Ensayo sobre el campo magnético, así como de la importancia que tiene la ley de biot-savart y las ecuaciones de maxwell dentro del magnetismo en la ingeniería.

1. Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla
Facultad de Ingeniería
Colegio de Ingeniería Industrial
Electricidad y Magnetismo
Dr. Enrique Montiel Piña
Ensayo 3: Campo Magnético (Ley de Biot-Savart
y Ecuaciones de Maxwell)
Alumno: Paul Cuellar Lobato
Matricula: 201219549
Lunes – Jueves 2:00 a 3:00 pm
29 de Abril de 2014
Primavera 2014

2. CAMPO MAGNÉTICO (Ley de Biot-Savart y Ecuaciones de Maxwell)
El campo magnético es un tema de gran importancia para la física y sus principales
aplicaciones a la ciencia y a la tecnología, ya que sus antecedentes tienen origen hace ya más
de 2000 años cuando los griegos ya sabían que un cierto mineral (llamado ahora como la
magnetita) era capaz de atraer piezas de hierro, además de que gracias a este acontecimiento
se logro la existencia en algunos escritos del uso de imanes en la navegación que datan del
siglo XII. También, otro antecedente importante con respecto al campo magnético, ocurrió en
1269, cuando Pierre de Maricourt descubrió que si una aguja se deja libremente en distintas
posiciones sobre un imán natural esférico, se orienta a lo largo de las líneas que, rodeando el
imán, pasan por puntos situados en extremos opuestos de la esfera, los cuales fueron
denominados polos del imán. También se observo que los polos iguales de dos imanes se
repelen entre si y los polos distintos se atraen mutuamente. Como ultimo acontecimiento
importante sobre dicho tema, se encuentra en 1600 cuando William Gilbert descubrió que la
Tierra es un imán natural con polos magnéticos próximos a los polos geográficos norte y sur.
Definiendo ahora el concepto de campo magnético, se entiende a este como cualquier campo
que ejerce fuerzas (denominadas magnéticas) sobre los materiales. Al igual que el campo
eléctrico también es un campo vectorial, pero que no produce ningún efecto sobre cargas en
reposo. Sin embargo el campo magnético tiene influencia sobre cargas eléctricas en
movimiento. Ya que si una carga en movimiento atraviesa un campo magnético, la misma sufre
la acción de una fuerza (denominada fuerza magnética), donde esta fuerza no modifica el
modulo de la velocidad pero si la trayectoria, además sobre un conductor por el cual circula
electricidad y que se encuentra en un campo también aparece como una fuerza magnética. Este
campo esta presente en los imanes y por otro lado, una corriente eléctrica también genera un
campo magnético. Otro punto importante sobre este campo, es que se denomina con la letra B y
se mide en Tesla.
Adentrándose un poco mas al tema del campo magnético, se dice que es una magnitud
vectorial y se representa con la letra B, además de que puede estar producido por una carga
puntual en movimiento o por un conjunto de cargas en movimiento, es decir, por una corriente
eléctrica. Como ya se menciono anteriormente la unidad del campo magnético en el Sistema
internacional es el tesla (T). El cual se define como el campo magnético que ejerce una fuerza
de 1 N (newton) sobre una carga de 1 C (columbio) que se mueve a velocidad de 1 m/s dentro
del campo y perpendicularmente a las líneas de campo. Cabe mencionar que el tesla es una
unidad muy grande, por lo que a veces se emplea como unidad de campo magnético el gauss
(G) que, aunque no pertenecé al Sistema Internacional sino al CGS, tiene un valor mas acorde
con el orden de magnitud de los campos magnéticos que habitualmente se manejan.

3. 1 T = 1 N/C*m/s = 1 N/ (A*m) = 10,000 gauss y 1 G = 10-4
T
El campo magnético se puede crear por
medio de una carga puntual, donde se
podría decir que una carga q que se
mueve con una cierta velocidad, como
se muestra en la imagen, crea un
campo magnético en todo el espacio.
Dicho campo viene dado por la siguiente expresión:
0
2
4
rqvu
B
r




Donde: q es la carga creadora del campo, v es la velocidad de dicha carga, r es la distancia
desde el punto donde se encuentra la carga hasta el punto P dónde se esta calculando el
campo, ur es un vector unitario que va desde el punto donde esta la carga hacia al punto donde
se calcula el campo, y por ultimo o es una constante denominada permeabilidad del espacio
libre, su valor en el SI es o = 4 10-7
T m/A. La dirección y el sentido del campo B viene dado
por la regla de la mano derecha, y su modulo es el modulo del producto vectorial:
Dirección y Sentido Módulo
0
2
sin
4
qv
B
r




Donde cabe mencionar que cuando la carga q es negativa, el sentido de B es opuesto al que
se muestra en la figura, el campo magnético en la dirección del movimiento es nulo, ya que en
este caso los vectores v y ur son paralelos y su producto vectorial es cero.Además también se
puede calcular la fuerza magnética sobre una carga móvil por medio de la siguiente expresión:
F qv B 
  
