Un poco de historia 11
Dicha isla est´a unida a la ciudad por siete puentes cuyo esquema puede verse de
una manera m´as clara en el siguiente gr´afico:
El problema consist´ıa en determinar si una persona que partiera de un lugar deter-
minado de la ciudad podr´ıa regresar al punto de partida tras cruzar cada puente una
sola vez. Parece claro que en este problema son intrascendentes las dimensiones;
no importa la longitud de los puentes, la anchura del r´ıo o el tama˜no de la isla o la
ciudad; lo que realmente caracteriza el problema es la situaci´on de los puentes, la
ciudad y la isla. Euler demostr´o que el problema era equivalente (topol´ogicamente
equivalente) a recorrer el siguiente gr´afico con un l´apiz sin levantarlo del papel,
de manera que se empiece en un punto y se regrese a ´el recorriendo cada camino
una sola vez.
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
12. 12
Podemos reflexionar sobre este problema durante unos minutos; no obstante, pues-
tos a jugar, y con el fin de comprender mejor estos problemas, pensemos que una
figura est´a dibujada en una superficie de goma que se puede deformar: estirar,
retorcer, encorvar, etc., es decir, modificaciones que llevan consigo cambios del
tama˜no o de la forma de la figura original. No valen transformaciones como cor-
tar, hacer agujeros, pegar otro trozo, etc. Las primeras son transformaciones que
podemos llamar continuas, son transformaciones que no cambian la topolog´ıa de
la figura y que dan lugar a la misma figura, topol´ogicamente hablando; las se-
gundas no son continuas, llevan consigo alg´un tipo de ruptura, no son topol´ogi-
cas y, consecuentemente, no dan lugar a la misma figura desde el punto de vista
topol´ogico. Por ejemplo, dibuje un cuadrado dividido en dos regiones A y B me-
diante un segmento como el de la figura:
A
B
Podemos estirar o retorcer la superficie de goma, pero las dos regiones estar´an
separadas por una linea y las letras A y B no podr´an estar nunca en la misma
regi´on. El cuadrado anterior es topol´ogicamente equivalente a la figura siguiente:
A
B
Sin embargo, no es topol´ogicamente equivalente a ninguna de las situaciones que
se muestran en las tres figuras siguientes:
B
A
A B A
B
C
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
13. -1. Un poco de historia 13
En la primera, la regi´on B est´a contenida totalmente en la regi´on A; en la segunda,
las dos regiones no tienen un “lado” en com´un sino s´olo un punto, y en la tercera
hemos hecho un agujero. (En el libro Aventuras topol´ogicas de J.L. Carlavilla y
G. Fern´andez, Ed. RUBES, 1994, se pueden encontrar numerosos e interesantes
problemas “topol´ogicos”.)
Ahora es m´as comprensible por qu´e Euler concluy´o que el problema de los puentes
de K¨onigsberg era equivalente al del gr´afico que propon´ıamos antes:
Para terminar de ilustrar estas ideas, digamos que en el cl´asico libro Topolog´ıa
General (Ed. EUDEBA, 1975), el autor John L. Kelley escribe en una nota a
pie de p´agina lo siguiente: “un top´ologo es un se˜nor que no sabe la diferencia
entre una rosca (bizcocho en forma de anillo) y una taza de cafe”. Si pensamos
que el rosco est´a hecho de una masa el´astica, por ejemplo plastilina, un h´abil
modelador podr´ıa efectuar una transformaci´on topol´ogica para, sin hacer rupturas
y respetando el agujero central de la rosca, llegar a la taza de caf´e haciendo que
dicho agujero sea el del asa y viceversa.
Un poco m´as de historia
Antes de hacer un recorrido hist´orico m´as concreto, una nueva cita, esta vez
del profesor J.M. Rodr´ıguez Amilibia en el pr´ologo del libro Introducci´on a la
Topolog´ıa (J. Margalef y E. Otourelo, Ed. Complutense, 1993):
Cuando un top´ologo es invitado a dar una conferencia, o
a escribir unas l´ıneas sobre el significado de la Topolog´ıa,
no es raro que comience hablando de toros y de tazas de
caf´e; de superficies y de bandas de M¨obius; de botellas
de Klein y planos proyectivos; y tal vez coja una cuerda y
comience a mostrarnos pr´acticamente la teor´ıa de nudos.
Pero el mismo top´ologo, una vez en clase, no dir´a nada de
eso, y partiendo de un m´etodo axiom´atico, fr´ıo y duro como
un trozo de acero, nos hablar´a de entornos, de abiertos, de
espacios conexos, de compactificaciones, de redes, etc.
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
14. 14
Eso es, precisamente, lo que vamos a hacer aqu´ı. Las razones de esto vienen a
coincidir con las que el propio profesor Rodr´ıguez Amilibia aduce en el citado
pr´ologo; hay que buscarlas en la evoluci´on hist´orica de la Topolog´ıa y en su vin-
culaci´on con otras ´areas.
Como indicaba Euler, podr´ıamos decir que la Topolog´ıa surge como una hermana
peque˜na de la Geometr´ıa, pero pronto se hace mayor y permite el estudio de
nuevos problemas e incluso de problemas antiguos con perspectivas diferentes.
Se vincula con otras ramas como el An´alisis interactuando mutuamente. Una de
las consecuencias es que podemos dividir la Topolog´ıa en dos grandes ramas que
tienen desarrollos paralelos y cuya vinculaci´on no es demasiada: la Topolog´ıa Al-
gebraica y la Topolog´ıa General (que estudia los conjuntos de puntos). Esta ´ultima
es el objeto del presente curso y tiene sus primeras aproximaciones en el s. XIX.
Un breve recorrido cronol´ogico
J.B. Listing (–) fue el primero en utilizar la palabra topolog´ıa en un
art´ıculo cuyo t´ıtulo fue Vorstudien zur Topologie (Introducci´on al estudio de la
Topolog´ıa), aunque no se puede decir que ´este fuera el comienzo de una rama
consolidada como tal. Listing hace un trabajo, digamos parcial, sobre la conexi´on
de superficies. Lo cierto es que en el s. XIX hubo una gran preocupaci´on por la
b´usqueda del rigor en las definiciones y conceptos (l´ımite, continuidad, etc.), in-
tentando abandonar las ideas m´as intuitivas que se hab´ıan ido manejando hasta
entonces; esto y, entre otras cosas, los trabajos de G. Cantor (–) so-
bre conjuntos dan pie a plantearse la necesidad de extender conceptos, basados
esencialmente en los n´umeros, a otros conjuntos cuyos elementos eran diferentes:
funciones, curvas, etc. Se hacen esfuerzos en la elaboraci´on de una teor´ıa de es-
pacios abstractos que permita sistematizar todas estas ideas que son vislumbradas
por algunos matem´aticos. Hasta consolidar el tratamiento axiom´atico definitivo,
son numerosas las aproximaciones que se van haciendo y que resumimos a con-
tinuaci´on.
Alg´un autor atribuye la paternidad de la Topolog´ıa a B. Riemann (–),
aduciendo que se acerca a la noci´on actual de espacio topol´ogico como una teor´ıa
aut´onoma y que incluso concibe un programa de estudios al respecto; no obstante,
sus ideas todav´ıa quedaban un poco lejos de lo que ser´ıa la propia Topolog´ıa.
Tambi´en H. Poincar´e (–) contribuye con su obra Analysis situs ()
haciendo un estudio muy riguroso sobre conexi´on vinculado a lo que actualmente
se llama Topolog´ıa Algebraica; alg´un autor escribe que, de no ser por lo disperso
de su quehacer matem´atico (Poincar´e estudi´o de casi todo), suya habr´ıa sido la
sistematizaci´on a que nos venimos refiriendo; en todo caso, tambi´en hay que decir
que Poincar´e mostr´o poco inter´es sobre la Topolog´ıa conjuntista, como muestra
su intervenci´on en el Congreso Internacional de Matem´aticas de , donde se
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
15. -1. Un poco de historia 15
refiri´o a la teor´ıa de conjuntos de Cantor como una enfermedad de la que las
generaciones posteriores estar´ıan curadas.
F. Riesz (–) y M. Fr´echet (–) hacen importantes trabajos que
suponen una nueva aproximaci´on; de hecho, Fr´echet introduce los espacios m´etri-
cos en su tesis doctoral ().
Concluyamos diciendo que la primera definici´on de espacio topol´ogico en t´ermi-
nos de entornos fue dada en por F. Hausdorff (–), partiendo de
los trabajos de Riesz, a˜nadiendo la propiedad de separaci´on de puntos (que se
conoce como propiedad T2 o de Hausdorff), que m´as adelante ser´ıa eliminada de
la definici´on. Las definiciones de espacios topol´ogicos en t´erminos de abiertos
son obra de P. Alexandroff (–) en y W. Sierpinski (–) en
. A partir de entonces la Topolog´ıa ha ido evolucionando y revel´andose, como
dec´ıamos al comienzo, como una rama fundamental en la formaci´on de cualquier
matem´atico actual.
Algunos nombres propios de la Topolog´ıa
G. Leibniz (–)
Aunque es una figura destacada dentro del
C´alculo, fue el primero que se refiri´o como
Geometria Situs (Geometr´ıa de la posici´on)
a problemas en los que no interven´ıan las
magnitudes: estaba intentando resolver pro-
blemas combinatorios de posici´on. Se puede
considerar como un precursor de la teor´ıa de
grafos y de la Topolog´ıa.
L. Euler (–)
Public´o en el primer trabajo sobre Geo-
metr´ıa de la posici´on, con el problema de Los
puentes de K¨onigsberg, donde se dio cuenta
de que exist´ıa un nuevo tipo de Geometr´ıa
donde la distancia no es relevante. En
enunci´o su conocido teorema que relaciona el
n´umero de caras C, de aristas A y de v´ertices
V de un poliedro: C − A + V = 2.
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
16. 16
J.B. Listing (–)
Es el primero en utilizar la palabra topolog´ıa
en su libro Vorstudien zur Topologie, pero
se trata de un trabajo parcial. En
public´o Der Census raumlicher Complexe
oder Verallgemeinerung des Euler’schen
Satzes von den Polyedern en el que estudiaba
diversas generalizaciones de la f´ormula de
Euler.
B. Riemann (–)
En Riemann defendi´o su tesis doc-
toral, que contiene importantes ideas tanto
topol´ogicas como anal´ıticas, como por
ejemplo las superficies de Riemann y sus
propiedades. Concibi´o las ideas cercanas a
lo que despu´es ser´ıa la Topolog´ıa como una
teor´ıa aut´onoma.
G. Cantor (–)
En public´o su primer art´ıculo sobre
teor´ıa de conjuntos, donde describ´ıa riguro-
samente la noci´on de infinito y probaba el
controvertido resultado de que casi todos los
n´umeros reales son trascendentes. Con sus
estudios sobre conjuntos dio pie a la for-
mulaci´on de ideas “topol´ogicas”; ´el mismo
proporcion´o las primeras definiciones de
conjunto derivado y punto l´ımite.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
17. -1. Un poco de historia 17
F. Hausdorff (–)
Figura indiscutible de la topolog´ıa y la teor´ıa
de conjuntos, introdujo la idea de conjunto
parcialmente ordenando en . En
introdujo tipos especiales de ordinales en un
intento de probar la hip´otesis del continuo.
En public´o Grundz¨uge der Mengen-
lehre donde present´o la primera definici´on
axiom´atica de espacio topol´ogico.
M.R. Fr´echet (–)
Introdujo la idea de conjunto compacto,
aunque actualmente dicho concepto se de-
nomina compacidad por punto l´ımite o de
acumulaci´on. Tambi´en introdujo en los
espacios m´etricos y prob´o que las ideas de
Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados
pod´ıan extenderse de manera natural a los
espacios m´etricos.
F. Riesz (–)
Trabaj´o sobre las ideas de Fr´echet expuestas
en su tesis doctoral, proporcionando un
v´ınculo entre los trabajos de Lebesgue (sobre
funciones reales) y Hilbert (sobre ecuaciones
integrales). Introdujo el concepto de conver-
gencia d´ebil de una sucesi´on de funciones
y realiz´o una aproximaci´on a la definici´on
axiom´atica de espacio topol´ogico.
