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Apostila 1 calculo i

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Apostila 1 calculo i

  1. 1. 1 ELEMENTOS DA LÓGICA MATEMÁTICA FUNÇÕES ELEMENTARES LIMITES E CONTINUIDADE PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
  2. 2. 2 1. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos da matemática. O principal objetivo consiste na investigação da validade de argumentos. 1.1 PROPOSIÇÕES Proposição é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na forma simbólica ou na linguagem usual. Exemplos: 1) Sen 60° = 2 3 2) Marleide é professora. 3) Orleans se localiza no estado de Santa Catarina. Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1) se a proposição é verdadeira e é a falsidade (0) se a proposição é falsa. Exemplos: a) Orleans fica no nordeste. b) Sen(30°) + cos(60°) = 1 O valor lógico da proposição a) é a falsidade (0), e da proposição b) é a verdade (1). As proposições podem ser simples ou compostas. SIMPLES COMPOSTA Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos “e”, “ou” e “se então” . Notação: letras minúsculas do alfabeto Notação: letras maiúsculas do alfabeto Exemplos: 1) p: Maria é bonita. q: Maria é estudiosa. 2) p: 1+2=3 q: 21 Exemplo: 1) P(p,q): Maria é bonita e estudiosa. 2) Q(p,q): 1+2=3 ou 21.
  3. 3. 3 1.2- PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA MATEMÁTICA a) Princípio da Não-contradição Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira e falsa”. b) Princípio do terceiro excluído Toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro estado lógico para ela. De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda proposição admite um e um só dos valores 1 e 0. Conectivos Lógicos: são palavras ou expressões que se usam para formar novas proposições, a partir de proposições dadas. Exemplos: P: O número 9 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar. Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. R: Se João estuda, então sabe a matéria. 1.3- TABELA VERDADE O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2n , onde n é o número de proposições componentes. PROPOSIÇÃO Nº DE PROPOSIÇÕES SIMPLES Nº DE LINHAS DA TABELA P 1 21 = 2 P(p,q) 2 22 = 4 P(p,q,r) 3 23 = 8 P(p,q,r,...,n-1,n) n 2n p 0 1 p q r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 p q 0 0 0 1 1 0 1 1
  4. 4. 4 EXERCÍCIOS 1. Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes proposições: a) O número 2 é o único número par que é primo. V(a)= b) A área do quadrado de lado 3 é 6. V(b)= c) Log3 3 = 1 V(c)= d) A solução da equação 4x-8=12 em R é S={4}. V(d)= e) O conjunto solução de 3x = 81 é S = {4}. V(e) = f) Todo número divisível por 5 termina em 0. V(f)= g) –2 < 0. V(g)= h) O par {x,x} = {x}. V(h)= i) O par ordenado (x,x)=(x). V(i)= j) x2 . x5 = x7 . V(j)= 2.Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes proposições: a) O polinômio f(x)=x3 +mx-5 é divisível por x-3 quando m é igual a 4. V(a) = b) A função f:RR definida por f(x)=x+2, é uma função crescente. V(b) = c) A função f:RR definida por f(x)=x2 +1, é uma função crescente. V(c)= d) Se logx-logy=log2 e 9x-y = 81 então o valor de x+y é 6. V(d) = e) A imagem da função y=x² - 2x é [-1, ∞[. V(e) = f) A forma fatorada de x² - 4x + 4 = (x-2)² ; V(f)= g) A forma fatorada de x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4); V(g) = h) A fórmula para a determinação do volume do cilindro é V = hR2  V(h) = i) 2 1 xx  V(i) = j) x x x  1 V(j) = 3. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 1. 4. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 0.
  5. 5. 5 1.4-OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 1) Negação ( ‘ )ou : não Exemplos: Altera o valor lógico de uma proposição, isto é, V(p) = 0 então V(p‟) = 1 ou se V(p) = 1 então V(p‟) = 0. Lê-se: “não p”. Exemplos: I) p: 1+4=5 V(p)=1 p‟: 1+45 V(p‟)=0 II) q: João é estudante V(q)=0 q‟:João não é estudante V(q‟)=1 Tabela Verdade: p P‟ 0 1 1 0 2) Conjunção ( . ) A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando V(p)=1 e V(q)=1, e falsa nos demais casos. Notação: p.q também se utiliza o símbolo : e Lê-se: p e q Exemplos: I) p: Maria é alegre V(p)=1 q: Maria é simpática V(q)=1 P(p,q): p.q: Maria é alegre e simpática. V(p.q)=1 II) r: log22=1 V(r)=1 s: 20 =2 V(s)=0 Q(r,s): r.s : log22=1 e 20 =2 V(r.s) = 0 Tabela Verdade: p q p.q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Obs.: Equivale a ligação em série de interruptores.