Donde q es la carga, v es la velocidad en un campo magnético y B es el campo magnético.
Del mismo modo que el campo eléctrico E puede representarse mediante líneas de campo
eléctrico, también el campo magnético B puede ser representado mediante líneas de campo
magnético, donde en ambos casos la dirección y el sentido del campo vienen indicados por la

4. dirección y el sentido de las líneas de campo y el modulo del campo por su densidad. Existen,
sin embargo, dos importantes diferencias entre las líneas de campo eléctrico y las líneas de
campo magnético:
1. Las líneas de campo eléctrico poseen la
dirección de la fuerza eléctrica actuando
sobre una carga positiva, mientras que las
líneas de campo magnético son
perpendiculares a la fuerza magnética sobre
una carga móvil.
2. Las líneas de campo eléctrico comienzan en
las cargas positivas y terminan en las cargas
negativas; las líneas de campo magnético son cerradas.
Hablando ahora sobre las fuentes del campo magnético, específicamente la Ley de Biot-
Savart (campo magnético creado por corrientes eléctricas), se dice que esta ley surgió en
1820, un mes después de que se anunciara el descubrimiento acerca de la desviación de la
aguja de una brújula por la acción de una corriente eléctrica, donde Jean Baptiste Biot y Félix
Savart describieron los resultados de sus medidas del momento de fuerza que actúa sobre un
imán próximo a un conductor largo por el que circula corriente y analizaron estos resultados en
función del campo magnético producido por cada elemento de la corriente. Además André
Marie Ampere amplio estos experimentos y demostró que los propios elementos de corriente
experimentan una fuerza en presencia de un campo magnético; en particular, demostró que
dos corrientes se ejercen fuerzas entre si. Antes de comenzar con esta ley, pr imero se
analizara el concepto de corriente eléctrica, la cual es un conjunto de cargas desplazándose
por un material conductor. Por tanto, al igual que una carga puntual, una corriente creara un
campo magnético. En la ley de Biot-Savart que habla con respecto al campo magnético creado
por una corriente, en la siguiente imagen se representa in hilo conductor de forma arbitraria por
el que circula una intensidad de corriente I. Si por el hilo conductor circulan n cargas q por
unidad de volumen, la corriente viene dada por:
dI qnv A
Siendo A la sección del hilo y vd la velocidad de desplazamiento de las cargas. Se puede
representar un elemento de corriente mediante un vector de longitud dl y sentido el sentido de
circulación de la corriente.

5. El campo magnético dB que crea el elemento de corriente de longitud dl en un punto P dele
espacio es el campo magnético que crea en ese punto una carga puntual moviéndose a la
velocidad de desplazamiento multiplicado por el número total de cargas que contiene el
elemento de corriente:
0
2
4
d rqv u
d B nAdl
r
 

 

A partir de esta formula, se reagrupa y queda de la siguiente forma:
0
2
4
d rqv nAdl u
d B
r
 

  

Y finalmente se obtiene que:
0
2
4
rIdl u
d B
r
 

 

Donde o es la permeabilidad del espacio libre. La dirección y el sentido del campo dB vienen
dados por la regla de la mano derecha, y su modulo es el modulo del producto vectorial que
aparece en la ecuación anterior:
Dirección y Sentido Módulo
0
2
sin
4
Idl
d B
r






El campo total creado por el hilo en el punto P es la integral del campo creado por el elemento
de corriente extendida a todo el hilo:
0
2
4
rIdl u
d B
r
 
 
 


6. En general esta integral es complicada de calcular, salvo para situaciones sencillas en la que la
forma del hilo que transporta la corriente tiene cierto grado de simetría. Dentro de la Ley de Biot-
Savart entra el tema del campo creado por una espira circular, en el cual muchos de los
dispositivos que se emplean para crear campos magnéticos cuentan entre sus componentes con
bobinas. Cada vuelta de hilo de la bobina se denomina espira. El campo magnético producido
por una espira circular en su centro es sencillo de calcular, ya que la integral mencionada
anteriormente, se simplifica por simetría.
Para cualquier elemento de corriente dl que se tome sobre la espira, el campo que produce en
su centro es un vector en la dirección y sentido positivo, como se observa en la parte derecha
de la imagen superior.
El modulo del campo dB creado por cualquier elemento de corriente viene dado por:
0
2
4
Idl
dB
R



Donde R es el radio de la espira. El campo total B es la integral de la expresión anteriormente
mencionada a toda la circunferencia:
0 0
2
4 4
I I
B dB dl
R 
 
   2
R
2 R
Si la corriente circula en sentido contrario al representado, el vector campo magnético es de
sentido opuesto.
0
2
I
B
R