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18. 18
W. Sierpinski (–)
Comenz´o a interesarse en la teor´ıa de
conjuntos en y en 1912 public´o su
libro Outline of Set Theory. En los a˜nos 20
ampli´o su inter´es a la topolog´ıa general,
realizando contribuciones importantes en
el axioma de elecci´on y la hip´otesis del
continuo. Particularmente famosa es la curva
de Sierpinski, que llena todo el cuadrado
unidad.
P. Alexandroff (–)
En introdujo, junto con Uryshon, los
espacios numerablemente compactos, local-
mente compactos y compactos, tal y como
se conocen actualmente. En , estando
en la Universidad de Princeton, decidi´o junto
con Hopf publicar una obra, en 3 vol´umenes,
sobre Topolog´ıa, que no ver´ıa la luz hasta
. En ella, present´o la definici´on de
espacio topol´ogico en t´erminos de conjuntos
abiertos.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
19. 0
Conjuntos, aplicaciones y
n´umeros
En este cap´ıtulo presentamos los conceptos fundamentales sobre la teor´ıa de con-
juntos que nos ser´an muy ´utiles en el desarrollo de la asignatura. En primer lu-
gar recordamos las operaciones b´asicas: pertenecia, uni´on, intersecci´on y diferen-
cia. A continuaci´on introducimos el producto cartesiano de 2 o m´as conjuntos y
el conjunto potencia. Despu´es recordamos el concepto de aplicaci´on y sus dife-
rentes tipos: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, as´ı como la composici´on de apli-
caciones. Dedicamos una secci´on a los conjuntos finitos e infinitos, numerables y
no numerables, y finalizamos con una secci´on dedicada a los n´umeros reales y sus
principales propiedades.
0.1. Teor´ıa de conjuntos
A la hora de estudiar los conjuntos no se pretende elaborar una teor´ıa demasia-
do formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiado, de los objetivos de la
asignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otra
parte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, al
menos una idea intuitiva bastante razonable.
Para avanzar un poco tambi´en supondremos conocidos algunos conceptos b´asicos
sobre los conjuntos. No obstante, recordaremos brevemente, y sin entrar en mu-
chos detalles, las ideas necesarias para abordar un curso de introducci´on a la
Topolog´ıa de Espacios M´etricos.
19
20. 20 0.1. Teor´ıa de conjuntos
0.1.1. Operaciones b´asicas
Como siempre, fijaremos una notaci´on b´asica antes de empezar. La primera opera-
ci´on que se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si un
elemento a pertenece a un conjunto A escribiremos
a ∈ A,
mientras que utilizaremos el s´ımbolo ∈ para indicar que el objeto a no es un
elemento del conjunto A.
Utilizaremos la notaci´on A ⊂ B para indicar que todos los elementos de A son
tambi´en elementos de B. Entonces se dir´a que A es un subconjunto de B. Si
existe alg´un elemento de B que no est´a en A, entonces diremos que A es un
subconjunto propio de B, y se representar´a como A B.
Cuando se trabaja en alguna de las ´areas de Matem´aticas, normalmente se tiene
un conjunto de referencia que se suele llamar conjunto universal o conjunto to-
tal, y que nosotros denotaremos habitualmente por X. Por ejemplo, en geometr´ıa
eucl´ıdea plana este conjunto es el formado por todos los puntos del plano; en
otras ´areas de las matem´aticas, este conjunto puede ser el formado por todos los
n´umeros reales, o por todas las funciones, etc. En Topolog´ıa de Espacios M´etricos
ser´a un espacio m´etrico.
Dado un conjunto cualquiera A ⊂ X, definimos el complementario de A (en X),
y lo denotaremos por Ac o X − A, como el conjunto
Ac
= X − A = {x ∈ X : x ∈ A}.
Es necesario recordar tambi´en el concepto de conjunto vac´ıo, que representare-
mos por ∅, y que es el conjunto que no tiene ning´un elemento; lo consideraremos
finito y supondremos que est´a contenido en cualquier otro conjunto. Adem´as,
satisface las siguientes igualdades:
X − X = Xc
= ∅ y X − ∅ = ∅c
= X.
Dados dos conjuntos A y B, podemos definir tres operaciones elementales entre
ellos: la uni´on, la intersecci´on y la diferencia.
Uni´on de conjuntos
La uni´on de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A, a B o a ambos, y se representa por
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.
Los elementos que son comunes a ambos conjuntos no se duplican. Por ejemplo,
si A = {1, 2} y B = {2, 3}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3}. V´ease la Figura 1.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
21. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 21
;;;;;;;;;;A − BA ∩ BA ∪ B
A A A
BBB
Figura 1 – Uni´on, intersecci´on y diferencia de conjuntos.
Intersecci´on de conjuntos
La intersecci´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen simult´aneamente a los conjuntos A y B, y se representa como
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
La intersecci´on de dos conjuntos puede ser el conjunto vac´ıo. Por ejemplo, si
A = {1, 2} y B = {3, 4}, entonces A ∩ B = ∅. V´ease la Figura 1.
Diferencia de conjuntos
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
de A que no pertenecen a B, y se representa como
A − B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
El conjunto A − B se llama a veces el complemento o el complementario de B
en A. V´ease la Figura 1.
Ejemplos
Ej.0.1. Consideremos los conjuntos A y B (v´ease la Figura 2)definidos como:
A = {x ∈ R : (x − 1)2
< 4},
B = {x ∈ R : |x| > 2}.
Observemos que A = (−1, 3) y que B = (−∞, −2) ∪ (2, +∞). Vamos a
determinar los conjuntos A∪B, A∩B y A−B (tambi´en gr´aficamente). En
primer lugar, anal´ıticamente, los conjuntos se pueden expresar como sigue:
A ∪ B = {x ∈ R : x < −2 o x > −1}.
A ∩ B = {x ∈ R : 2 < x < 3} = (2, 3).
A − B = {x ∈ R : (x − 1)2 < 4 y |x| ≥ 2} = (−1, 2].
Gr´aficamente, dichos conjuntos est´an representados en la Figura 2.
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
22. 22 0.1. Teor´ıa de conjuntos
A:
B:
A∪B:
A∩B:
A-B:
43210-1-2-3
43210-1-2-3
43210-1-2-3
43210-1-2-3
43210-1-2-3
( )
) (
) (
( )
( ]
Figura 2 – Uni´on, intersecci´on y diferencia de dos conjuntos.
Algunos conjuntos de uso habitual.
Recordemos la notaci´on habitual para referirnos a los conjuntos de n´umeros:
N (n´umeros naturales o enteros positivos), Z (n´umeros enteros), Q (n´umeros
racionales), R (n´umeros reales) y C (n´umeros complejos).
Ejercicios y Problemas
P.0.1 Pruebe que A − B = A ∩ (X − B).
P.0.2 Estudie cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. En caso de
ser verdadera, demu´estrela; y si es falsa, encuentre un contraejemplo.
(a) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∪ C.
(b) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∩ C.
(c) A ⊂ B o A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∪ C.
(d) A ⊂ B y A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∩ C.
0.1.2. Otras operaciones
El producto cartesiano
Ya hemos visto que la uni´on (∪), la intersecci´on (∩) y la diferencia son opera-
ciones que nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo con-
junto. Pero tambi´en podemos construir el conjunto formado por todas las parejas
de elementos de ambos conjuntos.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
23. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 23
M´as precisamente, dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano A × B es
el conjunto definido por
A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}.
Dado que la notaci´on (x, y), cuando estamos trabajando en el conjunto R de los
n´umeros reales, indica tambi´en el intervalo abierto de extremos x e y, es posible
tambi´en utilizar la notaci´on x × y para indicar el elemento del conjunto A × B.
El conjunto potencia
¿Y qu´e ocurre cuando los elementos de un conjunto A son, a su vez, conjuntos?
Bueno, para evitar malentendidos y no caer en contradicciones, en este caso dire-
mos que A es una colecci´on de conjuntos o una familia de conjuntos. No obstante,
como suele ser habitual, tambi´en se utiliza el t´ermino conjunto de conjuntos. Uti-
lizaremos letras caligr´aficas para referirnos a las familias de conjuntos: A, B, etc.
El ejemplo m´as inmediato es el siguiente. Dado un conjunto A, el conjunto for-
mado por todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A y se
denota por P(A). Tambi´en se suele decir que P(A) es el conjunto de las partes
de A.
Ejemplos
Ej.0.2. Si A es el conjunto de tres elementos {a, b, c}, entonces el conjunto po-
tencia de A, P(A), es la colecci´on de (¡todos!) los subconjuntos de A.
As´ı pues:
P(A) = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Algunas propiedades.
Leyes distributivas: Son dos: (pru´ebelas como ejercicio)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Leyes de De Morgan: Tambi´en son dos:
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) y
A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).
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24. 24 0.1. Teor´ıa de conjuntos
Ejercicios y Problemas
P.0.3 Sean X e Y dos conjuntos, A, C ⊂ X y B, D ⊂ Y . Demuestre las
siguientes igualdades y contenidos:
(a) A × (B ∩ D) = (A ∩ B) × (A ∩ D).
(b) A × (B ∪ D) = (A ∪ B) × (A ∪ D).
(c) A × (Y − B) = (A × Y ) − (A × B).
(d) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
(e) (A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D). Encuentre un ejemplo
que muestre que la inclusi´on puede ser estricta.
(f) (X × Y ) − (A × B) = (X × (Y − B)) ∪ ((X − A) × Y ).
P.0.4 Demuestre las leyes de De Morgan.
P.0.5 Estudie cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Demu´estre-
las cuando lo sean y proporcione un contraejemplo en caso contrario.
(a) A ⊂ C y B ⊂ D ⇒ (A × B) ⊂ (C × D).
(b) (A × B) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D
(c) (A × B) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D, suponiendo que A y B son
no vac´ıos.
(d) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).
0.1.3. Familias de conjuntos
Las operaciones uni´on e intersecci´on que hemos definido para dos conjuntos se
pueden extender sin ninguna dificultad a una familia arbitraria de conjuntos.
Sea A una familia de conjuntos. Entonces la uni´on de los elementos de A se
define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de los
conjuntos de A y lo representaremos por
A∈A
A = {x : x ∈ A para alg´un A ∈ A}.
De modo similar, la intersecci´on de los elementos de A se define como el conjunto
formado por los elementos que pertenecen a todos los elementos de A, es decir,
A∈A
A = {x : x ∈ A para todo A ∈ A}.
Las leyes distributivas y de De Morgan que hemos visto anteriormente pueden
extenderse sin excesiva dificultad al caso de familias arbitrarias de conjuntos.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
25. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 25
Proposici´on 0.1.1 (Leyes distributivas). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia
arbitraria de conjuntos y B un conjunto. Entonces:
(1) B ∪ (
i∈I
Ai) =
i∈I
(B ∪ Ai).
(2) B ∩ (
i∈I
Ai) =
i∈I
(B ∩ Ai).
DEMOSTRACI ´ON. S´olo demostraremos la propiedad (1), pues la otra se prueba
de manera totalmente an´aloga.
Sea x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). Si x ∈ B, entonces x ∈ (B ∪ Ai) para todo i, por lo que
x ∈ ∩i∈I(B ∪ Ai). En otro caso, x ∈ ∩i∈IAi, por lo que x ∈ Ai para todo i.
Entonces x ∈ B ∪ Ai para todo i, por lo que estar´a en su intersecci´on.
Rec´ıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(B ∪ Ai) entonces x ∈ B ∪ Ai para todo i; si x ∈ B
entonces tambi´en x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). En otro caso, x ∈ Ai para todo i, es decir,
x ∈ ∩i∈IAi, y as´ı x ∈ B ∪ (∩i∈IAi).
Proposici´on 0.1.2 (Leyes de De Morgan). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia
arbitraria de subconjuntos de un conjunto dado X. Entonces:
(1) X − (
i∈I
Ai) =
i∈I
(X − Ai).
(2) X − (
i∈I
Ai) =
i∈I
(X − Ai).
DEMOSTRACI ´ON. Probaremos s´olo el apartado (1), pues el (2) es totalmente
an´alogo.
Si x ∈ X − (∪i∈IAi) entonces x ∈ Ai para todo i, de modo que x ∈ X − Ai
para todo i, luego x ∈ ∩i∈I(X − Ai). Rec´ıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(X − Ai)
entonces x ∈ Ai para todo i, por lo que x ∈ ∪i∈IAi; entonces debe estar en su
complementario.
Para finalizar esta secci´on enunciamos el siguiente resultado acerca de la diferen-
cia de conjuntos.