  6. 6. 6 3) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+) A soma lógica de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p)=0 e V(q)=0 e verdadeira nos demais casos. Notação: p + q também se utiliza o símbolo : ou Lê-se: p ou q Exemplos: I) p:  = 3 V(p)=0 q: 9-3=6 V(q)=1 V(p+q)=1 II) p: 2 < 1 V(p)=0 q: 2 < 2 V(q)=0 V(p+q) = 0 Tabela Verdade: p q p+q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 4) Disjunção Exclusiva ( ) A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira quando os valores lógicos das proposições são diferentes, isto é V(p)  V(q). Notação: p q Lê-se: p ou q, mas não ambas. Exemplos: I) p: Maria é alta V(p)=1 q: Maria é baixa V(q)=0 P(p,q): (p q): Maria é alta ou baixa. V(p q):1 II) p:  < 3 V(p)=0 q: 3>2 V(q)=1 V(p,q)=1
  7. 7. 7 Tabela Verdade p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 5) Condicional () O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Em todos os outros casos o resultado é verdadeiro. A proposição p é chamada antecedente e a proposição q é o conseqüente. Notação: p  q Lê-se: “se p então q” Exemplos: I) p:tg 4  =1 V(p)=1 q: sen0º=0 V(q)=1 V(p,q)=1 II) p: cos 2 2 4   V(p)=1 q: tg 0 4   V(q)=0 V(p,q)=0 Tabela Verdade p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
  8. 8. 8 6) Bicondicional () Esta operação equivale a duas operações do tipo condicional. Seu resultado é verdadeiro quando os valores lógicos das proposições forem iguais. Notação: p  q Lê-se: “p se e somente se q” Exemplos: I) p: 2 V(p)=1 q: 2 > 1 V(q)=1 V(p,q)=1 II) p: Z3 V(p)=0 q: 13  V(q)=1 V(p,q)=0 Tabela Verdade p q pq 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1.5- ORDEM DE PRECEDÊNCIA ENTRE OS OPERADORES a) Negação ( „ ) b) Conjunção e Soma Lógica (.) e (+) c) Condicional () d) Bicondicional () Exemplo: a) pq  r (bicondicional) b) p + q‟  q.r (condicional) c) p+(q‟  q.r‟) (soma lógica e condicional) EXERCÍCIOS 1) Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis. Escrever na linguagem usual as seguintes proposições: a) p+q b) p.q c) p.q‟
  9. 9. 9 d) p´.q‟ e) (p‟)‟ f) (p‟.q‟)‟ 2) Dadas as proposições p: Maria é bonita e q: Maria é elegante, escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Maria é bonita e elegante. b) Maria é bonita, mas não é elegante. c) Não é verdade que Maria é feia ou elegante. d) É falso que Maria é feia ou que não é elegante. 3) Classificar as proposições compostas abaixo, como conjunção, disjunção, condicional, bicondicional ou negação: a) (p.q‟)‟ b) p+(q.r‟) c) p.(qr) d) p.qr‟ e) (p.q‟)‟+(r+s) f) (p+q‟)(r.s) g) [p(q.r)].s h) [p(q.r)]‟ i) [p+(q.r)]‟ s‟ j) (pq)  r‟ 4) Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) 3+2=7 e 5+5=10 b) sen=0 e cos=0 c) 3>2 ou sen90º>tg45º d) se |-1|< 0 então sen90º=1 e) 3>1  30 =3 f)  > 4  3 > 5 g) tg  =1 se e somente se sen=0 h) Não é verdade que o número 12 é um número ímpar i) (1+1=24+3=5)‟ j) (sen0º=0 ou cos0º=1)‟ 5) Sabendo que V(p)=1 e V(q)=0, determinar o valor lógico de cada uma das proposições: a) p.q‟ b) p+q‟ c) p´.q d) p‟.q‟ e) p‟+q‟ f) p.(p´+q)
  10. 10. 10 6) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo que: a) V(q)=0 e V(p.q)=0 b) V(q)=0 e V(p+q)=0 c) V(q)=0 e V(pq)=0 d) V(q)=0 e V(pq)=1 e) V(q)=1 e V(pq)=0 f) V(q)=0 e V(pq)=1 As funções reais Vamos dar uma esquentadinha em nosso tico e o teco (hehehehehe), já estudaram as funções e suas principais características na disciplina de Matemática básica. Em cada caso identifique o nome de cada função a partir das características da sua representação gráfica. a) b)
  11. 11. 11 c) d) e) f) Agora vamos construir os gráficos das funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Dado as funções abaixo represente graficamente e determine o domínio e a imagem em cada caso. a) f(x) = sen(x) b) g(x) = cos(x)
  12. 12. 12 c)f(x) = tg(x) d) f(x) = cotag(x) e) f(x) = sec(x) f) f(x) = cossec(x) f) f(x) = sen(2x) g) g(x) = cos(2x)
  13. 13. 13 g) y= 2 sen(x) h) y = - 3 cos(x) Outras funções podem ser representadas graficamente desde que respeitados seu campo de definição, vejamos os exemplos: a) Veja o gráfico da função racional f(x) = x 1 Neste caso observa-se que a função não é definida para x = 0. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 0 pela direita e pela esquerda?
