9. www.vom-mathelehrer.de
Analysis – Übungsblatt 5
Gebrochen-rationale Funktionen 3 - Lösung
1.
a)
b)
c)
f(x) =
5x + 4
x − 2
; D = IR {2}
lim
x→±∞
5x + 4
x − 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 5 ("z = n" → Vergleiche Leitkoeffizienten)
Alternative : lim
x→±∞
5x + 4
x − 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = lim
x→±∞
x 5+
4
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x 1−
2
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= lim
x→±∞
5+
4
x
→±0!
1−
2
x
→±0
"
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 5
Sprichen Sie mit Ihrem Mathelehrer, was er sehen möchte!
senkr : x = 2
waagr : y = 5
f(x) =
2x2
+1
x + 4
= 2x −8+
33
x + 4
; D = IR {−4}
lim
x→−∞
2x −8+
33
x + 4
→0
!
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= −∞ ; lim
x→+∞
2x −8+
33
x + 4
→0
!
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= +∞
senkr.: x = −4
schräg: y = 2x −8 ("z = n+1")
f(x) =
−2x2
−3x +9
x2
− 4
; D = IR {−2;2}
lim
x→−∞
−2x2
−3x +9
x2
− 4
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = −2 ; lim
x→+∞
−2x2
−3x +9
x2
− 4
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = −2 ("z = n" → Vergleiche Leitkoeffizienten)
senkr : x = −2 ; x = 2
waagr : y = −2
10. www.vom-mathelehrer.de
d)
e)
f)
2.
f(x) =
x2
− 4
x + 2
=
(x + 2)(x − 2)
x + 2
= x − 2 ; D = IR {−2}
lim
x→−∞
>
x − 2( )= −∞ ; lim
x→+∞
x − 2( )= +∞
f(x) =
3x2
−3
x −1
=
3(x2
−1)
x −1
=
3(x −1)(x +1)
x −1
= 3(x +1) ; D = IR {1}
lim
x→−∞
3(x +1)( )= −∞ ; lim
x→+∞
3(x +1)( )= +∞
f(x) =
6x2
− 4x − 42
x −3
= 6x +14 ; D = IR {3}
lim
x→−∞
6x +14( )= −∞ ; lim
x→+∞
6x +14( )= +∞
f(x) =
20x
x2
− 25
=
20x
(x −5)(x +5)
Betrachte die Nennernullstellen für die Definitionsmenge!
→ D = IR {−5; 5}
Symmetrie : f(−x) =
20(−x)
(−x)2
− 25
=
−20x
x2
− 25
= −
20x
x2
− 25
= f(x)
→ Punktsymmetrie bzgl. (0 | 0)
senkr.: x = −5 ; x = 5
waagr.: y = 0 ("z < n")
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3.
I: Steigung passt nicht
II: passt nicht, das Polstelle mit VZW im Graph dargestellt ist, die Funktionsgleichung jedoch
eine Nullstelle ersten Grades besitzt.
4.
0 =
1
2
⋅(−1) −1+
a
(−1−1)2
0 = −1,5+
a
4
a = 6
a) D = IR {1}
SX
(−3 | 0)
SY
(0 | −9)
b)x + 7+
16
x −1
=
x(x −1)
x −1
+
7(x −1)
x −1
+
16
x −1
=
x2
− x + 7x − 7+16
x −1
=
x2
+ 6x +9
x −1
=
(x +3)2
x −1
= f(x)
oder bei f(x) Zähler ausmultiplizieren und Polynomdivision durchführen.
g ist schräge Asymptote von Gf
.
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Analysis – Übungsblatt 10
Monotonie und Extrempunkte - Lösung
1)
f '(x) = 3x2
− x +1
f '(x)=
!
0
3x2
− x +1= 0
x1,2
=
1± 1−12
6
; keine Nullstelle der ersten Ableitung
→ keine waagrechte Tangete an Gf
→ kein Extremum
Monotonie : f '(x) > 0 für alle x ∈ ID
f ist streng monoton wachsend.
g'(x) =
(x − 2)⋅1− x ⋅1
(x − 2)2
=
−2
(x − 2)2
; Dg
= Dg'
= IR {2}
g'(x) ≠ 0 ; keine Nullstellen der ersten Ableitung
→ keine waagrechte Tangete an Gf
→ kein Extremum
Monotonie :
x : − − − − − +
2
Def.−L
− − − −− >
f '(x) : < 0 < 0
Gf
fällt fällt
26. www.vom-mathelehrer.de
Analysis – Übungsblatt 12
Newton und Umkehrfunktion - Lösung
1)
Die Tangenten an den Graphen in Hoch- bzw. Tiefpunkt sind parallel zur x-Achse. Dadurch
existiert kein Schnittpunkt von Tangente und x-Achse und das Verfahren kann nicht
ausgeführt werden.