Proposici´on 0.1.3. Sean A y B dos subconjuntos de X. Entonces se verifica lo
siguiente:
(1) A − (A − B) = A ∩ B.
(2) A − (A ∩ B) = A − B.
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26. 26 0.2. Aplicaciones
DEMOSTRACI ´ON. La prueba es bastante sencilla y basta repetir las ideas expues-
tas en las demostraciones anteriores. Demostremos, por ejemplo, el apartado (1).
Si x ∈ A − (A − B) entonces x ∈ A y x ∈ A − B. Esta segunda condici´on
implica que x ∈ B. Entonces x ∈ A∩B. Rec´ıprocamente, si x ∈ A∩B entonces
x ∈ A y x ∈ B, que implica x ∈ A y x ∈ A − B. Y as´ı x ∈ A − (A − B).
0.2. Aplicaciones
En esta secci´on nos proponemos recordar otro concepto igual de importante que
el de conjunto: el concepto de aplicaci´on o funci´on. Grosso modo, una aplicaci´on
entre dos conjuntos A y B es una regla que asigna a cada elemento del conjunto
A otro elemento del conjunto B.
x
X
Y
f (x) = y
f
Figura 3 – Aplicaci´on entre dos conjuntos X e Y .
Definici´on 0.2.1. Sean X e Y dos conjuntos. Una aplicaci´on (tambi´en se le lla-
ma funci´on) f entre X e Y es una correspondencia o regla de asignaci´on entre
ellos tal que a cada punto x de un subconjunto de X (dicho subconjunto puede
coincidir con X), se le asocia un ´unico punto y de Y , denominado imagen de x y
denotado por f(x). La denotaremos por
f : X −→ Y o X
f
−→ Y
X se llama el origen de f e Y se llama recorrido o rango de f. El subconjunto
de X en el que est´a definida f se denomina dominio y se denota por Dom(f); el
subconjunto de Y formado por todas las im´agenes de elementos del dominio se
denomina conjunto imagen y se denota por Im(f).
Una funci´on f : X −→ Y puede ser considerada como un subconjunto del pro-
ducto cartesiano X × Y con la propiedad de que cada elemento de X aparece
como la primera coordenada de, a lo sumo, un par ordenado. Podemos concebir f
como el conjunto Γ(f) definido por
Γ(f) = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ Dom(f), y = f(x)}
y que denominaremos gr´afica de f o grafo de f.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
27. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 27
Definici´on 0.2.2. Sea f : X −→ Y una funci´on y sea A ⊂ X. El conjunto
imagen de A por f, que denotaremos por f(A), es el subconjunto de Y formado
por todas las im´agenes de los elementos de A, es decir:
f(A) = {y ∈ Y : y = f(x) para alg´un x ∈ A}.
La aplicaci´on f restringida al subconjunto A se denomina la restricci´on de f a
A y se denota por f|A.
Ejemplos
Ej.0.3. Sean las aplicaciones f : R −→ R, y g : R −→ R+, donde R+ denota
los n´umeros reales no negativos definidas como f(x) = x4 y g(x) = x4.
Es f´acil ver que dichas aplicaciones son distintas, ya que aunque est´an
definidas de la misma manera y tienen el mismo origen, sin embargo el
recorrido de ambas funciones es distinto.
Definici´on 0.2.3. Sea f : X −→ Y una funci´on y sea B ⊂ Y . La imagen inversa
de B por f, que denotaremos por f−1(B), es el subconjunto de X formado por
todos los elementos cuya imagen pertenece a B, es decir:
f−1
(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.
Si B es un conjunto unipuntual, por ejemplo B = {y}, usaremos la notaci´on
f−1(y) para referirnos a f−1({y}).
Tambi´en es importante tener en cuenta que f−1(B) no es m´as que una notaci´on,
y el s´ımbolo f−1 no indica que exista una aplicaci´on entre Y y X que sea inversa
de f.
Proposici´on 0.2.4. Sea f : X −→ Y una aplicaci´on y consideremos los subcon-
juntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisfacen:
(1) A ⊂ f−1(f(A)).
(2) f(f−1(B)) ⊂ B.
DEMOSTRACI ´ON. La demostraci´on de ambas propiedades es inmediata y se le
propone como ejercicio.
Las inclusiones que aparecen en la proposici´on anterior no son, en general, igual-
dades. Pueden encontrarse ejemplos de funciones donde las inclusiones son propias.
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28. 28 0.2. Aplicaciones
Ejemplos
Ej.0.4. A continuaci´on mostramos dos ejemplos de funciones f en los que las
inclusiones de la Proposici´on 0.2.4 son estrictas.
(1) Consideremos f : R −→ R, f(x) = x2, y el conjunto A = [1,
√
2].
Entonces f(A) = [1, 2] y por tanto
f−1
(f(A)) = [−
√
2, −1] ∪ [1,
√
2] A.
(2) Consideremos f : R −→ R, f(x) = sen x, y el conjunto B = [−2, 2].
Entonces f−1([−2, 2]) = R pero
f(f−1
(B)) = [−1, 1] B.
Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones en relaci´on con las inclu-
siones, las uniones, las intersecciones y las diferencias. Las demostraciones se le
proponen, de nuevo, como ejercicio.
Proposici´on 0.2.5. Sea f : X → Y y sean Bi ⊂ Y para i = 1, 2. Entonces:
(a) B1 ⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2).
(b) f−1(B1 ∪ B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2).
(c) f−1(B1 ∩ B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).
(d) f−1(B1 − B2) = f−1(B1) − f−1(B2).
Proposici´on 0.2.6. Sea f : X → Y y sean Ai ⊂ X para i = 1, 2. Entonces:
(a) A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2).
(b) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).
(c) f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).
(d) f(A1 − A2) ⊃ f(A1) − f(A2).
La generalizaci´on de los apartados (b) y (c) de la Proposici´on 0.2.5 a un n´umero
arbitrario de subconjuntos de Y se enuncia a continuaci´on. Haga, como ejercicio
la demostraci´on.
Proposici´on 0.2.7. Sea {Bi ⊂ Y : i ∈ I} una familia de subconjuntos de Y .
Entonces se verifica:
(1) f−1
(
i∈I
Bi) =
i∈I
f−1
(Bi).
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29. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 29
(2) f−1
(
i∈I
Bi) =
i∈I
f−1
(Bi).
A continuaci´on se generalizan los apartados (b) y (c) de la Proposici´on 0.2.6 a
un n´umero arbitrario de subconjuntos de X. La demostraci´on, como en el caso
anterior, se deja como ejercicio.
Proposici´on 0.2.8. Sea {Ai ⊂ X : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X.
Entonces se verifica:
(1) f(
i∈I
Ai) =
i∈I
f(Ai).
(2) f(
i∈I
Ai) ⊂
i∈I
f(Ai).
0.2.1. Tipos de aplicaciones
Definici´on 0.2.9. Una aplicaci´on f : X → Y se dice que es inyectiva (o uno-a-
uno) si para cada par de puntos distintos de X, sus im´agenes por f son distintas.
Se dice que es sobreyectiva (o que f aplica X sobre Y ) si cada elemento de Y
es la imagen por la funci´on f de alg´un elemento de X. Si f es a la vez inyectiva
y sobreyectiva, se dice que es biyectiva (o se llama una correspondencia uno-a-
uno).
Cuando f es biyectiva entonces existe una aplicaci´on de Y en X, denominada
inversa de f, que se representa por f−1 : Y −→ X, definida como f−1(y) = x,
donde x es el ´unico elemento de X tal que f(x) = y.
Ejercicios y Problemas
P.0.6 Conteste las siguientes preguntas, justificando las respuestas.
(a) ¿Cu´al de las siguientes funciones f : R −→ R es inyectiva?
f(x) = x3
, f(x) = x2
, f(x) = tan(x).
(b) ¿Cu´al de las siguientes funciones f : R −→ R es sobreyectiva?
f(x) = x3
, f(x) = x2
, f(x) = tan(x).
(c) ¿Cu´al de las siguientes funciones f : R −→ R es biyectiva?
f(x) = x4
, f(x) = x7
, f(x) = cos(x).
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30. 30 0.2. Aplicaciones
f(x) = x2
f(x) = x3
f(x) = cos(x) f(x) = tan(x)
Figura 4 – Gr´aficas de algunas funciones.
Proposici´on 0.2.10. Sea f : X −→ Y una aplicaci´on y consideremos los sub-
conjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisface:
(1) Si f es inyectiva entonces A = f−1(f(A)).
(2) Si f es sobreyectiva entonces f(f−1(B)) = B.
DEMOSTRACI ´ON. La demostraci´on de ambas propiedades es inmediata y se le
propone como ejercicio.
Para completar las propiedades indicadas en la Proposici´on 0.2.6, presentamos el
siguiente resultado.
Proposici´on 0.2.11. Sea f : X → Y una aplicaci´on inyectiva y sean Ai ⊂ X
para i = 1, 2. Entonces:
(a) f(A1 ∩ A2) = f(A1) ∩ f(A2).
(b) f(A1 − A2) = f(A1) − f(A2).
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31. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 31
0.2.2. Composici´on de aplicaciones
Para construir nuevas aplicaciones a partir de otras dadas, podemos restringir los
conjuntos origen o modificar los rangos de las mismas, como ya hemos visto. Otro
mecanismo para formar nuevas aplicaciones es componerlas.
x
X
Y
g
g(f (x )) = g (y) = z
Z
f (x) = y
f
Figura 5 – Composici´on entre dos aplicaciones.
Definici´on 0.2.12. Sean las funciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Se define
la composici´on g ◦ f de f y g como la aplicaci´on g ◦ f : X −→ Z dada por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Ejemplos
Ej.0.5. La composici´on g ◦ f de las aplicaciones siguientes
f : R −→ R, f(x) = 3x3 + 7,
g : R −→ R, g(x) = 4x2.
es la funci´on (g ◦ f)(x) = 4(3x3 + 7)2.
Proposici´on 0.2.13. Sean f : X → Y y g : Y → Z. Se verifica lo siguiente:
(a) Si C ⊂ Z, entonces (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)).
(b) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.
(c) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
(d) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.
(e) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
DEMOSTRACI ´ON. La demostraci´on se le propone como ejercicio.
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32. 32 0.3. Conjuntos finitos y numerables
0.3. Conjuntos finitos y numerables
En esta ´ultima parte del cap´ıtulo vamos a introducir algunos tipos destacados de
conjuntos: finitos, infinitos, numerables y no numerables.
0.3.1. Conjuntos finitos
Dediquemos unas palabras a los conjuntos m´as sencillos: los finitos.
Definici´on 0.3.1. Un conjunto X se dice que es finito si existe un n´umero natural
n y una aplicaci´on biyectiva entre X y el conjunto {1, . . . , n}. El n´umero n se
llama el cardinal de X. Si X = ∅ entonces su cardinal es 0.
Algunas propiedades relativas a los conjuntos finitos son las siguientes.
Proposici´on 0.3.2. (1) Si X es finito, entonces no existe una aplicaci´on biyec-
tiva entre X y un subconjunto propio de X.
(2) El cardinal de un conjunto finito X est´a un´ıvocamente determinado por el
conjunto X.
(3) Si A es un subconjunto de un conjunto finito X, entonces A es finito. Si A es
un subconjunto propio, entonces el cardinal de A es menor que el cardinal
de X.
DEMOSTRACI ´ON. La demostraci´on de estas propiedades no es nada trivial, en
contra de lo que pudiera pensarse a primera vista. Las claves son las dos propieda-
des siguientes, que enunciamos sin demostraci´on:
(a) Sea n un entero positivo. Sean X un conjunto y x0 un elemento de X.
Entonces existe una aplicaci´on biyectiva f entre el conjunto X y el conjunto
{1, . . . , n + 1} si, y s´olo si, existe una aplicaci´on biyectiva del conjunto
X − {x0} con {1, . . . , n}.
(b) Sea X un conjunto y supongamos que f : X → {1, . . . , n} es una apli-
caci´on biyectiva para alg´un n ∈ N. Sea A un subconjunto propio de X.
Entonces no existe biyecci´on alguna g : A → {1, . . . n}, y si B = ∅
entonces existe una aplicaci´on biyectiva h : A → {1, . . . , m} para alg´un
m < n.