  14. 14. 14 b) Vamos pensar na função racional f(x) = 2 1   x x Vamos pensar eu uma função definida por várias sentenças c) f(x) =      2,3 2,12 sex sex Neste caso observa-se que a função não é definida para x =2. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 2 pela direita e pela esquerda? Analise sempre a linha do gráfico. Neste caso observa-se que a função não é definida para x =2. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 2 pela direita e pela esquerda? Analise sempre a linha do gráfico.
  15. 15. 15 Um dos mais importantes temas em Cálculo é a análise das relações entre as quantidades físicas e Matemáticas. Tais relações muitas vezes podem ser descritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras. As funções representam um importante instrumento de análise das relações matemáticas e físicas. Um problema: Um fabricante que produz caixas abertas de papelão de formas retangulares, dispondo de folhas com faces retangulares com 29 cm por 21 cm de comprimento. Cortando-se pequenos quadrados dos cantos e dobrando-se para cima os lados o departamento de Pesquisa e Desenvolvimento pede que você determine o tamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com maior volume. 1. CÁLCULO UMA GRANDE INVENÇÃO HUMANA: UM POUCO DA HISTÓRIA O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução de problemas que envolviam movimento. A geometria, a álgebra e a trigonometria aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante: os métodos de cálculo no entanto são necessários para estudar as órbitas dos planetas, para calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada através de um campo eletromagnético, e de um modo geral para tratar de todos os aspectos do movimento. Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas da física, tem inúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é o fato de que a derivada é aplicada ao estudo de taxa de variação em geral, e não só do movimento. Exemplos: o químico utiliza para prever resultados de diversas reações químicas, o biólogo para pesquisa da taxa de crescimento. O eletricista para descrever a variação da taxa da corrente num circuito elétrico. Os economistas para resolver problemas de lucros e perdas. Muitos problemas que envolvem máximos e mínimos podem ser tratados com auxílio da derivada, exemplos: como uma empresa pode maximizar sua receita? Como pode um fabricante minimizar seus custos na produção de um artigo? A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das
  16. 16. 16 partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Durante a realização das olimpíadas um dos repórter fez a seguinte fala: “segundo estudos da evolução da capacidade humana acredita-se que o ser humano está chegando em seu limite quando ao tempo mínimo de natação”. Para que foi utilizada a palavra “limite” neste caso? Em que situações aparecem a palavra limite? Qual o significado da palavra limite em nosso contexto? O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem um processo de limite para a sua solução. Entretanto, o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações, na verdade tantas, que, de fato, o conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos de cálculo estão baseados. Considere as seguintes situações: 1) Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1 Vamos desenvolver as seguintes etapas : Primeira : hachurar metade dessa figura Segunda : hachurar metade do que restou em branco. Área hachurada : 2 1 Área hachurada : 4 3 4 1 2 1 
  17. 17. 17 Terceira : hachurar, novamente, metade do restou em branco. Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1. 2) Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas: a) 1,2,3,4,5,... b) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,... c)1,0,-1,-2,-3,... d)1,3/2,3,5/4,5,7/6,7,... Em a) os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão tende para o infinito . Na sucessão b) os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Na sucessão c) os termos desta sucessão tendem para o menos infinito ou que o limite da sucessão tende para o menos infinito . Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite. Área hachurada : 1 + 1 + 1 = 7 2 4 8 8 1 , 3 , 7,..., 2 4 8 Quando dizemos que a área hachurada tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.