ODER:
2)
3)
4)
xn+1
= xn
−
f(xn
)
f '(xn
)
Im Extermpunkt gilt f '(xn
) = 0
→ Durch Null darf nicht dividiert werden.
→ Verfahren kann nicht ausgeführt werden.
f−1
x( )=
1
x
Df−1 = IR {0}
Wf−1 = IR {0}
f x( )=1+
1
x
y =1+
1
x
↔ y −1=
1
x
↔ x =
1
y −1
f−1
(x) =
1
x −1
Df−1 = IR {1}
Wf−1 = IR {0}
y =
2x
1+5x
↔(1+5x)y = 2x ↔ y +5xy = 2x ↔ y = 2x −5xy ↔ y = x(2−5y) ↔ x =
y
2−5y
f−1
x( )=
x
2−5x
Df−1 = IR {
2
5
}
Wf−1 = IR {−
1
5
}
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5) Gf ist achsensymmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des 1. Und 3. Quadranten.
6) Nicht umkehrbar auf IR, da jede Parallele zur x-Achse mit der Gleichung y=a mit -1≤a≤1
Gf unendlich oft schneidet. Mögliches Intervall I=[0; π]
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Analysis – Übungsblatt 14
Funktionen mit rationalen Exponenten - Lösung
1)
2a)
b)
3)
f(x) = x = x
1
2
; Df
= IR+
0
; f '(x) =
1
2
x
−
1
2
=
1
2 x
g(x) =
1
x
= x
−
1
2
; Dg
= IR+
; g'(x) = −
1
2
x
−
3
2
= −
1
2x x
= −
x
2x2
h(x) = 3 ⋅ x ; Dh
= IR ; h'(x) = 3
i(x) =
x
x
=
x x
x
= x ; Di
= IR+
; i'(x) =
1
2 x
j(x) = x + x ; Dj
= IR+
0
; j'(x) =1+
1
2 x
k(x) = x ⋅cos(x) ; Dk
= IR+
0
; k'(x) =
1
2 x
⋅cos(x) − x ⋅sin(x)
Definitionsmenge :
4+ x ≥ 0
x ≥ −4
Dg
= [−4; +∞[
SP mit y − Achse :
g(0) = 2⋅ 4+ 0 −1= 3
Sy
(0 | 3)
Von innen nach außen:
x → x + 4 : Verschiebung um 4 Einheiten nach links
x + 4 → 2⋅ x + 4 : Streckung um Faktor 2 in y −Richtung
2⋅ x + 4 → 2⋅ x + 4 −1: Verschiebung um 1 Einheit nach unten
Wertemenge : Wg
= [−1 ; +∞[
33. www.vom-mathelehrer.de
Analysis – Übungsblatt 16
e- und ln-Funktion - Lösung
1)
Df
= IR ; f '(x) = e0,5x+1
⋅0,5 = 0,5e0,5x+1
Dg
= IR ; g'(x) = e− 0,5x2
⋅(−0,5⋅ 2x) = −xe− 0,5x2
Dh
= IR {0} ; h'(x) =
xex
− ex
⋅1
x2
=
(x −1)ex
x2
Definitionsbereich: x − 2>
!
0 ↔ x > 2 ; Di
=]2; +∞[
i'(x) =
1
x − 2
j(x) = ln(x3
) = 3lnx ; Dj
= IR+
j'(x) =
3
x
Alternative : j'(x) =
1
x3
⋅3x2
=
3
x
k(x) = ln
x + 4
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ln(x + 4) −lnx
Definitionsmenge :
x + 4
x
>
!
0 ;
x + 4 > 0 für x > −4
x + 4 < 0 für x < −4
Betrachte in Vorzeichentabelle Nenner − und Zählernullstellen:
x : − − − − − − +
−4
− − − − − −+
0
− − − − − − >
f(x) :
x + 4
−!
x
−
!
> 0
x + 4
+!
x
−
!
< 0
x + 4
+!
x
+
!
> 0
Dk
=]−∞; −4[∪]0;+∞[
k'(x) =
1
x + 4
−
1
x
=
x
x(x + 4)
−
x + 4
x(x + 4)
=
x −(x + 4)
x(x + 4)
=
−4
x(x + 4)
Alternative :
k'(x) =
1
x + 4
x
⋅
x −(x + 4)
x2
=
x
x + 4
⋅
−4
x2
=
−4
x + 4
(Nachdifferenzieren mit Quotientenregel)
34. www.vom-mathelehrer.de
2a)
b)
c)
3)
Definitionsbereich: IR.