Ejemplos
Ej.0.6. El conjunto N de los n´umeros naturales no es finito ya que la funci´on
f : N → N − {1}, definida por f(n) = n + 1, es una biyecci´on entre N y
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33. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 33
un subconjunto propio de s´ı mismo, lo que contradice el apartado (1) de la
Proposici´on 0.3.2.
Proposici´on 0.3.3. Si X es un conjunto no vac´ıo, son equivalentes:
(1) X es finito.
(2) Existe un n´umero natural n y una aplicaci´on f : {1, . . . , n} −→ X so-
breyectiva.
(3) Existe un n´umero natural n y una aplicaci´on f : X −→ {1, . . . , n} inyec-
tiva.
DEMOSTRACI ´ON. Se le propone como ejercicio.
Proposici´on 0.3.4. Las uniones finitas y los productos cartesianos finitos de con-
juntos finitos son finitos.
DEMOSTRACI ´ON. Lo veremos s´olo para el caso de dos conjuntos. La demostra-
ci´on en el caso general es an´aloga y se realiza por inducci´on en el n´umero de
conjuntos.
Demostraremos primero que si X e Y son conjuntos finitos, tambi´en lo es X ∪Y .
Si X o Y es vac´ıo no hay nada que probar. En caso contrario, existir´an biyecciones
f : {1, . . . , m} → X y g : {1, . . . , n} → Y para determinados m y n. Definimos
entonces una funci´on h : {1, . . . , m + n} → X ∪ Y de la forma h(i) = f(i) si
i = 1, 2, . . . , m y h(i) = g(i − m) si i = m + 1, . . . , m + n. Es f´acil ver que h
es sobreyectiva, de lo que se deduce que X ∪ Y es finito.
Veamos ahora que el producto cartesiano de dos conjuntos finitos X e Y tambi´en
es finito. Dado x ∈ X, el conjunto {x}×Y es finito, pues tiene el mismo cardinal
que Y . Pero X ×Y es la uni´on de estos conjuntos, por lo que X ×Y es una uni´on
finita de conjuntos finitos, y por tanto finito.
0.3.2. Conjuntos numerables
Definici´on 0.3.5. Todo conjunto X que no sea finito se dice que es infinito. Si
X es un conjunto infinito que est´a en correspondencia biyectiva con N, entonces
se dice que es infinito numerable. En otro caso X se dice que es infinito no
numerable. Diremos que X es numerable si es finito o infinito numerable.
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34. 34 0.3. Conjuntos finitos y numerables
Ejemplos
Ej.0.7. Todo subconjunto A ⊂ N de los n´umeros naturales es numerable. Supon-
gamos que A es infinito. Vamos a construir una aplicaci´on biyectiva f entre
A y N. f(1) ser´a el menor elemento de A y, entonces llamaremos
A1 = A − {f(1)};
f(2) ser´a el menor elemento de A1 y ahora llamaremos
A2 = A1 − {f(2)} = A − {f(1), f(2)};
y as´ı sucesivamente. En general, sea f(m) el menor elemento de Am−1
y denotemos Am = Am−1 − {f(m)}. Como A no es finito, el proceso
anterior no acaba y para cada m ∈ N existe f(m) > f(i), para i < m.
Es f´acil ver que f es una aplicaci´on biyectiva (observemos que f(m) ≥ m
para todo m).
La siguiente propiedad es an´aloga a la Proposici´on 0.3.3, pero en t´erminos de los
conjuntos numerables.
Proposici´on 0.3.6. Si X es un conjunto no vac´ıo, entonces son equivalentes:
(1) X es numerable.
(2) Existe una aplicaci´on sobreyectiva f : N → X.
(3) Existe una aplicaci´on inyectiva g : X → N.
Hagamos un inciso aqu´ı para referirnos a las aplicaciones f : N → X. Este
tipo de aplicaciones se denominan sucesiones y habitualmente se denotan como
(xn)∞
n=1 o {xn}∞
n=1, donde xn = f(n). No debemos confundir una sucesi´on con
su conjunto imagen.
Proposici´on 0.3.7. Si A es un subconjunto de un conjunto numerable X, entonces
A es tambi´en numerable.
DEMOSTRACI ´ON. Como X es numerable, existe una aplicaci´on f : N −→ X
sobreyectiva. Definimos una aplicaci´on g : X −→ A por la condici´on g|A = 1,
de modo que h = g ◦ f : N −→ A es una aplicaci´on sobreyectiva, lo que implica
que A es numerable.
Lema 0.3.8. El producto finito de copias de N es un conjunto numerable.
DEMOSTRACI ´ON. Lo demostraremos para el producto N × N; el caso general se
hace por inducci´on en el n´umero de copias.
Ordenemos el conjunto N × N de la siguiente forma:
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
35. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 35
(1,1) (1,2) (1,3) ...
(2,1) (2,2) (2,3) ...
(3,1) (3,2) (3,3) ...
...
...
...
...
¨¨¨%
¨¨¨
¨¨¨%
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨%
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨%
Es f´acil ver que la aplicaci´on f : N −→ N × N, representada por el gr´afico ante-
rior, es una aplicaci´on sobreyectiva. Expl´ıcitamente, la funci´on f anterior puede
definirse como sigue. Si ponemos f(k) = (m(k), n(k)), entonces
m(k) = k −
r(r − 1)
2
n(k) = r + 1 − m
donde r es el ´unico n´umero natural tal que
r(r − 1)
2
< k ≤
(r + 1)r
2
.
Los conjuntos numerables satisfacen las siguientes propiedades.
Proposici´on 0.3.9. (1) La uni´on numerable de conjuntos numerables es un
conjunto numerable.
(2) El producto finito de conjuntos numerables es un conjunto numerable.
DEMOSTRACI ´ON. (1) Sea {Xi}i∈I una familia numerable de conjuntos numera-
bles y supongamos, sin p´erdida de generalidad, que cada conjunto Xi es no vac´ıo.
Como cada Xi es numerable, para cada i existe una aplicaci´on fi : N → Xi
sobreyectiva. Pero I tambi´en es numerable, por lo que es posible encontrar otra
aplicaci´on sobreyectiva g : N → I. Ahora definimos
h : N × N → X =
i∈I
Xi
mediante la ecuaci´on
h(k, m) = fg(k)(m).
Es f´acil ver que h es sobreyectiva. Como N×N es numerable, podemos encontrar
una aplicaci´on sobreyectiva de N en X, lo que concluye la demostraci´on.
(2) Supongamos X e Y dos conjuntos numerables no vac´ıos. Elegimos apli-
caciones sobreyectivas f : N → X y g : N → Y . Entonces, la aplicaci´on
h : N × N → X × Y definida mediante la ecuaci´on h(n, m) = (f(n), g(m))
es sobreyectiva y, por tanto, X × Y es numerable.
La demostraci´on en el caso general se realiza por inducci´on en el n´umero de fac-
tores del producto.
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
36. 36 0.4. Los n´umeros reales
Ejemplos
Ej.0.8. El conjunto Q de los n´umeros racionales es numerable. Observemos que
el conjunto Z de los n´umeros enteros es numerable, ya que es la uni´on de
tres conjuntos numerables: Z = N∪(−N)∪{0}. Pero Q se puede considerar
incluido en Z × Z, que es numerable, y por tanto es tambi´en numerable.
Ej.0.9. El intervalo [0, 1] ⊂ R no es numerable. Por tanto, R tampoco es numer-
able. En efecto, supongamos que [0, 1] es numerable y consideremos una
enumeraci´on del mismo: {x1, x2, . . . , }, es decir, supongamos que existe
una funci´on sobreyectiva f : N −→ [0, 1], xn = f(n). Expresemos cada
n´umero xn en notaci´on decimal:
x1 = 0 a11a12 · · · a1n · · ·
x2 = 0 a21a22 · · · a2n · · ·
· · ·
Podemos suponer que cada xn tiene infinitos decimales; en efecto, en caso
contrario podemos considerar la expresi´on alternativa consistente en una
sucesi´on infinita de 9. Por ejemplo, 1/2 = 0 5 se puede escribir como
0 499999 · · · .
Definimos el n´umero y = 0 b1b2 · · · bn · · · mediante bi = aii y bi = 0. Es
claro que y = xi para todo i, por lo que y ∈ [0, 1], lo cual es absurdo.
Ejercicios y Problemas
P.0.7 Demuestre que el conjunto de los n´umeros irracionales no es numerable.
P.0.8 Sea Xω el conjunto formado por todas las aplicaciones de N en {0, 1}, es
decir:
Xω
= {f : N −→ {0, 1} : f es una aplicaci´on}.
Siguiendo las mismas ideas del Ejemplo Ej.0.9., demuestre que el conjunto
Xω no es numerable.
0.4. Los n´umeros reales
Para finalizar este cap´ıtulo, recordemos algunas de las principales propiedades de
los n´umeros reales.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
37. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 37
En el conjunto R de los n´umeros reales podemos definir dos operaciones binarias
+ y ·, llamadas suma y multiplicaci´on, respectivamente, y una relaci´on de orden
< sobre R, tales que se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades algebraicas
(1) (x + y) + z = x + (y + z),
(x · y) · z = x · (y · z) para todo x, y, z en R.
(2) x + y = y + x,
x · y = y · x para todo x, y en R.
(3) Existe un ´unico elemento de R llamado cero, representado por 0, de forma
que x + 0 = x para todo x ∈ R.
Existe un ´unico elemento de R llamado uno, distinto de 0 y representado
por 1, tal que x · 1 = x para todo x ∈ R.
(4) Para cada x ∈ R existe un ´unico y ∈ R tal que x + y = 0.
Para cada x ∈ R distinto de 0 existe un ´unico y ∈ R tal que x · y = 1.
(5) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) para todo x, y, z ∈ R.
Una propiedad mixta algebraica y de orden
(6) Si x > y, entonces x + z > y + z.
Si x > y y z > 0, entonces x · z > y · z.
Otras propiedades
(7) La relaci´on de orden < verifica la propiedad del supremo.
(8) Si x < y, existe un elemento z tal que x < z y z < y.
La “propiedad del supremo” se puede definir tambi´en para un conjunto orde-
nado arbitrario. En primer lugar, necesitamos algunas definiciones preliminares.
Supongamos que X es un conjunto ordenado por la relaci´on < y sea A un sub-
conjunto de X. Decimos que un elemento b es el m´aximo de A si b ∈ A y si
x ≤ b para todo x ∈ A. Es f´acil ver que un conjunto tiene, a lo sumo, un m´aximo.
El subconjunto A de X est´a acotado superiormente si existe un elemento b de
X tal que x ≤ b para todo x ∈ A; el elemento b se denomina una cota superior
para A. Si el conjunto de todas las cotas superiores de A tiene un m´ınimo, ese
elemento se denomina el extremo superior o supremo de A. Se representa por
sup A y puede pertenecer o no a A. Si pertenece, es el m´aximo de A.
Ahora ya podemos definir la propiedad del supremo.
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
38. 38 0.4. Los n´umeros reales
Definici´on 0.4.1. Un conjunto ordenado A se dice que tiene la propiedad del
supremo si todo subconjunto no vac´ıo A de X que est´e acotado superiormente
tiene supremo.
An´alogamente se pueden definir los conceptos de m´ınimo, conjunto acotado infe-
riormente, extremo inferior o ´ınfimo y la propiedad del ´ınfimo.
Un n´umero real es positivo si x > 0, y negativo si x < 0. Los reales positivos
se denotar´an por R+. Las propiedades (1)-(5) implican que R es un cuerpo; y la
propiedad (6) nos permite decir que es un cuerpo ordenado.
Por otro lado, las propiedades (7) y (8) implican s´olo a la relaci´on de orden; por
satisfacer estas propiedades, se dice que R es un continuo lineal.
Otra propiedad interesante de los n´umeros reales es la propiedad arquimediana,
de la que presentamos dos versiones.
Proposici´on 0.4.2 (Propiedad arquimediana, v.1). Para cualquier n´umero real
positivo > 0, existe un n´umero natural n tal que n > 1.
Proposici´on 0.4.3 (Propiedad arquimediana, v.2). Para cualquier par de n´umero
reales x < y, existe un n´umero racional q tal que x < q < y.
Ejercicios y Problemas
P.0.9 Demuestre que A tiene la propiedad del supremo si, y s´olo si, tiene la
propiedad del ´ınfimo.