  18. 18. 18 3) Pensamos na trajetória de uma bola cuja altura é uma função do tempo, expressa pelo gráfico a) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 3s? b) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 2s? O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Considere as seguintes funções: 1) Sabe-se que a área do quadrado é uma função do lado definida como 2 A . O que acontece com a área quando a medida do lado tende para 2?  1,8 1,9 1,98 1,99 1,999 2 A 3,24 3,61 3,9204 3,9601 3,996001  2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2 A 4,41 4,0401 4,004001 4,000400 4,00004 Esta função tende a 4 quando x tende a 2. Diz-se que se 2 então 4A . Esta situação pode ser observada no gráfico abaixo: Se considerarmos a medida do lado como x e a medida da área como y, temos:
  19. 19. 19 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Assim pode-se representar em termos de limite da seguinte forma: 4lim 2 2   x x 2) Consideramos a função f definida pela equação:   1 )1.(32 )(    x xx xf . Sendo que f esta definida para todos os valores de x exceto x = 1. Assim, se 1x , o numerador e o denominador podem ser divididos por )1( x para obtermos: 1xpara32)(  xxf Estudaremos os valores da função )(xf , quando x estiver próximo a 1, mas não igual a 1. Quadro (1): X 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999   1 )1.(32 )(    x xx xf )1( x 3 3,5 4 4,5 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998 Quadro (2) : X 2 1,75 1,50 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001   1 )1.(32 )(    x xx xf )1( x 7 6,5 6,0 5,5 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002
  20. 20. 20 Vemos, de ambos os quadros, que quando x aproxima-se cada vez mais de 1, f(x) aproxima- se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo x estiver de 1, f(x) estará mais próxima de 5. No gráfico visualiza-se a seguinte imagem: Outros exemplos: 1) Consideremos o gráfico da função f :IRIR, definida por f(x) = x + 2. O quadro a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x : x 2 2,3 2,9 2,99 ... 3,03 3,4 3,9 f(x) = x + 2 4 4,3 4,9 4,99 ... 5,01 5,4 5,9 De acordo com o exposto, podemos dizer que : • o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos : 5lim )( 3   x x f • o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos : 5)(lim 3   xf x Em particular, vemos no nosso exemplo que : 5 )1( )1).(32( lim 1     x xx x , mas que: )1( )1).(32(   x xx não é definida para x = 1.
  21. 21. 21 Podemos representar somente por : 2) Consideramos também o gráfico da função f : IRIR, definida por : Observe : • quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é: • quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é: Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos que: Neste caso não existe o limite de f(x) quando x tende a 3. Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é: Observando a figura podemos afirmar que:       3,,2 3,, )( xsex xsex xf )(lim)(lim)(lim xfxfxf axaxax    Lg x bx   )(limLxg bx   )(lim 3)(lim 3   xf x 5)(lim 3   xf x 5)(lim 3   xf x
  22. 22. 22 Isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b e escrevemos : Seja f uma função definida nos reais cujo gráfico está na figura abaixo, definida à direita e a esquerda de b. b L1 L2 X Y 2)(lim Lf x bx   1)(lim Lf x bx   Lg x bx   )(lim
  23. 23. 23 Vamos retomar o conteúdo do primeiro semestre de Matemática básica ( função definida por várias sentenças. Atividade: Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e responda cada item 1) f(x) =      0, 0,2 2 xsex sex a) )( 0- lim x x f  b) )( 0 lim x x f  c) )( 0 lim x x f  2) f(x) =      1,3 1,12 xsex sex a) )( 1- lim x x f  b) )( 1 lim x x f  c) )( 1 lim x x f  3) (x) =      2,1 2,3 xsex se a) )( 2 lim x x f  b) )( 2 lim x x f  c) )( 2 lim x x f  Outros exemplos: 1. Seja h definida por:       11 11 )( -x se x se xx- xh a) Faça um esboço do gráfico de h. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites: i) )(lim 1 xh x   = ii) )(lim 1 xh x   = iii) )(lim 1 xh x =
  24. 24. 24 2. Seja a função f definida por: f(x)=      0xsex-3 0xse2 x a) Faça um esboço do gráfico de f. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites: i) )(lim 0 xf x   = ii) )(lim 0 xf x   = iii) )(lim 0 xf x = EXERCÍCIOS 1) Faça um esboço do gráfico e determine se existir o limite indicado: a)          2xse,x-1 2xse2, 2x,1 2 2 )( sex f x i) ( ) 2 lim x x f  ii) )( 2 lim x x f  iii) )( 2 lim x x f  b)          1xparax-2 1xpara2 1xpara2 )( x f x ( ) ( ) ( ) x 11 x 1 ) lim ii) lim iii) limx x x x i f f f    c)          121 11 112 )( x, se x- , se x , se xx f x i) )( 1_ lim x x f  ii) )( 1 lim x x f  iii) )( 1 lim x x f 