Por ultimo, se explicara un tema muy importante dentro del campo magnético, el cual es sobre
las Ecuaciones de Maxwell, las cuales fueron propuestas por primera vez por el gran físico
escocés James Clerk Maxwell, y relacionan los vectores de campo eléctrico y magnético E y B
con sus fuentes, que son las cargas eléctricas y las corrientes. Estas ecuaciones resumen las
leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo: las leyes de Coulomb, Gauss, Biot y

7. Savart, Ampere y Faraday. Estas leyes experimentales se cumplen de un modo general excepto
la ley de Ampere, que solo puede aplicarse a las corrientes estacionarias continuas. Las
ecuaciones de Maxwell en la actualidad son cuatro, pero antes eran 20, y describen por
completo los fenómenos electromagnéticos. Dichas ecuaciones se pueden explicar y resumir de
la siguiente forma:
Ley de Gauss
La ley de Gauss explica la relación entre el flujo de campo eléctrico y una superficie cerrada. Se
define como flujo eléctricoa la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada.
Cabe mencionar que este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la
cantidad de campo eléctrico que pasa por una superficie, esto es:
inf
( )
0
*ri S
E d S  
 

Esta ley dice que el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al
cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la
permitividad eléctrica en el vacío ( 0), de esta forma:
0
*S
q
E dS 


La forma diferencial de la ley de gauss, afirma que la divergencia del campo eléctrico es
proporcional a la densidad de carga eléctrica, es decir:
0
* E

 

 
Donde pes la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente significa que el campo E diverge o
sale desde una carga p / 0. Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada
densidad de flujo eléctrico (D):
*D  
 
Ley de Gauss para el Campo Magnético
Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En
otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces
de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo
magnético. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético por lo

8. tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero
Matemáticamente esto se expresa así:
* 0B 
 
Donde B es la densidad de flujo magnético, o mejor conocida como inducción magnética. Es
claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este
hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula.Su forma
integral equivalente:
* 0S
B dS 
 

Ley de Faraday-Lenz
La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza
electromotriz en un campo magnético. Lo primero que se debe introducir es la fuerza
electromotriz, si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz
es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal
del flujo magnético, y como el campo eléctrico es dependiente de la posición tenemos que el
flujo magnético es igual a:
Bd
dt
  
 *B S
B dS 
 

Además, el que exista una fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se
representa como:
*E dl 
 

Con lo que a partir de todo esto, se obtiene la expresión de la ley de Faraday:
* *S
d
E dl B dS
dt
  
   
 
La forma diferencial de esta ecuación:
*
B
E
t

  


 
Ley de Ampere
Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no
varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético a lo
largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente sobre la superficie encerrada en
la curva C, matemáticamente así:

9. 0* J*c S
B dl dS  
   

Donde o es la permeabilidad magnética en el vacío. Pero cuando esta relación se le considera
con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la
conservación de la carga. Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no
estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf
Hertz.Maxwell reformuló esta ley así:
0 0 0* J* *c S S
d
B dl dS E dS
dt
     
     
 
En forma diferencial esta ecuación toma la siguiente forma:
0 0 0*
E
B J
t

    


  
Estas ecuaciones son muy importantes para el campo magnético y sus principales uso en al vida
diaria, ya que nos facilitan la realización de los cálculos en este tipo de situaciones, y todas las
formulas anteriormente mencionadas se pueden resumir de la siguiente forma, ya sea en su
forma diferencial o integral:
Nombre Forma diferencial Forma integral
Ley de Gauss:
0
* E

 

 
0
*S
q
E dS 


Ley de Gauss
para el campo
magnético:
* 0B 
 
* 0S
B dS 
 

Ley de Faraday:
*
B
E
t

  


  * *S
d
E dl B dS
dt
  
   
 
Ley de Ampère
generalizada: 0 0 0*
E
B J
t

    


  
0 0 0* J* *c S S
d
B dl dS E dS
dt
     
     
 

10. BIBLIOGRAFIA
 Tipler, Paul A., “Física para la Ciencia y la Tecnología: Electricidad y
Magnetismo”, Vol. 2, 4ta edición, Reverte, 2000, México, D.F., Págs.: 798-800.
 Serway, Raymond A., “Electricidad y Magnetismo”, 6ª edición, Mc Graw Hill,
México, 2005, Págs. 256-270
WEBGRAFIA
 Sin Autor, “Campo Magnético”, Física Practica, México, 2007, Extraído el 29 de
Abril de 2014 de: http://www.fisicapractica.com/campo-magnetico.php
 Martin Blas, Teresa & Ana Serrano Fernández, “Campo Magnético y Ley de
Biot-Savart”, UPM, España, 2010, Extraído el 29 de Abril de 2014 de:
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/magnet/campom
ag.html
 Fernández, Juan C., “Ecuaciones de Maxwell”, Universidad de Buenos Aires,
2004, Argentina, Extraído el 29 de Abril de 2014 de:
http://materias.fi.uba.ar/6209/download/1-Ecuaciones%20de%20Maxwell.pdf
Además se utilizo el software Mathtype para la realización de las formulas.