P.0.10 Calcule los siguientes conjuntos:
(a) n∈N(− 1
n, 1
n )
(b) n∈Z(n − 1, n + 1)
(c) n∈N(−n, n)
(d) n∈N(−n, n)
P.0.11 Calcule la diferencia A − B en cada caso:
(a) A = [0, 1] (b) A = (−1, 1]
B = (−1, 0) B = [−1, 1].
P.0.12 Dados los conjuntos A, B y C, exprese cada uno de los siguientes con-
juntos en t´erminos de A, B y C, utilizando los s´ımbolos ∪, ∩ y −:
D = {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)},
E = {x : (x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C},
F = {x : x ∈ A y (x ∈ B ⇒ x ∈ C)}.
P.0.13 Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se pueden poner en correspon-
dencia biyectiva. Pruebe lo siguiente:
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39. 0. Conjuntos, aplicaciones y n´umeros 39
(1) R y el intervalo (−1, 1) tienen el mismo cardinal.
(2) Dos intervalos abiertos acotados tienen el mismo cardinal.
(3) R tiene el mismo cardinal que cualquier intervalo (a, b).
P.0.14 Sea R el conjunto de los n´umeros reales. Determine si cada uno de los
siguientes subconjuntos de R × R es igual al producto cartesiano de dos
subconjuntos de R.
(a) {(x, y) : x es un entero}.
(b) {(x, y) : 0 < y ≤ 1}.
(c) {(x, y) : y > x}.
(d) {(x, y) : x no es un entero e y es un entero}.
(e) {(x, y) : x2 + y2 < 1}.
P.0.15 Sea f : R → R la funci´on f(x) = x3 −x. Restringiendo adecuadamente
el dominio y el rango de f, obtenga a partir de f una funci´on biyectiva g.
Dibuje las gr´aficas de g y g−1 (hay diferentes elecciones posibles para g).
P.0.16 Represente gr´aficamente los siguientes subconjuntos de R2:
A = {(x, y) : x ∈ [n, n + 1], y ∈ [n, n + 1] para alg´un n ∈ Z}
B = {(x, y) : 0 ≤ x − y ≤ 1}
C = {(x, y) : 1 < x2 + y2 ≤ 4}
D = {(x, y) : 1 < x2 ≤ 4}
E = {(x, y) : (x + 2)2 + (y − 1)2 < 16; x ≤ y}
F = {(x, y) : |xy| > 1} ∪ {(0, 0)}
P.0.17 Considere las funciones f, g : R −→ R dadas por f(x) = 2x + 1 y
g(x) = x2 − 2. Determine expl´ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y
g ◦ f.
P.0.18 Sea el intervalo A = [−1, 1] y considere las funciones f, g, h : A −→ A
definidas por f(x) = sen x, g(x) = sen(πx) y h(x) = sen(πx/2). Estudie
si estas funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
P.0.19 Considere la funci´on f : R −→ R definida por f(x) = x2. Calcule:
(a) f−1(25)
(b) f−1({x : x ≥ 0})
(c) f−1({x : 4 ≤ x ≤ 25})
P.0.20 Calcule los siguientes conjuntos:
(a) n∈N[0, 1
n ]
(b) n∈N(0, 1
n ]
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40. 40 0.4. Los n´umeros reales
(c) n∈N[0, 1
n)
(d) n∈N[n, +∞)
P.0.21 ¿Son ciertas o falsas las siguientes igualdades? Razone la respuesta.
∞
n=1
0, 1 −
1
n
= [0, 1]
∞
n=1
a −
1
n
, b +
1
n
= [a, b]
P.0.22 Sea A un conjunto cualquiera y, para todo x ∈ A, sea Gx un subconjunto
de A tal que x ∈ Gx ⊂ A. Demuestre que A = ∪x∈AGx.
P.0.23 Considere las familias de conjuntos An = {x : x es m´ultiplo de n},
n ∈ N, y Bm = [m, m + 1], m ∈ Z. Determine los siguientes conjuntos:
(a) A3 ∩ A5
(b) i∈P Ai, donde P denota el conjunto de los n´umeros primos.
(c) B3 ∩ B4
(d) m∈Z Bm
(e) A5 ∩ ( m≥7 Bm)
P.0.24 Para toda aplicaci´on f : X −→ Y se define la aplicaci´on asociada ˆf
entre los conjuntos potencia ˆf : P(X) −→ P(Y ) como sigue:
ˆf(A) = {y ∈ Y : y = f(x) para alg´un x ∈ A}.
Demuestre que si f es inyectiva entonces ˆf tambi´en lo es.
P.0.25 Sean f, g : R −→ R las funciones definidas como:
f(x) =
2x − 5 si x > 2
x2 − 2|x| si x ≤ 2
y g(x) = 3x + 1.
Encuentre: (a) (g ◦ f)(1), (b) (f ◦ g)(2), (c) (f ◦ f)(3). ¿Puede determinar
expl´ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f?
P.0.26 Sea g : X −→ X una funci´on constante g(x) = x0 para todo x ∈ X.
Demuestre que para cualquier funci´on f : X −→ X la composici´on g ◦ f
es constante e igual a x0. ¿Qu´e puede decirse de f ◦ g?
P.0.27 Demuestre que una aplicaci´on f : X −→ Y es biyectiva si, y s´olo si,
f(Ac) = [f(A)]c para todo A ⊂ X.
P.0.28 Demuestre que todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito
numerable.
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41. 1
Espacios m´etricos
En este primer cap´ıtulo, se introduce la noci´on de Espacio m´etrico y de subes-
pacio m´etrico, estudiando numerosos ejemplos y propiedades b´asicas. Se intro-
duce la noci´on de topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico introduciendo las bolas
abiertas y a a partir de aqu´ı se estudian los conjuntos abiertos, los cerrados y sus
propiedades. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas:
Utilizar los conceptos b´asicos asociados a la noci´on de espacio m´etrico.
Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ıa m´etrica.
Construir ejemplos de espacios m´etricos usando las nociones de subespacio
m´etrico y espacio m´etrico producto.
Se desarrollar´an los contenidos siguientes:
Distancia. Espacio m´etrico. Distancias en R y Rn.
Ejemplos de espacios m´etricos.
Subespacio m´etrico.
Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos.
Bolas. Topolog´ıa asociada a una m´etrica.
Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades.
Producto de espacios m´etricos.
41
42. 42 1.1. Distancias
1.1. Distancias
Definici´on 1.1.1. Dado un conjunto X, una distancia sobre X, es una aplicaci´on
d : X × X −→ R que a cada par de puntos x, y ∈ X le asocia un n´umero real
d(x, y), que cumple las siguientes condiciones:
(1) d(x, y) ≥ 0.
(2) d(x, y) = 0 si, y s´olo si, x = y (separaci´on).
(3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetr´ıa).
(4) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) para todo x, y, z ∈ X (desigualdad triangular).
Definici´on 1.1.2. Un espacio m´etrico es un par (X, d), donde X es un conjunto
y d es una distancia definida en X.
Ejemplos
Ej.1.1. En el conjunto de los n´umeros reales R podemos definir una distancia
tomando el valor absoluto de la diferencia, es decir, d : R×R → R definida
como d(x, y) = |x − y|. Las condiciones de distancia se deducen inmedia-
tamente de las propiedades conocidas del valor absoluto. A esta distancia le
llamaremos distancia usual de R.
Ej.1.2. El espacio m´etrico discreto. Sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera;
definimos una distancia dD como sigue:
dD(x, y) =
0 si x = y
1 si x = y
Esta distancia se llama distancia discreta y verificar las condiciones de dis-
tancia se reduce a una mera comprobaci´on. Observemos adem´as que cam-
biando el 1 por cualquier otro valor num´erico obtenemos otra distancia,
tambi´en discreta.
Las dos siguientes desigualdades, ser´an ´utiles en el desarrollo de los dos pr´oximos
ejemplos que juegan un importante papel.
Lema 1.1.3. Si a1, a2, . . . , an y b1, b2, . . . , bn son n´umeros reales cualesquiera,
entonces, se cumplen:
(a) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
n
i=1
aibi
2
≤
n
i=1
a2
i
n
i=1
b2
i .
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43. 1. Espacios m´etricos 43
(b) (Desigualdad de Minkowski)
n
i=1
(ai + bi)2
1/2
≤
n
i=1
a2
i
1/2
+
n
i=1
b2
i
1/2
.
DEMOSTRACI ´ON. Veamos en primer lugar la desigualdad (a) de Cauchy-Schwarz.
Dado cualquier n´umero x ∈ R se verifica que n
i=1(aix+bi)2 ≥ 0. Si desarrolla-
mos el cuadrado y agrupamos tendremos que Ax2 + 2Bx + C ≥ 0, tomando
A = n
i=1 a2
i , B = n
i=1 aibi y C = n
i=1 b2
i .
En estos t´erminos, lo que queremos probar es que B2 ≤ AC. Si A = 0 entonces
ai = 0 para todo i la desigualdad se verifica claramente. Si A = 0 podemos poner
0 ≤ Ax2
+ 2Bx + C = A x +
B
A
2
+
AC − B2
A
para todo x ∈ R. La ´ultima expresi´on es m´ınima si x = −B
A y si sustituimos dicha
expresi´on obtenemos
0 ≤
AC − B2
A
, lo cual implica AC − B2
≥ 0
y, por tanto, B2 ≤ AC; con lo que queda demostrada la desigualdad.
Por ´ultimo, observemos que demostrar la desigualdad de Minkowski, es equiva-
lente a demostrar la desigualdad
n
i=1
(ai + bi)2
≤
n
i=1
a2
i +
n
i=1
b2
i + 2
n
i=1
a2
i
1/2 n
i=1
b2
i
1/2
Si desarrollamos el binomio de la izquierda
n
i=1
(ai + bi)2
=
n
i=1
a2
i +
n
i=1
b2
i + 2
n
i=1
aibir
Con lo cual, s´olo queda simplificar y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz
(1.1.3)(a) anterior.
Sigamos con m´as ejemplos de distancias y, por tanto de espacios m´etricos.
Ejemplos
Ej.1.3. Sea X = R2. Para los puntos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) se definen las
aplicaciones:
d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|,
d2(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2,
d∞(x, y) = m´ax(|x1 − y1|, |x2 − y2|).
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44. 44 1.1. Distancias
Las tres aplicaciones son distancias en el plano (una demostraci´on de esto la
proporcionaremos en el siguiente ejemplo). Las funciones anteriores miden
la distancia de una forma distinta, y en la siguiente Figura 1.1 se puede ver
una representaci´on gr´afica de cada una ellas:
x
y
x
y
d1(x, y) d2(x, y)
x
y
x
y
d∞(x, y) con |x2 − y2| > |x1 − y1| d∞(x, y) con |x1 − y1| > |x2 − y2|
Figura 1.1 – Gr´aficos de d1, d2 y d∞.
Las tres distancias son generalizaciones de la distancia usual que hemos
definido en R y las tres tienen nombre propio: d1 se llama la distancia del
taxi, d2 se llama la distancia eucl´ıdea o usual y d∞ se llama la distancia
del ajedrez o del m´aximo.
Ej.1.4. El Ejemplo Ej.1.3. anterior se puede generalizar f´acilmente a Rn como
sigue. Sean los puntos x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de Rn. Se
definen:
d1(x, y) =
n
i=1
|xi − yi|,
d2(x, y) =
n
i=1
(xi − yi)2
1/2
,
d∞(x, y) = m´ax{|xi − yi|; i = 1, . . . , n}.
La prueba de que d1 y d∞ son distancias es una mera comprobaci´on. En
efecto, tal y como se han definido, las dos son no negativas; adem´as como
|xi − yi| = 0 y (xi − yi)2 = 0 si, y s´olo si, xi = yi se cumple la condici´on
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45. 1. Espacios m´etricos 45
(2) de distancia. Adem´as |xi −yi| = |yi −xi| y (xi −yi)2 = (yi −xi)2, con
lo que obtenemos la condici´on (3). Para la desigualdad triangular s´olo hay
que tener en cuenta la desigualdad triangular del valor absoluto para cada i
|xi − yi| ≤ |xi − zi| + |zi − yi|,
con lo que en el caso d1 tenemos:
d1(x, y) =
n
i=1
|xi − yi| ≤
n
i=1
(|xi − zi| + |zi − yi|) =
n
i=1
|xi − zi| +
n
i=1
|zi − yi| = d1(x, z) + d1(z, y);
y para d∞:
d∞(x, y) = m´ax{|xi − yi| : i = 1, . . . , n}
≤ m´ax{|xi − zi| + |zi − yi| : i = 1, . . . , n} ≤
≤ m´ax{|xi − zi| : i = 1, . . . , n} + m´ax{|zi − yi| : i = 1, . . . , n}
= d∞(x, z) + d∞(z, y).