  25. 25. 25 d)          0 01 02 2 2 )( para x-x para x para xx f x i) )( 0 lim x x f  ii) )( 0 lim x x f  iii) )( 0 lim x x f  e)          1xse,3- 1xse1,- 1x,2 )( se f x i) )( 1- lim x x f  ii) )( 1 lim x x f  iii) )( 1 lim x x f  f)       1xse21 -1xse42 )( x x xf i) )( 1- - lim x x f  ii) )( 1- lim x x f  iii) )( 1- lim x x f  2) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir:             )(lim) )(lim) )(lim) )(lim) )(lim) 4 3 3 xfe xfd xfc xfb xfa x x x x x
  26. 26. 26 3) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir:             )(lim) )(lim) )(lim) )(lim) )(lim) 2 2 2 xfe xfd xfc xfb xfa x x x x x 4) Seja a função f definida pelo gráfico: lim ( ) x a f x L   Intuitivamente encontre se existir: 0 0 0 2 2 2 ) lim ( ) ) lim ( ) )lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( ) ) ( )lim x x x x x x a f x b f x c f x d f x e f x f f x                
  27. 27. 27 DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima- se de a é L, pode ser escrito como: Se para qualquer 0 ,mesmo pequeno, existir um  0, tal que:  Lxf )( sempre que  ax0 . Exemplo: Considere f: RR definida por y = 2x - 1. O que acontece com y quando x está muito próximo de 3? x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001 y = 2x-1 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002 Tab.1 x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 y = 2x-1 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998 Tab.2 1 =5,2-5,02=0,18 2 =5,02-5,002=0,018 3 =5,002-5,0002=0,0018 4 =5,0002-5,00002=0,00018 5 =5,00002-5,000002=0,000018 1 = 3,1-3,01=0,09 2 = 3,01-3,001=0,009 3 = 3,001-3,0001=0,0009 4 = 3,0001-3,00001=0,00009 5 = 3,00001-3,000001=0,000009 QUAL É A RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO? 0,18 e 0,09? 0,018 e 0,009? 0,0018 e 0,0009? Pode-se concluir que: 0,09 x 2 = 0,18 0,009 x 2 = 0,018 0,0009 x 2 = 0,0018 Logo podemos concluir que  = 2 x 
  28. 28. 28 Outro exemplo: O que significa provar que o 53 3 2 lim 3   x x ? Significa que devemos mostrar que para qualquer 0 ,mesmo pequeno, existe um  0, tal que:  Lf x)( sempre que  ax0 , isto é: Dados que neste caso tem-se: f(x) = 3 3 2  x L = 5 a = 3 então:  5)3 3 2 ( x sempre que  30 x  2 3 2x sempre que  30 x   3 62x sempre que  30 x  3 3 2 x sempre que  30 x 2 3 3  x sempre que  30 x Comparando-se as desigualdades tem-se que:  = 2 3 Outro modo utilizando as desigualdades temos: 3- < x < 3+  5- < y < 5+ 5- < y < 5+ 5- < 3 3 2 x < 5+ 5--3 < x 3 2 < 5+-3 3.(2-) < 2x < 3.(2+) 2 )2.(3  < x < 2 )2.(3  2 3 3 2 3 3   x Logo  = 2 3 Vejamos graficamente a situação descrita acima.
  29. 29. 29 Podemos dizer que y se aproxima de 5 quando x se aproxima de 3, ou melhor, y toma valores tão próximos de 5 quanto quisermos, para valores de x suficientemente próximos de 3. Logo 53 3 2 lim 3   x x Exercícios 1) Usando a definição de limite prove que: 13)54(lim) 2)13(lim) 2 1     xb xa x x 2) Segundo a definição de limite considera-se as seguintes condições: Se Lxf ax   )(lim é afirmar que, para qualquer número positivo , haverá sempre um número positivo  tal que | f(x) – L | <  válido sempre que 0 < | x – a | < . Na maioria dos casos o valor de  depende de , e quanto menor for  escolhido, menor será o  necessário. Usando a definição de limite determine um  tal que | f(x) – L | <  sempre que 0 < | x – a | < . a) f(x) = x + 3 , L = 5, a = 2,  = 0,01, 5)3(lim 2   x x
  30. 30. 30 b) f(x) = 2 1x L = 3, a = 5,  = 0,1, 3 2 1 lim 5    x x PROPRIEDADES DOS LIMITES 1. Unicidade: Se x a lim ( ) e se lim ( ) x a f x b f x c     , então b = c. 2. Se a, m e n são números reais, então namnmx ax   .)(lim Casos particulares: 1. Se f(x) = x, então lim ( ) lim x a x a f x x a     . 2. Se f(x) = n, então nn ax   lim (o limite de uma constante é a própria constante). 3. Se cxgbxf aax   )(lime)(lim x , então: a) cbxgxfxgxf axaxax   )(lim)(lim)]()([lim b) cbxgxfxgxf axaxax .)(lim).(lim)]().([lim   c) )0( )(lim )(lim )( )( lim     c c b xg xf xg xf ax ax ax d) kbxfkxfk axax   )(lim)(.lim e)   * Zn,)(lim)]([lim    nn ax n ax bxfxf f) imparxfxfbxfxf axax n n ax n ax ** Zne0)(limseouZne0)(limse;)(lim)(lim      4. Funções Polinomiais Se ,...)( 01 1 1 axaxaxaxf n n n n    então: )(...)(lim 001 1 1 0 xfaxaxaxaxf n n n n xx    