Symmetrie: Wegen f(-x)=f(x) liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
fk
(−x) = (−x)2
−ln((−x)2
+k2
) = x2
−ln(x2
+k2
) = f(x)
→ Gfk
symmetrisch bzgl. y − Achse
fk
'(x) = 2x −
1
x2
+k2
⋅ 2x =
2x(x2
+k2
) − 2x
x2
+k2
=
2x(x2
+k2
−1)
x2
+k2
=fD
lim
x→±∞
e−
x2
→+∞!
2
−∞!"# $#
= 0
f(x) = e
−
x2
2
f '(x) = e
−
x2
2 ⋅ −
2x
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −xe
−
x2
2
35. www.vom-mathelehrer.de
Analysis – Übungsblatt 17
e- und ln-Gleichungen - Lösung
1)
2)
Keine Nullstellen, denn die e-Funktion wird nie Null.
;
e2x
= 2 ↔ 2x = ln(2) ↔ x =
ln(2)
2
e2x+1
−1= 0 ↔ e2x+1
=1↔ 2x +1= ln(1) ↔ 2x +1= 0 ↔ 2x = −1↔ x = −
1
2
3x e0.5x
−1( )= 0
x1
= 0
e0,5x
−1= 0 ↔ e0,5x
=1↔ x = 0, da e0
=1→ x2
= 0
ln(x − 2) = 0 ↔ x − 2 =1↔ x = 3
2ln(x) +3 = 0 ↔ln(x) = −1,5 ↔ x = e−1,5
2xln(x2
−3) = 0
x1
= 0
x2
−3 =1↔ x2
= 4 ↔ x2,3
= ±2
ln
x + 4
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 0
x + 4
x
=1↔ x + 4 = x ↔ 0 = 4 → keine Nst.
f '(x) = e
−
x2
2 ⋅(− 1
2
⋅ 2x) = −xe
−
x2
2 f '(x)=
!
0 ↔ x = 0
x : − − − − −+ − − − − − >
f '(x) : > 0 < 0
Gf
: steigt fällt
HOP(0 |1)
36. www.vom-mathelehrer.de
3)
x + 2 > 0 ↔ x > −2
2− x > 0 ↔ x < 2
Df
=]− 2; 2[
ln(x + 2) −ln(2− x) = 0
ln(x + 2) = ln(2− x) | e *
x + 2 = 2− x
2x = 0
x = 0
f '(x) =
1
x + 2
⋅1−
1
2− x
⋅(−1) =
1
x + 2
+
1
2− x
=
2− x
(x + 2)(2− x)
+
2+ x
(x + 2)(2− x)
=
4
(x + 2)(2− x)
f '(x) ≠ 0 ; sogar > 0
→ Gf
streng monoton wachsend
→ keine Nullstellen
37. www.vom-mathelehrer.de
Analysis – Übungsblatt 18
Zusammengesetzte Funktionen - Lösung
1)
f(x) = 3x + 9 = 3x + 9( )
1
2 ; f '(x) =
1
2
3x + 9( )
−
1
2 ⋅3 =
3
2 3x + 9
=
3
2⋅ 3 ⋅ x + 3
=
3
2 x + 3
Oder :
f(x) = 3x + 9 = 3 ⋅ x + 3 = 3 x + 3( )
1
2 ; f '(x) = 3 ⋅
1
2
x + 3( )
−
1
2 ⋅1=
3
2 x + 3
f(x) =
2ex
ex
+ 9
; f '(x) =
(ex
+ 9)⋅ 2ex
− 2ex
⋅ex
ex
+ 9( )
2
=
2e2x
+18ex
− 2e2x
ex
+ 9( )
2
=
18ex
ex
+ 9( )
2
f(x) = x2
⋅ex
; f '(x) = 2xex
+ x2
ex
f(x) =
x
lnx
; f '(x) =
lnx − x ⋅
1
x
lnx( )
2
=
lnx −1
lnx( )
2
f(x) = 1−lnx = (1−lnx)
1
2 ; f '(x) =
1
2
(1−lnx)
−
1
2 ⋅ −
1
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
1
2x 1−lnx
f(x) =
lnx
x2
; f '(x) =
x2
⋅
1
x
−lnx ⋅ 2x
x4
=
x − 2xlnx
x4
=
1− 2lnx
x3
f(x) =
(3+ x)2
x −1
; f '(x) =
x2
− 2x −15
x2
− 2x +1
f(x) = 2 (lnx)2
−1( ) ; f '(x) = 2 2lnx( )⋅
1
x
=
4lnx
x
Alternative : f(x) = 2(lnx)2
− 2 ; f '(x) = 2⋅ 2lnx ⋅
1
x
=
4lnx
x
38. www.vom-mathelehrer.de
2)
3)
F'(x) =
1
4
x2
⋅(2lnx −1)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟' =
1
4
⋅ 2x ⋅(2lnx −1) +
1
4
x2
⋅
2
x
=
x
2
(2lnx −1) +
x
2
=
x
2
⋅ 2lnx −
x
2
+
x
2
= xlnx = f(x)
Definitionsmenge stimm überein → F ist Stammfunktion von f
Fc
(x) =
1
4
x2
⋅(2lnx −1) + c
Fc
(1)=
!