(1.1)
Lo mismo sucede con las propiedades (1), (2) y (3) para la distancia usual
d2; no as´ı con la propiedad (4) en la que hay que utilizar la desigualdad de
Cauchy-Schwarz 1.1.3(a).
Sean x, y, z ∈ Rn y consideremos
(d2(x, z) + d2(z, y))2
=
n
i=1
(xi − zi)2
1
2
+
n
i=1
(zi − yi)2
1
2
2
=
=
n
i=1
(xi −zi)2
+
n
i=1
(zi −yi)2
+2
n
i=1
(xi − zi)2
n
i=1
(zi − yi)2
1
2
= (∗)
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.1.3(a) al ´ultimo sumando
de la expresi´on anterior:
(∗) ≥
n
i=1
(xi − zi)2
+
n
i=1
(zi − yi)2
+ 2
n
i=1
(xi − zi)(zi − yi) =
n
i=1
(xi − zi)2
+ (zi − yi)2
+ 2(xi − zi)(zi − yi) =
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46. 46 1.1. Distancias
n
i=1
[(xi − zi) + (zi − yi)]2
=
n
i=1
(xi − yi)2
=
n
i=1
(xi − yi)2
1/2
2
= (d2(x, y))2
,
de donde se deduce la desigualdad triangular.
Ej.1.5. El conjunto C de los n´umeros complejos es un espacio m´etrico con la
distancia dada por el m´odulo de la diferencia:
d(z1, z2) = |z1 − z2| con z1, z2 ∈ C.
Compruebe como ejercicio, que se verifican las condiciones de distancia.
Ej.1.6. Se pueden considerar otros conjuntos que no son num´ericos, como el con-
junto de las funciones reales acotadas
X = A([a, b], R) = ∞
([a, b]) = {f : [a, b] → R : |f(x)| ≤ M, M > 0}.
Dadas dos funciones f, g ∈ X definimos
d∞(f, g) = sup
x∈[a,b]
{|f(x) − g(x)|}.
Puede comprobar, a partir de las propiedades del valor absoluto, que d∞
es una distancia, denominada la distancia del supremo; en la Figura 1.2 se
representa la distancia del supremo entre dos funciones f y g.
Figura 1.2 – Distancia del supremo en el espacio A([a, b], R).
Ej.1.7. Tambi´en podemos considerar el conjunto C([a, b], R), de las funciones
reales continuas sobre un intervalo cerrado [a, b]. La aplicaci´on d dada por
d(f, g) =
b
a
|f(x) − g(x)|dx
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47. 1. Espacios m´etricos 47
Figura 1.3 – La distancia es el ´area comprendida entre dos curvas.
es una distancia, que viene dada por el ´area comprendida entre funciones
continuas. En la Figura 1.3 se representa tal distancia. Sabemos que si
f(x) ≥ 0, entonces
b
a f(x)dx ≥ 0 para cada x ∈ [a, b] y tambi´en que
b
a f(x)dx = 0 si, y s´olo si, f ≡ 0; por tanto se cumplen las dos primeras
condiciones de distancia.
De la simetr´ıa del valor absoluto (|f(x) − g(x)| = |g(x) − f(x)|), se ob-
tiene la tercera condici´on; y por ´ultimo, de la desigualdad triangular del
valor absoluto, de la aditividad de la integral y de que f(x) ≤ g(x) implica
b
a f(x)dx ≤
b
a g(x)dx, se deduce
d(f, g) =
b
a
|f(x) − g(x)|dx ≤
b
a
(|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|)dx
=
b
a
|f(x) − h(x)|dx +
b
a
|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g).
Ej.1.8. O bien el conjunto de las sucesiones reales acotadas
∞
={(xn)∞
n=1 : sucesi´on acotada con xn ∈ R}
= {x : N −→ R : x est´a acotada}
(1.2)
Dadas dos sucesiones (xn)∞
n=1, (yn)∞
n=1 ∈ ∞, definamos
d∞((xn)n, (yn)n) = sup
n∈N
{|xn − yn|}.
Pruebe que d∞ es una distancia en ∞.
Ej.1.9. Tambi´en se pueden construir espacios m´etricos a partir de otros conoci-
dos. En efecto, sean (X1, d) y (X2, d ) dos espacios m´etricos. Para puntos
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48. 48 1.1. Distancias
x = (x1, x2) e y = (y1, y2) de X1 × X2 se define:
d1(x, y) = d(x1, y1) + d (x2, y2),
d2(x, y) = (d(x1, y1)2
+ d (x2, y2)2
)1/2
,
d∞(x, y) = m´ax{d(x1, y1), d (x2, y2)}.
Entonces d1, d2 y d∞ son distancias en el espacio producto X1 × X2.
Verificar que d1, d2 o d∞ son distancias es un proceso similar al del Ejem-
plo Ej.1.3. anterior y es recomendable que, como ejercicio, concrete los
detalles.
Este es un procedimiento, digamos estandar, para definir distancias en es-
pacios que son el producto cartesiano de una colecci´on finita de espacios
m´etricos. As´ı, si (X1, d1) . . . (Xn, dn) son n espacios m´etricos, se pueden
definir en X1 × · · · × Xn las distancias:
ρ1(x, y) =
n
i=1
di(xi, yi),
ρ2(x, y) =
n
i=1
di(x1, y1)2
1/2
,
ρ∞(x, y) = m´ax{di(xi, yi) : i = 1, . . . , n},
con x = (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ X1 × · · · × Xn.
La siguiente, es una propiedad que nos ser´a ´util, junto con el resultado que aparece
en el Problema P.1.2.
Proposici´on 1.1.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Para todo x, y, z ∈ X se
verifica:
|d(x, z) − d(z, y)| ≤ d(x, y).
DEMOSTRACI ´ON. Aplicando la desigualdad triangular y la simetr´ıa de la distan-
cia, tenemos
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(z, y),
por lo que d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, y).
De forma an´aloga podemos poner d(z, y) ≤ d(z, x)+d(x, y) = d(x, z)+d(x, y)
y tendremos que −d(x, y) ≤ d(x, z) − d(z, y).
Usando estas dos desigualdades tenemos
−d(x, y) ≤ d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, y)
lo que concluye la demostraci´on.
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49. 1. Espacios m´etricos 49
Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. De
modo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes.
Ejercicios y Problemas
P.1.1 Sea d : N × N −→ R definida por d(m, n) = |m2 − n2|. ¿Es (N, d) un
espacio m´etrico? Justifique la respuesta. [I]
P.1.2 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre que se cumple
|d(x, y) − d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y, t)
para todo x, y, z, t ∈ X. [I] [R]
P.1.3 Sea X un conjunto. Demuestre que una aplicaci´on d : X × X −→ R es
una distancia si, y s´olo si, para x, y, z ∈ X, se verifican
(a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z). [I]
P.1.4 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Se definen δ, y ρ y η como sigue:
δ(x, y) = kd(x, y), k ∈ R+
ρ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}
η(x, y) = [d(x, y)]2
Demuestre que δ y ρ son distancias sobre X, pero que η no tiene por qu´e ser
necesariamente una distancia. [I]
P.1.5 Sea X un conjunto y f : X −→ R una aplicaci´on inyectiva. Demuestre
que la aplicaci´on d(x, y) = |f(x) − f(y)| es una distancia sobre X. [I]
P.1.6 Sea f : R −→ R una funci´on estrictamente creciente. Demuestre que
d(x, y) = |f(x) − f(y)| es una distancia sobre R. [I] [R]
P.1.7 Considere el conjunto C([0, 1]) de las funciones reales continuas en el
intervalo [0, 1]. Sean f(x) = x(1 − x) y g(x) = x. Calcule d∞(f, g) y
d(f, g) seg´un las definiciones de los Ejemplos Ej.1.6. y Ej.1.7.. [I]
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50. 50 1.1. Distancias
1.1.1. Subespacio m´etrico
El siguiente resultado nos permite definir un subespacio m´etrico, simplemente
como un subconjunto A ⊂ X y la distancia d restringida a A.
Proposici´on 1.1.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A ⊂ X un subconjunto
de X. Sea la funci´on dA : A × A −→ R definida por dA(x, y) = d(x, y), para
cada x, y ∈ A. Entonces dA es una distancia sobre A, que se denomina distancia
inducida por d. El par (A, dA) se dice que es un subespacio m´etrico de X.
La demostraci´on se reduce a una mera comprobaci´on que puede realizar, sin difi-
cultad, como ejercicio.
Est´a claro que cualquier subespacio m´etrico, considerado de forma aislada es un
espacio m´etrico y, por supuesto, todo espacio m´etrico es un subespacio de s´ı mis-
mo. Esta es una nueva forma de construir nuevos espacios m´etricos, a partir de
otros conocidos.
Se˜nalaremos que, si A ⊂ Rn, cuando se hable de A como de un espacio m´etrico,
supondremos que su distancia es la distancia inducida por la distancia eucl´ıdea de
Rn, salvo que se diga lo contrario.
Veamos algunos ejemplos de subespacios para afianzar este concepto.
Ejemplos
Ej.1.10. [0, 1] con la distancia inducida por el valor absoluto es un subespacio
m´etrico de R.
Ej.1.11. El conjunto C([a, b], R) de las funciones reales continuas en [a, b], con la
distancia inducida por d∞, es subespacio m´etrico del conjunto A([a, b], R)
de las funciones acotadas en dicho intervalo.
Ej.1.12. El espacio co de las sucesiones reales con l´ımite 0 es un subespacio
m´etrico del espacio de las sucesiones acotadas ∞, con la distancia del
supremo.
Ej.1.13. Veamos las distancias que se inducen en algunos conjuntos. Podemos
identificar desde el punto de vista conjuntista, la recta real R y el subcon-
junto de R2, definido como R × {0} = {(x, 0) : x ∈ R}, mediante la
aplicaci´on x → (x, 0). Es evidente que se trata de una biyecci´on ¿verdad?.
Nos podemos plantear la cuesti´on siguiente. ¿Qu´e relaci´on hay entre la dis-
tancia eucl´ıdea, d2 y la distancia del valor absoluto en R?; ve´amoslo.
Si calculamos la distancia entre dos puntos de (x, 0), (y, 0) ∈ R × {0},
tenemos
d2((x, 0), (y, 0)) = (x − y)2 = |x − y| = d(x, y), (1.3)
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
51. 1. Espacios m´etricos 51
y esta ´ultima es la distancia usual de R. Esto significa que, en cierto modo
podemos considerar la recta real como un subespacio m´etrico del plano R2.
Observe que ocurre lo mismo con las distancias d1 y d∞; compru´ebelo tal
y como se le sugiere en el Problema P.1.8.
Podemos practicar un poco m´as, de nuevo por nuestra cuenta.
Ejercicios y Problemas
P.1.8 Estudie las distancias que, sobre R, inducen d1 y d∞ consideradas sobre
R2. ¿Y si considera las distancias d1, d2 y d∞ sobre Rn e intenta calcular
las que inducen, respectivamente, sobre Rn−k, con 1 < k < n?
P.1.9 Sea A ⊂ R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 : y = x2}. Calcule
expl´ıcitamente las distancias inducidas sobre A por d1, d2 y d∞.
1.2. Distancia a un conjunto
Nos planteamos ahora la posibilidad de medir distancias entre un punto y un con-
junto, o entre dos conjuntos, a partir de la distancia definida en un espacio m´etrico.
Parece que de forma intuitiva podr´ıamos pensar, por ejemplo, que la distancia en-
tre un punto y un conjunto, ser´ıa la distancia entre tal punto y el punto del conjunto
m´as cercano a aquel. Esto no es tan sencillo como puede parecer a primera vista.
Veamos en esta secci´on algunas de las cosas que podemos saber sobre estas ideas.
Definici´on 1.2.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico, A ⊂ X un subconjunto de X y
x0 un punto de X. La distancia de x0 al subconjunto A se define como
d(x0, A) = ´ınf{d(x0, x) : x ∈ A}.
Recordemos que el ´ınfimo de un conjunto de n´umeros reales acotado inferior-
mente siempre existe, de modo que la definici´on es buena.