  31. 31. 31 Exemplos: 1)   )65(lim 3 x x 2)   x x 4 lim 3)   )833(lim 2 2 xx x 4)    5 13 lim 2 x x 5)   2 1 1lim x x 6)   )7853(lim 23 2 xxx x 7)     5 32 lim 2 3 2 x xx x 8)   2 4 )75(lim x x 9)   3 4 17 lim x x x
  32. 32. 32 EXERCÍCIOS Encontre o valor dos seguintes limite                                   4/1 3/1 4 16 3 23 23 2 1 234 1 2 4 223 2 6 1 )32(lim)8 1 lim)7 4.1lim)6 3 365 lim)5 1lim)4 2 1 4lim)3 1523lim)2 12lim)1 x x x tt xxx xxx xxx xx xxx x x x t x x x x x                     3 18 lim)12 821 1 lim)11 13 3lim)10 1 1 lim)9 1 2 2 1 2 3 1 1 x x x x xx x x x x x x x
  33. 33. 33 CÁLCULO DE LIMITES e SUAS INDETERMINAÇÕES O que significa uma indeterminação? Como sair de uma indeterminação? As expressões 00 , , ,0 ,0 , ,1 0         , são ditas indeterminações. O que fazer quando se encontra tais situações? Por exemplo 0 0 . Sejam f e g funções tais que 0)(lim)(lim   xgxf axax . Nada se pode afirmar, a princípio sobre o limite do quociente g f . Dependendo das funções ele pode assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0 0 é um símbolo de indeterminação. Exemplo: Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2 . 0)(lim)(lim 00   xgxf xx e 0limlim )(lim )(lim 02 3 0 0 0     x x x xg xf xx x x Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários. Obs.: Sempre que estamos diante de um limite com ax  , que resulte a indeterminação 0 0 e a função dada é do tipo racional        xempolinômios xQ xP xf )( )( )( é possível fazer uma simplificação, pois os polinômios serão divisíveis por (x-a). Exemplos:     1 1 lim)1 2 1 x x x
  34. 34. 34     32 1074 lim)2 2 33 1 xx xxx x     3 27 lim)3 3 3 x x x     4 412 lim)4 4 x x x
  35. 35. 35 EXERCÍCIOS Encontre o valor dos limites:                                         52 532 lim)10 36254 20173 lim)9 5 227 lim)8 28 lim)7 93 lim)6 5 312 lim)5 1 21 lim)4 2012 65 lim)3 3 6 lim)2 2 8 lim)1 2 2 5 2 2 4 5 5 3 0 2 0 5 1 2 2 2 2 3 3 2 x xx xx xx x x h h x x x x x x xx xx x xx x x x x x h x x x x x x
  36. 36. 36 LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDENDO AO INFINITO O símbolo  não representa um número; portanto, não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números reais. Alguns exemplos: 1) Observe o gráfico da função x xf 1 )(  :  0 1 lim   xx , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.  0 1 lim   xx , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.    xx 1 lim 0 , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce indefinidamente e o limite é infinito (+).    xx 1 lim 0 , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y decresce indefinidamente e o limite é menos infinito (-).
  37. 37. 37 2) Observe o gráfico da função . 1 )( 2 x xf   Quando x cresce ou decresce indefinidamente a função se aproxima de zero, ou seja y tende a zero. Simbolicamente temos: 0 1 lim 2   xx e 0 1 lim 2   xx .  Quando x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, y cresce indefinidamente, isto é, y tende a mais infinito e indicamos:   2 0 1 lim xx e   2 0 1 lim xx . 3) Considere : 1 )( 3 x xf 
  38. 38. 38  De modo análogo às situações anteriores, percebe-se que quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero. Notação: 0 1 lim 3   xx . Definição: Se nN* e se f: R*  R é a função definida por n x xf 1 )(  , então: 0 1 lim)(lim   nxx x xf e 0 1 lim)(lim   nxx x xf De modo geral: 0lim   nx x k 4) Seja a função f: R-{2} R tal que 2 3 )(   x xf cujo gráfico é: Observa-se que:    )(lim 2 xf x    )(lim 2 xf x  )(lim 2 xf x não existe, pois os limites laterais são diferentes.  0)(lim   xf x LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS INFINITO Considere a função polinomial f(x), de grau n, com an0. 01 1 1 ...)( axaxaxaxf n n n n    n n xx xaxf   lim)(lim Obs.: Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de an e a paridade de n. Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a +, podemos aplicar a seguinte regra prática:
  39. 39. 39                  qpse qpse b a qpse xb xa bxbxbxb axaxaxa q p q q p p xq q q q p p p p x 0 lim ... ... lim 01 1 1 01 1 1 Analogamente se x tender a -. PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO
  40. 40. 40 Exemplos: 1) Dada a função f(x) = 2x3 -5x2 + 2x -1, calcular: )(lim) )(lim) xfb xfa x x   2) Calcular 734 152 lim 2 2    xx xx x .