0
1
4
⋅(2ln(1)
=0
! −1) + c = 0
−
1
4
+ c = 0 ↔ c =
1
4
→ F(x) =
1
4
x2
⋅(2lnx −1) +
1
4
besitzt an der Stelle x =1 den Wert 0
f(x) =
4x
(x +1)2
Nullstelle : f(x)=
!
0 ↔ 4x = 0 ↔ x = 0
senkr. Asyp.: x = −1
y = 0 ist waagr. Asympt.: "Zählergrad < Nennergrad"
Extrempunkt :
f '(x) =
−4x ⋅ 2(x +1) +(x +1)2
⋅ 4
(x +1)4
=
−8x +(x +1)⋅ 4
(x +1)3
=
−4x + 4
(x +1)3
f '(x)=
!
0 ↔ −4x + 4 = 0 ↔ x =1
x : − − − − − −+
−1
− − − − − −+
1
− − − − − − >
f '(x) : < 0 > 0 < 0
Gf
: fällt steigt fällt
Def.−L HOP(1|1)
Graph ist für x < −1 streng mon. fallend und f(−3) = −3 → Gf
für x < −1 im III. Quadranten
Graph ist für −1< x < 0 streng mon. steigend und f(−0,5) < 0 → Gf
für −1< x < 0 im III. Quadranten
→ Gf
für x < 0 im III. Quadranten
F'(x) = 4⋅ln(x +1) +
4
x +1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟' = 4⋅
1
x +1
+
−4
(x +1)2
=
4
x +1
−
4
(x +1)2
=
4(x +1) − 4
(x +1)2
=
4x
(x +1)2
= f(x)
Definitionsmenge identisch für x > −1 ; → F ist Stammfunktion von f für x > −1
k(x) =
3⋅e2x
e2x
+1
−1,5 ; k'(x) =
(e2x
+1)⋅3⋅e2x
⋅ 2− 3⋅e2x
(e2x
+1)
(e2x
+1)2
=
6e4x
+ 6e2x
− 6e4x
(e2x
+1)2
=
6e2x
>0!
(e2x
>0
! +1)2
>0
! "# $#
> 0
Gk
ist streng monoton steigend
39. www.vom-mathelehrer.de
Analysis – Übungsblatt 19
Anwendungsaufgaben - Lösung
1)
2)
2. Alternative
Minimum bei : , also
Punkt (0|0): ;
Punkt (3|2,25): ,
Punkt (6|0): ,
Einsetzen der ersten beiden Gleichungen in die anderen Gleichungen ergibt:
P : f(x) = a(x − d)2
+ g
Scheitel einsetzen:
f(x) = ax2
+ e
Punkt einsetzen:
1= a⋅12
+ e
a =1− e
→ f(x) = (1− e)x2
+ e
Alternative über ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten
ist wohl aufwendiger, geht aber auch!
f(x) = ax3
+bx2
+ cx + d
Nullstellenform:
f(x) = a(x − x1
)(x − x2
)(x − x3
)
x = 0 doppelte Nst.
x = 6 einf ache Nst.
f(x) = a(x −0)(x −0)(x − 6) = ax2
(x − 6)
P einsetzen:
2,25 = a⋅32
(3 − 6)
2,25 = a⋅(−27)
a = −
1
12
f(x) = −
1
12
x2
(x − 6) = −
1
12
x3
+
1
2
x2
Alternative über lineares Gleichungssystem mit 4
Unbekannten wohl aufwendiger.
f(x) = ax3
+bx2
+ cx + d
f '(x) = 3ax2
+ 2bx + c
x = 0 f '(0)=
!
0 c = 0
f(0) = 0 d = 0
f(3)=
!
2,25 27a+9b+3c + d = 2,25
f(6)=
!