Definici´on 1.2.2. Sean A y B dos subconjuntos de X. La distancia del subcon-
junto A al subconjunto B se define como
d(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
Observemos que si a ∈ A, entonces d(a, A) = 0 o si A ∩ B = ∅, d(A, B) = 0,
pero sin embargo ...
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52. 52 1.2. Distancia a un conjunto
Ejemplos
Ej.1.14. Consideremos los conjuntos A = (0, 1) y B = (1, 2), en R con la
distancia usual, tenemos que
1. d(0, A) = 0 y, sin embargo 0 /∈ A; y
2. d(A, B) = 0 y A ∩ B = ∅.
En efecto, el primer caso, supongamos que d(0, A) = ε > 0, es claro que
ε < 1; entonces existe un n´umero real entre 0 y ε, por ejemplo, ε/2, por lo
que ε no ser´ıa el ´ınfimo.
Respecto al segundo caso, si suponemos que d(A, B) = ε > 0 (tambi´en ha
de ser ε < 1), tenemos que 1 − ε/3 ∈ A y 1 + ε/3 ∈ B y
d(1 − ε/3, 1 + 3ε) = |1 − ε/3 − (1 + 3ε)| = 2ε/3 < ε,
en contra de que ε es el ´ınfimo.
Ej.1.15. Si d es la m´etrica discreta sobre X, x ∈ X y A, B ⊂ X. Entonces si
x ∈ A, d(x, A) = 0; por el contrario, si x /∈ A, entonces d(x, y) = 1 para
todo y ∈ A y, en consecuencia, d(x, A) = 1. En resumen:
d(x, A) =
1 si x /∈ A
0 si x ∈ A
Veamos qu´e pasa con la distancia entre dos conjuntos A, B ⊂ X. Tenemos
que d(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}; entonces si existe x ∈ A∩B,
d(A, B) = d(x, x) = 0; pero si A∩B = ∅ entonces d(x, y) = 1 para todo
x ∈ A y todo y ∈ B, con lo que d(A, B) = 1. Por tanto:
d(A, B) =
1 si A ∩ B = ∅
0 si A ∩ B = ∅
Ej.1.16. En (R2, d2) consideremos los subconjuntos
A = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
≤ 1}
B = {(x, y) ∈ R2
: x + y = 2}.
Vamos a calcular la distancia d(A, B). La Figura 1.4 siguiente ayuda a vi-
sualizar que la distancia que queremos calcular es la diferencia entre la
longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es
√
2, y el radio del
c´ırculo A que es 1, por tanto, la distancia buscada es d(A, B) =
√
2 − 1.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
53. 1. Espacios m´etricos 53
Figura 1.4 – La distancia d(A, B) es
√
2.
Proposici´on 1.2.3. Si (X, d) es un espacio m´etrico y dos subconjuntos A, B ⊂ X,
se verifican:
(a) d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A), para todo x, y ∈ X
(b) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), para todo x, y ∈ Xy
(c) d(A, B) ≤ d(x, A) + d(x, B), para todo x ∈ X
DEMOSTRACI ´ON. Para demostrar la desigualdad (a), tenemos que, si x ∈ X,
para todo a ∈ A, entonces d(x, A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a); y como esto es
para todo a ∈ A, la desigualdad (a) se cumple.
Respecto a la desigualdad (b), si en la desigualdad (a) intercambiamos los papeles
de x e y, tenemos la desigualdad d(y, A) ≤ d(x, y)+d(x, A) de donde se deduce
que −d(x, y) ≤ d(x, A) − d(y, A); mientras que de la desigualdad (a) de forma
directa, se obtiene d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y) y combinando estas dos ´ultimas
desigualdades obtenemos la buscada.
Por ´ultimo, para ver la desigualdad (c), si alguno de los dos conjuntos A o B es no
vac´ıo, el resultado es evidente. Supongamos, entonces que A y B son no vac´ıos.
Sea ahora ε > 0, y A ∈ A de manera que d(x, a) ≤ d(x, A) + ε/2 y b ∈ B tal
que d(x, b) ≤ d(x, B) + ε/2. Entonces
d(A, B) ≤ d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ d(x, A) + d(x, B) + ε,
como esto se puede hacer para todo ε > 0, deducimos la desigualdad buscada.
Un ´ultimo concepto para terminar esta secci´on.
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54. 54 1.2. Distancia a un conjunto
Definici´on 1.2.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto acota-
do. El di´ametro de A, representado por diam(A) = δ(A), se define como
diam(A) = δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
Ejemplos
Ej.1.17. Los di´ametros de los subconjuntos [1, 2], [1, 2) y {0} ∪ [1, 2) de R con
la distancia usual son, respectivamente, 1, 1 y 2.
En efecto, en el caso de [1, 2] no hay nada que probar pues 1 es precisa-
mente, la longitud del intervalo. En el caso del intervalo [1, 2), supongamos
que δ([1, 2)) = r < 1, entonces 1 + r ∈ [1, 2), y existe ε > 0 tal que
1 + r + ε ∈ [1, 2) con lo que
d(1, 1 + r + ε) = |1 + r + ε − 1| = r + ε > r,
en contra de que δ([1, 2)) = r. De forma similar se prueba el ´ultimo caso.
Int´entelo como ejercicio.
Ej.1.18. Consideremos el subconjunto A = [0, 1] × [0, 1] de R2, es decir, el
cuadrado unidad, y veamos su di´ametro para cada una de las distancias d1,
d2 y d∞ (es conveniente que repase el Ejemplo Ej.1.3.).
Figura 1.5 – Di´ametro del cuadrado unidad para d1, d2 y d∞.
En el caso de d1 el di´ametro es
diam1(A) = δ1(A) = 2,
pues se trata del m´aximo del las sumas de los valores absolutos de las di-
ferencias entre las coordenadas, a saber, la suma de dos lados del cuadrado.
En el caso d2 es la mayor distancia entre dos puntos del cuadrado, es decir
la longitud de la diagonal
diam2(A) = δ2(A) =
√
2.
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55. 1. Espacios m´etricos 55
Por ´ultimo, en el caso d∞, se trata del mayor valor absoluto de la diferencia
entre coordenadas, es decir la longitud de uno de los lados
diam∞(A) = δ∞(A) = 1.
Vea para cada caso, la Figura 1.5; y adem´as, observe que el di´ametro de un
conjunto, como era de esperar, depende de la distancia.
De nuevo podemos practicar de forma que profundicemos un poco.
Ejercicios y Problemas
P.1.10 Consideremos R con la distancia usual d(x, y) = |x − y| y el conjun-
to A = (1, 2] ⊂ R. Responda las siguientes cuestiones justificando las
respuestas:
1. ¿Cu´anto vale d(3
2, A)? 0, −1
2 o 1
2.
2. ¿Cu´anto vale d(1, A)? 1
2, 0 o 1
4
3. ¿Cu´anto vale d(0, A)? 1, 1
2 o 0
P.1.11 Si (X, d) es un espacio m´etrico y A, B ⊂ X no vac´ıos, demuestre que
d(A, B) = ´ınf{d(y, A) : y ∈ B} = ´ınf{d(x, B) : x ∈ A}.
P.1.12 Considere R con la distancia usual y A = {1/n + (−1)n : n ∈ N}.
Calcule d(1, A) y d(−1, A). [I]
P.1.13 Sea (X, d) un espacio m´etrico. En el Problema P.1.4 hemos visto que la
aplicaci´on ρ : X × X −→ R definida por ρ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}, es
una distancia. Considere el espacio (R2, ρ) con ρ(x, y) = m´ın{1, d2(x, y)}
y el conjunto
A = {(x, y) ∈ R2
: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
Halle los puntos de R2 que verifican d(x, A) = 1.
P.1.14 Sea (R2, d2) y A = {(x, y) ∈ R2 : x + y < 1, x > 0, y > 0}. Calcule
el di´ametro de A.
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56. 56 1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico
1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico
A continuaci´on vamos a estudiar los subconjuntos, quiz´as m´as importantes, de un
espacio m´etrico: las bolas. Se trata de una generalizaci´on del concepto conocido
de intervalo abierto centrado en un punto de R.
Definici´on 1.3.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico, a ∈ X un punto y r > 0 un
n´umero real. La bola abierta en X con centro en a y de radio r es el conjunto
B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}.
Al conjunto
B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r},
se le llama bola cerrada. Si se necesita especificar con qu´e distancia se est´a tra-
bajando, se representar´a por Bd(a, r).
Las bolas juegan un papel muy importante a lo largo del desarrollo del presente
curso, de modo que vamos a detenernos en estudiar algunas de ellas.
Ejemplos
Ej.1.19. En (R, | |) la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abierto
de extremos a − r y a + r:
B(a, r) = {x ∈ R : |x − a| < r} = (a − r, a + r)
Ej.1.20. Este ejemplo justifica el nombre de bola. En (R2, d2) tenemos que
B(a, r) = {(x, y) ∈ R2
: (x − a)2
+ (y − b)2
< r2
},
que es el interior del c´ırculo (es decir sin la circunferencia) de radio r cen-
trado en el punto (a, b).
Figura 1.6 – Bola abierta para la distancia d2.
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57. 1. Espacios m´etricos 57
En el espacio tridimensional (R3, d2) se tiene
B(a, r) = {(x, y, z) ∈ R3
: (x − a)2
+ (y − b)2
+ (z − c)2
< r2
}
que es el interior de la bola s´olida (sin la esfera) de radio r centrada en
a = (a, b, c).
Ej.1.21. Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes
y no tener la apariencia de una esfera, como se muestra en los siguientes
casos. En (R2, d∞) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado de centro 0 y
de lados paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud 2r. En este caso
la bola es
B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2
: d∞((0, 0), (x, y)) < r},
es decir, los puntos del plano que verifican m´ax{|x|, |y|} < r. Por tanto ha
de cumplirse que |x| < r e |y| < r; en definitiva, las coordenadas x e y han
de estar en el intervalo (−r, r), de modo que la bola ser´a
B((0, 0), r) = (−r, r) × (−r, r).
De la misma forma se obtiene que para cualquier punto (a, b) ∈ R2 (v´ease
la Figura 1.7),
B((a, b), r) = (a − r, a + r) × (b − r, b + r).
Figura 1.7 – Las bolas m´etricas en las distancias d∞ y d1.
Ej.1.22. En (R2, d1) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado centrado en el pun-
to (0, 0) y con v´ertices en los puntos (0, r), (0, −r), (r, 0), (−r, 0). Ahora
tenemos
B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2
: d1((0, 0), (x, y)) < r},
es decir, los puntos del plano que verifican |x| + |y| < r. Si suponemos
que x, y ≥ 0 se debe cumplir x + y < r, es decir, se trata de los puntos
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58. 58 1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico
del plano cuyas coordenadas son no negativas y verifican y < r − x; en
definitiva, los puntos del primer cuadrante que est´an por debajo de la recta
y = r − x. Razonando de la misma manera sobre los posibles signos de
las coordenadas se obtiene el cuadrado a que nos refer´ıamos antes (v´ease la
Figura 1.7).
Ej.1.23. Sea un espacio m´etrico discreto (X, dD). La bola B(a, r) es el conjunto
B(a, r) =
{a} si r ≤ 1
X si r > 1
Ej.1.24. Sea H = [0, 1] ⊂ R con la distancia dH inducida por la distancia d de R.
Entonces en R con la distancia usual la bola Bd(1, 1) es el intervalo (0, 2)
mientras que, para la distancia inducida en H, BdH
(1, 1) es el intervalo
(0, 1], que es precisamente (0, 2) ∩ [0, 1].
Ej.1.25. Sea una funci´on f0 ∈ (C([0, 1], R), d∞). La bola B(f0, r) es el conjunto
B(f0, r) = {f ∈ (C([0, 1], R) : sup{|f0(x) − f(x)| ≤ r : x ∈ [0, 1]}
de todas las funciones continuas f en [0, 1] cuya gr´afica se encuentra entre
las gr´aficas de las funciones f0 − r y f0 + r (v´ease la Figura 1.8).
Figura 1.8 – Las bolas m´etricas en la distancia d∞ sobre C([0, 1], R).
Otra vez, puede ser un buen momento para pensar por su cuenta.