  41. 41. 41 3) Calcular 4 12 lim 23 4    xx xx x . Teorema: Se 0)(lim   xh ax e cxg ax   )(lim com c  0, então: 1) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores positivos, então . )( )( lim   xh xg ax 2) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores negativos, então . )( )( lim   xh xg ax 3) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores positivos então . )( )( lim   xh xg ax 4) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores negativos então . )( )( lim   xh xg ax Exemplos:                xxx x xx xx xx xx x x x 2 1 lim)3 6 13 lim)2 166 562 lim)1 231 2 2 2 2 2 2
  42. 42. 42 EXERCÍCIOS 1) O estudo dos limites nos permite analisar o comportamento de uma função quando ela se aproxima de um ponto ou quando ela tende ao infinito. A existência do limite de uma função está condicionado a sua igualdade quando tende a um ponto pela direita e pela esquerda. Com base nos estudos realizados sobre limites, calcule os limites abaixo. xx xx j xx xx i xx xx h xx xx g x xx f xxe xxd xxc xxb xxxa x x x x x x x x x x                              6 36 3 5 8 5 4 5 3 36 12 23 5 6 45 1 13412 lim) 5321 16 lim) 532 26 lim) 532 16 lim) 13 1312 lim) )544(lim) )3(lim) )2(lim) )473(lim) )122(lim) 2) Calcule os seguintes limites:                                    23 23 1 4 1 22 4 1 9 4 lim) 9 4 lim) 1 2 lim) 4 lim) 4 lim) 4 2 lim) 4 lim) 1 2 lim) x x h x x g x x f x x e x x d x x c x x b x x a x x x x x x x x                       2 1 lim) 43 232 lim) 32 15 lim) 2 lim) 1 2 lim) 2 2 2 2 4 2 2 3 2 2 1 x x n xx xx m xx xx l x x j x x i x x x x x
  43. 43. 43 LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO e as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E ASSÍNTOTAS VERTICAIS Exemplos: a) Observe o gráfico da função f(x) = 32 4 x quando x tende para 3/2 pela esquerda e pela direita Assim podemos concluir que: 32 4 lim 2 3   xx = e 32 4 lim 2 3   xx = Por outro lado no exemplo acima temos que : 32 4 lim  xx = e 32 4 lim  xx = b) Observe o gráfico da função f(x) = 1 1 2   x quando x tende para 1 pela esquerda e pela direita e quando x tende ao  
  44. 44. 44 Assim podemos concluir que: 1 1 2lim 1    xx = e 1 1 2lim 1    xx = Por outro lado no exemplo acima temos que : 1 1 2lim    xx = e 1 1 2lim    xx = Pode –se observar que quando x tende a 1 pela direita e pela esquerda os limites são infinitos. Por outro lado quando x tende a infinito positivo ou infinito negativo f(x) tende a 2. Pode-se concluir que 1 é uma assíntota vertical e 2 é uma assíntota horizontal. DEFINIÇÃO: ASSÍNTOTA VERTICAL: Veja o gráfico da função f(x) = 12 x x Assíntota horizontal y = 2 Assíntota vertical x = 1
  45. 45. 45 No caso tem-se que para os valores de x = -1 e x = 1 a função não está definida, estes valores se constituem nas assíntotas verticais conforme segue: Uma linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: 1)   )(lim xf ax 2)   )(lim xf ax 3)   )(lim xf ax 4)   )(lim_ xf ax ASSÍNTOTA HORIZONTAL No caso tem-se que para os valores de y = 2 a função nunca atinge este valor , e observe que quando x tende para o infinito a função se aproxima deste valor sem nunca assumir, este valor de aproximação se constituem nas assíntotas horizontais conforme segue: A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: 1) bxf x   )(lim 2) bxf x   )(lim Outros exemplos: Determine as assíntotas das funções abaixo: a) f(x) = 1 3 x x b) f(x) = 5 62   x x c) g(x) = x x 53 21  
  46. 46. 46 LIMITE FUNDAMENTAIS ( 2ª parte da apostila) Passa a discussão dos casos que denominamos limites fundamentais 1) Primeiro Limite Fundamental 1 sen lim 0   x x x 2) Segundo Limite Fundamental a x ax x ln 1 lim 0    (a > 0 e a  1) De modo geral: a xu a xu x ln )( 1 lim )( 0    Em particular: 1ln 1 lim 0    e x ex x 3) Terceiro Limite Fundamental e x x x         1 1lim De modo geral: e xu xu x         )( )( 1 1lim Teorema do Confronto Sejam f, g, h funções e a um ponto tal que para todo xa, tem-se g(x) f(x) h(x). Se Lxg ax   )(lim e ,)(lim Lxh ax   então .)(lim Lxf ax   O teorema do confronto será utilizado para demonstrar o limite fundamental.