0 216a + 36b + 6c + d = 0
40. www.vom-mathelehrer.de
Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt: , also .
Funktionsgleichung also: .
(Im Abi 1b)
Hochpunkt berechnen:
ergibt (Tiefpunkt), (Vorzeichentabelle bestätigt Maximum, y-Wert durch
Einsetzen in ). Also Hochpunkt .
3.
27a + 9b = 2,25
216a+ 36b = 0
108a = −9
a = −
1
12
216⋅(−
1
12
) +36b = 0 b =
1
2
y = −
1
12
x3
+
1
2
x2
f '(x) = −
1
4
x2
+ x = x(−
1
4
x +1)
f '(x)=
!
0
x(−
1
4
x +1) = 0
01 =x 42 =x
f(x) (4 | 2
2
3
)
Hauptbedingung:
VZylinder
= r2
πh
Nebenbedingung:
U = 2a+ 2b
27cm = 2a+ 2b ↔13,5cm = a+b ↔b =13,5cm− a
Einsetzen in Hauptbedingung:
V(a) = a2
π⋅(13,5 − a) = −a3
π +13,5a2
π
V'(a) = −3a2
π + 27aπ = −3a(aπ − 9π)
V'(a)=
!
0 ↔ a1
= 0; kann man ausschließen, da sonst kein Zylinder entsteht (a,b > 0)( ) ; a2
= 9
a : − − − − − − +
9
− − − − − − >
V'(a) : > 0 < 0
GV
steigt fällt
HOP(9 | 364,5π)
→ b =13,5 − 9 = 4,5
Für a = 9cm und b = 4,5cm wird das Volumen des Zylinders mit 364,5π cm3
maximal.
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Analysis – Übungsblatt 20
Lokale und Gesamtänderung, Integral; Integralfunktion,
Flächenbilanz, HDI - Lösung
1)
2)
3)
4)
I -> D ; <0
II -> B ; =0
III -> A ; >0
IV -> C ; <0
5)
A1
= 6⋅15 = 90(m)
A2
=
1
2
⋅12⋅15 = 90(m)
Das Auto hat insgesamt einen Weg von 180m zurückgelegt.
f(x)dx
1
5
∫ =1⋅1+1⋅3+1⋅ 6+1⋅10 = 20
h ist Stammfunktion von h'.
h'(x)dx
0
1
∫ = x4
+ x2
+1⎡
⎣
⎤
⎦
1
0
= 3 −1= 2
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7)
Durch f(x)=sin(2x) ist der zugehörige Graph in x-Richtung gestaucht. Dadurch besitzt der
Graph bei 0,5π eine Nullstelle, die im Intervall 0≤x≤2 liegt. Somit liegt ein Teil der Fläche
oberhalb, ein anderer Teil unterhalb der x-Achse. Das Integral beschreibt die Flächenbilanz.
Alles oberhlab der x-Achse wird positiv, alles unterhalb der x-Achse negativ gezählt.
Der Flächeninhalt addiert jedoch diese beiden Teilflächen.
sin(2x)dx =
1
2
sin(2x)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
0
=
1
2
sin(4)
0
2
∫
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Analysis – Übungsblatt 21
Stammfunktion - Lösung
1)
2a)
Der Graph von F steigt streng monoton bis zur Nullstelle von f. Hier liegt bei f ein
Vorzeichenwechsel vor, sodass an der Nullstelle von f der Graph einer Stammfunktion einen
Hochpunkt besitzt. Anschließend fällt der Graph von F
b)
x2
dx=
1
3
x3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−2
2
=
1
3
⋅8 −
1
3
⋅( − 8) =
16
3-2
2
∫
x2
dx =
1
3
x3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−1
−2
=
1
3
⋅( −1) −
1
3
⋅( − 8) =
7
3−2
−1
∫
(ex
+ x −1)dx
0
2
∫ = ex
+ 1
2
x2
− x⎡
⎣
⎤
⎦0
2
= e2
+ 2− 2−(e0
+0 −0) = e2
−1
(2+ x)(2− x)dx= (4-x2
)dx = 4x −
x3
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥0
−2
= −8+
8
3
− 0 =−
16
30
-2
∫
0
-2
∫
2x
dx∫ = e
ln 2x
( )dx∫ = exln(2)
dx∫ =
1
ln(2)
⋅exln(2)
+C =
1
ln(2)
2x
+C
−cos(2x)dx∫ = −sin(2x)⋅
1
2
+C = −
1
2
sin(2x)
2x +1
x2
+ x
dx∫ = ln| x2
+ x | +C
Im Zähler steht die Ableitung des Nenners