Ejercicios y Problemas
P.1.15 Definimos la aplicaci´on d : R2 × R2 −→ R como sigue:
d[(x1, x2), (y1, y2)] =
|x2 − y2| si x1 = y1
|x2| + |x1 − y1| + |y2| si x1 = y1
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
59. 1. Espacios m´etricos 59
Pruebe que d es una distancia sobre R2. Determine y represente gr´afica-
mente las bolas B((0, 0), 1), B((1, 0), 1), B((0, 1), 1) y B((2, 3), 1). [R]
P.1.16 Se define la parte entera de un n´umero real x ∈ R como [x] = el mayor
n´umero entero menor o igual que x. Sea la aplicaci´on ρ : R × R −→ R
definida como
ρ(x, y) = |[x] − [y]| + |(x − [x]) − (y − [y])|.
(a) Pruebe que ρ es una distancia en R.
(b) Estudie c´omo son las bolas Bρ(0, 1) y Bρ(3
2, 1) ¿C´omo son las bolas
abiertas?
(c) Pruebe que ρ y la distancia d(x) = |x−y| inducen la misma distancia
en el conjunto Z de los n´umeros enteros.
P.1.17 Pruebe que la aplicaci´on definida como
d(x, y) = m´ax{|x1 − x2|, dD(y1, y2)}, con x = (x1, y1), y = (x2, y2),
es una distancia en R2. Determine c´omo son las bolas. [R]
P.1.18 Sea d : R × R −→ R definida por
d(x, y) =
2|x − y|
1 + 3|x − y|
.
Compruebe que es una distancia y determine la bola Bd(0, r). [I]
P.1.19 Sea d : R × R −→ R la distancia definida por
d(x, y) =
0 si x = y
dD(x, 0) + dD(0, y) si x = y
siendo dD la distancia discreta. Determine anal´ıtica y geom´etricamente las
bolas Bd(x, r). [I]
P.1.20 Sea C([0, 2π]) con la distancia del supremo. Describa anal´ıtica y gr´afica-
mente c´omo son las bolas de radio 1 y centro en las funciones f(x) = sen x
y g(x) = 2 + cos x, respectivamente.
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60. 60 1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico
1.3.1. Conjuntos abiertos
Definici´on 1.3.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Diremos que A es un
conjunto abierto, si para cada punto a ∈ A, existe una bola B(a, ra) contenida
en A. Entenderemos que ∅ es abierto.
Proposici´on 1.3.3. En un espacio m´etrico, cada bola abierta es un conjunto
abierto.
DEMOSTRACI ´ON. Sea la bola abierta B(a, r) y veamos que si x ∈ B(a, r), existe
δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ B(a, r). En efecto, tomemos δ = r − d(x, a) > 0, y
comprobemos que si y ∈ B(x, δ), entonces y ∈ B(a, r).
Tenemos que d(x, y) < δ y seg´un la desigualdad triangular
d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + δ = r,
lo que significa que y ∈ B(a, r) y por tanto que B(x, δ) ⊂ B(a, r) (v´ease la
Figura 1.9).
Figura 1.9 – Las bolas abiertas, son conjuntos abiertos.
Teorema 1.3.4 (Propiedad de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio m´etrico y dos
puntos distintos x, y ∈ X. Entonces existen rx, ry > 0 tales que
B(x, rx) ∩ B(y, ry) = ∅.
DEMOSTRACI ´ON. Sea r = d(x, y), entonces las bolas B(x, r/2) y B(y, r/2)
abiertas, tienen intersecci´on vac´ıa. En efecto, veamos que ning´un punto de la
primera puede estar en la segunda.
Si z ∈ B(x, r/2), entonces, por la desigualdad triangular
d(z, y) ≥ d(x, y) − d(z, x) = r − d(z, x) > r − r/2 = r/2,
con lo que z /∈ B(y, r/2). Para la otra bola se hace de la misma forma.
Lema 1.3.5. La intersecci´on de dos bolas abiertas en un espacio m´etrico (X, d),
es un abierto.
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
61. 1. Espacios m´etricos 61
DEMOSTRACI ´ON. Si la intersecci´on de ambas bolas es vac´ıa, no hay nada que
probar. Supongamos entonces que x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y veamos que tal inter-
secci´on es un entorno de x. Se cumple que d(x, a) < r y d(x, b) < s; tomemos
δ < m´ın{r−d(x, a), s−d(x, b)} y comprobemos que B(x, δ) ⊂ B(a, r)∩B(b, s)
(v´ease la Figura 1.10). En efecto, si y ∈ B(x, δ), entonces
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < δ + d(x, a) < r − d(x, a) + d(x, a) = r,
y por tanto y ∈ B(x, a). De la misma forma se prueba que B(x, δ) ⊂ B(b, s).
Con esto hemos probado que la intersecci´on de las dos bolas contiene una bola
centrada en cada uno de sus puntos y, por lo tanto es un abierto.
Figura 1.10 – La intersecci´on de bolas abiertas es abierto.
El siguiente resultado es de gran trascendencia.
Teorema 1.3.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Entonces se cumplen las propiedades
siguientes:
(a) X y ∅ son abiertos.
(b) La uni´on de una familia cualquiera de conjuntos abiertos, es abierto.
(c) La intersecci´on de una colecci´on finita de conjuntos abiertos, tambi´en es
abierto.
DEMOSTRACI ´ON. -
(a) No hay nada que probar.
(b) Sea {Ai}i∈I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos del espacio X; si
x ∈ ∪i∈IAi, entonces x ∈ Ai0 para alg´un i0 ∈ I. Como Ai0∈I es abierto, existe
r0 > 0 tal que B(x, r0) ⊂ Ai0 ⊂ ∪i∈IAi y por tanto este ´ultimo conjunto es
abierto puesto que contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos.
(c) Si la intersecci´on es vac´ıa no hay nada que probar. Supongamos entonces, que
A1 y A2 son dos conjuntos abiertos cuya intersecci´on es no vac´ıa. Si x ∈ A1 ∩A2,
existen r1, r2 > 0 de modo B(x, r1) ⊂ A1 y B(x, r2) ⊂ A2; entonces seg´un el
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62. 62 1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico
Lema 1.3.5, hay una bola centrada en x contenida en la intersecci´on de ambas
bolas, lo que implica que dicha bola tambi´en est´a en A1 ∩ A2 y que este ´ultimo
conjunto es abierto. Mediante un sencillo proceso de inducci´on se prueba que la
intersecci´on de cualquier familia finita de abiertos es un abierto.
A la familia de todos los conjuntos abiertos de un espacio m´etrico (X, d) se le
llama topolog´ıa asociada a la distancia d y la designaremos mediante Td, o sim-
plemente T si no hay ambig¨uedad respecto de la distancia. Como era de esperar,
teniendo en cuenta el nombre de la asignatura, estas familias ser´an las protago-
nistas de nuestro estudio.
En general, si tenemos un conjunto X, a cualquier familia de subconjuntos de X
que verifica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 se le llama topolog´ıa sobre X.
En este curso, nos limitaremos a estudiar topolog´ıas asociadas a espacios m´etricos
aunque hay espacios topol´ogicos que no son m´etricos, como se muestra en el
Ejemplo Ej.1.26.
Ejemplos
Ej.1.26. Si X es un conjunto con m´as de un punto, la familia formada por el con-
junto vac´ıo y el propio X es una topolog´ıa TI = {∅, X} sobre X, pues veri-
fica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 f´acilmente y no proviene de una
distancia pues no verifica la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. Esta topolog´ıa
se llama topolog´ıa gruesa o indiscreta.
Ej.1.27. Cualquier intervalo abierto de la recta real, acotado o no acotado, es un
subconjunto abierto con la distancia usual. Tambi´en lo son las uniones de
intervalos abiertos. Sin embargo, los intervalos [a, b], [a, b) y (a, b] no lo
son. Realice, como ejercicio, los detalles.
Ej.1.28. Un conjunto abierto no tiene por qu´e ser una bola abierta. As´ı, el sub-
conjunto de R2:
A = {(x, y) ∈ R2
: |x| < 1, |y| < 2}
no es una bola abierta de R2 para la distancia eucl´ıdea y, sin embargo, s´ı es
un subconjunto abierto. Se ve f´acilmente que el conjunto A es el rect´angulo
abierto (sin “bordes”) (−1, 1) × (−2, 2) (v´ease la Figura 1.11 (a)). Para
ver que es abierto, comprobemos que contiene una bola, de radio adecuado,
centrada en cada uno de sus puntos. Sea (a, b) ∈ A , es decir a ∈ (−1, 1) y
b ∈ (−2, 2); si tomamos r < {1−|a|, 2−|b|} se tiene que B((a, b), r) ⊂ A.
En efecto, si (x, y) ∈ B((a, b), r) se tiene (x − a)2 + (y − b)2 < r2, de
Topolog´ıa de Espacios M´etricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro
63. 1. Espacios m´etricos 63
(a) (b)
Figura 1.11 – No todo conjunto abierto es una bola.
donde se deduce que |x − a| < r < 1 − |a| y, por tanto,
−1 + |a| + a < x < 1 − |a| + a,
de modo que si |a| = a (a ≥ 0) queda −1 + 2a < x < 1 y x ∈ (−1, 1); y
si |a| = −a (a < 0) queda −1 < x < 1 + 2a, y tambi´en es x ∈ (−1, 1).
De forma similar se comprueba que y ∈ (−2, 2).
Por el contrario, el conjunto siguiente no es abierto
B = {(x, y) ∈ R2
: |x| < 1, |y| ≤ 2}.
Ahora B es el rect´angulo (−1, 1)×[−2, 2]. Para comprobar que no es abier-
to basta con encontrar un punto de B tal que cualquier bola con centro en
ese punto tenga puntos fuera de B. Tomemos el punto (0, 2); entonces para
todo r > 0 el punto (0, 2 + r/2) /∈ B y, sin embargo, est´a en la bola
B((0, 2), r) (v´ease la Figura 1.11 (b)).
Ej.1.29. Sea (X, TD) un espacio m´etrico discreto (TD es la topolog´ıa inducida
por la distancia discreta). Entonces cualquier subconjunto es abierto como
se deduce del Ejemplo Ej.1.23..
Ej.1.30. La intersecci´on arbitraria de abiertos no es, en general, un abierto. M´as
a´un, la intersecci´on no finita de bolas conc´entricas, no es, necesariamente
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64. 64 1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico
una bola. Si consideramos la familia de abiertos {(− 1
n, 1
n ) : n ∈ N} en
(R, | |), su intersecci´on es
∞
n=1
−
1
n
,
1
n
= {0},
que no es abierto (por cierto ¿sabr´ıa demostrar que la intersecci´on anterior
es, precisamente {0}?).
Ej.1.31. La condici´on de ser abierto depende naturalmente de la distancia y del
espacio total. (a) El subconjunto {0} ⊂ R es abierto para la distancia dis-
creta, pero no lo es para la distancia eucl´ıdea.
Proposici´on 1.3.7. En un espacio m´etrico (X, d), un conjunto es abierto si, y s´olo
si, se puede expresar como uni´on de bolas abiertas.
DEMOSTRACI ´ON. “⇒” Si A ⊂ X es un abierto, para cada x ∈ A, existe rx > 0
tal que B(x, rx) ⊂ A, de modo que ∪x∈AB(x, rx) ⊂ A, pero como cada punto
de A est´a en una de estas bolas, tambi´en se cumple A ⊂ ∪x∈AB(x, rx), con lo
que A es uni´on de bolas abiertas. El rec´ıproco es evidente.
1.3.2. Abiertos en subespacios
Vamos a ver ahora c´omo son los abiertos en los subespacios. Evidentemente, con-
siderados como espacios m´etricos en s´ı mismos, los abiertos tienen las propiedades
descritas en la secci´on anterior. Pero nos planteamos estudiar su relaci´on con los
abiertos del espacio total.
Proposici´on 1.3.8. Sea (X, d) un espacio m´etrico y un subconjunto H ⊂ X.
(a) Las bolas abiertas del subespacio m´etrico (H, dH) son la intersecci´on de
bolas abiertas en el espacio total, con el subconjunto; es decir,
BdH
(a, r) = Bd(a, r) ∩ H.
(b) Un subconjunto de H es abierto en (H, dH) si, y s´olo si, es intersecci´on de
un abierto en X con H.
DEMOSTRACI ´ON. -
(a) Efectivamente, observemos
BdH
(a, r) ={x ∈ H : dH(x, a) = d(x, a) < r} =
{x ∈ X : d(x, a) < r} ∩ H = Bd(x, r) ∩ H.
(1.4)
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