  47. 47. 47 Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. 1) Primeiro Limite Fundamental 1 sen lim 0   x x x Demonstração: Da figura temos: Vamos considerar x  1º quadrante. Área do triângulo AOM  área do setor circular AOM  área do triângulo AOT tgxxx tgx x x   sen 2 .1 1.. 2 1 2 sen.1 2 Dividindo por senx temos: 1 sen coscos sen 1 cos 1 sen 1   x x xx x x xx x 11lim 10coscoslim 0 0     x x x Pelo Teorema do Confronto, temos: 1 sen lim 0   x x x Graficamente, temos:
  48. 48. 48 De modo geral: 1 )( )(sen lim 0   xu xu x Exemplos:       x tgx xsen xsen x xsen x x x 0 0 0 lim)3 4 3 lim)2 2 lim)1      x x x xsen x x 2 cos1 lim)6 5 2 lim)4 0 0 2) Segundo Limite Fundamental a x ax x ln 1 lim 0    (a > 0 e a  1) De modo geral: a xu a xu x ln )( 1 lim )( 0    Em particular: 1ln 1 lim 0    e x ex x Exemplos:                   1 1 lim)5 5 17 lim)4 14 lim)3 1 lim)2 3 1 lim)1 2 1 1 3 0 2 0 3 0 3 0 x e x x x e x e x x x x x x x x x x
  49. 49. 49 3) Terceiro Limite Fundamental e x x x         1 1lim De modo geral: e xu xu x         )( )( 1 1lim Seja a função x x xf        1 1)( , definida num domínio D. O domínio D é determinado pelos valores reais de x que satisfazem a relação 0 1 1  x .     ,01,D Atribuindo valores de D a x, temos; x y 1 2,000 2 2,250 3 2,369 5 2,489 10 2,594 100 2,705 1000 2,717 10000 2,718 -2 4 -3 3,375 -10 2,868 -100 2,732 -1000 2,720 -10000 2,718 . . . . . .  e Para os valores de x que crescem ou decrescem indefinidamente, correspondem valores de y que vão se aproximando do número irracional e, chamado número de Euler. e = 2,71828182....
  50. 50. 50 OBSERVE O GRÁFICO: A partir do gráfico, temos que: e xx x x x x               1 1lim 1 1lim Exemplos:                                 4 4 2 1lim)4 1 1lim)3 6 lim)2 1 1lim)1 x x x x x x x x x x x x x
  51. 51. 51 CONTINUIDADE Definição A função f é contínua em um número a se as três condições seguintes forem satisfeitas: i) f(a) existe ii) existexf ax )(lim  iii) )()(lim afxf ax   Se uma ou mais destas condições não está satisfeita em a, dizemos que a função f é descontínua em a. Mostra de gráficos de funções que não são contínuas em x=a. Exemplos: Verifique a continuidade das seguintes funções. Faça um esboço do gráfico. a)       1xse1 1xse1 )( x x xf em x = 1
  52. 52. 52 b)       1xse4 1xse12 )( x xf em x = 1 c)          1xse2- 1xse1- 1xse2 )(xf em x = 1 d)       1xse76x 1xse1 )( 2 x x xf em x = 1 e)            1xse1 1xse 1 1 )( 2 x x xf em x = 1
  53. 53. 53 f)       -1xse1x- -1xse3 )( x xf em x = -1 Exercícios 1) Trace o gráfico das funções e determine os limites indicados:          1 12 1 )() 2 xsex xse xsex xfa )(lim* )(lim* 0 1 xf xf x x            01 02 01 )() xsex xse xsex xgb )(lim* )(lim* )(lim* 1 0 1 xg xg xg x x x          01 04 )() 2 xsex xsex xgc )(lim* )(lim* )(lim* )(lim* 9 0 0 0 xg xg xg xg x x x x      
  54. 54. 54       12 1 )() xsex xsex xpd )(lim* )(lim* )(lim* )(lim* 15 1 1 1 xp xp xp xp x x x x       2) A função g está definida por       27 21 )( 2 xsex xsex xg Esboce o gráfico de g. a) Calcule limite de g quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda. b) A função tem limite em x = 2.. 3) Dado a função a)Esboce o gráfico e verifique se a função é contínua em x = -1 e x = 1

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